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Composicion de Funciones
FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Ejercicios de Repaso II
Ma del Carmen Torres Alonso
IES Laguna de Tollon
7 de marzo de 2011
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
Ejercicio
Dadas las siguientes funciones efectua (g ◦ j), (j ◦ g), (f ◦ h) y (j ◦ h),calculando en cada caso el dominio de la funcion resultante:
(a) f(x) =1
x2 − 4(b) g(x) = x
2 − 6
(c) h(x) =x− 1
x+ 1(d) j(x) = x− 4
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x)
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x))
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4)
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10
Puesto que (g ◦ j)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el
conjunto de numeros reales.
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Composicion de Funciones
(g ◦ j)(x)
Tenemos que:
(g ◦ j)(x) = g(j(x)) = g(x− 4) = (x− 4)2 − 6 = x2 − 8x+ 10
Puesto que (g ◦ j)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el
conjunto de numeros reales.
Dom (g ◦ j) = R
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x)
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x))
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(
x2 − 6
)
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(
x2 − 6
)
= (x2 − 6)− 4
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(
x2 − 6
)
= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(
x2 − 6
)
= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10
Puesto que (j ◦ g)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el
conjunto de numeros reales.
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Composicion de Funciones
(j ◦ g)(x)
Tenemos que:
(j ◦ g)(x) = j(g(x)) = j(
x2 − 6
)
= (x2 − 6)− 4 = x2 − 10
Puesto que (j ◦ g)(x) es una funcion polinomica, su dominio sera todo el
conjunto de numeros reales.
Dom (j ◦ g) = R
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x))
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x2 − 8x+ 12 = 0
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =
8±√64− 48
2=
8± 4
2
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =
8±√64− 48
2=
8± 4
2⇒
{
x = 2
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =
8±√64− 48
2=
8± 4
2⇒
{
x = 2
x = 6
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(f ◦ j)(x)
Tenemos que:
(f ◦ j)(x) = f(j(x)) = f (x− 4) =1
(x− 4)2 − 4=
1
x2 − 8x+ 12
Puesto que (f ◦ j)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x2 − 8x+ 12 = 0 ⇒ x =
8±√64− 48
2=
8± 4
2⇒
{
x = 2
x = 6
Luego:
Dom (f ◦ j) = R− {2, 6}
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x))
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1=
−3x− 5
x+ 1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1=
−3x− 5
x+ 1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1=
−3x− 5
x+ 1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x+ 1 = 0
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1=
−3x− 5
x+ 1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x+ 1 = 0 ⇒ x = −1
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
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Composicion de Funciones
(j ◦ h)(x)
Tenemos que:
(j ◦ h)(x) = j(h(x)) = j
(
x− 1
x+ 1
)
=x− 1
x+ 1− 4 =
x− 1− 4x− 4
x+ 1=
−3x− 5
x+ 1
Puesto que (j ◦ h)(x) es una funcion racional, su dominio sera todo el conjunto
de numeros reales salvo los que anulen el denominador.
x+ 1 = 0 ⇒ x = −1
Luego:
Dom (j ◦ h) = R− {1}
Ma del Carmen Torres Alonso FUNCION REAL DE VARIABLE REAL