![Page 1: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/1.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
Complemento ortogonal. Proyección ortogonal
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
7 de setiembre de 2010
![Page 2: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/2.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉
S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
![Page 3: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/3.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquiera
llamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
![Page 4: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/4.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
![Page 5: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/5.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
definición
complemento ortogonal
definición (complemento ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉S ⊂ V subconjunto cualquierallamamos complemento ortogonal de S al conjunto
S⊥ = {v ∈ V : v⊥s ∀s ∈ S}
![Page 6: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/6.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usual
S = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
![Page 7: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/7.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
![Page 8: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/8.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}
![Page 9: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/9.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}
![Page 10: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/10.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}
![Page 11: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/11.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}
![Page 12: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/12.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}
![Page 13: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/13.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1
V = R3 con producto interno usualS = {(1,1,1)}
S⊥ = {(x , y , z) : (x , y , z)⊥(1,1,1)}= {(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,1,1)〉 = 0}= {(x , y , z) : x + y + z = 0}= {(x , y ,−x − y) : x , y ∈ R}= {x(1,0,−1) + y(0,1,−1) : x , y ∈ R}
S⊥ = [(1,0,−1), (0,1,−1)]
![Page 14: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/14.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dt
S = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
![Page 15: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/15.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
![Page 16: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/16.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}
![Page 17: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/17.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2
V = C0[0,1] con el producto 〈f ,g〉 =∫ 1
0 f (t)g(t) dtS = {1} donde 1(t) ≡ 1 para todo t
S⊥ = {g : 〈1,g〉 = 0}= {g :
∫ 10 g(t) dt = 0}
![Page 18: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/18.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
![Page 19: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/19.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera
⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
![Page 20: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/20.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
complemento ortogonal es subespacio
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subconjunto cualquiera⇒ S⊥ subespacio vectorial de V
![Page 21: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/21.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥
⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 22: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/22.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅
√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 23: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/23.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 24: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/24.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 25: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/25.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 26: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/26.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =
![Page 27: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/27.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =
![Page 28: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/28.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =α.0 + β.0 = 0
![Page 29: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/29.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
complemento ortogonal es subespacio
demostración
~0 ∈ S⊥ ⇒ S⊥ 6= ∅√
tomamos v ,w ∈ S⊥
queremos ver que αv + βw ∈ S⊥
ahora, para cada s ∈ S
〈αv + βw , s〉 =α〈v , s〉+ β〈w , s〉 =α.0 + β.0 = 0
![Page 30: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/30.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
![Page 31: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/31.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorial
B = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
![Page 32: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/32.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de S
entonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
![Page 33: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/33.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V subespacio vectorialB = {s1, . . . , sk} base de Sentonces
v ∈ S⊥ ⇔ v⊥si ∀i = 1, . . . , k
![Page 34: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/34.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio
√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 35: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/35.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 36: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/36.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k
⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 37: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/37.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 38: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/38.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 39: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/39.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 =
〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 40: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/40.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉
= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 41: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/41.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉
= 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 42: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/42.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 43: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/43.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 44: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/44.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
⇒) obvio√
⇐) supongamos que v⊥si para todo i = 1, . . . , k⇒ para todo s ∈ S tenemos:
s = α1s1 + · · ·+ αk sk
〈v , s〉 = 〈v , α1s1 + . . . αk sk 〉= α1〈v , s1〉+ · · ·+ αk 〈v , sk 〉 = 0
⇒ v ∈ S⊥
![Page 45: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/45.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usual
S = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
![Page 46: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/46.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)
B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
![Page 47: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/47.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
![Page 48: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/48.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}
![Page 49: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/49.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}
![Page 50: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/50.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}
![Page 51: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/51.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
ejemplo
ejemplo
ejemplo
V = R3 con el producto usualS = {(x , y , z) : x + y + z = 0} (subespacio)B = {(1,0,−1), (0,1,−1)} base de S
S⊥={(x , y , z) : 〈(x , y , z), (1,0,−1)〉 = 〈(x , y , z), (0,1,−1)〉 = 0}={(x , y , z) : x − z = 0 y y − z = 0}={(z, z, z) : z ∈ R}
S⊥=[(1,1,1)]
![Page 52: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/52.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto interno
S ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥
![Page 53: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/53.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita
⇒ V = S ⊕ S⊥
