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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 1 de 15
Laboratorio #1 Antiderivadas
I.- Halle las siguientes integrales indefinidas.
1) β« (π± π
π + ππ± + π) π π
2) β«(2π₯ + 3) (π₯ β 1) ππ₯
3) β« (2 π€ 1
2 + 3) (3π€ 2 β 2) ππ€
4) β«(3π₯ + 2)2 ππ₯
5) β«(2π¦2 β 1 )2 ππ¦
6) β«(2 π₯ 2+1)(3π₯β 5)ππ₯
π₯ 6
7) β«π₯2β3π₯
12 +10 ππ₯
π₯4
8) β«ππ₯
(3π₯ +2)2 5
9) β« π₯2 (5π₯3 β 20)3 ππ₯
10) β«π‘ ππ‘
βπ‘+2
11) β«4π¦+3 ππ¦
(4π¦+5 )3
12) β« π₯2 β 5π₯ β 23
ππ₯
13) β« πππ β3(5π₯) sen(5π₯) ππ₯
14) β« β5 β π¦ (π¦ + 2)2 ππ¦
15) β« cos(10 β 4π₯) ππ₯
16) β« sec( 5π₯) tan( 5π₯) ππ₯
17) β« π ππ3 (4π₯) cos(4π₯) ππ₯
18β« βcos π₯ + 2 (sin(π₯) cos(π₯)) ππ₯
II.- Calcule.
1) π·π₯ (β«ππ₯
(3+6π₯)34
)
2) β« π·π¦ (3 + βπ¦) ππ
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 2 de 15
Laboratorio #2 Aplicaciones de Antiderivadas
I.-Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) ππ¦
ππ₯=
π₯2+3π₯+2
(π¦+1)2
2) ππ¦
ππ₯=
(3 π₯ +4) 4
(5 π¦β2 )23
3) π¦β²β² = cos 3π₯
4) π¦β²β²β² = π₯2 β 3 cos π₯ + 2π₯ + 3
5) π¦β²β² = 6 π₯ + 5 ; π¦(0) = 1 , π¦ Β΄(0) = β1
II.-
1) En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene π·π₯3(π¦) = 4 π₯2 + 3 π₯ β 2. Si el
punto (0, 1/4) es un punto de inflexiΓ³n en el cual la pendiente de la recta
tangente es 1, halle su ecuaciΓ³n.
2) Halle la ecuaciΓ³n de la curva cuya pendiente de la recta tangente en
cualquier punto estΓ‘ dada por 1 - sen(x), y pasa por el punto (π, β1).
III.-
1) Determine la funciΓ³n de posiciΓ³n de una partΓcula en movimiento que tiene
aceleraciΓ³n dada por a(t), siendo la posiciΓ³n inicial π₯0 = π₯(0) y la velocidad
inicial π£0 = π£(0)
a) π(π‘) =3
βπ‘+4; π£0 = β1, π₯0 = 1
2) Dada la aceleraciΓ³n a = 3 s - 4 y la velocidad v = 5 , cuando s = 3 , formule la
ecuaciΓ³n que incluya a v y s .
3) Una partΓcula se mueve en lΓnea recta sujeta a las condiciones dadas.
Determine s(t) :
a) π(π‘) = 3π‘2 , π£(0) = 20 , π (0) = 5
b) π(π‘) = β980 , π£(0) = β100 , π (0) = 400
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 3 de 15
Laboratorio #3 Integral definida
I.-Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y formulas.
1) β (2π β 3)20π=1
2) β (2π3 β 5π + 3)50π=1
3) β (2π + 1)(3π β 2)10π=1
4) β (π + 1)330π=1
5) β(2π+π2)(2πβπ2)
π
40π=1
II.-Calcule el lΓmite indicado.
1) limπββ
β 15πππ=1
2) limπββ
β (1 +2π
π)
3
(2
π)π
π=1
III.-Halle el Γ‘rea de la regiΓ³n acotada por la grΓ‘fica de las ecuaciones dadas.
