Cuerpos geométricos
Un cuerpo geométrico es una figura geométrica
tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto,
que ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto
posee un volumen.
Poliedros
Cuerpos
redondos
Cuerpos Geométricos
Poliedros
Cóncavos Convexos
Regulares Irregulares
Cuerpos Redondos
Cilindros Conos Esferas
CUERPOS
POLIEDROS
Un poliedro es
un cuerpo
geométrico
cuyas caras son
poligonales
B
I
B
L
I
O
T
E
C
A
D
E
E
X
E
T
E
R
A
R
Q
U
I
T
E
C
T
O
L
O
U
I
S
K
H
A
N
P
O
L
I
E
D
R
O
S
E
N
A
R
Q
U
I
T
E
C
T
U
R
A
« El espacio de un edificio debe poder
leerse como una armonía de espacios
iluminados. Cada espacio debe ser definido por su
estructura y por el carácter de su
iluminación natural. Aun un espacio concebido para
permanecer a oscuras debe tener la luz
suficiente proveniente de alguna misteriosa
abertura que nos muestre cuán oscuro
es en realidad. »Louis Khan
POLIEDROS EN LA ARQUITECTURA
Poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son
poligonales, planas y encierran un volumen finito.
Poliedros y sus elementos
cara
ángulo diedro
ángulo poliedro
aristavértice
•polígonos
CARAS
•Ángulos Diedros : formados entre
dos planos consecutivos.
ÁNGULOS DIEDROS
• Ángulos Poliédricos: formados entre
tres o más planos consecutivos.
ÁNGULOS POLIÉDRICOS
• Vértices: Punto de intersección
entre tres o más caras
VÉRTICES
•Aristas: Segmentos que resultan
de la intersección entre caras
ARISTAS
CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS
POLIEDROS
CONVEXOS
REGULARES
IRREGULARES
CONCAVOS
POLIEDROS CONVEXOS
Poliedro Convexo:
Cuando toda recta sólo
pueda cortar a su
superficie en solo dos
puntos.
POLIEDROS CÓNCAVOS
Poliedro Cóncavo
Cuando una recta corta su
superficie en más de dos
puntos, por lo que posee
algún ángulo diedro entrante.
Poliedro Regular:
Es aquel cuyas caras son polígonos regulares
congruentes, por lo que todas sus aristas son de
igual longitud. En consecuencia, todos sus
vértices están contenidos en una esfera y el
poliedro, a su vez, encierra otra esfera.
POLIEDROS CONVEXOS: CLASIFICACIÓN
CONVEXOS
REGULARES
IRREGULARES
Poliedros Regulares: Cálculo de Superficie y Volumen
Tetraedro
32aSup
12
23aVol
Hexaedro
26aSup
3aVol
Octaedro
32 2aSup
3
23aVol
Dodecaedro
)525(53 2 aSup
4
)5715(3 aVol
Icosaedro
35 2aSup
12
)53(5 3
aVol
Nota: superficie se refiere a superficie total, la Sup. Lateral más la superficie de las bases del poliedro.
Poliedros regulares: Ejercicios
1) Calcular el área lateral de un dodecaedro
cuya arista mide 2 metros.
)525(53 2 aSup 64572881,202xaSup
22 5829,8264572881,202 mxSup
2) Sabiendo que el volumen de un dodecaedro es de 100
m3 calcular la medida de su arista.
4
)5715(3 aVol 663118961,7100 33 xam m
ma 3543,2
663118961,7
1003
3
Poliedros regulares: Ejercicios
3) Si incrementamos el largo de la arista del dodecaedro, que
era de 2m, en un 20% cuál será el incremento porcentual de
su superficie?
22 5829,8264572881,202. mxoriginalSup
Arista = 2m Nueva Arista = 2m + 2m x 20/100 = 2m + 0,40m = 2,40m
Nueva Arista = 2m (1+ 1 x 20/100) = 2m x 1,20 = 2,40m
22 9194,11864572881,2040,2. mxSupNueva
222 3365,365829,829194,118 mmmdeSupIncremento
82,5829 100 %
36,3365 X = 𝟑𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟓
𝟖𝟐,𝟓𝟖𝟐𝟗x 100 % = 44%
Poliedros Irregulares
POLIEDROS CONVEXOS
IRREGULARES
Definidos por
polígonos. No
todos
congruentes.
