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II
ndice
ndice .................................................................................................................................2UNIDAD I .........................................................................................................................4
Los sistemas de numeracin a lo largo de la historia .......................................................4
Introduccin. El concepto de base ..............................................................................4Sistemas de numeracin aditivos ....................................................................................5
El sistema de numeracin egipcio ...............................................................................5El sistema de numeracin griego ................................................................................6
Sistemas de numeracin hbridos....................................................................................7El sistema de numeracin chino .................................................................................7
Sistemas de numeracin posicionales .............................................................................8El sistema de numeracin babilnico ..........................................................................9El sistema de numeracin maya ..................................................................................9
Numeracin romana ................................................................................................. 11Nmeros ...................................................................................................................... 12
Nmeros en jeroglficos ........................................................................................... 12Nmeros en hiertico................................................................................................ 13
Generacin de los nmeros .......................................................................................... 14Cifras o guarismos.................................................................................................... 14Cifra cero ................................................................................................................. 14
Sistema de numeracin ................................................................................................. 15Principios fundamentales ............................................................................................. 15Estudio del sistema decimal ......................................................................................... 15
Numeracin decimal hablada ....................................................................................... 15Base del sistema decimal: ......................................................................................... 15Ordenes: ................................................................................................................... 16Clases y periodos ..................................................................................................... 17Subordenes: .............................................................................................................. 17
Numeracin decimal escrita ......................................................................................... 18Principio fundamental o convenio de la numeracin decimal escrita ......................... 18
Regla para escribir un nmero ...................................................................................... 18Regla para leer un nmero ............................................................................................ 18PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................... 19
UNIDAD II ...................................................................................................................... 21Nmeros naturales........................................................................................................ 21
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III
Nmeros abstractos y concretos ................................................................................... 21Valor absoluto y relativo .............................................................................................. 21
Descomposicin de nmeros .................................................................................... 22Relaciones de igualdad y desigualdad ........................................................................... 22Leyes de la igualdad ..................................................................................................... 23
Leyes de la desigualdad ............................................................................................ 23Combinacin de igualdades y desigualdades ............................................................ 24Ordenamiento de los nmeros naturales.................................................................... 24
Nmeros naturalesoperacionespropiedades ........................................................... 24Operaciones fundamentales ...................................................................................... 25Propiedades de particulares de algunas operaciones .................................................. 28PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................ 28
UNIDAD III .................................................................................................................... 32Nmeros fraccionarios ................................................................................................. 32
Fraccin: .................................................................................................................. 33Clases de quebrados o fracciones:............................................................................. 33Reduccin y simplificacin de un quebrado. ............................................................. 34Tipos de fracciones o quebrados: .............................................................................. 36Operaciones bsicas entre nmeros fraccionarios. .................................................... 37EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 39
UNIDAD IV .................................................................................................................... 48Divisibilidad ................................................................................................................ 48
Nmero primo: ............................................................................................................. 48Nmero compuesto: ..................................................................................................... 48Primos relativos o Coprimos: ....................................................................................... 48Criterios de divisibilidad: ............................................................................................. 49Mximo comn divisor (M.C.D.) ................................................................................. 50Mnimo comn mltiplo (M.C.M.) ............................................................................... 50
EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 51BIBLIOGRAFA ............................................................................................................. 54
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Unidad I Sistemas de Numeracin 4
UNIDAD I
Los sistemas de numeracin a lo largo de la historia
Introduccin. El concepto de baseCuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al
siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representacin
ms prctico. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma
solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca distinta que los
representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se
vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se aade otra marca de la segundaclase. Cuando se alcanza un nmero determinado (que puede ser diferente del anterior
constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de
base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado
a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser ese el nmero de dedos
con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son la numeracin babilnica
que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna
irregularidad.
Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en
unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos
hacindolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y
muchos pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema
eficaz que permitiese el clculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con
exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con
otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros
requieren tal cantidad de smbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no
permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin, requiriendo
procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De
hecho cuando se empez a utilizar en Europa el sistema de numeracin actual, los
abaquistas, los profesionales del clculo se opusieron con las ms peregrinas razones, entre
ellas la de que siendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo
diablico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistemaactual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Del origen indio
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Unidad I Sistemas de Numeracin 5
del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de
Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la
Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que
permite un sistema en el que slo diez smbolos puedan representar cualquier nmero por
grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de numeracin aditivos
Para ver cmo es la forma de representacin aditiva consideremos el sistema
jeroglfico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un
smbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y milln
un jeroglfico especfico. As para escribir 754 usaban 7 jeroglficos de centenas 5 de
decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades estn fsicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los smbolos de todas las unidades,
decenas... como sean necesarios hasta completar el nmero. Una de sus caractersticas es
por tanto que se pueden poner los smbolos en cualquier orden, aunque en general se ha
preferido una determinada disposicin.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense,
azteca (de base 20), romana y las alfabticas de los griegos, armenios, judos y rabes.
El sistema de numeracin egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los nmeros
en base diez utilizando los jeroglficos de la figura para representar los distintos rdenes de
unidades.
Se usaban tantos de cada uno cmo fuera necesario y se podan escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revs o de arriba abajo, cambiando la orientacin de las figuras
segn el caso.
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Unidad I Sistemas de Numeracin 6
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron
una forma propia, y as se introdujeron smbolos particulares
para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que
disminuye el nmero de signos necesarios para escribir una
cifra.
El sistema de numeracin griego
El primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 A.C. Era un
sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente para representar esas
cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segn el principio de lasnumeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales.
Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco
(pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistemaacrofnico.
Los smbolos de 50,
500 y 5000 se
obtienen aadiendo
el signo de 10, 100 y
1000 al de 5, usando
un principio
multiplicativo.
Progresivamente este
sistema tico fue
reemplazado por el
jnico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos
segn la tabla siguiente
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De esta forma los nmeros parecen palabras, ya que estn
compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un
valor numrico, basta sumar las cifras que corresponden a
las letras que las componen. Esta circunstancia hizo
aparecer una nueva suerte de disciplina mgica que
estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras. En
algunas sociedades como la juda y la rabe, que
utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relacin
ha tenido una gran importancia y ha constituido una
disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticos y
adivinatorios.
Sistemas de numeracin hbridosEn estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para
representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos
utilizan la combinacin del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de
signos para los nmeros ms complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un smbolo
para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacin del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones,
se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se
repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dndolos por
supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero
para ello es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est vaco y
no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Adems del chino clsico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etope y
algunos del subcontinente indio cmo el tamil, el malayalam y el cingals.
El sistema de numeracin chino
La forma clsica de escritura de los nmeros enChina se empez a usar desde el 1500 A.C.aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa lasunidades y los distintas potencias de 10. Utiliza losideogramas de la figura y usa la combinacin de losnmeros hasta el diez con la decena, centena, millar ydecena de millar para segn el principio multiplicativorepresentar 50, 700 3000. El orden de escritura se hacefundamental, ya que 5 10 7 igual podra representar 57 que75.
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Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque
tambin se hace de izquierda a derecha como en el
ejemplo de la figura. No es necesario un smbolo para el
cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas,
pero an as a veces se supriman los correspondientes alas potencias de 10.
