Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
1
CUESTIONES INICIALES de la página 302
1. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [0, 3] y [3, 6] para cada una de las siguientes funciones:
a) f1 (x) = 2x c) f3 (x) = x2
b) f2 (x) = 2x + 3 d) f4 (x) = 2x
Las soluciones aparecen en la tabla.
[0, 3] [3, 6]
a) f1 (x) = 2x 2 2
b) f2 (x) = 2x + 3 2 2
c) f3 (x) = x2 3 9
d) f4 (x) = 2x 33,2
37= 67,18
356
=
2. Calcula los siguientes límites:
a) f (x) = 3x2 - 2; h
fhflímh
)1()1(0
−+→
b) 2
2)(−
=x
xxg ; h
xghxglímh
)()(0
−+→
El valor de los límites es:
a) 6)1()1(0
=−+
→ hfhflím
h
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2
b) 20 )2(4)()(−
−=−+
→ xhxghxglím
h
3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (- 2, 3) y su pendiente vale
31
− . Halla la perpendicular a esta recta en el punto P.
La ecuación de la recta que pasa por P (- 2, 3) y con pendiente 31
− es x +3y = 7.
La ecuación de la recta perpendicular a la anterior en P (- 2, 3) es 3x – y = - 9.
4. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 – 4x + 6 en el punto P (0, 6).
La ecuación de la recta tangente a y = 2x2 – 4x + 6 en el punto P (0, 6) es 4x + y = 6.
ACTIVIDADES de la página 304
1. Un paracaidista se lanza desde un avión. Después de caer libremente durante 6 segundos, abre el paracaídas. El espacio recorrido por el paracaidista con respecto al tiempo puede verse en la tabla. Calcula la velocidad media en los intervalos [0, 2], [2, 4] y [4, 6].
Las velocidades medidas pedidas son:
vm [0, 2] = 9,8 m/s vm [2, 4] = 29,4 m/s vm [4, 6] = 49 m/s
Tiempo (s) 1 2 3 4 5 6
Espacio (m) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5 176,4
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3
ACTIVIDADES de la página 305
2. La trayectoria de un cohete se ajusta a la función e(t) = 560 + 19,6 · t2 siendo e(t) el espacio en metros y t el tiempo en segundos. Halla:
a) La tasa de variación media entre los instantes t = 1 y t= 3.
b) La tasa de variación instantánea en t = 3. ¿Qué representa el número que obtienes?
a) La tasa de variación media entre los instantes 1 y 3 vale 78,4 m/s.
b) La tasa de variación instantánea en el instante t = 3 vale 117,6 m/s. Este número representa la velocidad del cohete a los 3 segundos.
ACTIVIDADES de la página 306
3. La ecuación del espacio, e (en metros), que recorre un móvil en función el tiempo, t (en segundos), es e(t) = 2t + 5t2 . Calcula la velocidad de dicho móvil en los instantes t = 3, t = 5 y t = 10.
La velocidad del móvil en t=3 es: 32 m/s
La velocidad del móvil en t=5 es: 52 m/s
La velocidad del móvil en t=10 es: 102 m/s
4. Determina las derivadas en los puntos que se indican para cada una de las siguientes funciones:
a) ( )223)( −= xxf D [f(-1)] ; f ´(0)
b) 1
)(−
=x
xxg D [g(2)] ; g ´(- 2)
c) 32)( += xxj D [j(-1)] ; j ´(3)
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4
Las derivadas pedidas serían:
a) D [f(-1)] = ( ) 302553lim)1()1( 2
00−=
−−=
−−+−→→ h
hh
fhflímhh
f ´(0) = ( ) 12423lim)0()0( 2
00−=
−−=
−+→→ h
hh
fhflímhh
Del mismo modo que el apartado anterior obtenemos:
b) D [g(2)] = - 1; g ´(-2) = 91−
c) D [j(-1)] = 1; j ´(3) = 31
ACTIVIDADES de la página 309
5. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1
2)(+
=x
xf en el punto de abscisa 1. ¿Qué
ángulo forma esta recta tangente con el eje de abscisas?
La recta tangente en el punto P (1, 1) tiene de pendiente m = f ´(1) = - 1/2. Su ecuación es: x + 2 y = 3.
Con el eje de abscisas forma un ángulo cuya tangente es -1/2; tg a = -1/2; a = 153º 26´6´´
6. ¿En qué punto de la gráfica de la función 13)( 3 +−= xxxf , la recta tangente tiene de pendiente 9?
Las rectas tangentes a esa función tienen de pendientes f ´(x) = 3x2 – 3. Para que la pendiente sea 9, se debe verificar que: 3x2 – 3 = 9; de donde x = 2 o x = -2
Los puntos son: P (2, 3) y Q (- 2, -1).
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5
7. Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf =)( que es paralela a la recta x – 2y = 0.
La recta dada tiene de pendiente 1/2
Para que la recta tangente sea paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente. Se debe verificar que: f ´(x ) = 1/2.
La gráfica de esta función tiene una recta tangente paralela a la recta dada en el punto: P (1, 1) y su ecuación es x - 2y + 1 = 0.
Todo lo anterior puede verse en la gráfica.
121
21)(´ =⇒== x
xxf
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6
ACTIVIDADES de la página 310
8. Dada la función f (x) = x3 – 3x2:
a) Haciendo uso de la definición de derivada, halla sus dos primeras derivadas.
b) Representa, en el mismo diagrama cartesiano, la función y su primera derivada.
c) Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto de abscisa x0 = 0.
a) xxh
xxhxhxlímh
xfhxflímxfhh
63)3()(3)()()()(´ 22323
00−=
−−+−+=
−+=
→→
66)63()(6)(3)(´)(´)(´´222
00−=
−−+−+=
−+=
→→x
hxxhxhxlím
hxfhxflímxf
hh
b) La gráfica de la función y = f(x) puede verse en color rojo y la gráfica de su derivada en color azul.
c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto P(0, 0) tiene por pendiente f ´ (0) = 0 y por ecuación y = 0.
La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto P(0, 0), al ser perpendicular a la recta tangente, es x = 0.
ACTIVIDADES de la página 311
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9. Dada la función x
xf 2)( = , calcula sus cuatro primeras derivadas.