![Page 54: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/54.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
proposición
proposiciónV e.v. con producto internoS ⊂ V s.e.v. de dimensión finita⇒ V = S ⊕ S⊥
![Page 55: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/55.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥
2 S ∩ S⊥ = {~0}empezamos por
1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 56: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/56.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥2 S ∩ S⊥ = {~0}
empezamos por1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 57: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/57.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
Vamos a probar:1 V = S + S⊥2 S ∩ S⊥ = {~0}
empezamos por1 V = S + S⊥:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 58: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/58.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 59: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/59.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:
vS =∑k
i=1〈v , si〉si ∈ Sveamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 60: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/60.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 61: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/61.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 62: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/62.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥
porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS
↑ ↑∈ S ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 63: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/63.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥
porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 64: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/64.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
queremos probar que v − vS ∈ S⊥
porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
y eso probaría que V = S + S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 65: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/65.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
porque entonces tenemos que:
v = vS + v − vS↑ ↑∈ S ∈ S⊥
y eso probaría que V = S + S⊥
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 66: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/66.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 67: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/67.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)
= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 68: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/68.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 (〈si , sj〉 = δij)
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 69: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/69.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
agarremos un vector v ∈ V cualquiera,{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:
supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 70: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/70.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 71: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/71.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ S
también para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 72: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/72.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v
⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 73: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/73.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v
⇒ v = ~0
![Page 74: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/74.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 75: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/75.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
demostración
empezamos por1 V = S + S⊥:
{s1, . . . , sk} base ortonormal de S, y definamos:vS =
∑ki=1〈v , si〉si ∈ S
veamos entonces que v − vS⊥S:
〈v − vS, sj〉 =⟨
v −∑k
i=1〈v , si〉, sj
⟩(def. vS)
= 〈v , sj〉 −∑k
i=1〈v , si〉〈si , sj〉 (linealidad)= 〈v , sj〉 − 〈v , sj〉 = 0
2 S ∩ S⊥ = {~0}:supongamos v ∈ S ∩ S⊥
⇒ v⊥s para todo s ∈ Stambién para s = v⇒ v⊥v⇒ v = ~0
![Page 76: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/76.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto interno
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
![Page 77: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/77.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
![Page 78: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/78.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S
(ejercicio)
![Page 79: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/79.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proposición
observación
observaciónV e.v. con producto internoS s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (S⊥)⊥ = S(ejercicio)
![Page 80: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/80.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.
S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 81: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/81.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 82: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/82.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)
proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 83: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/83.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :
PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 84: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/84.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 85: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/85.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 86: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/86.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞
B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 87: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/87.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S
⇒ PS(v) =∑k
i=1〈v , si〉si
![Page 88: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/88.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
proyección ortogonal
proyección ortogonal
V e.v. con producto interno.S s.e.v. tal que V = S ⊕ S⊥
⇒ (∃!) v = vS + v⊥ ∀v ∈ V
definición (proyección ortogonal)proyección ortogonal de v :PS(v) := vS
dim V <∞B = {s1, . . . , sk} base de S⇒ PS(v) =
∑ki=1〈v , si〉si
![Page 89: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/89.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B
2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
![Page 90: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/90.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
![Page 91: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/91.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
observaciones
observación
1 PS(v) no depende de la base B2 V = S ⊕ S⊥
⇒ v = PS(v) + PS⊥(v)
![Page 92: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/92.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto interno
S s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
![Page 93: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/93.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita
⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
![Page 94: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/94.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
![Page 95: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/95.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
teorema
teoremaV e.v. con producto internoS s.e.v. de dimensión finita⇒ ∀s ∈ S
‖v − PS(v)‖ ≤ ‖v − s‖
![Page 96: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/96.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉
= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S
![Page 97: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/97.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉
= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S
![Page 98: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/98.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉
= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S
![Page 99: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/99.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S
![Page 100: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/100.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S
![Page 101: Complemento ortogonal. Proyección ortogonaljana/gal22010/clase11.pdfcomplemento ortogonal propiedades proyección ortogonal definición complemento ortogonal definición (complemento](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022061613/6097826ed7cd5255931cc9a1/html5/thumbnails/101.jpg)
complemento ortogonal propiedades proyección ortogonal
teorema
demostración
‖v − s‖2 = 〈v − s, v − s〉= 〈PS(v) + PS⊥(v)− s,PS(v) + PS⊥(v)− s〉= 〈PS(v)− s,PS(v)− s〉+ 2<〈PS(v)− s,PS⊥(v)〉++ 〈PS⊥(v),PS⊥(v)〉= ‖PS(v)− s‖2 + ‖PS⊥(v)‖2
⇒ se alcanza el mínimo en s = PS(v) ∈ S