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Departamento de Matemáticas
OPERACIONES
CON
VECTORES(incompleto)
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
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Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:
O bien
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SUMA DE VECTORES
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vdesentidov2desentido
v.dirv2.dir
v·2v2
Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:
Si k >0 ( 2 por ej.)
vacontrario)v2(sentido
v.dir)v2(.dir
v·2v2
PRODUCTO DE UN VECTOR ( ) POR UN ESCALAR (k)
v
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Si k < 0 ( -2 por ej.)
v·2 v·2
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PRODUCTOS DE VECTORES
Producto escalar v · w:
Producto mixto: [u,v,w]
Es un número real
Es un vector
Es un número real
Módulo: αsen·w·vwxv
Dirección:
Departamento de Matemáticas
Sentido:El de avance de un sacacorchos que gira de v a w
definido por:
que se obtiene:
αcos·w·vw·v
α
que se obtiene:
[u,v,w] = u ·( v x w)
Producto vectorial v x w (o v w)
v
wα
Perpendicular al plano que contiene a los vectores
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PRODUCTOS DE VECTORES: Expresiones analíticas
Si los vectores están expresados en una base ortonormal,
los productos quedan de la forma:
Producto escalar v · w:
kcjbiav
k´cj´bi´aw
k´´cj´´bi´´au
´c·c´b·b´a·aw·v
Producto vectorial v x w:
Vector cuyas componentes son los coeficientes de que se obtienen al desarrollar el:
kji ,,
c´b´a
cbakji
i j
k
Producto mixto: [u,v,w]
Es el nº que se obtiene al desarrollar el determinante:
´´c´´b´´a
´c´b´a
cba
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PRODUCTOS DE VECTORES: Interpretación geométrica
Producto escalar v · w: Producto vectorial v x w:
A B
w
v
v
w
h
Módulo del vector v x w = Área del paralelogramo que tiene por lados v y w
[u , v, w] = Volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w
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Producto mixto: αcosu·wvw,v,u
Área base Altura
w,vsen·w·vwxv
base altura
w,vcos·w·vw·v
Proyección de w sobre v
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PRODUCTOS DE VECTORES: Propiedades
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Producto escalar:
111 z,y,xu
21
21
21 zyxu·uu
0v·uvuSi
Módulo de
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PRODUCTOS DE VECTORES
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PRODUCTOS DE VECTORES
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Ejercicio nº 1.-a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1, -2, 0).
ejemplo. un Pon ?wvuwvu que cierto ¿Esb)
PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios
Solución:a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, -1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -
5)Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:
30
5,
30
1,
30
2
También cumple las condiciones su opuesto:
30
5,
30
1,
30
2
b) En general, no es cierto. Por ejemplo: 0,1,0w0,0,1v0,0,1u
0,1,01,0,00,0,11,0,0uwvu
0w0wvu
.wvuwvu tanto, Por
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,112u vectores los por odeterminad pedoparalelepí del volumen el Calculaa) ,,
.032wy203v ,,,,
vu,v,uw,v,u2
;
Ejercicio nº 2.-
b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:
PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios
Solución:
absoluto valor al igual es w y v ,u por odeterminad pedoparalelepí del volumen Ela)
de su producto mixto:
3u1717
032
203
112
w,v,u
Volumen
b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:
34172w,v,u2w,v,u2
0vu,v,u
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PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios
sea jic que forma de e hallakj2ibji2a vectores los Dadosyxyx ;;
.a que módulo mismo el tenga yb a larperpendicu
Ejercicio 3.-
0,,c1,2,1b0,1,2a yx�
Solución:
54
2
55ac
020bcbc
222222
yy
yx
yxyx
yx
·
21
21155 22
xy
xyyy
Hay dos soluciones: .0,1,2ca ecorrespond que,1,2
yx
.0,1,2ca ecorrespond que,1,2
yx
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PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios
Ejercicio nº 4.-
siendo: ,wu yvu vectores los por odeterminad amoparalelogr un de área el Halla
10,1,wy110v112u
,,,, ,
Solución:
:wu y vu Calculamos
22,0,vua 111wub ,,
producto su de módulo al igual es b y a por odeterminad amoparalelogr del área El
vectorial:
2,2,41,1,1220ba ,,
2222 u90,4244416224 Área
Ejercicio nº 3.- pide: se ,122w y12,0,v ,10,1,u vectores los Dados ,,
El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.
Solución: Es igual al valor absoluto de su producto mixto:
3u44
122
120
101
w ,v ,u
Volumen
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