Calcul de funcions de diverses variables
David Marın
13 d’abril de 2009
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
I. Calcul Diferencial
1 L’espai euclidia Rn
Producte escalar i producte vectorialRectes i plans
2 Continuitat i diferenciabilitatDominis i continuıtatDerivada direccional i gradient
3 Regla de la cadena
4 Maxims i mınimsPunts crıtics i extrems localsExtrems condicionatsExtrems absoluts
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Operacions amb vectors Rectes i plans
Producte escalar i producte vectorial
Si x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) son vectors de Rn definim
producte escalar x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn ∈ R
norma ‖x‖ =√
x · x =√
x21 + · · ·+ x2
n
distancia d(x , y) = ‖y − x‖ =√
(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2
cosinus de l’angle cos(x , y) = x ·y‖x‖‖y‖
perpendicularitat x ⊥ y ⇔ x · y = 0
Si v1 = (x1, y1, z1) i v2 = (x2, y2, z2) son vectors de R3 definim elseu producte vectorial mitjancant
v1 × v2 =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣ = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).
que te direccio perpendicular a v1 i v2, sentit donat per la regla del“tornavis” i ‖v1 × v2‖ es l’area del paral.lelogram que determinen.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Operacions amb vectors Rectes i plans
Equacions de rectes i plans
Al pla R2: La recta passant pel punt (a, b) amb vectordirector (u, v) te equacio parametrica
(x , y) = (a, b) + t (u, v), t ∈ R
i equacio cartesiana (implıcita)
x − a
u=
y − b
v⇐⇒ Ax + By + C = 0.
A l’espai R3: La recta passant pel punt (a, b, c) amb vectordirector (u, v ,w) te equacio parametrica
(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w), t ∈ R
i equacio cartesiana (implıcita)
x − a
u=
y − b
v=
z − c
w.
A l’espai R3: El pla passant pel punt (a, b, c) amb vectorsdirectors (u, v ,w) i (u′, v ′,w ′) te equacio parametrica
(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w) + s (u′, v ′,w ′), t, s ∈ R
i equacio cartesiana (implıcita)∣∣∣∣∣∣x − a y − b z − c
u v wu′ v ′ w ′
∣∣∣∣∣∣ = Ax + By + Cz + D = 0.
Observem que (A,B,C ) = (u, v ,w)× (u′, v ′,w ′).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Operacions amb vectors Rectes i plans
Equacions de rectes i plansA l’espai R3: La recta passant pel punt (a, b, c) amb vectordirector (u, v ,w) te equacio parametrica
(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w), t ∈ R
i equacio cartesiana (implıcita)
x − a
u=
y − b
v=
z − c
w.
A l’espai R3: El pla passant pel punt (a, b, c) amb vectorsdirectors (u, v ,w) i (u′, v ′,w ′) te equacio parametrica
(x , y , z) = (a, b, c) + t (u, v ,w) + s (u′, v ′,w ′), t, s ∈ R
i equacio cartesiana (implıcita)∣∣∣∣∣∣x − a y − b z − c
u v wu′ v ′ w ′
∣∣∣∣∣∣ = Ax + By + Cz + D = 0.
Observem que (A,B,C ) = (u, v ,w)× (u′, v ′,w ′).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Continuıtat i diferenciabilitat
Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:
El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.El grafic de f com
(x , z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x) ⊂ Rn+1.
Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :
f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.
La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim
x→af (x) = f (a).
Les propietats basiques de les funcions contınues son:Suma, resta, producte, divisio (fora d’on s’anul.li eldenominador) i composicio de funcions contınues es contınua.Les funcions elementals d’una variable ex , log x , sin x , cos x , . . .son contınues en el seu domini.Les funcions coordenades xi : Rn → R son contınues.
Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat )
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Continuıtat i diferenciabilitat
Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:
El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.
El grafic de f com
(x , z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x) ⊂ Rn+1.
Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :
f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.
La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim
x→af (x) = f (a).
Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat : que conte tota la seva vora i acotat )
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Continuıtat i diferenciabilitat
Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:
El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.
El grafic de f com
(x , z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x) ⊂ Rn+1.
Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :
f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.
La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim
x→af (x) = f (a).
Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat : que esta contingut en una bolade radi prou gran)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Continuıtat i diferenciabilitat
Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:
El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on laformula que defineix f (x) te sentit.
El grafic de f com
(x , z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x) ⊂ Rn+1.
Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :
f −1(c) = (x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c ⊂ Rn.
La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim
x→af (x) = f (a).
Teorema: Tota funcio contınua definida en un conjuntcompacte (tancat i acotat ) te maxim i mınim absoluts.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Derivada direccional
Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio, a ∈ D un punt i ~w un vectorunitari (‖~w‖ = 1). Si la funcio d’una variable t 7→ f (a + t~w) esderivable respecte de t aleshores definim la derivada direccional def en el punt a segons la direccio ~w com
(D~w f )(a) =d
dt
∣∣∣t=0
f (a + t~w)
la pendent de la recta tangent de f en el punt a en la direccio ~w .
Definicio: Si ~wi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) aleshores D ~wif = ∂f
∂xi
s’anomena derivada parcial de f respecte de xi i es calcula derivantf respecte de xi mantenint totes les altres variables constants.
Definicio: Una funcio f es diu diferenciable en el punt a quanexisteixen totes les rectes tangents de f en a en qualsevol direccio iformen un pla, anomenat el pla tangent de f en a, d’equacio:
z = f (a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · ·+ ∂f
∂xn(a)(xn − an).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Definicio del gradient
Definicio: Si f te derivades parcials en un punt a aleshores definimel seu vector gradient en a com
(∇f )(a) =
(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a)
).
Teorema:
Existeixen totes lesderivades parcials ison funcions contınues
⇒ f es diferenciable⇒ Existeix ∇f
Regla de la cadena (1):Si α : I ⊂ R→ C es una parametritzacio diferenciable d’una corbaC ⊂ D ⊂ Rn i f : D → R es una funcio diferenciable aleshores
d
dtf (α(t)) =
∂f
∂x1(α(t)) x ′1(t) + · · ·+ ∂f
∂xn(α(t)) x ′n(t)
= (∇f )(α(t)) · α′(t).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Dominis i continuıtat Derivada direccional i gradient
Interpretacio del gradient
Proposicio: Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable,a ∈ D i ~w ∈ Rn es un vector unitari (‖~w‖ = 1) aleshores
(D~w f )(a) = (∇f )(a) · ~w = ‖(∇f )(a)‖ cos θ,
on θ es l’angle que forma ~w amb el vector gradient en a.
Proposicio: El vector gradient (∇f )(a) determina la direcciode maxima variacio de f en a (ja que cos θ maxim ⇔ θ = 0).
Proposicio: El vector gradient (∇f )(a) es perpendicular alconjunt de nivell (c = f (a)) de f que passa per a.
Proposicio: Les equacions del pla tangent i recta normal delconjunt de nivell de f en el punt a son:
pla tangent (∇f )(a) · (x − a) = 0:
∂f
∂x1(a) (x1 − a1) + · · ·+ ∂f
∂xn(a) (xn − an) = 0
recta normal x = a + λ∇f (a), variant λ ∈ R.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Aplicacions diferenciables i regla de la cadena
Definicio: Una aplicacio
f : D ⊂ Rn −→ Rm
(x1, . . . , xn) 7−→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))
es diferenciable si cada funcio fi : D ⊂ Rn → R ho es.
