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UINTA SEPARATA DE ÁLGEBRA
CICLO: 2003 - I
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
Determina polinomios y calcula restos endivisiones donde el Teorema del resto no se puede
aplicar directamente.
Principios:
1º. Si un polinomio es divisible entre otro entoncesel residuo es cero.
0)()( =→÷ R xQ x P
2º. Si un polinomio es divisible por separado entre
varios binomios, entonces ser divisible entre el
producto de ellos. Si:
0))(()(
0)()(
0)()(
=→++÷⇒
=→+÷
=→+÷
Rb xa x x P
Rb x x P
Ra x x P
!º. Si un polinomio es divisible entre otro
"actori#able, entonces ser divisible entre cada unode los "actores por separado. Si:
0)()(
0)()(
0)(()( 2
=→+÷⇒
=→+÷⇒
=→+++÷
Rb x x P
Ra x x P
Rab xba x x P
$º. Si al dividir un polinomio entre varias
e%presiones por separado d un mismo resto,entonces al dividirlo entre el producto de ellos,
tambien nos dar el mismo resto com&n. Si:
k Rb xa x x P
k Rb x x P
k Ra x x P
=→++÷⇒
=→+÷
=→+÷
))(()(
)()(
)()(
'º. Si un polinomio se anula para %a, entonces
ser divisible entre (%a). Si P(a)0
0)()( =→−÷⇒ Ra x x P
*º. Si un polinomio es "actori#able, entonces ser
divisible entre cual+uiera de sus "actores.
Sea:
xbcacab xcba x x P ++++++= )()()( 2!
0))(()(
0)()(
2=→+++÷⇒
=→+÷⇒
Rab xba x x P
Rc x x P
º. Si al dividendo y divisor se multiplica por unamisma cantidad, el cociente no se altera, pero el
resto +ueda multiplicado por dic-a cantidad Si:
nRQnd nD
RQd Dn
+=⇒
+=
.
).(
º. Si al dividendo y divisor se divide entre una
misma cantidad, el cociente no se altera, pero elresto +ueda dividido por dic-a cantidad. Si:
n
RQ
n
d
n
D
n
RdQ D+=⇒
+−
PROBLEMAS
1. /l dividir un polinomio P(%) entre (%!!%2)
se obtiene como residuo: !%2'%2. alcular
el residuo +ue se obtiene de dividir dic-o
polinomio entre (%1).2. Si se divide un polinomio P(%) entre (%! )
se obtiene !%2*%1! como resto. allar el
resto de dividir dic-o polinomio entre
(%22%$).
3. alcular el termino independiente de un
polinomio de 'º 3rado +ue sea divisible entre
(2%$!) y +ue al dividirlo separadamenteentre (%1) y (%2).
4. 4ncontrar un polinomio P(%) de !º 3rado
sabiendo +ue al dividirlo separadamenteentre (%!), (%2) y (%') se obten3a siempre
el mismo residuo 5* y al dividirlo entre
Humanizando al hombre con la educación
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5 t a. Separata 2 Álgebra – CICLO 200 ! I
(%1) el resto sea 5$2. Dar como respuesta la
suma de sus coe"icientes.
5. allar el polinomio P(%) de 3rado ! si es
divisible entre (%2) y (%!) y cuya suma de
coe"icientes es $ y tiene por terminoindependiente a *.
6. /l dividir un polinomio P(%) entre (%1) y(%1) se obtienen como restos 2 y $
respectivamente. allar el resto de dividir dic-o polinomio entre %2 5 1.
7. 6n polinomio P(%) de tercer 3rado se divide
separadamente entre (%1)7 (%2) y (%!)7
dando como resto com&n '. /dems aldividirlo entre %1 da un resto i3ual a 28.
alcular el t9rmino independiente de P(%).
8. /l dividir P(%) entre (%1) se obtuvo comoresto 2. ;u9 resto se obtendr al dividir
(P(%))10 entre (%1).
9. Si los polinomios
!)(
*)(
2
2
++=
++=
bx x x g
ax x x f son divisibles
por c x xh += 2)( , -allar acbc.
10. Determinar un polinomio de 'to. 3rado +uesea divisible entre 2%$! y +ue al dividirlo
separadamente por %1 y %2 los restosobtenidos sean respectivamente y 2!2.
COCIENTE NOTABLE
<lamaremos .= a los cocientes +ue se obtienen
en "orma directa, es decir, sin la necesidad de
e"ectuar la operaci>n de divisi>n.Son de la "orma:
y x
y x nn
±
±7 n∈ = ∧ n≥2
CASOS
1)
y x
y x nn
−
− 4s .=. ∀ n∈ =
2) y x
y x nn
+
−4s .=. ∀ n par
!) y x
y x nn
+
+
4s .=. ∀ n impar
$) y x
y x nn
−
+ ?NO! 4s .=.
PROPIEDAD:
Siba
mn
y x
y x
±
± @enera un .=. <ue3o:
r b
m
a
n== donde r ∈ N.
Termino K-esimo.
1−−=
k k n
k y xt
PROBLEMAS
1. De:2
.0$0
baba
−
− , -allar el termino
de lu3ar 21.
2. ;u9 lu3ar ocupa el termino de 3rado!$ en el cociente notable 3enerado por:
y x
y x
−
−
2
20$0
A.
!. alcular m si la divisi>n:
mm
mm
y x y x−
−
+
++
1
211!
3enera un
.=.
$. Si la division:
)(.
)()(22
100100
y x xy
y x y x
+
−−+, es
un .=. calcular el valor numerico del
termino central para %! e y 22 .
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5 t a. Separata Álgebra – CICLO 200 ! I
'. Beducir:
2...
1...
2
!2!$!*!
2,2,$,*,
+
++−+−
−+−+−
x
x x x x
x x x x x
*. 4n el .=. dado por:,! y x
y x ba
−
−,
e%iste un t9rmino central +ue es i3ual a2!1
y xc
, allar abc.
Lima, febrero del 2003
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