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APLICACIONES DE LA DERIVADA
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
1
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA
C O N CA V I DA D
Y P U N T O
D E I N F L E X I Ó N
CALCULO DIFERENCIAL I
Lic. Javier An !ni! C"#ra Ma$ani
Pri$er Cic%! Secci&n '(INTEGRANTES)
DÁVALOS VILCA, JULIOECHACCAYA INCACUTIPA, FERNANDOFLORES SAAVEDRA, PAULAHERNANI TICONA, ANDRÉMIO MEDINA, STHEFANYVELÁSQUEZ QUINTANA, ROSARIO
TACNA*PER+
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APLICACIONES DE LA DERIVADA
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Índ !"1# PRESENTACIÓN$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
'# O>SERVACIÓN$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$##$$$$#?
(# EJERCICIOSDESARROLLADOS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#$$$$1;
6# EJERCICIOSPROPUESTOS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$#1?
I>LIO@RAFÍA$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$##$1
1# PRESENTACIÓN
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
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INTRODUCCIÓN
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3 3 n203#
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
4 C5NCAVA 6ACIA A7AJO)
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c4 PUNTOS DE INFLE8I5N)
6
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
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n4"5 +n#
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
(# EJERCICIOS
DESARROLLADOSD"2"-= n)- B03 n2"- )B03 "n d0nd" B) 7 n! +n "3 !+n!) ) )! ))-- .), !+n!) ) )! ) ).)/0 B03 n203 d" n4"5 +n#
>.(.
SOLUCIÓN
1;
ƒ ( x)= 3 x4 − 10 x3− 12 x2 +10 x+9
ƒ ( x)= 3 x4 − 10 x3− 12 x2 +10 x+9
¿> ' ( x)= 12 x3 − 30 x2 − 24 x+10¿>f ' ' ( x)= 36 x2− 60 x− 24
P)-) x>2, f ' ' ( x)>0= ¿ f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ¿2, +∞ >¿
P)-)− 1
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12 (3 x2 − 12 x− 2 )= 03 x2 − 12 x− 2 = 0
36 x2− 60 x− 24 = 0)-) d"2"- = n)- B03 n203 d" n4"5 +n' ' ( x)= 0
&−3
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>.?
SOLUCIÓN
11
ƒ ( x)= x3 − 2 x2 + x+1
ƒ ( x)= x3 − 2 x2 + x+1¿> ' ( x)= 3 x2− 4 x+1
¿>f ' ( x)= (3 x− 1 ) ( x− 1 ))-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03f ' ( x)= 0
x=13 , x= 1
(3 x− 1 ) ( x− 1 )= 0
13
1
¿>f '' ( x)= 2 (3 x− 2 )¿>f '' ( x)= 6 x− 4
)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' ' ( x)= 02 (3 x− 2 )= 0
n20 d" n4"5 +nd" d0nd" x= 23
P)-) x<23 , f
' '
( x)¿P)-) x>
23
, f ' ' ( x)¿
x f ' ' ( x) C!nc%#=i!ne=
⟨− ∞,−13⟩
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⟨− 1
3, 2⟩
; C+n!) ) )! ) ).)/0
⟨2, +∞ ⟩ ; C+n!) ) )! ) )-- .)
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>.@
SOLUCIÓN
1&
ƒ ( x)= x5 − 5 x3
ƒ ( x)= x5 − 5 x3
¿>ƒ ' ( x)= 5 x2 ( x2− 3)¿>ƒ ' ( x)= 5 x4− 15 x2
f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03
x= 0 , x= ± √ 3 5 x2 ( x2− 3 )= 0
− √ 3
¿>ƒ ' ' ( x)= 10 x(2 x2− 3 )¿>ƒ ' ' ( x
)=
20 x
3
−30
x
+√ 30
f ' ' ( x)= 0 )-) d"2"-= n)- B03 n203 d" n4"5 +n
x= 0 , x= ±√ 62
10 x(2 x2− 3 )= 0n203 d" n4"5 +nd" d0nd"
0− √ 62
+√ 62
P)-) x<− √ 6
2
, f '' ( x)0= ¿f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ⟨√ 62
,+∞⟩
x f ' ' ( x) C!nc%#=i!ne=
⟨− ∞,23⟩ ; C+n!) ) )! ) ).)/0
⟨23
,+∞⟩ ; C+n!) ) )! ) )-- .)
-
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
>.
SOLUCIÓN
1%
ƒ ( x)= 6 x2− x49
ƒ ( x)= 6 x2− x4
9¿>f ' ( x)= 12 x− 4 x
3
9
f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !0312 x− 4 x3
9 = 0
4 x (3 − x2 )= 0
+√ 3− √ 3 x= 0 , x= ± √ 3
¿>f ' ' ( x)= 12 − 2 x2
9
0
)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' ' ( x)= 012 − 2 x2 = 0
n203 d" n4"5 +nd" d0nd" x= ± 1
+1− 1
P)-) − 1 < x0 = ¿f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ⟨− 1,1 ⟩
P)-) x
-
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>.>
SOLUCIÓN
1'
ƒ ( x)= x x2 +1
ƒ ( x)= x
x2
+1¿>f ' ( x)= 1− x
2
( x2+1 )2f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03
1− x2
( x2 +1 )2= 0
x= ± 1
¿>f ' ' ( x)=(2 x) [ ( x2− 3 ) ]
( x2+1 )31− 1
)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' '
( x)= 0(2 x) [ ( x2 − 3 )]
3 = 0
n203 d" n4"5 +n x= 0, x= ± √ 3d" d0nd"
0 √ 3− √ 3
P)-) x
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>.B
SOLUCIÓN
1(
ƒ ( x)= 5√ x2− 1
ƒ ( x)= 5√ x2− 1
¿>f ' ( x)= 2 x5
5√ ( x2 − 1 )4f ' ( x)= 0 )-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03
2 x
5 5√ ( x2− 1 )4= 0
0 1− 1
¿>f '' ( x)= − 2 (3 x2 +5 )
25 ( 5√ ( x2− 1 )9)
x= 0 y x= ± 1 "3 n n20 d" d 3!0n2 n d)d
− 2 (3 x2 +5 )25 ( 5√ ( x2− 1 )9)
= 0
)-) )BB)- B03 n203 d" n4"5 +nf ' ' ( x)= 0
n203 d" n4"5 +nd" d0nd" x= ± 1
+1− 1
P)-) − 1 < x0 = ¿f ( x) "3 !+n!) ) )! ) )-- .) "n ⟨− 1,1 ⟩
P)-) x
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>.
