Alumno: Frank Uzziel Rodriguez GonzalezProfesor: Roberto R. Gonzalez Castillo
1.1 Definición, Desarrollo y tipos de modelos de
Investigación de Operaciones.
INTRODUCCIÓN
Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los
primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios
militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.
La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la
conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una
organización.
La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución,
(llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.
Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de
operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples
aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema
se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en
los campos apropiados.
La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del
método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o
sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de
la organización.
El objetivo del curso es que el estudiante aprenda a reconocer los problemas tipo
de la Investigación de Operaciones de modo que sepa a qué técnico recurrir en
cada caso, para un adecuado estudio y solución del mismo. Como su nombre lo
indica, la Investigación de Operaciones (IO), o Investigación Operativa, es la
investigación de las operaciones a realizar para el logro óptimo de los objetivos de
un sistema o la mejora del mismo. Esta disciplina brinda y utiliza la metodología
científica en la búsqueda de soluciones óptimas, como apoyo en los procesos de
decisión, en cuanto a lo que se refiere a la toma de decisiones óptimas y en
sistemas que se originan en la vida real. Antecedentes históricos El término IO se
utiliza por primera vez en el año 1939 durante la 2da Guerra Mundial,
específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas
y estratégicas de la defensa aérea, ante la incorporación de un nuevo radar, en
oportunidad de los ataques alemanes a Gran Bretaña. El avance acelerado de la
tecnología militar hace que los ejecutivos y administradores militares británicos
deban recurrir a los científicos, en pos de apoyo y orientación en la planificación
de su defensa.
El éxito de un pequeño grupo de científicos que trabajaron en conjunto con el
ejecutivo militar a cargo de las operaciones en la “línea”, derivó en una mayor
demanda de sus servicios y la extensión del uso de la metodología a USA,
Canadá y Francia entre otros. Sin embargo, el origen de la Investigación Operativa
puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque fue durante
este período que comienzan a originarse los problemas tipo que la Investigación
Operativa trata de resolver.
Definición
La Investigación de Operaciones se ocupa de la toma de decisiones óptima a
partir del modelado y solución de sistemas determinísticos y probabilísticos que se
originan en la vida real.
Estas aplicaciones que ocurren en el gobierno, en los negocios, en las industrias,
en la ingeniería económica y en las ciencias naturales y sociales se caracterizan
en gran parte por la necesidad de asignar escasos recursos. En estas situaciones
se puede obtener un conocimiento profundo del problema a partir del análisis
científico que proporciona la Investigación de Operaciones. El enfoque de la
Investigación de Operaciones proviene principalmente de:
La estructuración de una situación de la vida real como un modelo matemático,
logrando una abstracción de los elementos esenciales para que pueda buscarse
una solución que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones.
El análisis de la estructura de tales situaciones y el desarrollo de procedimientos
sistemáticos para obtenerlas.
El desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática, si es necesario,
que lleva al valor óptimo de la medida que se espera del sistema.
Desarrollo de I.O.
Avance de la Investigación de Operaciones:
Después de la guerra, el éxito de los equipos militares atrajo la atención de
las empresas industriales, quienes buscaban soluciones a sus problemas
complejos.
Aunque Gran Bretaña fue quien inició el estudio de la Investigación de
Operaciones, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo.
La primera técnica matemática aceptada fue el método simplex de
programación lineal, desarrollado en 1947 por el matemático
norteamericano George B. Dantzing.
La Investigación de Operaciones actualmente
En la actualidad el impacto de la investigación de operaciones se nota en
muchas áreas.
Muchas universidades la enseñan en todos los niveles.
Muchas organizaciones que se dedican a dar consultoría están
comprometidas con ella.
Las aplicaciones han ido más allá del ámbito empresarial y militar, para
incluir hospitales, restaurantes, aeropuertos, bancos, bibliotecas,
planeación urbana, sistemas de transporte y estudios de investigación
criminalógica.
El desarrollo de decisión consiste en seleccionar una o varias alternativas o
cursos de acción para minimizar los riesgos de pérdidas financieras.
