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CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO
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RESUMEN
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ABSTRACT
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Índice
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INTRODUCCIÓN
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Introducción
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Definición II
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10
Introducción
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11
Introducción
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Introducción
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PARTE I. ESTADOS LÓGICOS
CAPÍTULO 1. ESTADOS LÓGICOS BORROSOS
1.1. Definición y propiedades básicas
1.2. Preórdenes elementales
1.2.1. Identidad de preórdenes elementales
1.2.2. Relación de equivalencia entre estados lógicos
1.2.3. Estados lógicos de un -preorden elementalT
Introducción
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1.1. Definición y propiedades básicas
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a Fb X
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Hr
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
-6M6 >E ;VA@: 9> A6ML76OD7F :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A6CE5DC5>EF 9>;@C@96E A6M6
LD7D 5696 F Q F E@>ML7> E6C >E5D96E :P=@A6E LD7D A4D:R4@>7|ya z a X lm FHn
>E574A547D 7>:DA@6CD: Q A4D:R4@>7 5UC67MDB !>C6M@CD7>M6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E D :6E
>E5D96E :P=@A6E C6 A6CE5DC5>E Q 9>C65D7>M6E M>9@DC5> D: A6CZ4C56 9> UT yX FR z T
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L4>9> >CA6C57D7E> >C lHrF rmnB
Teorema 1.1.2
HB >E 4C E4O7>5<A4:6 9>: 7>5<A4:6 F D9>MVE E@T yX FR z y yX z FMin FMax z
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hB 2@ >C56CA>E BR R T yX FR z T yX FR z
Ejemplos 1.1.3
1. #D7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 A4D:R4@>7D F E> 9>;@C>C :DE E@=4@>C5>E 7>:DU| yX z
A@6C>E O6776EDE E4;@A@>C5>M>C5> A6C6A@9DE >C :P=@AD ;4??Q lrmn8
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R W| yb ua z Max yH |ya z FMin y|ya z F|ybzzz
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Hs
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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| z W yX FRr| z
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W yX FR W| z E@ Q EP:6 E@ ya z yb z Min y|ya z FMax yH |ya z FH |yb z z z F
W yX FR KD| z E@ Q EP:6 E@ ya z yb z |ya z yH |yb z z F
LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E 9> B $ M696 9> >Z>ML:6 XDM6E D AD:A4:D7 :6E Ua Fb X W
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HB
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y|zm }x X 8|yx z�m~B
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B !> @=4D: ;67MDF E> 9@A> R4> eC6 5@>C> L4C56Ef E@ >: A6ML:>M>C5D7@6 9>|ya z H |
F >EA7@56 F >E C6 XDA<6 QF L67 5DC56F >K@E5> D: M>C6E 4C >:>M>C56 5D:y|zm y|zm b X
R4> B "X@9>C5>M>C5>F 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 C6 5@>C> L4C56E E@ E4|yb z m |
A6ML:>M>C5D7@6F 9>;@C@96 A6M6 E@>C96 4CD ;4CA@PC 9> C>=DU| yx z N y|yx z z F N
A@PCF 5@>C> L4C56EB
Proposición 1.1.4
HI
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
2>D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 5@>C> Q C6 5@>C> L4C56EF :DE A6C9@A@6C>E E@U|
=4@>C5>E E6C C>A>ED7@DE Q E4;@A@>C5>E LD7D R4> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6
L>75>C>?AD D 8W yX FRKD| z
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ii) >E A6CE5DC5> E6O7> F D9>MVE D:ADC?D E4 M<C@M6 XD:67y|zm>C :6E L4C56E 9>inf} yx z 8x X~ y|zm F
iii) LD7D 5696 >:>M>C56 9> E> X>7@;@ADx X
|yx z yH z yx z |yx z B
Demostración. &6MDC96 F E> L74>OD R4> :DE 57>E A6C9@A@6C>E E6CW yX FRKD| z
C>A>ED7@DEB
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LD7D 5696 W L67 5DC56F LD7D 5696 Q D:ADC?D7V E4 MVK@U
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x X yx z ya z x
M6 XD:67 >C Ba
ii) 2>D F >C56CA>E LD7D 5696 Fb y|zm yb z yx z Min y|yb z FH |yx z z m x
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F >E >X@9>C5> R4> By|zm yb z yb z
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L67 i Q iiW E> A4ML:@7V :D 7>:DA@PC
ya z yx z Min y|ya z FH |yx z z H |yx z F
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5DMO@SC E> A4ML:@7V R4>
Fyx z yb z Min y|yx z FH |yb z z |yx z
gm
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
:4>=6 yx z |yx z B
#D7D 9>M6E57D7 R4> :DE A6C9@A@6C>E E6C E4;@A@>C5>EF >C L7@M>7 :4=D7 E> 6OE>7XD R4>
D: X>7@;@AD7 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 :DE A6C9@A@6C>E i Q ii D:ADC?D7V 4C XD:67
MVK@M6 Q 4C XD:67 M<C@M6 B ": E4OA6CZ4C56 O6776E6 F 9>;@C@96 A6M6Ä
F 5>C97V A6M6 XD:67 M<C@M6 A>76 Q A6M6 XD:67 MVK@M6Ä yx z yx z Ä
B #67 657D LD75>F E> A4ML:> 57@X@D:M>C5> R4> E@ Q EP:6 E@Ä W yX FRKD| z
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C>CA@D D B +D A6C9@A@PC iii LD7D E> >EA7@O@7V >C56CA>E A6M6W yX FRKD| z Ä
#67 :D E>=4C9D 9>E@=4D:9D9 9> >E5D A6C9@A@PC >E >X@9>C5> R4>
(1)|yx z yH Ä z Ä yx z |yx z B
Ä yx z Ä yy z Ä yx z |yx z
LD7D 5696 B &6MDC96 4C >:>M>C56 9> F 96C9> D:ADCA> E4 MVK@M6x Fy X a X Ä
XD:67F E> A4ML:> R4>
LD7D 5696 F L67 :D L7@M>7D 9>E@=4D:9D9 9> yHzB /C@>C96 >E5DE 96E 9>E@=4D:U
Ä yx z Ä yy z Ä ya z Ä yy z H |yy z
x Fy X
9D9>EF E> X>7@;@AD7V R4>
LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E 9> F A6C9@A@PC R4> >E5DO:>A> R4> QF
Ä yx z Ä yy z Min y|yx z FH |yy z z
x Fy X Ä W yX FRKD| z
L67 >::6F BW yX FRKD| z
+DE 57>E A6C9@A@6C>E 9>: 5>67>MD L>7M@5>C A6C6A>7 APM6 E6C :6E >:>M>C56E 9>
A4DC96 5@>C> Q C6 5@>C> L4C56E8 D:ADC?D E4 MVK@M6W yX FRKD| z | W yX FRKD| z
XD:67 D: M>C6E >C >: A6CZ4C56 9> L4C56E F >E A6CE5DC5> >C F >E 9>A@7F 96C9>l|nH y|zm |
56MD >: XD:67 A>76 Q >K@E5> 4C e:<M@5>f LD7D >: 7>E56 9> XD:67>E 9> 9D96 L67 :D
A6C9@A@PC iiiB "C :D .@=47D H L4>9> X>7E> 4C >Z>ML:6 9> >E5D96 :P=@A6 9>W yX FRKD| z
LD7D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57@DC=4:D7B|
gH
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
2. 2>D 4C V:=>O7D 9> b66:> L76ODO@:@?D9D Q :D 7>:DA@PC
Figura 1B "Z>ML:6 9> >E5D96 :P=@A6 O6776E6 9> :D 7>:DA@PC 'DKyHU|F|zB
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9>;@C@9D E6O7> >::DB 2> A4ML:> R4> F X>7@;@AVC96E> 5DMO@SCp ya b z p W yX FRp z
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>E574A547D 7>:DA@6CD: O6776ED B "C >;>A56F E> 9>O> A4ML:@7 R4>yX FRp z
FMax ym F|ya z p ya b z Hz |yb z
L>76 LD7D >::6 ODE5D A6C R4> E> X>7@;@R4> W :6 A4D: >E|ya z p ya b z H |yb z
A@>756F QD R4>F 5>C@>C96 >C A4>C5D :D 7>:DA@PC F R4> >E XV:@9D >C 569Da ab ab
V:=>O7D 9> b66:>F E> 5>C97V8
|ya z p ya b z H kH kgp ya z H p ya z p yab z H
kH kgp yab z kgp yab z p yab z p yab z p yab z
kH kgp yb z kgp yab z p yab z
kH kgp yb z
|yb z F
9D96 R4> Q B 26C @C5>7>EDC5>E :DE 96E E@=4@>C5>Ep yab z p ya z kg p yab z p yab z
6OE>7XDA@6C>EB "C L7@M>7 :4=D7F E@ 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9> :D ;67MD| kH kg p
56MD 4C XD:67 MDQ67 R4> H yM>C67 R4> m C6 L4>9> 6A477@7zF ODE5D 56MD7 | ya z
LD7D 6O5>C>7 4C U>E5D96 :P=@A6 O@>C 9>;@C@96F N>AN6 R4> E>Min yH F|ya z z |ya z W
22
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
9>M4>E57D 9> :D M@EMD ;67MD >KL4>E5DB "C E>=4C96 :4=D7F :6E >E5D96E :P=@A6E|
9@E5@C56E 9> C6 E6C C4CAD ;4CA@6C>E 9> L76ODO@:@9D9B (6 E> ND >E549@D96 E@ >K@EUp
5>C U>E5D96E :P=@A6E LD7D 9@E5@C56E D :6E >KL4>E56EBW Rp
3. -6CE@9>7DC96 >: M@EM6 A6CZ4C56 ODE> 9>: >Z>ML:6 DC5>7@67 Q 9>;@C@>C96 :D 7>:DU
A@PC
LD7D :6E >:>M>C56E 9> A6C L76ODO@:@9D9 L6E@5@XDF E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5> R4>
R p yb ua z p yb ua z p yab zp ya z
F
a X
F E@>C96 :D 5UC67MD L7694A56 yvid. $LSC9@A>zB #D7D >E5Dp yX FR p z yx Fy z xy
7>:DA@PC >: E@=4@>C5> 7>E4:5D96 9D 9> C4>X6 E4OA6CZ4C56E O6776E6E R4> E6C >E5D96E
:P=@A6EB
Proposición 1.1.5
!D9D 4CD 7>:DA@PC O6776ED Q 4C U>E5D96 :P=@A6 9> F :6E E4OA6CZ4C56ER | R
O6776E6E 9>;@C@96E A6M6
E6C E@>ML7> U>E5D96E :P=@A6E 9> LD7D A4D:R4@>7 5UC67MD M>C67 6 @=4D:
ya z kH kg|ya z F kH Fkg lm FHn Q ya z lm FHn F
T R T
R4> >: L7694A56B
Demostración.
T y ya z FR yb ua z z ya z R yb ua z ykH kg|ya z z R yb ua z
kHR yb ua z kg|ya zR yb ua z
kHR yb ua z kg|yb z kH kg|yb z
yb z B
"E5D L76L6E@A@PC A6C::>XD R4> :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E 9> :D ;67MD kH kgp ya z
E6C >:>M>C56E 9> B $: @=4D: R4> >C >: >Z>ML:6 DC5>7@67F L4>9> E4A>9>7 R4>yX FRP z
L>76 >E ;VA@: 9> A6ML76OD7 R4> 5DMO@SCkHp ya z kg� H F Min yH FkHp ya z kg z
gh
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
A4ML:> :D L76L6E@A@PC HBHBJB &DML6A6 E> ND >E549@D96 >C >E5> ADE6 :D >K@E5>CA@D 9>
6576 5@L6 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D :D 7>:DA@PC BRp
4. "C lHgn L4>9> X>7E> >: E@=4@>C5> >Z>ML:68 4CD M>9@9D 9> C>A>E@9D9 lgHn E6O7> 4C
V:=>O7D 9> b66:> >E 4CD DL:@ADA@PC F X>7@;@ADC96N 8X lm FHn N yab z Min yN ya z F
2> A4ML:> R4>N yb z zB
>C A6CE>A4>CA@D F E@>C96 B
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N Min yX FRN yb ua z z RN yb ua z N ya b z
5. -6M6 [:5@M6 >Z>ML:6F A6CE@9S7>E> :D 7>:DA@PC I|yb ua zH E@ |ya z |yb zm >C 6576 ADE6
R4> 5@>C> A6M6 U>E5D96E :P=@A6E D 5696E :6E 5D:>E R4> X>7@;@R4>C :DMin yX z
A6C9@A@PC8
LD7D 5696 LD7 9> >:>M>C56E W >E 9>A@7F DR4>::6E R4> 5@>C>C >: M@EM6 AD7VA5>7
|ya z |yb z ya z yb z F
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A@6C>E E@=4@>C5>E8
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ii) >E U57DCE@5@XD A6C 4CD 5UC67MDF 6 E>DFR T T T yR yb ua z FR yc ub z z R yc ua z
LD7D A4D:R4@>7 57<6 Ba Fb Fc X
24
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
"EL>A@D:M>C5> @C5>7>EDC5>E E6C :DE 7>:DA@6C>E A6C6A@9DE A6M6 L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E
R4> E> 9>;@C>CF LD7D 4CD 5UC67MD A6C5@C4D3 Q 4C F A6M68T | yX z
I T| yb ua z sup}z lm FHn 8 T y|ya z Fz z |yb z~ B
#67 >Z>ML:6F LD7D :D 5UC67MD >: L7>679>C >:>M>C5D: R4> 7>E4:5D >EMin
IMin yy uxz H si x yy >B6BAB F
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L:6E 9> L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E MVE 45@:@?D96E >C :D L7>E>C5> M>M67@DB -4DC96 :D 5U
C67MD >E D7R4@M>9@DCD E> L4>9> 6O5>C>7 :D >KL7>E@PC =>C>7D: 9>: L7>679>C >:>M>C5D:
=>C>7D96B 2@ >E D7R4@M>9@DCDF >K@E5@7V 4CD ;4CA@PC A6C5@C4D Q >E57@AUT h 8 lm FHn
5DM>C5> 9>A7>A@>C5>F 9>C6M@CD9D =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UC67MDF 5D: R4>
96C9> >E :D LE>496@CX>7ED 9> F 9>;@C@9D A6M6
T yx Fy z h y Hz yh yx z h yy z z F
h y Hz h
'>9@DC5> >E5D >KL7>E@PC L69>M6E AD:A4:D7 APM6 E> >EA7@O> >C ;4CA@PC 9> B
h y Hz yy z h H yMin yy Fh ymz z B
I T| yb ua z h
"C L7@M>7 :4=D74F
I T| yb ua z sup}z lm FHn 8T y|a Fz z |b~
sup}z lm FHn 8h y Hz yh y|a z h yz z z |b~
+DE 96E L6E@O@:@9D9>E E@=4@>C5>E L>7M@5>C AD:A4:D7 :D >KL7>E@PC 9> 8IT|
h !> N>AN6 C6 >E C>A>ED7@6 R4> :D 5UC67MD E>D A6C5@C4DF ODE5D A6C R4> :6 E>D L67 :D @?R4@>79D Q >C :D
E>=4C9D A6ML6C>C5> LD7D R4> :DE ;4CA@6C>E 5>C=DC L76L@>9D9>E @C5>7>EDC5>EF lvid. $LSC9@A>nBIT|
i 2@ C6 9D :4=D7 D >7767F >EA7@O@7>M6E L67 A6C >: ;@C 9> E@ML:@;@AD7 :D C65DA@PCB
gJ
Estados lógicos; Definición y propiedades básicas
I*(b/a)=sup{ze[0,l]:T(na,z)<nb} =
=sup{z€ [0,1] :hS~l) (h(fia) + h(z)) < nb}
T Las dos posibilidades siguientes permiten calcular la expresión de / :
— si \ia < \kb , entonces h(iia) >h(¡xb) y h(\iá) +h(z) ^ h{¡ib) para todo
z. Por tanto, /i("1}(h(na)+h(z))<h(~l)(h(ixb))=fjLb para todo z,
luego /M(fc/a) = l;
— si, en cambio, \ia> ¡xb , será h{¡xa) < h([xb) y h(nb) -h(fia) E
(0,/*(0)], puesto que h{ixb)-h{ixa)^h(¡xb)<h(Q). Entonces es
I (b/a)=h(~l\h(ixb)-h(iia)). En efecto, en primer lugar se cumple
que I*(b/a)>h(-l)(h(nb)-h(na)), ya que
¿(_1) (¿(/xa) +(h(h^l)(h(iib) -h(¡xa)))) =
=/i(_1) (/i(/xa) +¿(M¿>) -Hua)) = /J (_1) (*(/*&)) =
teniendo en cuenta que h(h^~1^ (JC)) =x cuando x G [0,h(0)].
Por otra parte, para todo z>hS~v>(h(nb)-h(ná)) tendremos h(z)<
h(h(-l) (h(nb) - hbia)) = h(iib) -h(fia). Así,
h(na)+h(z)< hifib)^ h(0)
y aplicando /t(_1), h{-l\h(na)+h(z))> h{-l)(h(nb))= \íb .
