Download - Curs 02 Cfdp
Metoda Elementului Finitcurs
SL. Dr. Ing. Crișan Andreidep. de Construcții Metalice și Mecanica Construcțiilor
Universitatea POLITEHNICA Timiș[email protected]
2014 - 2015
Curs 2Matematică și mecanică
• Matematică:– Matrice
– Operații cu matrice
• Mecanică:– Eforturi unitare
– Deformații specifice
– Relații între eforturi și deformații
• Forma matricială a ecuațiilor folosite în mecanică
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice– Ce este o matrice?
– o matrice este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice
– matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m x n)
– elementele matricei: ai,j
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – cazuri particulare
– Matrice linie
– Matrice coloana
– Matrice pătratică
– Matrice nulă (toate elementele sunt ”0”)
– Matricea unitate
Transpusa
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Înmulțirea cu un scalar
– Adunarea matricelor
• 2 matrici se pot aduna doar dacă au același număr de linii și de coloane
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Transpusa unei matrice
– Dacă A = tA atunci matricea A este simetrică
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Înmulțirea matricelor
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Determinantul unei matrice
– Matricea trebuie să fie pătratică
– Matricea pătratică de 2 x 2
– Matricea pătratică de 3 x 3
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Determinantul unei matrice
– Matricea trebuie să fie pătratică
– Matricea pătratică de 2 x 2
– Matricea pătratică de 3 x 3
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Matricea pătratică de 4 x 4 ?
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑𝑒 𝑓 𝑔 ℎ𝑖 𝑗 𝑘 𝑙𝑚 𝑛 𝑜 𝑝
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Matricea singulară
Det(A) = 0
– Matricea nesingulară
Det(A) ≠ 0
– Inversa unei matrice
A × A-1 = A-1 × A = I
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Opțiuni de calcul a inversei unei matrice
• Folosind adjuncta unei matrice
• Folosind matricea extinsă
transformând [ A | I ] în [ I | A-1 ]
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Opțiuni de calcul a inversei unei matrice
• Folosind adjuncta unei matrice
• Adjuncta unei matrice
𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
𝑎 𝑑 𝑔𝑏 𝑒 ℎ𝑐 𝑓 𝑖
transpusa𝑒 ℎ𝑓 𝑖
𝑏 ℎ𝑐 𝑖
𝑒 ℎ𝑓 𝑖
𝑑 𝑔𝑓 𝑖
𝑎 𝑔𝑐 𝑖
𝑎 𝑑𝑐 𝑓
𝑑 𝑔𝑒 ℎ
𝑎 𝑔𝑐 𝑖
𝑎 𝑑𝑏 𝑒
adjuncta
(-1)i+j
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Opțiuni de calcul a inversei unei matrice
• Folosind matricea extinsă
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– La ce folosesc matricele și operațiile cu matrice?
– Rezolvarea sistemelor de ecuații
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – operații cu matrice– Rezolvarea sistemelor de ecuații
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer
Δ =
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
Dacă Δ ≠ 0
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)
Δ =2 3−1 1
= 2 + 3 = 5
Δ𝑥1 =4 35 1
= 4 − 15 = −11
Δ𝑥2 =2 4−1 5
= 10 + 4 = 14
𝑥1 =Δ𝑥1Δ
=−11
5= −2.2
𝑥2 =Δ𝑥2Δ
=14
5= 2.8 Verificare !!!
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)
• Metoda transformărilor elementare (Metoda eliminării GAUSS):
Metoda transformărilor elementare este de fapt procedeul de reducere a necunoscutelor, scris, eventual, sub formă matriceală. În cazul sistemelor de douăecuaţii cu două necunoscute, această metodă este de fapt metoda reducerii.
Există 3 tipuri de transformări elementare
– Schimbarea a două ecuaţii;
– Înmulţirea unei ecuaţii cu un scalar nenul;
– Adunarea unei ecuaţii înmulţite cu un scalar la o altă ecuaţie.
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)
• Metoda GAUSS (Exemplu numeric 1):
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)
• Metoda GAUSS (Exemplu numeric):
Curs 2Matematică și mecanică
• Matrice – Rezolvarea sistemelor de ecuații– Metode de rezolvare a sistemelor liniare
• Metoda lui Cramer (Exemplu numeric)
• Metoda GAUSS (Exemplu numeric):
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Efort unitar
• Efort unitar normal – σ
• Efor unitar tangențial – τ
unde (i și j = 1, 2, 3)
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Efort unitar
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Efort unitar
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Efort unitar
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Deformație unitară
𝜀 =1
𝐸𝜎
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Deformație unitară
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Deformație unitară
𝜀𝑡𝑟 = 𝜀𝑦 =−𝑣 ∙ 𝜀𝑥
𝜀𝑡𝑟 = 𝜀𝑧 = −𝑣 ∙ 𝜀𝑥
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Deformație unitară
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Deformație unitară (Legea lui Hook în 3D)
• Efort axial pe axa X
• Efort axial pe axa Y
• Efort axial pe axa Z
• Efort tangențial
𝜀 =1
𝐸𝜎 𝛾 =
1
𝐺𝜏
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Relația matricială între deformație specifică și efortul unitar
𝜀𝑥 =1
𝐸𝜎𝑥𝑥 −
𝜈
𝐸𝜎𝑦𝑦 −
𝜈
𝐸𝜎𝑧𝑧
Initial
x
z
y
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Relația matricială între deformație specifică și efortul unitar
𝜀𝑥 =1
𝐸𝜎𝑥𝑥 −
𝜈
𝐸𝜎𝑦𝑦 −
𝜈
𝐸𝜎𝑧𝑧
x
z
yInitial
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Relația matricială între deformație specifică și efortul unitar
𝜀𝑥 =1
𝐸𝜎𝑥𝑥 −
𝜈
𝐸𝜎𝑦𝑦 −
𝜈
𝐸𝜎𝑧𝑧
x
z
yInitial
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Relația matricială între deformație specifică și efortul unitar
𝜀𝑥 =1
𝐸𝜎𝑥𝑥 −
𝜈
𝐸𝜎𝑦𝑦 −
𝜈
𝐸𝜎𝑧𝑧
x
z
y
Final
Initial
Curs 2Matematică și mecanică
• Mecanică– Relația matricială forță și deplasare
𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹
Deformații (ε, γ)
Efort unitar (σ, τ)
Flexibilitatea (1/E, 1/G)
Curs 2Matematică și mecanică
• MEF– Relația matricială forță și deplasare
𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹
Deplasare nodală
Forța nodală
Flexibilitatea elementului
𝐹 = 𝐾 ∙ 𝐷
Rigiditatea elementului
Deplasare nodală
Forța nodală
Curs 2Matematică și mecanică
• MEF– Relația matricială forță și deplasare
𝐷 = 𝐾−1 ∙ 𝐹
Deplasare nodală
Forța nodală
Flexibilitatea elementului
Curs 2Matematică și mecanică
• MEF (exemplu)– Relația matricială forță și deplasare – Exemplu
y
x
Forte exterioare
Deplasari nodaleMatricea de rigiditate
Curs 2Matematică și mecanică
• MEF (exemplu)– Relația matricială forță și deplasare – Exemplu
y
x