1) π¦ = 2π₯, π₯ = 2, π₯ = 5, πππ π₯
2) y = 3 - x , x = -1, eje x
3) π¦ = 2π₯2 + 2π₯, πππ π₯, π₯ = 1, π₯ = 3
4) π¦ = π₯3 β 4π₯2, πππ π₯, π₯ = 5
5) π¦ = |π₯ + 1| + |π₯|, πππ π₯, π₯ = β2, π₯ = 1
IV.-Calcule la integral indicada, utilizando definiciΓ³n.
1) β« (3 β 3π₯)ππ₯3
β3
2) β« (π₯2 β π₯)ππ₯1
β1
3) β« (5 β π₯3)ππ₯0
β2
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 4 de 15
Laboratorio #4 Propiedades de la integral definida
I.- Dado que:
β« π₯3ππ₯3
β1= 20, β« π₯2ππ₯
3
β1=
28
3, β« π₯ππ₯
3
β1= 4, β« π ππ π₯ ππ₯ =
1
2, β« cos π₯ ππ₯ =
β3
2
π/3
0
π/3
0
Calcule:
1) β« (5 β 8π₯)ππ₯3
β1
2) β« (2 + 3π₯)(4 β π₯)ππ₯β1
3
3) β« 2π₯ππ₯1
2β1
β β« 2π₯ππ₯1
23
4) β« πππ π₯ππ₯ + β« πππ π₯ππ₯π
3π
4
π
40
5) β« (π₯2 + 3π₯)ππ₯3
β1
II.-Sin calcular las integrales, pruebe que:
1)β« π₯3ππ₯ β₯ β« π₯2ππ₯2
1
2
1
2)β« βπ₯ππ₯ β₯ β« π₯2ππ₯1
0
1
0
III. Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.
1)β«ππ₯
π₯β1
5
2
2)β«π₯β1
π₯2+1ππ₯
2
0
3)β« π ππ2π₯ππ₯π
3π
4
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PΓ‘gina 5 de 15
Laboratorio # 5 Teorema Fundamental del CΓ‘lculo
I.-Utilice el Teorema Fundamental del CΓ‘lculo para calcular la integral definida dada.
1) β« (π₯3 β 3π₯2 + 18)ππ₯1
β1
2) β« (4π₯ + 1)(3π₯ + 2) ππ₯3
0
3) β« (π₯1
2 + 3)3 ππ₯4
0
4) β«π₯
32β +π₯βπ₯
12β +2
π₯ ππ₯
5
1
5) β« π₯3βπ₯2 + 9 ππ₯β7
0
6) β« π₯β2π₯2 + 1 ππ₯2
0
7) β«π₯3ππ₯
βπ₯2+1
3
0
8) β« |3π₯ β 2|ππ₯3
0
9) β« |π₯ + 1| ππ₯2
β3
10) β« |π₯2 β 9| ππ₯4
0
11) β« πππ 3π₯ ππ₯0
β π
4
12) β« (ππ π2π₯ β 1) ππ₯3π
4βπ
2β
13) β« ππ π2π₯ππ‘π2π₯ ππ₯π
2βπ
6β
14) β« βπππ π π πππ πππ
20
II.- Halle .
1) π
ππ₯(β« βπ‘2 + 1
π₯
1ππ‘)
2) π
ππ₯(β« βπ πππ‘ ππ‘ )
3
π₯
3) π
ππ₯(β« β1 + π‘2ππ‘
π₯
βπ₯)
III.-Halle el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por la grΓ‘fica de las ecuaciones dadas, expresΓ‘ndola mediante una integral definida y calculando esta por Teorema Fundamental del CΓ‘lculo.
