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CRECIMIENTO ENDÓGEN
Y OTRAS EXTENSIONES
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i) Rendimientos constantes a escala.
Prueba:
Propiedades de la función AK
0 AK Y o 001 Y K AY
ii) Rendimientos positivos pero no decrecientes del capital.
Prueba:
La productividad marginal del capital es constante y positiva.
0)( A K Pmg
iii) No satisface las condiciones de INADA.
K K
A A Limite K Pmg te
K K
A A Limite K Pmg te
0)(lim
00
0)(lim
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Modelo de Solow-Swan con tecnología AK
La renta de los agentes se dedica a consumir o a ahorrar:
de lo que se deduce que en la economía descrita en este modelo la inversión es ig
t t t S C Y (2)
t t S I
Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan la ecuación (2) p
como:
(3)
Despejando de la ecuación (3) tenemos la ecuación que describe el comporta
del stock de capital:
(4) Ecuación que describe el comport
stock de capital agregado.
t t t K K Y sY )1(
K
t t K sY K
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Modelo de Solow-Swan en términos per cáp
Dividimos la expresión (4) por el número de trabajadores:
definimos el stock de capital per cápita como:
Despejamos de la ecuación (6) y tenemos: (7)
Sustituimos (7) en (5): (8)
(9) Ley de evolución del capital per cápita
Sustituimos la tecnología AK en la ecuación (8):
(9)
L
K
L
sY
L
K t t
L
K k
L
K
L
L
L
K
L
L
L
K
LL
L K L K k
nk k L
K
k synk k
k n syk )(
k n sAk k )(
)( n sAk
k
k
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La tasa de crecimiento del capital per cápita es constante. Comprobamos aho
modelo la producción y el consumo per cápita crecen todos a la misma tasa
capital per cápita que es:
(i) Tasa de crecimiento del PIB per cápita.
(ii) Tasa de crecimiento del consumo per cápita.
Modelo de Solow-Swan en términos per cápita
)( n sAk
k
k
Ak y k A y
)( n sA Ak
k A
y
yk y
Ak sc )1( k A sc )1(
)()1(
)1(
n sA
Ak s
k A s
c
ck c
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Calculamos ahora la tasa de crecimiento del stock de capital, producción y consu
agregados.
(i) Tasa de crecimiento del stock de capital agregado.
(ii) Tasa de crecimiento del PIB agregado.
(iii) Tasa de crecimiento del consumo.
Modelo de Solow-Swan en términos per cápita
K sA K .
. sA K
K K
AK Y K AY
sA AK
K AY
Y K Y
AK sC )1( K A sC )1(
sA
AK s
K A s
C
C K C
)1(
)1(
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Diferencias del Modelo AK respecto al Modelo de So
1) En el modelo AK, el PIB per cápita crece a una tasa positiva, sin necesid
crecimiento tecnológico exógeno.
2) Implicaciones del modelo AK respecto al crecimiento económico.
El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son los de
crecimiento económico. Según este modelo las economías con mayor tasa de aho
más a largo plazo. Así pues, las políticas económicas encaminadas a fomentar eefectos positivos sobre el crecimiento a largo plazo de una economía. Además, t
economías con un nivel de desarrollo tecnológico mayor (A) tenderán a crecer m
que las economías con menor desarrollo tecnológico. El tamaño de la p
negativamente a la tasa de crecimiento, luego, según este modelo las polít
encaminadas a controlar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento
)( n sA
k
k
k
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(3) En este modelo la economía carece de transición hacia el estado estacionario
crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de capital qu
(4) Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB
depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del
Esto implica que el modelo AKNO PREDICE CONVERGENCIA
entre países. Este m
dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que los países más ricos, (con
crecen menos que los países pobres (con menor capital).
(5) El modelo AK predice que los efectos de una recesión temporal serán permane
(6) Con la tecnología AK, no puede haber demasiada inversión en el sentido de q
no puede encontrarse en una zona dinámicamente ineficiente.