Las derivadas pedidas son:
2
2)(´x
xf −=
3
4)(´´x
xf = 4
12)(´´´x
xf −=
5
48)(´´´´x
xf =
10. Dada la función 3)( 2 += xxf :
a) Determina su función derivada y D [f(1)].
b) Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de esa función en el punto de abscisa (- 1).
a) La función derivada es f ´(x) = 32 +x
x. El valor pedido es D [f (1)] = 1/2.
b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto P (- 1, 2) tiene por pendiente f ´ (-1) = -1/2 y por ecuación x + 2y – 3 = 0
La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función dada en el punto P (- 1, 2) al ser perpendicular a la recta tangente tiene por pendiente m = 2 y su ecuación es 2x – y + 4 = 0
11. En la gráfica de la figura hemos representado la función 34 4)( xxxf −= y dos de sus rectas tangentes en dos puntos.
Halla D [f (- 1)]; f ´ (3) y encuentra las ecuaciones de las rectas normales en los dos puntos de tangencia.
Obtenemos:
D [f (- 1)] = - 16 y f ´ (3) = 0.
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La recta normal en el punto A (- 1, 5) tiene por ecuación:
x – 16 y + 81 = 0.
La recta normal en el punto B (3, - 27) tiene por ecuación:
x - 3 = 0.
ACTIVIDADES de la página 312
12. Sean las funciones f (x) = x3 – 3x2, g (x) = 5x2 + 4 y sus derivadas f ´ (x) = 3x2 – 6x, g ´ (x) = 10x, halla las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) + g (x) c) f (x) – g (x) e) 3 · f (x) – 2 · g (x)
b) (- 1) · g (x) d) 5 · g (x) f) f (x) · g (x)
Las derivadas son:
a) D [f (x) + g (x)] = D [f (x)] + D [g (x)] = 3x2 + 4x
b) D [(-1) · g (x)] = (-1) · D [g (x)] = - 10x
c) D [f (x) - g (x)] = D [f (x)] – D [g (x)] = 3x2 - 16x
d) D [5 · g (x)] = 5· D [g (x)] = 50x
e) D [3 · f (x) – 2 · g (x)] = 3 · D [f(x)] – 2 · D [g (x)] = 9x2 – 38 x
f) D [f (x) · g (x)] = D [f (x)] · g(x) + D [g(x)] · f (x) = 25x4 - 60 x3 + 12x2 - 24x
ACTIVIDADES de la página 313
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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13. Dadas las funciones f (x) = x2 – 2x, g (x) = x3, y sabiendo que f ´ (x) = 2x - 2, g ´ (x) = 3x2, halla las derivadas de las siguientes funciones:
a) )()(
xgxf b)
)()(
xfxg c) (g o f) (x) d) (f o g) (x)
Las derivadas son:
a) [ ] [ ][ ] 32
4)(
)(·)()(·)()()(
xx
xgxfxgDxgxfD
xgxfD −
=−
=
b) [ ] [ ][ ] ( )2
2
2 24
)()(·)()(·)(
)()(
−−
=−
=
xxx
xfxgxfDxfxgD
xfxgD
c) ( )[ ] ( )[ ] [ ] )66(·)2()(·)()( 22 −−== xxxxfDxfgDxfogD
d) ( )[ ] ( )[ ] [ ] )66()(·)()( 25 xxxgDxgfDxgofD −==
ACTIVIDADES de la página 314
14. Halla las derivadas siguientes:
a) D [4x3-5x+1] d) [ ]252 xD − g) D [ln (1 - 6x2)]
b) D [(3x2 – 4)2] e) D [e3x – 2x4] h) D [4 · ln (1 + x4)2]
c) [ ]3 3 322 +xD f)
x
xD4
4
i)
+ 12
2lnx
xD
Las derivadas son:
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a) D [4x3 - 5x + 1] = 12x2 - 5
b) D [(3x2 – 4)2] = 36x3 – 48x
c) [ ]3 3 322 +xD = ( )3 23
2
32
4
+x
x
d) [ ]252 xD − = )10·(2·ln225 xx −−
e) D [e3x – 2x4] = 3e3x – 8x3
f)
x
xD4
4
= x
xx4
4ln4 43 −
g) D [ln (1 - 6x2)] = 26112
xx
−−
h) D [4 · ln (1 + x4)2] = 4
3
132
xx
+
i)
+ 12
2lnx
xD = xx +22
1
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ACTIVIDADES de la página 315
15. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = sen 2x3 e) f (x) = 3 cos x i) f (x) = tg ex
b) f (x) = 3 · sen x f) f (x) = cos2 (3x) j) f (x) = tg2 x3
c) ( )3xf x sen = −
g) f (x) = cos
2x k) ( )
4xf x tg π =
d) f (x) = π · sen ( )4x π+ h) f (x) = 2 ·cos x4 l) f (x) = 4 tg ( )π+x2
Las derivadas son:
a) f ´ (x) = 6x2 · cos 2x3
b) f ´ (x) = 3 cos x
c) f ´ (x) =
−
−
3cos·
31 x
d) f ´ (x) = 4π · cos (4x + π)
e) f ´ (x) = - 3 sen x
f) f ´ (x) = - 6 · sen (3x) · cos (3x)
g) f ´(x) =
−
2·
21 xsen
h) f ´ (x) = - 8x3 · sen x4
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
12
i) f ´ (x) = x
x
ee
2cos
j) f ´ (x) = 32
32
cos·6
xxtgx
k) f ´ (x) =
4cos
42 xπ
π
l) f ´ (x) = ( )π+x2cos8
2
ACTIVIDADES de la página 319
1. Escaleras mecánicas. Dos amigos tienen la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del metro mientras funciona. El primero de los amigos sube 20 escaleras con su paso y tarda 60 s exactamente y el segundo tarda en subir 16 escalones con su paso, 72 s. Un día la escalera no funciona, ¿cuántos escalones tiene la escalera?
Sea x el número de peldaños desconocidos. Cuando toma el primer amigo la escalera, ésta recorre x – 20 escalones en 60 segundos, mientras que con el segundo amigo recorre x – 16 escalones en 72 segundos.
Por tanto, en 12 segundos recorre en el primer caso 5
20−x mientras que en el segundo son
616−x
.
Ambas expresiones son iguales y resolviendo la ecuación resultante:
40801205680512066
165
20=⇒−=−⇒−=−⇒
−=
− xxxxxxx
La escalera tiene 40 escalones.
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2. El cristal. En una familia de 5 hermanos uno de ellos ha roto un cristal. Juan dice: “Ha sido Hugo o Tomás”; Hugo dice: “No hemos sido ni Esteban ni yo”; Tomás dice: “Los dos están mintiendo”; David dice: “No, uno está diciendo la verdad pero el otro no”; Esteban dice: “No, David, eso no es verdad”.