Con todo ello se cumplirá que
lT(hla\A 1 si iia <nb =
^K°'a) \hS-l)(h{vLb)-h{na)) si \».a>\ib
=h{-1\Max(0Mfib)-h(na))) =
=h(-lHh(ixb)eh(na))),
26
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D :D 7>:DA@PC >K@E5>C5> >C57> :6E >E5D96E :P=@A6E 9>
4CD 7>:DA@PC Q :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EB
Teorema 1.1.6
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lImnB
Teorema 1.1.7
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27
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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gs
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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>E5D96E :P=@A6E L76L@6E D :6E 9@E5@C56E 9>: XDA<6 Q 9>: 565D:B
Ejemplos 1.1.8
1. -6CE@9>7>M6E :D >E574A547D 7>:DA@6CD: 9>;@C@9D >C >: L4C56 J 9> :6E >Z>ML:6E
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2@ 4C E4OA6CZ4C56 >E A>77D96 ODZ6 F E> X>7@;@AD7V R4> E@ Q EP:6 E@V | V L yX F I|z
B #D7D A6ML76OD7 >E5D D;@7MDA@PC ODE5D A6CE@9>7D7 >C L7@M>7 :4=D7 R4> E@V l|nV
gI
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
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A6CZ4C56 >E 4C ;@:576 E@ Q EP:6 E@ X>7@;@AD :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8V
i) QV L yX F z
ii) Q Ba V b V a b V
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LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6B
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7>:DA@PC B "C >: ADE6 >C >: R4> E>D :D A:DE> 9> L76L6E@A@6C>EV{V yX V z{X V
30
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
X>79D9>7DE 9> 4C :>C=4DZ> :P=@A6 L76L6E@A@6CD: A:VE@A6F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: >E 4CD
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L>75>C>CA@D 9>: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:5B !>O@96 D >E5D AD7DA5>7<E5@ADF :6E L7>P79>C>E >:>U
M>C5D:>E 7>A@O>C 5DMO@SC >: C6MO7> 9> A6C9@A@6CD:>E MD5>7@D:>E O6776E6EB $E<F D:
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V yX z
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57D >: E@=4@>C5> >Z>ML:6B
Ejemplo 1.1.9
-6CE@9>7>M6E :D 7>:DA@PC A:VE@AD E6O7> 4C A6CZ4C56 9D9D L678X
E@ Q EP:6 E@ Fa | b Max yH |a F|b z
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F A6M6 Q B 2>D 4C >E5D96 :P=@A6 9> C6 XDA<6 QX lm FHn | Id Hg
V | x V F
>E >X@9>C5> R4> LD7D 5696 F QD R4> !> >E5D ;67MDx | y y Max yH x Fy z y B
B &6MDC96 Q 9>O@96 D R4> F E> X>7@;@AD7V R4> QFl FH n V x V Hg
H Hg
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J -6M6 E> L4>9> X>7 >C lHrnF >: @CX>7E6 9> >E5> 7>E4:5D96 [C@ADM>C5> >E A@>756 E@ :D 5UC67MD >E C6 L6E@5@XDB-4DC96 :D 5UC67MD >E L6E@5@XD >K@E5>C E4OA6CZ4C56E O6776E6E C6 A:VE@A6E R4> 9DC :4=D7 D A6C9@A@6CD:>EMD5>7@D:>E 9> E4OA6CZ4C56E A:VE@A6EB
hH
Estados lógicos: Definición y propiedades básicas
hg
1.2. Preórdenes elementales
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A6CE@9>7D7:D 4CD :P=@AD A6C XD:67>E 9> X>79D9 R4> E6C >KL7>E@6C>E :@C=v<E5@ADE 5D:>E
A6M6 verdaderoF muy verdaderoF bastante falsoF >5AB +D E>=4C9D A6CE@E5> >C A6CE@U
9>7D7:D 4CD :P=@AD M4:5@XD:4D9D >C >: @C5>7XD:6 B bDZ6 SE5D [:5@MDF >: DCV:@E@E 9>lm FHn
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5696E >E56E 57DODZ6E >E LD7>A@9D8 9> :DE M4ANDE L76L@>9D9>E R4> X>7@;@AD :D A6C>A5@XD
@ML:@ADA@PC >C :D :P=@AD A:VE@ADF >E 9>A@7F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:F >E549@D7 DR4>::DE R4>
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9D56EB #D7>A> 7D?6CDO:> >K@=@7 >E5DE 96E L76L@>9D9>EF L4>E :D @ML:@ADA@PC E@>ML7> ND
E@96 :D A6C>A5@XD L>CED9D LD7D 7>L7>E>C5D7 7>:DA@6C>E >C57> 96E L7>M@EDEF >: DC5>A>9>C5>
Q >: A6CE>A4>C5>F 9> ;67MD R4> :D X>79D9 9>: DC5>A>9>C5> 6O:@=4> D :D X>79D9 9>:
A6CE>A4>C5>B $E<F :D 7>;:>K@X@9D9 E> X> A6M6 CD547D: >C E>C5>CA@DE 9>: 5@L6 si ... enton-
ces ... +D 57DCE@5@X@9D9 9D7<D XD:@9>? D: >CAD9>CDM@>C56 9> :DE 7>:DA@6C>E >C57> :DE
L7>M@EDE >E5DO:>A@9DE L67 :D @ML:@ADA@PCB
+D >E57>AND X@CA4:DA@PC 9> :D A6C>A5@XD @ML:@ADA@PC A6C :6E M>ADC@EM6E 9>
@C;>7>CA@D 9> 4CD :P=@ADF L4>E5D 9> MDC@;@>E56 >C :P=@AD A:VE@AD M>9@DC5> >: 5>67>MD 9>
9>94AA@PCF ND N>AN6 R4>F @C>X@5DO:>M>C5>F E@ E> 9>E>D >E549@D7 7>=:DE 9> @C;>7>CA@D LD7D
:D :P=@AD ;4??QF A6M6F L67 >Z>ML:6F :D 7>=:D 9>: modus ponens generalizadoF E> 9>OD
hh
Preórdenes elementales
>E549@D7 :D ;67MD MVE D9>A4D9D 9> 7>L7>E>C5D7 :D @ML:@ADA@PCB +6E 6L>7D967>E 9>
A6CE>A4>CA@D E6CF 9>E9> :6E >E549@6E 9> &$%2w* lJqnF 4C M69>:6 DA7>9@5D96 LD7D
A6CE574@7 7>:DA@6C>E 9> @C;>7>CA@D >C 4C E@E5>MD :P=@A6B $ >E5> 7>EL>A56F >C lHgF HiF HJn
L4>9>C >CA6C57D7E> 7>E4:5D96E R4> M4>E57DC A4VC96 4C L7>679>C 9D :4=D7 D 4C 6L>7DU
967 9> A6CE>A4>CA@DE >C :P=@AD ;4??Q Q D :D @CX>7EDB
"C >E5> A6C5>K56F LD7>A>F L4>EF A6CX>C@>C5> >E549@D7 R4S L76L@>9D9>E L7>E>C5DC
:6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EF E@>C96 SE56E e7>L7>E>C5DC5>Ef 9> A4D:R4@>7 L7>679>CB
1.2.1. Identidad de preórdenes elementales
-6M>C?D7>M6E L67 @C5>C5D7 7>EL6C9>7 D :D E@=4@>C5> A4>E5@PCF ÉA4VC96 96E E4OU
A6CZ4C56E O6776E6E 9DC :4=D7 D: M@EM6 L7>679>C >:>M>C5D:Ñ $CD:@?DC96 >: ADE6 A:VE@A6F
>: E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D R4S E4A>9> A6C >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B
Teorema 1.2.1.1
!D96 F 4C E4OA6CZ4C56 L76L@6 9> F C6 >K@E5> C@C=[C 9@E5@C56W X X V yX z
9> 5D: R4> BW V W
Demostración. 24L6C=DM6E R4> >K@E5@>E> 5D: R4> Q X>DM6E R4> >::6 @ML:@UV V W
AD R4> B 2@ >K@E5> 4C >:>M>C56 A6C F >C56CA>E LD7D 5696 5>CUV W a W a V b W
97<DM6E R4> L>76 C6 F :6 A4D: >E @ML6E@O:>B 2@ C6 >K@E5> >C >EDE A6C9@Ua V b a W b a
A@6C>EF >E R4> QF E@ C6 E> 9D :D @=4D:9D9F 56MDC96 >C56CA>E QW V a W V b V
A6C F 5>C97<DM6E 9> C4>X6 Q C6 B +4>=6F ;67?6EDM>C5>F Bb W a V b a W b V W
hi
Identidad de preórdenes elementales
Corolario 1.2.1.2
2>DC F E> X>7@;@AD R4>V FW yX z
W V E@ Q EP:6 E@ W V
#67 A6CE@=4@>C5>F >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: 9>5>7M@CD 565D:M>C5> >: A6CZ4C56 D 57DXSE 9>:
A4D: E> 9>;@C>B
$: >E549@D7 >: ADE6 9> :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E O6776E6E :D E@54DA@PCF A6M6 >E
NDO@54D:F >E MVE A6ML:>ZD R4> >C >: ADE6 A:VE@A6B $CD:@?D7>M6E R4S 7>:DA@PC NDQ >C57>
96E E4OA6CZ4C56E O6776E6E A4DC96 E> X>7@;@AD R4> B|F I T| I T
-4DC96 E> 9>;@C> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 E6O7> 4C A6CZ4C56 ODE> E> @C94A> 4C| X
L7>679>C 565D: E6O7> >: M@EM6 9> :D E@=4@>C5> ;67MD8|
": E@=4@>C5> 5>67>MD D;@7MD R4> D: X>7@;@AD7E> F Q L7>679>CDC 9> :D M@EMD
a |b E@ Q EP:6 E@ |a |b B
I T| I T |
;67MD >: A6CZ4C56 BX
Teorema 1.2.1.3
2>DC Q 96E 5UC67MDE A4D:>ER4@>7DFT T
E@ F >C56CA>EI T| IT | B
Demostración. 24L6C=DM6E R4> Q R4> F >C56CA>EI T| IT |aÇ|b IT| yb ua z H IT yb ua z
A6C :6 R4> F D9>MVE E@ ;4>E> E> A4ML:@7<Da b a b IT ya ub z H IT| ya ub z F
A6C :6 R4> E>7<D >C A6C57D 9> :D N@LP5>E@EB|b |a
&6MDC96 F >: 7>E4:5D96 ED:> 9> ;67MD @9SC5@ADB #67 5696 >::6 E@ Q EP:6 E@|aÇ|b
F A4ML:@SC96E> >: >C4CA@D96 9>: 5>67>MDBaÇ b
#D7D >E549@D7 :D 7>:DA@PC R4> >K@E5> >C57> Q 9>O>M6E A6CE@9>7D7 L67 E>LD7DU|
96 :6E ADE6E E>=[C E>D :D 5UC67MDB -6M>C?DM6E L67 BT Min
35
Identidad de preórdenes elementales
Teorema 1.2.1.4
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Identidad de preórdenes elementales
Corolario 1.2.1.5
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Teorema 1.2.1.6
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Identidad de preórdenes elementales
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Corolario 1.2.1.7
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Identidad de preórdenes elementales
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Corolario 1.2.1.8
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Teorema 1.2.1.9
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Identidad de preórdenes elementales
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Identidad de preórdenes elementales
Corolario 1.2.1.10
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1.2.2. Relación de equivalencia entre estados lógicos
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Definición 1.2.2.1
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": E@=4@>C5> 7>E4:5D96 E> 9>M4>E57D 9> ;67MD E>CA@::DF
Proposición 1.2.2.2
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2>D >: A6CZ4C56 A6A@>C5> MP94:6 :D 7>:DA@PC 9>T yX FR z u } | 8 | T yX FR z~
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Relación de equivalencia entre estados lógicos
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1.2. Bl|n|
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ih
Relación de equivalencia entre estados lógicos
": E@=4@>C5> 5>67>MD >E 9> 9>M6E57DA@PC >X@9>C5>F
Teorema 1.2.2.3
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LD75>F A6M6 E> A4ML:> R4>h y|a z h ymz h y|a z h y |z h ymz h y |z h ymz B
ii
Relación de equivalencia entre estados lógicos
Teorema 1.2.2.4
>E 4C 7>L7>E>C5DC5> ADCPC@A6 9> :D A:DE> BÄ| |
Demostración. "C L7@M>7 :4=D7F >E5V O@>C 9>;@C@96F QD R4>Ä| h y|a z h y |z
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#67 [:5@M6F C6 9>L>C9> 9>: 7>L7>E>C5DC5> >:>=@96 LD7D E4 6O5>CA@PCB 2>D 6576
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Teorema 1.2.2.5
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Demostración.
Ä| supaÄ|a sup
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Relación de equivalencia entre estados lógicos
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1.2.3. Estados lógicos de un T-preorden elemental
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Teorema 1.2.3.1
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ir
Estados lógicos de preorden elemental
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Teorema 1.2.3.2
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Demostración.
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Estados lógicos de preorden elemental
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Teorema 1.2.3.3
iI
Estados lógicos de preorden elemental
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Teorema 1.2.3.4
Jm
Estados lógicos de preorden elemental
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Teorema 1.2.3.5
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Demostración. 2@ F >C56CA>E QD R4> E@ E> A4ML:> R4>T yX F IT| z l|nH l nH a l|nH
JH
Estados lógicos de preorden elemental
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Jg
CAPÍTULO 2. LAS CLASES DE UN PREORDEN
2.1. Definición y propiedades básicas
2.2. Subconjuntos borrosos trapezoidales
Introducción
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6O5>C>7 A:DE>E R4> E>DC E4OA6CZ4C56E O6776E6E :@C>D:>E 9>: 5@L6 9>EA7@56F L67 >::6 >C >:
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DE@MS57@A6EB
Ji
2.1. Definición y propiedades básicas
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Teorema 2.2.1
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9>EB
Teorema 2.2.2
2>D 4C UL7>679>C >:>M>C5D:F E> X>7@;@AD R4> LD7D A4D:R4@>7 >:>M>C56I T| T | |a$9>MVEF E> 9D7V :D @=4D:9D9 F LD7D A@>756 F E@ Q EP:6 E@ 5@>C>a XB | |a a X |
L4C56EB
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JJ
Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas
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F >E 9>A@7F F :4>=6 BT y|a F I T| yb ua z z I T| yb ua z |b |ab |b |a |
Teorema 2.2.3
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Demostración. 2> A6ML74>OD R4> E@ Q EP:6 E@ B "C L7@M>7 :4=D7F E@|a |b |b |a
F >C56CA>E LD7D 5696 F :4>=6F 56MDC96 F E> 5>C97V|a |b I T| yc ua z IT| yc ub z c X c a
R4> E@ Q EP:6 E@ BI T| ya ua z H I T| ya ub z |b |a
#67 657D LD75>F E@ @ML:@AD7V R4> F :4>=6F 56MDC96 E4L7>M6E|b |a T y|b Fz z T y|a Fz z
E6O7> F E> A4ML:> R4> B -6M6 LD7D 5696 LD7D >Ez I T| yc ua z IT| yc ub z a Fb X |aÇ|b
6 6 F E> E@=4> >: 7>E4:5D96 9>: 5>67>MDB|a�|b |a |b
": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D R4> :D A:DE> >E >: E4OA6CZ4C56 O6776E6 MVE|aL>R4>T6 9> >C57> DR4>::6E >E5D96E :P=@A6E R4> X>7@;@ADC B|a H
Teorema 2.2.4
2>D 4CD >E574A547D 7>:DA@6CD:F >E >: MVE L>R4>T6 9> :6E U>E5D96E :P=@A6EyX FR z |a T |
R4> X>7@;@ADC B|ya z H
Demostración. LD7D 5696 FUT y|a FR yb ua z z T yH FR yb ua z z R yb ua z |ab |b b X
:4>=6 B|a |
Corolario 2.2.5
2@ >E 4C UL7>679>C O6776E6F >C56CA>E >E >: U>E5D96 :P=@A6 MVE L>R4>T6 R4>R T |a T
e5@>C>f D: L4C56 Ba
2@ =>C>7D:@?DM6E :DE A:DE>E D 4C E4OA6CZ4C56 C6 XDA<6 A4D:R4@>7D M>9@DC5>M
56
Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas
E> 6O5@>C>C 7>E4:5D96E E@M@:D7>E D :6E DC5>7@67>EB
|M yb z sup}R yb um z 8 m M~ F
Teorema 2.2.6
2@ >E 4CD 5UC67MD A6C5@C4D Q >E 4CD 7>:DA@PC U57DCE@5@XDF >E 4C U>E5D96T R T |M T
:P=@A6 O6776E6 LD7D B $9>MVE E@ >E 7>;:>K@XDF >C56CA>E LD7DyX FR z R |M ym z H
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Demostración.
T y|M a FR yb ua z z T ysupm M
R ya um z FR yb ua z z supm M
T yR ya um z FR yb ua z z
Bsupm M
R yb um z |Mb
Teorema 2.2.7
>E MVE L>R4>T6 R4> A4D:R4@>7 U>E5D96 :P=@A6 A4ML:@>C96 LD7D|M T | |ym z H
5696 Bm M
Demostración. 2@ LD7D 5696m M F T y|m FR yb um z z T yH FR yb um z z R yb um z |b
F :4>=6F 56MDC96 E4L7>M6EFb X
supm M
R yb um z |M yb z |yb z B
Corolario 2.2.8
2@ >E 4C UL7>679>C O6776E6F >E >: U>E5D96 :P=@A6 MVE L>R4>T6 9> >C57>R T |M T
DR4>::6E U>E5D96E :P=@A6E R4> A6C5@>C>C D F >E 9>A@7F R4> A4ML:DCT | M |ym z H
LD7D 5696 m M B
Jr
Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas
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,Å9>:Ub764j>7 |x yy z IMin yy ux z H x y
y x�y
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Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas
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Clases de una relación borrosa: Definición y propiedades básicas
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&@L6 k@::M65 |x yy z RWg yy ux z H x xMin yx Fy z
]D=>7 |x yy z RY yy ux z yx
qm
2.2. Subconjuntos borrosos trapezoidales
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O6776E6 >C :6E R4> E> 45@:@?DC >E5> 5@L6 9> ;4CA@6C>EB "C >E5> DLD75D96 6O5>C97>M6E 4CD
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4C@X>7E6 >: A6CZ4C56 9> C[M>76E 7>D:>E B "E5> N>AN6 C6 E4L6C> 4CD =7DC 7>E57@AUX
A@PC L4>E56 R4> >E NDO@54D: 45@:@?D7 A6M6 4C@X>7E6 ODE> >C :D 9>;@C@A@PC 9> E4OA6CU
Z4C56E O6776E6E R4> e7>L7>E>C5DCf L7>9@AD96E O6776E6E D 57DXSE 9> 9>5>7M@CD9DE AD7DAU
5>7<E5@ADE C4MS7@ADE 9> >E56E [:5@M6EB #67 >Z>ML:6F 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 R4> 7>L7>U
E>C5> >: L7>9@AD96 altoF E6O7> 4C 4C@X>7E6 9> L>7E6CDEF E> 9>;@C> M>9@DC5> :D D:547D 9>
4CD L>7E6CDF M>9@9D SE5D >C D:=4CD >EAD:D C4MS7@AD Q R4> L4>9> A6CE@9>7D7E> A6C5@U
C4DB
Definición 2.2.1
/C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57DL>?6@9D: >E 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9>;@C@96 D LD75@7 9>
A4D576 LD7VM>576E A6M6 E@=4>l H F H F g F g n
qH
Subconjuntos borrosos trapezoidales
+6E LD7VM>576E E@>ML7> X>7@;@AD7VC :D 7>:DA@PC
Figura 14BU 24OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>EB
ED:X6 >C 4C ADE6 LD75@A4:D78 A4DC96 6 B !> >E5D ;67MDF :D
HÇ H gÇ g F
H H g g
9>;@C@A@PC @CA:4Q> :6E 57DL>A@6E E@MS57@A6E Q DE@MS57@A6EF :6E C[M>76E 57@DC=4:D7>E
E@MS57@A6E Q DE@MS57@A6E Q :6E 57DL>A@6E eDO@>756Ef L67 4C6 9> E4E >K57>M6EF 5D: A6M6
L4>9> X>7E> >C :D .@=47D HiB
#D7D 6O5>C>7 E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E A6M6 A:DE>E 9> 4CD 7>:DA@PCF
7>A679>M6E >C L7@M>7 :4=D7 :DE 9>;@C@A@6C>E 9> MS57@AD =>C>7D:@?D9D lhIF JiF rgn >
@C9@E5@C=4@O@:@9D9 lqIF $LSC9@A>nB
Definición 2.2.2
/CD DL:@ADA@PC >E 4CD UMS57@AD =>C>7D:@?D9D E@ Q EP:6 E@ X>7@;@ADd 8X{X lm FHn T
LD7D A4D:R4@>7 57<6 8a Fb Fc X
i) d ya Fa z m F
ii) Qd ya Fb z d yb Fa z
iii) T yd ya Fb z Fd yb Fc z z d ya Fc z F
E@>C96 4CD 5UA6C67MDBT
qg
Subconjuntos borrosos trapezoidales
Definición 2.2.3
/CD 7>:DA@PC O6776ED E> 9@A> R4> >E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6E 8X lm FHn T
E@
i) >E 4C UL7>679>C QE T
ii) >E E@MS57@ADBE
": E@=4@>C5> 5>67>MD M4>E57D APM6 6O5>C>7 4CD @C9@E5@C=4@O@:@9D9 D LD75@7 9> 4CD
MS57@AD =>C>7D:@?D9DB
Teorema 2.2.4
2>D 4C U>ELDA@6 MS57@A6 =>C>7D:@?D96F E> A4ML:> R4>yX Fd z T Rd yb ua z H
>E 4CD 7>:DA@PC 9> U@C9@E5@C=4@O@:@9D9F A6C :D 5UC67MD 94D: DE6A@D9D Dd ya Fb z T T
M>9@DC5> :D C>=DA@PC BT N yx z H x
Demostración. +DE L76L@>9D9>E 7>;:>K@XD Q E@MS57@AD E6C >X@9>C5>EF :D U57DCE@5@X@9D9T
E> 9>M4>E57D 9> :D E@=4@>C5> ;67MD8
T yRd yb ua z FRd yc ub z z T yH d ya Fb z FH d yb Fc z z
H T yd ya Fb z Fd yb Fc z z H d ya Fc z
FRd yc ua z
5>C@>C96 >C A4>C5D R4> Q E6C 94D:>E QF L67 5DC56F BT T T yH x FH y z H T yx Fy z
"E @C5>7>EDC5> 7>ED:5D7 R4> E@ >E 4CD MS57@AD 4E4D:F >: 5>67>MD DC5>7@67 C6d 8X{X
L4>9> E>7 DL:@AD96 D :D 7>E57@AA@PC 9> D 9>;@C@9D A6M6d lm FHn
d ya Fb z Min yH Fd ya Fb z z F
qh
Subconjuntos borrosos trapezoidales
QD R4>F D4C X>7@;@ADC96 :DE L76L@>9D9>E i Q iiF C6 A4ML:> :D 9>E@=4D:9D9 57@DC=4:D78d
E> 9>O>7<D X>7@;@AD7 R4> QF ODE5D 56MD7T yd ya Fb z F d yb Fc z z d ya Fc z d ya Fc z� H
Q M>C67>E R4> H LD7D R4> C6 E> A4ML:DBd ya Fb z Fd yb Fc z
#D7D 6O5>C>7 4CD @C9@E5@C=4@O@:@9D9 D LD75@7 9> 4CD MS57@AD A:VE@AD L69>M6E 45@:@?D7 >:
E@=4@>C5> 5>67>MDB
Teorema 2.2.5
2@ >E 4C >ELDA@6 MS57@A6 A:VE@A6F :D 7>:DA@PC 9>;@C@9D A6M68yX Fd z RdRd yb ua z H Min yH Fd y f ya z F f yb z z z Max ym FH d y f ya z F f yb z z z H d y f ya z F f yb z z
>E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 LD7D A4D:R4@>7 DL:@ADA@PC BW f 8X X
Demostración. +DE L76L@>9D9>E 7>;:>K@XD Q E@MS57@AD E6C >X@9>C5>E L67 :DE L76L@>9D9>E
i Q ii 9> :DE MS57@ADEF L67 5DC56F >E E4;@A@>C5> 9>M6E57D7 R4> >E U57DCE@5@XDFRd W
W yRd yb ua z FRd yc ub z z
Max ym FH Min yH Fd y f ya z F f yb z z z H Min yH Fd y f yb z F f yc z z z Hz
Max ym FH yMin yH Fd y f ya z F f yb z z z Min yH Fd y f yb z F f yc z z z z z
Max ym FH Min yH Fd y f ya z F f yb z z d y f yb z F f yc z z z z
H Min yH Fd y f ya z F f yb z z d y f yb z F f yc z z z
H Min yH Fd y f ya z F f yc z z z
Rd yc ua z B
Ejemplos 2.2.6
2@ 56MDM6E F :D ;4CA@PC @9>C5@9D9F Q >E 4CD 9@E5DCA@D 7>D:F E> 6O5@>C> :DX f Id d
U@C9@E5@C=4@O@:@9D9W
qi
Subconjuntos borrosos trapezoidales
Rd(b/a) = l-Min(l9d(a,b))
y las clases
¡jia(x) = l -Min(l,d(a,x))
que, como sabemos por el teorema 2.2.1, son W-estados lógicos borrosos de Rd. Las
clases \ia verifican:
— ixa(x)=0 si y sólo si Min(l,d(a,x)) = l o 1 <d(a,x);
— /xa(jt) = l si y sólo si Afin(l9d(a,x))=0 o d(a,x)=0 y que, si d separa
puntos, conlleva x =a,
— [ia(x)G(0,l) si y sólo si 0 < d(a,x) < 1, en cuyo caso [xa(x) = l-
d(a,x).
1. Con d(a,b) = \b-a\ , las propiedades anteriores se interpretan como:
— 1 < | a -JC | si y sólo si se cumple las dos condiciones siguientes: si a > x,
entonces 1 <a-jc y, si a <JC, entonces 1 <x-a; es decir, si a >JC, enton-
ces JC ^ a -1 y si a < x, entonces a +1 < x;
— |jt-a| =0 si y sólo jc=a;
— 0 < | j t - t f | < l si y sólo si, cuando x>a, entonces a<x<a + l y
cuando x < a, entonces a -1 < x < a.
De este forma el W-estado lógico
borroso fia es el subconjunto borroso
triangular [a-l,a,a,a + l] mostrado
en la Figura 15.
1
1. / \ t-1 t 111
Figura 15.- Número triangular borroso.
65
Subconjuntos borrosos trapezoidales
2. Con d(a,b)=\ \b-a\ con X>0 , el subconjunto borroso obtenido será:
A A
que podría ser visto como el número borroso «alrededor de a» si X > 1.