Regla de la cadena: derivada d’una composicioSi f : Rn → R i g : Rm → Rn aleshores F = f g : Rm → R escalcula substituint les variables xi de f (x1, . . . , xn) per les formulesxi = gi (u1, . . . , um) i la regla de la cadena afirma que
∂F
∂ui(u0) =
∂f
∂x1(x0)
∂g1
∂ui(u0) + · · ·+ ∂f
∂xn(x0)
∂gn
∂ui(u0),
on u0 = (u01 , . . . , u
0m) i x0 = g(u0) = (x0
1 , . . . , x0n ).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Exemple d’aplicacio de la regla de la cadena.
f (x , y) = x3y + sin(xy), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)),
x(u, v) = ueu2+v2, y(u, v) = cos(v2) sin(u + v2),
F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =
= u3e3(u2+v2) cos(v2) sin(u + v2) + sin(ueu2+v2cos(v2) sin(u + v2)).
∂F∂u (0,
√π
2 ) = ?
g(0,
√π
2) = (0 e(0+π/4), cos(π/4) sin(0 + π/4)) = (0,
1
2).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Exemple d’aplicacio de la regla de la cadena.
f (x , y) = x3y + sin(xy), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)),
x(u, v) = ueu2+v2, y(u, v) = cos(v2) sin(u + v2),
F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =
= u3e3(u2+v2) cos(v2) sin(u + v2) + sin(ueu2+v2cos(v2) sin(u + v2)).
∂F∂u (0,
√π
2 ) = ∂f∂x (0, 1
2 ) ∂x∂u (0,
√π
2 ) + ∂f∂y (0, 1
2 ) ∂y∂u (0,
√π
2 ).
g(0,
√π
2) = (0 e(0+π/4), cos(π/4) sin(0 + π/4)) = (0,
1
2).
∂f∂x = 3x2y + cos(xy) y ∂f
∂x (0, 12 ) = 0 + cos(0) 1
2 = 12
∂f∂y = x3 + cos(xy) x ∂f
∂y (0, 12 ) = 0 + cos(0) 0 = 0
∂x∂u = eu2+v2
+ ueu2+v22u ∂x
∂u (0,√π
2 ) = eπ4 + 0 = e
π4
∂y∂u = cos(v2) cos(u + v2) ∂y
∂u (0,√π
2 ) = cos(π4 ) cos(π4 ) = 12
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Exemple d’aplicacio de la regla de la cadena.
f (x , y) = x3y + sin(xy), g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)),
x(u, v) = ueu2+v2, y(u, v) = cos(v2) sin(u + v2),
F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) =
= u3e3(u2+v2) cos(v2) sin(u + v2) + sin(ueu2+v2cos(v2) sin(u + v2)).
∂F∂u (0,
√π
2 ) = ∂f∂x (0, 1
2 ) ∂x∂u (0,
√π
2 ) + ∂f∂y (0, 1
2 ) ∂y∂u (0,
√π
2 ).
= 12 · e
π4 + 0 · 1
2 = eπ4
2 .
∂f∂x = 3x2y + cos(xy) y ∂f
∂x (0, 12 ) = 0 + cos(0) 1
2 = 12
∂f∂y = x3 + cos(xy) x ∂f
∂y (0, 12 ) = 0 + cos(0) 0 = 0
∂x∂u = eu2+v2
+ ueu2+v22u ∂x
∂u (0,√π
2 ) = eπ4 + 0 = e
π4
∂y∂u = cos(v2) cos(u + v2) ∂y
∂u (0,√π
2 ) = cos(π4 ) cos(π4 ) = 12
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Regla de la cadena (formulacio matricial)
Definim la matriu diferencial d’una aplicacio diferenciablef : Rn → Rm en un punt a com
Df (a) =
(∇f1)(a)...
(∇fm)(a)
=
∂f1∂x1
(a) · · · ∂f1∂xn
(a)...
. . ....
∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
Regla de la cadena: Si g : Rp → Rn i f : Rn → Rm son aplicacionsdiferenciables aleshores la composicio
h := f g : (t1, . . . , tp) 7→ f (g1(t1, . . . , tp), . . . , gn(t1, . . . , tp))
tambe es diferenciable i la seva matriu diferencial s’obte fent elproducte de matrius diferencials Dh(a) = Df (g(a)) · Dg(a):
Dh(a) =
∂f1∂x1
(g(a)) · · · ∂f1∂xn
(g(a))...
. . ....
∂fm∂x1
(g(a)) · · · ∂fm∂xn
(g(a))
∂g1∂t1
(a) · · · ∂g1∂tp
(a)...
. . ....
∂gn
∂t1(a) · · · ∂gn
∂tp(a)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems
Interpretacio de la matriu diferencial
Recordem que si f : I ⊂ R→ R es una funcio diferenciablealeshores f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x si ∆x ≈ 0. Si dxdenota un increment infinitesimal de la variable x aleshores eshabitual reescriure l’aproximacio anterior com una igualtat
f (x + dx) = f (x) + df (x), on df (x) = f ′(x) dx .
Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable aleshores
f (x1 + dx1, . . . , xn + dxn) = f (x1, . . . , xn) + df (x),
on df (x) es un increment infinitesimal de f , quantitat escalarcalculada a partir del vector d’increments ~dx = (dx1, . . . , dxn)mitjancant df (x) = (∇f )(x) · d~x .
Si f : D ⊂ Rn → Rm es una aplicacio diferenciable llavorsf (x + ~dx) = f (x) + df (x), on df (x) es l’increment vectorialinfinitesimal de f calculat per df (x) = Df (x) · ~dx .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Punts crıtics i extrems locals
Definicio: Un punt crıtic a ∈ D d’una funcio diferenciablef : D ⊂ Rn → R es aquell que satisfa el sistema d’equacions
(∇f )(a) = ~0 ⇐⇒
∂f∂x1
(a) = 0...
∂f∂xn
(a) = 0
Observacio: Si a no es un punt crıtic de f aleshores (∇f )(a) ensproporciona la direccio en la qual f augmenta (o disminueix) mesen el punt a. En particular, si a no es un punt crıtic de f llavors nopot ser un maxim o un mınim.
Consequencia: Els punts crıtics de f son els candidats a extremslocals (tambe anomenats relatius) de f .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Derivades parcials segones
Un punt crıtic a d’una funcio d’una variable f : R→ R es unmaxim (resp. mınim) quan f ′′(a) < 0 (resp. f ′′(a) > 0).
Definicio: La derivada parcial segona d’una funcio f : D ⊂ Rn → R∂2f∂xi∂xj
= ∂∂xi
∂f∂xj
es calcula fent la derivada parcial de f primer
respecte de xj i despres respecte xi .
Teorema:
Existeixen totes les derivades parcialssegones de f i son funcions contınues
=⇒ ∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi
Definicio: La matriu hessiana de f en un punt a ve donada per
H(f )(a) =
∂2f∂x2
1(a) · · · ∂2f
∂xn∂x1(a)
.... . .
...∂2f
∂x1∂xn(a) · · · ∂2f
∂x2n
(a)
i es simetrica respecte de la diagonal principal.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Formula de Taylor d’ordre 2
El pla tangent d’una funcio diferenciable f : D ⊂ Rn → R enun punt a venia donat per l’equacio z = f (a) + Df (a)(x − a)que es l’aproximacio lineal (ordre 1) de f en el punt a.
Si a es un punt crıtic de f aleshores Df (a) = (∇f )(a) = 0 il’aproximacio d’ordre 1 de f en a es constant.