Aparte de esta forma que podramos llamar cannica se usaron otras. Para los documentos
importantes se usaba una grafa ms complicada con objeto de evitar falsificaciones y
errores. En los sellos se escriba de forma ms estilizada y lineal y an se usaban hasta dos
grafas diferentes en usos domsticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los
eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que
desde que incorpor el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
Sistemas de numeracin posicionales
Mucho ms efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la
posicin de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base
correspondiente. Slo tres culturas adems de la india lograron desarrollar un sistema de
este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas pocas llegaron al mismo principio. Laausencia del cero impidi a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccin del
mismo. Los sistemas babilnico y maya no eran prcticos para operar porque no disponan
de smbolos particulares para los dgitos, usando para representarlos una acumulacin del
signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no
hubiese representado en principio ningn obstculo. Los mayas por su parte cometan una
irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrs de las veintenas no
usaban 20 20 = 400sino 20 18 = 360 para adecuar los nmeros al calendario, unade sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que
idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin ms que un cambio en la forma en la
que escribimos los nueve dgitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro
sistema de numeracin cmo rabe, las pruebas arqueolgicas y documentales demuestran
el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los rabes
transmitieron esta forma de representar los nmeros y sobre todo el clculo asociado a ellas,
aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez ms se produjo una gran
resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran
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Unidad I Sistemas de Numeracin 9
evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar clculos difcilmente la ciencia
hubiese podido avanzar.
El sistema de numeracin babilnico
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se
desarrollaron distintos sistemas de numeracin. En siglos A.C. se invent un sistema de
base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.
Para la unidad se usaba lamarca vertical que se haca
con el punzn en forma de
cua. Se ponan tantos como
fuera preciso hasta llegar a10, que tena su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ah se usaba unsistema posicional en el quelos grupos de signos iban
representandosucesivamente el nmero deunidades, 60, 60 60 ,60 60 60 y assucesivamente como en losejemplos que se acompaan.
El sistema de numeracin maya
Los mayas idearon un
sistema de base 20 con
el 5 cmo base auxiliar.
La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El 5 era una
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raya horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para
el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aqu parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados
cada uno un solo signo, estos smbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en
el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segn el
lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a
arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un
valor relativo segn el
lugar que ocupa, la
presencia de un signo
para el cero, con el que
indicar la ausencia de
unidades de algn orden,
se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el
concepto de cantidad nula. Cmo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la
ausencia de otro nmero. Pero los cientficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en
la observacin astronmica y para expresar los nmeros correspondientes a las fechas
usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. As la cifra que ocupaba
el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy
prxima a la duracin de un ao.
El ao lo
consideraban
dividido en 18 uinalque constaba cada
uno de 20 das. Se
aadan algunos
festivos (uayeb) y de
esta forma se consegua que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del
sistema numrico. Adems de ste calendario solar, usaron otro de carcter religioso en el
que el ao se divide en 20 ciclos de 13 das. Al romperse la unidad del sistema ste se
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hace poco prctico para el clculo y aunque los conocimientos astronmicos y de otro tipo
fueron notables los mayas no desarrollaron una matemtica ms all del calendario.
Numeracin romana
El sistema de numeracin romanase desarroll en la antigua Roma y se utiliz en todo suimperio. Es un sistema de numeracin no-posicional, en el que se usan algunas letrasmaysculas como smbolos para representar los nmeros.
Smbolos Vlidos (numerales)
Los smbolos vlidos en el sistema de numeracin romano, y sus equivalencias decimalesson:
Romano Decimal Nota
I 1 Unus
V 5 Quinque. V es la mitad superior de X; en etrusco .
X 10 Decem
L 50 Quinquaginta
C 100 Letra inicial de Centum.
D 500 Quingenti. D, es la mitad de la Digamma (como phi).
M 1000 De Mille. Originalmente era la letra Digamma.
Los romanos desconocan el cero, introducido posteriormente por los rabes, as que no
existe ningn smbolo en el sistema de numeracin romano que represente el valor cero.
Los mltiples smbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos
valores, siguiendo ciertas reglas en la repeticin. En los casos en que sea ms pequea, se
permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el smbolo con un valor menor
colocado antes que un valor ms alto, de manera que, por ejemplo, uno puede escribir IV o
iv para cuatro, en lugar de iiii. As, tenemos que los nmeros no asignados a un smbolo se
crean haciendo combinaciones como las siguientes:
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Nmeros
En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeracin. Uno, escrito en
jeroglficos, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc, que seus en el periodo Predinstico. El segundo, el sistema hiertico, escrito con un nuevo tipo
de cifras que asimilaba un numero a un smbolo, se diferenci del sistema jeroglfico por
simplificar los smbolos para poder escribir ms rpido, y comenz alrededor 2150 a. C.
Una numeracin jeroglfica tarda fue modificada y adoptada en el Periodo Romano
para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.
Nmeros en jeroglficos
El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal, redondeando a menudo al
nmero ms alto, y escrito con Jeroglficos.
Los siguientes jeroglficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:
Romanomaysculas
Romanominsculas
Nominacin
II ii dos
III iii tres
IV iv cuatro
VI vi Seis
VII vii Siete
VIII viii Ocho
IX ix Nueve
XXXII xxxii treinta y dos
XLV xlv cuarenta y cinco
Para nmeros con valores iguales osuperiores a 4000, se coloca unalnea horizontal por encima delnmero, para indicar que la base dela multiplicacin es por 1000:
Romano(miles)
Decimal Nominacin
V 5000 cinco mil
X 10000 diez mil
L 50000 cincuenta mil
C 100000 cien mil
D 500000 quinientos mil
M 1000000 un milln
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Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 milln, oinfinito
Jeroglfico
o
Los mltiplos de estos valores fueron expresados repitiendo el smbolo tantas veces comofuera necesario. Por ejemplo, una piedra tallada de Karnak muestra el nmero 4622 como
Los jeroglficos egipcios podan ser escritos dentro del texto. En este ejemplo, se escribende izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
Adems de este sistema de numeracin, en la antigua lengua egipcia podan escribir losnmeros con las palabras que los representaban, es decir, podan escribir "treinta" en lugarde "30", aunque esto era infrecuente para la mayora de los nmeros.
"Treinta", por ejemplo, se escriba como: El nmero "30" era:
Nmeros en hiertico
Para los nmeros hierticos utilizaron un smbolo para cada nmero, sustituyendo
las cifras que haban sido utilizadas para designar mltiplos de la unidad. Por ejemplo,
utilizaban dos smbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etctera, en un sistema que
reemplaz al modo jeroglfico.
Como la mayora de textos administrativos y de contabilidad fue escrita en papiros
u ostracas, y no grabados en piedra como los textos jeroglficos, emplean el sistema
hiertico de escritura, siempre los casos encontrados de nmeros escritos en hiertico son
posteriores al Imperio Antiguo. Los papiros de Abusir son una recopilacin
particularmente importante de textos que utilizan estos nmeros.
Boyer demostr hace 50 aos que esa escritura utilizaba un sistema de numeracindiferente, usando smbolos individuales para los nmeros 1 a 9, los mltiplos de 10 entre
http://es.wikipedia.org/wiki/Ostracahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ostraca -
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10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un
nmero grande como 9999 se poda escribir con solamente cuatro signos, combinando los
signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglficos.
Dos papiros matemticos famosos que usan la escritura hiertica son el de Mosc y
el de Rhind. Este ltimo contiene ejemplos de cmo los egipcios hicieron sus clculos
matemticos, y los nmeros fueron designados poniendo una lnea sobre la letra asociada
al nmero que era escrito, como /A. Este mtodo de escribir nmeros se extendi por el
Cercano Oriente, y los griegos, 1.500 aos ms tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos,
jnico y drico, para representar sus nmeros: /alfa = 1, /beta = 2 y as sucesivamente.
Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeracin
y resolucin de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeracin egipcia, laaritmtica y otros aspectos de la matemticas egipcia.
Generacin de los nmeros
Los nmeros se forman por agregacin de unidades. As, si a una unidad o nmero
uno agregamos una unidad, resulta el numero dos; si a ste agregamos otra unidad, resulta
el tres; si a ste agregamos otra unidad, resulta el cuatro, y as sucesivamente.
Cifras o guarismos
Son los signos que se emplean para representar los nmeros.
Las cifras que empleamos, llamadas cifras arbigas porque fueron introducidas por los
rabes en Espaa, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
El cero recibe el nombre de cifra no significativa o cifra auxiliar y los dems son cifras
significativas.
Cifra cero
El cero representa los conjuntos nulos o conjuntos que carecen de elementos.
As pues, la cifra cero carece de valor absoluto y se emplea para escribirla en el
lugar correspondiente a un orden cuando en el nmero que se escribe no hay unidades de
ese orden, la palabra cero proviene de la voz rabe ziffero, que significa lugar vacio.
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Unidad I Sistemas de Numeracin 15
NUMERO DIGITO: es el que consta de una sola cifra, como 2, 3, 7, 8.
NUMERO POLIDIGITO: es el que consta de dos o ms cifras, como 18, 245.
Sistema de numeracinEs un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los nmeros.
BASE: de un sistema de numeracin es el nmero de unidades de un orden que
forman una unidad del orden inmediato superior. As, en el sistema decimal empleado por
nosotros, la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez
decenas forman una centena, etc.
En el sistema duodecimal, que tambin se emplea mucho en la prctica, la base es 12porque 12 unidades forman una docena y 12 docenas forman una gruesa.
Principios fundamentales
En los sistemas de numeraciones se cumplen los siguientes principios:
1) Un nmero de unidades de un orden cualquiera, igual a las base, forma una unidaddel orden inmediato superior.
2) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayoresque las que representa la anterior, como unidades tenga la base. Este es el principio
de valor relativo.
3) En todo sistema, con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el cero, sepueden escribir todos los nmeros.
Estudio del sistema decimal
Es el que tiene por base 10. Es el que empleamos nosotros.
Numeracin decimal hablada
Base del sistema decimal:
La base del sistema decimal es 10, lo que significa que diez unidades de un orden
cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superiory viceversa, una unidad
de un orden cualquiera est formada por diez unidades del orden inmediato inferior.
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Unidad I Sistemas de Numeracin 16
La numeracin decimal consta de rdenes y subrdenes.
Ordenes:
Si al nmero 1, que es la unidad de primer orden, aadimos sucesivamente, y una
a unas unidades, formaremos los nmeros dos, tres, cuatro, cinco,etc. hasta llegar a diez
unidades, que ya forman una decenao unidad del orden superior inmediato.
Decenaes la unidadde segundo ordeny es la reunin de diez unidades. A una decena
aadimos los nombres de los nueve primeros nmeros y obtendremos el once, doce, trece,
etc., hasta llegar a veinte o dos decenas. Llegamos a treinta o tres decena, cuarenta,
cincuenta. Cien o diez decenas, que ya forman una unidad del orden superior
inmediato.
Centenaes la unidad de tercer ordeny es la reunin de diez decenas o cien unidades.
Al reunir un conjunto de diez centenas llegamos a una unidad del orden superior
inmediato.
Millar es la unidad de cuarto ordeny es la reunin de diez centenaso mil unidades.
Decena de millares la unidad de quinto ordeny es la reunin de diez millareso diez
mil unidades.
Centena de millares la unidad de sexto ordeny es la reunin de diez decenas de millar.
De la misma manera llegamos al
Milln o unidad de sptimo ordenque consta de diez centenas de millar o mil millares;
Decena de millno unidad de octavo ordenque consta de diez millones.
Centena de milln o unidad de noveno orden
Unidad del millar de milln o unidad de decimo orden
Decena de millar de milln o unidad de undcimo orden
Centena de millar de milln o unidad de duodcimo orden
Billn o unidad de decimo tercer ordeny que es la reunin de un milln de millones.
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Unidad I Sistemas de Numeracin 17
Trilln o unidad de dcimo noveno orden que es la reunin de un milln de billones.
Cuatrilln o unidad de vigsimo quinto ordenque es la reunin de un milln de trillones.
Quinquillno unidad de trigsimo primer orden;etc.
Clases y periodos
Reunin de tres rdenes, comenzando por las unidades simples constituye una
clase;as, las unidades, decenas y centenas forman la clase de las unidades;las unidades
de millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; las
unidades de milln, decenas de milln, centenas de milln forman la clase de los millones;
las unidades de millar de milln, decenas de millar de milln y centena de millar de milln
forman la clase de los millares de milln;las unidades de billn, decenas de billn y las
centenas de billn forman la clase de los billones, y as sucesivamente.
La reunin de las clases forma un periodo. As, la clasede las unidades y la clase
de los millares forman el periodo de las unidades; la clase de los millones y la de los
millares de milln forman el periodo de los millones; la clase de los billones y la de los
millares de billn forman el periodo de los billones; y as sucesivamente.
Subordenes:
Del mismo modo que la decena consta de diez unidades, la centena de diez decenas,
etc., podemos suponer que la unidad simple o de primer orden est dividida en diez partes
iguales que reciben el nombre de decimas y que constituyen el primer suborden; cada
dcima se dividen en otras diez partes iguales llamadas centsimas y que forman el
segundo suborden; cada centsima se divide en otras diez partes iguales llamadas
milsimas que forman el tercer suborden; y as sucesivamente se van obteniendo las
diezmilsimas o cuarto suborden; las cienmilsimas o quinto suborden; las
diezmillonsimas o sexto suborden; etc.
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Unidad I Sistemas de Numeracin 18
Numeracin decimal escrita
Principio fundamental o convenio de la numeracin decimal escrita
Es que toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades diez veces
mayores que las que representan la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de
otra representa unidades diez veces menores que las que representan la anterior.
Valor absoluto y relativo
Toda cifra tiene dos valores: absolutoy relativo.
Valor absolutoes el que tiene el nmero por su figura; valor relativoes el que tiene el
nmero por el lugar que ocupa.
Ej: 4344, el valor absoluto de los tres 4 es el mismo; cuatro unidades, pero el valor
relativo del 4 de la derecha es 4 unidades del primer orden; pero el valor relativo del 4 de
las decenas es 4 10 = 40 unidades de primer orden; el valor relativo del 4 de los
millares es 4 10 10 10 = 4000unidades del primer orden.
Regla para escribir un nmero
Para escribir un nmero se van anotando las unidades correspondientes a cada
orden, comenzando por las superiores, poniendo un cero en el lugar correspondiente al
orden del cual no haya unidades y separando con un punto los rdenes de los subrdenes.
Regla para leer un nmero
Para leer un numero se divide en grupos de a seis cifras empezando por la derecha,
colocando entre el primero y el segundo grupo y abajo el numero 1, entre el segundo y el
tercero el numero 2, entre el tercero y el cuarto el numero 3, y as sucesivamente. Cada
grupo de seis cifras se divide por medio de una coma en dos grupos de a tres. Hecho esto,
se empieza a leer el nmero por la izquierda, poniendo la palabra trilln donde haya un tres,
billn donde haya un dos, milln donde haya un uno y mil donde se encuentre una coma.