Diferencias del Modelo AK respecto al Modelo de So
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Demostración:
Zona de ineficiencia dinámica:
, con la tecnología AK, la productividad marginal del capital es igual a . D
**
yr
)(k pmg r Ar
y la tasa de crecimiento de la producción per cápita es:
)(* n sA y
Para que haya ineficiencia dinámica, es decir: se tiene que cumplir que:**
yr
r
y eso NO puede ocurrir.
A pesar de su simplicidad, el modelo AK que acabamos de desarrollar es muy
constituye la base sobre la que se construye toda la teoría del crecimiento endóge
Como vamos a ver a continuación la mayor parte de los modelos de creci
esconden, en alguna parte, algún supuesto que hace que la tecnología relevante t
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Veamos ahora dos funciones de producción para las cuales se obtiene
crecimiento del PIB constante, y obtenemos por tanto las mismas conclusi
obtenidas en el modelo AK.
1)
Función de producción que incorpora externalidades del capital:
donde Krepresenta el stock de capital agregado y representa la ext
capital. es el parámetro que indica la importancia de la externalidad del c
2)
Función de producción donde incluimos como factor de producción
gasto público: , donde Krepresenta el stock de capital ag
gasto público.
t AY
t B
1t t t G AK Y
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El modelo de Romer 1986): externalidades del
Paul Romer, introdujo una función de producción con externalidades del capita
es la siguiente: cuando una empresa aumenta su stock de capital a través de l
solo aumenta su propia producción, si no que aumenta también la producción dque le rodean. La razón apuntada por Romer es que las empresas que invie
experiencia o conocimientos. Estos conocimientos también pueden ser uti
demás empresas y de ahí que el producto de estas también aumenta.
t t t t k L AK Y 1
Una función de producción que refleja
las externalidades que acabamos dedescribir es la siguiente:
donde:
: representa la producción ag
: capital agregado en t
: trabajo agregado en t
: representa la externalidad
: es un parámetro que mide
de la externalidad
t Y
t K
t L
t
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¿Qué es ?
* Según Romer, esta variable es el capital agregado de la economía, , dado q
de cualquier empresa ayuda a aumentar el stock de conocimientos de todas las
* Según Lucas, esta variable es el capital per cápita.
t
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas
Siguiendo a Lucas identificamos la externalidad con el capital per cápita de la
esta forma la función de producción es la siguiente:
donde representa el capital per cápita.
t t t t k L AK Y
1
t
t t t t
L
K L AK Y 1
t K
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Si expresamos la función de producción en términos per cápita, tenemo
expresión:
Función de producicón agregada
con externalidades del capital
)(1 t t t L AK Y
)(1
)(1
t
t
t
t
t
t
L
L
L
K A
L
Y
t t
t t Ak
L
Y y
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
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Sustituimos la función de producción per cápita con externalidades de capit
evolución de capital que recordemos viene dada por la siguiente expresión:
Tasa de variación del capital:
(1)
Función de producicón per cápita
con externalidades del capital
t t Ak y
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
)( n syk
)()( n sAk k
)(1)( n sAk k
k k
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El comportamiento de la economía depende de si la suma de los parámetros
menor o superior a la unidad.
Analizamos los tres casos:
- Caso 1.
- Caso 2.
- Caso 3.
1
1
1
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
-
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CASO 1.
Consideramos el caso en que hay externalidades, por eso que , pero ést
importantes, de tal forma que .
En este caso, la curva de ahorro ( ) será una función decreciente c
capital. Para algún la función de ahorro cortará a la recta ( ), y ese s
capital de estado estacionario. El PIB per cápita crecerá a una tasa n
estacionario. Obtendremos por tanto los mismos resultados que obtuvimos co
producción Cobb-Douglas.
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
1
0
)(1 sAk *k
n *k
)(0 1)( n sAk k
1
)(1)( n sAk
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stock de capital per cápita de estado estacionario.