El padre, que es sincero, dice que 3 de sus hijos siempre dicen la verdad, pero que los otros dos no son de fiar. ¿Quién rompió el cristal?
Utilizamos la notación: M significa que miente y V que dice la verdad.
Recogemos toda la información en la tabla que sigue.
Si el que ha roto el cristal ha sido
Juan Hugo Tomás David Esteban
Juan M V V M M
Hugo V M V V M
Tomás M M M M V
David V V M V M
Esteban M M V M V
La única columna en la que aparecen 3 V es la de Tomás, Así pues, Tomás es el que rompió el cristal.
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3. Triángulo espacial. Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un cuadrado. Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra en el dibujo.
a) Calcula la medida del ángulo inferior derecho del triángulo sombreado.
b) Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua el área del triángulo sombreado.
a) El triángulo ABC es isósceles porque AB y BC miden lo mismo. Ambos lados son iguales por construcción:
Su ángulo B está formado como suma del ángulo recto del cuadrado y el ángulo del triángulo equilátero, por tanto, mide 90º + 60º = 150º.
Si llamamos α al ángulo del triángulo ABC, teniendo en cuenta que al ser isósceles ambos son iguales, tenemos que:
2α + 150º = 180º ⇒ 2α = 180º – 150º ⇒ α = 30º : 2 = 15º
El ángulo buscado es complementario de α y mide 90º - 15º = 75º.
b) Para calcular el área del triángulo sombreado necesitamos conocer su altura ya que la base es el lado a del cuadrado. Dicha altura es la suma del lado del cuadrado y la altura del triángulo equilátero de lado a.
La altura, h, del triángulo equilátero de lado a (teorema de Pitágoras) es:
cmahahaahaah23
43
42
222
222 =⇒=⇒−=⇒
−=
La altura, H, del triángulo sombreado es aaH23
+= , es decir, cmaH2
32 += .
El área del triángulo sombreado es:
222 93,04
322
32··21 cmaAaAaaA ≈⇒
+=⇒
+=
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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4. Idiomas. En un centro de 800 alumnos, sabemos que 460 estudian inglés, 280 francés, 260 alemán, 150 estudian francés e inglés, 50 estudian francés y alemán, 80 estudian inglés y alemán y 30 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos no estudian ninguno de estos tres idiomas? ¿Cuántos estudian solo alemán?
Debemos saber que el número de elementos del conjunto BA ∪ , es decir, del conjunto de los elementos que está en A o en B es:
)(º)(º)(º)(º BAnBnAnBAn ∩−+=∪
siendo BA ∩ el conjunto de los elementos que están en A y en B.
Para tres conjuntos A, B y C se obtiene, de forma análoga:
=∪∪ )(º CBAn
)(º)(º)(º)(º)(º)(º)(º CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++=
En nuestro caso, el número de alumnos que estudian algún idioma, es decir, inglés (I), francés (F) o alemán (A) es:
=∪∪ )(º AFIn 460 + 280 + 260 – 150 – 50 – 80 + 30 = 1000 – 280 + 30 = 750
Por tanto, el número de alumnos que no estudian ninguno de los tres idiomas es:
800 – 750 = 50
Ver el esquema:
Como vemos en el dibujo hay 160 alumnos que solo estudian alemán.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
16
MATEMÁTICAS de la página 320
1. Halla las derivadas de las siguientes funciones:
a) 2
32)(
+−
=xxxf b)
22)(+
=x
xg c)
+
=x
xxh1
ln)(
En la opción Cálculo Simbólico (CAS) utilizamos el comando Derivada (<Expresión>).
Tecleamos las expresiones Derivada(((x-2)/(x+3))^2); Derivada((2/(sqrt(x)+2)) y Derivada(ln((x)/(1+x)) y obtenemos las funciones derivadas que pueden verse en la imagen.
En la opción Cálculo Simbólico (CAS) utilizamos el botón:
Tecleamos las expresiones de las funciones y pulsando el botón citado obtenemos las funciones derivadas que pueden verse en la imagen.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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2. Calcula y visualiza las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) 42
3)(+
=x
xxf en x = 1 b) 2
)( 2 +=
xxxg en x = - 1 c) h (x) = x2 - 8x + 8 en x = 2
a) Seguimos los pasos que se describen a continuación:
- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = 3x/(2x+4).
- Con la herramienta Punto en objeto dibujamos un punto sobre la gráfica de la función. Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = 1.
- Con la herramienta Tangentes y creamos la recta tangente a la gráfica en el punto anterior.
- Con la herramienta Pendiente, haciendo clic sobre la recta, dibujamos la pendiente de la recta tangente.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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- Obtenemos el punto
=
21,1A ; con la pendiente, es decir, la derivada que vale 0,33 y la ecuación de la
recta tangente es 61
31
+= xy .
b) Seguimos los siguientes pasos:
- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = (x)/(x^2+2).
- Utilizamos las mismas herramientas que en el apartado anterior.
- Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = - 1.
- Obtenemos el punto
−−=
31,1A ; con la pendiente, es decir, la derivada que vale 0,11 y la ecuación de la
recta tangente es 92
91
−= xy .
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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c) Seguimos los siguientes pasos:
- Representamos la función tecleando en el Campo de entrada f (x) = 2x^2 - 8x + 8.
- Utilizamos las mismas herramientas que en el apartado anterior.
- Movemos el punto sobre la curva hasta hacerlo coincidir con el punto de abscisa x = 2.
- Obtenemos el punto A (2, - 4); con la pendiente, es decir, la derivada que vale - 4 y la ecuación de la recta tangente es y = - 4x + 4.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
20
3. Determina las rectas tangente y normal a las funciones siguientes en los puntos que se indican:
a) 1
)( 2
2
+=
xxxf en x = 2 b)
12)(
+−
=xxxg en x = 2 c) h (x) = e – x · cos x en x = 0.
Seguimos los pasos:
- En cada caso, comenzamos representando las funciones.
- Con la herramienta Punto en objeto dibujamos un punto sobre la gráfica de la función haciendo que su abscisa sea x = 2.
- Con la herramienta Tangentes y creamos la recta tangente a la gráfica en el punto anterior.
- Con la herramienta Perpendicular dibujamos la recta normal.
- En el menú Configuración de cada uno de los objetos hacemos que aparezcan como en los dibujos.
