Rev. Tecno Lógicas No. 27, ISSN 0123-7799, Diciembre de 2011, pp. 89-102
Configuración de Vórtices en Películas Finas: Teoría
Ginzburg-Landau No Lineal
José José Barba-Ortega1
Miryam Rincón-Joya2
Resumen
En este trabajo investigamos teóricamente el estado de Shub-
nikov en una película superconductora con sección transversal
cuadrada con un defecto inserido en su centro. La muestra está
inmersa en un campo magnético uniforme y homogéneo aplicado
perpendicularmente a su plano. Asumimos que el defecto interno
está lleno de un material metálico. La presencia de dicho material
se simula mediante las condiciones de contorno de de Gennes, vía
la longitud de extrapolación, parámetro b>0. Utilizando la teoría
Ginzburg-Landau dependiente del tiempo con el método de varia-
bles de unión, estudiamos el número de vórtices, supercorrientes,
curvas de magnetización y energía libre en función del campo
magnético aplicado. Espontáneamente una interacción de un par
vórtice-antivórtice (V-AV) dentro de la muestra puede aparecer.
Esta interacción puede ocurrir dentro o fuera del defecto metálico.
Podemos apreciar que la aniquilación del par VAV ocurre cada vez
más cerca del defecto a medida que b→0 (materiales más metáli-
cos).
Palabras clave
Parámetro de de Gennes, Ginzburg-Landau, mesoscópico, va-
riables de enlace.
1 Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Universidad Nacional de Co-
lombia, Bogotá-Colombia, [email protected]
2 Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Universidad Nacional de Co-
lombia, Bogotá-Colombia, [email protected]
Fecha de recepción: 25 de febrero de 2011
Fecha de aceptación: 25 de agosto de 2011
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Revista Tecno Lógicas
Abstract
In this work, we investigated theoretically the Shubnikov state
in a superconducting film with square cross section with a defect
inserted in the center. The sample is immersed in a uniform and
homogeneous magnetic field applied perpendicular to its plane. We
assume that the internal defect is filled with a metallic material.
The presence of such material is simulated by the boundary
conditions of de Gennes, via the extrapolation length, parameter
b> 0. Using the time-dependent Ginzburg-Landau theory with the
Link variable method, we analyze the vortex number,
supercurrents, magnetization curves and free energy as function of
the applied magnetic field. Spontaneously a vortex-anti-vortex pair
(V-AV) interaction into the sample can appears. This interaction
can occur inside or outside the metal defect. We see that the VAV
pair annihilation occurs closer the defect when b→0 (more metallic
material).
Keywords
De Gennes parameter, Ginzburg-Landau, mesoscopic, link
variable.
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1. INTRODUCCIÓN
El comportamiento de un material superconductor en contacto
con un material metálico es uno de los aspectos de la física de la
superconductividad que más ha sido estudiado en los últimos años.
Un superconductor puede ser utilizado en la creación de altos
campos magnéticos y en generadores, los cuales serían embobina-
dos con superconductores, y estos podrían, a su vez, generar la
misma cantidad de electricidad con un menor gasto energético.
Las aplicaciones actuales de superconductores de altas temperatu-
ra incluyen artefactos magnéticos que protegen sistemas médicos
de imagen, SQUIDS, sensores de infrarrojo, aceleradores de partí-
culas, transporte de vehículos de levitación etc. El campo de la
electrónica ofrece una magnífica gama de aplicaciones de los su-
perconductores. La aplicación de superconductores en medios de
transporte se ha desarrollado usando helio líquido como un refri-
gerante. Otra aplicación puede verse en medicina, la imagen de
resonancia magnética (MRI) juega un papel importante en la
medicina de diagnóstico. Los campos magnéticos intensos que se
necesitan para estos instrumentos son una aplicación perfecta de
superconductores. Es sabido que cuando un superconductor está
en contacto con un metal, los efectos de proximidad pueden inducir
dominios locales donde la nucleación de la superconductividad es
favorecida (Lange et al., 2003; Gillijns et al., 2005). El interés
entre superconductividad, magnetismo y materiales metálicos se
ha extendido al estudio de nanoestructuras superconductor-
ferromagneto, superconductor-superconductor a mayor temperatu-
ra critica.