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
)(1
1
*
)(
n
sAk
Curva de ahorro
k
+ n
k
k *
)(1
k
sA
En un modelo donde tenemos externalidades del capital, pero éstas son pequeña
mismos resultados que obteníamos con la función de producción neoclásica.
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CASO 2.
En el caso en el que , la economía crecerá a una tasa constante, al ig
función de producción K
La tasa de crecimiento del capital es la siguiente:
El stock de capital crece a una tasa constante. Resultados similares en términos
y convergencia que los obtenidos con el modelo AK.
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
1
1
Tasa de crecimiento del capital
per cápita
)( n sAk
-
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CASO 3.
En este caso, la tasa de crecimiento del capital vendrá dada por la expresión sigu
En este caso la curva de ahorro es creciente y habrá un stock de capital ( )
economía a largo plazo crecerá a un ritmo constante. Para niveles de cap
mayores a , la economía crecerá indefinidamente. Sin embargo, para niv
inferiores a el crecimiento será negativo ya que la economía destruirá ca
progresiva.
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
1
)(1)( n sAk k
0)1( 2)(
sAk dk
d k
k ~
k ~
k ~
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El interés del modelo de Romer es que la existencia de externalidades es una mane
que la tecnología de nuestra economía podría tener una forma K. El problema prin
que para que la tecnología se convierta en K, hace falta que existan externalid
suficientemente fuertes y además que sean tales que la suma de los componentes q
del capital en la economía más la importancia de la externalidad sean igual a la unidad
el tamaño de la externalidad debe ser tan grande como la suma de las rentas de todo
de la economía, supuesto que parece poco razonable.
Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital según Lucas)
Curva de ahorro
k
+ n
k
k *
Crecimiento positivo
Crecimiento
negativo
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Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiend
Seguimos a Romer y suponemos que la variable se identifica con el capital a
economía. De esta forma la función de producción es la siguiente:
Calculamos la función de producción en términos per cápita.
Ley de evolución del stock de capital:
Tasa de variación del capital:
t t t t K L AK Y
1
L Ak yt )(
k n L sAk k )()(
)(1)( n L sAk k
k k
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Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiendo a Romer)
1) En el caso particular en que , la tasa de crecimiento del stock de capital
vendrá dada por la expresión siguiente:
supuesto que la población no crece (n=0):
1 )( n sALk
Tasa de crecimiento del capital
per cápita
)( sAL
En este caso el capital crece a una tasa constante, que será tanto mayor cuant
tamaño de la población. Si cada una de las economías del mundo se pudiera demodelo la predicción sería que los países con mayor población como China e
crecer a tasas mayores con los países con menor población.
La tasa de crecimiento también nos indica porque hemos supuesto que la
constante. Si la población no creciese a un ritmo constante entonces las tasas de
la población sería cada vez mayor, lo cual no parece concordar con los datos seg
tasa de crecimiento de la población a largo plazo es mas o menos constante.
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Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiendo a Romer)
2) En el caso particular en que , calcular el stock de capital per cápita d
estacionario.
Tasa de variación del capital:
Si la población no crece:
1
)()1(
n L sAk
k k
)(1
1
*)1(0)(
n
sALn L sA
k
k k
)(1
1
*
sAL
k
(Si i d )
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Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiendo a Romer)
Observamos que el stock de capital per cápita de estado estacionario depende d
la población. Ello significa que el PIB per cápita, y consumo per cápita a largo pla
del tamaño de la población. Así, este modelo predice que países con más poblaciy la India, deberán ser más ricos que países con menor población, tipo Bélgica,
Suiza. El hecho que el stock de capital per cápita por persona de estado estacio
función positiva de L, también nos muestra que si dejamos que la población crez
constante el crecimiento de la población hará crecer las variables per cápita lo cu
en el modelo neoclásico.
En resumen, la existencia de externalidades de capital agregado introduce efec
que tienden a no ser validados por los datos.
