COMBINATÒRIA:
VARIACIONS
SI IMPORTA L’ORDRE
NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS
Exemple: quants nombres de 3 xifres diferents es poden formar amb el nombres del conjunt
{ 0, 1, 2, 3, 4 } V5,3 = 5· 4 · 3 = 60 60 - 12= 48
VARIACIONS AMB REPETICIÓ
SI IMPORTA L’ORDRE
APAREIXEN ELEMENTS REPETITS
Exemple: En un concurs de fotografia es presenten tres persones i es reparteixen dos premis.
De quantes maneres es poden lliurar els trofeus si és possible que un mateix autor rebi els dos
premis?
VR 3,2= 3 2 = 9
Persona 1, persona 2, persona 3. Premi 1, premi 2.
!r Premi 2n premi
Andrea Andrea Andrea, Andrea
Laura Andrea, Laura
Sílvia Andrea, Sílvia
Laura Laura Laura, Laura
Andrea Laura, Andrea
Sílvia Laura, Sílvia
Sílvia Sílvia Silvia, Silvia
Andrea Sílvia, Andrea
Laura Sílvia, Laura
PERMUTACIONS
SI IMPORTA L’ORDRE
NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS
TOTS ELS ELEMENTS
Exemple: Com poden seure 10 alumnes en 10 cadires?
P 10= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 720 · 120 · 42 = 3.628.800
Com poden seure 5 alumnes en 5 cadires?
P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
COMBINACIONS ORDINÀRIES
NO IMPORTA L’ORDRE
NO APARAEIXEN ELEMENTS REPETITS
Quants combinats de sucs podem fer amb: taronja, llima, llimona, poma. Si cada combinat té
tres sucs.
V 4,3 4 · 3 · 2
C 4,3 = --------- = ----------------------
P 3 3 · 2 · 1
9.- En un menú podem triar de primer plat: sopa, amanida, macarrons. De segon plat: Carn o
peix. I de postres fruita, iogurt, pastís. Fes l’arbre amb totes les possibilitats.
10.- En un menú podem trobar els següents plats:
1r: sopa, amanida, embotits, espàrrecs.
2n: vedella, llom, truita.
Postres: gelat, iogurt, fruita
Begudes: vi, aigua, cocacola.
APRENEM A COMPTAR
Per celebrar la festivitat de Sant Esteve, la família
Gratacós decideix anar a dinar al restaurant Ca l'avi
Miquel. El menú és el següent:
Quants dinars diferents es poden triar?
Utilitza aquesta part del full per resoldre el problema de la manera que creguis més convenient
. Si no saps per on començar, una bona idea seria escriure tots els possibles dinars...
Un cop hagis resolt el problema a la teva manera, a la part del darrera del full se t'indica una
manera ordenada i útil en molts altres problemes, de comptar totes les possibilitats, sense
deixar-te'n ni una!
Primer plat
Amanida verda
Escudella
Canelons
Faves a la catalana
Segon plat
Vedella amb bolets
Rap a la marinera
Pollastre rostit
Postres
Crema catalana
Postres de músic
RESOLEM EL PROBLEMA D'UNA MANERA ORDENADA!
Omple el quadre següent, i després segueix les indicacions del final per comptar el nombre
total de dinars:
Primer plat Segon plat Tercer plat
Crema C.
Vedella
P. músic
Crema C.
Amanida Rap
P. músic
Crema C.
Pollastre
P. músic
Escudella
Canelons
Faves
NOMBRE DE DINARS:
Primer plat Segon plat Tercer plat
4 possibilitats X 3 possibilitats X 2 possibilitas
TOTAL:
1- A la Maria li ha trucat la seva amiga Alba i han quedat al parc per fer footing. La Maria no sap quina roba posar-se. Mira dins el seu armari i observa que té 3 samarretes (lila, rosa i blava), 3 pantalons curts (texans, ciclista i esport) i 2 parells de bambes (noves i velles). De quantes maneres diferents es podrà vestir?
Dinars diferents
DIAGRAMA EN ARBRE:
Samarretes Pantalons curts Bambes vestit
Velles l t v
texans
noves l t n
lila
ciclista
esport
rosa
blava
FORMES DIFERENTS DE VESTIR-SE:
Samarretes Pantalons curts Bambes
X X
2- Volem formar les síl·labes de dues lletres que comencin amb consonant i acabin en vocal (exemples: bu, ge, ve, la, ...) que es poden fer amb les 20 consonants (b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x, z) i les 5 vocals (a,e,i,o,u). Quantes n'hi ha?