Si el numero tiene parte decima se lee sta a continuacin de la parte entera, dndole la
denominacin del ltimo suborden.
Ej. Leer el nmero 56784321903423456,245
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Unidad I Sistemas de Numeracin 19
Para leerlo escribiremos de este modo: 56,7842321,9031423,456.245 y se leer:
56mil 784billones, 321 mil 903 millones, 423 mil 456 unidades y 245 milsimas.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Escribir los nmeros utilizando la tabla.1.1.Ciento cuatro unidades, ocho centsimas.
1.2.Tres mil tres billones, trescientos treinta mil, trescientos treinta.
1.3.Seis trillones, seis billones, seiscientos sesenta millones, seiscientos mil,
seiscientos seis.
1.4.Treinta mil treinta unidades, ciento cuatro cien milsimas.
1.5.Dos mil unidades, dos mil dos millonsimas.
1.6.Quince mil millones, quince millonsimas.
1.7.Ciento cuarenta y cuatro millones, ciento cuarenta y cuatro.
1.8.Seiscientos cuarenta y dos unidades
FORMACI N DE LOS N MEROS4to. periodo 3er. periodo 2do. periodo 1er. periodo
Coma
decimal
Parte decimalClase de losmillares de
trillones
Clase de lostrillones
Clase de losmillares debillones
Clase de losbillones
Clase de losmillares demillones
Clase de losmillones
Clase de losmillares
Clase deUnidades
Centenasdemillardetrilln
Dece
nasdemillardetrilln
Unidadesdemillardetrilln
Centenasdetrilln
Dece
nasdetrilln
Unidadesdetrilln
Centenasdemillardebilln
Dece
nasdemillardebilln
Unidadesdemillardebilln
Centenasdebilln
Dece
nasdebilln
Unidadesdebilln
Centenasdemillardemilln
Dece
nasdemillardemilln
Unidadesdemillardemilln
Centenasdemilln
Dece
nasdemilln
Unidadesdemilln
Centenasdemillar
Dece
nasdemillar
Unidadesdemillar
Centenas
Dece
nas
Unidades
Dcimo
Centsimo
Milsimo
Diezmilsimo
Cienmilsimo
Millo
nsimo
Diezmillonsimos
Cienmillonsimos
Milm
illonsimos
Diez
milmillonsimos
Cien
milmillonsimos
24orden
23orden
22orden
21orden
20orden
19orden
18orden
17orden
16orden
15orden
14orden
13orden
12orden
11orden
10orden
9orden
8orden
7orden
6orden
5orden
4orden
3orden
2orden
1orden
1suborden
2suborden
3suborden
4suborden
5suborden
6suborden
7suborden
8suborden
9suborden
10suborden
11suborden
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Unidad I Sistemas de Numeracin 20
1.9.Ciento quince mil quinientos cincuenta y cinco
1.10. Quinientos dos millones trescientos diecisis1.11. Seiscientos millones doce mil once1.12. Dos millones ochocientos veintids mil setecientos trece1.13. Ocho mil novecientos1.14. Doce mil ciento veintitrs1.15. Un milln doce
2. Escribe en letras los siguientes nmeros.2.1.3 554 021:2.2.1 598 458 001:2.3.5 001 002,05:2.4.4 000,125:2.5.9 789 124, 002:
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Unidad II Nmeros Naturales 21
UNIDAD II
Nmeros naturales
Un nmero natural es un concepto abstracto que simboliza cierta propiedad comn
a todos los conjuntos coordinables entre s.
La sucesin fundamental cosas, personas, animales, etc. que se desea representa
est dada por nmeros. Estos son los llamados cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,
ocho, nueve, etc. y los representamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Esta sucesin o serie
infinita es lo que se llama serie de los nmeros naturales.
La coordinacin de conjuntos es lo que ms veces se realiza. Por ejemplo:
necesitamos cantidad de invitados para un acontecimiento, de modo a prever la cantidad de
sillas, cubiertos, etc. concluimos que hemos coordinado la cantidad de invitados con la
cantidad de sillas, mesas, cubiertos. No hemos hecho otra cosa que contar. Contar un
conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los nmeros naturales
comenzando por el 1.
Nmeros abstractos y concretos
Abstracto: es el nmero propiamente dicho.
Concretos: cuando contamos los elementos de un conjunto dado.
Nmero cardinal: cuando se cuenta los elementos de un conjunto, el nmero quecorresponde al ltimo elemento se llama nmero cardinal del conjunto.
Nmero ordinal: cuando se cuentan los elementos de un conjunto, el nmero natural que
corresponde a cada elemento del conjunto se llama nmero ordinal.
Valor absoluto y relativo
Toda cifra tiene dos valores: absolutoy relativo.
Valor absolutoes el que tiene el nmero por su figura; valor relativoes el que tiene el
nmero por el lugar que ocupa.
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Unidad II Nmeros Naturales 22
Ej: 4344, el valor absoluto de los tres 4 es el mismo; cuatro unidades, pero el valor
relativo del 4 de la derecha es 4 unidades del primer orden; pero el valor relativo del 4 de
las decenas es 4 10 = 40 unidades de primer orden; el valor relativo del 4 de los
millares es 4 10 10 10 = 4000unidades del primer orden.
Descomposicin de nmeros:
Forma aditiva: En esta forma se descompone el nmero teniendo en cuenta las unidades delos distintos rdenes, luego se las deja como una suma indicada.
Ej. 3547 = 3000 + 500 + 40 + 7
Forma multiplicativa: en esta forma, se explicita ms cuntas unidades de cada orden esten cada cifra relativa.Ej. 3547 = 3 1000 + 5 100 + 4 10 + 7 1
Forma polinmica: en esta forma, simplemente se altera las unidades de orden de lamultiplicativa en potencias de diez.
Ej. 3547 = 3 103 + 5 102 + 4 101 + 7 100
Relaciones de igualdad y desigualdad
Igualdad entre nmeros naturales: nmeros iguales son los que representan conjuntoscoordinables.
Desigualdad entre nmeros naturales: cuando los conjuntos no son coordinables entre s,tienen desigual nmero.
Representacin grafica de la igualdad y desigualdad numrica.
Dos nmeros son iguales cuando representan a dos conjuntos coordinables,conjuntos con igual nmero de elementos, luego los nmeros son iguales.Ejemplo:Dados:El conjunto de las vocales: = ,, , ,El conjunto de los nmeros: = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
Ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, 5.
5 = 5
0 1 2 3 4 5 6
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Unidad II Nmeros Naturales 23
Dos nmeros son desiguales cuando representan a dos conjuntos no coordinables,conjuntos con desigual nmero de elementos.Ejemplo:Dados:
El conjunto de las letras de la palabra amor:
=
,
,
,
El conjunto de los nmeros: = 1 , 2 , 3 , 4 , 5El primero posee una cardinalidad igual a 4 mientras que el segundo, 5. Concluimos que elprimero representa a un nmero menor de elementos en relacin al segundo que elsegundo representa a un nmero mayor de elementos en relacin al primero.
4 < 55 > 4
Los nmeros naturales se representan grficamente en una recta:
Si dos nmeros son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numrica. Si un nmero es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor. Si un nmero es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.
Leyes de la igualdad
Las leyes de la igualdad son tres:1) Carcter idntico: Todo nmero es igual a s mismo.= 2) Carcter recproco: Si un nmero es igual a otro, ste es igual al primero.= ; = 3) Carcter transitivo: Si un nmero es igual a otro y ste es igual a un tercero, el
primero es igual al tercero.
