Unidad de Aprendizaje IILímites y Derivación
Bloque Temático VI Concepto Límite y NotaciónLímites lateralesExistencia del Límite
Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez
Apertura: Evaluación DiagnósticaEsta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque temático.
APERTURA: Evaluación DiagnósticaSi , hallar:Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: 5 Trace la gráfica de la función, donde se observen las intersecciones de x, es decir cuando
Competencia Específica
Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
Introducción
Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la compresión de qué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos.
Idea intuitiva del límiteSea la función definida por la ecuación para toda Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2
X f(x)1.25
1.5
1.75
1.9
1.99
1.999
1.9999
X f(x)2.75
2.5
2.25
2.1
2.01
2.001
2.0001
Idea intuitiva del límiteDe la gráfica puede observarse que, aunque la función no esta definida para, cuando x toma valores muy cercano a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:
Definición 1 Escriba
Que se expresa como: “el límite de cuando tiende , es igual a ”
Si podemos acercar arbitrariamente los valores de a (tanto como desee) escogiendo una lo bastante cerca de , pero no igual a
Definición 2 Definición informal
Si puede hacerse arbitrariamente próximo al número al tomar suficientemente cerca de, pero diferente de un número , por la izquierda y por la derecha de , entonces el límite de cuando tiende a a es .
Notación El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha representa la palabra tiende, entonces el simbolismo
Indica que x tiende al número a por la izquierda
Significa que x tiende a a por la derecha
Límites Laterales
Límites por dos ladosSi tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y tienen un valor común.
Entonces:
Existencia o no existenciaLa existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a, no depende de si f está definida en a, sino sólo de si está definida para x cerca del número a.
Por ejemplo:
Se observa aunque
Límite no existeEn general, el límite por los lados no existe cuando:Caso 1:Si alguno de los dos límites laterales o no existe.Caso 2:Si y , pero
ActividadDeterminar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función g, que se da a continuación:
ActividadLa gráfica de la función definida por partes
1.9 1.99 1.999
2.1 2.01 2.001
ActividadLa gráfica de la función definida por partes
4.9 4.99 4.999
5.1 5.01 5.001
ActividadUna forma indeterminada
Se concluye:
ActividadUn límite trigonométrico importante
Se concluye:
‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
0.1 0.01 0.001
ActividadUn límite por la derecha
Se concluye:
‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
0.1 0.01 0.001
ActividadLímite trigonométrico
Se concluye:
‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
0.1 0.01 0.001