1) π¦ = 6 β π₯ β π₯2, πππ π₯ 2) π¦ = |π₯ β 1| + 3; π¦ = 0, π₯ = β2, π₯ = 4 3) π₯3 = 2π¦2; π₯ = 0, π¦ = β2 4) π¦ = β1 β π₯, πππ π₯, π₯ = 3 5) 2π₯ + π¦ β 4 = 0, πππ π₯, π₯ = β3, π₯ = 1
6) π¦ = π ππ2π₯, πππ π₯, π₯ β [0;π
4]
7) π¦ = |π₯| + 3, πππ π₯, π₯ = β1, π₯ = 2
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PΓ‘gina 6 de 15
Laboratorio # 6 Γrea y Volumen
I.-Determine el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por las curvas y rectas dadas.
1) π¦ = π₯, π¦ = β3π₯, π¦ = 6
2) π¦ = π₯2 β 2π₯ β 3, π¦ = βπ₯2 β π₯ + 12
3) π¦ = π₯4 β 4π₯3, π¦ = 0
4) π¦ = π₯3 β π₯, π₯ β π¦ + 4 = 0, π₯ = β1, π₯ = 1
5) π¦ = π ππ 3π₯ , πππ π₯ , π₯ β [βπ
3, 0]
6) π¦ = 2 cos π₯ , π¦ = β cos π₯ , π₯ β [βπ
2,
π
2]
7) π¦2 = π₯ , π₯ β π¦ β 2 = 0
8) π¦2 = 2 β π₯ , π¦ = π₯
II.- Halle el volumen del solido de revoluciΓ³n generado al girar la regiΓ³n limitada por las curvas y
rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el mΓ©todo del βdiscoβ.
1) π¦ = π₯ β 1, π¦ = βπ₯ + 1, π₯ = 0 , alrededor de: i) x=0 ii) x = -2
2) π¦ = 9 β π₯2, πππ π₯ , alrededor de: i) eje x ii)y = -2
3) π¦ = π₯3 + 1, πππ π₯, πππ π¦ alrededor de: i) eje x ii)y = 1
4) π¦ = (π₯ β 2)2, π¦ = 10 β 5π₯ alrededor de: i) eje x ii)y = 10
5) π¦ = β|π₯ β 3|; π₯ = 1, π₯ = 5, π¦ = 0 alrededor de: i) y = 0 ii) y = 3
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PΓ‘gina 7 de 15
Laboratorio #7 Volumen y Longitud de arco
I.- Halle el volumen del solido de revoluciΓ³n ganado al girar la regiΓ³n limitada por la curva
y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el mΓ©todo de la βcortezaβ.
1) 2π₯ β π¦ β 12 = 0, π₯ β 3π¦ β 6 = 0, π₯ = 0; alrededor de: i) x = 0 ii)x = -1
2) π¦2 = 1 β π₯, π₯ = 0; alrededor de: i) x = 0 ii)x = -2
3) π¦ = π₯2(1 β π₯), π¦ = 0; alrededor de: i) x = 0 ii)x = 2
4) π¦3 = π₯, π₯ = 8, π¦ = 0; alrededor de: i) y = -1 ii)y = 4
5) π¦ = π₯(π₯ β 1)(π₯ β 2), πππ π₯; alrededor de: i) x = 2 ii)x = -1
II.- Halle la longitud del arco de curva representada por la ecuaciΓ³n dada, entre los puntos
indicados.
1) 9π¦2 = π₯(π₯ β 3)2 ; π΄ (1,2
3) , π΅ (2,
β2
3)
2) (π¦ + 1)2 = 4(π₯ + 1)3 ; π΄(β1, β1), π΅(0, 1)
3) π¦ = β«1
1+π‘2 ππ‘ , π₯ = π
6
tan (π₯)
2 , π₯ =
π
4
4) π¦ = 5 β βπ₯3 A(1,4) B(4,-3)
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 8 de 15
Laboratorio # 8 FunciΓ³n inversa
I.- Determine si la funciΓ³n dada es uno a uno en su dominio o en el dominio indicado. Si
no lo es, restrinja el dominio para que sΓ lo sea.