=
=
;
=
Leyes de la desigualdad
1. No existe el carcter idntico: Es imposible que un nmero sea mayor o menor que lmismo.
2. No existe el carcter recproco: Si un nmero es mayor que otro, este ltimo nopuede ser mayor que el primero, sino menor.
3. Existencia del carcter transitivo.3.1.Si un nmero es mayor que otro y ste es mayor que un tercero, el primero es
mayor que el tercero. > > ; >
0 1 2 3 4 5 6
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Unidad II Nmeros Naturales 24
3.2.Si un numero es menor que otro y ste es menor que un tercero, el primero esmenor que el tercero < < ; <
Combinacin de igualdades y desigualdades
Analizaremos los siguientes tres casos:
1. Combinacin de igualdades y desigualdades que tengan todas el signo >.Combinar: = , > , > , > Resulta: = > > > y de aqu se tiene que: >
2. Combinacin de igualdades y desigualdades que tengan todas el signo , > , < Resulta: = > > < y de aqu no se puede deducir relacin algunaentre a y p pues puede ser que: = , > , <
Ordenamiento de los nmeros naturales
Atendiendo a la funcin de coordinacin entre elementos de conjuntos y nmeros
abstractos, que no es otra cosa que ir contando los elementos. En la sucesin de nmeros
naturales observamos que cada conjunto tiene menos elementos que el siguiente, por tanto
la sucesin hasta el conteo es parcial con relacin al siguiente. Luego cada nmero natural
es menor del siguiente y es mayor del anterior.
0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 La serie de nmeros naturales tiene una ordenacin ascendente.
Nmeros naturalesoperacionespropiedades
Si los nmeros solo sirvieren para contar, su utilidad sera muy relativa. Poco a
poco, el hombre fue descubriendo como operar con ellos, es decir, como sumar, restar,
multiplicar y dividir nmeros. Para los antiguos, nuestro vulgar clculo aritmticopresentaba dificultades prcticamente insuperables, por lo cual inventaron mtodos
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Unidad II Nmeros Naturales 25
especiales para facilitar los clculos, los romanos emplearon para ello una tabla provista de
ranuras, en la que deslizaban unas bolitas, llamadas calculli, de donde derivan la palabra
calcular. Esta dificultad para calcular se deba fundamentalmente a que no disponan un
sistema prctico de numeracin.
Por un sistema de numeracin debemos entender un conjunto de smbolos y un
conjuntos de reglas para combinar estos smbolos, para poder nombrar todos los nmeros
un smbolo o un conjunto de smbolos que se usa para nombrar un numero, se llama
numeral.
Operaciones fundamentales
1) SUMA O ADICIONSumar dos o ms conjuntos (sumandos), que no tienen elementos comunes, es reunir en un
solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados y solo ellos.
Propiedades:
a) Propiedad asociativa: Si a , b y c son nmeros naturales cualesquiera, + += + + . Como la adicin es asociativa, podemos escribir simplemente
+
+
en lugar de
+
+
o de
+
+
, lo cual significa que podemos
eliminar los parntesis.b) Propiedad conmutativa: Si ay bson nmeros naturales cualesquiera, se tiene que+ = + . Esta propiedad suele enunciarse diciendo: el orden de los
sumandos no altera la suma.
c) Existencia del elemento neutro: Hay un nmero natural que desempea un papelmuy especial en la adicin. Este nmero es el cero. Tiene la propiedad de qu:
+ 0 =
es decir, la suma de 0 (cero) y cualquier otro numero natural a, es el
mismo nmero natural. El cero se llama elemento neutro.d) Propiedad cancelativa: Si a, by c son nmeros naturales cualesquiera y + =+ , entonces = 0e) Propiedad aditiva de la igualdad: si = , entonces + = + , cualesquiera
sean los nmeros a, b y c.
2) RESTA O DIFERENCIALa resta de dos nmeros ay b, consiste en encontrar otro nmero que sumado con bnos da. Al nmero ase le llama minuendo y a bsustraendo.
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Unidad II Nmeros Naturales 26
Propiedades:
La diferencia no cumple con las propiedades de la suma: no es asociativa, no es
conmutativa, no es cancelativa. El cero es neutro solo si acta como sustraendo.
3) MULTIPLICACION O PRODUCTOEs una operacin que a los nmeros a , bhace corresponder un numero cllamado producto
de ay b, y que simbolizamos . . Cada uno de los nmeros ay b son llamados factores.Propiedades:
a) Propiedad asociativa: Si a , b y c son nmeros naturales cualesquiera, se tiene:= . La propiedad asociativa permite escribir simplemente . . enlugar de
o de
.
b) Propiedad conmutativa: Si ay bson nmeros naturales cualesquiera, se tiene que= . Esta propiedad suele enunciarse diciendo: el orden de los factores noaltera el producto.
c) Existencia del elemento neutro: cualesquiera sea el numero natural a, se tieneque: . 1 = 1.= .
d) Existencia del elemento nulo: cualesquiera sea el numero natural a, se tiene que:
. 0 = 0.
= 0.
e) Propiedad distributiva respecto a la adicin y la diferencia:Cualesquiera sean los nmeros a, b y c, se tiene que:+ = + =
f) Propiedad multiplicativa de la igualdad: si = , entonces = , cualesquierasean los nmeros a, b y c.
g) Propiedad cancelativa de la igualdad: si
=
y
0, entonces
=
4) DIVISION O COCIENTELa divisin de un numero D (dividendo) entre un numero d (divisor), escrito ,consiste en calcular otro numero c (cociente) tal que multiplicado por c nos resulte D.
Propiedades:
La divisin no cumple con las propiedades de la multiplicacin: no es asociativa, no es
conmutativa, no es cancelativa. El 1 (uno) es neutro solo cuando acta como dividendo, el
cero es nulo solo cuando acta como dividendo, la divisin entre cero no existe.
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Unidad II Nmeros Naturales 27
5) POTENCIACIONLa potenciacin es una operacin que podra llamarse una multiplicacin de factores
iguales escrito en forma abreviada. Su notacin es:
donde a se llama base, y n se
llama exponente. Significa que a se multiplica por s misma n veces.
Propiedades:
a) Todo nmero elevado a la unidad es igual a la base: 1 = b) Todo nmero elevado a la potencia cero es igual a la unidad: 0 = 1c) Producto de dos potencias de igual base: es igual a otra potencia de igual base y
cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores: . =
+
d) Divisin de dos potencias de igual base: es igual a otra potencia de igual base ycuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de los
divisores:Escriba aqu la ecuacin. = e) Potencia de potencia: la potencia de exponente m de la potencia n es un
numero b es una potencia de la base b de exponente m.n = f) Propiedad distributiva de la potenciacin con respecto a la multiplicacin y
divisin:
. = . = La potenciacin no es distr ibuti va respecto a la suma y la r esta.
6) RADICACION (con algunas propiedades para nmeros enteros)Encontrar la raz de un numero consiste en encontrar otro que elevado a n nos d el
numero original.
= si ocurre que = Propiedades:a) Toda raz de ndice par de un nmero positivo, tiene doble signo.
b) Toda raz de ndice impar de un nmero positivo, es positiva.c) Toda raz de ndice impar de un nmero negativo, es negativa.d) Toda raz de ndice par de un nmero negativo, NO EXISTE EN EL CONJUNTO
DE LOS REALES.