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Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del
En el contexto del modelo de Solow-Swan, pero con una función de producc
vamos a estudiar los efectos que el gasto público y los impuestos necesarios pa
gasto tienen sobre la economía y mas concretamente sobre el crecimiento econ
La función de producción con la que trabajamos es la siguiente:
donde K representa el stock de capital agregado, y G el gasto público.
Suponemos que el nivel de producción depende del stock de capital y del f
públicos suministrados por el gobierno. Para financiar ese gasto el gobierno
impuesto. Para simplificar se supone que el impuesto es proporcional y el ti
denotado por , es constate en el tiempo.
1t t t G AK Y
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Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
La renta disponible de los agentes se calcula como:
La renta disponible en términos per cápita
donde ,representa el gasto público per cápita.
t d t Y Y )1(
1)1( t t d t G AK Y
1
)1(t
t
t
t d t
L
G
L
K A y
1)1( t t d t g Ak y
g
-
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Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
Mantenemos el supuesto de que los agentes ahorran una proporción constant
Bajo ese supuesto, y manteniendo el resto de supuestos que establecimos en
Solow-Swan, la ley de evolución del capital per cápita vendrá dada por la expres
y la tasa de crecimiento del capital per cápita
nk k syk d
k n g Ak sk )()1( 1
)()1( 11 n g Ak sk
-
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Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
Analizamos ahora el efecto que sobre la tasa de crecimiento del capital tiene u
gasto público y de los impuestos:
(1) Un aumento del gasto público hace que aumente la tasa de crecimiento dcápita:
(2) Un aumento de los impuestos provoca una caída de la tasa de crecimiento
per cápita.
estos resultados no son rigurosamente ciertos, ya que han sido obtenidos supo
nivel de gasto público no afecta a los impuestos.
0)1()1( 1
g Ak s
dg
d k
0)1(11
g Ak sd
d k
Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
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Para analizar rigurosamente el efecto que el tipo impositivo tiene sobr
crecimiento del capital per cápita hay que tener en cuenta la restricción pres
gobierno.
despejamos de la ecuación anterior el gasto público per cápita y tenemo
expresión:
lo que implica que , lo que nos lleva a
cos públiingresosY G público gasto t t
1 g Ak L
Y
L
G g
t
t
t
t t
Ak
g
g t 1
Ak g t A g t
1
-
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Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
Llevamos la expresión anterior a la tasa de crecimiento del capital per cápita
siguiente:
)()1(1/1/11
nk A Ak sk
)()1(
11
n A sk
Tasa de crecimiento del capital
per cápita
)()1(
11
n A sk
Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
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Veamos ahora como afecta a la tasa de crecimiento del capital per cápita la ta
de la economía, el nivel de desarrollo tecnológico, la tasa de crecimiento de la
tasa de depreciación.
(1) Tasa de ahorro de la economía. La tasa de ahorro afecta positivamente
crecimiento del capital per cápita.
(2) Nivel de desarrollo tecnológico. El nivel de desarrollo tecnológico afect
positiva a la tasa de crecimiento del capital per cápita.
(3) Tasa de crecimiento de la población. La tasa de crecimiento de la pobla
negativamente a la tasa de crecimiento del capital per cápita.
0)1(
11
A s
k
0)1(1
11
A s
A
k
01n
k
→Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
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(4) Tasa de depreciación del capital. Afecta negativamente a la tasa de cre
la economía.
Una vez que tenemos la tasa de crecimiento del capital per cápita, calculamos
de crecimiento del gasto público per cápita y la tasa de crecimiento del PIB per
a) Tasa de crecimiento del gasto público per cápita:
El gasto público crece a la misma tasa que el capital per cápita.
