Download - Clases de matrices semana 01 c
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 1 de 14
SEMANA 01: MATRICES
1.1 DEFINICIÓN
1.2 ORDEN
1.3 IGUALDAD DE MATRICES
1.4 ALGEBRA DE MATRICES
A. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES
B. PRODUCTO ESCALAR POR UNA MATRIZ
C. POTENCIA DE MATRICES
D. INVERSA DE UNA MATRIZ.
1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
1.6 TIPOS DE MATRICES
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 2 de 14
1. MATRIZ
1.1 DEFINICIÓN:
Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos, los cuales pueden
ser números (reales o complejos), funciones, etc., dispuestos en “m” filas
(líneas horizontales) y en “n” columnas (líneas verticales).Su representación
abreviada y explicita es:
ij m xnA a
# columnas
# filas
Donde
aij , se lee: a sub i j, son los elementos o entradas de la matriz A con
1, 1,i m j n .
Cada elemento del arreglo matricial asocia los subíndices i (representa la fila)
y j (representa la columna), los cuales indica la posición del elemento. Por
ejemplo a23 es el elemento de la 2da fila y 3era columna. Es decir el lugar de
cada elemento queda determinado por i, j.
1.2 Orden o Dimensión de una Matriz
Se denota por la multiplicación mxn, indicando el número de filas y columnas
respectivamente. Por ejemplo:
Sea la matriz ij m x n
A a , matriz A de orden mxn. Es decir, la matriz tiene m
filas y “n” columnas.
Al conjunto de todas las matrices de orden m x n de elementos reales, se denota como ( )m nM
1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
i i
j
j
j
j
n
n
i i i
m m m m
n
nm
a a a a a
a a a a a
Aa a a a a
a a a a a
Filas
Columnas
Indica que A es la matriz de orden
m×n , de elementos aij
El orden de una matriz no es conmutativo.
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 3 de 14
1.3 IGUALDAD DE MATRICES
Se dice que dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden y sus
elementos que tienen la misma posición son iguales. Es decir, sean las
matrices nmijaA ×= ][ y [ ]ij p qB b se dice que:
ij
i) Tienen el mismo orden, es decir: m p y n q, y
ii) a , ,m n p q
ij
A Bb i j
1.4 ALGEBRA DE MATRICES
A. Suma y diferencia de Matrices
Sean nmijaA ×= ][ y [ ]ij m nB b . Se denota y define la Suma( o diferencia)
de A y B como:
ij ij ij ij ijm n m n m n m nC c A B a b a b
Esto es, la suma(o diferencia) de matrices del mismo orden es otra matriz del mismo orden que se obtiene al sumar(o restar) elementos correspondientes de las matrices.
Ejemplos:
Sean 2 3,A B M
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2
1 9 7 6 1 7 9 6 6 3
5 3 0 10 5 0 3 10 5 13
Sean 2 3 5 3 no esta definida, es decir A M y B M A B
a. Propiedades:
PROPIEDADES DE LA SUMA: Sea , , m nA B C M
Asociativa ( ) ( )A B C A B C
Conmutativa A B B A
Elemento Neutro 0 / 0 0m n A A A
Donde 0 : Matriz nula. Elementos todos nulosm n
Elemento Opuesto / 0m n m nA A A A A
: Matriz opuesta de A. Elementos opuesto de Am nA
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 4 de 14
B. Multiplicación de un Escalar por una Matriz
Sea (o ) m ny A M . Se denota y define la multiplicación del
escalar por A como:
ij ijm n m nA a a
Esto es, la multiplicación del escalar por A es otra matriz del mismo
orden que se obtiene al multiplicar por cada uno de los elementos
de A.
