Download - Der i Vada Direccion Al
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Derivada Direccional Operador NABLA
(
)
Gradiente Dado ( )
(
)
(
)
Divergencia
Dado ( )
(
) ( )
Rotacional
Dado ( )
(
) ( )
||
||
(
)
-
Laplaciano
(
) (
)
(
)
Dado ( )
(
)
(
)
Ecuacin de Laplace
(
)
Derivada Direccional Si es una funcin diferenciable de , la derivada direccional de ( )
en la direccin de es:
( ) ( )
Es la derivada en la direccin de un vector especfico que nos pidan encontrar.
Si es una funcin diferenciable de , la derivada direccional de ( ) en la direccin de es:
( ) ( )
Observacin:
Sea el ngulo entre y el vector unitario en la direccin en la que queremos sacar ( ):
-
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
As, la derivada direccional tiene su mximo valor cuando , es decir,
cuando el gradiente de ( ) y el vector estn en la misma direccin.
Si , es decir si tiene direccin opuesta a pero en la misma recta de accin, la derivada direccional tendr su mnimo valor.
Ejercicios
Sea 2222 zxzyyxu
Determinar:
a) dgrau
b) Ecuacin de Laplace
a) dgrau 2222,, zxzyyx
zyxu
dgrau
222222222 2;2;2 zxzyyx
zzxzyyx
yzxzyyx
x
dgrau = zxy 4( , yx 22 2 , )2zx
dgrau = izxy )4( + jyx )22( 2 + kxz )2(
b) 2222
2
2
2
2
22 2,, zxzyyx
zyxu
2222
2222
2
2222
2
22 2,2,2 zxzyyx
zzxzyyx
yzxzyyx
xu
yu 4(2
, 2 , )2
4y+2+2=0
Sea yzxA 3
i 32zy j xyz2 k
Determinar:
a) div A
b) rot A
-
a) div A
AzAyAxzyx
A ,,,,
div A
xyzz
zyy
yzxx
2323
div A
xyyzyzx 223 32
b) rot A
yzx
x
i
A
3
32
zy
y
j
xyz
z
k
2
rot A
yzxy
zyx
xyzx
yzxz
zyz
xyzy
332332 ,2,2
rot A
),2,32( 3322 zxyzyxzyxz
rot A
= izyxz )32( 22 + jyzyx )2( 3 - kzx )( 3
Ejercicio propuesto:
Si 222222 xzzyyx , V
= ixy )( + jyz )( + kxz )( , calcular:
a) gradrot b) Vrotdiv
a) dgra
dgra 222222222222222222 ,, xzzyyx
zxzzyyx
yxzzyyx
x
dgra = 22 22( xzxy , 22 22 yzyx , )22 22 zxzy
gradrot
22 22
xzxy
x
i
grad
22 22
yzyx
y
j
22 22
zxzy
z
k
gradrot
222222222222 2222,2222,2222 xzxyy
yzyxx
zxzyx
xzxyz
yzyxz
zxzyy
gradrot = )44,44,44( yxyxxzxzzyzy
0
gradrot
222222,, xzzyyxzyx
-
b) Vrot
xy
x
i
V
yz
y
j
xz
z
k
Vrot
xyy
yzx
xzx
xyz
yzz
xzy
,,
Vrot
),,( xzy
Vrotdiv
xzyzyx
Vrot
,,,,
Vrotdiv
xz
zy
yx
Vrotdiv
= 0
Ejercicios
Hallar la derivada direccional de la funcin xyeyxyxf 2)1(),( en (0,1) en la
direccin hacia (-1,3)
uyxfyxfDu
,),(
xyxyxyxy
xy
xeyxyexeyxeyyxf
eyxyx
yxf
232
2
112,1),(
1,),(
)2,0()1,0(
)1,0(1
f
P
)2,1(
)3,1(
21
2
PP
P
5
52,
5
5
5
2,1
21
21
PP
PPu
uyxfyxfDu
,),(
5
52,
5
5)2,0()1,0(fDu
-
554),( yxfDu
Hallar la derivada direccional de la funcin xzyzxyzyxf ),,( en el
punto (1,1,1) y en la direccin del vector )1,1,2( a
uzyxfzyxfDu
,,),,(
xyzxzyzyxf
xzyzxyzyx
zyxf
,,),,(
,,),,(
)2,2,2()1,1,1(
)1,1,1(1
f
P
6114
)1,1,2(
a
a
6
6,
6
6,
3
6
a
au
uzyxfzyxfDu
,,),,(
6
6,
6
6,
3
6)2,2,2()1,1,1(fDu
3
62),,( zyxfDu
Sea yx
xyxf
),( en el punto (3,2). Hallar la derivada direccional mnima
y el u
en esa direccin
uyxfyxfDu
,),(
22,),(
,),(
yx
x
yx
yyxf
yx
x
yxyxf
-
25
3,
25
2)2,3(
)2,3(1
f
P
Si ),( yxfDu es mnima
25
13
25
9
25
4)2,3(
22f
25
13),( min yxfDu
13
133,
13
132
25
13
25
3,
25
2
),(
),(
yxf
yxfu
El cambio de temperaturas correspondientes a los diversos puntos (x, y)
de una placa est dado por 22
),(yx
xyxT
. Hallar la direccin del
mximo aumento de temperatura en el punto (3,4)
uyxfyxfDu
,),(
22222222
22
2,),(
,),(
yx
xy
yx
xyyxf
yx
x
yxyxf
625
24,
625
7)4,3(
)4,3(1
f
P
Si 0 ),( yxfDu es mxima
25
1
625
576
625
49)4,3(
22f
25
1),( min yxfDu
-
24,725
1
25
1625
24,
625
7
),(
),(
yxf
yxfu