La toma de decisiones puede hacerse bajo:
Riesgo
Certeza
Conflicto
Incertidumbre
Una toma de decisión bajo completa certeza llamada también determinística, se
caracteriza porque el grupo decisor conoce perfectamente cuál va a ser el estado
de la naturaleza relativo a sus objetivos y por lo tanto selecciona aquella acción
que de acuerdo al criterio del líder logrará acercar más rápido a la meta
preestablecida.
En el caso de riesgo, también conocida como estocástico, no se conoce
perfectamente el estado que adoptará la naturaleza pero se asocia a este una
distribución de probabilidad (discreta, continua), en función de esta última el grupo
decisor selecciona aquella acción que maximiza la esperanza de acercarse a la
meta propuesta.
En el caso conflictivo, los estados de la naturaleza obligan a que el logro de las
metas de un grupo de decisores reduzca simultáneamente las posibilidades de
que otro grupo alcance las suyas.
Cuando hay total incertidumbre se desconoce la verosimilitud asociada a la
ocurrencia de posibles estados de la naturaleza, es decir, no se tiene una idea
sobre la distribución de probabilidad o función de densidad asociada a los
diferentes entornos.
En el caso determinístico, los procesos de decisión, generalmente son dos:
1. Maximizar, utilidades, beneficios
2. Minimizar, costos, tiempo, distancia
Para el caso estocástico, se optimizan (maximizar o minimizar) los valores
esperados correspondientes.
En el conflicto se minimizan las máximas pérdidas, que equivale a maximizar las
mínimas ganancias del oponente, este criterio se utiliza con menor frecuencia.
Cuando existe incertidumbre los procesos de decisión que pueden presentarse
son:
Maximizar la mínima ganancia
Minimizar la máxima pérdida
Coeficiente optimista-pesimista
Minimizar el arrepentimiento máximo
Estrategias mixtas
Tipos de modelos de I.O.
Un modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad, o
también, un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. Dentro de la
Investigación de Operaciones los tipos de modelos generalmente son numéricos.
Los tipos de modelos son:
Icónicos
Analógicos
Matemáticos
Un modelo icónico es una representación de la realidad pero a diferente escala, ya
sea aumentada o disminuida, por ejemplo:
Una maqueta
Un mapa
La representación de la célula
Los modelos analógicos generalmente requieren la sustitución de una propiedad
por otra con el fin de permitir la manipulación del modelo, después de resolver el
problema la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original, por ejemplo:
Un sistema de redes eléctricas se pude utilizar en forma análoga para un sistema
de transporte vial
El sistema lógico de la inteligencia humana se utiliza en forma análoga para la
operación de un programa de computadoras.
Los modelos simbólicos o matemáticos emplean un conjunto de símbolos
matemáticos y funciones para representar las variables de decisión y sus
relaciones para describir el comportamiento del sistema. La solución de problemas
se obtiene aplicando técnicas matemáticas, como programación lineal.
En investigación de operaciones los modelos casi siempre son matemáticos y por
consiguiente son aproximaciones a la realidad, por ejemplo:
La ecuación general de la línea recta: y=mx + b
La cantidad óptima en compra de inventarios
La ecuación básica en contabilidad: A= P + C
1.2 Fases de estudio de I.O.
¿En qué consiste un estudio de Investigación de Operaciones?
Un estudio de Investigación de Operaciones consiste en construir un modelo de un
sistema de la vida real, existente o no existente.
Si el sistema existe, el objetivo será analizar el comportamiento de éste a fin de
mejorar su funcionamiento.
Si el sistema no existe, el objetivo será encontrar la mejor estructura del sistema
futuro.
El arte de modelar en la Investigación de Operaciones
La estructura de los modelos matemáticos:
1. Variables de decisión.
Son las incógnitas que deben determinarse con la solución del modelo.
Ejemplo:
X1= Número de unidades a producir en el primer turno
X2=Número de unidades a producir en el segundo turno
2. Restricciones.
Para tomar en cuenta las limitaciones físicas del sistema, el modelo debe incluir
restricciones que limitan las variables de decisión a valores factibles (permisibles)
X1 + X2 ≤ 200
3. Función objetivo
Define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de sus
variables de decisión.