Ejemplos:
Sean 2 2y A M
11 12 11 12
21 22 21 22
a a a a
a a a a
2 2 2 2 2 2
1 9 5*( 1) 5*9 5 455
0 3 5*0 5*3 0 15
b. Propiedades:
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sea , (o ) , m ny A B M
Asociativa A A
Conmutativa A A Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Matrices ( )A B A B
Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Escalares ( )A A A
C. Multiplicación de matrices
Sean ij m n jk n pA a M y B b M . Se denota y define la
multiplicación de A por B como:
1
/n
ij jk ik ik ij jkm x pm x n n x pj
C AB a b c c a b
iguales
Esto es, la multiplicación de porij jkm n n pA a B b
es otra matriz
ik m x pC c , cuyos ikc se obtienen al multiplicar la fila “i” de A por la
columna “k” de B.
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 5 de 14
Los productos de AB y BA existen, sin embargo son
diferentes. ¡EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES
CONMUTATIVO!
Ejemplos:
1 3AB 01 3
2
9
5
1 1
3 1
1( 2) 3(9) 0(5) 25 25: Escalar
2 3
3 2
1 15 2 3
4 0 ,7 6 8
9 0
Sea A B
. Calcule C = AB y D = BA.
2 3
3 2
3 3
3 3
1 15 2 3
4 07 6 8
9 0
5 2 31 1 1 1 1 1
7 6 8
5 2 34 0 4 0 4 0
7 6 8
5 2 39 0 9 0 9 0
7 6 8
12 4 5
20 8 12
45 18 27
AB
Orden de C: 3 x 3
=
C=
2 3
3 2
2 2
1 15 2 3
4 07 6 8
9 0
1 1
5 2 3 4 5 2 3 0
9 0
1 1
7 6 8 4 7 6 8 0
9 0
40 5
89 7
D BA
ij jk ik m pm n n pA a y B b C AB c
El producto de matrices es “COMPATIBLE” (se puede calcular), si el nº de columnas de A es igual al nº de filas de B.
El orden de la matriz producto (C), lo determina el nº de filas de A por el nº de columnas de B.
ma mafila de A columna de B
ikc i K
Multiplicar la fila “i” de A por la columna “k” de B: se multiplica
término a término los elementos de la fila i de la matriz A por los de la
columna k de la B, luego se suman.
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 6 de 14
3 4 3 2
3 2 1 1 0
4 2 9 , 3 2
7 5 6 1 5
Sea A B
. Calcule C = AB y D = BA.
3 3 3 2
3 2
3 2
3 2 1 1 0
4 2 9 3 2
7 5 6 1 5
3( 1) 2.3 1.1 3.0 2.2 1.5
4( 1) 2.3 9.1 4.0 2.2 9.5
7( 1) 5.3 6.1 7.0 5.2 6.5
4 9
11 49
14 40
AB
3 2 3 3
1 0 3 2 1
3 2 4 2 9
1 5 7 5 6
BA
BA
En este caso: , pero AB BA
1 1 2 1/3
3 4 1 31 1 2 1/3 3 10 / 3,
3 4 1 3 10 132 1/3 1 1
1 3 3 4
AB
Sea A B
BA
AB BA
NOTAS
Sea AB y BA:
c. Propiedades:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sea , , compatiblesA B C
Asociativa A BC AB C
Distributiva del Producto Respecto a la Suma (SIEMPRE QUE EXISTAN LAS OPERACIONES)
( )A B C AB AC
( )A B C AC BC
Elemento Neutro (Matriz Unidad) por la Derecha e Izquierda
',AI A I A A
n x n
Nota:, M
AI IA A
A I
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 7 de 14
, , compatiblesA B C
a. ' "0 0 , 0 0A A
' "
0 0Nota:
0 0
no siempre son del mismo orden
y
y
b. n x n0 0 0 ,0 MA A A
c. 0, no implica que 0 0si AB A ó B . Ejemplo
1. 1 1 3 2 0 0
1 1 3 2 0 0AB
, pero 0 0A y B
2. 9 0 0 0 0 0
7 0 3 5 0 0AB
, pero 0 0A y B
d. No cumple con la propiedad cancelativa: AB AC B C
Ejemplo
3. 1 0 1 0 1 0 1 0
, pero 2 0 8 1 2 0 5 3
AB AC
B C
4. 1 1 3 2 1 1 2 1
, pero 1 1 3 2 1 1 2 1
AB AC
B C
e. No cumple fórmula del Binomio, pues el producto no es
conmutativo: 2 2 2 2 22A B A AB BA B A AB B
D. Potencia de Matrices
La potencia de matrices está definida solo para matrices cuadradas (aquellas que tienen el mismo nº de filas y columnas).