- En el apartado a) la recta tangentes es y = 0,16x + 0,48 y la normal y = - 6,25x + 13,31.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
21
- En el apartado b) la recta tangentes es y = 0,33x – 0,67 y la normal y = - 3x + 6.
- En el apartado c) la recta tangente es y = - x + 1 y la normal y = x + 1.
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22
ACTIVIDADES FINALES de la página 321
1. Calcula la tasa de variación media en los intervalos [-2, 3]; [0, 4] y [2, 5] para cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) = 2x + 4 b) g (x) = 7x – x3 c) 6)( += xxh d) 1
2)( 2 −=
xxt
Las soluciones pueden verse en la tabla.
[- 2, 3] [0, 4] [2, 5]
a) f (x) = 2x + 4 2 2 2
b) g (x) = 7x – x3 0 - 9 - 32
c) 6)( += xxh 2,051= 18,0
4610=
− 16,0
3811=
−
d) 1
2)( 2 −=
xxt 083,0
121
−=− 53,0158
= 19,0367
−=−
2. Lanzamos verticalmente hacia arriba un balón. La trayectoria que lleva este viene dada, en metros, por la expresión f(x) = 40x - 4x2, en función de los segundos transcurridos desde su lanzamiento.
a) Representa gráficamente la función.
b) Halla la tasa de variación media desde 1 a 1,5s; desde 1 a 3s; y desde 1 a 5s.
c) ¿Qué representan estos valores en la gráfica anterior?
Las soluciones son:
a) La gráfica la podemos ver en el dibujo.
b) Las tasas de variación medias son:
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
23
TVM [1; 1,5] = 30 m/s
TVM [1; 3] = 24 m/s
TVM [1; 5] = 16 m/s
c) Los valores anteriores son las velocidades medias que alcanza el balón en cada uno de los intervalos citados.
3. Halla la tasa de variación media de la función y = ln x en los intervalos [1, e] y [e, e2].
Las tasas pedidas son:
5820,01
11
1lnln],1[ =−
=−−
=ee
eeTVM ; 2141,01lnln],[ 22
22 =
−=
−−
=eeee
eeeeTVM
4. La trayectoria de movimiento que sigue un cuerpo viene dada por la función f (t) = 2 t2- 4t siendo f(t) el espacio recorrido en metros y t el tiempo en segundos desde el instante en que empieza a moverse. Calcula la velocidad media entre los instantes 2,5 s y 6 s. Calcula las velocidades instantáneas en esos dos instantes.
La velocidad media entre los instantes 2,5 y 6 vale 13 m/s.
La velocidad instantánea en el instante 2,5 vale 6 m/s.
La velocidad instantánea en el instante 6 vale 20 m/s.
5. Un antibiótico determinado administrado a un enfermo hace efecto, en función de las horas desde que se empieza a tomar, siguiendo la función:
+=
8··
215,0)( tsentf π .
a) Halla la variación media del efecto de este antibiótico al cabo de 2 horas. ¿Cuál es al cabo de 4 horas?
b) ¿Aumenta o disminuye el efecto con el paso de las horas?
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
24
a) Las tasas de variación media del efecto son: TVM [0,2] = 0,1768 y TVM [0, 4] = 0,125.
b) En la gráfica podemos ver que en las cuatro primeras horas aumenta el efecto del fármaco, no así en las siguientes.
6. Determina, mediante la definición de derivada de una función en un punto, el valor de las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f (x) = 3x2 - 2; f ´ (-1) b) )2(´;1)( 2 fx
xf −= c) )7(´;34)( fxxf −=
El valor de las derivadas es:
a) f ´ (1) = - 6 b) f ´ (2) = 41 c) f ´ (7) =
52
7. En cada una de las siguientes funciones halla la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 0 y el ángulo que esta forma con el semieje positivo de abscisas:
a) f (x) = 8 + x b) g (x) = 2 – x2 c) t (x) = 1
1+x
Los resultados pueden verse en la tabla.
Función Tangente Pendiente Ángulo con OX
a) f(x) = 8 + x y = x + 8 1 45º
b) g (x) = 2 – x2 y = 2 0 0º
c) t (x) = 1
1+x
y = - x + 1 - 1 135º
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
25
8. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 5 - 2x + x2 en el punto de abscisa 0.
La recta tangente en el punto P (0, 5) es 2x + y = 5.
9. Escribe las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parábola y = 2x2 – 12x + 15 en los puntos en los de ordenada 5.
Los puntos de ordenada 5 son P (1, 5) y Q (5, 5).
Las rectas tangente y normal en el punto P (1, 5) son, respectivamente: 8x + y = 13 y x – 8y = - 39.
Las rectas tangente y normal en el punto Q (5, 5) son, respectivamente: 8x - y = 35 y x + 8y = 45.
10. ¿En qué punto de la curva 431)( 3 −= xxf la recta tangente es perpendicular a la bisectriz del
segundo y cuarto cuadrante?
La bisectriz dada tiene de pendiente -1, por tanto, la recta tangente a la gráfica de la función dada debe tener como pendiente 1 por ser rectas perpendiculares.
De modo que: f ´ (x) = x2; x2 = 1 ; x = 1 y x = -1
Hay dos puntos que verifican el enunciado y son:
−−
−
313,1
311,1 QyP .
11. ¿En qué puntos de la gráfica de la función 3212)( 32 +−= xxxf las rectas tangentes son paralelas al eje de abscisas?
El eje de abscisas tiene de pendiente 0, por tanto, la recta tangente a la gráfica de la función dada debe tener como pendiente 0 por ser rectas paralelas.
De modo que: f ´ (x) = 24x - 6x2; 24x - 6x2 = 0; x = 0 y x = 4.
Hay dos puntos que verifican el enunciado y son: P (0, 3) y Q (4 ,67).
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
26
ACTIVIDADES FINALES de la página 322
12. Dada la función cuya gráfica aparece en el dibujo adjunto. Halla, de forma razonada, f ´ (2) y f ´ (-1/2).
Sea la función cuya gráfica aparece en el dibujo adjunto. Halla, de forma razonada, f ´ (2) y f ´ (-0,5).
Los valores que se piden son: f ´(2) = 0 y 27,075,31
21´ −=−=
−f
13. Dada la función f (x) = ax + b, calcula a y b, de manera que f (2) = 1 y f ´ (1) = 2.
El valor de a es 2 y el de b es -3. La función buscada es f (x) = 2x – 3.
14. Dada la función 33)( −= xxf . Halla f ´ (2) y el ángulo que la recta tangente en el punto de abscisa 2 forma con eje de ordenadas.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
27
Se cumple: 332
3)(´−
=x
xf y 23
323)2(´ ==f .