3. Si M = [a,fc] y d(x,y)= \y-x\ , de:
fxM(x)= sup Rd(x/z) = sup (l-Afi/i(l,d(x,z))) = zEM zEM
= sup Max(0,l -d(x9z)) = sup Afax(0,l - |JC-Z| ), zEM zGAf
se obtiene que
liM = [a-l9a9b9b + l].
4. Si consideramos la distancia d(a,b)= \f(a)-f(b)\ y se elige una función
monótona adecuada / , es posible conseguir diferentes conjuntos borrosos trapezoi
dales mediante las clases. En este caso:
— na(x)=0 si y sólo si \f{á) -f(x) | > 1 y si / fuese no-decreciente se
cumpliría que
• si x < <z, entonces f{x) ^f(a), por lo que ¡xa =0 si y sólo si / ( a ) -
f(x)>l,
• y si x > a, entonces f(x) >f(a), por lo que fia =0 si y sólo si f(x) -
f(a)> 1;
— iia(x) = 1 si y sólo si |/(a) -/(*) | =0 si y sólo si /(*) =/(a),
66
Subconjuntos borrosos trapezoidales
— 0 < na(x) < 1 si y sólo si 0 < \f(a) -/(JC) | < 1 y en ese caso, ¿ifl(jc) =
l-\f(a)-f(x)¡ •
Es interesante resaltar que si f=f+k con k una constante, se obtienen los mismos
conjuntos borrosos con/ que con/7.
Algunos ejemplos de subconjuntos borrosos obtenidos como clases de indistingui-
bilidades de este tipo son:
4.1. Con fx(x)=kx resulta
Mfl(*) = [ 0 - p 0 . * • * + -£]•
. ~ ~ , , x í k* S I J C < < 2 . . . , / , * 4.2. Con/?(jc) = 4 ,/ / f / fx ^ y siendo fc,r>0, se obtiene 1,2 1 k'x-(k-k)a six>a
que será un número triangular asimé
trico como el que aparece en la
Figura 16.
1
. / i \ 1 t-1/k a ••1/k* 1
Figura 16.- Número triangular asimétrico.
4.3. Si/3(x) = k{x-cx) SÍJC<C1
0 si cl < x ^ c2 con k > 0, para cualquier a con k(x-c2) si c2 <x
cl < a < c2 se obtiene
M a - [ c l - p c l > c 2 ' C 2 + £ ] '
un trapecio simétrico como el que aparece Figura 17.
67
Subconjuntos borrosos trapezoidales
5. -4DC96 E> A6CE@9>7D
Figura 17BU &7DL>A@6 E@MS57@A6B
fi yx zkH yx cH z E@ xÇcHm E@ cH x cg
kg yx cg z E@ cgÇx
A6C Q X>7@;@ADC96 F 7>E4:5DkH Fkg�m a cH a cg
R4> >E 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 57DL>?6@U
Figura 18BU &7DL>A@6 DE@MS57@A6B
|a lcHHkHFcH Fcg Fcg
Hkgn F
9D: DE@MS57@A6 A6M6 >: R4> DLD7>A> >C :D
.@=47D HsB
6. -6CE@9>7DC96 Q :D ;4CA@PCM lcH Fcg n
F E> 5@>C>fh
|M lcHHkFcH Fcg Fcg
Hkn F
Q A6C :D ;4CA@PC 9Dfi
9> C4>X6 4C 57DL>A@6 DE@MS57@A6 A6M6 >: 9> :D .@=47D HsB
|a lcHHkHFcH Fcg Fcg
HkgnF
+D 6O5>CA@PC 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E M>9@DC5> A:DE>E 9> :D UW
@C9@E5@C=4@O@:@9D9 9>;@C@9D D 57DXSE 9> A@>75D ;4CA@PCF E> L4>9> =>C>7D:@?D7 >C >: E>C5@96
9>: E@=4@>C5> 5>67>MD Q R4> L>7M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC LD7D :6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E
57DL>?6@9D:>E 9> :D 9>;@C@A@PC gBgBHB
qs
Subconjuntos borrosos trapezoidales
Teorema 2.2.7
Sea /xE^(R) , /x es un subconjunto borroso trapezoidal si y sólo si existe una
función /:R->R, continua, lineal y estrictamente creciente, excepto para un inter
valo [/3x, /32] donde es constante, tal que:
ti(x)=»a(x)=Max(0,l-\f(a)-f(x)\)
pata cualquier punto a E [&x, (321.
Demostración.
Sea un trapecio \i = \ax,/3X, (32, a2] y consideremos la función:
f * "P i
/ ( * ) = 0 si P^x^p2
si jc^pj y p^-oo (0 si P1 = -0 0)
* - P 2 si p 2 £ * y $2*
+0° (® s* Pi = +0°) a2-p2
se verifica entonces que /xa(jt) = Afax(0,1 - | / (a ) -/(*) | ) = Afax(0,1 - |/(JC) | ) es
igual a /x, tomando cualquier a con (3l<a<32. Para demostrarlo, se deben distin
guir tres partes dependiendo de los valores que tome /xfl.
1. ixa{x) = 1 si y sólo si |/(JC) | =0, y esto ocurrirá para todo x £ [0X,/32], es
decir, donde \i toma el valor 1. Si 0l o j(32 fuese igual a -oo o a oo respecti
vamente, sucedería lo mismo, ya que la función tomaría el valor 0 para los
valores menores que j82, o mayores que (í^, dando lugar al valor 1 para \ia.
2. \ia{x) =0 si y sólo si 1 <* |/(JC) | . Supongamos en primer lugar que #!, /32
son distintos de -oo e oo, respectivamente, y sea x < j81 < <z, entonces, como
/ ( * ) = - , sera
69
Subconjuntos borrosos trapezoidales
13*-x 1 < - * 01-a1<01-x <* - a 2 < - j c <* a]>JC,
luego /ia(jc) =0 si x < ax, lo cual es verdad también para ¡i; si es a<(32<x,
por el mismo argumento se llega a que /¿fl(jt)=0 si a2<jc, hecho que, de
nuevo, es también cierto para \i.
Si 0l=-oo, entonces no existirá x£0l, luego sólo se dará /¿a(x) =0 para los
ot2 ^ x, lo que es igual para \i. De forma análoga se razonaría cuando /32 = °° .
3. Sea x tal que ax < x < 0{, entonces \xa vale
^ ) = i-l/Wl=i-^-= 1 J Ml - • — L = M ( s ) . j 8 1 - a 1 P i - a i P i " a i
Y para cuando $1<x<a1 se tendrá
«2"^2 «2~^2 P 2 ~ a 2
Recíprocamente, sea /xfl(x)=Max(0,l - | / ( a )- /(*) |) para cierta función/ en las
condiciones del enunciado del teorema. Se debe comprobar que \ia es un trapecio.
Supongamos, por ahora, que j81 ?¿ -00 y /32 ^ 00 :
— / es constante en [0l9j32] y fl£ [/3X,/32], luego para todo xE [j31,]32] es
M*) = i;
— tomemos x < (3l ^ a, se cumplirá que / (a) >/(*) por ser / no decreciente,
y sea
ct^ sup{x£R,x < p^.fia) -f(x) >l},
que existirá, ya que se define sobre un conjunto de números reales no vacío, por
ser / fuera de [j81,jS2] estrictamente creciente, y acotado superiormente. Es
evidente que para todo x < ax se verifica que fia(x) = 0, puesto que
70
Subconjuntos borrosos trapezoidales
\f(a) -f(x) | > 1. Para ax < x < f¡x será
lia(x)=Max(0,l-\f(a)-f(x)\) = l-f(a)+f(x),
que es una función lineal y creciente con ^ ( a j ) =0 y /xa(/32) = 1;
— sea ahora x> @2>a, con lo que f(a) <f(x). Se define
a2=inf{xGR,x>p2:f(x)-f(a)> 1},
que de nuevo existirá por ser el conjunto no vacío y estar acotado inferiormente.
Para todo x > a2 se verificará fia(x) =0 y para 02<x<a2 será
M*(*) = ! - / ( * ) + / ( * ) .
que es una función lineal y decreciente con valores límite ¡ia((32) = l y
M<*2)=0.
Resumiendo, ¡xa{x) =Max(0,1 - \f(a) -f{x)| ) = [a1,i81,j32.<*2].
Por último tuedan por considerar los casos en el que ^ = -00 o j32 = o o :
— si jSj = -00 y j32 ?f 00 se tendrá que para todo x < (32 es jua(Jt) = 1 y, toman
do a2 como en el punto anterior, /xa(x) = [-00 , -00 , /3 2 , a 2 ] ;
— si jS1 ?¿ -00 y |82 = 00 , de forma análoga será jnfl(Jt) = [a x , jSj, 00 , 00 ] ;
— y, por último, si /Sx = -00 y /?2 = 00 entonces / i f l s l y /xfl = [ -00 , -00 , 00 , 00 ] .
En la Figura 19 pueden verse las funciones lineales a trozos, / , que generan los
distintos tipos de subconjuntos borrosos trapezoidales mediante clases de la relación
RAy/x)=Max(0,\-\f(y)-f(x)\).
71
Subconjuntos borrosos trapezoidales
B
Figura 19B .4CA@6C>E :@C>D:>E D 576?6E Q E4OA6CZ4C56E O6776E6E 57DL>?6@9D:>E DE6A@D96EB
Rf yy ux z Max ym FH f yy z f yx zz
rg
Subconjuntos borrosos trapezoidales
rh
CAPÍTULO 3. ESTADOS LÓGICOS CLÁSICOS
3.1. Estados lógicos irreducibles
3.4. Estados lógicos minimales
Introducción
t4> :D :P=@AD ;4??Q A6C5>C=D A6M6 ADE6 :<M@5> D :D :P=@AD A:VE@AD O@XD:4D9D ND
L4>E56 >C >X@9>CA@D D:=4CDE A4>E5@6C>E E6O7> :D M@EMD :P=@AD A:VE@AD R4> DC5>E C6 E>
DL7>A@DODC 6 C6 LD7>A<DC 7>:>XDC5>EB /C >Z>ML:6 9> >::6 L4>9> E>7 :D M4:5@549 9>
;4CA@6C>E 9> @ML:@ADA@PC R4> L4>9>C 9>;@C@7E> >C :P=@AD O6776EDF M@>C57DE R4> >C :D
:P=@AD A:VE@AD E> A6CE@9>7D 4CD E6:D @ML:@ADA@PC8 >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B ": 7D?6CDU
M@>C56 9> E>C5@96 A6M[C C6 9@EL6C> 9> 4C [C@A6 M>ADC@EM6 LD7D 9D7 @C;67MDA@PC
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N>AN6 lgInB $E<F 5DC56 :D 7>L7>E>C5DA@PC 9>: A6C6A@M@>C56 A6C9@A@6CD96 A6M6 :DE 7>=:DE
9> @C;>7>CA@D DE6A@D9DE 9>O>C E>7 DML:@D9DEB ": 6OZ>56 9> >E5> -DL<54:6 >E >E549@D7 :DE
7>:DA@6C>E A:VE@ADE >C =>C>7D:F ;4C9DM>C5D:M>C5> >C :6 R4> A6CA@>7C> D :D 7>L7>E>C5DU
A@PC 9>: A6C6A@M@>C56 A6C9@A@6CD96F Z4C56 A6C :D 7>=:D 9>: modus ponens QF L67 5DC56F
9> :6E >E5D96E :P=@A6E 9> :D 7>:DA@PCB -6C >::6 E> L>7E@=4>C 96E L6E@O:>E DL:@ADA@6C>E8
L67 4CD LD75>F >E549@D7 :DE L6E@O@:@9D9>E 9> 57DE:D9D7 :6E A6CA>L56E DR4< 9>;@C@96E D:
M4C96 9> :D :P=@AD ;4??Q QF >C A6CA7>56F DL:@AD7:6E D :6E >E5D96E :P=@A6E O6776E6E QF
L67 657DF DO7@7 C4>XDE L6E@O@:@9D9>E D 9>ED776::6E L6E5>7@67>E >C :D A6CE574AA@PC 9>
E@E5>MDE :P=@A6E A6C 7>:DA@6C>E C6 M6CP56CDEB
rJ
3.1. Estados lógicos irreducibles
"C >: L7>E>C5> DLD75D96 E> A6CE@9>7DC E@>ML7> >E574A547DE 7>:DA@6CD:>E A:VE@ADE
9>: 5@L6 B ": 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC LD7D L7>P79>C>E y5>67>MD HBHBrz L>7M@5>yX F z
6O5>C>7F L67 4CD LD75>F 4C L7>679>C DE6A@D96 D 4CD A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E 9> QF L67X
657DF :D A:DE> 9> E4OA6CZ4C56E 9> ^:6E >E5D96E :P=@A6E ^ R4> E6C A>77D96EX L yX F z
ODZ6 >: modus ponens LD7D 4C A@>756 L7>679>CB "E L6E@O:> R4> :D 7>:DA@PC C6 E>D
57DCE@5@XDF 6 C@ E@R4@>7D 7>;:>K@XDF L>76 E@>ML7> E> L697V AD:A4:D7 E4 A@>77> 7>;:>K@X6 r
6 E4 A@>77> 57DCE@5@X6 B "E ;VA@: A6ML76OD7 R4> >: A@>77> 7>;:>K@X6 9> 4CD 7>:DA@PCt
5@>C> :6E M@EM6E >E5D96E :P=@A6E R4> SE5DB "C ADMO@6 >E56 C6 >E A@>756 A6C >: A@>77>
57DCE@5@X6F QD R4> L67 >Z>ML:6 :DE A:DE>E
E6C E@>ML7> >E5D96E :P=@A6E >C 4CD 7>:DA@PC 57DCE@5@XD QF >C ADMO@6F C6 5@>C>C L67 R4S
la F z }b X 8a b~
E>7:6 >C 4CD 7>:DA@PC C6 57DCE@5@XDB #D7D 4C A6C9@A@6CD: MD5>7@D: >: [C@A6 >E5D96V
:P=@A6 L76L@6 >E >: E4OA6CZ4C56 F :6 R4> E> X>7@;@AD 5DMO@SC LD7D A4D:R4@>7 7>:DA@PCV
A4Q6 A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 E>D 4C A6C9@A@6CD: MD5>7@D:B
Teorema 3.1.1
+D A6C9@A@PC C>A>ED7@D Q E4;@A@>C5> LD7D R4> >: A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 9> 4CD
7>:DA@PC E>D >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: 9> A@>756 E4OA6CZ4C56 L76L@6 >E R4> >:V X
A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E L76L@6E E> 7>94?AD D F >E 9>A@7 R4> E> X>7@;@R4> R4>V
BL yX F z }V~
rq
Estados lógicos irreducibles
Demostración.
1. +D A6C9@A@PC >E C>A>ED7@DB "C >;>A568
#67 N@LP5>E@E E> A4ML:> R4> Q L67 A6CE@=4@>C5> B &6MDC96 4Ctr V V L yX F z
>E5D96 :P=@A6 L76L@6 F LD7D 5696 F >K@E5@7V 4C F L67 E>7V L yX F z a V b X V V
L76L@6 QF L67 5DC56F F QD R4> >E 4C >E5D96 :P=@A6B 2> X>7@;@AD7V R4>a u b V la F z
QF A6M6 >E 4C >E5D96 :P=@A6 9>: A6C9@A@6CD: MD5>7@D:F EP:6 L697V E>7la F tr z la F t
r z
@=4D: D 6 D F L>76 C6 L4>9> E>7 @=4D: D F QD R4> E@ ;4>E> DE<F >C56CA>EX V X b la F tr z
QF L67 5DC56F >K@E5@7<DC 5D: R4> A6C F :6 R4>aH F F an X a aH an b a V
A6C94A@7<D D R4> F 9DC96 :4=D7 D 4CD A6C57D9@AA@PCB +4>=6 F :6 R4>b V la F tr z V
@ML:@AD R4> BV V
#D7D X>7 R4> F E4L6C=DM6E R4> >K@E5> Q E>D W A6M6V V c V V a V a F c V
5>C97>M6E R4> QF L67 :D @=4D:9D9 A6C >: A@>77> 57DCE@5@X6F E>7V W L67 A6CE@Ua V c a tr c
=4@>C5>F >K@E5@7VC 5D: R4> A6C F :6 R4> @ML:@AD7<DaH F Fan X a aH an c a V
R4> >C A6C57D 9> :6 E4L4>E56B $E< Bc V V V
2. +D A6C9@A@PC >E E4;@A@>C5>B "C >;>A568
24L6C=DM6E R4> Q E>D F E@ F >C56CA>E F L67 E>7L yX F z }V ~ a tr b a V b V V
>E5D96 :P=@A6 Q E@F L67 >: A6C57D7@6F >X@9>C5>M>C5> W L67 5DC56 >Ca V ya Fb z X V{X
DMO6E ADE6E B $E<F F 7>:DA@PC R4> E> A4ML:> 9> ;67MD @CX>7ED LD7D >:a V btr V
A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E
QF L67 >::6F :6E >E5D96E :P=@A6E L76L@6E 9>: A@>77> 7>;:>K@X6 Q 57DCE@5@X6 9> E>7VC B
}V ~ L yX F V z L yX Ftr z L yX F z }V ~ F
V
-6M6 >E 4C L7>679>C E>7V @=4D: D Btr
tr
V LyXF trz
V V
Corolario 3.1.2
rr
Estados lógicos irreducibles
+D A6C9@A@PC C>A>ED7@D Q E4;@A@>C5> LD7D R4> 4C L7>679>C A:VE@A6 E>D >: A6C9@A@6CD:
MD5>7@D: 9> A@>756 E4OA6CZ4C56 L76L@6 >E R4> >: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E L76UV
L@6E E> 7>94?AD D BV
Ejemplos 3.1.3
1. 2>D 4C V:=>O7D 9> b66:> L76ODO@:@?D9D E6O7> :D R4> E> 9>;@C> :D E@=4@>C5>yX Fp z
7>:DA@PC8
>E A:D7DM>C5> 7>;:>K@XDF L>76 C6 >E 57DCE@5@XDW LD7D A6ML76OD7:6 ODE5D 56MD7
a pb E@ Q EP:6 E@ p ya z m 6 p ya z�m Q p yb ua z�m B
p
A6C F Q Ba Fb Fc X p yb ua z�m p yc ub z�m p yc ua z m
": A6CZ4C56 >E 4C >E5D96 :P=@A6 9> F QD R4>F E@ QX }a X 8p ya z�m~ p a X
F >C56CA>E QF L67 5DC56F Q B E>7V 4C >E5D96a pb p yb ua z�m p yb z�m b X X
:P=@A6 L76L@6 E@ >K@E5>C >:>M>C56E >C >: V:=>O7D 9> b66:> A6C L76ODO@:@9D9 C4:DF
X>7@;@AVC96E>F D9>MVE >C >E> ADE6F R4> >E >: [C@A6 >E5D96 :P=@A6 L76L@6 9>X
B #D7D A6ML76OD7:6F E>D Q F E@ F >C56CA>EyX F p z V L yX F p z a V p ya z�m a X
Q E@ E> A4ML:@7V R4> LD7D 5696 F :4>=6 B $E<F LD7D 5696p ya z m a px x X V X
F 6 6 F E4L6C=DM6E Q 56M>M6E Q WV L yX F p z V X V X V X a X V b V
E@ E> 9@>E> F A6M6 E> 5>C97V R4> L67 E>7 4C >E5D96 :P=@A6EFb pa b V a V V
::>=DC96 D 4CD A6C57D9@AA@PCF :4>=6 9D96 F LD7D 5696 F 9>O> E>7a X V b V
F L>76 >E56 C6 >E L6E@O:>F QD R4> QF L67 5DC56F Qp ya b z m b pa b a b V
Bp ya ya b z z p ya ab z p ya z�m
2> ND L76OD96 R4> QF L67 >: 5>67>MD DC5>7@67F >: A@>77> 7>;:>K@X6 QL yX F p z }X ~
57DCE@5@X6 9> :D 7>:DA@PC >E >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: Bp X
2. !D9D 4CD ;4CA@PC C6 C4:D E6O7> 4C A6CZ4C56 F E> 9>;@C> :D 7>:DA@PC|8X lm FHn X
78
Estados lógicos irreducibles
"E ;VA@: A6ML76OD7 R4> >E 4C L7>679>CF A4ML:@SC96E>F D9>MVEF R4>
a |b E@ Q EP:6 E@ |ya z m 6 |ya z�m Q |yb z�m B
| L yX F |z
QF >C A6CE>A4>CA@DF >E >: A6C9@A@6CD: MD5>7@D: B "C >;>A56F X>DM6E}X ~ | X
R4> B $C5>E R4> CD9D A6CX@>C> E>TD:D7 R4> >E 4C E4OA6CZ4C56X L yX F |z X
L76L@6 9> E@F L67 4CD LD75>F >K@E5>C >:>M>C56E A6C QF L67 657DFX a X |ya z m |
C6 >E @9SC5@ADM>C5> C4:DB -6ML76OD7 R4> >E 4C >E5D96 :P=@A6 >E E>CA@::6 L4>E56X
R4> E@ Q F >C56CA>E Q Ba X a |b |yb z�m b X
#D7D 9>M6E57D7 R4> >E >: [C@A6 >E5D96 :P=@A6 L76L@6F 56M>M6E 4CX V
Q F E> A4ML:@7V R4> 6 QF A6C >::6F LD7D 5696 E>7<DL yX F |z a V |ya z m b X