Poliedros Irregulares
Estudiaremos el Prisma, Pirámide y Pirámide Trunca
Prismas Pirámides Pirámide Trunca
CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS IRREGULARES
POLIEDROS IRREGULARES
PRISMAS
RECTOS U OBLICUOS SEGÚN SEA SU EJE
REGULARES
Si su base es un polígono regular
IRREGULARES
Si su base es un polígono irregular
PIRÁMIDES
RECTAS U OBLICUAS SEGÚN SEA SU EJE
REGULARES
Si su base es un polígono regular
IRREGULARES
Si su base es un polígono irregular
PIRÁMIDE TRUNCADA
RECTAS U OBLICUAS SEGÚN SEA SU EJE
Si el plano que corta a las aristas laterales es
paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases
paralelas
Poliedros Irregulares: Prisma
Prisma:
es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y
congruentes que se denominan bases y por tantos
paralelogramos como lados tengan las bases, denominados
caras.
Arista de la base
Base
Arista lateral
Cara lateral
Vértice
Poliedros Irregulares: Prisma
Elementos de un Prisma:
Altura: distancia entre las bases
Poliedros Irregulares: Prisma
Clasificación de acuerdo a sus bases:
PRISMAS
Clasificación de
acuerdo a sus
bases:
REGULARES
Si su base es un polígono regular
IRREGULARES
Si su base es un polígono irregular
PRISMA IRREGULAR
PRISMA REGULAR
Altura
BASE
BASE
Altura
Poliedros Irregulares: Prisma
Clasificación de acuerdo a la inclinación de su eje:
PRISMAS
Clasificación de
acuerdo a la
inclinación de su
eje.
RECTO
Eje perpendicular a la base
OBLICUO
Eje no perpendicular a las bases
Poliedros Irregulares: Prisma Regular, EJERCICIOS
1) Dado un prisma regular recto de 4 metros de altura, y base
pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcula su superficie total sin
considerar la base inferior.
Superficie pedida= Sup. Lateral+ Sup de una base
36º
h3 m
3m72º
º725
º360
º362
mmhh
4270,2º36cos33
cos
msenmxm
xsen 7633,1º363
3º36
mmxLado 5267,3_7633,122
2
4270,25267,35
25.
mmhbPentSup 21,3987 m2
x
Poliedros Irregulares: Prisma Regular, EJERCICIOS
1) Dado un prisma regular recto de 4 metros de altura, de base
pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total sin
considerar la base inferior.
2534,70)45267,3(5)(5. mmmxhLlateralSup
Superficie pedida: 21,3987 m2 + 70,534 m2 = 91,9327 m2
3,5267 m
Lado = 3,5267 Sup base = 21,3987 m2
Superficie pedida= Sup. Lateral + Sup de una base
Poliedros Irregulares: Prisma Regular, EJERCICIOS
Cálculo de Superficie:
Superficie de la base:
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Superficie lateral:
𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑢𝑟𝑎
Superficie Total:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝐩𝐨𝐥í𝐠𝐨𝐧𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬
Poliedros Irregulares: Prisma Regular
Cálculo de Volumen encerrado:
Superficie de la base:
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Volumen encerrado= Volumen del prisma:
𝑽𝒐𝒍. 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒖𝒓𝒂
𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐩𝐨𝐥í𝐠𝐨𝐧𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬
Poliedros Irregulares: Prisma Regular, EJERCICIOS
1) Calcular el volumen encerrado por el prisma del ejercicio anterior
(de 4 metros de altura, de base pentagonal cuyo radio es de 3
metros).
2
4270,25267,35
25.
mmhbPentSup 21,3987 m2
x
𝑽𝒐𝒍. 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝑽𝒐𝒍 = 𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐 𝒙 𝟒𝒎 = 𝟖𝟓, 𝟓𝟗𝟒𝟖𝒎𝟑
PIRÁMIDES
Poliedros Irregulares: Pirámide
Pirámide:
Es el cuerpo poliedro limitado por una base poligonal y
por caras triangulares que convergen en un punto no
coplanar con la base.
Altura
de la cara
Altura de la pirámide
VérticeArista
Cara
lateral
Base
Poliedros Irregulares: Pirámide
Clasificación de acuerdo a su base:
Pirámide Regular:
Si la base es un polígono
regular.
