Clase No. 28:
Introducción a EDP:Ecuaciones hiperbólicas
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]
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Ecuación de onda unidireccional
ut + aux = 0
u(x,0) = u0(x)
donde a es una constante, t representa el tiempo y x es la variable espacial.Se puede ver que la solución es de la forma
u(x, t) = u0(x− at)
−3 −2 −1 0 1 2 3
01
23
45
c(−3, 3)
c(−
0.5,
5)
h h
k
k
uji
j
i
x
t
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Convergencia y consistencia (I)
Convergencia
Un esquema de un paso de diferencias finitas es convergente si se tieneque las aproximaciones uij de las solución u(x, t) cumplen con uij → u(xj, ti) sih,k→ 0.
Consistencia
Dada una EDP Pu = f y un esquema de diferencias finitas Ph,kv = f , decimosque el esquema es consistente con la EDP si para cualquier función suaveϕ(x, t) se tiene que
Pϕ − Ph,kϕ→ 0 si h,k→ 0.
La convergencia es en cada punto (x, t).
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Convergencia y consistencia (II)
Ejemplo. Consideremos el esquema FTFS. y la ecuación de onda. Entonces
P =∂
∂t+ a
∂
∂x
Pϕ = ϕt + aϕx
Ph,kϕ =ϕi+1j − ϕijk
+ aϕij+1 − ϕ
ij
hϕij
= ϕ(jh, ik)
Aplicando el desarrollo de Taylor:
ϕi+1j = ϕi
j+ kϕt +
1
2k2ϕtt +O(k3)
ϕij+1 = ϕi
j+ hϕx +
1
2h2ϕxx +O(h3)
donde todas las derivadas están evaluadas en (jh, ik). Así
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Convergencia y consistencia (III)
Ph,kϕ = ϕt + aϕx +1
2kϕtt +
1
2ahϕxx +O(k2) +O(h2)
Entonces
Pϕ − Ph,kϕ = −1
2kϕtt −
1
2ahϕxx +O(k2) +O(h2)→ 0
si h,k→ 0. Por tanto, el esquema es consistente.
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La condición CFL (I)
Proposición
Para un esquema explícito de la ecuación ut + aux = 0, que es de la formaui+1j = αuij−1 + βuij + γuij+1 en el que λ = k/h se mantiene constante, una
condición necesaria para la estabilidad es la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),
|aλ| ≤ 1.
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La condición CFL (II)
La rapidez de propagación numérica para el esquema es h/k = λ−1. Sireescribimos la condición CFL como
λ−1 ≥ |a|,
interpretamos la condición como que la rapidez de propagación numéricadebe ser mayor o igual que la rapidez de propagación de la ecuacióndiferencial.
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Ecuación de onda bidireccional (I)
Sea Ω = (0,X). Queremos calcular la solución u(x, t) en Ω× [0,T] delproblema
ρ(x)utt(x, t)− μuxx(x, t) = g(x, t) (x, t) ∈ Ω× [0,T] (1a)
u(x,0) = f1(x) x ∈ Ω (1b)
ut(x,0) = f2(x) x ∈ Ω (1c)
u(0, t) = h1(t) t ∈ [0,T] (1d)
ux(X, t) = h2(t) t ∈ [0,T] (1e)
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Ecuación de onda bidireccional (II)
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Solución mediante diferencias finitas
Dividimos los intervalos Ω y [0,T] de la siguiente manera
0 = x0 < x1 < ... < xM = X con xj = j∆x, ∆x =X
M.
0 = t0 < t1 < ... < tL = T con ti = i∆t, ∆t =T
L.
Denotamos por uij el valor de la solución numérica en el nodo (j, i). Tambiénusamos la siguiente notación
ρj = ρ(xj), gij
= g(xj, ti),
para indicar el valor de la función en el nodo.
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Discretización del dominio
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
x
y
u00 u1
0 u20 ... uM−2
0 uM−10 uM
0
u01 u1
1 u21 ... uM−2
1 uM−11 uM
1
u(x,0)=f1(x), ut(x,0)=f2(x)
u(0,t)=h1(t) ux(X,t)=h2(t)
uj−1i uj
i uj+1i
uj(i−1)
uj(i+1)
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Esquema de solución explícito (I)
Tenemos que para i = 0 y 0 ≤ j ≤M,
u0j
= f1(xj).