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Unidad II Nmeros Naturales 28
e) Radicacin de una raz: la raz de ndice n de otra raz de ndice m con cantidadsubradical a es igual a otra raz de ndice mn: = .
f) Propiedad distributiva de la potenciacin con respecto a la multiplicacin ydivisin: . = . =
La radicacin no es distri buti va respecto a la suma y la resta.
Propiedades de particulares de algunas operaciones
La suma de dos nmeros ms su diferencia es igual al duplo del mayor.8 + 5+ 8 5= 2 88 + 5 + 8 5 = 8 + 8 = 16
La suma de dos nmeros menos su diferencia es igual al duplo del menor.8 + 5 8 5= 2 58 + 5 8 + 5 = 5 + 5 = 10
Cuando se divide la suma de dos nmeros entre su cociente aumentado en uno, seobtiene el menor de los nmeros.
102 5 + 1= 102 6 = 17 Cuando se divide la diferencia de dos nmeros entre su cociente disminuido en uno,
se obtiene el menor.
8888 91= 8888 8 = 1111PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Representar grficamente:1.1. 3 = 5
1.2. 5 < 8
1.3. 6 > 4
2. Reunir en una sola expresin = , > , > y hallar la relacin entre a y b.3. M es menor que N, P es igual a Q, P es mayor que N y Q es menor que S. Cmo
es M con relacin a S? R:
8
12
Tipos de fracciones o quebrados:
Segn la comparacin de unos respectos a otros.
Fracciones homogneas: Son aquellas tienen el mismo valor numrico eldenominador.
1
8,
5
8,
0
8,
3
8,
8
8
Fracciones heterogneas: Son los que tienen distintos denominadores.1
2,
3
4,
2
3,
5
6,
3
8
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 37
Operaciones bsicas entre nmeros fraccionarios.
1. Adicin de fracciones.1.1.Adicin de fracciones homogneas.
Para sumar fracciones homogneas se suman losnumeradores y como denominador el mismo.
1.2.Adicin de numerales heterogneos.
Mtodo grfico:
Sea 14
+1
3
Graficamos la operacin:
Dividimos cada cuarto en tres partes y cada tercio en cuatro partes iguales.
Reemplazamos ahora las fracciones equivalentes y adicionamos como nmerosfraccionarios homogneos.
1
4+
1
3=
3
12+
4
12=
7
12
Mtodo del M.C.M.:
1.3.Adicin de numerales mixtos.
Hallar la suma de los enteros y de las fracciones
21
4
+ 12
4
= 33
4
1
4
1
3
1
4=
3
12
1
3=
4
12
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 38
Otra forma de efectuar es:
Convertir los numerales mixtos a fracciones impropias, hallar la suma y luego extraer losenteros contenidos.
2 14
+ 1 24
= 94
+ 64
= = 2. Sustraccin
2.1.Sustraccin de fracciones homogneas.
Para restar fracciones
homogneas, se restan losnumeradores y comodenominador el mismo.
2.2.Sustraccin de fracciones heterogneas.
Aplicamos el mtodo del mnimo comn mltiplo de la suma, considerando la operacinde sustraccin.
3. Multiplicacin de fracciones Para multiplicar numero fraccionarios se
multiplican los numeradores entre si y losdenominadores entre s.
Si uno de los factores es entero, semultiplica el entero por el numerador y comodenominador el mismo.
Si los factores son numerales mixtos sereducen a fraccin simple impropia y luego se efecta la multiplicacin.
4. Divisin de nmeros fraccionarios.Es importante recordar el concepto de fracciones recprocas, es el inverso de la fraccin
dada. Por ejemplo, de3
4su recproco es
4
3.
Mtodo de los recprocos.Al dividir dos fracciones, identificamos el dividendo y divisor, aplicamos una sencillaregla que es: cambiar la divisin por la multiplicacin del divisor invertido o elrecproco.
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 39
Ejemplo:12
35
4
5=
12
35
5
4=
Mtodo de la fraccin compleja:
Tambin recordamos el concepto de fraccin compleja, es aquella fraccin cuyonumerador y denominador o uno de ellos es fraccionario.
12
35
4
5=
123545
=12 5
35 4=
Aqu se aplica aquella regla entre fracciones equivalentes: el
producto de los extremos es igual al producto de los medios
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Cmo se llaman las partes iguales en que se divide la unidad si se divide en 12partes, 15 partes, 27 partes, 56 partes iguales?
2. Escriba los siguientes quebrados: siete dcimos; catorce diecinueveavos; doscientoscincuenta, ciento treinta y dosavos; cincuenta y nueve, cuatrocientos ochenta ynueveavos; mil doscientos cincuenta y tres, tres mil novecientos ochenta ynueveavos.
3. Si una manzana la divido en 5 partes iguales y a un muchacho le doy tres de esaspartes y a otro el resto, cmo se llaman las partes que he dado a cada uno de ellos?
4. Convertir en quebrados simples o fracciones impropias.4.1.1
1
2
4.2.11
8
4.3.73
4
4.4.92
3
4.5.182
3
4.6.12 3
11
4.7.153
8
4.8.53 9
17
4.9.8 1
102
4.10. 101 1318
5. Hallar los enteros contenidos en un quebrado impropio5.1.
12
3 5.2.
115
35
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 40
5.3.215
73
5.4.318
90
5.5.195
63
5.6.3115
417
5.7.2134
289
5.8.601
217
5.9.354
61
5.10. 40133
6. Reducir:6.1.
3
5a 35avos R:
21
35
6.2.1
6a 42avos R:
7
42
6.3.9
22a 176avos R:
72
176
6.4.12
19
a 133avos R:84
133
6.5.3
5a 35avos R:
21
35
6.6.8
21a 105avos R:
40
105
6.7.7
29a 841avos R:
203
841
6.8.24
25a 200avos R:
192
200
6.9.33
29
a 174avos R:198
174
6.10. 1131
a 9610avos R:3410
9610
7. Reducir:7.1.
7
14a medios. R:
1
2
7.2.6
15a quintos. R:
2
5
7.3.8
20a quintos. R:
2
5
7.4.2024
a sextos. R: 56
7.5.25
35a sptimos. R:
5
7
7.6.96
126a 21avos. R:
16
21
7.7.50
55a 11avos. R:
10
11
7.8.60
90a 18avos. R:
12
18
7.9.
225
335a 67avos. R:
45
677.10. 640
816a 102avos. R:
80
102
-
7/22/2019 CUADERNILLO MAT EDUCACIN - NIVELACION
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UNIVERSID D N CION L DEL ESTEF CULT D DE FILOSOFCURSO DE NIVELACIN DE MATEMTICA
Unidad III Nmeros Fraccionarios 41
8.1. Reducir al mnimo comn denominador
7.11. 12,
1
4 R:
2
4,
1
4
7.12. 25,
1
15 R:
6
15,
1
15
7.13. 13,
2
9 R:
3
9,
2
9
7.14. 38,
7
30 R:
45
120,
28
120
7.15. 712
,11
15 R:
35
60,
44
60
7.16. 110
,3
27,
7
30 R:
9
90,
10
90,
21
90
7.17. 56,
7
20,
11
25 R:
250
300,
105
300,
132
300
7.18. 715, 245, 1160 R: 84180, 8180, 331807.19. 1
6,
2
9,
3
8 R:
12
72,
16
72,
27
72
7.20. 16,
1
12,
1
24 R:
4
24,
2
24,
1
24
8. Simplificar:8.1.
2
5+
3
5+
4
5= R: 1
4
5
8.2.2
3+
5
6= R: 1
1
2
8.3.7
5+
8
15+
11
60= R: 2
7
60
8.4.7
90+
11
30+
3
80+
7
40= R:
473
720
8.5.8
72+
71
144+
5
36+
8
27= R: 1
17
432
8.6. 1
324+
1
162+
5
108+
1
14+
1
21= R:
11
63
8.7.31
4+ 5
3
4= R: 9
8.8.81
9 + 107
9 + 161
9 = R: 35
8.9.21
5+ 4
1
10+ 8
3
25= R: 14
21
50
8.10. 7 + 87
= R: 81
7
8.11. 1412
+ 60 = R: 611
6
8.12. 6 + 2 130
+ 5 + 7 1
45= R: 20
1
18
8.13.