01
k
k A g 11
k A g
11
k
k
A
A
g
g
11
11
k
k
g
g
Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno
-
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b) Tasa de crecimiento del gasto público per cápita:
1t t t g Ak y g g y
k k
y yt
g g Ak k Ak g yt )1(11
g
g g Ak
k
k Ak g yt
11 )1(
g g
k k
y y
t
t )1(
k t
t
k
k
y
y
El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el
-
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público per cápita
Las variables agregadas crecen a una tasa igual a la suma de la variable per cápita
de crecimiento de la población.
; ;
Demostración:
(1) Tasa de crecimiento del capital agregado
nY
Y
Y t
t
n K
K
K t
t
nC
C C
t
t
;
L
K k
n
L
K
L
K
LL
L K L K k
n L
K k
L
K
Knk L K
nk K
L
K
K
nnk
k K
K k
1
El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el gasto público per cápita
-
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(2) Tasa de crecimiento del PIB agregado
dado que
entonces, El PIB agregado crece a la misma tasa que el capital per cápit
1t t t G AK Y
GG AK K G AK Y t t t )1(11
G
GG AK
K
K G AK Y t t t
11 )1(
G
G
K
K
Y
Y
t
t
)1(
G
G
K
K
K
K
Y
Y
t
t
El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el gasto público per cápita
-
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(3) Tasa de crecimiento del gasto público agregado:
=
−
, el gasto público agregado crece a la misma tasa que el capital.
En este modelo todas las tasas de crecimiento son constantes en todo momen
que comparte con el modelo AK.
La explicación de esta similitud es que el modelo descrito en este apartado es e
modelo AK.
t t Y G
t t AK G
t t K AG
11
t t K AG
11
t
t
t
t
K A
K A
G
G
11
.11
t
t
t
t K K
GG
-
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El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el gasto público per cápita
-
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La novedad que caracteriza la tasa de crecimiento de la economía cuando e
públicos productivos financiados con impuestos sobre la renta es que el tipo im
al crecimiento económico y lo hace de dos maneras distintas. En primer luga
afecta negativamente a la tasa de crecimiento del capital a través de .
hecho de que los impuestos reducen la renta disponible y con ello el ahorro y
la economía. Esto reduce el crecimiento.
Por otro lado, el tipo impositivo afecta positivamente a la tasa de crecimient
través del término . Esto refleja el hecho de que un mayor tipo imposi
gobierno proporcionar un mayor nivel de gasto público productivo, lpositivamente a la producción y a la capacidad de ahorrar e invertir.
El efecto agregado de un aumento en el tipo impositivo es ambiguo depende
negativo domina al positivo o viceversa.
)1(
/)1(
El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y el gasto público per cápita
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Vamos a analizar la relación que hay entre el tipo impositivo y la tasa de cr
capital per cápita.
Primero, consideramos el caso de que . En este caso el gobierno no recau
lo tanto no puede suministrar bien público. En este caso la producción es cer
inversión. En esta situación el capital per cápita se deprecia a una tasa .
Segundo, consideramos el caso en que . El gobierno se apropia del 100%
las familias por lo que estas no tienen renta disponible. Al no tener renta dispon
ahorro ni inversión. Una vez más el capital per cápita cae a un ritmo constante e
Para valores intermedios de , tenemos una relación entre la tasa de crecimien
el tipo impositivo en forma de U invertida, con un máximo en .
0
)( n
1
*
TIPO IMPOSITIVO ÓPTIMO
í f li l l i i i i i l i
-
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En este epígrafe analizamos cual es el tipo impositivo optimo, aquel que maxim
crecimiento del capital y por consiguiente del PIB per cápita. Para calcularlo
resolver el siguiente problema de optimización:
Max. )()1(
11
n A sk
0
k
01
)1(12111
A s A sk
121111
)1( A s A s
1(21
1
1(
211
1)1(
1)
11(
1*
∗
Tipo impositivo óptimo
-
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Hemos mostrado que el gobierno tiene dos caras. Por un lado, suministra bi
deseables para los agentes privados de la economía, y por otro utiliza im
financiar estos bienes deseables. El primer aspecto es deseable para la econo
que el segundo es negativo. La batalla entre las dos fuerzas nos permite alcan
óptimo del gobierno.
