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Análisis de Datos en Psicología II Tema 6
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Comparaciones múltiples entre medias Tema 6
1. Comparaciones múltiples 2. Comparaciones planeadas o a priori:
2.1 F planeadas 2.2 Comparaciones de tendencia
3. Comparaciones no planeadas o a
posteriori:
3.1 Prueba de Tukey
3.2. Prueba de Scheffé
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1. Comparaciones múltiples Combinación lineal de medias con coeficientes que suman cero. Para J medias:
∑=
=
+++=J
jjj
JJ
c
cccL
1
2211
µ
µµµ L
Ejemplo: Si desean compararse dos medias µ1 y µ2, en caso de que sean iguales:
µ1 = µ2
Esto puede escribirse también del modo:
L = µ1 - µ2 = 0
Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.
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Ejemplo: Tres medias: 1) Una posibilidad es comparar µ1 y µ2, tomadas juntas, con µ3. Es decir:
321
2µ
µµ=
+
Lo cual puede escribirse: L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 = 0
Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0. 2) Otra posibilidad es comparar
231
2µµµ +
= Es decir: L2 = -µ1 + 2µ2 - µ3 = 0 Coeficientes: -1, 2 y -1 3) Otra comparación es: µ1 = µ3 Luego: L3 = µ1 - µ3 = 0 Coeficientes: 1, 0 y -1
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Asignación de coeficientes a las medias
1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre sí.
2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al número de medias del otro grupo. 3) Cambiar el signo de los coeficiente de uno de los grupos. Ejemplo: Cinco medias: µ1, µ2, µ3, µ4 y µ5. Desea compararse µ1 y µ2 con µ3, µ4 y µ5. 1) Grupo 1: µ1 y µ2. Grupo 2: µ3, µ4 y µ5 2) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: 2µ3, 2µ4, 2µ5 3) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: -2µ3, -2µ4, -2µ5 Es decir: L = 3µ1 + 3µ2 -2µ3 -2µ4 -2µ5 = 0
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Comparaciones ortogonales Aquellas que no contienen información redundante. La información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por otra. Con J medias es posible realizar J-1 comparaciones ortogonales. Regla práctica: Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficientes es cero.
JJ
JJ
cccLcccL
µµµµµµ
22221212
12121111
+++=+++=
L
L
Son ortogonales si: 01
21 =∑=
J
jjj cc
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Ejemplo:
Comparación Coeficientes L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 1, 1, -2 L2 = µ1 - µ2 1, -1, 0 L3 = µ1 - µ3 1, 0, -1 L1 y L2 son ortogonales:
(1*1) + (1*-1)+(-2*0) = 0 L1 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(-2*-1) = 3 L2 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(0*-1) = 1
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2. Comparaciones planeadas o a priori Se realizan de forma independiente al ANOVA. No es necesario realizar también este. 2.1 Pruebas F planeadas Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales: L1, L2, ..., Lh Para una comparación Li, por ejemplo con tres medias: 1. Hipótesis H0: Li = c1µ1 + c2µ2 - c3µ3 = 0 H1: Li ≠ 0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad Independencia Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste Valor estimado de la comparación (utilizando las medias muestrales):
JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ
Suma de cuadrados de la comparación:
∑=
=J
j j
j
ii
ncL
LSC
1
2
2ˆ)ˆ(
Para J-1 comparaciones ortogonales:
)ˆ()ˆ( ii LSCLMC = Media de cuadrados error (la misma del ANOVA): MCE
Estadístico de contraste: MCELMCF i
i)ˆ(
=
Distribución: glei FF ,1~
4. Zona crítica y decisión: glei FF ,11 α−≥
SCILSCJ
jj =∑
−
=
1
1)ˆ(
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Ejemplo: (continúa). Métodos de enseñanza. El investigador desea contrastar si el método presencial difiere de la enseñanza autodidacta y por internet. También si el método por internet difiere del autodidacta. Los grupos eran: presencial, internet, autodidacta. Luego las comparaciones son:
232
1µµµ +
= 32 µµ =
L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 L2 = µ2 - µ3 = 0
Son ortogonales: (2*0) + (-1*1) + (-1*-1)= 0 1. Hipótesis H0(1): L1 = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 H0(2): L2 = µ2 - µ3 = 0 H1(1): L1 ≠ 0 H1(2): L2 ≠ 0
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2. Supuestos: normalidad, independencia, homocedasticidad
3. Estadístico de contraste
Medias muestrales: 48,61 =Y , 43,42 =Y e 76,33 =Y
Valores estimados de las comparaciones: 77,476,3)1(43,4)1(48,6)2(ˆ
1 =−+−+=L 67,076,3)1(43,4)1(48,6)0(ˆ
2 =−++=L Sumas de cuadrados:
75,22
61
61
62
77,4ˆ)ˆ( 222
2
1
2
21
1 =−
+−
+==
∑=
J
j j
j
ncLLSC
34,1
61
61
60
67,0ˆ)ˆ( 222
2
1
2
22
2 =−
++==
∑=
J
j j
j
ncL
LSC
SCILSCLSC ==+=+ 09,2434,175,22)ˆ()ˆ( 21
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Como gl=1, entonces ( ) ( )ii LSCLMC ˆˆ = Media de cuadrados error: MCE = 2,308 Estadístico de contraste:
86,9308,2
75,22)ˆ( 11 ===
MCELMCF
58,0308,234,1)ˆ( 2
2 ===MCELMCF
Distribución: 15,1,1~ FFF glei = 4. Zona crítica:
54,415,195,0,11 ==≥ − FFF glei α 5. Decisión: Rechazar H0(1) Mantener H0(2)
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2.2 Comparaciones de tendencia La VI debe ser cuantitativa para poder aplicar este contraste. Con J medias pueden contrastarse J-1 tipos de tendencia. Las tendencias más sencillas son:
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
a). Relación
lineal
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
b). Relación cuadrática
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
c). Relación
cúbica
d) Relación de 4º grado
e) Relación de 5º grado
f) Relación de 6º grado
Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G.