1
4
+1
2
+1
3+
1
6
= R: 11
4
-
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 42
8.14. 5 16
+ 21
9+ 3
1
12 + 3
5+
7
3+
2
15= R: 13 77
180
8.15. 232511
25 7
25= R:
1
5
8.16. 1936
7
80
11
90= R:
229
720
8.17. 9 910 = R: 8 1108.18. 6 5
6 3 1
6= R: 3
2
3
8.19. 14 1145 5 7
60= R: 9
23
180
8.20. 9 16 7 2
3= R: 1
1
2
8.21. 9
4
1
2= R: 4
1
2
8.22. 1 78 1 = R: 788.23. 23
+5
6 1
12= R: 1
5
12
8.24. 34 5
8+
7
12= R:
17
24
8.25. 3 + 35 1
8= R: 3
19
40
8.26. 6 + 1 13 2
5= R: 6
14
15
8.27. 38
1
6+
1
12= R:
1
8
8.28. 27 3 38 2 14= R: 25 788.29. 1
2+
4
3 1
2+
1
6= R: 1 1
6
8.30. 8 14
+1
85 3 1
3= R:
1
24
8.31. 719
19
13
26
21= R:
2
3
8.32. 9 29
1 1
83 2
3
21= R: 20
8.33. 35 13 5 116 = R: 1 1808.34. 16 3
5 7
10 1
159= R:
1
10
8.35. 512
3
4= R:
5
9
8.36. 26 18
= R: 208
8.37. 1 12
21
3= R:
9
14
8.38. 12 34 32 = R: 49
-
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 43
8.39. 35
23
+5
6= R: 2
5
8.40. 58
10
50 10 1
12= R:
3
242
9. Reducir a fraccin simple.9.1.
5
38 = R: 13 13
9.2.2
33
7 = R: 1 59
9.3.
1
3+
2
5+
1
3023
30
= R: 1
9.4.
3
4+
5
6
3
51
22775 = R: 121
2
9.5.2
5 +3 10 1 202
3 +1 9 +5 6 = R: 11729010.Resolver los siguientes planteamientos:
10.1. Pedro ha estudiado 3 23horas, Enrique 5
3
4horas y Juan 6 horas. Cunto han
estudiado los tres juntos? R: 15 5
12horas.
10.2. Si empleo 58del da a trabajar; Qu parte del da descanso? R: 3
8
10.3. Un hombre vende 13 de su finca, alquila
1
8 y lo restante lo cultiva. Qu
porcin de la finca cultiva? R:13
24
10.4. Cunto es los 56de los
3
5del triplo de 40? R: 60
10.5. 111
de las aves de una granja son gallos,2
13son gallinas,
5
143 palomas y las
206 aves restantes son patos. Cuntas aves hay en total en la granja? R: 286
10.6. Un hombre al morir manda entregar los 718
de su fortuna a su hijo mayor,
los5
11al hijo menor y los $620 restantes a un sobrino. Cul era su fortuna y
cunto recibi cada hijo? R: $3960; mayor, $1540; menor, $1800.
10.7. Compre un traje y un anillo. El traje me cost $45 y esta cantidad es los 59
del precio del anillo. Cunto cost ste? R: $81
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 44
10.8. En un colegio hay 42 alumnos varones que representan los 313
del total de
alumnos. Cuntos alumnos hay y cuntas nias? R: 182 alumnos; 140 nias.
10.9. Compre un traje por $30 y lo vendo ganando los 310
del costo. Hallar el
precio de la venta. R: $39
10.10.Un padre deja al morir $4500 para repartir entre sus tres hijos. El mayordebe recibir
2
9de la herencia; el segundo
1
5de la parte del anterior; y el tercero lo
restante. Cunto recibir cada uno? R: mayor, $1000; medio, $200; menor,$3300.
ANALIZA LOS GRAFICOS Y RESUELVE SEGN CADA CONSIGNA
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 45
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 46
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Unidad III Nmeros Fraccionarios 47
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Unidad IV MCD y MCM 48
UNIDAD IV
MXIMO COMN DIVISOR (MCD) Y MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)
Antes de abordar conceptos de MCD y MCM, debemos recordar los criterios de
divisibilidad.
Divisibilidad
Son ciertas seales de los nmeros que nos permiten conocer, por simple inspeccin, si un
nmero es divisible por otro.
Un nmero a es divisible por otro b, distinto de cero, si al dividir a por b se
obtiene resto cero. En este caso, es amltiplo de by es bdivisor de a.
Ejemplos: 24 es mltiplo de 8, siendo 8 divisor de 24
25 es mltiplo de 5, siendo 5 divisor de 25
Nota: todos los nmeros son mltiplos de 1, la unidad; es decir, 1 es divisor de todos los
nmeros.
Nmero primo:
Se denomina nmero primo a aqul nmero que slo es divisible por la unidad y por smismo.
Ejemplos: 2 (nico nmero par primo), 3, 5, 7 .11, 13, 17, 19, 23, 29, etc.
Obs: cmo saber si un nmero es primo?
Tomemos como ejemplo 97. Averiguamos la raz cuadrada de 97: da 9,84
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Unidad IV MCD y MCM 49
Ejemplos: 8 y 15; 20 y 27
Se puede observar que los nmeros no tienen que ser, necesariamente, primos
individualmente.
Criterios de divisibilidad:
Algunos criterios nos permiten conocer ms fcilmente cundo un nmero es mltiplo de
otro.
1) Divisibilidad por 2.Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.
Ej.: 128 es par porque 8, que es la unidad, es par.
2)
Divisibilidad por 3.Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus cif ras es mlt iplo de 3.
Ej.: 75.345 es mltiplo de 3 porque 7 + 5 + 3 + 4 + 5 = 24es mltiplo de 3
3) Divisibilidad por 5.Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.
Ej.: 125 es mltiplo de 5 porque termina en 5.
4) Divisibilidad por 7.Un nmero es divisible por 7 cuando la diferencia entr e el nmero formado sin la cifra
de las uni dades y el doble de la cif ra de las unidades es cero o mltiplo de 7.
Ej.: 16492 es mltiplo de 7?
Hacemos:
1649 2.2 = 1645;164 2.5 = 154;15
2.4 = 7 .
Si, es mltiplo de 7
5) Divisibilidad por 11.Un nmero es divisible por 11 cuando la resta entre las sumas de los nmeros ubi cados
en lugar es pares y en lugares impares es cero o mltiplo de 11.
Ej.: 324.577 es mltiplo de 11 porque 2 + 5 + 7 (3 + 4 + 7) = 0(el cero es mltiplo detodos los nmeros, excepto el cero).
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Unidad IV MCD y MCM 50
Mximo comn divisor (M.C.D.)
Si un nmero es divisor de varios otros, se dice que es divisor comn de todos ellos.