1) π(π₯) = 7π₯ + 5
2) π(π₯) = π₯2 β 4π₯ + 5
3) π(π₯) = π₯3 + 1 , π₯ < 0
4) π(π₯) = 2 β β2 β π₯ , π₯ β€ 2
5) π(π₯) =1
π₯+3
6) π(π₯) = π‘π (π₯ βπ
2) , π₯ β (
π
2, π)
7) π(π₯) = π₯3/4
II .-
a) Determine si existe la inversa de la funciΓ³n dada (en su dominio).
b) Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
c) Halle πβ1(π₯), si es posible.
d) Halle el dominio y rango de π y πβ1 .
e) Grafique ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas.
1) π(π₯) = 4 + 2π₯
2) π(π₯) = π₯2 β 2
3) π(π₯) = 8π₯3 β 1
4) π(π₯) = 1 + β1 β π₯
5) π(π₯) =1β3π₯
π₯
6) π(π₯) = βcos (2π₯)
7) π(π₯) = π₯4 + 1
8) π(π₯) = 2x3 + π₯ + 20
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 9 de 15
Laboratorio # 9 FunciΓ³n inversa
I.-
a)Halle el punto en la grΓ‘fica de π, para el valor de x indicado. b)Sin obtener πβ1, halle el punto de la grΓ‘fica de πβ1 correspondiente al punto obtenido en a). c)Halle la ecuaciΓ³n de la recta tangente a la grΓ‘fica de πβ1 en el punto obtenido en b).
1) π(π₯) =1
3π₯3 + π₯ β 7; π₯ = 3
2) π(π₯) =2π₯+1
4π₯β1; π₯ = 0
3) π(π₯) = (π₯5 + 1)3; π₯ = 1
4) π(π₯) = β«ππ₯
(4π‘2β12π‘+9)1
2β
π₯
1 π₯ = 1
4β
5) π(π₯) = 2π₯ + 3(4π₯2 β 1)1
2β π₯ = β2
II.- Halle (πβ1)β²(π)
1) π(π₯) = 2π₯3 + π₯ + 20; π = 2
2) π(π₯) = β« β9 + π‘4π₯
2 ππ‘; π = 0
3) π(π₯) = π₯2 + 6π₯ + 7, π₯ β€ 3; π = 0
4) π(π₯) = β4π₯ + 2 ; π = 2
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 10 de 15
Laboratorio # 10 Funciones trigonomΓ©tricas inversas
I.- Halle π·π₯π¦ , simplifique resultado.
1) π¦ = tan(sinβ1 π₯2)
2) π¦ = 2 cosβ1 π₯ + 2π₯β1 β π₯2
3) π¦ = π₯3 tanβ1(2π₯)
4) π¦ = cotβ1(2π₯) β tanβ1(π₯
π₯+1)
5) π¦ = secβ1 β3π₯ + 1
6) π¦ = secβ1(βπ₯)
7) tanβ1(π¦) = π₯2 + π¦2
II.- Calcule las siguientes integrales.
1) β« (1 β 4π₯2)β 1
2
1
40
ππ₯
2) β«ππ₯
β1β9π₯2
1
60
3) β«π₯+2
β4βπ₯2ππ₯
1
0
4) β«π₯4β15
π₯2+4ππ₯
2
0
5) β«ππ₯
π₯2β4π₯+7
6) β«ππ₯
9+π₯2
3
β3
7) β«ππ₯
π₯+2βπ₯(π₯+4)
8) β« (3π₯2β7)β
12
π₯ ππ₯
9) β«1βπ¦2
1+π¦2 ππ¦
III.-
1) Halle la ecuaciΓ³n de la recta tangente a la grΓ‘fica de y = sinβ1 (π₯
2) en el punto cuya
abscisa es 1.