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Ejemplo: Se está estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de los sujetos en una prueba de atención. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que se suministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relación con α = 0,01 sabiendo que la SCE es 33,32.
Dosis Rendimientomedio n
5mg 3,58 5 10mg 6,74 5 15mg 6,90 5 20mg 2,90 5
Solución: Cómo J=4 se estudia la tendencia lineal, cuadrática y cúbica
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1. Hipótesis (ver tabla G): H0(l): Ll : -3µ1 -µ2 + µ3 + 3µ4 = 0; H1(l): Ll ≠ 0 H0(c): Lc : µ1 -µ2 - µ3 + µ4 = 0; H1(c): Lc ≠0 H0(b): Lb : -µ1 +3µ2 -3µ3 + µ4 = 0; H1(b): Lb≠0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad, Independencia, Homocedasticidad
3. Estadísticos de contraste:
3.1. Valor estimado de la comparación:
88,19,2)3(9,674,658,3)3( 33ˆ
4321
−=++−−==++−−= YYYYLl
16,79,29,674,658,3
ˆ4321
−=+−−==+−−= YYYYLc
16,19,29,6)3(74,6)3(58,3 33ˆ
4321
−=+−++−==+−+−= YYYYLb
gle = N - J = 20-4 = 16
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3.2. Sumas cuadráticas:
MCE = SCE / gle = 33,32 / 16 = 2,083
884,0
59119
88.1ˆ)ˆ(
2
1
2
2
=+++
−==
∑=
J
j j
j
ll
ncLLSC
082,64
51111
16.7ˆ)ˆ(
2
1
2
2
=+++
−==
∑=
J
j j
j
cc
ncLLSC
336,0
51991
16.1ˆ)ˆ(
2
1
2
2
=+++
−==
∑=
J
j j
j
bb
ncLLSC
3.3 Estadístico de contraste:
Fl = 0,884 / 2,083 = 0,424 Fc = 64,082 / 2,083 = 30,764 Fb = 0,336 / 2,083 = 0,161
4. Zona crítica: 53,8 16,199,0 =≥ FF
5. Decisión: Rechazar H0(c). Luego se concluye que la relación es cuadrática
MCELMCF i
i)ˆ(
=
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3. Comparaciones no planeadas o a posteriori
Se realizan después del ANOVA para descubrir donde están las diferencias entre medias si la F ha resultado significativa.
3.1 Prueba de Tukey
Se comparan todas las medias entre sí, tomándolas por pares.
Ejemplo: Tabla de pares de cuatro medias
2Y 3Y 4Y 1Y || 21 YY − || 31 YY − || 41 YY −
2Y || 32 YY − || 42 YY −
3Y || 43 YY −
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Para cada par de medias:
1) Tomar el punto 1-αqJ, gle de la tabla J. 2) Calcular:
+= −
21,1
112 nn
MCEqDMS gleJTukey α Concluir que las medias poblacionales son distintas si su diferencia es mayor que la DMSTukey
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Ejemplo: Comparar entre sí todos los posibles pares de medias en el ejemplo de la agorafobia.
Tabla de diferencia de medias
1-αqJ, gle = 0,95 q3, 39 = 3,44 (buscando 0,95 q3, 40)
• Comparando el control con el A (H0: µ1 = µ2):
72,1141
121
222,344,3
112 21
,1
=
+=
+= − nn
MCEqDMS gleJTukey α
2,65 > 1,72. Diferencia significativa
2Y 3Y
1Y 2,65 1,71
2Y 0,94
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• Comparando el control con el B (H0: µ1 = µ3):
66,1161
121
222,344,3
112 31
,1
=
+=
+= − nn
MCEqDMS gleJTukey α
1,71 > 1,66. Diferencia significativa • Comparando el A con el B
(H0: µ2 = µ3):
60,1161
141
222,344,3
112 32
,1
=
+=
+= − nn
MCEqDMS gleJTukey α
0,94 < 1,60. Diferencia no significativa
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3.2 Prueba de Scheffé Se realiza una única comparación. Por tanto, a diferencia de Dunnett o Tukey, pueden compararse simultáneamente más de dos medias. Ejemplo: Con tres medias: Hipótesis:
H0: L = c1µ1 + c2µ2 + c3µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:
Estimar: 332211ˆ YcYcYcL ++=
∑=
−−−=J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS
1
2
,11)1( α
Rechazar H0 si SchefféDMSL ≥ |ˆ|
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Ejemplo: Contrastar si la media del grupo control es igual a la del A y B tomados juntos. Hipótesis:
H0: L = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:
36,406,612,577,7)2(2ˆ321 =−−=−−= YYYL
1-αFJ-1, gle = 0,95F2, 39 ≈ 0,95F2, 40 = 3,23
12,3161
141
12422,323,3)2(
)1(1
2
,11
=
++=
−= ∑=
−−
J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS α
4,36 > 3,12. Rechazar H0
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Formulario del tema 6 Comparaciones ortogonales:
01
21 =∑=
J
jjj cc
Pruebas F planeadas y de tendencia:
JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ
∑=
=J
j j
j
ii
ncL
LSC
1
2
2ˆ)ˆ(
MCELMCF i
i)ˆ(
=
glei FF ,1~
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Prueba de Tukey:
+= −
21,1
112 nn
MCEqDMS gleJTukey α
q ≡ Tabla J Prueba de Scheffe:
332211ˆ YcYcYcL ++=
∑=
−−−=J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS
1
2
,11)1( α