L’aproximacio d’ordre 2 ve donada per la formula de Taylor:
f (x) = f (a) + Df (a)(x − a) +1
2D2(f )(a)(x − a)2 + · · ·
on D2(f )(a)(x − a)2 es un valor escalar que es calcula fent
(x1−a1 · · · xn−an)
∂2f∂x2
1(a) · · · ∂2f
∂xn∂x1(a)
.... . .
...∂2f
∂x1∂xn(a) · · · ∂2f
∂x2n
(a)
︸ ︷︷ ︸
H(f )(a)
x1 − a1...
xn − an
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Criteri del hessia
Definicio: Una matriu H quadrada n × n i simetrica es diu definidapositiva (respectivament definida negativa) si per tot vector no nul~v = (v1, . . . , vn) 6= ~0 es verifica la desigualtat
(v1 · · · vn) H
v1...vn
> 0 (respectivament < 0).
Teorema: Sigui a un punt crıtic d’una funcio diferenciable f .
Si H(f )(a) es definida positiva aleshores el punt a es unmınim relatiu de f .
Si H(f )(a) es definida negativa aleshores el punt a es unmaxim relatiu de f .
Si H(f )(a) no es definida (> 0 ni < 0) i det(H(f )(a)) 6= 0aleshores a es un punt de sella de f (hi ha direccions passantper a en les quals f augmenta i d’altres en que disminueix).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Teorema de Sylvester
Definicio: Donada una matriu quadrada simetrica
H =
h11 h12 · · · h1n
h21 h22 · · · h2n...
.... . .
...hn1 hn2 · · · hnn
definim els seus menors principals m1 = h11,m2 =
∣∣∣∣ h11 h12
h21 h22
∣∣∣∣ , . . .. . . ,mk =
∣∣∣∣∣∣∣h11 · · · hkk
.... . .
...hk1 · · · hkk
∣∣∣∣∣∣∣ , . . . ,mn = det(H).
Teorema: Sigui H una matriu quadrada simetrica.
H es definida positiva ⇔ m1 > 0,m2 > 0, . . . ,mn > 0.
H es definida negativa ⇔ m1 < 0,m2 > 0,m3 < 0, . . .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Extrems condicionats
Situacio: Volem optimitzar una funcio f : Rn → R subjecta a unacondicio g(x1, . . . , xn) = c .
Si a es un punt de la superfıcie S = g(x1, . . . , xn) = c podemconsiderar la projeccio ortogonal ~Va del vector (∇f )(a) sobre el platangent a S en a. Si ~Va 6= 0 podem moure’ns sobre S seguint ladireccio ~Va (resp. −~Va) i augmentar (resp. disminuir) el valor def . Per tant, el punt a nomes pot ser un candidat a maxim o mınimde f sobre S quan ~Va = ~0⇔ (∇f )(a) ⊥ S ⇔ (∇f )(a)||(∇g)(a).
Aixı els candidats a extrems condicionats satisfan el seguentsistema de n + 1 equacions amb n + 1 incognites a1, . . . , an, λ:
(∇f )(a) = λ(∇g)(a)
g(a) = 0
⇔
∂f∂x1
(a)− λ ∂g∂x1
(a) = 0
· · ·∂f∂xn
(a)− λ ∂g∂xn
(a) = 0
g(a1, . . . , an) = 0
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Multiplicadors de Lagrange
El sistema anterior tambe s’obte a partir de la funcio lagrangiana
L(x1, . . . , xn, λ) = f (x1, . . . , xn)− λ(g(x1, . . . , xn)− c)
buscant els seus punts crıtics en la forma (a, λ): (∇L)(a, λ) = ~0.
Per resoldre aquest sistema d’equacions es sol aıllar i substituir λen funcio de a1, . . . , an obtenint un sistema de n equacions amb nincognites (a1, . . . , an), les solucions del qual constitueixen elspunts que s’han d’avaluar en f per trobar el valor mes gran i mespetit de entre totes les solucions possibles.
Interpretacio del multiplicador de Lagrange λ: Sigui ac el punt deSc = g = c on f pren el seu valor maxim Mc = f (ac). Sicanviem el valor c de la condicio incrementant-lo una quantitatdc ≈ 0, podem estimar el valor maxim Mc+dc = f (ac + da) de fsobre Sc+dc a partir de Mc i el multiplicador de Lagrange λc :
Mc+dc = f (ac) + (∇f )(ac)da = Mc +λc(∇g)(ac)da = Mc +λc dc .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
L’espai euclidia Rn Derivades Regla de la cadena Extrems Extrems locals Extrems condicionats Extrems absoluts
Extrems absoluts
Teorema: Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio contınua i D es unconjunt compacte (tancat i acotat) aleshores f te maxim i mınimsabsoluts sobre D.
Metode: Comparar els valors de f sobre els candidats seguents:
Els extrems relatius de f que estan a D(sistema d’equacions dels punts crıtics + criteri del hessia)
Els extrems condicionats sobre cada component de la vora∂D = g1(x) = c1 ∪ · · · ∪ gk(x) = ck(multiplicadors de Lagrange).
Els “punts” d’interseccio, si n’hi ha, entre les diferentscomponents de la vora de D.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions
II. Calcul Integral
5 Integracio a RDefinicio i interpretacioMetodes de calcul de primitivesAplicacions
6 Integracio a Rn
Definicio i interpretacioPrincipi de Cavalieri i teorema de FubiniIntegracio sobre dominis generalsTeorema de canvi de variables
7 AplicacionsArees i volumsCentres de mases i moments d’inercia
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Integracio a RSigui f : [a, b] ⊂ R→ R una funcio d’una variable i consideremuna particio a = x0 < x1 < · · · < xN = b de l’interval [a, b].
Definim la integral definida∫ ba f (x) dx com el lımit quan
N →∞ (respecte de totes les particions de [a, b]) de la sumaN∑
i=1f (xi )∆(xi ) de les arees dels rectangles d’alcada f (xi ) i
base ∆(xi ) = xi − xi−1.
Interpretem∫ ba f (x) dx com l’area (amb el signe de f )
compresa entre y = 0, y = f (x), x = a i x = b.
Calculem∫ ba f (x) dx mitjancant la regla de Barrow: si F (x) es
una primitiva de f (x) (i.e. F ′(x) = f (x)) aleshores∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a).
Idea: Si definim F (x) :=R xa f (t) dt tenim que F (x + h)− F (x) ≈ f (x)h per
h ≈ 0. Per tant F ′(x) = f (x) = F ′(x) i F (x) = F (x) + C . Aixı doncs
F (b)− F (a) = F (b)− F (a) = F (b) =R ba f (x) dx .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Metodes de calcul de primitives
Llista de primitives immediates (inversa de la llista dederivades)
Canvi de variables x = f (t), dx = f ′(t) dt (inversa de la reglade la cadena)
Integracio per parts∫
u(x)dv(x) = u(x)v(x)−∫
v(x)du(x)(inversa de la derivada d’un producte)
Manipulacions algebraiques:∫
(f + g) =∫
f +∫
g ,∫c f = c
∫f , descomposicio de funcions racionals en
fraccions simples,...
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Aplicacions
Calcul d’arees entre dues funcions f2(x) ≥ f1(x):
A =
∫ b
a(f2(x)− f1(x)) dx
Calcul de volums de revolucio:
V = π
∫ b
af (x)2 dx
Calcul de longituds de corbes y = f (x):
L =
∫ b
a
√1 + f ′(x)2 dx
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Integracio a Rn
Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio definida en un “prisma”
D = [a1, b1]× · · · × [an, bn] i considerem particions x (ki )i Ni
ki =0 decada interval [ai , bi ].