Por tanto con el eje de abscisas forma un ángulo α de modo que tg α = 23 de donde α= 40º53´36´´
Con el eje de ordenadas forma el ángulo complementario β = 90º - 40º53´36´´= 49º 6´24´´
15. La gráfica en color azul corresponde a la función derivada de una determinada función f (x). Indica cuál de las gráficas, a), b) o c) se corresponde con la función f (x). Razona tu respuesta.
Se corresponde con la gráfica del apartado b).
La gráfica de f ´(x) tiene por ecuación f ´(x) = - 4x + 4, entonces f (x) = - 2x2 + 4x.
16. Halla, aplicando la definición de función derivada, las funciones derivadas de las siguientes:
a) f (x) = 5x - 7 b) f (x) = (3 – 4x)2 c) f (x) = 2 - x3 +2x d) 4)( 2 += xxf
Las funciones derivadas son:
a) f ´ (x) = 5 c) f ´ (x) = - 3x2 + 2
b) f ´ (x) = 32x – 24 d) 4
)(´2 +
=x
xxf
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
28
17. Determina m y p de modo que la función f(x) = mx + px2 tenga como recta tangente y = 27 – 11x en el punto de abscisa 3.
El punto de tangencia es P (3 , - 6). Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos:
3;7693
1166)3(11)3(´
−==⇒
−=+−=+
⇒
−=−=
pmpm
pmff
18. Encuentra la función derivada de cada una de las siguientes funciones y, en cada caso, representa en un diagrama cartesiano ambas funciones:
a) f (x) = - 2/3 c) f (x) = 3x2 + 4x - 1 e) f (x) = 2
1+x
b) f (x) = 8 -2x d) f (x) = 5x3 – 10x + 3 f) f (x) = 623 2 −x
Las funciones y sus derivadas aparecen a continuación. En las representaciones las gráficas de las funciones son las líneas continuas y rojas y las gráficas de las funciones derivadas son las azules y discontinuas.
a) f (x) = 32
− y f ´ (x) = 0
b) f (x) = 8 -2x y f ´ (x) = - 2
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
29
c) f (x) = 3x2 + 4x – 1 y f ´ (x) = 6x + 4
d) f (x) = 5x3 – 10x + 3 y f ´ (x) = 15x2 - 10
e) f (x) = 2
1+x
y 2)2(1)(´+
−=x
xf
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
30
f) f (x) = 623 2 −x y f ´ (x) = 3x
ACTIVIDADES FINALES de la página 323
19. ¿En qué punto o puntos de cada una de las siguientes funciones las rectas tangentes trazadas a las mismas por ellos tienen la misma pendiente?
a) f (x) = x3 - 3x2 + 4 b) g (x) = 9x – 6x2
Se debe verificar que: f ´ (x) = g ´ (x); es decir la ecuación 3x2 – 6x = 9 – 12x; de donde obtenemos las soluciones 1 y - 3.
Para la función y = f (x) los puntos son A1 (1, 2) y A2 (- 3, - 50), en ambos las pendientes de las rectas tangentes valen – 3 y 45, respectivamente.
Para la función y = g (x) los puntos son B1 (1, 3) y B2 (- 3, - 81), en ambos las pendientes de las rectas tangentes valen – 3 y 45, respectivamente.
20. Calcula las derivadas de las siguientes funciones potenciales:
a) D [x 3/2] f) [ ]53 xD k)
+ 15
5x
xD
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
31
b) [ ]45xD g)
−4
12xD l)
+−
2
2
22
xxD
c) D [5x2 + 4 x - 1] h) D [(x - 2x2)3] m) ( )
−+324 23
4xx
D
d)
+− 4
25
43 24 xxD i) ( )[ ]23 12·7 −xxD n) [ ]254 xD −
e)
3
5x
D j)
− 52
3x
D o)
+
−223
1x
D
Las derivadas son:
a) D [x 3/2] = (3/2)x1/2 i) ( )[ ]23 12·7 −xxD = (2x – 1) · (70x3 - 21x2)
b) D [5 x 4] = 20 x3 j)2)52(
652
3−
−=
− xx
D
c) D [5x2 + 4 x - 1] = 10x + 4 k)( )215
515
5+
=
+ xxxD
d)
+− 4
25
43 24 xxD = 3 x3 – 5x l)
( )222
2
28
22
xx
xxD
+
−=
+−
e) 43
155xx
D −=
m)
( ) 424
3
324 )23(7248
234
−+−−
=
−+ xxxx
xxD
f) [ ]5 4
5
533x
xD = n) [ ]254 xD − = 254
5x
x−
−
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
32
g) 24
12 xxD =
− o) 222 23)23(
2231
xxx
xD
++=
+
−
h) D [(x - 2x2)3] = 3 · (1 – 4x) · (x – 2x2)2
21. Calcula las derivadas de las siguientes funciones exponenciales:
a)
45x
D c) [ ]xx eeD −− e)
−
4
2xeD
b) D [2 · 32x] d) [ ]xxD 53 3·5 f) D [(e2x + 1)4]
Las derivadas son:
a) 44 5·4
5ln5xx
D =
d) [ ] xxxxD 5353 3·5·)3ln55ln3(3·5 +=
b) D [2 · 32x] = 4 · ln 3 · 32x e) xx
eeD 22
21
4−
−
−=
c) [ ] xxxx eeeeD −− +=− f) D [(e2x + 1)4] = 8 · e2x · (e2x + 1)3
22. Calcula las derivadas de las siguientes funciones logarítmicas:
a) D [ln (7x2 - 1)] d) [ ]94ln 3 −xD g) D[ln (ln x)]
b) D [ln (2 – x3)2] e) D [log3 (x2 - 1)] h) ( )[ ]22 9·ln xxD −
c) D [ln (ex · 2x)] f)
+−
xxD
5252ln g)
+−
11ln
xxD
Las derivadas son:
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
33
a) D [ln (7x2 - 1)] = 17
142 −x
x f) 425
205252ln 2 −
=
+−
xxxD
b) D [ln (2 – x3)2] = 3
2
26
xx−
− g) D [ln (ln x)] = xx ln·
1
c) D [ln (ex · 2x)] = x
