Download - Continuidad y límites teoría
Función no convergente
• Cuando existe algún punto donde la función no converge:
• Función:
01
01)(
xx
xxxf
LL
xxfL
xxfL
xx
xx
1)1(lim)(lim
1)1(lim)(lim
00
00
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN(EN UN PUNTO)
• LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA
• LÍMITE LATERAL
POR LA IZQUIERDA
• LÍMITE
2)(lim0
kxfLxx
kxfLLxx
)(lim0
1)(lim0
kxfLxx
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
• Si f(x) es una función habitual dada por su expresión analítica , y f(x) es continua en su dominio y c pertenece al dominio , entonces para hallar:
• Calcularemos sencillamente: f(c)
)(lim xfcx
EJEMPLOS DE CÁLCULODE LÍMITES EN UN PUNTO
59494lim)
3
10
3
10
52
2·5)5
5(lim)
93)(lim)
1
2
22
3
xc
x
xb
xa
x
x
x
f(x)=x2 es polinómica y por lo tanto continua en R, por lo tanto como x=3
está en el dominio,sustituimos en la función.
La función es continua en todos los reales menos en x=5, pero en x=2 no hay discontinuidad, por lo tanto sustituimos directamente en la función.
La función es continua para valores mayores o iguales que -9/4, por lo tanto el x=-1 entra dentro de su dominio. Sustituimos en la función.
CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
cxxf
cxxfxf
)(
)()(
2
1
C es el “punto de ruptura”
a es cualquier otro punto del dominio
• Cálculo del límite en el punto de ruptura x=c
Calculamos límites laterales
• Cálculo del límite en otro punto del dominio x=a (a≠c)
)()(lim)(lim 11 cfxfxfcxcx
)()(lim)(lim 22 cfxfxfcxcx
)()(lim)(lim 22 afxfxf
casi
axax
)()(lim)(lim 11 afxfxf
casi
axax
COCIENTE DE DOS POLINOMIOS
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xPcx
EL DENOMINADORNO SE ANULA
EN x=cEl denominador se
anula en x=c, pero noel numerador
Se anulan tanto Numerador como
DenominadorEn x=c
)(
)(lim
xQ
xPcx
Estudiar límites laterales
0
0
INDETERMINACIÓN
Descomponer plonimomios, simplificar y recalcular
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
• Deben cumplirse:– Existe el valor de la
función en el punto
– Existen los límites laterales en dicho punto
– Todos los valores calculados coinciden
)(cf
Lxfcx
)(lim
f(c)=L
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
• DISCONTINUIDAD EVITABLE EN UN PUNTO
cxxf
)(lim
No coincide con el valor de f(c) ó
No existe el valor de f(c)
Pero…
Discontinuidades evitables
12
1)(
xx
xxxf
1
-1
•Existen los límites laterales•Tienen el mismo valor
•F(x) no está definida para x=1
TIPOS DE DISCONTINUDADES II
• DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DE SALTO FINITO
LOS LÍMITES LATERALES EN EL PUNTO EXISTEN
PERO NO TOMAN EL MISMO VALOR
TIPOS DE DISCONTINUDADES III
• DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DE SALTO INFINITO
ALGUNO DE LOS LÍMITES LATERALES EN EL PUNTODIVERGEN AL+∞ Ó - ∞
kxfx
)(limASÍNTOTA HORIZONTAL
KY
3
Y=3 Y= -2
Cuando para valores muy grandes de x la función se mantiene cerca de un valor fijo.
Cálculo de límites cuando x ∞
•Funciones polinómicas: será + ∞ ó - ∞ dependiendo del coeficiente del término de mayor grado.
•Funciones inversas de polinómicas: será cero
33
33
2lim532lim
2lim532lim
xxx
xxx
xx
xx
02
1lim
532
1lim
02
1lim
532
1lim
33
33
xxx
xxx
xx
xx
Cálculo de límites cuando x ∞•Funciones racionales:
•Grado del numerador menor que el denominador, será cero
•Grados iguales será el cocientes de los términos de mayor grado
•Grado del numerador mayor que el denominador, será +∞ ó -∞ dependiendo del coeficiente de mayor grado del numerador
02
1lim
4
2lim
4
532lim
25
3
25
3
xx
x
xx
xxxxx
2
1
4
2lim
4
532lim
3
3
23
3
x
x
xx
xxxx
2
lim4
2lim
4
532lim
3
2
5
22
5 x
x
x
xx
xxxxx
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓNUna asíntota es una recta hacia la cual
se dirige la gráfica de una función .
VERTICALES HORIZONTALES
OBLICUAS