DIAGRAMA EN ARBRE (només el començament!):
Primera lletra (consonant) Segona lletra (vocal) Síl·laba
Hi ha _____ X ____ X ____ = formes diferents de vestir-se
Nombre de síl·labes: ______ X ______ =
3- Disposem de 4 sucs de fruita (pinya, llimona, taroja i poma), 2 licors diferents (anís i rom) i 3 caves diferents (brut, sec i dolç). Quants combinats diferents es poden fer barrejant un suc, un licor i un cava? Indica com es faria el diagrama en arbre (no cal que escriguis el diagrama sencer)
DIAGRAMA EN ARBRE
Suc Licor Cava Combinat
CÀLCUL DEL NOMBRE DE COMBINATS DIFERENTS:
VARIACIONS ORDINÀRIES
A la classe de 4t d'ESO s'ha d'elegir un delegat, un subdelegat i un encarregat de manteniment.
Es presenten cinc candidats; La Maria, en Joan, en Lluis, la Irene i en Carles. La votació es farà
omplint unes paperetes on s'ha d'indicar el nom de l'alumne triat per cada càrrec:
Quantes paperetes diferents es poden fer?
Aquest problema es pot resoldre fàcilment escrivint el diagrama en arbre corresponent. Però
alerta! Un mateix candidat no pot tenir dos càrrecs!
Delegat Subdelegat E. Manteniment Papereta
Maria
Delegat:
Subdelegat
Encarregat de manteniment:
Joan
.
.
.
.
NOMBRE DE PAPERETES DIFERENTS:
Dels 5 elements inicials ( la Maria, en Joan, en Lluis, la Irene i en Carles) n'hem fet grups
ordenats (per exemple, Maria-Joan Lluis no és el mateix que Joan-Maria-Lluis) de 3 elements
(els tres candidats que triem per als càrrecs).
El nombre total de grups s'expressa així:
V53 ((es llegeix: variacions de 5 elements agafats de 3 en 3)
Fixa't en la fórmula:
4- Escriu tots els nombres de 3 xifres diferents que es poden formar amb els dígits 5-6-7-8. Quants n'hi ha?
DIAGRAMA EN ARBRE:
1ª xifra 2ª xifra 3ª xifra Nombre
V53 = 5 · 4 · 3
Variacions ordinàries de m elements agafats de n en n són les diferents llistes
ordenades de n elements diferents i no repetits que es poden fer amb els m elements inicials.
Dues variacions són diferents si:
a) Tenen algun element duferent b) Canvia l'ordre dels elements
El nombre de variacions es calcula:
Vmn = m · (m-1) · (m-2) ....
(fins a tenir n factors)
NOMBRE TOTAL
Completa la fórmula: V =
Prenent com a model el primer paràgraf d'aquesta pàgina, completa:
Dels ___ elements inicials ( ) n'hem fet grups de _____ elements .
El nombre total de grups s'expressa així:
V (es llegeix: variacions de ____ elements agafats de ___ en _____
V =
PERMUTACIONS
a) De quantes maneres diferents es poden asseure 2 persones (p1 i p2 ) en una filera de 4
cadires (c1, c2, c3 i c4)?
DIAGRAMA EN ARBRE
P1 P2 Maneres d'asseure
C2
C3
C1
C4
C2
.
.
.
Càlcul del nombre de maneres:
V = =
b) De quantes maneres es poden asseure 4 persones en una filera de 4 cadires?
DIAGRAMA EN ARBRE: Continua el diagrama
P1 P2 P3 P4 Maneres d'asseure
C3 C4
C2 C4 C3
C3
C1
C4
Nombre total de possibilitats: V = =
Fixa't que aquest és un cas especial de variacions: tenim 4 elements i en fem grups de 4. Això implica que tots els elements entren a cada grup. Per tant, dues varicacions només es diferencien per l'ordre en que estan col·locats els seus elements. Per aquesta raó reben el nom de permutacions (permutar = canviar d'ordre) i es simbolitzen per la lletra P. En aquest cas:
V44 = P4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5- Quantes paraules de 3 lletres diferents, tinguin o no significat, es poden fer amb les lletres de la paraula "POT"? Escriu-les totes
DIAGRAMA EN ARBRE:
1ª lletra 2ª lletra 3ª lletra Paraula
Càlcul del nombre de paraules. Completa:
V = P = · · · =
6- De quantes maneres diferents puc ordenar 3 llibres en un prestatge? I 10 llibres? (no facis el diagrama en arbre d'aquest cas, perquè és molt llarg )
Permutacions de m elements són les diferents llistes de m elements que es
poden fer ordenant-los de totes les formes possibles.
El nombre de permutacions és igual a:
Pm = Vmm = m · (m-1) · (m-2) · · ·1
FACTORIAL D'UN NOMBRE
El resultat del producte m · (m-1) · (m-2) · · ·1 s'anomena factorial del nombre m i
es representa per m!.
També podem escriure: Pm = m!