x 1+ h) ( )[ ] 3
222
93189·lnxxxxxD
−−
=−
d) [ ]94
694ln 3
23
−=−
xxxD i)
)1(·1
11ln
−=
+
−
xxxxD
e) D [log3 (x2 - 1)] = )1(·3ln
22 −x
x
23. Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y sus inversas:
a) D [sen 3x] g) D [cos x- 4] m) D [tg 3x]
b) D [3 sen x] h) D [cos (x + π)] n) [ ]xtgD
c)
3xsenD i) D [cos2 (2x3 + 1)] ñ) D [tg3 (x +1)]
d)
xsenD 3 j) [ ]3 3xsenD o) D [arcos (ln x)]
e) D [sen x3] k) D [tg (x2 + 2)] p) D [arcsen (x - 3)2]
f) D [sen3 x] l) [ ]xtgD q) [ ]xtgarcD 4
Las derivadas son:
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
34
a) D [sen 3x] = 3 · cos (3x) j) [ ] )3(cos·)3(3 32
3 xxsenxsenD −=
b) D [3 sen x] = 3 · cos x k) D [tg (x2 + 2)] = 2x + 2x · tg2 (x2 + 2)
c)
=
3cos
31
3xxsenD l) [ ]
xtgxtgxtgD
21 2+
=
d)
−=
xxxsenD 3cos·33
2 m) D [tg 3x] = ln 3 · 3x · [1 + tg2 (3x)]
e) D [sen x3] = 3x2 · cos x3 n) [ ]x
xtgxtgD2
1 2+=
f) D [sen3 x] = 3 · sen2 x · cos x ñ) D [tg3 (x +1)] = 3 · tg2 (x + 1) · 3 · tg4 (x + 1)
g) D [cos x- 4] = 4 · x- 5 · sen x- 4 o) D [arcos (ln x)] = xx 2ln1
1−
−
h) D [cos (x + π)] = - sen (x + π) p) D [arcsen (x - 3)2] = 4)3(1
)3(2−−
−
xx
i) D [cos2 (2x3 + 1)] = - 12x2 · cos (2x3 + 1) · sen (2x3 + 1) q) [ ])41(
14xx
xtgarcD+
=
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
35
ACTIVIDADES FINALES de la página 324
24. Calcula las derivadas que se indican:
a) )1(;2
41)(
4
fDx
xxf
+= c) h (x) = sen2 3x – cos2 3x; D h (π)
b) [ ] )0(;8ln)( 2 gDxxxg ++= d) )0(;1
)( jDe
exj x
x
+=
Los valores de las derivadas son:
a) 42
4
412
14)(´xx
xxf+
−= D f (1) =
1053
b) 28
1)(´x
xg+
= D g (0) = 88
c) h ´ (x) = 12 · cos 3x · sen 3x D h (π) = 0
d) 2)1()(´
+= x
x
eexj D j (0) = 1/4
25. Halla a, en la función f(x) = 2
2
xaxa
−+ , de modo que se verifique f ´ (2) = 1.
La derivada de la función es ( )22
4)(´xa
axxf−
= y f ´(2 ) = ( )24
8−aa .
Por tanto: ( )24
8−aa = 1 348 ±=⇒ a
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
36
26. Calcula, simplificando lo más posible los resultados, las siguientes derivadas:
a) ( )[ ]xxD +− 11 j) D [(x2 + 1)2 · e2x] r) D [xa · ax · ea x]
b) [ ]3 5 43 +xD k) [ ])14(ln 2 −xxD s) D [sen4 x3 · cos3 x4]
c)
−+
1212
2
2
xxD l) [ ]8)2(·ln·2 xxD x t)
+−
xx
Dcos1cos1
ln
d) D [(7x2 - 3).(5x - 4)5 ] m) D [x2 ln x + x ln x2] u) ( )[ ]π−xtgD 22
e) D [ln 6 · 6x ] n) D [ln (e- x – 2x6] v)
+−
11
xxarctgD
f) [ ]xxD 53·5 + ñ)
+
++ xx
D1
1ln1
1 w)
−+
xsenxsen
D11
g)
+ 44x
xD o) D [sen 7x · 72x] x)
+ 9ln
2xxD
h)
xeD
x2
p) D [ln (ln sen x)] y)
− 21 xxarcsenD
i)
x
xD 2
2
3 q)
− 22cos2.2
xxsenD z)
++
−+
xx
xxD
1
1ln
2
2
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
37
Las derivadas son:
a) ( )[ ]xxxxD
+−−
=+−12
3111
b) [ ]3 25
43 5
)43(543+
=+x
xxD
c) 222
2
)12(8
1212
−−=
−+
xx
xxD
d) D [(7x2 - 3).(5x - 4)5 ] = (245x2 – 56x – 75) · (5x – 4)4
e) D [ln 6 · 6x ] = (ln 6)2 · 6x
f) [ ]x
xxxxxD
5325·5ln53·5·5ln53·5
2
+++=+
g) ( )24
84
4
+=
+ xxxxD
h) 2
2 )12(·22
xxe
xeD
xx −=
i) xx
xxxD 2
2
2
2
3·3ln·22
3−
=
j) D [(x2 + 1)2 · e2x] = 2 (x2 + 1) · ex · (x + 1)2
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
38
k) [ ]xx
xxxD−−
=− 22
416)14(ln
l) [ ] ( ) ( ) 3888 1024·ln·22·222"·ln·
22·ln2)2(·ln·2 xxx
xxx
xxxD x
xxx ++=
m) D[x2 ln x + x ln x2] = (2x + 2) · ln x + (x + 2)
n) D [ln (e- x – 2x6] = x
x
exxe−
−
−+
6
5
212
ñ) 2)1(2
11ln
11
xx
xxD
++
−=
+
++
o) D [sen 7x · 72x] = 72x · [7 · cos (7x) + 2 · ln 7 · sen (7x)]
p) D [ln (ln sen x)] = )(ln
cotxsenxg
q) 2)2)2((cos)2(cos·84
22cos2.2
−−
=
− xx
xxsenD
r) D [xa · ax · ea x] = xa – 1 · ax · eax · [a + x · ln a + ax]
s) D [sen4 x3 · cos3 x4] = 12x2 · sen3 (x3) · cos (x3) · cos3 (x4) – 12x3 · sen4 (x3) · cos2 (x4) · sen (x4)
t) xsenx
xD 2
cos1cos1
ln =
+−
u) ( )[ ] )]2(1[·)2(42 22 πππ −+−=− xtgxtgxtgD
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
39
v) 211
11
xxxarctgD
+=
+−
w) xsenxsen
xxsenxsen
xsenxsen
D−
=−+
−=
−+
11
)1(cos
·11
11
2
x) xxx
xD9
99
ln 32 +=
+
y) )1(21
11 222 xxx
xarcsenD−−
=
−
z) 1
21
1ln
22
2
+−=
++
−+
xxx
xxD
27. Lanzamos una pelota. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión ( ) 2324 ttth −= .
a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo [2, 4].
b) ¿En algún momento la velocidad de la pelota ha sido de 12 m/s? ¿A qué altura sucedió?
a) La velocidad media en el intervalo [2, 4] fue de 6 m/s.
b) La velocidad de la pelota fue de 12 m/s en el instante t = 2; esto sucedió a la altura de 12 m.