Definim la integral∫D f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el lımit
quan Ni →∞ (respecte de totes les particions) de la suman∑
i=1
Ni∑ki =1
f (x(k1)1 , . . . , x
(kn)n )∆(x
(k1)1 ) · · ·∆(x
(kn)n ) dels volums
dels paral.lelepıpeds d’alcada f (x(k1)1 , . . . , x
(kn)n ) i bases
∆(x(ki )i ) = x
(ki )i − x
(ki−1)i per i = 1, . . . , n.
Interpretem la integral∫D f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el
volum (n + 1)-dimensional (amb el signe de f ) determinatpel prisma D i la grafica de la funcio f (x1, . . . , xn).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Principi de Cavalieri i teorema de Fubini
Principi de Cavalieri: El volum es una integral d’arees (l’areaes una integral de longituds,...)
Mes concretament, sigui R una regio compacta de R3 idenotem per A(z0) l’area de R ∩ z = z0. Llavors el volum
de R es igual a V (R) =∫ ba A(z) dz on z = a i z = b son els
plans horitzontals entre els quals es troba la regio R.
Mes generalment, aplicant el principi de Cavalieri als plansxn =constant resulta que∫
Dn
f (x) dx1 . . . dxn =
∫ bn
an
0B@ZDn−1
f (x1, . . . , xn−1,
fixadaz|xn ) dx1 . . . , dxn−1
1CA| z
funcio de la variable xn
dxn,
on Dn−1 = [a1, b1]× · · · × [an−1, bn−1] i Dn = Dn−1 × [an, bn].
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Teorema de Fubini
Iterant aquest proces, podem calcular la integral multiple de fsobre el prisma Dn = [a1, b1]× · · · × [an, bn] mitjancant integralssimples iterades:∫
Dn
f (x) dx1 · · · dxn =
∫ bn
an
(∫ bn−1
an−1
· · ·(∫ b1
a1
f (x)dx1
)· · · dxn−1
)dxn.
Teorema de Fubini:Si la funcio f es prou regular per que tot hi estigui ben definit(per exemple, si f es contınua) aleshores la integral multiple∫Dn
f (x) dx1 · · · dxn es pot calcular com una integral iteradaamb una ordenacio qualsevol de las variables x1, . . . , xn.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Integracio sobre dominis generals
Questio: Que succeeix si el domini d’integracio D no es un prisma[a1, b1]× · · · × [an, bn]?
Resposta: La situacio es tecnicament mes complicada pero elprincipi de Cavalieri i el teorema de Fubini continuen sent valids.La unica diferencia es que els extrems d’integracio en les integralsiterades poden dependre de les variables que queden per integrar.
Exemple: Si D = (x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)aleshores ∫
Df (x , y) dx dy =
∫ b
a
(∫ g2(x)
g1(x)f (x , y) dy
)dx .
Si D = (x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y) llavors∫D
f (x , y) dx dy =
∫ d
c
(∫ h2(y)
h1(y)f (x , y) dx
)dy .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Canvis de variables
Expressar un domini general D ⊂ Rn de la forma
a1 ≤ x1 ≤ b1,a2(x1) ≤ x2 ≤ b2(x1),
· · ·an(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn(x1, . . . , xn−1)
pot no ser facil (i ni tan sols possible). Per aixo ens interessaratrobar maneres de “simplificar” l’expressio de D. Un metode perportar a terme aixo es fer un canvi de variables, i.e. considerar unaaplicacio diferenciable
g : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn
(t1, . . . , tn) 7−→ (g1(t1, . . . , tn), . . . , gn(t1, . . . , tn))
amb inversa h = g−1 diferenciable
h : V ⊂ Rn −→ U ⊂ Rn
(x1, . . . , xn) 7−→ (h1(x1, . . . , xn), . . . , hn(x1, . . . , xn))
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Teorema del canvi de variables per a integrals
Teorema:Si g : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un canvi de variables if : D ⊂ V ⊂ Rn → R es una funcio aleshores∫
Df (x) dx1 · · · dxn =
∫g−1(D)
f (g(t))| det(dg(t))| dt1 . . . dtn.
Exemples de canvis de variables:
polars de R2: g(r , θ) = (r cos θ, r sin θ),g−1(x , y) = (
px2 + y2, arctan(y/x)) i | det(dg(r , θ))| = r .
cilındriques de R3: g(r , θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z),g−1(x , y , z) = (
px2 + y2, arctan(y/x), z) i | det(dg(r , θ, z))| = r .
esferiques: g(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cosϕ, ρ sin θ cosϕ, ρ sinϕ),g−1(x , y , z) = (
px2 + y2 + z2, arctan(y/x), arctan(z/
px2 + y2)) i
| det(dg(ρ, θ, ϕ))| = ρ2 cosϕ
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums Centres de mases i moments d’inercia
Arees i volums
Si D ⊂ R2 aleshores l’area de D es pot calcular mitjancant
A(D) =
∫D
dA =
∫D
dx dy .
Si D ⊂ R3 aleshores el volum de D es pot calcular mitjancant
V (D) =
∫D
dV =
∫D
dx dy dz .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums Centres de mases i moments d’inercia
Centres de mases i moments d’inercia
Sigui ρ(x , y , z) la funcio de densitat d’un cos continu D ⊂ R3
aleshores podem calcular la massa total m de D i el centre demasses (xcm, ycm, zcm) mitjancant les integrals triples:
m =∫D dm =
∫D ρ(x , y , z) dx dy dz
xcm = 1m
∫D x dm = 1
m
∫D xρ(x , y , z) dx dy dz
ycm = 1m
∫D y dm = 1
m
∫D yρ(x , y , z) dx dy dz
zcm = 1m
∫D z dm = 1
m
∫D zρ(x , y , z) dx dy dz
El moment d’inercia I de D respecte de l’eix z (x = y = 0) vedonat per la integral triple:
I =
∫D
(x2 + y2) dm =
∫D
(x2 + y2)ρ(x , y , z) dx dy dz .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions
III. Calcul Vectorial8 Integrals sobre corbes
Parametritzacions de corbesIntegrals de trajectoriaIntegrals de lınia. Circulacio d’un camp
9 Integrals sobre superfıciesParametritzacions de superfıciesIntegrals de funcionsIntegrals de camps. Flux d’un camp
10 Gradient, divergencia i rotacional11 Teoremes integrals
Teorema de GreenTeoremes de Stokes i GaussCamps conservatius
12 Aplicacions a la fısicaLleis de conservacioEquacio de la calorElectromagnetisme: equacions de Maxwell
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1: C = x2 + y2 = R2 circumferencia de radi R. Podem
reescriure l’equacio com(
xR
)2+( y
R
)2= 1 i parametritzar C per
α(t) = (R cos t,R sin t).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1 general: C = (
xa
)2+( y
b
)2= 1 el.lipse de semieixos
a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1 general: C = (
xa
)2+( y
b
)2= 1 el.lipse de semieixos
a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
Exemple 2: C = x2 − y2 = 1 hiperbola. Parametritzacio
α : R→ C , t 7→ (± cosh t, sinh t) := (± et+e−t
2 , et−e−t
2 ) ja que
cosh2 t − sinh2 t =e2t + e−2t + 2
4− e2t + e−2t − 2
4= 1.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1 general: C = (
xa
)2+( y
b
)2= 1 el.lipse de semieixos
a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
Exemple 2 general: C = (
xa
)2 −( y
b
)2= 1 hiperbola.