Estudios previos han mostrado que los parámetros críticos su-
perconductores como corriente crítica, campo crítico, temperatura
crítica pueden ser modificados fuertemente construyendo estas
nanoestructuras (Moshchalkov et al., 1995; 1999; Souza et al.,
2006). En trabajos recientes, estudiamos la dinámica de vórtices
en muestras en contacto con diferentes tipos de materiales usando
la teoría Ginzburg-Landau dependiente del tiempo (Cabral et al.,
2010; Barba et al., 2010a; 2010b; 2011) y encontramos que para
una interface superconductor-metal el sistema presenta una res-
puesta completamente diamagnética en la curva de magnetiza-
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Revista Tecno Lógicas
ción, mientras que para interfaces superconductor-superconductor
su efecto es totalmente paramagnético, el cual se debe a la captura
de flujo magnético dentro de la muestra debido a la barrera de
energía superficial. Por otra parte la existencia de potenciales de
ancoraje representa otra característica importante en la dinámica
de vórtices en el superconductor. Dependiendo de los potenciales
de ancoraje, estos sistemas cuánticos presentan diferentes estruc-
turas de vórtices los cuales pueden modificar los parámetros críti-
cos. Es también de gran interés el estudio del proceso de aniquila-
ción de un par vórtice-antivórtice.
En los últimos años ha habido varios estudios acerca de la con-
figuración vórtice-antivórtice en superconductores mesoscópicos
(Chibotaru et al., 2000; Misko et al., 2003; Berdiyorov et al., 2006;
Geurts et al., 2006). Por ejemplo, Sardella (2009) encontró que los
vórtices y antivórtices coexisten en equilibrio en configuraciones
moleculares. La contribución principal de este trabajo es explorar
la configuración de vórtices en un prisma superconductor con
sección transversal cuadrada con un defecto en su centro. El defec-
to está hecho de un material metálico y la muestra está inmersa
en un campo magnético paralelo al eje del prisma. Analizamos la
nucleación de vórtices y antivórtices incrementando el campo
magnético desde cero hasta que el primer par de vórtices sea crea-
do. El campo entonces decrece hasta alcanzar valores negativos, y
luego es de nuevo incrementado para cerrar el ciclo de histéresis.
En este proceso el vórtice viaja acercándose al centro de la mues-
tra, es luego, atrapado por el defecto metálico, y es aniquilado por
el antivórtice creado al invertir la polaridad del campo. Calcula-
mos la magnetización, topología del parámetro de orden y la posi-
ción y la velocidad de la singularidad vórtice-antivórtice como
función del tiempo.
2. ECUACIONES GINZBURG-LANDAU DEPENDIENTES DEL TIEMPO
Las ecuaciones Ginzburg-Landau dependientes del tiempo
(TDGL) (Thinkham 1996; Bolech et al., 2000) las cuales describen
el estado superconductor mediante el parámetro de orden Ψ y el
potencial vectorial A en el calibre de campo cero están dadas por:
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( ) ( )(| | )
(1)
( ) [ ( ) ]
(2)
Las ecuaciones (1) y (2) fueron re escaladas de la siguiente
forma: el parámetro de orden Ψ en unidades de Ψ∞(0)=(α/β)1/2,
donde α y β son dos parámetros fenomenológicos propios del mate-
rial. Temperaturas en unidades de la temperatura critica Tc, lon-
gitudes en unidades de la longitud de coherencia ξ(0) que identifi-
ca la caída media de los electrones superconductores dentro del
material, tiempo en unidades de t0=πħ/96KBTc, A en unidades de
Hc2(0)Tc(0), donde Hc2(0) es el segundo campo termodinámico,
campo en el cual el material pasa del estado superconductor al
estado normal. La energía libre de Gibbs en unidades de
G0=(αTc)2/β. Las ecuaciones son complementadas por las condicio-
nes de frontera apropiadas para el parámetro de orden. La condi-
ción de contorno general para un superconductor, encontrada por
de Gennes, está dada por (3):
[
]
(3)
donde n es el vector unitario, perpendicular a la superficie del
superconductor, b es la longitud de extrapolación de de Gennes.
Para todas las simulaciones, usamos b>0, cual describe una inter-
face superconductor-metal.
La discretización de las TDGL fue realizada detalladamente
por Groop (1996). Usamos el método UΨ para resolver las ecua-
ciones en una malla discreta, n es el vector unitario perpendicular
a la superficie del superconductor, b es la longitud de extrapola-
ción de de Gennes. Para las simulaciones, usamos b>0, cual des-
cribe una interface superconductor-metal y b=∞ que describe una
interface superconductor-vacío.