28. Comprueba que la función y = eax · sen bx verifica la igualdad 2a y ´ - y´´ = (a2 + b2) · y
La demostración queda:
Sea la función y = eax · sen bx , derivamos e introducimos en la expresión a demostrar.
y ´ = a · eax · sen bx + b · eax · cos bx ⇒ y ´´ = a2 · eax · sen bx + 2ab · eax · cos bx – b2 · eax · sen bx
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
40
Introducimos las derivadas en la expresión a demostrar:
2a y ´ - y´´ = a2 · eax · sen bx + b2 · eax · sen bx = (a2+ b2) · eax · sen bx = (a2 + b2) · y
ACTIVIDADES FINALES de la página 325
29. Dada la función xexf 3)( −= , calcula f (10) (x).
La derivada pedida es f(10) (x) = 310 · e – 3x
30. Calcula los valores de x para los cuales D [f (x)] > 0, siendo f (x) = x3 – 6x2 + 12.
La derivada es positiva para los valores de x pertenecientes a ( ) ( )∞+∪∞− ,40, .
31. Calcula f (2016) (x) para la función f (x) = ln (x – 1).
La derivada enésima es ( ) ( )n
nn
xnxf
)1(!11)( 1)(
−−
−= + . Por tanto, 2016
)2016(
)1(!2015)(
−−=
xxf
32. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la cónica x2 – 8x – 2y + 12 = 0 en el punto de abscisa 8.
La recta tangente en el punto (8, 6) es 4x – y = 26.
33. Halla la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 4x2 – y2 = 4 en el punto ( )4,5 .
La recta tangente es 15 =− yx .
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
41
34. Halla el punto de la curva 2
4+
=x
y en el cual la recta tangente es perpendicular a la recta y = x.
La pendiente de la recta dada es m = 1.
Hallamos la derivada de la función dada: ( )22
4´+−
=x
y
Para que se cumplan las condiciones del enunciado, se debe verificar que:
( )1
24
2 −=+−
x; x2 + 4x = 0 ⇒ x= 0 ; x = -4
Los puntos pedidos son: (0, 2) y (- 4, - 2).
35. En la gráfica hemos representado la función f(x) = 3x2 – x3 + 2. Halla:
a) Los puntos en los que la derivada es nula.
b) Los intervalos en los que la derivada es positiva y los intervalos en los que es negativa.
a) La derivada es nula en los puntos en los que la recta tangente es paralela al eje de abscisas y estos son: (0, 2) y (2, 6)
b) La derivada es positiva en el intervalo (0, 2) y es negativa en ),2()0,( ∞+∪−∞
36. Dada la función 1
11
1)(−
−+
=xx
xf . Halla la derivada de orden 2020 de esta función.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
42
( ) ( )22 11
11)(´
−−
−+−
=xx
xf
( ) ( )33 12
12)(´´
−−
+=
xxxf
( ) ( )44 16
16)(´´´
−−
−+−
=xx
xf
Por tanto: ( )( )
( )( ) 11
(
1!·1
1!·1)( ++ −
−−
+−
= n
n
n
nn
xn
xnxf y
( ) ( )202120212020(
1!2020
1!2020)(
−−
+=
xxxf
37. Halla los puntos de corte de la gráfica de la función 2
1)(x
xf = con la recta tangente en el punto
de ordenada 1/4 y abscisa positiva.
La recta tangente en el punto P (2, 1/4) tiene por ecuación x + 4y – 3 = 0.
Resolviendo el sistema
=−+
=
034
12
yxx
y Obtenemos los puntos: (2, 1/4); (- 2, 1/4) y (- 1, 1).
38. Halla la derivada de la función
+−
=1)3(1)3(ln)(
xsenxsenxf simplificando al máximo el resultado.
La derivada es f ´ (x) = )3(cos
6x
−
39. Encuentra la función cuadrática cuya gráfica tiene una tangente en el punto de abscisa (- 2) que forma un ángulo de 45º con el eje OX y en el punto P(1, 3) tiene una tangente de pendiente 13.
La función es f(x) = ax2+ bx + c.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
43
Se debe verificar:
−===
⇒
=+=++=+−
⇒
==
=−
892
132314
13)1´(3)1(
1)2(´
cba
bacbaba
fff
La función buscada es: f (x) = 2x2 + 9x – 8.
40. Los fármacos anestésicos se utilizan para bloquear la sensibilidad al dolor de un paciente que va a ser intervenido quirúrgicamente. Su efecto comienza cuando estos llegan a la sangre y se van eliminando con el paso de las horas. Uno de estos fármacos permite ajustar su evolución a la función f (t) = 680 · 0,25t, siendo f(t) la cantidad de anestésico en sangre en miligramos y t el tiempo en horas. Responde a las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué dosis inicial de anestésico se administró al paciente?
b) ¿Cómo fue la variación media de efecto durante la primera hora? ¿Y durante la cuarta hora?
c) ¿Cuál fue la variación del efecto del anestésico en el instante t = 1,5 horas?
d) Si consideramos que cuando queda un 1% de la dosis inicial de anestésico en sangre desaparece su efecto, ¿cuánto tiempo tarda este en desaparecer?
a) La dosis inicial fue de f.(0) = 680 mg.
b) Las tasas de variación media del efecto son: TVM [0,1] = -510 mg y TVM [3, 4] = - 7,97 mg.
c) En el instante t= 1,5 la variación fue f ´(1,5) = 680 · 0,251,5·ln 0,25= - 117,84 mg
d) Resolvemos la ecuación 680 · 0,25t = 6,80 y obtenemos t = 3,32 h. Es decir al cabo de 3,32 h la cantidad de anestésico en sangre se ha reducido a 6,80 mg, un 1% de la dosis inicial.
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44
ACTIVIDADES FINALES de la página 326
41. Halla las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 6x + 8y - 27 = 0 en el punto de abscisa 1.
Hay dos puntos de coordenadas con abscisa 1: P (1, 2) y Q (1, - 10).