El mayor de los divisores comunes es el mximo comn divisor (MCD)
Regla: Se descomponen los nmeros en factores primos. El MCD se forma con el
producto de los factores primos comunes con su menor exponente.
Mnimo comn mltiplo (M.C.M.)
Un nmero es mltiplo de varios otros si es mltiplo comn de todos ellos.
Al menor de los mltiplos comunes de varios nmeros se lo llama mnimo comnmltiplo (MCM)
Regla: Se descomponen los nmeros en factores primos. El MCM se forma con el
producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Existen varios mtodos para hallar tanto el mximo comn divisor como el mnimo comnmltiplo, pero abordaremos solo el mtodo abreviado.
Ejemplo:
Hallar el MCD de 144 y 520
Halla el MCM de 32 y 80
144 520
72 26036
18
130
65
222
= 2 2 2 =
Hemos aplicado mtodo abreviado en donde yadescomponemos en factores primos ambos nmeros.Para el hallazgo del MCD slo hace faltadescomponer hasta el ltimo divisor comn. El MCDes el producto de esos divisores comunes.
32 80
16 4084
21201051
2222
25
= 2 2 2 2 2 5 =
Hemos aplicado mtodo abreviado en donde yadescomponemos en factores primos ambos nmeros.Para el hallazgo del MCM, hacemos ladescomposicin hasta que los cocientes sean launidad. El MCM es el producto de todos esosdivisores.
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Unidad IV MCD y MCM 51
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el M.C.D. de los siguientes grupos de nmeros.1.1.12 y 15
1.2.540 y 1050
1.3.910, 490 y 560
1.4.690, 5290 y 920
1.5. 7, 14, 21, 35 y 70
2. Hallar el M.C.M. de los siguientes grupos de nmeros.2.1.46 y 69
2.2.18, 24 y 40
2.3.15, 16, 48 y 150
2.4.100, 500, 700 y 1000
2.5.14, 28, 30 y 120
3. Resuelve problemas sobre MCD3.1.Se podrn dividir tres varillas de 20 cm., 24cm. y 30 cm. en pedazos de 4cm
de longitud sin que sobre o falte nada entre ellos?
3.2.Un padre da a un hijo 80 dlares, a otro 75 dlares y a otro 60 dlares para
repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma
cantidad. Cul es la mayor cantidad que podrn dar a cada pobre y cuntos
pobres son socorridos? R: 5 dlares, 43 pobres.
3.3.Una persona camina un nmero exacto de pasos andando 650 cm, 800 cm y
1000 cm. Cul es la mayor longitud posible de cada paso? R: 50 cm.
3.4.Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de
superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. Cul ha de
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Unidad IV MCD y MCM 52
ser la superficie de cada parcela para que el nmero de parcelas de cada una sea
el menor posible? R: 175 23.5.Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo por 35 cm de ancho, y lo
queremos dividir haciendo cuadraditos del mayor tamao posible. Qu lado
tendrn dichos cuadraditos? R: Los cuadraditos sern de 5 cm de lado.
3.6.En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18 m de ancho se quiere poner
una valla alrededor, de forma que los postes estn todos a igual distancia y con
la mayor separacin posible entre ellos. A qu distancia deberemos colocar
unos de otros? R: Debemos colocarlos a 2 m de distancia unos de otros.
3.7. Para la campaa de Navidad, queremos envasar dos bebidas diferentes enbotellas iguales. Pero, para abaratar los costes, el nmero de botellas utilizadas
debe ser el mnimo posible. De la primera bebida tenemos 770 litros, y de la
segunda, 234 litros. Cuntas botellas utilizaremos? R: 502 botellas
necesitaremos.
4. Resuelve los problemas sobre MCM4.1.Puede usted tener 50 dlares en billetes de cinco, diez y veinte dlares? Cul
es la menor suma de dinero que se puede tener en piezas de cinco, diez y veinte
dlares?
4.2.Cul es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a $2, de a
5$ o de a $20 y cuntos billetes de cada denominacin haran falta en cada
caso?
4.3.Hallar el menor nmero de bombones necesario para repartir entre tres clases
de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un
nmero exacto de bombones y cuntos bombones recibir cada alumno de la
primera, de la segunda y la tercera clase. R: 300 bombones, de la 1, 15; de la 2,
12; de la 3, 10.
4.4. En una parada de Ciudad del Este, un bus pasa con una frecuencia de 18
minutos, otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. Dentro de cuntos
minutos, como mnimo, se encontrarn en la parada de bus?
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Unidad IV MCD y MCM 53
4.5.Juan ha iniciado un tratamiento mdico para su alergia. Debe tomar tres
medicamentos distintos, unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las
debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos
horas. Si Juan tom todos los medicamentos a las 8:00 de la maana, a qu
hora los volver a aplicar todos?
4.6. Bernardita quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendi en su
taller de chocolatera, hizo 32 bombones de chocolate, 24 de frambuesa y 28 de
manjar. Cuntos paquetes con la misma cantidad de bombones de cada tipo
puede hacer?
4.7. Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las
pruebas del campamento. Si tienen dos cordeles, uno de 94 cm y otro de 64 cm.,
cul es el mayor tamao en que pueden cortar las cintas de ambos cordeles,
para que sean todas iguales?
4.8. Tres amigas trabajan como voluntarias en un hogar de ancianos, de acuerdo
con sus posibilidades de tiempo. Una de ellas va cada 5 das, otra lo hace cada
10 das y la otra, cada 15 das. Suponiendo que un da se encuentran las tres en
el hogar de ancianos, cuntos das despus volvern a encontrarse?
4.9.Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada 54 segundos, y otro lo hace
cada 72 segundos. Si parten juntos de la lnea de salida:
a) Al cabo de cunto tiempo volvern a coincidir? R: 216 sb) Cuntas vueltas habr dado cada ciclista en ese momento? R: 4 y 3 vueltas.
4.10. Un comerciante va a comprar mercanca a unos almacenes cada 42 das yotro va cada 70 das. Si coincidieron el da 15 de septiembre, al cabo de
cuntas semanas volvern a coincidir? R: Al cabo de 30 semanas.
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BIBLIOGRAFA
BALDOR, J. A. ARITMTICA.2003. Dcima Octava Impresin. PublicacionesCultural S. A., Mxico.
Aguilar Mrquez, Arturo. Aritmtica y Algebra Autor Editorial - Pearson /Canomat. ISBN: 97860744 22917Edicion- 2009
Repetto Cecilia Linskens Morales, Fesquet Hilda. Aritmtica 1 y 2Editorial Kapelusz.
ENCICLOPEDIA. MATEMATICA 2000. Taller integral de autoaprendizaje.Taller colectivo de aplicacin. Taller individual de interpretacin.
CARNELLI, Gustavo y otros. MATEMTICA para el AprestamientoUniversitario. Coleccin Textos Bsicos. Universidad Nacional de GeneralSarmiento. 2007, Bs. As.
GALLEGO LAZARO, Carlos y otros. Repensar el aprendizaje de las matemticas.Matemticas para convivir comprendiendo el mundo. Serie Didctica de lasmatemticas. Ed. GRAO, de IRIF,S.L. 2007, Barcelona
Arnaldez, Roger y otros (1988), Las antiguas ciencias del Oriente., Barcelona:Ediciones Orbis S.A.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_EgiptoCategoras: Ciencia del antiguo Egipto | Historia de la matemtica
http://perso.wanadoo.es/jpa03733/contenido/MATEMATICAS.html