2) Halle el Γ‘rea de la regiΓ³n acotada por:
a) π¦ =1
π₯2+2π₯+5 , y = 0 , π₯ = 1 , π₯ = 3,
b) y = (24 + 2x β x 2) - Β½ , x = 2 , x = 4
3) Halle el volumen del sΓ³lido generado al girar la regiΓ³n acotada por:
a) π¦ =1
β1+9π₯2 , π¦ =
2
β1+16π₯2 , π₯ = Β±
1
2 alrededor del eje x.
b) π¦ =1
βπ₯2+13 π₯ = 0 , π₯ = 3 , πππ π₯ alrededor de π¦ = β2 .
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 11 de 15
Laboratorio # 11 FunciΓ³n Logaritmo natural
I.- Halle π·π₯π¦, simplifique.
1) y = βln (3π₯ β 1)β2
2) y = ln (4π₯+2
5π₯β8)
3) π¦ = βππβπ₯
4) π¦ = ππ(cos 7π₯)
5) π¦ = ln (π₯π¦)
6) π¦ = ln (π₯π¦2)
II.- Utilice diferenciaciΓ³n logarΓtmica para calcular ππ¦
ππ₯
1) π¦ =(π₯2+4)(π₯2β 16)
π₯3(π₯β3)4 2) π¦ =π₯10βπ₯2+5
β8π₯2+23
III.-
1) Halle la ecuaciΓ³n de la recta tangente a la grΓ‘fica de π¦ = ππ(π₯2 β 3) en el punto
cuya abscisa es 2.
2) Grafique las siguientes funciones.
a) π(π₯) = ln|π₯ + 2|
b) π(π₯) = ππ(4π₯)
c) π(π₯) = 2 β 2 ln(2π₯ β 2)
IV.- Calcule las siguientes integrales.
1)β«ππ₯
2π₯β1
2)β«2π₯2+1
2π₯3+3π₯β1ππ₯
3)β« ππ₯
π πππ₯
4)β«ππ₯
2π₯+1
4
0
5)β«π₯2ππ₯
3β4π₯3
6)β«2π₯ ππ₯
|2π₯β10|
2
β3
7)β« π₯ csc(2 β 5π₯2) ππ₯
8) β«π₯(π₯β2)
(π₯β1)3ππ₯
V.-
1) Halle el Γ‘rea de la regiΓ³n acotada por:
a) π¦ =1
π₯ , π¦ = π₯ , π₯ = 3
b) π¦ = 2π₯β1, πππ π₯, π₯ =1
2, π₯ = 4
2) Halle el volumen del sΓ³lido generado al girar la regiΓ³n acotada por
π¦ =1
βπ₯+1 , π₯ = 1, π₯ = 4, π¦ = 0 alrededor de eje x.
3) Halle la longitud de arco de la curva π¦ = ππ(cos π₯) π π π₯π [0,π
4].
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 12 de 15
Laboratorio #12 FunciΓ³n exponencial natural
I.- Halle π·π₯π¦, simplifique.
1) y = tg (π3π₯ + 2)
2) y = πβπ₯ππ‘π(ππ₯)
3) y =ln (1+π3π₯
1βπ3π₯)
4) y = π3π₯β1
π3π₯+1
II.- Calcule las siguientes integrales.
1) β« π3π₯+2ππ₯
2) β«π2π₯
π2π₯+1ππ₯
3) β« π2π¦β4 + π2π¦ ππ¦
4) β«π3π₯
ππ₯+2ππ₯
5) β« π5π₯+2ππ₯1
0
6) β« ππππ 7π₯π ππ7π₯ ππ₯
7) β«(2 β π3π₯)2ππ₯
8) β«π2π₯βπβ2π₯
π2π₯+πβ2π₯ ππ₯
9) β« (ππ₯ β 1)ππ₯1
β1
10) β« π₯πβπ₯2ππ₯
β3
0
11) β«π3π₯+π2π₯
ππ₯β1ππ₯
III.-
1) Trace la grΓ‘fica de las funciones siguientes.
a) f(x)=ππ₯ + πβπ₯
b) f(x)=πβ2π₯2
2) Halle la ecuaciΓ³n de la recta tangente a la grΓ‘fica de y=π2π₯ + πβ2π₯, en el punto
cuya abscisa es ln (1/2).