Pirámide Irregular:
Si la base es un polígono
irregular.
Poliedros Irregulares: Pirámide, Clasificación de acuerdo a
la inclinación de su eje
Pirámide Recta:
Si su eje es perpendicular a la base.
Pirámide Oblicua:
Si su eje es perpendicular a la base
pero no pasa por su centro.
Poliedros Irregulares: Pirámide Regular
Cálculo de Superficie:
Superficie de la base:
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Superficie lateral:
Superficie Total:
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎
2 apotema
a= Apotema de la pirámide
Apotema de la base
Poliedros Irregulares: Pirámide Regular
Cálculo de Volumen encerrado:
Superficie de la base:
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Volumen encerrado:
𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
apotema
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 =𝑠𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del volumen del
prisma que la contiene.
Pirámide Regular: Ejercicios
1) Dada una pirámide regular recta de 5 metros de altura, de base
pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total
Superficie Total: sup base + sup lateral
372º
º725
º360
º362
mmapap
4270,2º36cos33
cos
msenmxm
xsen 7633,1º363
3º36
mmxLado 5267,3_7633,122
2
4270,25267,35
25.
mmhbPentSup 21,3987 m2
36º
ap3 m
x
Pirámide Regular: Ejercicios
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 21,3987 m2 + 49 m2 = 70,3987 m2
𝑺𝒖𝒑 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 =𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂
𝟐
1) Dada una pirámide regular recta de 5 metros de altura, de base
pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total
Conocemos: h = 5 m apotema de base = 2,4270 m Lado = 3,5267 m
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂 = 𝟓𝟐 + 𝟐, 𝟒𝟐𝟕𝟎𝟐 = 𝟓, 𝟓𝟓𝟕𝟗𝒎
=𝟓×𝟑,𝟓𝟐𝟔𝟕𝒎 𝒙 𝟓,𝟓𝟓𝟕𝟗𝒎
𝟐= 49 m2
Poliedros Irregulares: Pirámide Regular
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 =𝒔𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟑
2) Calcular el volumen encerrado por la pirámide del ejercicio anterior. (de 5
metros de altura, de base pentagonal cuyo radio es de 3 metros).
2
4270,25267,35
25.
mmhbPentSup 21,3987 m2
=𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐 𝒙 𝟓𝒎
𝟑= 𝟑𝟓, 𝟔𝟔𝟒𝟓𝒎𝟑
Poliedros Irregulares: Pirámide Truncada
La pirámide truncada es el cuerpo geométrico que resulta al
seccionar una pirámide con un plano secante y separar la
parte que contiene al vértice.
PIRÁMIDE TRUNCADA
OBLICUA
PIRÁMIDE TRUNCADA
RECTA
Poliedros Irregulares: Pirámide Truncada
Cálculo de Superficie:
Superficie de cada base:
𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Superficie lateral: sumas de sup. de las caras
𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 + 𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
2𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
Se calcula el volumen en función de la altura de la pirámide y las áreas
de las bases menor y mayor.
𝑉𝑜𝑙 =ℎ
3(𝐴 + 𝐴´ + (𝐴 𝑥 𝐴´)
A: Superficie de la base menor
A´: Superficie de la base mayor
Pirámide Truncada: Ejercicio
Calcular la superficie total y el volumen encerrado de una pirámide recta regular
trunca de base pentagonal de la que se conocen los siguientes elementos:
Altura h = 4 m; Radio de base mayor: R=3m
Radio de base menor: R´ = 2m
3m72º
º725
º360
º362
mmapap
4270,2º36cos33
cos
msenmxm
xsen 7633,1º363
3º36
mmxLado 5267,3_7633,122
2
4270,25267,35
25.
mmhbPentSup 21,3987 m2
36º
ap3 m
x
Calculo de superficie de la base mayor:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
Pirámide Truncada: Ejercicio
2m72º
º725
º360
º362
mmapap
6180,1º36cos22
cos
msenmxm
xsen 1756,1º362
2º36
mmxLado 3512,2_1756,122
2
6180.13512,25
25.