Por ejemplo, si el objetivo del sistema es maximizar el beneficio total, la función
objetivo debe especificar el beneficio en función de las variables de decisión.
Ejemplo: Maximizar Z=5X1 + 7X2
PASOS:
1. Definición del problema
A. Definir el objetivo del estudio
B. Reconocimiento de las restricciones y variables del sistema.
2. Construcción del modelo
A. Modelo matemático
B. Modelo de simulación. Se usa cuando las relaciones matemáticas son muy
complejas.
3. Solución del modelo
A. Si el modelo es matemático se usará alguna técnica de optimización bien
definida, produciendo el modelo una solución óptima.
B. Si el modelo es de simulación se buscarán alternativas para mejorar el
desempeño del sistema.
Se deberá realizar un análisis de sensibilidad cambiando ciertos parámetros del
sistema.
4. Validación del modelo
Un modelo es válido si puede dar una predicción confiable del funcionamiento del
sistema. Para probar la validez de un modelo se comparan los resultados del
modelo con datos históricos del sistema real.
5. Implantación de resultados finales.
1.3 Principales aplicaciones de la I.O.
Los modelos para la solución de problemas se pueden agrupar en distintas
formas, las más importantes son:
1. Problemas estocásticos o probabilísticos: son útiles al tener que enfrentarse a
un ambiente incierto, la estadística de Bayes desarrolla un método poderoso para
tomar decisiones cuando se tiene información limitada.
2. Pronósticos: es una responsabilidad ineludible de la gerencia el pronosticar,
enfrentando a la incertidumbre respecto al futuro, la conducta pasada como un
indicador de lo que va a venir. Dentro de los temas que ven pronósticos se tienen:
Promedios simples
Promedios móviles
Promedios dobles
Suavización exponencial
Regresión
Correlación
Tendencia
3. Modelos de inventarios: ayudan al control de los costos totales de inventarios,
estos enfoque pueden reducir el costo total de compra, de almacenar, de llevar el
inventario y quedarse sin él, también analiza y evalúa los descuentos ofrecidos por
proveedores, así como la compra de artículos múltiples a un mismo proveedor.
4. Programación lineal: es de valor cuando se debe de escoger entre alternativas
numerosas para evaluarlas con los métodos convencionales. Al usar la
programación lineal, se pueden determinar combinaciones óptimas de los recursos
de una firma para alcanzar ciertos objetivos.
5. Problemas de asignación y transporte: son los enfoques útiles cuando la
gerencia se enfrenta a problemas que tienen que ver con la mejor alternativa de
distribución o el método óptimo de asignar operarios a las máquinas, etc.
6. Teoría de redes: permite a los gerentes hacer frente a las complejidades
involucradas en los grandes proyectos, el uso de esta técnica ha disminuido
notablemente el tiempo necesario para planear y producir productos complejos,
las técnicas más usuales son:
PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos)
CPM (Método de la Ruta Crítica)
PERT/COSTO (Técnica de programación con limitación de recursos tanto en costo
como en tiempo)
7. Teoría de colas o líneas de espera: estudia las llegadas aleatorias a una
estación de servicio o proceso de capacidad limitada, los modelos le permiten a la
gerencia calcular a futuro las longitudes de las líneas de espera, el tiempo
promedio gastado en la línea por una persona que espera el servicio y la
necesidad de agregar estaciones de servicio. Esta técnica se estudia
primeramente mediante el uso de fórmulas y posteriormente por simulación con
computadora.
1.4 Metodología para modelación, investigación de
operaciones.
La modelación
Es el proceso completo de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo y
tiene como resultado un modelo matemático del sistema real bajo estudio. Incluye
actividades como la definición del sistema y la determinación de sus fronteras, la
identificación de las actividades más importantes para el logro del objetivo, es
decir la conceptualización del sistema simplificado y finalmente la elaboración del
modelo.