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3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En nuestra simulación usamos el método de Euler con un es-
paciamiento de red ax=ay=0,3 para resolver las ecuaciones en su
parte temporal, en una red rectangular de tamaño dy=dx=30ξ(0)
con una temperatura fija T=0, κ=25. El tiempo de relajación fue
mantenido fijo en β=1, el parámetro Ginzburg-Landau en
κeff=κ2⁄(d2⁄ξ(0))=25, correspondiendo, por instancia a una película
delgada de Nb con espesor d≈73 nm, asumiendo ξ(0)=40 nm y
κ=2,125. La Fig. 1. Muestra la densidad de electrones supercon-
ductores mediante el modulo del parámetro de orden superconduc-
tor y su fase para una muestra cuadrada de tamaño 30ξ(0)x30ξ(0)
a una temperatura T=0, hacia un campo magnético aplicado
He=0,21 y He=0,55.
Fig. 1. Densidad de electrones superconductores (izquierda) y fase del parámetro de
orden (derecha) para una muestra cuadrada de tamaño 30ξ(0)x30ξ(0) con un
defecto de 12ξ(0)x12ξ(0) en una temperatura T=0, hacia un campo magnético
aplicado He=0,21 (arriba),y He=0,55 (abajo) siguiendo la secuencia superior a
inferior. La fase varía desde –π(oscuro) hasta π (claro). Fuente: Autores
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La fase del parámetro de orden superconductor varía desde –π
hasta π, así, circulaciones iguales a 2π través de cualquier trayec-
toria cerrada identifican la presencia de un vórtice en la muestra,
así ΔΦ=2πL, donde L indica la vorticidad. En la Fig. 1 (superior),
vemos la configuración de vórtices para L=4 en una muestra cua-
drada libre de defectos, la variación de fase a través de la muestra
es igual a ΔΦ=8π. En la parte inferior de la Fig. 1 la muestra
posee dos defectos aislantes, ocho vórtices se acomodan en los
defectos, cuatro en cada uno, aunque no son visibles en el diseño
de la magnitud del parámetro de orden, existe un cambio de fase
igual a ΔΦ= 8π alrededor de cada defecto.
La entrada de los vórtices ocurre a través de los puntos más
cercanos en la superficie externa de los huecos. En la Fig. 2 obser-
vamos el modulo del parámetro de orden y su fase para una mues-
tra cuadrada con un defecto metálico en su interior caracterizado
por (a) b= 0,1 (b) b=1,0 (c) b=10 (d) 1/b=0.
Fig. 2. Densidad de electrones superconductores (izquierda) y su fase del parámetro
de orden (derecha) para una muestra cuadrada de tamaño 24ξ(0)x24ξ(0) en una
temperatura T=0, Ha=0.21,con un defecto metálico en su interior caracterizado por
(a) b= 0,1 (b) b=1,0 (c) b=10 (d) 1/b=0. Fuente: Autores
Vemos en la Fig. 2a L=9 vórtices en la muestra, estando todos
ellos dentro del defecto, la variación de fase a través de una tra-
yectoria que encierre el defecto es ΔΦ=18π. No obtenemos ninguna
información de la vorticidad observando el parámetro de orden en
la Fig. 2 (izquierda). La Fig. 2b muestra L=7 vórtices, estando
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todos ellos ubicados igualmente en el defecto. Las Fig. 2c y 2d, L=6
y L=3 se ubican en el defecto respectivamente y uno de ellos en la
parte superconductora. Los vórtices en el defecto metálico repelen
los vórtices en la región superconductora, esta repulsión es mayor
en cuanto mayor sea el carácter metálico del defecto, a su vez para
valores menores de b para un campo magnético constante.
En la Fig. 3 mostramos la inducción magnética y la densidad
de electrones superconductores en un estado estacionario para el
caso de un disco de radio R=6ξ(0) rodeado de un aislante en un
campo magnético He=1,6Hc2(0). En esta interface superconductor
vacío o aislante, vemos que la superconductividad es suavemente
suprimida en una región cerca a la superficie debido a las corrien-
tes de apantallamiento. La inducción magnética tiene su valor
máximo en la superficie de la muestra. La Fig. 4 muestra el ciclo
de histéresis para un campo magnético entre +0,3Hc2(0) y -
0,3Hc2(0), para varios valores de b. Saltos en la curva de magneti-
zación indican los valores de Ha donde los vórtices o los antivórti-
ces entran en la muestra. El campo magnético es incrementado
desde cero hasta un valor en el cual los primeros dos vórtices en-
tran en la muestra, entonces el campo decrece hasta el valor
opuesto en el cual dos antivórtices penetran en la muestra.
Fig. 3. Inducción magnética (derecha) y densidad de electrones superconductores
(izquierda) en un disco con vorticidad 14 y radio 6ξ(0) rodeado de un material
aislante. Regiones claras señalizan estado superconductor y oscuras estado normal
en derecha y valores máximos y mínimos de la inducción magnética en izquierda.