Hallamos la pendiente de todas las rectas tangentes a esta circunferencia:
2x + 2yy´ + 6 + 8y´ = 0 43´
++
−=⇒yxy
● La recta tangente en P es: 38
32)1(
322 +−=⇒−−=− xyxy .
● La recta tangente en Q es: 3
3232)1(
3210 −=⇒−=+ xyxy .
42. Dada la función y = mx2 + nx + 3 averigua el valor que deben adoptar m y n para que la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto (1, 4) tenga por ecuación 2x + y - 6 = 0.
Los valores son m = - 3 y n = 4 y la función será y = - 3x2 + 4x + 3.
43. Un agricultor recibe un camión de humus para la huerta. La descarga del humus se hace a una velocidad de 0,3 m3 /min. Al caer al suelo, el humus forma un cono de altura igual al radio de su base. ¿A qué velocidad sube el vértice del cono si la altura es de 1,75 m?
Llamamos h a la altura del cono y r al radio de la base. El volumen vendrá dado por hrV ··31 2π= .
Hemos de calcular dh/dt cuando h = 1,75 m y dV/dt = 0,3.
Como h = r obtenemos 3·31 hV π= . Derivando obtenemos: .·· 2
dtdhh
dtdV π=
De donde 275,1·
3,0π
=dtdh = 0,031 m/min.
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45
44. En una piscina de un parque acuático hay un tobogán que comienza con un tramo recto seguido de uno curvo. El tramo recto responde a la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (0, 9) y Q (2, 5). El tramo curvo tiene forma de parábola, con una tangente horizontal en la superficie del agua en el punto (7, 0) y unida en Q al tramo recto. Halla la ecuación de la parábola y de la recta.
La recta tiene por ecuación y = - 2x + 9 y la parábola y = 0,2 x2 – 2,8 x + 9,8.
45. Un coche estacionado en un aparcamiento deja en el suelo una mancha circular de grasa que va creciendo. El radio de la mancha, en centímetros, en función del tiempo t, en minutos, desde que cayó la mancha de grasa, viene dada por la siguiente función:
( )1256
3
3
++
=t
ttR
a) ¿Cuánto tiempo ha pasado hasta que la mancha forma un círculo de radio cinco veces el inicial?
b) Expresa la tasa de variación del radio respecto al tiempo.
c) Cuando R = 4 cm ¿cuál es la tasa de variación del área de la mancha?
a) El radio inicial es R (0) = 0,5 cm. Para que el radio sea de 2,5 cm han de pasar 2,13 minutos.
b) La tasa de variación del radio respecto al tiempo viene dada por ( )23
2
12
·162
+=
t
tdtdR .
c) El área de la mancha es A (t) = π · R2 y ( )23
2
3
3
12·162·
1256·2
+++
=t
tt
tdtdA π y para R = 4; t = 3,48 minutos y
la tasa de variación del área de la mancha es 16,83 m2/min.
46. Un enjambre de avispas crece según la función
N (t) = 200 (e0,3 · t + 2)
siendo t el tiempo en días. Halla:
a) El número inicial de avispas.
b) La tasa de crecimiento de esta población de avispas al cabo de 5 días.
c) ¿En qué instante la tasa de crecimiento es de 13 284,38 avispas por día?
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a) N (0) = 600 avispas.
b) Hallamos N ´ (5); N´ (t) = 60 · e0,3t; N´ (5) = 268,9 avispas/día.
c) Hallamos t para que N´ (t) = 13284,38 y obtenemos t = 18 días.
47. El ángulo que forman dos curvas que se cortan en un punto P viene dado por el ángulo que forman sus respectivas tangentes en ese punto P.
En la gráfica de esta página están representadas las funciones:
y = x2 + 2 e y = x3 –x2 + x
y sus tangentes en el punto de corte P.
a) Halla el punto de corte P.
b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes en ese punto P y el ángulo que estas forman.
a) Estas funciones se cortan en el punto P (2, 6).
b) La recta tangente a la primera curva en el punto P tiene por pendiente m1 = 4 y por ecuación y = 4x - 2.
La recta tangente a la segunda curva en el punto P tiene por pendiente m2 = 9 y por ecuación y = 9x – 12.
c) Hallamos el ángulo que forman estas rectas con la fórmula:
21
21
·1 mmmmtg
+−
=α y obtenemos α = 7,70º.
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PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 327
Matemáticas y ciclismo
El ciclismo es un deporte con múltiples aspectos relacionados con las matemáticas. Veamos algunos de ellos.
La bicicleta está llena de figuras geométricas que se pueden describir y dibujar. Los elementos principales son los piñones, los platos, las ruedas y el ordenador en ruta. ¿Qué tipos de piñones se fabrican? ¿Qué tipos de platos? ¿Cuántas velocidades (marchas) pueden tener una bicicleta? ¿Por qué existen ruedas diferentes? El ordenador en ruta, ¿qué mide?, ¿en función de qué variables realiza las mediciones?
La velocidad de una bicicleta depende del tipo de plato y de piñones usados y se rige por estos principios:
● Con un mismo número de pedaladas, con un plato grande se recorre una distancia mayor que con un plato pequeño.
● Con un mismo número de pedaladas, con un piñón grande se recorre una distancia menor que con un piñón pequeño.
Analiza las distintas velocidades que utiliza un ciclista según las características del terreno que recorre.
Estudio de los perfiles de etapas: tasas de variación, porcentajes de las pendientes, pendientes medias, pendientes máximas, velocidad media, rampas máximas que han subido los profesionales, comparación de perfiles.
Evolución histórica del “record de la hora”: tiempos empleados, velocidades medias parciales y total, gráficas del desarrollo de la prueba, comparación de gráficas, rendimiento de los ciclistas, etc.
Ofrecemos bibliografía sobre la relación entre matemáticas y ciclismo.
Matemáticas I - UD 13: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS SOLUCIONARIO
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CORBALÁN, Fernando. (201) Matemáticas de cerca. Graó. Barcelona.
ORTEGA, Tomás. (2005). Conexiones matemáticas. Graó. Barcelona.
SORANDO MUZÁS, J. M. (2012) Matemáticas y deporte. Sugerencias para el aula. Revista Números. Volumen 80.
SORANDO MUZÁS, J. M. http://catedu.es/matematicas_mundo/
http://plataformarecorridosciclistas.org/2009/11/22/rampas-maximas-superadas-en-competicion/