Es quizás la parte más importante de la Investigación de Operaciones y se le
considera como una mezcla de arte y de ciencia. La modelación no puede
enseñarse, sino motivarse, se aprende con la práctica y con la experimentación.
Puede dividirse en dos fases: Subjetiva y la objetiva. La parte subjetiva consiste en
la definición del sistema supuesto o simplificado. Mientras que la objetiva es
la construcción del modelo a partir del sistema simplificado.
La formulación
Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir el sistema
simplificado en un modelo cuantitativo que lo describa. En esta sección
ahondaremos un poco en la actividad de formulación, para lo cual supondremos
que ya se realizó la étapa previa que nos permitió definir el sistema simplificado.
Debe tenerse en cuenta que en la vida profesional el estudiante si se vera
afrontado a la necesidad de derivar sus propios sistemas supuestos, a partir de los
problemas reales que se le presenten. El éxito obtenido dependerá de factores
tales como su capacitación general, su habilidad y experiencia en la modelación y
la comprensión que tenga del área particular del problema a modelar.
Una buena metodología para construir modelos matemáticos de los problemas, a
partir del problema simplificado (problema supuesto), parece ser la siguiente:
Leer atentamente el enunciado de la situación con el fin de comprender sus
principales características. Como resultado de la lectura estaremos en capacidad
de realizar los dos pasos siguientes.
Organizar en cuadros o tablas toda la información cuantitativa que suministra el
enunciado del problema.
De esta manera será más fácil identificar, interpretar y utilizar la información.
Debe prestarse especial atención a las unidades de todos los datos utilizados.
Dibujar un esquema de la situación.
Este nos permitirá visualizar y comprender mejor las características del problema.
En especial el diagrama es útil para llevar a cabo los tres pasos siguientes.
Identificar los elementos del problema.
Los elementos son las entradas (recursos), las salidas (productos) y las
actividades (variables de decisión) del proceso al cual se reduce el problema. La
grafica o esquema del paso tres, es de gran ayuda en esta tarea.
Las actividades son las que convierten una o más entradas en una o más salidas.
La esencia del problema de P.L. es la determinación del sub conjunto de
actividades que deben llevarse a cabo para optimizar el logro del objetivo.
Expresar el objetivo relacionado con el problema, indicando las unidades en las
cuales se medirá.
Recordemos que en los problemas de programación lineal el objetivo será
maximizar o minimizar alguna medida de eficiencia, que puede ser un costo,
un tiempo, una probabilidad, un número de personas o de elementos, etc. En
todos los casos se deben dar explícitamente las unidades de medición.
Definir las variables de decisión.
A cada una de las actividades que pueden realizarse se le asocia una variable que
indicara el nivel o medida de su ejecución. Por ejemplo, si una actividad es fabricar
el producto P3, entonces al asociarle v. gr. la variable de decisión X3, definiremos
esta como el número de productos P3 que se deben fabricar.
En algunos problemas las variables de decisión se pueden tomar en más de una
forma posible. Una buena guía para determinar la más conveniente es buscar que
las variables correspondan a aquellas actividades que permiten medir el grado de
logro de la función objetivo.
Formular la función del objetivo y las funciones de las restricciones del modelo
matemático.
Teniendo una correcta comprensión del objetivo y definidas las variables que
cuantifican las actividades que conforman el proceso, podemos escribir una
función matemática que mida el logro del objetivo. Es la expresión que nos
permitirá conocer la eficiencia de la decisión que se tome.
1.5 Formulación de problemas lineales
La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los
recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas
deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).
La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el
objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite multiplicación de variables
ni variables elevadas a potencias). Algunas de las siguientes restricciones no se
pueden emplear en un modelo de programación lineal.
Un modelo de programación lineal se define usualmente como sigue:
Maximizar o minimizar
Sujeto a:
EJEMPLO 1.
Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles,
durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han
vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos.
Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo
disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas.