Sea ( )n xnk y A M . La Potencia k-ésima de A, se denota y define
como:
, 0
, 1
. . ... , 2( )
k
n xn
k VECES
I si k
P A A si k
A A A A k natural
Esto es, La Potencia k-ésima de A es otra matriz del mismo orden de A, que se obtiene multiplicando k veces A.
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 8 de 14
Ejemplos:
Sean 1 1
, .1 1
nA Halle A
2
3 2
1 1
1 1
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
2 2 1 1 4 4
2 2 1 1 4 4
2 2
2 2
n n
n
n n
A AA
A A A
A
5 11 101,Si A I halle A y A (ejercicio)
d. Propiedades: Sea p
E. Inversa de una Matriz La inversa de una matriz sólo se define para matrices cuadradas.
Sea n nA M . Se Dice que A es invertible si tiene inversa, la cual se
denota por ´ 1
n nA M
, tal que:
1 1
nxnAA A A I
Esto es, la inversa de A es otra matriz ´ 1A del mismo orden, tal que ´ 1A y A conmutan y da la identidad.
No todas las matrices cuadradas tienen inversa, así las matrices que
tiene inversa se llama matrices regulares y la que no tiene inversa se
denomina matrices singulares.
1 1
0
, : Matriz Inversa de Ap
p
p q p q
qp pq
p
A A A
A I
A A A
A A
I I
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 9 de 14
Ejemplos:
Sea 1 1a b d bA A
c d c aad bc
11 4
/2 3
Halle A A
(ejercicio)
d. Propiedades:
1Aes única
1
1A A
1 1 1AB B A
1 11
, 0A A
Si A es regular, las siguiente leyes cancelativas son válidas: • Si AB = AC entonces B = C • Si BA = CA entonces B = C
1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Sea mxnA M . Se denota y define la traspuesta de A, como:
m nA M
/T T
ij ji ijn m m nm nA a a A a
Esto es, la transpuesta de Amxn (TA ) es otra matriz de orden nxm, que
se obtiene intercambiando filas por columnas o viceversa de forma
ordenada. Por ejemplo: la 1º fila de A es la 1º columna de TA así sucesivamente hasta llegar a la última fila de A que será la última
columna de TA .
Ejemplos:
Sea T
a da b c
A A b ed e f
c f
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 10 de 14
1 8 9
/ 0 4 8
7 5 3
THalle A A
(ejercicio)
Determine el orden de la transpuesta de las siguientes matrices:
5 3 5 3
TSoluciónA M A M 7 2 2 7
TSoluciónB M B M
Sea
1 5 6 7 2 1 0 0
4 0 2 5 5 9 6 4
3 8 2 1 7 2 5 8
A y B
. Hallar ,TT TA B A B .
Solución:
1 4 3 2 5 7 3 1 10
5 0 8 1 9 2 6 9 10
6 2 2 0 6 5 6 8 7
7 5 1 0 4 8 7 9 9
T T T TA y B A B
Por otro lado:
3 1 103 6 6 7
6 9 101 9 8 9
6 8 710 10 7 9
7 9 9
TA B A B
Propiedades:
a. T
TA A
b. 1
1T
TA A
c. ,T TT T T TAB B A A B A B
d. ,T TA A
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 11 de 14
1.6 TIPOS DE MATRICES:
TIPO DE MATRIZ: Sea A= [aij]m x n
DEFINICIÓN EJEMPLO
Según e
l ord
en
RECTANGULAR
Aquella cuyo número de filas es diferente al nº de columnas, siendo su orden m n , m n
3 4
3
8
11
A
1 7 5
2 0 1
3 6 9
PUEDE SER
FILA Aquella de orden “1xn” ( 1≠n ) 31]51[ xA =
COLUMNA Aquella cuyo orden es de “mx1”,
)1≠(m 3 1
5
2
3x
A
CUADRADA
Cuando el nº de filas y columnas
son iguales ( nm= ). Se denota nA
y se lee matriz A de orden “n”.