Fuente: Autores
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Los campos magnéticos He/Hc2(0)=0,047; 0,023; 0,005 y
He/Hc2(0)=-0,055; -0,025; -0,0088 para b= 3.0,1.0 para campos
crecientes y decrecientes en el ciclo de histéresis correspondientes
a la salida de un vórtice y entrada de un antivórtice respectiva-
mente, inmediatamente después que un vórtice o antivórtice per-
manece en el defecto. Los puntos (a) y (b) corresponden a la entra-
da de un antivórtice y de un vórtice respectivamente, el cual per-
manecerá atrapado en el defecto metálico. El par vórtice antivórti-
ce se aniquilará dentro o fuera del defecto. Podemos ver que el
primer campo crítico termodinámico decrece cuando b decrece.
Este resultado es consistente con el hecho que la superconductivi-
dad y la barrera superficial de los bordes del defecto son suprimi-
dos o disminuidos facilitando la entrada del campo magnético en el
defecto.
Fig. 4. Curva de magnetización como función del campo magnético externo para
tres diferentes defectos metálicos caracterizados por el parámetro, las flechas
indican la dirección del ciclo de histéresis. Fuente: Autores
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En la Fig. 5. observamos la posición del par vórtice-antivórtice
como función del tiempo. Puede notarse que, decreciendo el valor
de b el punto de encuentro vórtice antivórtice se localiza más cerca
al defecto, en otras palabras, cuando el defecto se vuelve más
metálico el ancoraje del mismo se vuelve más eficiente por lo tanto
la colisión acontece cada vez más cerca de él. Observando el com-
portamiento de la curva posición en función del tiempo, podemos
ver que la velocidad del antivórtice, en promedio, tiende a decrecer
cuando decrece b. Por otra parte la velocidad promedio del vórtice
dejando el defecto crece muy rápidamente. Para el caso de b=0,05
(no mostrado en la figura) no observamos la colisión vórtice anti-
vórtice porque los dos vórtices escapan del defecto antes que el
campo magnético sea reversado. La Fig. 6 representa la topología
del parámetro de orden en el momento en que la colisión acontece.
Fig. 5. Posición del par vórtice-antivórtice como función del tiempo para tres dife-
rentes valores de b. El vórtice escapa del defecto mientras el anti vórtice entra en la
muestra. Fuente: Autores
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Fig. 6. Valor absoluto del parámetro de orden o densidad de electrones supercon-
ductores, la letra V identifica la posición del vórtice saliendo del defecto, AV la
posición del antivórtice entrando a la muestra. Fuente: Autores
Sivakov (2003), dedujo que la velocidad de un vórtice es del or-
den de 103 m/s, usando esta referencia, en nuestro caso, el tiempo
en el cual el anti vórtice es visible es Δt=0,5517t0, la distancia que
viaja es Δy=2,875ξ(0), tomando Tc=3,72 K y ξ(0)=230nm, los pará-
metros relevantes para el Sn, la velocidad promedio del antivórtice
es υAV=1,5x105 m/s. Por otra parte en la entrada del vórtice al
defecto, encontramos que Δt=0,2135t0, Δy=1,625ξ(0), con lo cual
obtenemos υV=2,2x105 m/s, se ha visto experimentalmente que
estas grandes velocidades en un proceso de aniquilación vórtice
antivórtice son similares a aquellas desarrolladas durante los
primeros estadios de avalancha de vórtices reportados por Priour
(2003), reportando velocidades mayores a υ=1,8x105 m/s en pelícu-
las de YBCO. Para la entrada del vórtice en el defecto encontra-
mos una velocidad significativamente mayor que para la red de
vórtices de Abrikosov Δt=17,279t0, Δy=4,125ξ(0), lo cual conduce a
υAB=6,8x103 m/s, puede esto atribuirse a la atracción adicional
ejercida por el defecto.
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4. CONCLUSIONES
Investigamos teóricamente la distribución espacial de los vór-
tices en una muestra superconductora cuadrada con dos defectos o
huecos llenos de un material aislante. La presencia de los huecos
afecta la distribución de vórtices, los vórtices que no se localizan
en ellos están ubicados principalmente en la región superconduc-
tora opuesta a los mismos. Cuando estudiamos la muestra con un
defecto metálico asimétrico vemos que el número de vórtices in-
crementa al aumentar el carácter metálico el hueco. Un defecto
metálico cuadrado centrado en la muestra afecta fuertemente la
velocidad del par vórtice antivórtice. Al aumentar el carácter me-
tálico del mismo la colisión vórtice antivórtice ocurre más cerca de
él y la velocidad del antivórtice tiende a crecer fuertemente.
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