A6C :6 R4> W 6 QF L67 5DC56F B #67 657D LD75>F E@ >K@E5@>Ua |b V X |ya z�m V X
7D @ML:@AD7<D R4> QF LD7D 5696 F E> 5>C97<D R4>a X V |ya z�m b V X a |b
Q F A6C :6 R4>F 45@:@?DC96 >E5D [:5@MD 7>:DA@PC Q A6C F A6C::>XD7<D R4>b |a b V
F >C A6C57D 9> :6 E4L4>E56B $E<F B #67 5696 >::6a V V X
": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6EF F 9> 4C L7>679>C >E >: MDQ67 A6CU
| X B
L yX F z
Z4C56 LD7D >: A4D: E> X>7@;@AD >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCF
V LyXF zV B
2> >E549@D D A6C5@C4DA@PC E@ >E L6E@O:> >:@M@CD7 D:=4C6 9> :6E >E5D96E :P=@A6EF
X>7@;@ADC96F >: E4OA6CZ4C56 9> >::6E 7>E5DC5>F >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB
Definición 3.1.4
!>C6M@CD7>M6E D: E4OA6CZ4C56 9>: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E ;67MD96 L67 :6E
R4> X>7@;@R4>C8W L yX F z
rI
Estados lógicos irreducibles
V L yX F z }W~V
V L yX F zV B
": E@=4@>C5> 7>E4:5D96 M4>E57D 4CD AD7DA5>7<E5@AD 9> :6E >:>M>C56E 9> B
Teorema 3.1.5
2> A4ML:> R4> E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4C E4OA6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 5D: R4>W I
Vi IVi W B
Demostración. 24L6C=DM6E R4> F DO7>X@DC96 A6M6 F E> 5>C97V R4>8W L yX F z L
:6 R4> E4A>9>7V E@ Q EP:6 E@ F A6C :6 R4> ODE5D 56MD7 B
V L }W~V
V LV y
V L }W~V z W
V L }W~V W I L }W~
": 7>A<L76A6 >E E>CA@::6 L4>E56 R4> E@ >K@E5> A6C >C56CA>EI LVi I
Vi W
V LV y
V L y I W zV z y
Vi IViz W y
V L y I W zV z y
Vi IViz
V L }W~V B
"E >X@9>C5> R4> E@ LD7D 96E >E5D96E :P=@A6E E> X>7@;@AD F >C56CA>EV FW V W W
Q E>7<D 4C >E5D96 :P=@A6 @77>:>XDC5> L67 :6 R4> D: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC E>W
7>;@>7>W L>76F A6M6 E> ND X@E56 >C >: 5>67>MD HBgBHBHF >E56 C4CAD 6A477> A6C BV W
$CD:@A>M6E A4VC96 6A477> R4> LD7D E> 9SVH F Vn F W L yX F z
"C L7@M>7 :4=D7 E> 9>O>C A6CE@9>7D7 :6E E@=4@>C5>E 7>E4:5D96EB
VH Vn W B
sm
Estados lógicos irreducibles
Teorema 3.1.6
2@ A6C Q F >C56CA>EVH F FVn FW L yX F z VHF F Vn W W VH Vg
F F Vn W
B
Demostración. 2>D Q F >C56CA>E Q L67 5DC56 Fya Fb z VgF F Vn
a W a VH a VHb
:4>=6 B 2@ >E >X@9>C5> R4> LD7D 5696 F DE<a W b a W a WHb b X VH
F F Vn
BW
Teorema 3.1.7
2>DC F E@ E> X>7@;@AD R4> >C56CA>E E> A4MUVH F FVn FW L yX F z VHF F Vn W
L:> R4>
W VH Vn B
Demostración. &6M>M6E Q F E> 5>C97V R4> LD7D 5696 C6a W an
i HVi b W
>E L>76 E@ F :6 R4> >E @ML6E@O:>Ba W b a VHb F F a Vn
b
Teorema 3.1.8
2> X>7@;@AD R4> BVHF F Vn y
n
i HVi z
Demostración. 2@ C6 E> 9D >C56CA>E >E R4> Q F L67 :6 R4>a n
i HVib a
n
i HVi b
n
i HVi
>K@E5@7V 4C 5D: R4> Q F :6 R4> 9>M4>E57D R4>i a Vi b Vi
9>94A@SC96E> >: >C4CA@D96 9>: 5>67>MD E@C MVE R4> 56MD7 A6ML:>M>C5D7@6EB
y n
i HVizc y VH
zc F F y Vnzc F
Teorema 3.1.9
sH
Estados lógicos irreducibles
2> X>7@;@AD R4> BVHF F Vn
n
i HVi
Demostración. 2>D F E@ F >C56CA>E 5DMO@SC Qya Fb z VHF F Vn
an
i HVi b
n
i HVi
L67 A6CE@=4@>C5> B 2@ >E >X@9>C5> R4> 5DMO@SC Ba n
i HVib a
n
i HVi a n
i HVib
": 5>67>MD hBHBq @C9@AD R4> E@ F LD7D A@>756E >E5D96E :P=@A6EFVHF F Vn W
L69>M6E A6CE@9>7D7 R4> :D @C5>7E>AA@PC 9> A6C AD9D >E 9@E5@C5D 9>: XDA<6F L4>E56W ViR4> :D L>75>C>CA@D D 9> C6 E> X>7V D;>A5D9DB #67 657D LD75>F :6E 5>67>MDE hBHBs QW
hBHBI @C9@ADC R4> 5DC56 :D 4C@PC A6M6 :D @C5>7E>AA@PC 9> >E5D96E :P=@A6E L>75>C>A>C D
F :6 R4> LD7D 4C >E5D96 :P=@A6 A4D:R4@>7D LD7>A> @C9@AD7 R4> 96E E@54DA@6C>E E6C
L6E@O:>EB $ :D X@E5D 9> >E56E 7>E4:5D96E E> A6CE@9>7D :D E@=4@>C5> 9>;@C@A@PCF
Definición 3.1.10
/C >E5D96 :P=@A6 E> 9@7V R4> >E 7>94A@O:> E@ Q EP:6 E@ >K@EUW L yX F z
5>C 5D:>E R4> F Q B 2> 9>C65D7V M>9@DC5>VH FVg L yX F z W VH W Vg W VH Vg LRD: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 7>94A@O:>EB
Ejemplo 3.1.11
2>D 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 9>;@C@96 E6O7> 4C 4C@X>7E6 Q A6CE@9SU|8X lm FHn X
7>E> :D 7>:DA@PC
2>D 4C >E5D96 :P=@A6 9> F L4>9>C 9D7E> 96E L6E@O@:@9D9>EF LD7D AD9D >:>M>CU
a b E@ Q EP:6 E@ Min y|a F|b z B
V
56 9> 8a V
82
Estados lógicos irreducibles
^ E@ >E 5D: R4> F >C56CA>E A6C5>C97V D 5696E :6E >:>M>C56Ea |a V b X
5D:>E R4> F E>D|b
}l FHn~ }b X 8|b ~
>: A6CZ4C56 9> 5696E >::6EB $: E>7 LD7D 5696 E>Min y|a F|b z b }l FHn~ F
9D7V QF L67 5DC56F Wa b }l FHn~ V
^E@F L67 >: A6C57D7@6F F >E 5D: R4> >C56CA>E C6 >K@E5@7V 5D: R4>a |aÇ b X a b
Q >E5D7V eD@E:D96fBa
-6C 5696 :6 9@AN6F ODE5D 56MD7 A6C X>7@;@ADC96 F LD7DV }a~ }l FHn~ a |aÇ
R4> Q E>DC >E5D96E :P=@A6E 9> F A4ML:@>C96V F WH }a~ Wg } l FH n~ V
!> >E5D ;67MD E>7V 7>94A@O:> QF >E @CM>9@D56 L76OD7F R4> >E @77>94UWH Wg B V WH
A@O:>B "C A4DC56 D 5DMO@SC E>7V @77>94A@O:> E@C MVE R4> >K@=@7 D:=4CD A6C9@A@PCWg
9> A6C5@C4@9D9 D B|
2> X>7@;@ADC :6E E@=4@>C5>E 5>67>MDEB
Teorema 3.1.12
2@ A6C F >C56CA>E BW LR W VH Vg VH Vg W
Demostración. bDE5D A6C DL:@AD7 >: 5>67>MD hBHBsB
": 7>A<L76A6 9>: 5>67>MD DC5>7@67 5DMO@SC E> X>7@;@AD DTD9@>C96 4CD A6C9@A@PCB
Teorema 3.1.13
2@ A6C Q X>7@;@ADC96 R4> Q >C56CUVH FVg FW L yX F z VH Vg W W VH W Vg F
A>E >E 7>94A@O:> A6C BW W VH Vg
Demostración. #67 >: 5>67>MD hBHBr E> A4ML:> R4> B 24L6C=DM6E R4>W VH VgQ E>D 5D: R4> F R4> >K@E5@7V QD R4> E@C6W VH Vg a W VH Vg a VH Vg W
sh
Estados lógicos irreducibles
F :6 A4D: >E A6C57D9@A567@6 A6C :D N@LP5>E@E 9>: 5>67>MDB -6CE@9>7>M6E R4>VH Vg VH a VHQ ^>: ADE6 A6C57D7@6 >E DCV:6=6^F E@ >K@E5> Q ::>=D7<DM6E D R4>a Vg b VH b W
C6 L>76 Q :6 R4> >E DOE4796F L67 5DC56 C6 9>O> >K@E5@7 F :6 A4D:a Wb a VHb a Vg
b b
@ML:@AD R4> B &6M>M6E Q F A6C :6 R4> F E@ >K@E5> 4C >:>M>C56VH W c W c VH c Vg d X
A6C Q F >C56CA>E Q Q F :6 R4> A6C57D9@A> :D N@LP5>Ud Vg d W yc Fd z W c VHd c VH
d
E@E 9>: 5>67>MDW E@ C6 >K@E5> 4C >:>M>C56 >C :DE A6C9@A@6C>E >K@=@9DE >E R4>d Vg W
Q A6M6 L67 N@LP5>E@EF E> 9D7<D :6 R4> A6C57D9@A> :DVH W VH Vg W VH VgE4L6E@A@PC 9> R4> BW VH Vg
Corolario 3.1.14
>E 7>94A@O:> A6C E@ Q EP:6 E@ E> A4ML:> R4> A6CW L W VH Vg VH Vg W
Q BW VH W Vg
": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E @77>94A@O:>EF F =>C>7D >: M@EM6 L7>679>CLIR LcRR4> >: A6CZ4C56 565D:F F 9> >E5D96E :P=@A6EBL
Teorema 3.1.15
2> A4ML:> :D E@=4@>C5> @=4D:9D98
V LV
W LIRW B
Demostración. "E >X@9>C5> R4> E> X>7@;@AD
2@ C6 E> 9@>E> :D 9>E@=4D:9D9 A6C57D7@DF A6C::>XD7<D :D >K@E5>CA@D 9> 4C LD7 A6C
V LV
W LIRW B
ya Fb z
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si
Estados lógicos irreducibles
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Ejemplo 3.1.16
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Estados lógicos irreducibles
Teorema 3.1.17
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Demostración. 1>DM6E R4> B 2@ >K@E5@>E> A6C F 56MDC96W Vg a W VH a VgQ ::>=D7<DM6E D R4> Q B #67 5DC56F C6 9>O>b VH b W ya Fb z W ya Fb z VH Vg
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Ejemplo 3.1.18
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Teorema 3.1.19
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sq
Estados lógicos irreducibles
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Demostración. "E >X@9>C5> R4> E> A4ML:> R4>
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Teorema 3.1.20
sr
Estados lógicos irreducibles
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2. BWi IVi
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3.2. Estados lógicos minimales
+D @C5>7E>AA@PC 9> 96E >E5D96E :P=@A6E E@>ML7> >E 4C >E5D96 :P=@A6F D4CR4> L4>9>
E>7 XDA<6B 1>DM6E E@ >K@E5>C >E5D96E :P=@A6E R4> C6 A6C5>C=DC D 6576 E6O7> 4CD >E574AU
547D 7>:DA@6CD: A4D:R4@>7DBL yX F z
Definición 3.2.1
/C >E5D96 :P=@A6 L76L@6 E> 9@A> M@C@MD: E@ Q EP:6 E@ C6 >K@E5> 6576V L yX F z
5D: R4> BW L yX F z W V
Teorema 3.2.2
2@ >E M@C@MD: >C56CA>E >E @77>94A@O:>BV L yX F z
Demostración. 2@ ;4>E> 7>94A@O:> >C56CA>E LD7D 96E >E5D96E :P=@A6EV WH Wg
A6C Q Q L67 5DC56 BWH FWg V WH V Wg WH FWg V
Ejemplo 3.2.3
"C >: >Z>ML:6 hBHBHs 9>: DLD75D96 DC5>7@67 5>C>M6E R4>
>E 4C >E5D96 :P=@A6 C6 M@C@MD: QD R4> A6C5@>C> D: >E5D96 :P=@A6
VH l FH n }x ~
W l FH n B
2@ :D 7>:DA@PC >E E@MS57@AD E6O7> F >C56CA>E E> X>7@;@AD :D @ML:@ADA@PC A6C57D7@DBV
89
Estados lógicos minimales
Teorema 3.2.4
Si la relación =» restringida a V (^ |^) es simétrica, entonces V es irreducible si y
sólo si es minimal.
Demostración. Por el teorema anterior si V es minimal entonces es irreducible.
Supongamos ahora que V no es minimal y veamos que es reducible. Sea WE L(X,=*)
con W^V, entonces V-W es un estado lógico propio de =», ya que si aEV-W y
a=>b, entonces bEV, por ser V un estado lógico; pero, además, b£W puesto que
si b E W como b=*a, por ser simétrica =* sobre V, tendríamos a E W9 por ser W
estado lógico, lo cual es una contradicción con a SÉ W, de esta forma bEV-W y
V-Wes un estado lógico. Por consiguiente, V se descompone como V= WU
(V-W). •
Para estudiar los estados lógicos minimales, se definen los siguientes conjuntos para
cada aGX:
Vfl = {fl}U{6GX:3ft1,62,...,fcBeX, AZ>0, con a=>bl,bl=*b2,...,bn**b}
Algunas propiedades interesantes de los conjuntos Va son las siguientes:
Proposición 3.2.5
Para todo a EX, Va es un estado lógico.
Demostración. Sea bEVa y b=>c, si b=a, entonces se cumplirá que cEVa sin
más que considerar una cadena de cero elementos y si b & a, existirán bx, ..., bn E
X tales que a=*bl,bl=*b2 ,..., bn=*b, con lo que se tendrá que cEVa, al considerar
la cadena bl9... ,bn,bEX. •
Proposición 3.2.6
Si VEL(X,=>) y a E V, entonces Va 9 V.
90
Estados lógicos minimales
Demostración. 2>D F E@ F >C56CA>E 57@X@D:M>C5> Q E@ F >K@E5@7VCb Va b a b V b a
>C56CA>E 5D:>E R4> F F A6M6 Q >E 4CbH F Fbn X a bH bH bg F F bn b a V V
>E5D96 :P=@A6F E> A4ML:@7V R4> BbH F Fbn Fb V
Corolario 3.2.7
2@ F >C56CA>E Ba b Vb Va
Demostración. 2@ F >C56CA>E F :4>=6 Ba b b Va Vb Va
Corolario 3.2.8
2@ F >C56CA>E Ba b Q b a Va Vb
": 7>A<L76A6 9> >E5> [:5@M6 A676:D7@6 C6 >E A@>756F QD R4> 56MDC96 QX }a Fb Fc~
E> X>7@;@AD R4> Q E@C >MOD7=6 C6 >E}yaFcz F ycFaz F ybFcz F ycFbz~ Va Vb }aFbFc~
C@ Ba b b a
Teorema 3.2.9
#D7D 5696 E> X>7@;@AD R4> BV L yX F z Va VVa
Demostración. "C >;>A56F L67 :D L76L6E@A@PC hBgBqF LD7D 5696 >E F :4>=6a V Va V
Q A6M6 LD7D 5696 >E F E> X>7@;@AD7V Ba VVa V a V a Va V
a VVa
Teorema 3.2.10
>E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@F LD7D 5696 F BV L yX F z a V Va V
Demostración. -6M6 5>C97>M6E R4> LD7D 5696 >E F :4>=6 E@Va VVa a V Va V V
>E M@C@MD:F B 2> 9>O> 9> 6OE>7XD7 R4> C4CAD >E XDA<6BVa V Va
#D7D :D A6C9@A@PC E4;@A@>C5>F E@ >K@E5> A6C F E> 5>C97V R4>W L yX F z W V W
QF L67 5DC56F >K@E5> 5D: R4> Ba W
Va Va VVa a W V Va W V
91
Estados lógicos minimales
Corolario 3.2.11
2@ >: AD79@CD: 9> >E MDQ67 6 @=4D: R4> gF >C56CA>E >E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@ LD7DV V
5696 LD7 9> >:>M>C56E >K@E5>C 5D:>E R4> Fa Fb V bH F Fbn X a bH bH bg F F
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Demostración. 2@ >E M@C@MD: >C56CA>E LD7D 5696 >E F :4>=6V a Fb V Va Vb V
B %>A<L76ADM>C5>F E>D F LD7D 5696 >K@E5@7VC A6Cb Va a V b V bH F Fbn X a bHF W L67 5DC56 Q F :4>=6 LD7D 5696 BbH bg F F bn b b Va V Va V Va a V
Corolario 3.2.12
2@ >E M@C@MD: >C56CA>E 6 O@>C 6 O@>C LD7D 5696 >K@E5>CV V }a~ a V bH F F bn5D:>E R4> F BX a bH bH bg F F bn a
Demostración. 24L6C=DM6E B #D7D 5696 5>C97>M6E R4> F :4>=6ÖV g b V b Va>K@E5@7VC 5D:>E R4> F W L>76 5DMO@SC 5>C97>M6E R4>bH F Fbn X a bH bH bg F F bn b
F L67 :6 R4> >K@E5@7VC 5D:>E R4> F Ba V Vb b H F Fb m X b b H b H b g F F b m a
$E< >K@E5>C F 5D:>E R4> BbH F Fbn b H F Fb m X a bH b m a
Teorema 3.2.13
>E M@C@MD: E@ Q EP:6 E@F LD7D 5696 F E> A4ML:> R4> BVa b Va a Vb
Demostración. 2@ >K@E5> 5D: R4> F >C56CA>E A6M6 Q 5>C97>Ub Va a Vb Vb Va Vb VaM6E Q C6 E>7<D M@C@MD:BVb Va Va#D7D :D A6C9@A@PC E4;@A@>C5>F E@ LD7D 5696 >E F E4L6C=DM6E R4> >K@E5D 4Cb Va a Vb>E5D96 :P=@A6 L76L@6 5D: R4> Q E>D F L67 :D L76L6E@A@PC hBgBq EDO>M6E R4>V Va b V
QF D9>MVEF L67 N@LP5>E@E F :4>=6F L67 :D M@EMD L76L6E@A@PCF QFVb Va a Vb Va VbDE<F W A6M6 F E>7V QF L67 :6 5DC56 F A6C :6 R4> FVa Vb b V Vb V Vb V Va Vb V VaQ E>7V M@C@MD:BVa
Ig
Estados lógicos minimales
Teorema 3.2.14
(@C=[C >E5D96 :P=@A6 9>: 5@L6 R4> E>D C6 M@C@MD: >E 4C@PC 9> >E5D96E :P=@A6EVaM@C@MD:>EB
Demostración. 2>D C6 M@C@MD:F E@ A6C M@C@MD:>EF A6M6 FVa Vai IVi Vi a Va
>K@E5@7V 4C 5D: R4> F E> X>7@;@AD >C56CA>E R4> F L67 E>7 >E5D96 :P=@Ui I a Vi Va Vi ViA6 QF A6M6 F 5>C97>M6E R4> F A6C :6 R4> E>7<D M@C@MD:BVi Va Va Vi Va
Teorema 3.2.15
2@ C6 >E M@C@MD:F C6 L>75>C>A> D C@C=[C >E5D96 :P=@A6 M@C@MD:BVa a
Demostración. #67 E>7 C6 M@C@MD: >K@E5> 5D: R4> F E@ FVa V L yX F z V Va a W
A6C 4C >E5D96 :P=@A6F 5>C97>M6E QF L67 5DC56F C6 E>7V M@C@MD:BW V Va W W
Corolario 3.2.16
/C >E5D96 :P=@A6 >E 4C@PC 9> M@C@MD:>E E@ Q EP:6 E@ LD7D 5696 F >E M@C@UV a V VaMD:B
Demostración. +D A6C9@A@PC E4;@A@>C5> >E 57@X@D:B #D7D :D C>A>ED7@D A6CE@9>7>M6E R4>
E@ >K@E5> 5D: R4> C6 >E M@C@MD:F L67 >: 5>67>MD DC5>7@67 C6 L>75>C>A> Da V Va a
C@C=[C >E5D96 :P=@A6 M@C@MD:B
$ :D X@E5D 9> :6E 7>E4:5D96E 6O5>C@96EF :6E >E5D96E :P=@A6E M@C@MD:>E E> AD7DA5>7@U
?DC L67 5>C>7 5696E E4E >:>M>C56E A6C>A5D96E M>9@DC5> 4CD AD9>CD 9> LD7>E 7>:DA@6CDU
96E D 57DXSE 9> B #67 657D LD75>F :6E >E5D96E :P=@A6E F R4> E>7<DC :DE A:DE>E 9> 4CVa>:>M>C56 E> :D 7>:DA@PC ;4>E> 4C L7>679>CF E6C :6E R4> L>7M@5>C 9>5>7M@CD7 A4VC96 4C
>E5D96 :P=@A6 A4D:R4@>7D >E 4C@PC 9> >E5D96E :P=@A6E M@C@MD:>EF N>AN6 R4> E4A>9>V
5DC EP:6 A4DC96 :6E M@EM6E E6C M@C@MD:>E LD7D 5696 >:>M>C56 BVa a V
93
PARTE II. REPRESENTACIÓN DE PREDICADOS VAGOS