Parametritzacio α : t ∈ R 7→ (±a cosh t, b sinh t).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1 general: C = (
xa
)2+( y
b
)2= 1 el.lipse de semieixos
a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
Exemple 2 general: C = (
xa
)2 −( y
b
)2= 1 hiperbola.
Parametritzacio α : t ∈ R 7→ (±a cosh t, b sinh t).
Exemple 3: C = y = x2 parabola. Parametritzacio α : R→ C ,α(t) = (t, t2).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t))tals que f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = x2 + y2 = 1 circumferencia de radi 1.Parametritzacio α : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja quecos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1 general: C = (
xa
)2+( y
b
)2= 1 el.lipse de semieixos
a, b > 0. Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
Exemple 2 general: C = (
xa
)2 −( y
b
)2= 1 hiperbola.
Parametritzacio α : t ∈ R 7→ (±a cosh t, b sinh t).
Exemple 3 general: C = y = f (x) grafica. Parametritzacioα : t ∈ R 7→ (t, f (t)).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Integrals de trajectoria
Si α : [a, b] ⊂ R→ C ⊂ R3, t 7→ α(t), es una parametritzaciod’una corba C ⊂ R3 aleshores interpretem
t com el temps i dt com a un increment infinitesimal de temps
α′(t) com el vector velocitat i ‖α′(t)‖ com la velocitat escalar
diferencial de longitud dL = ‖α′(t)‖ dt com a un incrementinfinitesimal de longitud (= velocitat per temps infinitesimal)
Si ρ : C → R es una funcio (de densitat lineal d’alguna magnitudfısica) aleshores definim la integral de trajectoria de ρ mitjancant∫ B
Aρ dL :=
∫ b
aρ(α(t)) ‖α′(t)‖ dt,
on A = α(a) i B = α(b).
Per exemple, si ρ = 1 aleshores∫ BA dL mesura la longitud de
l’arc de corba C entre els punts A i B.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Integrals de lınia
Si t ∈ [a, b] 7→ α(t) ∈ C es una parametritzacio d’una corbaC ⊂ R3 i ~F : R3 → R3 es un camp vectorial aleshores definim
diferencial (vectorial) de desplacament com d~L = α′(t) dt.
vector tangent unitari ~t = α′(t)‖α′(t)‖ .
la integral de lınia de ~F sobre C mitjancant∫ B
A
~F · ~dL :=
∫ b
a
~F (α(t)) · α′(t) dt =
∫ B
A(~F ·~t) dL
(“suma” de les parts tangents Ft := ~F ·~t de ~F al llarg de C ).
Es defineix el treball efectuat per una forca ~F sobre C com ladiferencia d’energia cinetica T = 1
2mv2 entre els extrems de C :
T (B)−T (A) =
∫ b
a
d
dtT (α(t)) dt =
∫ b
a
~F (α(t))·α′(t) dt =
∫ B
A
~F · ~dL,
d
dtT (α(t)) =
1
2m
d
dt
(α′(t) · α′(t)
)= mα′′(t) · α′(t) = ~F (α(t)) · α′(t).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integrals de trajectoria Integrals de lınia
Circulacio d’un camp
Si C es una corba tancada i orientada, l’integral de lınia∫C~F · ~dL s’anomena la circulacio de ~F al llarg de C .
Un camp de forces ~F es diu conservatiu o potencial quan eltreball realitzat sobre un camı qualsevol nomes depen delsseus extrems. Equivalentment, C tancada ⇒
∫C~F · ~dL = 0.
Si ~F = ∇f llavors ~F (α(t)) · α′(t) = ddt f (α(t)) i per tant
T (B)−T (A) =
∫ B
A
~F · ~dL =
∫ b
a
d
dtf (α(t)) dt = f (B)− f (A)
i el camp ~F es conservatiu.
Si ~F = ∇f llavors la quantitat E = T − f (l’energia total) esconstant al llarg de la trajectoria. Definim (l’energia)potencial de ~F com V = −f de manera que ~F = −∇V .
Teorema: ~F conservatiu ⇔ ~F = −∇V ⇔ rot ~F := ∇× ~F = 0
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1. Encoordenades cilındriques (r , θ, z), x = r cos θ, y = r sin θ, S teper equacio r2 + z2 = 1 que podem parametritzar peru 7→ (r(u), z(u)) = (cos u, sin u) mentre que θ = v es l’altrevariable que pot variar lliurement. Per tant, obtenim unaparametritzacio σ : [0, 2π]× [−π
2 ,π2 ]→ R3 de S donada per
σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
Exemple 1: S = (
xa
)2+( y
b
)2+(
zc
)2= 1 el.lipsoide de semieixos
a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
Exemple 1: S = (
xa
)2+( y
b
)2+(
zc
)2= 1 el.lipsoide de semieixos
a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).
Exemple 2: S = x2 + y2 − z2 = 1 hiperboloıde d’un full. Encoordenades cilındriques r2 − z2 = 1 podem parametritzaru 7→ (r(u), z(u)) = (cosh u, sinh u) i θ = v obtenint laparametritzacio σ(u, v) = (cosh u cos v , cosh u sin v , sinh u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
Exemple 1: S = (
xa
)2+( y
b
)2+(
zc
)2= 1 el.lipsoide de semieixos
a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).
Exemple 2: S = (
xa
)2+( y
b
)2 −(
zc
)2= 1 hiperboloıde d’un full.
Parametritzacio: σ(u, v) = (a cosh u cos v , b cosh u sin v , c sinh u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
Exemple 1: S = (
xa
)2+( y
b
)2+(
zc
)2= 1 el.lipsoide de semieixos
a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).
Exemple 2: S = (
xa
)2+( y
b
)2 −(
zc
)2= 1 hiperboloıde d’un full.
Parametritzacio: σ(u, v) = (a cosh u cos v , b cosh u sin v , c sinh u).
Exemple 3: S = x2 + y2− z2 = −1 hiperboloıde de dos fulls. Encoordenades cilındriques podem parametritzar −r2 + z2 = 1 peru 7→ (r(u), z(u)) = (sinh u,± cosh u) i θ = v obtenint laparametritzacio σ(u, v) = (sinh u cos v , sinh u sin v ,± cosh u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3
Sigui S ⊂ R3 una superfıcie donada per una equacio f (x , y , z) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de S es una aplicacio diferenciableσ : D ⊂ R2 → R3, donada per tres funcions de dues variablesx(u, v), y(u, v) i z(u, v) tals que f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ≡ 0.
Exemple 0: S = x2 + y2 + z2 = 1 esfera de de radi 1.Parametritzacio σ(u, v) = (cos u cos v , cos u sin v , sin u).
Exemple 1: S = (
xa
)2+( y
b
)2+(
zc
)2= 1 el.lipsoide de semieixos
a, b, c > 0. Paramet.: σ(u, v) = (a cos u cos v , b cos u sin v , c sin u).
Exemple 2: S = (
xa
)2+( y
b
)2 −(
zc
)2= 1 hiperboloıde d’un full.
Parametritzacio: σ(u, v) = (a cosh u cos v , b cosh u sin v , c sinh u).
Exemple 3: S = (
xa
)2+( y
b
)2−(
zc
)2= −1 hiperboloıde dos fulls.
