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Prof. Jenner Huamán Callirgos
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Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades homogéneas en una sola.
ADICIÓN
A + B = S
“A” y “B” son sumandos“S” es suma o total
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Axiomas de la Adición
Si a, b, c ∈ R1. ASOCIATIVA:
(a + b) + c = a + (b + c)
2. CLAUSURA
Si a, b ∈ R;entonces:
a + b ∈ R
3. CONMUTATIVA:
a + b = b + a
4. INVERSO ADITIVO:
Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y sellama inverso aditivo.
5. MODULATIVA:
Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R,luego 0 + a = a + 0 = ay 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la
adición.
6. CANCELATIVA:
Si a + c = b + c, entonces a = b.
Corolario (uniformidad)Si a = b y c = d, entonces:
a + c = b + d
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Series Básicas
1. Suma de productos consecutivos
S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)
𝑆𝑆 =)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2
3
P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)
𝑆𝑆 =)𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2)(𝑛𝑛 + 3
4
2. Suma de potencias sucesivas:
𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3+. . . +𝑎𝑎𝑛𝑛 =)𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑛𝑛 − 1
𝑎𝑎 − 1
3. Suma de números triangulares:
M= 1+3+6+10+…+ )𝑛𝑛(𝑛𝑛+1
2M= 1+(1+2)+(1+2+3)+….(1+2+3+…+n)
S=)𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+2
6
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4. suma de los cuadrados de los "n" primeros Números
enteros positivos
12+22+32+…n2 = )𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(2𝑛𝑛+1
6
5. Suma de los cubos de los "n" primeros números enteros
positivos
13+23+33+…n3 = [𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
2]2
6. Suma de los "n“ términos de una
Progresión aritmética
S = a1
+ a2
+ a3
+ ... + an
S = (𝑎𝑎1+𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛
2
También
𝑆𝑆 =[2𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑟𝑟]𝑛𝑛
2
«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.
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Adición en otros sistemas de numeración
Ejemplo:Calcular:123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)
Resolución
Colocando verticalmente lossumandos, considerando elorden(como el sistemadecimal eran las unidades,decenas, ........... etc)
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)
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Otro Ejemplo:
Calcular: “n” ; en:
( )8)8()8( 7650432325 =+ nnResolución
Colocando verticalmente
n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)
7 6 5 0(8)
• De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)
• Llevando a base decimal, se tiene:
5 + n = 8 → n = 3
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SUSTRACCIÓNEs la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dosnúmeros enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar untercer número llamado Diferencia.
Se representa mediante el operador : «–».
Términos :
M – S = D
M : MinuendoS : Sustraendo
D : Diferencia
Propiedades
La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo, es decir:
M + S + D = 2M
Dado: , donde: a > b,se cumple que:
pqbaab =−
p + q = 9
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Dado: , donde: a > cmnpcbaabc =−
Se cumple que:
n = 9m + p = 9a - c = m + 1
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
El complemento aritmético de un número positivo es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior.
Ejemplo:
CA (42) = 100 – 42 = 58
CA (228)= 1 000 – 228 = 772
CA (4 325)=10 000 – 4 325 = 5 675
En general:
CA(N) = 10K - N
K → Número de cifras de “N”
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Regla Práctica: Para hallar el complemento aritmético de un número, a partir de su mayor orden se restan las cifras de 9 y a la última cifra significativa de 10; si hay ceros al final éstos permanecen en el CA.
Ejemplo:
↓019
310468
CA( ) = 895317
CA( ) = 765500
005234
019 ↓
( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=C A =
Complementos Aritméticos enOtras Bases
• C A(34(7)) = 72 – 34(7)
• C A (429(11)) = 113 – 429(11)
• C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)
Método Práctico:
En General:C A (N(B)) = )B(
K)B( N10 −
K: números de cifras de “N”
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Sustracción en otros sistemas de numeración
Calcular: 432(5) – 143 (5)
Ejemplo:
Resolución
Recordando que en base5, “1” unidades de ordencualquiera es 5 unidadesdel orden del ordeninmediato inferior.
Explicación• 1ra Columna:
Como a “2” no se lee puede ser restar3, entonces lo que se hace es prestaruna base a “2”, es decir:
5 + 2 = 7→ 7 – 3 = 4
queda.
• 2da Columna:Como se prestó una base del 3,ahora será (3-1)=2: luego leprestaremos al 2 una base, esdecir:
5 + 2 = 7→ 7 – 4 = 3
queda.
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• 3ra Columna:Como se prestó una base de 4,entonces ahora será (4-1)=3, ya este “3” si le puede restar 1,con lo que no es necesarioprestarle una base.
→ 3 – 1 = 2queda.
∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)
Efectuar:
4 3 1(7)2 5 2(7)
Respuesta:146(7)
Resolución
-
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Aplicaciones
1. Efectuar: S = 23 + 31 + 39 + …+ 295
Resolución
Respuesta: 5565
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2. Efectuar: S = 10 + 23 + 36 …
48 sumandos
Respuesta: 15144
Resolución
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3. Efectuar: S = 8 + 10 + 17 + 20 + 26 + 30 + …
71 sumandos
Resolución
Respuesta: 12258
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4. Efectuar: S = 3 + 12 + 27 + … + 1200
Resolución
Respuesta: 8610
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5. Efectuar: S = 1 . 49 + 2 . 48 + 3 . 47 + … + 25 . 25
Resolución
Respuesta: 10725
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6. Sabiendo que: , halle el valor de m+n+p
Resolución
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑚𝑚𝑛𝑛𝑚𝑚
Respuesta: 18
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7.La suma de los tres términos de una sustracción es 792. Si el sustraendoes 4/9 menos del minuendo, hallar la diferencia.
Resolución
Respuesta: 176
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8. Si ,halle el valor de a+b+c
Resolución
𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑎𝑎(2𝑎𝑎)3) = 𝑎𝑎𝑎𝑎
Respuesta: 19
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9. La suma de los tres términos de una sustracción es 9876. Si elsustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, hallael sustraendo.
a) 1646 b) 3292 c) 1664 d) 2392 e) 2496
Resolución
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10. Hallar un número de tres cifras tal que su C.A. delnúmero es el triple del número.
A) 150 B) 250 C) 500 D) 625 E) 750
Resolución
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a0ca 8abc b7c8 ccab 24022+ + + =( )2a.b .c
•Si :
Halle:
A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325Resolución
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•Halle : ( );cba ++ si n + x =16 y
( )x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4+ + + + − =
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19
Resolución
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Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términosforman una progresión aritmética:
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645Resolución
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Hallar la suma de todos los números pares de trescifras, que se pueden formar con las cifras:0; 2; 3;5; 6 y 9.A) 48990 B) 97980 C) 45760 D) 76240E) N.AResolución
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Halle la suma de todos los números de la forma:
( ) ( )a a /2 b 2b
A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480E) 105480
Resolución