CAPÍTULO 4. LA EXTENSIÓN DE UN PREDICADO BORROSO
4.1. La extensión de un predicado
4.2. Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas
4.3. Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante
reglas
4.4. Lógica asociada a un predicado borroso
Introducción
!6E >:>M>C56E E6C OVE@A6E LD7D :D A6CE574AA@PC 9> 4C E@E5>MD :P=@A6 O6776E68 :D
7>L7>E>C5DA@PC 9> :6E 5S7M@C6E :@C=v<E5@A6E XD=6E R4> 9>ODC A6CE@9>7D7E>F Q R4> 9DC
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A6CE@=4> M>9@DC5> :DE ;4CA@6C>E 9> L>75>C>CA@D =>C>7D:@?D9DE 6 E4OA6CZ4C56E O6776E6EB
$E6A@DM6E D AD9D L7>9@AD96 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 F 9> 5D: ;67MD R4>P P yX z
E> A6CE@9>7D F E4E5@54Q>C96 :D D;@7MDA@PC e 5@>C> >: =7D96 9> X>79D9 f L67|P P Px r
e L>75>C>A> D f A6C =7D96 9> L>75>C>CA@D B "E5> L76A>E6 E>7<DF L67 A6CE@Ux P P yx z r
=4@>C5>F >: >R4@XD:>C5> D 965D7 9> >K5>CE@PC A6CZ4C5@E5D D 4C L7>9@AD96 A:VE@A6B !>E9>
>E5> L4C56 9> X@E5DF :D :P=@AD ;4??Q L>7M@5> 965D7 9> >K5>CE@PC D :6E L7>9@AD96E =7D94DU
96EB !> C4>X6 E> L7694A> 4CD @9>C5@;@ADA@PC >C57> =7D96 9> L>75>C>CA@D D 4C A6CZ4C56U
=7D96 9> L6E>E@PC 9> 4CD L76L@>9D9U=7D96 9> X>79D9 9> 4CD L76L6E@A@PCB !> >E5D
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R4> DMO6E L69>M6E @C5>7L7>5D7:6E D LD75@7 9>: A6CA>L56 A6M[C 9> L76L@>9D9F =7D94D9D
>C 4C ADE6 Q A:VE@AD >C 6576B
Hmg
La extensión de un predicado
+D ;67MD 9> 6O5>C>7 4CD 7>L7>E>C5DA@PC 9> :D ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9 ND E@96
M4Q >E549@D9D >C :D :@5>7D547D ;4??QW MS5696E >E5D9<E5@A6EF 6L@C@6C>E 9> >KL>756EF
D9>A4DA@PC D: L76O:>MD 9>: R4> E> 57D5>F >5AB $LD75> 9> >E56E MS5696E LD7>A> A:D76 R4>
>C M4ANDE 6ADE@6C>E >: 4E6 9>: L7>9@AD96 D 7>L7>E>C5D7 @C9@AD7V R4> E> 9>O>C A4ML:@7
A@>75DE 7>=:DEF A6M6 6A477<D >C :D LD7D96ZD 9>: E67@5>EB "E56 >E :6 R4> C6E ND N>AN6
L>CED7 R4> >C D:=4C6E ADE6EF >C :6E R4> A6C6A>M6E >: 4E6 9>: L7>9@AD96 L67 A@>75DE
7>=:DE Q D:=4C6E >:>M>C56E L76565<L@A6E 6 DC5@L76565<L@A6EF E> L4>9D 6O5>C>7 :D ;4CA@PC
9> A6MLD5@O@:@9D9 9> ;67MD E@E5>MV5@ADB $ A6C5@C4DA@PC E> M4>E57D >: L76A>9@M@>C56
LD7D L7>9@AD96E A:VE@A6EB
Hmh
4.2. Obtención de la extensión de un predicado nítido mediantereglas
24L6C=DM6E R4> A6C6A>M6E >: 4E6 9> 4C L7>9@AD96 C<5@96 >C 4C A6CZ4C56P X
D 57DXSE 9> 4C A6CZ4C56 9> 7>=:DE 9>: 5@L6 eE@ >C56CA>E fF R4> E> 7>L7>E>C5D7VCPx Py
M>9@DC5>
FPx Py
LD7D 4C A@>756 A6CZ4C56 9> LD7>E $9>MVEF L69>M6E DA>L5D7 :D X>79D9 9>yx Fy z X{XB
:D L76L6E@A@PC LD7D A@>756 >:>M>C56 F L76565<L@A6 9> B "E5DO:>?ADM6E :DPu u X P
N@LP5>E@E 9> R4> :D 7>:DA@PC E6O7> >E 7>;:>K@XD Q 57DCE@5@XDF >E 9>A@7F 4CPX{PX
L7>679>C A:VE@A6B #67 >: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC 9> L7>P79>C>E 5>C97>M6E R4>8
96C9> >E >: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D :D >E574A547D 7>:DA@6CD:
B LB F
L L yPX F z
B /5@:@?DC96 :D @C5>7L7>5DA@PC 9> :6E >E5D96E :P=@A6E A6M6 eM4C96E L6E@O:>E 9>yPX F z
X>79D9fF >C :D M>9@9D >C R4> XD:> >: modus ponensF >E 7D?6CDO:> >K@=@7 R4> UPu B
LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 F E@ C6 NDQ 949D 9> R4> >E E@>ML7> X>79D9>7DB !> >E5DB Pu
;67MDF :D @C5>7E>AA@PC 9> 5696E :6E >E5D96E :P=@A6E 9> :D >E574A547D 7>:DA@6CD: A6CE@9>7DU
9DF F >E C6 XDA<D QF >C A6CE>A4>CA@DF E>7V 4C >E5D96 :P=@A6 L76L@6B bDZ6 >E5DEBB LB
A6C9@A@6C>E E> X>7@;@AD >: E@=4@>C5>
Hmi
Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas
Teorema 4.2.1
B }Px PX 8 Pu Px~ lPu F z B
Demostración. 2@ F A6M6 LD7D A4D:R4@>7 F 5>C97>M6E R4>Pu Px Pu B B L Px B
LD7D 5696 F :4>=6 B %>A<L76ADM>C5>F E@ F E> A4ML:@7V R4>B L lPu F z B Px B
LD7D 5696 F 6F :6 R4> >E :6 M@EM6F $E<FyPu FPx z B{B B B L Pu Px B B lPu F zB
": >E5D96 :P=@A6 >E :D A:DE> 9> L7>679>CDA@PC 9>: >:>M>C56 7>EL>A56 D: L7>679>CB Pu
B
Definición 4.2.2
2>D :D ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6V 8PX }mFH~
V yPx z B yPx z infB L
B yPx z B
"E @CM>9@D56 L76OD7 R4> :D ;4CA@PC X>7@;@AD8V
i) F LD7D AD9D Q AD9D B $E<F E> A4ML:@7V R4>V yPx z B yPx z Px PX B L V yPx z H
E@ Q EP:6 E@ LD7D 5696 B "C LD75@A4:D7 E> A4ML:@7V R4>B yPx z H B L V yPu z H
B
ii) E@ Q EP:6 E@ W >E 9>A@7F ODE5D7<D A6C R4> >K@E5@>E>V yPo z m infB L
B yPo z m
D:=[C LD7D >: R4> BB L B yPo z m
Teorema 4.2.3
2> A4ML:> R4>
QV H yHz }Px PX 8Px B ~ B V H ymz }Px PX 8Px B ~ B F
E@>C96 >: A6ML:>M>C5D7@6 9> >CB B PXB
HmJ
Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas
-6C 5696 :6 9@AN6 Q 9> DA4>796 A6C :D D;@7MDA@PC 9> :D X>79D9 9> :D L76L6E@A@PC FPu
E>7V E4;@A@>C5> 9>;@C@78
o >E X>79D9o E@ Q EP:6 E@ F 6 E@ Q EP:6 E@ FPx V yPx z H Px B
LD7D 6O5>C>7 R4> E@>C96 2>P }x X 8 oPx >E X>79D9o ~ Bm F Bm }x X 8Px B ~B
A6CE@=4>F 9> >E5D ;67MDF :D >K5>CE@PC A6CZ4C5@E5D 9>: L7>9@AD96 BP
"E @C5>7>EDC5> 7>ED:5D7 R4> >K@=@7 R4> L>75>C>?AD D 5696 >E5D96 :P=@A6 FPu B L
>E >R4@XD:>C5> D DTD9@7 C4>XDE 7>=:DE D: A6CZ4C56 9>;@C@96 L67 +DE C4>XDE 7>=:DEB
DTD9@9DE E>7<DC F LD7D 5696 >:>M>C56 B -6CE@9>7DC96 :D @C5>7L7>5DA@PCPx Pu x X
:P=@AD NDO@54D: 9> :DE @ML:@ADA@6C>E si...entonces...F >E 9>A@7 :D @C5>7L7>5DA@PC MD5>7@D:F
>: DTD9@7 >E5DE 7>=:DE C6 E4L6C97<D 4CD M69@;@ADA@PC E4E5DCA@D:F D: E>7 4C >:>M>C56Pu
X>79D9>76B ": C4>X6 A6CZ4C56 9> 7>=:DE X>C97<D 7>L7>E>C5D96 L67 4C L7>679>C F QD
R4> :D 7>;:>K@X@9D9 Q :D 57DCE@5@X@9D9 9> C6 E> X>7<DC D;>A5D9DE L67 :DE C4>XDE
7>=:DEB #D7D >E5> C4>X6 L7>679>C E> X>7@;@AD7V R4> LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6Pu B
L76L@6 F L4>E D: E>7 C6 XDA<6 F >K@E5@7V D:=[C A6C QFB L yX F z B L yX F z x Px B
A6M6 F E>7V #67 >::6F 9> C4>X6F 5>C97<DM6E >: 5>67>MD iBgBHFPx Pu Pu BB B lPu F z
B
Ejemplo 4.2.4
1. -6CE@9>7>M6E >: 4C@X>7E6 F Q >: A6CZ4C56 9> 7>=:DE8X
E@ Q EP:6 E@ A6C BPn Pm m kn k }m~
"X@9>C5>M>C5> >: A6CZ4C56 9> 7>=:DE >E 4C L7>679>CB &6MDC96 A6M6 L76565@L6
F 5>C97>M6E R4>u g
FlP2 F z }Pn P 8n gk Fk }m~~ #D7
>E 9>A@7F A6CE>=4@M6E :D >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 Par. &6MDC96 9@E5@C56E L76565@L6E
A6CE>=4@7>M6E >: A6CZ4C56 9> M[:5@L:6E 9> AD9D 4C6 9> >::6EB
": A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E 9> E>7V
E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 5D: R4> FB L y F z I B Mult} I~
Hmq
Obtención de la extensión de un predicado nítido mediante reglas
Q E@ DTD9@S7DM6E :DE 7>=:DE F >: A6CZ4C56 9> >E5D96E :P=@A6E LD7D E>7<DCPn P2
9> :D ;67MD QF L67 A6CE@=4@>C5>F :D @C5>7E>AA@PC 9> 5696E >::6EB Mult} I ~ #D7
9D7<D >: A6CZ4C56 9> C[M>76E CD547D:>E LD7>EB
2. 26O7> >: A6CZ4C56 9> C[M>76E 7>D:>E A6CE@9>7>M6E >: E@=4@>C5> A6CZ4C56 9>
7>=:DE8
i) E@ >C56CA>E FPx Pkx F A6C k }m~
ii) E@ >C56CA>E FPx P Hx
E@>C96 >: A6CZ4C56 9> C[M>76E >C5>76EB +DE 7>=:DE DC5>7@67>E E6C >R4@XD:>C5>E D
:DE E@=4@>C5>EF >EA7@5DE >C :D C65DA@PC R4> N>M6E 45@:@?D968
E@ Q EP:6 E@ 6 A6C F 6 BPx Py y kx k }m~ y Hx
&6MDC96 A6M6 >:>M>C56 L76565<L@A6 >: C[M>76 HF >E ;VA@: A6ML76OD7 R4>
FlPHF z Q }m~
>E 9>A@7 :D A:DE> 9>: H >E5V ;67MD9D L67 :6E C[M>76E 7DA@6CD:>E E@C >: A>76B
Hmr
4.3. Obtención de la extensión de un predicado borroso mediantereglas
#DEDM6E D =>C>7D:@?D7 D A6C5@C4DA@PC >: M69>:6 DC5>7@67 LD7D 4C L7>9@AD96
O6776E6B "E5D7>M6E >C >: ADE6 >C >: R4> 9>EA6C6A>M6E :D ;4CA@PC 9> A6MLD5@O@:@9D9|PLD7D 4C A@>756 L7>9@AD96 B +D AD7DA5>7<E5@AD MVE 9>E5DAD9D 9> :D ;4CA@PC 9> A6MLD5@UP
O@:@9D9 >E R4> @C94A> 4C L7>679>CF R4> >E 4CD AD9>CDF >C >: A6CZ4C56 9> L76L6E@A@6U|PC>E FPX
"E5> 679>C L4>9> @C5>7L7>5D7E> 9>: M696 E@=4@>C5>8 E@ Q EP:6 E@ 5@>C> 4C
Px Py E@ Q EP:6 E@ |P yx z |P yy zB
Px Py Py
=7D96 9> X>79D9 MVE =7DC9> R4> B 2@ L49@SE>M6E DA>L5D7 R4> LD7D A@>756 >:>M>C56Px
F >E 565D:M>C5> X>79D9>76 >E >X@9>C5> R4> 9>O>7<D E>7 4C >:>M>C56 MVK@M6u Pu Pu
9>: 679>C F D: @=4D: R4> E@ >E 565D:M>C5> ;D:E6F 9>O>7<D E>7 4C >:>M>C56Po Po
M<C@M6 9> B +D 7>:DA@PC >E 4C L7>679>CF R4> @C94A> 4C 679>C >C >: A6CZ4C56
A6A@>C5> 9>;@C@96 M>9@DC5> :D 7>:DA@PC 9> >R4@XD:>CA@D8
Px Py |P yx z |P yy zB
24L6C=DM6E R4> A6C6A>M6E >: 4E6 9> 4C L7>9@AD96 =7D94D96 M>9@DC5> 4C A6CZ4C56 9>
7>=:DE =7D94D9DEF @C>KDA5DE 6 DL76K@MD9DEB 24L6C97>M6EF 9> C4>X6F R4> >: A6CZ4C56 9>
7>=:DE X@>C> 9D96 L67 4C UL7>679>C F LD7D A@>75D 5UC67MD F 57DE:DUT I 8PX{PX lm FHn T
9DC96 :DE 7>=:DE DL76K@MD9DE8
Hms
Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas
2@ F >C56CA>E F A6C =7D96 BPx Py I yPy uPx z
!>O@96 D: 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC 9> L7>P79>C>E8
$N67DF E4L6C=DM6E R4> >K@E5> 4C L76565@L6 9>: L7>9@AD96 F >E 9>A@7 R4> >E
I yPy uPx z inff T yXFI z
I Tf yPy uPx z B
u P Pu
X>79D9>7DB *C5>7L7>5DC96 :6E >E5D96E :P=@A6E A6M6 M4C96E L6E@O:>E 9> X>79D9F 9>O>7V
A4ML:@7E> R4> LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 B &>C97>M6E R4>f yPu z H f I Tf yPx uPu z
QF 9> >E5D ;67MDF +D ;4CA@PC 9>;@C@9Df yPx z I yPx uPu z inff T yX F I z
f yPx zB |Pu 8PX lm FHn
A6M6
>E :D A:DE> 9> L7>679>CDA@PC 9>: >:>M>C56 B "E >X@9>C5> R4> X>7@;@ADF
|Pu yPx z I yPx uPu z inff T yX F I z
f yPx z
Pu |Pu
^ LD7D 5696 >E5D96 :P=@A6 F D9>MVE E@ Q EP:6 E@|Pu f f |Pu yPx z H f yPx z H
LD7D 5696 Wf
^ E@ Q EP:6 E@ F QF L67 5DC56F ODE5D A6C R4> E>D|Pu yPx z m inff T yX F I z
f yPx z m
LD7D D:=[C >E5D96 :P=@A6 Bf yPx z m f
+D >R4@XD:>CA@D
E@ Q EP:6 E@Px Py |Pu yPx z |Pu yPy z
9D >: A6CZ4C56 A6A@>C5> ;67MD96 L67 :DE A:DE>E8PXu
HmI
Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas
+D DL:@ADA@PC @C94A@9D F 9>;@C@9D A6M6 >E @CQ>AU
Px | HPu y|Pu yPx z z }Py PX 8 |Pu yPx z |Pu yPy z~B
|Pu 8PXu lm FHn |Pu y Px z |Pu yPx z
5@XDF L>7M@5@>C96 9>;@C@7 >: 679>C 565D:F
E@ Q EP:6 E@ FPx Py |Pu y Px z |Pu y Py z
LD7D >: A4D: >E >: >:>M>C56 MVE =7DC9> QF E@ >K@E5> D:=[C >E5D96 :P=@A6Pu | HPu yHz
A6C F >C56CA>E E>7V >: >:>M>C56 MVE L>R4>T6Bf yPo z Po | HPu ymz
+D A:DE> >E5D7V :D ;67MD9D L67 569DE :DE L76L6E@A@6C>E 9>: 5@L6 ex >E Pf R4>Px
56MDC >: M@EM6 =7D96 9> X>79D9B -4DC96 L69>M6E 9>A@7 R4> :DE L76L6E@UPx Py
A@6C>E >C :D A:DE> L7>E>C5DC 4C =7D96 M>C67 6 @=4D: 9> X>79D9 R4> :DE L76L6E@UPx
A@6C>E >C 7>EL>A56 D QF >C56CA>EF >: =7D96 D: A4D: >E X>79D9>7DPy |Pu |P yx z Px
L4>9> E>7 @9>C5@;@AD96 A6C B &>C>M6E L67 5DC56 4C 679>C @C94A@96 L67 R4>|Pu yPx z |Pu>E eE@M@:D7f D: 679>C >E5DO:>A@96 L67 B -6CE>A4>C5>M>C5>F LD7D AD9D F L69>M6E|P x X
9>;@C@78
6O5>C@>C96 :D ;4CA@PC 9> L>75>C>CA@D 9>: L7>9@AD96 =7D94D96 B
|P yx z P yx z |Pu yPx z I yPx uPu zF
P
Ejemplo 4.3.1
1. -6CE@9>7>M6E >: 4C@X>7E6 Q >: L7>9@AD96 E6O7> S:B ": L7>9@UX ym Fhn P $+&)
AD96 E4=@>7> :6E E@=4@>C5>E A7@5>7@6E 9> 4E68
^ E@ e >E altof A6C A@>756 =7D96 9> X>79D9F >C56CA>E LD7D 5696 5>CUx y x
97>M6E R4> e >E altofF A6C 4C =7D96 9> X>79D9 @=4D: 6 E4L>7@67Wy
^ E@ e >E altof A6C A@>756 =7D96 9> X>79D9 >C56CA>E LD7D 5696 >: =7D96x yÇx
9> X>79D9 e >E altof 9>L>C9>7V 9> A4VC5D E>LD7DA@PC >K@E5D >C57> > B 2@y x y y
>E M4AN6 M>C67 R4> >: =7D96 9> e >E altof 9>O>7V E>7 L>R4>T6 >C A6MLDUx y
7DA@PC A6C >: =7D96 9> e >E altofBx
"EA7@O@>C96 A6M6 7>=:DE >E56E A7@5>7@6E8
HHm
Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas
i) E@ Q F >C56CA>E F D: =7D96 HWPx x y Py
ii) E@ Q F >C56CA>E F D: =7D96 BPx x�y Py F yx Fy z lm FHn
#69>M6E DA>L5D7F D9>MVEF :6E E@=4@>C5>E >:>M>C56E 9@E5@C=4@96E8
iii) >E 4C L76565@L6Fu g
iv) >E 4C DC5@L76565@L6Bo H
+D A6C9@A@PC i) @C9@AD R4> >: L7>679>C R4> 7>L7>E>C5> D: A6CZ4C56 9> 7>=:DE 9>O>I
A6C5>C>7 >: 679>C 4E4D:8 E@ >C56CA>E B -4D:R4@>7 7>:DA@PC M6CPUx y I yy ux z H I
56CD C6 9>A7>A@>C5> >C :D E>=4C9D A6ML6C>C5> Q 7>;:>K@XDF A4ML:@7V 9@AND A6C9@U
A@PCF L4>E56 R4> E@ 5>C97>M6E B "C LD75@A4:D7 :6E L7>P79>C>Ex y H I yx ux z I yy ux z
>:>M>C5D:>E :6 A4ML:>CB #67 657D LD75>F :D A6C9@A@PC ii) E>TD:D R4> E@ E> 9D :D 9>E@U
=4D:9D9 >C56CA>E >: =7D96 9> :D 7>=:D >E ;4CA@PC 9> :6E XD:67>E 9> > Bx�y x y
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E>7V >: =7D96 9> :D 7>=:D 9D9D L67 :D A6C9@A@PC ii)B "E5> N>AN6 E> L4>9> 7>A6=>7
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Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas
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Figura 21B "Z>ML:6 9> E4OA6CZ4C56 O6776E6 >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 alto
HHg
Obtención de la extensión de un predicado borroso mediante reglas
lo que obligará a que f(x) =x-\ sobre Xb = ( 1 , 2 ) . El subconjunto borroso exten
sión de P = alto bajo estas condiciones adicionales se representa en la Figura 21.
2. Consideremos ahora el predicado P = «alrededor de 0.5» sobre X = [ 0 , 1 ] . Evi
dentemente 0.5 será un prototipo y podemos aceptar que 0 y 1 son ambos dos
antiprototipos, en la medida en que son los valores más alejados de 0.5. Por otra
parte, el grado de verdad de Px dependerá esencialmente de lo cerca o lejos que se
encuentre x de 0.5. Tenemos así que una distancia sería la forma «natural» de
establecer el grado de verdad de Px para cada x € X. Podemos elegir la distancia
| x -y | y, teniendo en cuenta que, a mayor distancia entre x e y, menor debe ser
el grado de la regla que relaciona Px con Py, las reglas de uso parecen ser:
i) si PJC, entonces Py, al grado 1 - |/(JC) - / (y ) | ;
ii) 0.5 es un prototipo,
iii) 0,1 son ambos antiprototipos,
w siendo / : [0, l ] - * [ 0 , 1 ] . La relación L (y/x) = 1 - |/(JC) - / (y) | es una W-indis-
tinguibilidad, que tiene a / como uno de sus estados lógicos. Al ser 0.5 un proto
tipo tendremos / (0 .5) = 1 y, por tanto,
Mojí*) =/7(*/0.5) = 1 - |/(0.5) -/(*) | =/(*).