Parametritzacio σ(u, v) = (a sinh u cos v , b sinh u sin v ,±c cosh u).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies de R3 (continuacio)
Exemple 4’: S = x2 + y2 − z2 = 0 con circular. En coordenadescilındriques r2 − z2 = 0, podem posar u 7→ (r(u), z(u)) = (u, u) iθ = v obtenint la parametritzacio σ(u, v) = (u cos v , u sin v , u).
Exemple 4: S = (
xa
)2+( y
b
)2 −(
zc
)2= 0 con el.lıptic.
Parametritzacio σ(u, v) = (a u cos v , b u sin v , cu).
Exemple 5: S = z =(
xa
)2+( y
b
)2 paraboloide el.lıptic.
Exemple 6: S = z =(
xa
)2 −( y
b
)2 paraboloide hiperbolic.
Els dos ultims exemples son casos particulars d’una situacio mesgeneral:
Exemple 7: S = z = f (x , y) grafic d’una funcio. Parametritzacioσ(u, v) = (u, v , f (u, v)).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Parametritzacions de superfıcies
Sigui σ : D ⊂ R2 → S ⊂ R3, σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))una parametritzacio diferenciable d’una superfıcie S de R3.
2 famılies de corbes en S , u 7→ σ(u, v0) i v 7→ σ(u0, v), ambvectors tangents σu = ∂σ
∂u i σv = ∂σ∂v respectivament.
Diem que la parametritzacio σ es regular quan els vectorsσu i σv son linealment independents ⇔ σu × σv 6= 0.
Si σ es regular aleshores σu i σv generen el pla tangent a Sque es perpendicular a σu × σv i podem definir:
diferencial d’area dS = ‖σu × σv‖ du dv (escalar)
diferencial de superfıcie ~dS = (σu × σv ) du dv (vectorial)
vector normal unitari ~n = σu×σv‖σu×σv‖ (orientacio de S).
L’area d’una regio R = σ(D) ⊂ S es calcula fent la integral doble
A(R) =
∫R
dS :=
∫D‖σu × σv‖ du dv .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Exemple: calcul de l’area d’una esfera
Parametritzacio de l’esfera de radi R > 0:
D = [0, 2π]× [−π2,π
2]
σ−→ S2R ⊂ R3
(u, v) 7−→ (R cos v cos u,R cos v sin u,R sin v)
σu = (−R cos v sin u,R cos v cos u, 0)
σv = (−R sin v cos u,−R sin v sin u,R cos v)
σu × σv = R2 cos v (cos v cos u, cos v sin u, sin v)
dS = R2 cos v du dv
~n = (cos v cos u, cos v sin u, sin v)
A(S2R) =
∫S2
R
dS =
∫D
R2 cos v du dv = R2
∫ 2π
0du
∫ π2
−π2
cos v dv
= 4πR2.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Integrals d’area sobre superfıcies
Sigui σ : D ⊂ R2 → S ⊂ R3 una parametritzacio regular d’unasuperfıcie i ρ : S → R una funcio (de densitat superficial d’algunamagnitud fısica). Definim la integral d’area de f sobre S com∫
Sρ dS :=
∫Dρ(σ(u, v))‖σu × σv‖ du dv .
Exemple: Sigui S = S2R una esfera de radi R > 0 construıda d’un
material homogeni de densitat 1. Calculem el seu centre de masses:
m =RS2R
dm=RS2Rρ dS=
RS2R
dS=···=4πR2
mxcm =RS2R
x dm=RS2R
x dS=R
R cos u cos v‖σu×σv‖ du dv=···=0
mycm =RS2R
y dm=RS2R
y dS=R
R sin u cos v‖σu×σv‖ du dv=···=0
mzcm =RS2R
z dm=RS2R
z dS=R
R sin v‖σu×σv‖ du dv=···=0
Per tant el centre de masses d’una esfera homogenia es el centregeometric de l’esfera.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Parametritzacions Integral d’area Integrals de superfıcie
Integrals de superfıcie d’un camp. Flux
Si ~F un camp vectorial definit sobre una superfıcie orientada Sdefinim la integral de superfıcie∫
S
~F · ~dS :=
∫D
~F (σ(u, v)) · (σu × σv ) du dv =
∫S
(~F · ~n) dS
(“suma” de les parts normals Fn := ~F · ~n sobre la superfıcie S).
Interpretacio: Si ~F es el camp de velocitats d’un fluid aleshores Fn
es la quantitat de fluid travessa S per unitat d’area, “sortint” de S(respecte a l’orientacio donada per ~n) si Fn > 0 i “entrant” a S siFn < 0. Aquesta interpretacio te un sentit inequıvoc quan S es unasuperfıcie tancada orientada pel vector normal exterior ~n. Enaquest cas
∫S~F · ~dS s’anomena el flux del camp ~F a traves de S .
Exercici: Si ~F es constant i S = S2R aleshores
∫S2
R
~F · ~dS = 0
(“tot el que entra surt”).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions
Derivades de funcions i camps vectorials
Si f : R3 → R es una funcio podem pensar el seu gradient∇f = (∂f
∂x ,∂f∂y ,
∂f∂z ) com un camp vectorial que en cada punt
(x , y , z) li fa correspondre el vector ∇f (x , y , z).
Podem pensar ~∇ = ( ∂∂x ,
∂∂y ,
∂∂z ) com un operador vectorial
que actua sobre les funcions f (x , y , z) donant com a resultatel camp vectorial ∇f .
Quines altres operacions podem efectuar amb ∇?
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions
Derivades de funcions i camps vectorials
Si ~F = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un camp vectorialllavors podem definir dues operacions mes:
El producte escalar de ~∇ i ~F :
div ~F := ~∇ · ~F =∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z
que es la funcio anomenada divergencia de ~F .
El producte vectorial de ~∇ i ~F :
rot ~F := ~∇×~F =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣ =“∂F3∂y− ∂F2∂z,∂F1∂z− ∂F3∂x,∂F2∂x− ∂F1∂y
”
que es el camp vectorial anomenat rotacional de ~F .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions
Derivades segones de funcions i camps vectorials
Si f es una funcio i ~F es un camp vectorial, totes les combinacionsque tenen sentit son les seguents:
∇· (∇f ) = ( ∂∂x ,
∂∂y ,
∂∂z ) · (∂f
∂x ,∂f∂y ,
∂f∂z ) = ∂2f
∂x2 + ∂2f∂y2 + ∂2f
∂z2 = ∇2f
que es una funcio anomenada Laplaciana de f .
∇×(∇f ) = ( ∂2f∂y∂z−
∂2f∂z∂y ,
∂2f∂z∂x−
∂2f∂x∂z ,
∂2f∂x∂y −
∂2f∂y∂x ) = (0, 0, 0),
es a dir rot grad f = 0.
∇ · (∇× ~F ) =
∣∣∣∣∣∣∣∂∂x
∂∂y
∂∂z
∂∂x
∂∂y
∂∂z
F1 F2 F3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0, es a dir, div rot ~F = 0.
∇(∇ · ~F ) que es un camp vectorial.
∇× (∇× ~F ) = ∇(∇ · ~F )−∇2~F que es un camp vectorial.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Teorema de Green
Aquest teorema relaciona una integral de lınia al llarg d’una corbatancada simple C del pla R2 amb una integral doble sobre la regioD que delimita C = ∂D.
Teorema de Green (formulacio classica):Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobreuna regio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫
C
~F · ~dL =
∫C
P dx + Q dy =
∫D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy .
Exemple: Si ~F = (−y , x) aleshores ∂Q∂x −
∂P∂y = 2 i per tant∫
∂D
~F · ~dL = 2 A(D).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Teorema de Green
Teorema de Green (formulacio classica):Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobreuna regio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫
C
~F · ~dL =
∫C
P dx + Q dy =
∫D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy .
Reformulacio 1 (en forma vectorial):Sigui ~F = (P,Q, 0) camp vectorial al pla S = z = 0 ⊂ R3
orientat pel vector normal unitari ~n = (0, 0, 1). Recordem que~dS = ~n dS i en aquest cas dS = dx dy . Aleshores∫
∂D
~F · ~dL =
∫D
(∇× ~F ) · ~n dS =
∫D
(rot ~F ) · ~dS ,
ja que ∇× ~F =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x
∂∂y
∂∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣ =(
0, 0, ∂Q∂x −
∂P∂y
).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Teorema de Green
Teorema de Green (formulacio classica):Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobreuna regio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫
C
~F · ~dL =
∫C
P dx + Q dy =
∫D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy .
Reformulacio 2: Siguin ~t = (a, b) i ~n = (b,−a) els vectors tangenti normal exterior a la corba C = ∂D ⊂ R2. Aleshores∫
∂D(~F · ~n) dL =
∫D
div ~F dx dy ,
ja que si definim ~G = (−Q,P) llavors∫∂D
(~F ·~n) dL =
∫∂D
(~G ·~t) dL =
∫∂D
~G · ~dL =
∫D
(∂P
∂x− ∂(−Q)
∂y
)︸ ︷︷ ︸
div ~F
dx dy .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Teoremes de Stokes y GaussTeorema de Stokes:Sigui S ⊂ R3 una superfıcie orientada amb frontera ∂S orientadapositivament i ~F un camp vectorial diferenciable. Aleshores∫
S(rot ~F ) · ~dS =
∫∂S
~F · ~dL.
Teorema de Gauss (o de la divergencia):Sigui S ⊂ R3 una superfıcie tancada (sense vora) delimitant unaregio Ω ⊂ R3. Si denotem per dV = dx dy dz i orientem S = ∂Ωmitjancant el vector normal exterior aleshores∫
Ω(div ~F ) dV =
∫∂Ω
~F · ~dS .
Observacio: Si S1 i S2 son superfıcies amb la mateixa frontera∂S1 = ∂S2 aleshores S1 − S2 = ∂Ω es la vora d’una regio Ω ⊂ R3 iel teorema de Gauss (d’acord amb el teorema de Stokes) implica
0=R
Ω(div rot ~F ) dV =RS1−S2
(rot ~F )· ~dS=RS1
(rot ~F )· ~dS−RS2
(rot ~F )· ~dS .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Teoremes de Stokes y GaussTeorema de Stokes:Sigui S ⊂ R3 una superfıcie orientada amb frontera ∂S orientadapositivament i ~F un camp vectorial diferenciable. Aleshores∫
S(rot ~F ) · ~dS =
∫∂S
~F · ~dL.
Teorema de Gauss (o de la divergencia):Sigui S ⊂ R3 una superfıcie tancada (sense vora) delimitant unaregio Ω ⊂ R3. Si denotem per dV = dx dy dz i orientem S = ∂Ωmitjancant el vector normal exterior aleshores∫
Ω(div ~F ) dV =
∫∂Ω
~F · ~dS .
Observacio: Si S1 i S2 son superfıcies amb la mateixa frontera∂S1 = ∂S2 aleshores S1 − S2 = ∂Ω es la vora d’una regio Ω ⊂ R3 iel teorema de Gauss (d’acord amb el teorema de Stokes) implica
0=R
Ω(div rot ~F ) dV =RS1−S2
(rot ~F )· ~dS=RS1
(rot ~F )· ~dS−RS2
(rot ~F )· ~dS .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Green Stokes i Gauss Camps conservatius
Camps vectorials conservatius
Donat un camp vectorial ~F estem interessats en saber si es de laforma ~F = grad f o ~F = rot ~G per alguna funcio f o algun campvectorial ~G .
Ja coneixem les relacions rot grad f = 0 i div rot ~G = 0. Per tant,obtenim condicions necessaries per cadascuna d’aquestessituacions: rot ~F = 0 i div ~F = 0 respectivament.
Teorema 1:Si ~F es un camp vectorial tal que rot ~F = 0 llavors ~F esconservatiu, es a dir, existeix una funcio f tal que ~F = ∇f .Idea: Pel teorema de Stokes la circulacio de ~F al llarg de tota corba tancada es zero i
per tant la funcio f (P) :=R PP0~F · ~dL no depen del camı per anar de P0 a P.
Teorema 2:Si ~F es un camp vectorial diferenciable a tot R3 tal que div ~F = 0aleshores existeix un camp vectorial ~G tal que ~F = rot ~G .
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Lleis de conservacio
Sigui ~v(x , y , z , t) un camp vectorial (de velocitats) a R3 iρ(x , y , z , t) una funcio densitat d’alguna magnitud fısica quedepenen del temps t. La llei de conservacio d’aquesta magnitudsignifica que per a tota regio Ω ⊂ R3 es verifica:
d
dt
∫Ωρ dV = −
∫∂Ω
~J · ~n dS , on ~J = ρ~v .
Exemple: Llei de conservacio de la massa per a fluids:
Si prenem ρ =densitat de massa i ~v =camp de velocitats, l’equacioanterior ens diu que la variacio (derivada) de la quantitat de massaque hi ha dins de la regio Ω es igual a la quantitat de massa queflueix cap a l’interior (signe menys) de Ω a traves de la seva vora∂Ω. (
∫∂Ω~J · ~n dS es el flux de ~J = ρ~v =massa en moviment.)
L’equacio anterior te un significat fısic molt clar pero es difıcil demanipular matematicament ja que esta expressada com unaintegral sobre un domini Ω qualsevol.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Lleis de conservacio
Sigui ~v(x , y , z , t) un camp vectorial (de velocitats) a R3 iρ(x , y , z , t) una funcio densitat d’alguna magnitud fısica quedepenen del temps t. La llei de conservacio d’aquesta magnitudsignifica que per a tota regio Ω ⊂ R3 es verifica:
∂ρ
∂t+ div~J =
∂ρ
∂t+ ρ div~v + ~v · ∇ρ = 0
Exemple: Llei de conservacio de la massa per a fluids:
Si prenem ρ =densitat de massa i ~v =camp de velocitats, l’equacioanterior ens diu que la variacio (derivada) de la quantitat de massaque hi ha dins de la regio Ω es igual a la quantitat de massa queflueix cap a l’interior (signe menys) de Ω a traves de la seva vora∂Ω. (
∫∂Ω~J · ~n dS es el flux de ~J = ρ~v =massa en moviment.)
Per aixo, gracies al teorema de Gauss podem traduir-la a unaforma que es pot comprovar punt a punt anomenada equacio decontinuıtat.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Equacio de la calor
Una altra funcio fısica interessant es la temperatura T (x , y , z , t)en cada punt (x , y , z) de l’espai en cada instant de temps t.El flux de calor es el camp vectorial ~F = −∇T (el signe menysindica que la temperatura flueix de mes calent a mes fred). Sigui ρla densitat d’energia calorıfica per unitat de volum. Aleshoresρ = cρ0T , on ρ0 es la densitat de massa i c es una constant quedepen del cos anomenada calor especıfic. En aquest cas ~J = κ~F esl’energia calorıfica en moviment, on κ es una constant anomenadaconductivitat del cos.