SOLUCIÓN
16
f ( x)=( x4 − x )e− x
f ( x)=( x4 − x )e− x¿>f ' ( x)= ( x− 2 )
2 e− x
(4− x)2
( x− 2 )2 e− x
(4 − x)2 = 0
)-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03¿>f ' ( x)= 0
& ' x= 2 x= 4
'&1;d" d0nd" (0,0 ),(1,
13 e ),(2,
1
x2) 30n B03 n203 d" x= 0 x=− 1 x= 2( x− 2 )( x− 1) x e− x
(4 − x)3 = 0
¿>f ' ' ( x)= 0
¿>f ' ' ( x)= ( x− 2 )( x− 1 ) x e− x
(4 − x)3
S x
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>.
SOLUCIÓN
1<
f ( x)= 4 (4 − x2 )
2 2
f ( x)= 4 (4 − x2
)2 2
x= ± 2 √ 3 , x= 0
− 8 x( x2− 12 )2 3
= 0
)-) )BB)- B03 )B0-"3 !- 2 !03¿>f ' ( x)= 0
¿>f ' ( x)= − 8 x( x2− 12 )
2 3
¿>f ' ( x)= − 8 x2 ( x2 +4 )2− 16 x(4 − x2 )( x2 +4 )
2 4
;+2 √ 3− 2 √ 3
¿>f ' ' ( x)= (24 x2− 96 ) ( x2+4 )3− 3 (8 x3− 96 x) ( x2 +4 )2 (2 x)
2 6
¿>f ' ' ( x)= − 24 ( x4− 24 x2 +16 )
2 4
)-) d"2"-= n)- B03 n203 d" n4"5 +n¿>f ' ' ( x)= 0
x= 2 √ 2 − 2, x= 2 √ 2 +2 x=− 2 √ 2− 2, x= 2 − 2 √ 2− 24 ( x4− 24 x2 +16 )
2 4 = 0
2 √ 2+22 √ 2 − 22− 2 √ 2− 2 √ 2−
x f ' ' ( x) C!nc%#=i!ne=
⟨− ∞ ,− 2 √ 2− 2 ⟩ ¿0 C+n!) ) )! )).)/0
⟨− 2 √ 2− 2,2 − 2 √ 2⟩ ¿0 C+n!) ) )! ))-- .)
⟨2− 2 √ 2 , 2 √ 2 − 2⟩ ¿0 C+n!) ) )! )
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⟨2 √ 2 +2, +∞⟩ ¿0 C+n!) ) )! )).)/0
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6# EJERCICIOS PROPUESTOSD"2"-= n)- B03 n2"- )B03 "n d0nd" B) 7 n! +n "3 !+n!) ) )! ))-- .), !+n!) ) )! ) ).)/0 B03 n203 d" n4"5 +n#
B.(
B.?
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B.
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B.B.
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1?
f ( x)= x3− 3 x2
f ( x)= 6 x2− x4
f ( x)= ( x+1 )ln 2 ( x+1 )
f ( x)= ( x+1 )3 ( x− 1 )2
f ( x)= x2− 4 x
2
f ( x)= x3
e4− 2 x2
f ( x)= 3√ x2− x
f ( x)= x− tan − 1 x
f ( x)= ( x2 +3 )
√ x2 +1f ( x)= 2 x4− 4 x3
f ( x)= sin x+cos x
f ( x)= x+423√ x− 4
f ( x)= ln e+ 1 x
f ( x)= 2tan−1 x +1 tan −1 x
− 2
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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
I>LIO@RAFÍA
ESPINOZA RAMOS, E# 9&;; * Análisis Matemático I. Ed 20-)Ed P"- E#I#R#L# L =)#
22 WW #d)=)30-0/)3#!0=# "WCRITSE@DER# d7 T"=) C- 2"- 0d" B) 3" nd) d"- )d)# 22 WWd0!"n! )# d")#"d #!0W n "n "- )W!)B! B0W d7W' < 1# d7
T"=) C0n!) d)d n203 d" n4"5 +n d" n) 7 n! +n# 22 WW #d 37- 2)B)3=)2"=)2 !)3#!0=W -) !03W -) !0
7 n! 0n"3# [7 n!2 0n3 @-) !)d0- d" 7 n! 0n"3#
1
http://www.damasorojas.com.ve/CRITSEGDER.pdfhttp://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdfhttp://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdfhttp://www.damasorojas.com.ve/CRITSEGDER.pdf
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D ) 03 2 )3
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