7- Calcula el valor de:
a) 5! =
b) 7! =
c) 10! =
d) 14! =
e) !4
!6 =
m! = m · (m-1) · (m-2) · · · 1
f) !3!·5
!10 =
VARIACIONS AMB REPETICIÓ
La revista El cor feliç publica cada setmana un horòscop en el qual es fan previsions sobre la
salut , els diners i l'amor , i a cada una d'aquestes àrees li assigna quatre puntuacions:
excel·lent (E), bo (B), regular(R) i malament (M). L'encarregat de la secció ha decidit no repetir
l'horòscop assignat a Capricorn mentre això sigui possible. Durant quantes setmanes podrà
assignar a Capricorn un horòscop diferent?
DIAGRAMA EN ARBRE
Salut Diners Amor Horòscop
E
B
E
R
M
B
E
R
M
.
.
Nombre total d'horòscops diferens: ____ · ______ · ______ =
Fixa't que en aquest cas tenim quatre (E, B, R i M) elements i n'hem fet grups ordenats (ERB no
és el mateix que BER) de tres elements que es poden repetir (per exemple EEE té sentit en
aquest cas). Per aquesta última raó s'anomenen variaciona amb repetició.
El nombre total de grups s'expressa així:
VR43 = 4 · 4 · 4 = 43
8- Quants nombres diferents de dues xifres (amb xifres repetides o sense repetir) es poden formar amb els dígits 1-2-3-4?
DIAGRAMA EN ARBRE
Primera xifra Segona xifra Nombre
Càlcul: VR = ___ · ___ = =
Variacions amb repetició de m elements agafats de n en n són les diferents
llistes ordenades de n elements, repetitts o no, que es poden fer amb els m elements inicials.
Dues variacions són diferents si:
c) Tenen algun element diferent d) Canvia l'ordre dels elements
El nombre de variacions es calcula:
VRmn = m · m · m · · · = mn
(fins a tenir n factors)
9- Tirem una moneda quatre vegades a l'aire i prenem nota, ordenadament dels resultats. Quants n'hi ha diferents?
DIAGRAMA EN ARBRE
1ª tirada 2ª tirada 3ª tirada 4ª tirada Resultat
Nombre de resultats diferents:
COMBINACIONS
a) A la classe de 4t d'ESO s'ha d'elegir un delegat, un subdelegat i un encarregat de
manteniment. Es presenten QUATRE candidats; La Maria, en Joan, en Lluis i la Irene. La votació
es farà omplint unes paperetes on s'ha d'indicar el nom de l'alumne triat per cada càrrec.
Escriu totes les papertes possibles:
DIAGRAMA EN ARBRE
Delegat Subdelegat E. Manteniment Papereta
Lluis M J L
Joan
Irene M J I
Maria
Nombre de paperetes diferents: V = =
b) Imaginem ara que tots els càrrecs fossin iguals (per exemple, es necessiten tres voluntaris
per organitzar la festa de Sant Jordi). Ara, a les paperetes només importa quins són els tres
noms elegits, però no l'ordre en què s'han posat. Quantes paperetes diferents es poden fer en
aquest cas?
Intentem aprofitar el diagrama en arbre anterior. De les 24 possibilitats, hem de treure
aquelles que tenen els mateixos noms (i que només es diferencien per l'ordre). Així, si agafem
M J L, haurem de treure M J L, J M L, J L M, L M J i L J M (és a dir, totes les permutacions
possibles)
Encercla M J L i ratlla totes les altres possibilitats que no s'han de tenir en compte. Continua el
procès i escriu finalment les quatre paperetes diferents que hi ha:
De quatre elements, n'hem fet grups de tres en els quals l'ordre no importa (dues paperetes
amb els mateixos noms ordenats de forma diferent es consideren iguals). Aquestes
agrupacions reben el nom de combinacions de quatre elements agafats de tres en tres:
C43 = 4
Fixa't, però que
41··2··3
2··3··4
P
VC
3
343
4
Aquests resultats es poden generalitzar fàcilment:
Combinacions de m elements agafats de n en n són els diferents grups de n
elements (on l'ordre no importa) que es poden fer amb els m inicials.
Dues combinacions són diferents si tenen algun element diferent, però són iguals si tenen
els mateixos element ordenats de manera diferent.
10- En una reunió de 10 persones, abans de començar es saluden totes entre elles. Quantes encaixades de mans es faran?
11- En una rifa, es reparteixen quatre premis iguals entre sis persones. De quantes maneres diferents es poden repartir?
NOMBRES COMBINATORIS
En matemàtiques es defineix:
Exemple:
102
20
1··2
·4··5
P
VC
2
5
2
252
5
n
nmn
mP
VC
n
m
12- Calcula:
a) 3
30
b) 2
7
c) 3
8
d) 5
6
e) 4
8