La llei de conservacio ddt
∫Ω ρ dV = −
∫∂Ω~J · ~dS ens diu que la
variacio de l’energia calorıfica dins de Ω es igual a la quantitat deenergia calorıfica que entra dins Ω a traves de la frontera ∂Ω.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Equacio de la calor
Una altra funcio fısica interessant es la temperatura T (x , y , z , t)en cada punt (x , y , z) de l’espai en cada instant de temps t.El flux de calor es el camp vectorial ~F = −∇T (el signe menysindica que la temperatura flueix de mes calent a mes fred). Sigui ρla densitat d’energia calorıfica per unitat de volum. Aleshoresρ = cρ0T , on ρ0 es la densitat de massa i c es una constant quedepen del cos anomenada calor especıfic. En aquest cas ~J = κ~F esl’energia calorıfica en moviment, on κ es una constant anomenadaconductivitat del cos.
En aquest cas l’equacio de continuıtat ∂ρ∂t + div~J = 0, s’escriu
∂T
∂t= k∇2T ,
on k = κcρ0
es una funcio anomenada la difussibilitat del cos.
Observacio: En un estat estacionari (independent del temps) latemperatura T (x , y , z) verifica l’equacio de Laplace ∇2T = 0.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)El flux del camp electric a traves d’una superfıcie tancada Ses igual a la carrega electrica Q que n’hi ha a l’interior de Ω:∫
S
~E · ~dS =
∫Ω
(∇ · ~E ) dV =
∫Ωρ dV = Q.
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques) El flux delcamp magnetic sobre qualsevol superfıcie tancada es zero∫
S
~B · ~dS = 0.
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
El voltatge (la circulacio de ~E ) al llarg d’una trajectoriatancada simple C = ∂S es igual a la variacio del flux magnetica traves de S : ∫
∂S
~E · ~dL = − ∂
∂t
∫S
~B · ~dS .
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
La circulacio de ~B al llarg d’una corba tancada simple C = ∂Ses proporcional a la suma de l’intensitat de corrent quetravessa S mes la variacio en el temps del flux de ~E per S :∫
∂S
~B · ~dL =
∫S∇× ~B =
1
c2
(∫S
~j · ~dS +∂
∂t
∫S
~E · ~dS
).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
La forca que experimenta una partıcula de carrega q i velocitat ~vve donada per la llei de Lorentz:
~F = q(~E + ~v × ~B)
(La llei de Coulomb F = K q1q2r2 nomes val per carregues estatiques.)
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Electromagnetisme: equacions de Maxwell
Suposem donades la funcio de densitat de carregues electriquesρ(x , y , z , t) i la densitat (vectorial) de corrent ~j(x , y , z , t).Aquestes magnituds determinen els valors dels camps electric~E (x , y , z , t) i magnetic ~B(x , y , z , t) en cada punt de l’espai i cadainstant de temps mitjancant les equacions de Maxwell:
∇ · ~E = ρ (Llei de Gauss)
∇ · ~B = 0 (absencia de carregues magnetiques)
∇× ~E = −∂B∂t (Llei de Faraday)
c2∇× ~B =~j + ∂~E∂t (Llei d’Ampere modificada per Maxwell)
La forca que experimenta una partıcula de carrega q i velocitat ~vve donada per la llei de Lorentz:
~F = q(~E + ~v × ~B)
Gauss+Maxwell⇒ llei de conservacio de la carrega: ∂ρ∂t +∇·~j = 0.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Simplicacio de les equacions de Maxwell
Les dades del problema son la funcio de densitat de carregueselectriques ρ i el camp vectorial de densitat de corrent ~j subjectes al’equacio de continuıtat ∂ρ
∂t +∇ ·~j = 0 expressant la conservacio dela carrega electrica. Les incognites del problema son les 6 funcions(de 4 variables) components dels camps electric ~E i magnetic ~B.
A partir de l’equacio ∇ · ~B = 0 deduım que existeix un campvectorial ~A tal que ~B = ∇× ~A. Observem que si ~A funciona i ψ esuna funcio arbitraria aleshores ~A′ = ~A +∇ψ tambe conve.
De l’equacio ∇× ~E = −∂~B∂t deduım que ∇× (~E + ∂~A
∂t ) = 0 i per
tant existeix una funcio ϕ tal que ~E + ∂~A∂t = −∇ϕ, es a dir,
~E = −∂~A∂t −∇ϕ = −∂ ~A′
∂t −∇ϕ′ on ϕ′ = ϕ− ∂ψ
∂t .
De l’ultima equacio de Maxwell resulta que
c2∇(∇ · ~A)− c2∇2~A =~j − ∂2~A
∂t2−∇∂ϕ
∂t.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Simplicacio de les equacions de Maxwell
Existeix una funcio ψ tal que ∇ · ~A′ = − 1c2∂ϕ′
∂t . Canviant ~A per ~A′
i ϕ per ϕ′ arribem finalment a l’equacio d’ona per ~A:
∇2~A− 1
c2
∂2~A
∂t2= −
~j
c2
A partir de l’equacio ∇ · ~B = 0 deduım que existeix un campvectorial ~A tal que ~B = ∇× ~A. Observem que si ~A funciona i ψ esuna funcio arbitraria aleshores ~A′ = ~A +∇ψ tambe conve.
De l’equacio ∇× ~E = −∂~B∂t deduım que ∇× (~E + ∂~A
∂t ) = 0 i per
tant existeix una funcio ϕ tal que ~E + ∂~A∂t = −∇ϕ, es a dir,
~E = −∂~A∂t −∇ϕ = −∂ ~A′
∂t −∇ϕ′ on ϕ′ = ϕ− ∂ψ
∂t .
De l’ultima equacio de Maxwell resulta que
c2∇(∇ · ~A)− c2∇2~A =~j − ∂2~A
∂t2−∇∂ϕ
∂t.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Simplicacio de les equacions de Maxwell
Existeix una funcio ψ tal que ∇ · ~A′ = − 1c2∂ϕ′
∂t . Canviant ~A per ~A′
i ϕ per ϕ′ arribem finalment a l’equacio d’ona per ~A:
∇2~A− 1
c2
∂2~A
∂t2= −
~j
c2
i per ϕ:
∇2ϕ− 1
c2
∂2ϕ
∂t2= −ρ,
a partir de les quals recuperem els camps electric i magnetic
~E = −∂~A
∂t−∇ϕ
~B = ∇× ~A.
David Marın Calcul de funcions de diverses variables
Corbes Superfıcies Derivades Teoremes integrals Aplicacions Lleis de conservacio Equacio de la calor Electromagnetisme
Simplicacio de les equacions de Maxwell
Existeix una funcio ψ tal que ∇ · ~A′ = − 1c2∂ϕ′
∂t . Canviant ~A per ~A′
i ϕ per ϕ′ arribem finalment a l’equacio d’ona per ~A:
∇2~A− 1
c2
∂2~A
∂t2= −
~j
c2
i per ϕ:
∇2ϕ− 1
c2
∂2ϕ
∂t2= −ρ,
a partir de les quals recuperem els camps electric i magnetic
~E = −∂~A
∂t−∇ϕ
~B = ∇× ~A.Observacio: En absencia de carregues (ρ = 0 i ~j = ~0) els camps~E i ~B es propaguem a la velocitat de la llum c com a oneselectromagnetiques (f (x − ct) es solucio de l’equacio d’ona).
David Marın Calcul de funcions de diverses variables