A pesar del interés que reporta este análisis existe un aspecto del sistema im
no puede ser analizado en un modelo con tasa de ahorro e inversión constant
Tipo impositivo óptimo
= 1
Tipo impositivo óptimo
-
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En general los impuestos reducen la rentabilidad neta de las inversiones a
gobierno una parte del ingreso generado por la inversión. Esta reducción de l
reduce los incentivos de los agentes a invertir, y esto tiene repercusio
crecimiento económico.
Estas cuestiones ciertamente importantes deben estudiarse en contexto
empresas deciden óptimamente la inversión que desean realizar como re
diferentes rentabilidades. Por esta razón es interesante estudiar el papel de
modelos con inversión óptima.
-
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recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produ
y el papel de las condiciones de Inada
-
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b)
Presenta rendimientos positivos del capital y del trabajo
Analizamos a continuación las propiedades de la función:
a)
Presenta rendimientos constantes a escala ),(),( L K F L K F
1)()()(),( L K B K A L K F
11 )()()(),( L K B AK L K F
1)()()(),( L K B AK L K F
0)1(
t t L BK L
Y
0)( 11
t t L BK K
Y
recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produc
y el papel de las condiciones de Inada
-
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d) Comprobamos si cumple las condiciones de Inada
d.1 Veamos que cumple esto
c) Rendimientos decrecientes del capital y del trabajo
0)1( )1(
2
2
t t L BK L
Y
0)1( )1(2
2
2
t t L BK K
Y
L
L
Y
ite 0lim
L
L BK L
Y ite t t 0)1(lim
recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produ
-
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y el papel de las condiciones de Inada
d.2 Veamos que cumple esto
d.3 Veamos que cumple esto
0
lim
L
L
Y ite
0
)1(lim
L
L BK L
Y ite t t
0
lim
k K
Y ite
0
lim 11
K
a L BK A K
Y ite t t
recimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: la función de produ
-
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y el papel de las condiciones de Inada
d.4 Veamos que NO cumple esto
k K
Y ite 0lim
K
A L BK A K
Y ite t t 0lim
11
El Modelo de Solow-Swan con la Función de Pro
-
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de Sobelow
En el modelo de Solow-Swan, la ecuación que describe el comportamiento
cápita viene dada por la siguiente expresión:
Sustituimos en la expresión anterior la producción per cápita y calculam
crecimiento del capital per cápita:
k n syk )(
1t t t t L BK AK Y
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
L
L
L
K B
L
K A
L
Y
t t t
t t Bk Ak
L
Y y
Tasa de crecimiento del c
1 sBk sAk
k
-
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El Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Sobelow
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CASO 1. sAn )(
B
A
sB
nk
)(1
1
1
)(
B
A
sB
nk
1
1
sB
sAnk
1
1
*
sAn
sBk
• Si el stock de capital es inferior a , entonces
• Si el stock de capital es inferior a , entonces
En los dos casos la economía converge al estado estacionario.
k *
k 0k
k *k 0k
El Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Sobelow
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CASO 1. sAn )(
0k
sA
CD
CA
Tasa de crecimiento a
Corto plazo Tasa de crecimiento
a largo plazo
Si A es lo suficientemente grande > + las curvas de ahorro y de depreciación nunca se c
el crecimiento siempre es positivo
En el largo plazo, la curva de ahorro converge a la recta sA, por lo que la tasa de crecimiento es po
El Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Sobelow
-
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CASO 2. sAn )(
0k
sA CA
CD
Tasa de crecimiento a
Corto plazo
Tasa de crecimiento
a largo plazo
*k
La tasa de crecimiento decrece a lo largo de la transición hasta que el capital converge al nivel
estacionario *k
El Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Sobelow
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Resumen de resultados
• La tecnología Sobelow nos sirve para demostrar que el factor determinante
crecimiento endógeno, no es que la tecnología no exhiba rendimientos decrec
sino que incumpla la condición de Inada. Es decir que el producto marginal del c
acotado a un nivel suficientemente alto en este caso al nivel
> ( + )aumente el stock de capital.