mmhbPentSup 9,5106 m2
36º
ap2 m
x
Calculo de superficie de la base menor:
Pirámide Truncada: Ejercicio
Calculo de superficie lateral:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 21,3987 m2 + 9,5106 m2 + 60 m2 = 90,9093 m2
Conocemos: h = 4 m Base mayor: apotema = 2,4270 m Lado = 3,5267 m
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 = 42 + (2,4270 − 1,6180)2= 𝟒, 𝟎𝟖𝟎𝟗𝒎
Base menor: apotema = 1,6180 m Lado = 2,3512 m
𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
2𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =3,5267𝑚 +2,3512𝑚
2𝑥 4,0809𝑚 = 12 𝑚2
Superficie lateral: 5 x 12 m2 = 60 m2
Pirámide Truncada: Ejercicio
𝑽𝒐𝒍 =𝒉
𝟑(𝑨 + 𝑨´ + (𝑨 𝒙 𝑨´)
Calculo de volumen encerrado:
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:
𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 21,3987 m2 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 = 9,5106 m2 Altura h = 4 m
𝑽𝒐𝒍 =𝟒𝒎
𝟑(𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐+ 𝟗, 𝟓𝟏𝟎𝟔 + 𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕 𝒙 𝟗, 𝟓𝟏𝟎𝟔 = 𝟔𝟎. 𝟐𝟑𝟑𝟓𝒎𝟑
Cuerpos Geométricos Redondos
Cilindro Cono Esfera
Cuerpos Geométricos Redondos
Estudiaremos el cilindro, el cono y el cono truncado
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE RECTO
BASE ELIPTICA
CIRCULAR
OTRA
EJE OBLICUO
BASE ELIPTICA
CIRCULAR
OTRA
CONO
EJE RECTO
BASE ELIPTICA
CIRCULAR
OTRA
EJE OBLICUO
BASE ELIPTICA
CIRCULAR
OTRA
CONO TRUNCADO
EJE RECTO Y BASES CIRCULARES
CLASIFICACIÓN DE CUERPOS REDONDOS
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro
Un cilindro es generado por la rotación de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados que
es tomado como eje de rotación.
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE RECTO
BASE CIRCULAR
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE RECTO
BASE ELIPTICA
La superficie lateral es una superficie cilíndrica de
revolución, la sección recta (perpendicular) al eje y
las bases son elipses.
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE RECTO
BASE CIRCULAR
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE OBLICUO
BASE CIRCULAR
Cilindro oblicuo de basecircular: El ángulo entre el eje
y las bases no es un ángulo
recto. La sección recta
(perpendicular) al eje es una
elipse y las bases son
círculos.
Cilindro oblicuo de baseelíptica: El ángulo entre el eje
y las bases no es un ángulo
recto. La superficie lateral es
una superficie cilíndrica de
revolución y las bases son
elipses.
Cuerpos redondos
CILINDRO
EJE OBLICUO
BASE ELÍPTICA
Cálculo de Superficie de cilindro recto de base circular:
Superficie de la base:
𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝑹𝟐
Superficie lateral:
𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Superficie Total:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro-Superficie
𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 R x h
Cálculo de Volumen de un cilindro de base circular:
Superficie de la base:
𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝑹𝟐
Volumen:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑢𝑟𝑎
𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro-Volumen
Cálculo de Superficie de cilindro recto de base elíptica:
Superficie de la base:
𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃
Superficie lateral:
𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
Superficie Total del cilindro:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒆𝒍 𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝝅.𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝟐
Esta fórmula del perímetro es aproximada, con un 5% de error y siempre y cuando “a” no sea mucho mayor que “b”
“a” es el semieje mayor de la elipse“b” es el semieje menor.
Cálculo de Volumen de un cilindro de base elíptica:
Superficie de la base:
𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃
Volumen:
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒖𝒓𝒂
𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐞𝐥í𝐩𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬
Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro
Calcular la superficie total de un cilindro recto de base circular y su volumen
considerando solo una de sus bases. Se sabe que el diámetro del círculo es de 6
m y que la altura del cilindro es de 7 metros.