Como debería cumplirse 0 =7^(0/0.5) =/(0) y 0=7^(1/0.5) = / ( l ) , la
función / estaría sujeta a esas condiciones. Las reglas establecidas tan sólo
hablan de distancia, por lo que aplicándolo en particular a los x e y que cumplan w w
IJC —0.51 = | y - 0 . 5 | parece razonable establecer que L (x/0.5)=L (y/0.5) , lo que conllevaría que / fuese una función simétrica respecto del eje JC =0.5.
Para este ejemplo tendremos que XQ = {0,1}, ^ = {1} , y X¿=(0,0.5)U
(0 .5 ,0) . Bastará por tanto imponer condiciones sobre el «modelo» / e n (0,0.5)
para determinar una extensión del predicado «alrededor de 0.5».
113
4.4. Lógica asociada a un predicado borroso
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Lógica asociada a un predicado borroso
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115
Lógica asociada a un predicado borroso
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1. Los predicados como magnitudes
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Teorema 4.4.1
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Lógica asociada a un predicado borroso
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Lógica asociada a un predicado borroso
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Teorema 4.4.2
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Lógica asociada a un predicado borroso
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HHI
Lógica asociada a un predicado borroso
"C >: >Z>ML:6 g 9> iBhBH 45@:@?VODM6E :D U@C9@E5@C=4@O@:@9D9W Ef yx Fy z H
LD7D 6O5>C>7 4CD >K5>CE@PC 9>: L7>9@AD96 ÜeD:7>9>967 9> mBJfB +D @C9@EUfyx z f yy z P
5@C=4@O@:@9D9 9>EA6ML6C> A6M6
FEf yx Fy z W yMin yH FH f yx z f yy z F Min yH FH f yy z f yx z z z
L67 :6 R4> 5@>C> DE6A@D96 >: L7>679>C B '>9@DC5> >E5>Rf yy ux z Min yH FH f yx z f yy z z
L7>679>C E> L4>9> 6O5>C>7 4CD :P=@AD DE6A@D9D D: L7>9@AD96 L67 A4D:R4@>7D 9> :6EP
MS5696E R4> DLD7>A>C >C >E5> DLD75D96B +D 9>EA6ML6E@A@PC 9> C6 X@>C> 9D9D L67 >:Ef5>67>MD DC5>7@67F QD R4> >C S: :D 9>EA6ML6E@A@PC E> 7>D:@?D M>9@DC5> :D 5UC67MD BMin
": E@=4@>C5> 5>67>MD 7>EL6C9> D :D A4>E5@PC 9> L67R4S L4>9> E>7 9>EA6ML4>E5D 9>Ef:D ;67MD @C9@AD9DB
Teorema 4.4.3
2@ 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 >E5V =>C>7D9D L67 4C [C@A6 E4OA6CZ4C56 O6776E6T |
>C56CA>E >K@E5> 4C L7>679>C X>7@;@ADC96
E yx Fy z T yR yy ux z FR yx uy z z B
Demostración. #67 >: 5>67>MD 9> AD7DA5>7@?DA@PC 9> @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E E>7V8
L>76 D: A4ML:@7E> R4> E> 5>C97V R4>
E yx Fy z Min y IT| yy ux z F IT| yx uy z z F
Max y IT| yy ux z F IT| yx uy z z H
E yx Fy z T y IT| yy ux z F IT| yx uy z z B
Hgm
Lógica asociada a un predicado borroso
2. Un sistema de conectivas siguiendo a TARSKI
-6M6 >E A6C6A@96F &$%2w* 45@:@?P :DE E@=4@>C5>E 9>;@C@A@6C>E LD7D :DE A6C>A5@XDE
:P=@ADE 9>: AV:A4:6 L76L6E@A@6CD: A:VE@A6F 56MDC96 A6M6 A6C>A5@XD L7@CA@LD: :D @ML:@ADU
A@PC Q >: >:>M>C56 M<C@M6 9>: V:=>O7D 9> b66:> 9> L76L6E@A@6C>E8
^ Fr r m
^ Fr s r s
^ Fr s yr s z
^ Br s yr s z ys r z
2@=4@>C96 >E5> M69>:6F D A6C5@C4DA@PC E> >E549@D R4S 7>E4:5D96E E> 6O5@>C>C LD7D :D
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96 >E :D 5UC67MD F 6 O@>C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCDBT Min
1. La implicación
-6M6 QD E> ND A6M>C5D96F :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>EF D: 9>;@C@7E> L67 7>E@94DU
A@PCF E6C O4>CDE ;4CA@6C>E 9> @ML:@ADA@PC ED:X6 >C :6 R4> A6CA@>7C> D :D A6C5@C4@9D9B
"C =>C>7D:F 4C L7>679>C >:>M>C5D: C6 E>7V A6C5@C46 ED:X6 E@ :D 5UC67MD D LD75@7 9> :D
R4> E> 9>;@C> >E 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DB #D7D :D 5UC67MD >: L7>67UMin
9>C >:>M>C5D: >E >: 9> ,Å9>:
IMin yr usz H si s rr >B6BAB F
Q LD7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD
A6M6 M6E57DM6E >C :D E>AA@PC HBgBH LV=@CD gqB
IT yr usz h y Hz yMax y ym Fh yr z h ys z z z h y Hz yh yr z h ys z z F
2. La negación
HgH
Lógica asociada a un predicado borroso
+D ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6
^ N yr z r r m I T ym ur z
7>E4:5D E@>ML7> 4CD C>=DA@PCF QD R4> X>7@;@AD
i) QN ymz H N yHz m
ii) >E C6 9>A7>A@>C5>FN
L>76 C6 E>7VF >C =>C>7D:F 4CD C>=DA@PC ;4>75> y4CD @CX6:4A@PCzF ED:X6 >C >: ADE6 >C >:
R4> :D 5UC67MD E>D D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DB #67 >Z>ML:6F LD7D E> 6O5@>C>T Min
-6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD >E57@A5D E> 6O5>C97V :6 M@EM6F QD R4> F
IMin ym ur z H r mm r�m B
T I T ym umz H
L4>E56 R4> Q F 9>O@96 Dm m I T ym ux z m I T ym ux z h y Hz yMax ym Fh ymz h yx z z z
h H yh ymz z m B
"C ADMO@6F A6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5D 7>E4:5D
I T ym ur z h y Hz yMax ym Fh ymz h yx z z z h H yh ymz h yx z z B
3. La disyunción
!>;@C@>C96 :D 9@EQ4CA@PC A6M6
^ Fr s r s I T ys ur z
7>E4:5D A4DC96 R4>T Min
122
Lógica asociada a un predicado borroso
#D7D D7R4@M>9@DCD >E57@A5D8
r s IMin ys ur z H r�m 6 yr m Q s Hzs >B6BAB B
T
#67 [:5@M6F A4DC96 :D 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5D
r s H r�ms r m B
r s h y Hz yMax ym Fh ys z h yr z z z h y Hz yMax ym Fh ys z h yh H yh ymz h yr z z z z z
h y Hz yMax ym Fh ys z h ymz h yr z z z B
4. La conjunción
"E >X@9>C5> R4> LD7D Q D7R4@M>9@DCD >E57@A5DF D: 5>C>7 4CD C>=DA@PCT Min T
5DC 9SO@:F :D A6C>A5@XD A6CZ4CA@PC 9>;@C@9D A6M6
E>7V 5DMO@SC M4Q L6O7>B !> N>AN6 >C :6E 96E ADE6E 7>E4:5D
r s yr s z I ym u I ys ur z z
"C ADMO@6 LD7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DF 5>C@>C96 >C A4>C5D R4>
h yr s z h yh y Hz yMax ym Fh yh H yh ymz h yr z z z h yh H yh ymz h ys z z z h ymz z z z
h yh y Hz yMax ym Fh ymz yh yr z h ys z z z z z
Min yh ymz FMax ym Fh ymz yh yr z h ys z z z z F
E> 5>C97V R4> E@ F >C56CA>Eh ymz h yr z h ys z
Bh yr s z Min yh ymz Fmz m
] E@ Fh ymz�h yr z h ys z
Hgh
Lógica asociada a un predicado borroso
h yr s z Min yh ymz Fh ymz yh yr z h ys z z z
h ymz yh yr z h ys z z B
+4>=6
] L67 5DC56
h yr s z Max ym Fh ymz yh yr z h ys z z z
r s yr s z h H yh ymz h yr s z z h H yh ymz h yMax ym Fh ymz yh yr z h ys z z z z z
h H yMin yh ymz Fh yr z h ys z z z B
5. La equivalencia
$: 9>;@C@7 :D >R4@XD:>CA@D A6M6
6O5>C>M6E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9B -6C >: E> 6O5@>C>
r s yr s z ys r z T y IT ys ur z F IT yr us z z F
T Min
Q A6C 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD
r s H E@ r sMin yr Fs z >B6BcB
r s T yh y Hz yMax ym Fh yr z h ys z z Fh y Hz yMax ym Fh ys z h yr z z
h y Hz yh yh y Hz yMax ym Fh yr z h ys z z z z h y Hz yh yMax ym Fh ys z h yr z z z z z
h y Hz yMax ym Fh yr z h ys z z Max ym Fh ys z h yr z z z
Fh y Hz yMax yh yr z h ys z Fh ys z h yr z z z
E@C MVE R4> 5>C>7 >C A4>C5D R4> Q R4>T yr Fs z h y Hz yh yr z h ys z z m Max ym Fh yr z
LD7D 5696h ys z z h ymz r Fs lm FHn B
Hgi
Lógica asociada a un predicado borroso
-6C 5696 :6 9@AN6 LD7>A> A:D76 R4> >: ADE6 MVE ;DX67DO:> E> L7694A> A4DC96 :D
5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5DF :D :P=@AD DE6A@D9D D 4C L7>9@AD96 >E >C56CA>E8
r s I T ys ur z h y Hz yMax ym Fh ys z h yr z z z F
r h H yh ymz h yr z z F
r s h y Hz yMax yh yr z h ys z h ymz z z F
r s h y Hz yMin yh ymz Fh yx z h yy z z z F
r s h y Hz yMax yh yr z h ys z Fh ys z h yr z z z B
-4DC96 F 6O5>C>M6E :D :P=@AD 9> +4YDE@>j@A?8T W
r s Min yH FH r s z
r H r
r s Min yH Fr s z
r s Max ym Fr s Hz
r s H r sB
(6 EP:6 :6E L7>P79>C>E >:>M>C5D:>E =>C>7D96E L67 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD C6
>E57@A5D 9DC :4=D7 D E@E5>MDE 9> A6C>A5@XDE M4:5@XD:4D9DE @C5>7>EDC5>EB +6E 96E ADE@U
L7>P79>C>E E@=4@>C5>E E6C 96E >Z>ML:6E @:4E57D5@X6EB
-6M6 >E A6C6A@96 lrHn :D 7>:DA@PC 9> w:>>C>U!@>C>E >EI ys ur z Max yH r Fs z
4CD 7>:DA@PC U57DCE@5@XD Q C6 7>;:>K@XDB !> N>AN6F X>7@;@AD 4CD 7>;:>K@X@9D9 MVE 9SO@:W
L4>E56 A4ML:> R4> F LD7D 5696 W L76L@>9D9 R4> E> >C4CA@D A6M6 U7>;:>K@UI yr ur z Hg
r
X@9D9F A6C >C >E5> ADE6B 2@ AD:A4:DM6E :D :P=@AD DE6A@D9D 6O5>C>M6E8Hg
^ FN yr z I ym ur z H r
^ Fr s I ys ur z Max yH yH r z Fs z Max yr Fs z
^ Fr s yr s z H Max yH r FH s z Min yr Fs z
HgJ
Lógica asociada a un predicado borroso
débil puesto cumple que I(r/r)>-, para todo r; propiedad que se enuncia como X-
reflexividad, con X = - en este caso. Si calculamos la lógica asociada obtenemos:
- N(r)=I(0/r) = l-r,
— r V s =I(s/r1) =Max(l -(1 -r),s) =Max(r,s),
— r As = (r'+s,), = l-Max(l-r,l-s)=Min(r,s),
_ r**s = W(Max(l -r,s),Afax(l -s,r)) =Max(0,Max(í -r,s) +Mox(l -s,r) -1) =
í Max(Q,r+s-l) si 1 -r<s \ í -(1 -(r+s)) si K r + j l \ Aíax(0,l-r + l - j - l ) s i l - r ^ j j \ l - ( r+j ) s i l > r + í )
= | l - r - í | ,
que son las conectivas inicialmente propuestas por ZADEH [93], salvo la equivalencia.
La relación borrosa de Reichenbach I(slr) = 1 -r + rs, tampoco en un preorden
aunque es 1-reflexiva y W-transitiva [71], la lógica asociada es la siguiente: 4
- tf(r)=/(0/r) = l - r ,
— rV4s=/(5/r/) = l - ( l - r ) + ( l -r )5 = r+5 + r5,
- rA5 = (r / + ̂ /) / = l - ( l - r + l - 5 - ( l - r ) ( l - 5 ) ) = r 5 ,
_ r**s = W(l -r + rs, l -s+sr)=Max(0,l -r+r$ + l -5+$r- l ) =
=Max(0,l -r-s+2rs) = l -r-s+2rs.
La conjunción y la disyunción vienen dadas, en este caso, por la t-norma producto II
y su t-conorma dual II* dada mediante la negación N(JC) = 1 -JC y conocida como
suma probabilística.
126
CAPÍTULO 5. ANTÓNIMOS Y SINÓNIMOS
5.1. Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un uni-
verso finito
5.2. Automorfismos sobre [0,1]
5.3. Representación de antónimos y sinónimos
Introducción
2@>C96 :D :P=@AD ;4??Q 4C @C5>C56 9> 7>L7>E>C5D7 A6CA>L56E :@C=v<E5@A6E 9>: :>CU
=4DZ> CD547D:F LD7>A> 7D?6CDO:> DO679D7 >: >E549@6 9>: ;>CPM>C6 9> :D E@C6C@M@DF 5DC
;7>A4>C5> >C :6E :>C=4DZ>E CD547D:>EB $:=4C6E 57DODZ6E L@6C>76E E6CF L67 >Z>ML:6F
lqhFsgnF >C >::6E E> M4>E57D R4S L76L@>9D9>E OVE@ADE 9>O>7<D L6E>>7 4CD 7>L7>E>C5DA@PC
9> :6E E@CPC@M6E Q DC5PC@M6E >C >: MD7A6 9> :D 5>67<D 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6EB #67
>Z>ML:6F LD7>A> CD547D: >E5DO:>A>7 L76L@>9D9>E A6M6 R4> >: DC5PC@M6 9> 4C DC5PC@M6
E>D 4C E@CPC@M6F 6 R4> >: E@CPC@M6 9> 4CD A6CZ4CA@PC 9> 5S7M@C6E :@C=v<E5@A6E E>D :D
A6CZ4CA@PC 9> E@CPC@M6EB (6 >E 9@;<A@: O4EAD7 >Z>ML:6E >C >: :>C=4DZ> CD547D: A6C >E5DE
AD7DA5>7<E5@ADEF DE< 4C DC5PC@M6 9> fiel L697<D E>7 traidor Q 4C DC5PC@M6 9> traidor
L697<D E>7 lealF E@>C96 fiel Q leal E@CPC@M6EW 6 4C E@CPC@M6 9> fiel y bueno L697<D E>7
leal y bondadosoB *C57694A@>C96 4C L6A6 9> ;67MD:@EM6F E@ 9>C65D 4C 5S7M@C6 :@CUt
=v<E5@A6 =>CS7@A6 Q Q 7>L7>E>C5DCF 7>EL>A5@XDM>C5>F 5S7M@C6E E@CPC@M6E Qy t z y t z
DC5PC@M6E 9> F :DE L76L@>9D9>E DC5>7@67>E E> >EA7@O@7<DC A6M6t
^ y y t z z y t z F
^ y tH y tg z y tH z y y tg z F
96C9> y E>7<D 4CD A6CZ4CA@PC >C >: A6CZ4C56 9> 5S7M@C6EB !> :D M@EMD ;67MDF E@ E6O7>
>: A6CZ4C56 9> 5S7M@C6E 5>C>M6E D:=4CD A6C>A5@XD MVEF A6M6 L697<DC E>7 :D 9@EQ4CA@PC
Q :D C>=DA@PCF 7>L7>E>C5D9DE L67 o Q noF 7>EL>A5@XDM>C5>F 5DMO@SC LD7>A>C 7D?6CDO:>E
:DE L76L@>9D9>E
^ Qy tH o tg z y tH z o y tg z
^ yno t z no y t z B
Hgs
Lógica asociada a un predicado borroso
débil puesto cumple que I(r/r)>-, para todo r; propiedad que se enuncia como X-
reflexividad, con X = - en este caso. Si calculamos la lógica asociada obtenemos:
- N(r)=I(0/r) = l-r,
— r V s =I(s/r1) =Max(l -(1 -r),s) =Max(r,s),
— r As = (r'+s,), = l-Max(l-r,l-s)=Min(r,s),
_ r**s = W(Max(l -r,s),Afax(l -s,r)) =Max(0,Max(í -r,s) +Mox(l -s,r) -1) =
í Max(Q,r+s-l) si 1 -r<s \ í -(1 -(r+s)) si K r + j l \ Aíax(0,l-r + l - j - l ) s i l - r ^ j j \ l - ( r+j ) s i l > r + í )
= | l - r - í | ,
que son las conectivas inicialmente propuestas por ZADEH [93], salvo la equivalencia.
La relación borrosa de Reichenbach I(slr) = 1 -r + rs, tampoco en un preorden
aunque es 1-reflexiva y W-transitiva [71], la lógica asociada es la siguiente: 4
- tf(r)=/(0/r) = l - r ,
— rV4s=/(5/r/) = l - ( l - r ) + ( l -r )5 = r+5 + r5,
- rA5 = (r / + ̂ /) / = l - ( l - r + l - 5 - ( l - r ) ( l - 5 ) ) = r 5 ,
_ r**s = W(l -r + rs, l -s+sr)=Max(0,l -r+r$ + l -5+$r- l ) =
=Max(0,l -r-s+2rs) = l -r-s+2rs.
La conjunción y la disyunción vienen dadas, en este caso, por la t-norma producto II
y su t-conorma dual II* dada mediante la negación N(JC) = 1 -JC y conocida como
suma probabilística.
126
Introducción
-6CA7>5>M6E MVE :DE @9>DE @C54@5@XDE >KL4>E5DEF 7>L7>E>C5D7V 4C A6CZ4C56 9>
5S7M@C6E 965D96 9> 4CD E>7@> 9> A6C>A5@XDEF NDO@54D:M>C5> F R4> L6E@O@:@5DCyy F o F no z
A7>D7 5S7M@C6E A6ML4>E56E D LD75@7 9> 5S7M@C6E E@ML:>EB -4D:R4@>7 7>L7>E>C5DA@PC
9> 4CD 6L>7DA@PC 9> E@C6C@M@D 9>O>7V X>7@;@AD7 :DE L76L@>9D9>E8
^ 9>O> E>7 4CD 6L>7DA@PC @C5>7CD >C Q
^ 9>O> A6CM45D7 A6C :DE A6C>A5@XDE Byy F o F no z
#D7>A> :P=@A6 >K@=@7 R4> E>D 4C D456M67;@EM6 9> :D >E574A547D :P=@AD L y Fy Fo Fno z B
"E56 A6C94A> D A6CE@9>7D7 D: LD7 4CD >E574A547D 9> E@C6C@M@D LD7D :D :P=@AD 9>yL F z
5S7M@C6E B !6E 5S7M@C6E 9> E>7VC E@CPC@M6E E@ E> X>7@;@AD R4> BL tH F tg tH y tg z
"E5D M@EMD >E574A547D L>7M@5@7<D 9>;@C@7 5DMO@SC A4VC96 96E 5S7M@C6E E6C DC5PC@M6EB
bDEVC96C6E >C R4> 4C 5S7M@C6 >E DC5PC@M6 9> 6576 A4DC96 >E E@CPC@M6 9> :DtH tgC>=DA@PC 9> F 5>C97>M6E R4> >E 4C DC5PC@M6 9> E@ E> X>7@;@AD R4>tg tH tg
By tH z no tg
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>E 4C A6CA>L56 7>A<L76A68 E@ >E E@CPC@M6 9> >E >X@9>C5> R4> >E E@CPC@M6 9> FtH tg tg tHN>AN6 R4> C6 R4>9D7<D 7>;:>ZD96 >C C4>E576 M69>:6B #D7D @CA:4@7:6 E>7<D E4;@A@>C5>
A6CE@9>7D7 >: D456M67;@EM6 @CX>7E6 9> B #67 A6CE@=4@>C5>F LD7>A> M>Z67 A6CE@9>7D7
A6M6 >E574A547D 9> E@C6C@M@D >: LD7 F 96C9> >E 4C E4O=74L6 9>: =74L6 9>yL FS z S
D456M67;@EM6E 9> BL
`DE5D >: M6M>C56F :D 7>L7>E>C5DA@PC 9> E@CPC@M6E Q DC5PC@M6E R4> N>M6E >KU
L4>E56 >E E@MOP:@ADF QD R4> C@C=[C E@=C@;@AD96 E> ND DE@=CD96 D :6E 5S7M@C6E 9> B
"E5> L4C56 9> X@E5D >E >: D96L5D96 L67 D:=4C6E D4567>EF A6M6F L67 >Z>ML:6F >C lJhnB
#>76 >C >: MD7A6 9> :D :P=@AD ;4??Q 4C E@=C@;@AD96 E> :@=D D AD9D 5S7M@C6 :@C=v<E5@A6
M>9@DC5> 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6B #D7D >::6 E> E4L6C> :D >K@E5>CA@D 9> 4C 4C@X>7E6 ODE>X
DE6A@D96 D: A6CZ4C56 9> 5S7M@C6E :@C=v<E5@A6EF 9> 5D: ;67MD R4> LD7D AD9D 5S7M@C6 t
129
IntroducciónIntroducción
5>C>M6E 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 B #67 >Z>ML:6F E@ A6CE@9>7DM6E :6E 5S7M@C6E|t yX z
:@C=v<E5@A6E R4> E> 45@:@?DC LD7D 9>EA7@O@7 :D D:547D 9> 4CD L>7E6CDF >: 4C@X>7E6 ODE>
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Introducción
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131
Introducción
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5.1. Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universofinito
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Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
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Teorema 5.1.1
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Teorema 5.1.2
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Demostración.