3
3
A
1 7 5
2 0 1
3 6 9
nijaA ][= :
Diagonal Principal (DP) Diagonal Secundaria (DS) Traza de A: tr (A)
Son los ji=∀a ij .
(Unir extremo superior izquierda con extremo inferior derecha).
Son los 1∀a ij +=+ nji ,
es decir son: a1n, a2(n-1), a3(n-
2),…, an1. (Unir extremo superior derecha con extremo inferior izquierda).
Es la suma de los elementos de la DP.
Ejemplo: DP: 1, 2, 5
DS: - 6, 2, - 2
Tr(A)=1+ 2+5= 8
Matrices Cuadradas An Especiales
TRIANGULAR
Aquella cuyos elementos que están por encima o debajo de la diagonal principal son nulos. Puede ser:
jiaij >= ∀,0⇔orM.T.Superi
(Debajo de la DP todos nulos).
jiaij <= ∀,0⇔orM.T.Inferi
(Encima de la DP todos nulos).
-3
0
0
4
8
5
2
0
0
Triangular Superior
A3 =
-3
1
7
0
0
5
0
0
9
Triangular inferior
A3 =
DIAGONAL
Aquella donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros (por encima y por debajo de la DP). Es decir que es Triangular Superior e Inferior a la vez.
ji≠=⇔ ∀0a Diagonal esA ij
43 9000
0100
002-0
0000
A4 =
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 12 de 14
Matrices Cuadradas An Especiales
TIPO DE MATRIZ:
Sea A= [aij]m x n DEFINICIÓN EJEMPLO
ESCALAR
Es una matriz diagonal cuyos elementos de la DP son todos iguales.
ij
ij
a 0, ; yA es Escalar
a ( ) ,
i j
k cte i j
4
3000
0300
0030
0003
A4 =
IDENTIDAD
Matriz escalar, cuyos elementos de la DP son la unidad. Se denota por I.
ji
ji
==
=
∀,1a
y ≠∀,0a⇔ Identidad M. esA
ij
ij
SIMÉTRICA
Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son iguales.
ji ,∀,aa⇔ Simétrica esA jiij= o
TA=A⇔ Simétrica esA
ANTISIMÉTRICA (Hemisimétrica)
Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son opuestos y los elementos de la DP son nulos.
ji ,∀a - a⇔ icaAntisimétr esA jiij= o
TA - A⇔ icaAntisimétr esA =
0
1
7
-1
0
0
-7
9
-9
A3 =
INVERSA
La inversa de A (denotada por A-1) existe, si es conmutable con A cuyo resultado es la matriz identidad.
IAsiA ==∃ *AA *A, 1 -1 -1 -
La matriz que tiene inversa se llama REGULAR, INVERTIBLE O NO SINGULAR, de lo contrario se dice que es SINGULAR
57
4-3A2 =
3/437/43-
43/443/5=1 -A
ORTOGONAL
Aquella Matriz cuya Transpuesta es igual a su inversa. Por tanto una matriz ortogonal multiplicada por su traspuesta es la identidad.
IAAAA =⇔= T1 -T *⇔ ortogonal esA
A=xsenx
xxsen
cos
cos -
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta.
. .T TA A A A
Si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 13 de 14
Matrices Cuadradas An Especiales
Si una matriz cuadrada A es periódica, idempotente, nilpotente o involutiva resulta muy sencillo calcular las potencias naturales de la matriz A.
TIPO DE MATRIZ: Sea A= [aij]m x n
DEFINICIÓN EJEMPLO
PERIÓDICA
La matriz A es Periódica de periodo “p” ( menor entero positivo), si
1/ pp A A
Si A es Periódica de periodo “p”, se
cumple: ,p k kA A k
Para cualquier otro valor entero positivo de
“p” que cumple AAp =+1 , se dice solamente que A es periódica.
