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DERIVADA PUNTUAL Y
FUNCIONAL
Prof. Nicolás TríasC.E.T.P
Introducción
Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
Intervalos de crecimiento / decrecimiento Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La importancia del signo de las tangentes La clave para el
estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
La importancia del signo de las tangentes• En los puntos de
máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0)
• En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2.f ´(-2)= 0 f ´(4)=0
f ´(2)=1,2 f ´(6)=-1,3
INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA
Sea f(x) una función y “ t ” la recta
secante a f(x) en los puntos
P = ( x , f(x) ) y Q = (x + h , f(x + h)), respectivamente.
Pendiente de la recta tangente a un gráfico
La razón
representa a la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. A medida que h tiende a cero, el punto Q se aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta secante está más próximo a ser recta tangente.
Pendiente de la recta tangente a un gráfico Entonces cuando h 0 la pendiente
de la recta secante se transforma en pendiente de la recta tangente en el punto P.
Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por:
mt =
DEFINICIÓNDEFINICIÓN
NOTACIONES
Otras notaciones comunes para la derivada de la función f(x) son:
EJERCICIOS
Encuentre:
1. La derivada de f(x) = x3 + 2x
2. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 3)
3. La ecuación de la recta tangente a la curva en P
REGLAS DE DERIVACIÓN
Reglas de derivación
Derivada de la suma de funciones:
(f + g)´ (x) = f´(x) + g´(x)
Derivada de la diferencia de funciones
(f - g)´ (x) = f´(x) - g´(x)
Derivada del producto de funciones
(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
Reglas de derivación
Derivada del cociente de funciones
f(x) ´ f ´(x).g(x) – f(x).g´(x) = g(x) ( g(x) ) 2
EJERCICIODerive la siguiente función:
REGLA DE LA CADENA
Se refiere a la derivada de funciones compuestas.Dada la función fog = f(g(x)) , la regla establece que:
(f o g(f o g )´= ( )´= (f(g(x)))´ = ff(g(x)))´ = f´(g(x)).g´(x).x´´(g(x)).g´(x).x´
EJEMPLO
Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función compuesta viene dada por y = f(g(x)),
La derivada de y con respecto a u viene dada por:
= 12 u2
La derivada de u con respecto a x viene dada por:
= 10 x
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f ´(x). Si f ´(x) es una función entonces si la derivada existe, se denota por f ´´ (x), la cual se llama segunda derivada o derivada segunda de la función f(x)En general la n-ésima derivada de una función viene dada por f n(x).
EJEMPLOEncuentre la tercera derivada de
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En que intervalos la función crece y/o
decrece.
FUNCIÓN CRECIENTE
Una función f definida en algún intervalo se dice que es creciente en dicho intervalo si solo si:
f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2
FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función f definida en algún intervalo se dice que es decreciente en dicho intervalo si solo si:
f(x1) > f(x2) siempre que x1<
x2
TEOREMASea f una función continua en [a,b] y derivable en un
intervalo (a,b) se tiene que:
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
VALOR MAXIMO RELATIVO Se dice que f tiene un máximo relativo
en un punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que
VALOR MINIMO RELATIVO Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto
c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que:
PUNTOS CRITICOS
Si la función f está definida en un punto c, se dirá que c es un número critico de la función f si
f ´(c) = 0 o si f ´ no está definida en c.
OBSERVACIÓN
Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c
TEOREMA
Los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos.
FIN