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Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
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Proposición 5.1.3
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Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
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Proposición 5.1.4
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Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
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Proposición 5.1.5
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Hhr
Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
Teorema 5.1.6
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4CD 5UC67MD Q 5UA6C67MD L6E@5@XDEF E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD ;DM@:@D 9> D456Ux x X
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LD7D AD9D B
y|z yx z x y|ys yx z z z
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DemostraciónB +D DL:@ADA@PC F A6C A4D:R4@>7 L>7M45DA@PC 9>y|z yx z x y|ys yx z z z s
F >E O@Q>A5@XD A6M6 E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5>F Q 9>;@C> 4C D456M67;@EM6F QD R4>8X
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Automorfismos sobre subconjuntos borrosos en un universo finito
x y|ys yx z z z F
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Teorema 5.1.7
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L6E@5@XD Q E4 5UA6C67MD U94D:F >E 4C D456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CDT N
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X>7@;@ADC :DE 96E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8
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ii) F LD7D A4D:R4@>7 BN y x yk z z x yN yk z z k lmFHn
DemostraciónB 2@ i Q ii E6C A@>75DEF >C56CA>E
QF L67 >: 5>67>MD JBHBqF >E 4C D456M67;@EM6 9> B
y| z yx z x yN y|ys yx z z z z N y x y|ys yx z z z z N y y|z yx z z y|z yx z
MT FN y yX z z
%>A<L76ADM>C5>F E>D F A6M6 F L67 >: 5>67>MDAutMT FN y yX z z AutLT FT y yX z z
JBHBqF >K@E5@7V 4CD ;DM@:@D 9> D456M67;@EM6E 9> Q 4CD L>7M45DA@PC 9>x x X lm FHn s X
5D: R4> LD7D AD9D B !>E9> R4> F A6CE@Uy|z yx z x y|ys yx z z z | yX z y| z y|z
9>7DC96 F E> 5>C97V R4> Q W >E 9>A@7 R4>| k | Nykz y Nykz z y k z N y y k z z
x yN yk z z N y x yk z z B
HhI
5.2. Automorfismos sobre [0,1]
!> DA4>796 A6C >: 5>67>MD JBHBqF 4C D456M67;@EM6 9> >E5V A6MULT FS y yX z z
L4>E56 9> 4CD L>7M45DA@PC 9> Q 4C D456M67;@EM6 9> QF L67 5DC56F A6CX@>C>X lm FHn
>E549@D7 >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E E6O7> B "C lsgn E> >E549@P >: A6CZ4C56 9>lm FHn
D456M67;@EM6E 9> F A6CZ4C56 R4> 9>C65D7>M6ELMin FMax y lm FHn z lm FHn FMin FMax Fm FH
D LD75@7 9> >E5> M6M>C56 A6M6 B /CD DL:@ADA@PC O@Q>A5@XDF F L>75>C>A> DLH y lm FHn z
E@ Q EP:6 E@ >E 4CD ;4CA@PC A7>A@>C5>F L76L@>9D9 R4> >E >R4@XD:>C5> DAut LH y lm FHn z
R4> L7>E>7X> >: M<C@M6B #67 >Z>ML:6F :6E M69@;@AD967>E :@C=v<E5@A6E 6 E6Cx x g
D456M67;@EM6E 9> B "E549@D7>M6E DN67D APM6 E6C :6E D456M67;@EM6E A6C5@ULH y lm FHn z
C46E E6O7> A4DC96 :DE 5UC67MDE E6C D7R4@M>9@DCDE L6E@5@XDE Q C6 L6E@5@XDEBlm FHn
2>D :D >E574A547D F >E >X@9>C5> R4>Lg y lm FHn z lm FHn F F F0 F1 AutLg y lm FHn z
E@ Q EP:6 E@ >E 4CD O@Q>AA@PC Q X>7@;@AD
LD7D 5696 B -6M6 >E O@>C A6C6A@96 lHnF :D L7@M>7D >A4DA@PC 5@>C> A6M6
(1)yxy z yx z yy z F
(2)yx y xy z yx z yy z yx z yy z F
x Fy lm FHn
E6:4A@6C>E A6C5@C4DE :DE ;4CA@6C>E 6 B "KA>L56 LD7D F :DE E6:4Uyx z x a yxz m a m
A@6C>E E6C :DE [C@ADE R4> E6C O@Q>A5@XDEB #>76 E@ 9>O> ED5@E;DA>7 ygz >:yx z x a
[C@A6 XD:67 L6E@O:> LD7D >E HF QD R4> E@ 56MDM6E >C ygz E>a x y Hqq }m~
9>O> X>7@;@AD7
Him
Automorfismos sobre [0,1]
Q
Hq
Hq
Hqg
a Hq
a Hq
a Hq
ga
2>D :D ;4CA@PC 9@;>7>CA@DO:> F >E5D ;4CA@PC >E @=4D: D >C
ygq Hza gq a H LD7D 5696 q }m~B
f ya z ygq Hza gq a H m
Q F E@>C96 ;VA@: 9> A6ML76OD7 R4> C@C=[C 6576 L4C56 DC4:D :D ;4CA@PCBa m a H
!> >E5D ;67MDF >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E A6C5@C46E LD7D >ELg y lm FHn z
BAut c Lg ylmFHnz }*9~
2@C :D A6C9@A@PC 9> A6C5@C4@9D9 5DMO@SC 7>E4:5D A6M6 [C@A6 D456M67;@EM6 :D
@9>C5@9D9 lgnB ": D7=4M>C56 >E >: E@=4@>C5>B $: 9>;@C@7 F ygz E>f yz z H yH z z
A6CX@>75> >C
E@C MVE R4> E4E5@54@7 > L67 Q F 7>EL>A5@XDM>C5>B &6MDC96
f yxy z f yx z f yy z LD7D 5696 x Fy lm FHn F
x y H x H y x y t
6O5>C97>M6E R4> +4>=6 5>C@>C96 >C A4>C5D :D >KL7>E@PC 9>f y t z f y t zg m B f
#67 657D LD75>F A6C Q F :D >A4DA@PC yHz E6O7> E>
(3)yx z H F LD7D 5696 x lm FHn B
x e t F y e u g y t z ye t z ym FHng
57DCE;67MD >C
A6C B #67 yhzF Q >C $A?S: lHn LLB hsUhIF :DE [C@ADE E6:4A@6C>E 9>
(4)g y t u z g y t zg yu z F
t Fu lm F z g y t z H
yiz DA65D9DE E4L>7@67M>C5> Q O@Q>A5@XDE E6C B "E56 9D A6M6 7>E4:5D96 LD7Dg y t z e at
F 5>C@>C96 >C A4>C5D :D >KL7>E@PC 9> 8g
HiH
Automorfismos sobre [0,1 ]
Q(x)=g(-]nx)=e-ai-*x) =\*a * ^ 0 , 1 1 1 = xa.
Y, aplicando el mismo razonamiento que hicimos en el caso continuo, AutL2 ([0,1]) =
Ud}.
Es posible generalizar el resultado anterior a cualquier t-norma arquimediana
estricta. Como es conocido [54], una t-norma arquimediana estricta admite una repre
sentación de la forma
T(x,y)=h-i(h(x)h(y)),
para todo x,y G [0,1] , siendo h una biyeccion de [0,1] creciente. Si consideramos
£2* ([0,1])= < [ 0 , l ] , 7 \ r \ 0 , l > con T(x,y)=h-l(h(x)h(y)) y T* (x,y) =
h~l (h(x) +h(y) -h(x)h(y)), las ecuaciones (1) y (2) se escribirán como:
e(h-l(h(x)h(y)))=h-l(h(e(x))h($(y))),
d(h-l(h(x) +h(y) -h(x)h(y))) =h-l(h(6(x)) +h(d(y)) -h(6(x))h(6(y))),
y definiendo f=h o 0 o h~l, estas ecuaciones serán equivalentes a
f(h(x)h(y))=f(h(x))f(h(y)),
f(h(x) +h(y) -h(x)h(y)) =f(h(x)) +f(h(y)) -f(h(x))f(h(y)).
Realizando un cambio de variable tendremos
/(vw)=/(v)/(w),
/(v + w-vw) =/(v) +/(w) -/(v)/(w),
142
Automorfismos sobre [0,1]
LD7D 5696 B !> >E5D ;67MD :D [C@AD E6:4A@PC LD7D E>7V :D @9>C5@9D9Bv Fw lm FHn f
+4>=6
R4> >E >R4@XD:>C5> D QF L67 A6CE@=4@>C5>F
f *9 h h H F
h h *9B
-4DC96 A6CE@9>7DM6E :D >E574A547D C6 >ELW FW y yX z z yX z FW FW F0 F1
L6E@O:> DL:@AD7 >: 5>67>MD JBHBq QD R4> C6 >E 4CD 5UC67MD L6E@5@XDB 2@C >MOD7=6W
4CD ;4CA@PC 9>;@C@9D A6M6 9D7V :4=D7 E@>MU8 yX z yX z y|z yx z x y|ys yx z z z
L7> 4C D456M67;@EM6 9> F A6M6 E> L4>9> A6ML76OD7 DL:@ADC96 :D L7@M>7DLW FW y yX z z
LD75> 9>: 5>67>MD A@5D96B "E @C5>7>EDC5>F L67 A6CE@=4@>C5>F >E549@D7 >: =74L6Lh y lm FHn z
Blm FHn FW FW Fm FH
#67 9>;@C@A@PCF E@Aut Lh y lm FHn z
-4DC96 F :D >A4DA@PC yJz @ML:@AD
(5)yMax ym Fx y Hzz Max ym F yx z yy z Hz F
(6)yMin yH Fx y z z Min yH F yx z yy z z B
x y H
Q L67 >::6 B $9>MVE L67 yqz 5>C97>M6E
ymz m MaxymF yxz yyz Hz F
yx z yy z H m
-4DC96
yx y z yx z yy z B
x y�H
L67 yJz Q
yx y Hz MaxymF yxz yyz Hz F
Hih
Automorfismos sobre [0,1 ]
e(l) = l=Min(l,$(x)+6(y)),
por (6). Así 0 ( x ) + 0 ( y ) > l y
d(x+y-l)=d(x)+6(y)-l.
Como consecuencia, las ecuaciones funcionales (5) y (6) son equivalentes a las ecua
ciones
d(x+y)=6(x)+d(y), six+y^l C7)
$(x+y-l)=6(x)+d(y)-í, six+y>í, <8)
con las condiciones iniciales 0(0) =0 y 0(1) = 1. Como es bien conocido [1], las
únicas funciones acotadas, recuérdese que exigimos que 0 sea biyectiva, que verifican
(7) son de la forma 0(JC) =XJC y con las condiciones iniciales sólo puede ser la identi
dad. Así, AutL3([0,l]) = {ld}.
Al igual que para las t-normas arquimedianas estrictas, una t-norma T es arqui-
mediana no estricta, si y sólo si admite una representación mediante una función h
biyectiva y creciente sobre [ 0 , 1 ] tal que
T(x ,y) =h~l (Max(0,h(x) +h(y) -1)).
Consideremos entonces L 3 * ( [ 0 , 1 ] ) = < [ 0 , 1 ] , 7 \ r * , 0 , 1 > con T(x,y) =
h-l(Max(0,h(x)+h(y)- 1» y T* (x,y)= /i"1 ( M m ( 1 , h(x)+ h(y))). Las ecua
ciones (5) y (6) pasan a ser
d(h-l(Max(0,h(x)+h(y)-l)))=h-l(Max(0,h(6(x))+h(d(y))-l)),
144
Automorfismos sobre [0,1]
yh H yMin yH Fh yx z h yy z z z z h H yMin yH Fh y yx z z h y yy z z z z F
Q 56MDC96 9> C4>X6 >E5DE >A4DA@6C>E E6C >R4@XD:>C5>E Df h h H
f yh yx z h yy z z f yh yx z z f yh yy z z E@ h yx z h yy z H F
f yh yx z h yy z Hz f yh yx z z f yh yy z z H E@ h yx z h yy z�H B
#67 E>7 Q O@Q>A5@XDF 5>C97>M6E R4> :D [C@AD E6:4A@PC LD7D :DE DC5>7@67>E >A4DA@6Uf h
C>E >E :D @9>C5@9D9 :6 A4D: @ML:@AD R4> >: A6CZ4C56 9> D456M67;@EM6E 9> Lh y lm FHn z
E> 7>94A> D :D ;4CA@PC @9>C5@9D9B
HiJ
5.3. Representación de antónimos y sinónimos
Como se indicó en la Introducción del presente Capítulo, los automorfismos de
las estructuras LTS(&(X)) pueden constituir un buen modelo para representar los
sinónimos y antónimos en lógica fuzzy. Gracias a los dos apartados anteriores y a los
trabajos [45, 82] los automorfismos de LT S(&{X)) están caracterizados, para X
finito, cuando se consideran la t-norma Min y la t-conorma Max y un par formado
por una t-norma arquimediana estricta y su t-conorma dual.
Si como definición de sinonimia entre dos subconjuntos borrosos /¿, r¡ adoptamos
simplemente que exista un automorfismo 0 que transforme uno en el otro: 0(/x) =rj,
los siguientes teoremas muestran, para el caso de la pareja Min y Max, que «demasia
dos» subconjuntos borrosos serían sinónimos.
Teorema 5.3.1
Si ii,pG&(X) con X finito, las condiciones necesarias y suficientes para la
existencia de un automorfismo 6GAutLMin Max(&(X)) verificando 0(pi)=P son
I ( M ) O I = I ( P ) O I <9>
I M i l - l í p l i l . (10>
soporte de un subconjunto borroso respectivamente, y | j simboliza el cardinal
de un conjunto.
146
Representación de antónimos y sinónimos
Demostración. 2@ F 6 LD7D 5696 F >Ey|z y|z yx z x y|ys yx z z z yx z x X
>X@9>C5> R4> E@ >E 9>A@7 F >C56CA>E QF L67 >::6Fx y zm yxz m x y|ys yx z z z m
DE< B !> >E5D ;67MD 5>C97>M6E R4> +D @CA:4E@PC|ys yx z z m F s yx z y|zm y|zm y zm B
A6C57D7@D >E 5DMO@SC >X@9>C5>F :4>=6 E@ Q EP:6 E@ B -6M6 >E 4CDx y zm s yx z y|zm s
O@Q>AA@PC 9> E> A4ML:@7V yIzB !> ;67MD DCV:6=D E@ Q EP:6 E@ QX x l nH s yx z l|nHE>7V A@>756 yHmzB
%>A<L76ADM>C5>F A6CE574QDM6E 4C D456M67;@EM6 5D: R4> B #67 yIzFy|z
yHmz Q :D A6C9@A@PC F >K@E5@7V 4CD L>7M45DA@PC 9> 5D: R4>l|n|y|zm X
s y y zm z y|zmF
s y l nH z l|nH F
s y y zm l nH z y|zm l|nH
QF L67 >::6F
yx z m E@ Q EP:6 E@ |ys yx z z m F
yx z H E@ Q EP:6 E@ |ys yx z z H F
mÇ yx zÇH E@ Q E6:6 E@ mÇ|ys yx z zÇH B
-4DC96 E>D LD7D A@>756 F E@>ML7> >E L6E@O:> 6O5>C>7 4C D456M67UmÇ yx zÇH x
;@EM6 9> X>7@;@ADC96 B #67 >Z>ML:6F A6C :6E D456Ux LH y lm FHn z x y|ys yx z z z yx z
M67;@EM6E LD7D ODE5D7V >:>=@7 9> ;67MD R4>yx z x a a�mF a
:6 A4D: E> A6CE@=4> A6C
x y|ys yx z z z |ys yx z z yx z F
a :6=|ys yx z z yx z :6= yx z:6=|ys yx z z
�m B
Hir
Representación de antónimos y sinónimos
El siguiente resultado estudia cuando la familia {6X} se puede reducir a un
único automorfismo.
Teorema 5.3.2
Sean /¿,p E&(X) dos subconjuntos borrosos con puntos sobre un universo finito.
Para que exista OGAutLi([09l]) y una permutación s deXtalque 0(¿I(S(JC))) =
p(x) para todo x G X9 es necesario y suficiente que se verifiquen las dos condicio
nes siguientes:
0 I O O O I = I ( P ) O I > I M i M t P l i l > ii) existe una permutación s de X y una ordenación de X9 {x¡ ,...,x¡ }, tal
que
donde < * es el orden parcial sobre [0, l ] 2 dado por
(x0,y0)< *(xl9yx) si y sólo si (x0,yQ)=(xl,yl) o (x0<xí y y0<yx).
Demostración. Si existe 0 y s verificando d(ix(s(x)))=p(x) para todo xEX9 por
el teorema 5.3.1 la condición i es cierta. Además, considerando una reordenación de
los elementos de X de tal forma que
(li(s(xii))9£...£(ii(s(xin))9
al ser 0 estrictamente creciente tendremos
(liisiXt^MXiJ) < * . . . < * (n(s(xin)),p(xin)).
Recíprocamente, si i y ii son ciertas, tomando 0:[O,1]-*[O,1] definida como
6(fi(s(x)))= p(x) obtenemos una biyeccion estrictamente creciente gracias al orden
148
Representación de antónimos y sinónimos
$E<F LD7>A> 6L6754C6 D96L5D7 4CD 9>;@C@A@PC 9> E@C6C@M@D >C57> E4OA6CZ4C56E
O6776E6E C6 5DC DML:@DB +D E@=4@>C5> 9>;@C@A@PC >E :D D96L5D9D >C liJnB
Definición 5.3.3
^ /C D456M67;@EM6 9> E> 9@A> R4> >E 4C 2UD456M67;@EM6 E@ E>LT FT y yX z z
X>7@;@AD R4> LD7D 5696y|z | | yX z
^ /C D456M67;@EM6 9> E> 9@A> R4> >E 4C $UD456M67;@EM6 E@ E>LT FT y yX z z
X>7@;@AD R4> >E 4C 2UD456M67;@EM6 Q >K@E5> D: M>C6E 4C 5D: R4>g | yX z y|z |
B
+6E 2UD456M67;@EM6E Q :6E $UD456M67;@EM6E E>7VC :6E ADC9@9D56E D 7>L7>E>C5D7 E@CPC@U
M6E Q DC5PC@M6E 7>EL>A5@XDM>C5>B
Definición 5.3.4
!6E E4OA6CZ4C56E O6776E6E E> 9@A>C E@CPC@M6E y7>EL>A5@XDM>C5> DC5PC@U|F yX z
M6Ez E@ >K@E5> 4C 2UD456M67;@EM6 y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6z 5D: R4>
y|z B
-6C >E5D 9>;@C@A@PC E> MDC5@>C> 4CD L76L@>9D9 OVE@AD 9>: ;>CPM>C6 9> :D E@C6C@M@D8
E@ >E E@CPC@M6 y7>EL>A5@XDM>C5> DC5PC@M6z 9> F >C56CA>E >E E@CPC@M6 y7>EL>AU|
5@XDM>C5> DC5PC@M6z 9> F L4>E56 R4>F A6M6 E> A6ML74>OD ;VA@:M>C5>F >: @CX>7E6 9>|
4C 2UD456M67;@EM6 y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6z >E 4C 2UD456M67;@EM6
y7>EL>A5@XDM>C5> 4C $UD456M67;@EM6zB
$ L>ED7 9> >::6F 4CD L76L@>9D9 @ML675DC5> R4>9D ;4>7D8 >: DC5PC@M6 9> 4C DC5PC@M6 C6
>E C>A>ED7@DM>C5> 4C E@CPC@M6B -6C >: ;@C 9> @CA:4@7:D >C >: M69>:6 E> A6CE@9>7D :D
E@=4@>C5> 9>;@C@A@PCB
HiI
Representación de antónimos y sinónimos
Definición 5.3.5
/C E4O=74L6 E> 9@A> R4> >E 4C 2$UE4O=74L6 E@ E> A4ML:>C :DEG Aut LT FT y yX z z
57>E A6C9@A@6C>E E@=4@>C5>E8
i) -4D:R4@>7 >:>M>C56 9> >E 6 4C 2UD456M67;@EM6 6 4C $UD456M67;@EM6FG
ii) A6C5@>C> D: M>C6E 4C $UD456M67;@EM6 QG
iii) :D A6ML6E@A@PC 9> A4D:R4@>7 LD7 9> $UD456M67;@EM6E >E 4C 2UD456M67;@EU
M6B
": E@=4@>C5> 5>67>MD L4>9> X>7E> >C liJnB
Teorema 5.3.6
1. >E 4C 2UD456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@Aut LMin FMax y yX z z
y|z yx z x y|yx z z
A6C B} x~x X Aut LMin FMax y lm FHn z
2. >E 4C $UD456M67;@EM6 E@ Q EP:6 E@Aut LMin FMax y yX z z
y|z yx z x y|ys yx z z z
A6C 4CD O@Q>AA@PC @CX6:45@XD 9> Q 9@E5@C5D 9> :D @9>C5@9D9 Qs X } x~x X
BAut LMin FMax y lm FHn z
3. 2@ >E 4C 2$UE4O=74L6 >C56CA>E >E 4C L7694A56 E>M@9@7>A56 9> :6E 96E E4O=74UG
L6E E@=4@>C5>E8
QGH } G 8 y|z yx z x y|yx z z~
FGg } G 8 y|z yx z |ys yx z z~
A4ML:@SC96E> D9>MVE R4> 5@>C> 5DC EP:6 96E >:>M>C56E8 :D @9>C5@9D9 Q >: 9D96GgL67 4CD O@Q>AA@PC A6C Q Bs s g Id S Id
#67 A6CE@=4@>C5> A4DC96 E> A6CE@9>7DC :D 5UC67MD Q :D 5UC67MD F :6E 2$UMin Max
E4O=74L6E @CA:4Q>C 5DC EP:6 4C $UD456M67;@EM6 9@E5@C56 9> :D @9>C5@9D9F >E5DC96 E@C
7>E57@C=@7 >: C[M>76 9> 2UD456M67;@EM6EB
HJm
Representación de antónimos y sinónimos
-4DC96 E> A6CE@9>7D 4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DCD >E57@A5D Q E4 5UA6C67MD 94D: E>T
ND 9>M6E57D96 >C :D M>M67@D R4> 5696 >E 9> :D ;67MD8Aut LT FT y yX z z
A6C Q B -6M6 E> ND X@E56 >C :D E>AA@PC JBgF >:
y|z yx z x y|ys yx z z z
} x~x X Aut LT FT y lm FHn z s Biy yX z
=74L6 >E5V A6ML4>E56 [C@ADM>C5> L67 :D @9>C5@9D9B $: E>7 >: 5>67>MDAut LT FT y lm FHn z
JBhBq 5DMO@SC XV:@96 LD7D 4C LD7 >C :DE A6C9@A@6C>E >KL4>E5DEF C6 >K@E5>CF ODZ6T FT
:D 7>L7>E>C5DA@PC 9>EA7@5DF MVE E@CPC@M6E R4> :D @9>C5@9D9F Q 4C 2$UE4O=74L6 >E5D7<D
;67MD96F >C >E5> ADE6F [C@ADM>C5> L67 4C $UD456M67;@EM6 9D96 L67 4CD O@Q>AA@PC 9>X
@CX6:45@XDB
Ejemplo 5.3.7
": E@=4@>C5> >Z>ML:6F D L>ED7 9> 4ED7 4C 4C@X>7E6 C6 ;@C@56F L4>9> M6E57D7 :D DLD7@U
A@PC 9> 9@E5@C56E E4OA6CZ4C56E O6776E6E DC5PC@M6EB -6CE@9>7>M6E :D XD7@DO:> :@CU
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5> >: E4OA6CZ4C56 O6776E6
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Representación de antónimos y sinónimos
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CONCLUSIONES Y PROBLEMAS ABIERTOS
Conclusiones y problemas abiertos
PARTE I
Capítulo 1.