Los precios de los modelos son 120 dls. y 80 dls., respectivamente. ¿Cuántos
biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
OBJETIVO : Maximizar el ingreso por ventas
RESTRICCIONES : Unidades de madera
Tiempo disponible
VARIABLE DE DECISION:
X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar
X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar
Maximizar
Sujeto a:
PROBLEMA 2
Una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pago
de impuestos y también auditorías en empresas pequeñas. El interés es saber
cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera
que obtengan los máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo
y dirección y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40
horas de trabajo directo y dirección y 10 horas de revisión, además aporta un
ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuestos requiere de 8 horas de trabajo
directo y dirección y 5 horas de revisión y produce un ingreso de 100 dls. Se
pueden realizar tantas auditorías como se desee, pero el máximo de liquidaciones
mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar los ingresos totales
VARIABLE DE DECISION:
X1 = Cantidad de auditorías
X2 = Cantidad de liquidaciones
RESTRICCIONES : Tiempo disponible para trabajo directo
Tiempo disponible para trabajo de revisión
Número máximo de liquidaciones
Maximizar
Sujeto a:
PROBLEMA 3
Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una
combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res
contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por
libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60
centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda
por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener
el contenido de grasa no mayor de 25 %?
OBJETIVO : Minimizar el costo
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de carne de res. (X1).
Cantidad de carne de cerdo (X2).
RESTRICCIONES : Contenido de grasa no mayor de 25 %
Contenido de carne molida a producir
Minimizar
Sujeto a:
PROBLEMA 4
Formule una dieta para pollos. Suponga que el lote diaria requerido de la mezcla
son 100 lbs. La dieta debe contener:
1.- Al menos 0.8 % pero no más de 1.2 % de calcio
2.- Al menos 22 % de proteínas
3.- a lo más 5 % de fibras crudas
Suponga, además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya
y caliza. El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación.
LIBRAS POR LIBRA DE INGREDIENTE
Ingrediente Calcio Proteína Fibra Costo($) por
libra
Caliza .380 .00 .00 .0164
Maíz .001 .09 .02 .0463
Soya .002 .50 .08 .1250
Minimice el costo total para la dieta, determinando la cantidad de cada ingrediente
que debe utilizarse.
OBJETIVO : Minimizar el costo total de la dieta (100 lbs.)
VARIABLE DE DECISION: Contenido de caliza. (X1).
Contenido de maíz (X2).
Contenido de soya (X3).
RESTRICCIONES : Contenidos nutritivos (4 restricciones).
Contenido de la mezcla de 100 lbs. (1 restricción)
Minimizar
Sujeto a:
PROBLEMA 5
Una compañía distribuidora de agua tiene 3 depósitos con entrada diaria estimada
de 15, 20 y 25 millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que
abastecer 4 áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10,
12 y 15 millones de litros de agua, respectivamente. El costo de bombeo por millón
de litros de agua es como sigue:
DEPÓSITO ÁREA
A B C D
1 2 3 4 5
2 3 2 5 2
3 4 1 2 3
Minimice el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas.
OBJETIVO : Minimizar el costo total de suministro de agua de los depósitos a las
áreas.
VARIABLES DE DECISION: Cantidad de agua que se envía de cada depósito a
cada área.
RESTRICCIONES : Entradas de agua disponible. (3 restricciones)
Necesidades de agua de las áreas. (4 restricciones)
Minimizar
Sujeto a:
1.6 Conceptos del Método gráfico y su aplicación.
El método gráfico es una forma fácil y rápida para la solución de problemas de
Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para
modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible.
Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas
y función objetivo objetivo.
Los pasos necesarios para realizar el método son:
hallar las restricciones del problema
Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles.
sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de
una línea recta.
trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en
cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo
define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes
y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el
área correspondiente
el espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible
Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que
satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.
Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la
asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en
la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta
la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de
minimización la solución optima es el primer punto factible que toque la función Z,
y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de
los puntos factibles que toque la función Z
Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, multiples
soluciones, solución no acotada y no factible, a continuación hay un ejemplo de
cada caso, en el cual se puede observar la comparación de la solución obtenida
con el método grafico, y la solución obtenida con el método simplex.