=3A
1
-3
2
-2
2
-3
-6
9
0
=A
A es de periodo p=2
IDEMPOTENTE
Es una matriz igual a su cuadrado.
2A es Idempotente A A
Por tanto:
kA es Idempotente A ,A k
A=10
1 -02A=
A es Idempotente
NILPOTENTE
La matriz A es Nilpotente de índice “p” ( menor entero positivo), si
npAp 0/∈∃ =
Si A es Nilpotente de índice “p”, se
cumple: pkA nk ≥= ∀,0
Para cualquier otro valor entero positivo de
“p” que cumple npA 0= , se dice
solamente que A es Nilpotente.
0
0
0
-4
0
0
0
0
3
A = , =2A
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=A
A es Nilpotente de índice “2”
INVOLUTIVA (Unipotente)
Su cuadrado coincide con la identidad.
I=2A⇔Involutiva esA
Por tanto:
AA =⇔= 1 -IA*A⇔Involutiva esA
Nota:
∈∀,A
∈∀,A⇒Involutiva esA
12k
2k
kA
kI n
=
=
+
1 1 2
0 1 0
0 0 1
A
A es involutiva, pues A2 = A*A= I
302
923
621
A
E.P INGENIERIA CIVIL MATEMÁTICA BÁSICA II 2013
PROF. MIRELI RAMIREZ C.
Página 14 de 14
Según s
us E
lem
ento
s
Estas pueden ser Rectangulares o Cuadradas
TIPO DE MATRIZ:
Sea A= [aij]m x n DEFINICIÓN EJEMPLO
REAL Si sus elementos son números reales:
R∈a ij
A= 1 2 3
4 5 6
COMPLEJA
Si sus elementos son complejos: C∈a ij
Pueden ser rectangulares o cuadradas
1 2
1 3
2 0
i i
A i i i
i
Sólo para Cuadradas, excepto la conjugada:
Conjugada: A
La Matriz Conjugada de una matriz A
de cualquier orden, A , sus elementos son los conjugados de los de A.
( ) .a los de conjugado el es / ijijij aaA=
1 2
3 2 3
i iA
i
1 2
3 2 3
i iA
i
Hermitiana
A es Hermitiana, si T
AA=
Es decir: j , i∀,jiij aa = .
Sus elementos que están dispuestos simétricamente con respecto a la DP son conjugados y los elementos de la DP son reales.
Nota: T
TA A
2 2 3 4 5
2 3 5 6 2
4 5 6 2 7
i i
A i i
i i
2 2 3 4 5
2 3 5 6 2
4 5 6 2 7
T
i i
A i i
i i
2 2 3 4 5
2 3 5 6 2
4 5 6 2 7
T
i i
A i i
i i
Como TA A , A es una
matriz hermitiana
Antihermitiana
A es Antihermitiana, si
TAA - = .Es decir: j , i∀, - jiij aa =
O
A es Antihermitiana, si
TAA - = Es decir: j , i∀, - jiij aa =
02
31
21
i
iii
ii
A
02
31
21
i
iii
ii
AT
02
31
21
i
iii
ii
A
AAT , por lo tanto A es una matriz antihermitiana.
Las matrices simétricas son un caso especial de las hermitianas y las matrices antisimétricas son un caso especial de las antihermitianas. Por lo tanto, toda matriz simétrica es hermitiana, pero una matriz hermitiana no necesariamente es simétrica. De la misma forma, toda matriz antisimétrica es antihermitiana, pero una matriz antihermitiana no necesariamente es antisimétrica.
NULA Todos sus elementos son nulos 2 3
0 0 0
0 0 0A
OPUESTA
Se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz A= (aij). Se escribe –A y está dada por - A=(-aij)
ESCALONADA
Una matriz escalonada por filas es una matriz tal que en cada fila el número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que en la fila anterior.
Una matriz Reducida, es una matriz escalonada con elementos pivotes a la unidad.
La matriz triangular es una matriz escalonada.