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Conclusiones y problemas abiertos
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Capítulo 2
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HJJ
Conclusiones y problemas abiertos
La utilización habitual en lógica borrosa de los subconjuntos borrosos lineales a
trozos, tanto los números triangulares como los trapecios, ha hecho que se haya
investigado una relación que tenga como clases a estos subconjuntos borrosos. En la
sección 2.2 se obtiene que la W-indistinguibilidad
E(x,y)=Max(0,l-\f(x)-f(y)\) <D
permite obtener este tipo de subconjuntos borrosos cuando la función / tiene ciertas
características.
En este capítulo básicamente consideramos dos problemas abiertos interesantes.
En primer lugar, como se muestra en la memoria, una T-indistinguibilidad tiene aso
ciada una métrica generalizada por lo que sería conveniente estudiar las propiedades
de los entornos métricos, y de la topología inducida. En segundo lugar, es posible que
la W-indistinguibilidad que aparece en (1) permita definir nuevas operaciones entre
subconjuntos borrosos lineales a trozos, consiguiendo que los subconjuntos borrosos
resultantes de dichas operaciones conserven esta propiedad.
Capítulo 3
El Capítulo 3 está dedicado a estudiar dos tipos de estados lógicos clásicos: los
estados lógicos irreducibles y los minimales. Después de dar la definición de estado
lógico irreducible como aquel que no se descompone en unión de otros distintos a él,
se demuestra que estos estados lógicos caracterizan un preorden clásico. Por ende, los
estados lógicos reducibles no son esenciales y pueden eliminarse del teorema de
representación.
No obstante, también existen estados lógicos irreducibles que son superfluos y
que pueden eliminarse del teorema de representación, estados lógicos que son intersec
ción de otros estados lógicos. Este resultado nos ha llevado a considerar el estudio de
los estados lógicos minimales y su definición se da en la sección 3.2. En la memoria
se demuestra la equivalencia entre estos dos tipos de estados lógicos, cuando la rela-
156
Conclusiones y problemas abiertos
ción es simétrica, y se obtienen caracterizaciones de los estados lógicos minimales que
muestran una importante propiedad de los mismos: todos los elementos de un estado
lógico minimal están conectados mediante cadenas de la relación del tipo
Los resultados obtenidos en este capítulo presentan dos aspectos interesantes:
1. La generalización a estados lógicos borrosos de los conceptos aquí presenta
dos. Esta generalización podría mostrar una fuerte relación con el orden entre
estados lógicos borrosos definido en la sección 1.2.3, debido a que los estados
irreducibles caracterizan un preorden clásico mientras que los estados lógicos
borrosos maximales de dicho orden caracterizan a los preórdenes borrosos. La
equivalencia, para relaciones simétricas, entre estados lógicos irreducibles y
minimales parece indicar que la obtención de subconjuntos borrosos maximales
debe ser diferente cuando la relación es una indistinguibilidad de cuando es un
preorden. Este hecho requiere, sin lugar a dudas, ser estudiado con más detalle.
2. La conexión de estos dos conceptos con la monotonía de una relación res
pecto a una operación binaria •. Como se ha mostrado en [17] los estados
lógicos permiten una caracterización de la monotonía de una relación cuando
ésta es un preorden. Quizá un estudio con más profundidad de este hecho permi
ta construir ejemplos de relaciones no monótonas que permitan modelizar distin
tos tipos de conocimiento que se caracterizan precisamente por su no monotonía.
157
Conclusiones y problemas abiertos
PARTE II
Capítulo 4
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Conclusiones y problemas abiertos
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Capítulo 5
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6O5>C@96E D >E5> 5@L6 9> 5UC67MDEB
HJI
APÉNDICE
Apéndice
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1. NORMAS TRIANGULARES
Definición 1.1.
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5>E L76L@>9D9>E8
^ $E6A@D5@X@9D98 FT yx FT yy Fz z z T yT yx Fy z Fz z
^ -6CM45D5@X@9D98 FT yx Fy z T yy Fx z
^ '6C656C<D8 E@ > >C56CA>E Fx x y y T yx Fy z T yx Fy z
^ -6C9@A@6C>E 9> A6C567C68 Q BT yx FH z x T yx Fm z m
+D 9>C6M@CDA@PC 9> C67MDE 57@DC=4:D7>E L76X@>C> 9> wB '>C=>7 lhInF Q E> DO7>X@DC
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^ La t-norma Z. 2> 9>;@C> A6M6F
^ La t-norma Min. !>;@C@9D A6M6 >: M<C@M6 9> 96E C[M>76EF
^ La t-norma Producto. !>;@C@9D A6M6 >: L7694A56 9> 96E C[M>76EF
Min yx Fy z x F E@ x yy F E@ x�yB
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Apéndice
^ La t-norma de Lukasiewicz. !>;@C@9D A6M6F
yx Fy z x yB
#67 :DE L76L@>9D9>E 9> A6C567C6 Q 9> M6C656C<D >E ;VA@: 9> X>7 R4> E> X>7@;@ADF
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M6E 5UC67MDE A6C5@C4DEB
Definición 1.2.
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T yx Fx zÇxB
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9@DCDEF
Teorema 1.3.
/CD 5UC67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ Q EP:6 E@ D9M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC 9> :D ;67MDT
96C9> >E 4CD ;4CA@PC A6C5@C4DF >E57@A5DM>C5> 9>A7>A@>C5> Q 5D: R4>
T yx Fy z h y Hz yh yx z h yy z z
h 8 lm FHn
B +D ;4CA@PC >E :D LE>496@CX>7ED 9> F 9D9D L678h yHz m h y Hz 8 lm FHn h
162
Apéndice
$ :D ;4CA@PC E> :> 9>C6M@CD =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UC67MD Q >E [C@AD ED:X6 :Dh T
M4:5@L:@ADA@PC L67 4CD A6CE5DC5> L6E@5@XDB +D 5UC67MD C6 >E D7R4@M>9@DCDF L>76Min
:DE 5UC67MDE E@ :6 E6CB >E5V =>C>7D9D L67 Q L67FW h yx z :C x W hW yx z H x B
Definición 1.4.
/CD 5UC67MD >E >E57@A5D E@ >E A6C5@C4D Q >E57@A5DM>C5> A7>A@>C5> >C AD9D XD7@DO:>T
>C Bym FHng
+D 5UC67MD >E >E57@A5D L>76 C6 :6 >EB #D7D :DE 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE E> X>7@;@ADW
R4> E6C >E57@A5DE E@ Q EP:6 E@ E4 =>C>7D967 D9@5@X6 X>7@;@AD Bf ymz
Definición 1.5.
/CD 5UC67MD >E L6E@5@XD E@ LD7D 5696T T yx Fy z�m x Fy ym FHn B
+DE [C@ADE 5UC67MDE A6C5@C4DE L6E@5@XDE E6C Q :DE >E57@A5DEBMin
+D @ML675DCA@D 9> :DE 5UC67MDE R4> N>M6E L4>E56 L67 >Z>ML:6 R4>9DMin F FW
7>;:>ZD9D >C :6E E@=4@>C5>E 7>E4:5D96EB
Definición 1.6.
!6E 5UC67MDE E6C @E6M67;DE E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD O@Q>AA@PCT FT 8 lm FHn
5D: R4> LD7D 5696 E> X>7@;@AD R4>lm FHn x Fy lm FHn
Hqh
Apéndice
yT yx Fy z z T y yx z F yy z zB
Teorema 1.7.
+DE [C@ADE 5UC67MDE A6C5@C4DE E6C8
^ :D 5UC67MD FMin
^ :DE D7R4@M>9@DCDE >E57@A5DE R4> E6C @E6M67;DE D :D 5UC67MD L7694A56 F
^ :DE D7R4@M>9@DCDE C6 >E57@A5DEF @E6M67;DE D :D 5UC67MD 9> +4YDE@>j@A?F QW
^ :DE 5UC67MDE R4> E6C E4MD 679@CD: 9> 5UC67MDE D7R4@M>9@DCDE Q :D 5UC67MD BMin
$ :D X@E5D 9> >E5> 7>E4:5D96F :DE 5UC67MDE A6C5@C4DE E> 7>94A>C D >E549@D7 :DE 5UC67MDE
Q +DE 5UC67MDE 9>: DLD75D96 i 9>: 5>67>MD E6C 5UC67MDE A6C5@C4DE 9D9DEMin F F W B
L67 e576?6Ef 96C9> E> A6ML675DC A6M6 >: M<C@M6 6 A6M6 D:=4CD 5UC67MD D7R4@M>9@DU
CDB #D7D MVE 9>5D::>E L4>9> A6CE4:5D7E> lJinB
2. PREÓRDENES E INDISTINGUIBILIDADES
Definición 2.1.
!D9D 4CD 5UC67MD F E> 9>;@C> :D LE>496@CX>7ED A6M6T I T
I T yy ux z sup}z lm FHn 8T yx Fz z y~ B
+DE LE>496@CX>7EDE 9> :DE 5UC67MDE E6C8Min F FW
164
Apéndice
^ IMin yy uxz H si x yy >B6BAB F
^
^ I W yy uxz Min yH FH x yzB
-4DC96 :D LE>496@CX>7ED E> 9>;@C> D LD75@7 9> 4CD 5UC67MD A6C5@C4D L67 :D @?U
R4@>79D >C E4 E>=4C9D A6ML6C>C5>F L7>E>C5D M4ANDE L76L@>9D9>E @C5>7>EDC5>EF D:=4CD
9> :DE A4D:>E E6C8
1. T yx F IT yy ux z z y
2. E@ Q EP:6 E@ y@CA:4Q> 7>;:>K@X@9D9zIT yy ux z H x y
3. y57DCE@5@X@9D9zT y IT yy ux z F IT yz uy z z IT yz ux z
4. yL76L@>9D9 9> @C5>7ADMO@6zIT y IT yz uy z Fx z IT y IT yz ux z Fyz
5. >E M6CP56CD >C >: E>=4C96 D7=4M>C56 y zIT IT y ux z
6. >E DC5@M6CP56CD >C >: L7@M>7 D7=4M>C56 y zIT IT yy u z
7. yL7@CA@L@6 9> C>457D:@9D9zIT yy uH z y
+D LE>496@CX>7ED 9> 4CD 5UC67MD >E 4C UL7>679>CB 2> 9>C6M@CD UL7>679>CT T T
>:>M>C5D: =>C>7D96 L67 4C E4OA6CZ4C56 O6776E6 D|
I T| yy ux z sup}z lm FHn 8T y|x Fz z |y~B
HqJ
Apéndice
2> X>7@;@AD >: E@=4@>C5> 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC lsqF Imn8
Teorema 2.2.
/CD 7>:DA@PC O6776ED >E 4C UL7>679>C E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD ;DM@:@DR 8X lm FHn T
9> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 5D: R4>8F |
R yy ux z inf| FI T| yy ux zB
-6M6 E> ND X@E56 >C :D M>M67@DF y5>67>MD HBHBrF LV=@CD gsz >: A6CZ4C56 9>
>E5D96E :P=@A6E 9> >E >: MDQ67 A6CZ4C56 A6C >: R4> E> X>7@;@AD >: 5>67>MD 9> 7>L7>UR
E>C5DA@PCB
Definición 2.3.
/CD 7>:DA@PC O6776ED E> 9@A> R4> >E 4CD U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6E 8X lm FHn T
E@
^ >E 4C UL7>679>CFE T
^ >E E@MS57@ADF BE E yx Fy z E yy Fx z
$: @=4D: R4> LD7D :6E UL7>P79>C>EF :DE @C9@E5@C=4@O@:@9D9>E D9M@5>C >: E@=4@>C5> 5>67>UT
MD 9> 7>L7>E>C5DA@PCB
Teorema 2.4.
/CD 7>:DA@PC O6776ED >E 4C U@C9@E5@C=4@O@:@9D9 E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CDE 8X lm FHn T
;DM@:@D 9> 9> E4OA6CZ4C56E O6776E6E 5D: R4>8F |
Hqq
Apéndice
3. CONORMAS TRIANGULARES
E yy ux z inf| FMin y I T| yy ux z F I
T| yx uy z z B
Definición 3.1.
/CD A6C67MD 57@DC=4:D7 >E 4CD 6L>7DA@PC R4> X>7@;@AD :DET T 8 lm FHng lm FHn
E@=4@>C5>E L76L@>9D9>E8
^ DE6A@D5@X@9D98 FT yx FT yy Fz z z T yT yx Fy z Fz z
^ A6CM45D5@X@9D98 FT yx Fy z T yy Fx z
^ M6C656C<D8 2@ > >C56CA>E Fx x y y T yx Fy z T yx Fy z
^ A6C9@A@6C>E 9> A6C567C68 Q BT yx Fm z x T yx FH z H
+DE A6C67MDE 57@DC=4:D7>E E> E4>:>C DO7>X@D7 L67 5UA6C67MDE Q E6C 4C A6CA>L56 94D: D:
9> 5UC67MDE >C >: E>C5@96 9>: E@=4@>C5> 5>67>MD8
Teorema 3.2.
>E 4CD 5UA6C67MD E@ Q EP:6 E@ F 9>;@C@9D L67T T
>E 4CD 5UC67MDB
T yx Fy z H T yH x FH y z
$E< LD7D AD9D 5UC67MD 5>C>M6E DE6A@D9D 4CD 5UA6C67MDF L67 >Z>ML:6 :DE 5UA6C67MDE
DE6A@D9DE D :DE 5UC67MDE E6C8Z FMin F FW
^ La t-conorma Z^*. 2> 9>;@C> A6M6F
Hqr
Apéndice
^ La t-conorma Max. Min yx Fy z Max yx Fy z F
^ La t-conorma Suma probabilística. yx Fy z x y x y F
^ La t-conorma de Lukasiewicz. W yx Fy z Min yH Fx y zB
#67 :DE L76L@>9D9>E 9> A6C567C6 Q 9> M6C656C<D >E ;VA@: 9> X>7 R4> E> X>7@;@ADF
LD7D A4D:R4@>7 5UA6C67MD FT
/CD 5UA6C67MD >E A6C5@C4D E@ :6 >E E4 5UC67MD DE6A@D9DB
Max T Z
Definición 3.3.
^ /CD 5UA6C67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ E4 5UC67MD DE6A@D9D :6 >EB !> :D M@EMDS
;67MD 4CD 5UA6C67MD E> 9@A> >E57@A5D E@ >E >E57@A5D E4 5UC67MD DE6A@D9DB
^ /CD 5UA6C67MD >E L6E@5@XD E@ E4 5UC67MD 94D: DE6A@D9D :6 >EBS
+6E 5>67>MDE 9> 7>L7>E>C5DA@PC LD7D 5UC67MDE E> X>7@;@ADC 5DMO@SC LD7D 5UA6C67MDEF
Teorema 3.4.
/CD 5UA6C67MD >E D7R4@M>9@DCD E@ Q EP:6 E@ D9M@5> 4CD 7>L7>E>C5DA@PC 9> :DT
;67MD
Hqs
Apéndice
96C9> >E 4CD ;4CA@PC A6C5@C4DF >E57@A5DM>C5> A7>A@>C5> Q 5D: R4>
T yx Fy z g y Hz yg yx z g yy z z F
g 8 lm FHn
F Q >E :D LE>496@CX>7ED 9> Bg ymz m g y Hz 8 lm FHn g
$ :D ;4CA@PC E> :> 9>C6M@CD =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D 5UA6C67MD F Q >E [C@ADg T
ED:X6 :D M4:5@L:@ADA@PC L67 4CD A6CE5DC5> L6E@5@XDB /CD 5UA6C67MD D7R4@M>9@DCD >E
>E57@A5D E@ Q EP:6 E@ E4 =>C>7D967 D9@5@X6 X>7@;@AD R4> B "C56CA>E :D LE>496Ug yHz
@CX>7ED A6@CA@9> A6C :D @CX>7ED 9> F B -6M6 >E :P=@A6 L67 94D:@9D9F :D 5Ug g y Hz g H
A6C67MD >E A6C5@C4D Q C6 D7R4@M>9@DCDF Q :DE 5UA6C67MDE E6C D7R4@M>UMax FW
9@DCDE E@>C96 :D L7@M>7D >E57@A5DB +DE 5UC67MDE Q :DE >E57@A5DE E6C L6E@5@XDEBMax
$: @=4D: R4> E4A>9<D A6C :DE 5UC67MDEF :DE 5UA6C67MDE F E6C >EL>UMax F FW
A@D:M>C5> @ML675DC5>E L67 7>L7>E>C5D7 D 569DE :DE 5UA6C67MDE A6C5@C4DEB
Definición 3.5.
!6E 5UA6C67MDE E6C @E6M67;DE E@ Q EP:6 E@ :6 E6C E4E 5UC67MDE DE6A@D9DEBTH FTg
Teorema 3.6.
^ &69D 5UA6C67MD D7R4@M>9@DCD >E57@A5D >E @E6M67;D D :D 5UA6C67MD E4MD L76ODO@U
:<E5@AD F
^ 569D 5UA6C67MD D7R4@M>9@DCD C6 >E57@A5D >E @E6M67;D D :D 5UA6C67MD 9> +4YDE@>U
j@A?F FW
^ 569D 5UA6C67MD A6C5@C4D >E E4MD 679@CD: lJin 9> 5UA6C67MDE D7R4@M>9@DCDE Q :D
5UA6C67MD BMax
4. TERNAS DE DE MORGAN
+D 7>:DA@PC 94D: >C57> 5UC67MDE Q 5UA6C67MDE E> >E5DO:>A> M>9@DC5> :D ;4CA@PC
F >E56 E> L4>9> =>C>7D:@?D7 M>9@DC5> :DE ;4CA@6C>E 9> C>=DA@PCBN yx z H x
169
Apéndice
Definición 4.1.
/CD C>=DA@PC ;4>75> >E 4CD O@Q>AA@PC 9>A7>A@>C5>F A6C5@C4D >N 8 lm FHn lm FHn
@9>ML65>C5>B
"C lqmn L4>9> X>7E> >: E@=4@>C5> 5>67>MD 9> 7>L7>E>C5DA@PC LD7D :DE ;4CA@6C>E 9> C>=DU
A@PC ;4>75>EB
Teorema 4.2.
/CD ;4CA@PC >E 4CD C>=DA@PC ;4>75> E@ Q EP:6 E@ >K@E5> 4CD ;4CUN 8 lm FHn lm FHn
A@PC 9> >C A7>A@>C5>F A6C Q A4ML:@SC96E>8t lm FHn lm F n t ymz m
LD7D 5696 B
N yx z t H yt yHz t yx z zB
x lm FHn
+D ;4CA@PC E> 9>C6M@CD =>C>7D967 D9@5@X6 9> :D C>=DA@PC Q >E [C@A6 ED:X6 4Ct N
;DA567 M4:5@L:@AD5@X6 L6E@5@X6B
Definición 4.3.
/CD 5>7CD 9> !> '67=DC >E 4CD 5>7CD 96C9> >E 4CD 5UC67MDF >EyT FT FN z T T
4CD 5UA6C67MD Q >E 4CD ;4CA@PC 9> C>=DA@PC ;4>75>F X>7@;@ADC96N
T yx Fy z N yT yN yx z FN yy z z B
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