Superficie de la base:
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 =𝒅𝒊á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐
𝟐=𝟔𝒎
𝟐= 𝟑𝒎
Superficie lateral:
𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
Superficie Total:
𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟕𝟒𝟑𝒎𝟐 + 𝟏𝟑𝟏, 𝟗𝟒𝟔𝟗𝒎𝟐 = 𝟏𝟔𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟐𝒎𝟐
Cilindro: Ejercicio
𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 R x h
𝑆𝑢𝑝 = 𝜋 𝑥 𝑅2 = 𝜋 𝑥 (3𝑚)2= 28,2743 𝑚2
𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 3m x 7m = 131,9469 𝒎𝟐
Volumen:
𝑽𝒐𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟕𝟒𝟑𝒎𝟐𝒙 𝟕𝒎 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟗𝟐𝟎𝟏𝒎𝟑
Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Recto Circular
El cono recto circular es un cuerpo geométrico generado por un
triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Cuerpos redondos
CONO
EJE RECTO
BASE CIRCULAR
Elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC del triángulo ACB. Alrededor de
este cateto gira el triángulo rectángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro
cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono.
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo,
BC, que genera la región lateral conocida como manto
del cono.
Altura: corresponde al eje del cono, porque une el
centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular
a la base.
Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Recto Circular
Cálculo de Superficie del Cono Recto Circular
Área total del cono = Área lateral + Área de la base
Área total del cono = π r g + π r2
Cálculo del volumen del Cono Recto Circular
El volumen del cono es igual a un tercio del volumen del
cilindro que lo contiene.
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =𝝅.𝑹𝟐. 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟑
h
Cono Recto Circular: Ejercicio
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =𝝅.𝑹𝟐.𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟑=
𝝅.(𝟐𝒎)𝟐.𝟓𝒎
𝟑= 20,9440 𝒎𝟑
h
Calcular la superficie total y el volumen de un cono recto circular de 5 m de altura,
cuya base tiene un radio de 2 m.
Área total del cono = Área lateral + Área de la base
Área total del cono = π r g + π r2
𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟓, 𝟑𝟖𝟓𝟐𝒎
Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝝅. 𝟐𝒎 . 𝟓, 𝟑𝟖𝟓𝟐𝒎+ 𝝅. 𝟐𝟐 = 𝟒𝟔, 𝟒𝟎𝟐𝟔𝒎𝟐
El tronco de cono es un cuerpo generado por un trapecio rectángulo
que gira alrededor del lado perpendicular a las bases:
Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Truncado
Cuerpos redondos
CONO TRUNCADO
EJE RECTO Y BASES
CIRCULARES
Elementos de un tronco de cono recto:
Base menor: es el círculo que genera la rotación de
lado “a” del trapecio.
Base mayor: es el círculo que genera la rotación de
lado “b” del trapecio.
Altura: corresponde al eje del cono, une el centro de
las bases.
Generatriz: es el lado del trapecio opuesto al eje.
Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Recto Circular
g
Área total del tronco de cono = Área lateral + Área de las bases
Calculo de Área y Volumen del Cono Truncado
Volumen del tronco de cono:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝜋. 𝑟22
Á𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 𝝅. 𝒓𝟏𝟐
𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 =𝟐𝝅𝒓𝟏+𝟐𝝅𝒓𝟐
𝟐.g = 𝝅. 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 . 𝒈
S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝝅.( 𝒓𝟏𝟐 + 𝒓𝟐
𝟐 + g( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐))
Volumen =𝟏
𝟑𝝅. 𝒉.( 𝒓𝟏
𝟐 + 𝒓𝟐𝟐 + 𝒓𝟏 𝒙 𝒓𝟐)
Calcular el área total y el volumen del cono truncado circular recto del que se
conocen: r1 = 4 m r2 = 2 m altura = 5 m
Cono Truncado: ejercicio
Volumen del cono:
Área total del tronco de cono = Área lateral + Área de las bases
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 = 52 + (4 − 2)2= 5,3851 𝒎
S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝜋.( 𝑟12 + 𝑟2
2 + g( 𝑟1 + 𝑟2))
Volumen =𝟏
𝟑𝝅. 𝒉.( 𝒓𝟏
𝟐 + 𝒓𝟐𝟐 + 𝒓𝟏𝒙 𝒓𝟐)
S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝝅.(42 + 22 + 5,3851 (𝟒 + 𝟐)
S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟏𝟔𝟒, 𝟑𝟑𝟖𝟔𝒎𝟐
Vol =𝟏
𝟑𝝅. 𝟓.(𝟒𝟐 + 𝟐𝟐+4 𝒙 𝟐) = 𝟏𝟒𝟔, 𝟔𝟎𝟕𝟔𝒎𝟑