Crecimiento endógeno con rendimientos decreci
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capital: función de producción CES
L a función de producción CES:
Ley de evolución del capital per cápita:
1
)1)(1()( LbbK AY
10
10 b
1
k n syk )(
Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: función de prod
C l l l f ió d d ió á i
-
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Calculamos la función de producción per cápita:
Sustituimos la función de producción per cápita en la ecuación qu
comportamiento del capital per cápita:
1
)1()1()(1
LbbK L
A L
Y y
1
))1()1()((1
LbbK L
A y
1
))1()1()((
L
Lb
L
K b A y
1
))1()1()(( bbk A y
k nbbk sAk )())1()1()((1
Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: función de prod
Y la tasa de crecimiento del capital per cápita:
-
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p p p
Con una función de producción CES, el stock de capital crecerá a una tasa const
stock de capital sea muy grande.
)())1()1()((11
nbbk sAk k
k
)())1()1()((1
nbbk k sA
k
k
)())1()1((1
nk bb sA
k
k
k
b sAnk bb sAite k /1
1
)())1()1((lim
El modelo de Harrod-Domar
d l d l lá d ll l l
-
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Antes de que el modelo neoclásico de crecimiento llegase a popularizarse, en la
50, el modelo de crecimiento más utilizado era el de Harrod-Domer, des
Harrod(1939) y Domar(1946). Estos autores intentaron combinar dos de las car
las economías keynesianas - el multiplicador y - el acelerador, en un modelo d
económico a largo plazo.
Supongamos que el aumento del capital que se precisa para aumentar la prod
cuantía dada sea un valor constante. En prtiacular es un valor independiente
capital trabajo. Es decir, .
Una función de producción que cumple el principio del acelerador es la funció
decir, no obstante, que no es factible que Harrod y Domer estuvieran pen
función de este tipo sin trabajo ya que una de sus preocupaciones fundamentarlos efectos del crecimiento económico sobre el empleo a largo plazo.
Otra función de producción que satisface el principio del acelerador y que está m
espíritu de Harrod y Domar es la función de coeficientes fijos de Leontief.
Función de producción de Leontief:
t t AK Y
),min( t t t BL AK Y
Modelo de Solow-Swan con la Función de Produ
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Leontief
En primer lugar expresamos la función de producción en términos per cápita:
),min(t
t
t
t
t
t t
L
L B
L
K A
L
Y y
),min( B Ak y t t
B Ak t A Bk t /
-
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Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
Ley de evolución del capital per cápita: knsyk )(
-
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y p p p
La tasa de crecimiento del capital per cápita:
El comportamiento de esta economía depende de cuáles son los val
parámetros: , , y .
Harrod y Domar señalaron que existen tres combinaciones posibles de los
cada una de las cuales tiene consecuencias radicalmente distintas para el cre
empleo.
A Bk k nk sB
A Bk k n sAk
/~
)(/
/~
)(
A B n
k n syk )(
A Bk k k n sB
A Bk k k n sAk k
/~
)(
/~
)(
Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
sAn )(
-
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CASO 1.
• Si , la tasa de crecimiento del capital es negativa ( ) y e
economía tenderá a disminuir.
• Si , donde , entonces,
donde , es decir,
sAn )(
Tasa de crecimiento del capita
k k 0
sA
k=B/A
+ n
k'0 B~
0k k 0)( n sAk
0'k k k k
~0' )('
0
nk
sBk
A
Bk 0
'k 0
'
-
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Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
sAn )(
-
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CASO 2.
Cuando la tasa de ahorro o la productividad marginal de capital es grande en rela
de depreciación y la tasa de crecimiento de la población, tenemos que la econo
a un estado estacionario donde las variables per cápita crecen a una tasa nula.