3) Halle el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por y=ππ₯ + 1, y=πβπ₯ + 1, x=ln (1/2), x= ln
(1/3).
4) Halle el volumen del solido generado al girar la regiΓ³n acotada por y=π5π₯,
y=πβ5π₯, x = 2, alrededor de: i) eje x ii) y= -1.
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 13 de 15
Laboratorio #13 Funciones Exponenciales de otras bases
I.- Halle π·π₯π¦, simplifique.
1) π¦ = 2π₯2+ 2π₯
2)π¦ = 4 π₯3 log5(π₯4)
3)π¦ = log3( π₯2+3
π₯3β2 )
4) log3(π₯2π¦) = π₯
II.- Calcule las siguientes integrales.
1) β«π₯ 6(8β5π₯2)ππ₯
2) β« 4 2 π ππ (3π₯) cos(3π₯) ππ₯
3) β«5 2π¦(1 + 42π¦)ππ¦
4) β«(32π₯ + 5)2ππ₯
5) β« 62π₯
6 2π₯ + 1ππ₯
6) β« 3π₯(4π₯ + 6π₯) ππ₯1
0
III.- Halle la ecuaciΓ³n de la recta tangente a la grΓ‘fica π¦ = 2π₯ β 2βπ₯en el punto cuya abscisa log2(2)
IV.- Halle el volumen del sΓ³lido generado al girar la regiΓ³n acotada por las curvas y rectas dadas alrededor del eje indicado π¦ = 23π₯, π¦ = 4(2π₯), π₯ = 0, alrededor de: a) eje π₯ b) π¦ = β1
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 14 de 15
Laboratorio #14 Funciones HiperbΓ³licas
I.- Halle y simplifique la derivada de las siguientes funciones.
1) π¦ =1
2 log(tanh(π₯))
2) π¦ = tan hβ1
(cos(2π₯))
3) π¦ = cosh(π₯2 + 1) 4) π¦ = π ππβ(5π₯)
5) π¦ = cosh(β(4π₯2 + 3))
6) π¦ = cosh(π₯3)
7) π¦ =1
4 log(π ππβ(π₯2))
8) π¦ = π ππβ2(4π€)
II.- Evaluar la integral dada.
1) β«π₯2π ππβ(π₯3)ππ₯
2) β«tanh2(π₯)ππ₯
3) β«π ππβ3(π₯)cosh4(π₯)ππ₯
4) β«π ππβ(6π₯)cosh(4π₯)ππ₯
5) β«coth2(π₯)ππ₯
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CΓ‘lculo Integral Enero 2016
PΓ‘gina 15 de 15
Laboratorio #15 MΓ©todos de IntegraciΓ³n
I.- Calcula las siguientes integrales.
1) β«π₯ cos (π₯)ππ₯
2) β« ln (π₯2 + 1)ππ₯
3) β«π₯3π ππ (3x)ππ₯
4) β«π ππ4(π₯)cos (π₯)ππ₯
5) β« sen(2x)cos(4π₯)ππ₯
6) β« π₯
βπ₯2β25ππ₯
7) β« 1
π₯2 + 4ππ₯
8) β« 4xβ11
2π₯2 +7π₯ + 1ππ₯
9) β«π₯3π₯ππ₯
10) β«π₯2ln (π₯)ππ₯
11) β«π‘ππ4(π₯)ππ₯
12) β« π₯2
π₯2 +4ππ₯
13) β« x+3
π₯3 +π₯2ππ₯
13) β« 1
xβ4π₯+1ππ₯
II.- Halla el Γ‘rea de la regiΓ³n limitada por la curva π¦ = ln (π₯) ,eje x, y la recta π₯ = e2