• En este caso, cuando el stock de
capital de la economía es menor
a entonces la economía
crecerá a una tasa constante
e igual a:
)(
sA
+ n
k A
B
~
k ~
)( n sAk
Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
• Cuando el stock de capital alcance el nivel ( ) entonces el stock dek~
ABk /~
-
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Cuando el stock de capital alcance el nivel , ( ) entonces el stock de
seguir creciendo, pero lo va hacer a una tasa cada vez menor hasta llegar a un
que el capital per cápita deja de crecer. es el capital per cápita de estado
y se calcula como:
El estado estacionario es estable, en el sentido de que la economía, esté dondconverger al estado estacionario:
• Si
• Si
• Si
k A Bk /
*k
0k )(/ nk sB
n
sBk
*
*k k 0k *k k *
k k
0k
0k
Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
Con esta función de producción y concretamente con este caso, en estado estac
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Con esta función de producción y concretamente con este caso, en estado estac
exceso de capacidad instalada. Es decir, hay más capital del que se utiliza en
Vamos a comprobar esta última afirmación.
En estado estacionario, donde, , lo que implica que, y por. Teniendo en cuenta que tenemos la siguiente función de
, si entonces, . El stock de capital utilizado
de producción es igual a que es menor al capital agregado de estado estaci
Hay máquinas que no se están utilizando en el proceso de producción.
Más aún, si no cambia en estado estacionario, y sabemos que a largo plazo
crece a la tasa n si las máquinas per cápita no cambian es porque en estado e
están comprando máquinas.
RESULTADO INDESEABLE: El modelo me dice que hay exceso de capacidad instala
a ello las empresas siguen invirtiendo en capital físico.
*~
k k A Bk /
~
*
L
K
A
B
BL AK *
),min( t t t BL AK Y BL AK * t t BLY
t L A
B
k
Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
CASO 3.
sAn )(
-
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Consideramos un tercer caso donde por azar, la tasa exógena de ahorro y
marginal de capital fueran tales que
• Si la economía tiene un stock de capital
menor a , ( ) entonces la tasa
de crecimiento del capital será nulo,
.
sAn )(
sA
A
B
~
k k ~
k k ~
0k
Modelo de Solow-Swan con la Función de Producción de Leontief
E t it ió l i li l d ió B
k BLAK
-
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En esta situación en que , lo que implica que , la producción ser
( ). De ello se deduce que el número de trabajadores empleados es igua
Para estos valores paramétricos tenemos una situación similar a la anterior,
caso hay más trabajadores de los que están siendo empleados. EncontramosRESULTADO INDESEABLE.
• Si la economía tiene un stock de capital igual a , ( ), entonc
crecimiento del capital será nula, .
En esta situación en que , será igual a . En este caso
estacionario será eficiente porque en la producción se están utilizando todos lo
capital y de trabajo.
Ak t t t BL AK
t t AK Y
k k ~
k k ~
0k
A Bk t t AK t BL
Modelo de Soloww-San con la Función de Producción de Leontief
Vemos que dos de las tres combinaciones de parámetros posibles generan equi
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Vemos que dos de las tres combinaciones de parámetros posibles generan equi
plazo en los cuales existen recursos ociosos (ya sea del capital o del traba
situación en la que esto no sucede se puede alcanzar únicamente por una cas
vida puesto que todos los parámetros relevantes vienen dados exógenamente.
Por este motivo con toda probabilidad la economía se verá confinada en
equilibrios indeseables.
En la década de los cincuenta, el enfoque neoclásico que lideran Solow-Swan
como forma de solventar esta propiedad del modelo de Harrod y Doma
transcurrir la economía por “el filo de la navaja” .
La función de producción neoclásica hace posible que se alcance el equilibrio
al permitir que el producto marginal del capital sea una función continu
lugar de una constate exógena.
)( n