Para j = 0 y 1 ≤ i ≤ L se tiene que
ui0 = h1(ti).
Para i = 1 y 1 ≤ j ≤M− 1, podemos tomar la siguiente aproximación
u1j
= u0j
+ ∆t(ut)0j
+∆t2
2(utt)
0j
= u0j
+ ∆t(ut)0j
+∆t2
2
1
ρj
g0j
+ μu0j+1 − 2u0
j + u0j−1
∆x2
= u0j
+ ∆t f2(xj) +∆t2
2ρj∆x2
∆x2g0j
+ μ(u0j+1 − 2u0
j+ u0
j−1)
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Esquema de solución explícito (II)
Para j = M y 1 ≤ i ≤ L podemos tomar la aproximación
h2(ti) = ux(xM, ti) ≈uiM−2 − 4ui
M−1 + 3uiM
2∆x
=⇒ uiM
=4ui
M−1 − uiM−2 + 2∆xh2(ti)
3Finalmente, para 1 ≤ j ≤M− 1 y 1 < i ≤ L, tenemos
ρj
∆t2(ui+1
j − 2uij+ ui−1
j )−μ
∆x2(ui
j+1 − 2uij+ ui
j−1) = gij.
de donde
ui+1j = 2ui
j− ui−1
j+
∆t2
4∆x2ρj
4∆x2gij+ 4μ(ui
j+1 − 2uij+ ui
j−1)
En los ejemplos, fijamos el valor de M, y calculamos
∆t < s∆xμ
maxρ,
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Esquema de solución explícito (III)
para algún s ∈ (0,1). Luego calculamos el valor de L:
L = dT/∆t − 1e .
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Ejemplo 1 (I)
Definimos ρ(x) = μ(x) = 1. Queremos que la solución del problema (1) sea lafunción
u(x, t) = sinπ
2xcos
π
2t.
Entonces
f1(x) = u(x,0) = sinπ
2x
f2(x) = ut(x,0) = 0
h1(x) = u(0, t) = 0
h2(x) = ux(0, t) = 0
La solución obtenida para X = 1 y T = 6 se muestra en las siguientes figuras.
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Ejemplo 1 (II)
Las siguientes gráficas muestran el valor del error promedio entre lasolución analítica y la numérica para cada instante de tiempo
Error(ti) =
√
√
√
√
1
M+ 1
M∑
j=0
[u(xj, ti)− uij]2.
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Ejemplo 1 (III)
usando diferentes valores de los parámetros M y L.
0 1 2 3 4 5 6
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
M=250
t
Err
or p
rom
edio
L=2008L=3012L=6024
0 1 2 3 4 5 6
0e+
002e
−04
4e−
046e
−04
8e−
04
M=500
t
Err
or p
rom
edio
L=4009L=6013L=12025
También se muestra el valor de la aproximación de la energía en cadainstante de tiempo
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Ejemplo 1 (IV)
Energía(ti) =1
2
M∑
j=0
[(δxuij)2 + (δtu
ij)2]∆x
donde δxuij y δtu
ij son aproximaciones de la derivadas en las direcciones x y
t en el nodo (j, i).
0 1 2 3 4 5 6
0.61
9301
0.61
9303
0.61
9305
M=250
t
Ene
rgia
L=2008L=3012L=6024
0 1 2 3 4 5 60.61
8079
60.
6180
802
0.61
8080
8
M=500
t
Ene
rgia
L=4009L=6013L=12025
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Ejemplo 1 (V)
Para el caso continuo
Energía(tj) =1
2
∫ 1
0(u2
x+ u2
t)dx =
π2
8
La línea punteada de la gráfica muestra este valor y la línea azul es laenergía para la solución obtenida con M = 500 y L = 12025.
0 1 2 3 4 5 6
0.61
700.
6174
0.61
78M=500 L=12025
t
Ene
rgia
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Ejemplo 2 (I)
Definimos ρ(x) = μ(x) = 1.
Sean X = 1.0 y T = 9.0. Resolvemos el problema con las siguientecondiciones
f1(x) = u(x,0) = 0, f2(x) = ut(x,0) = 0.
h1(t) = u(0, t) = 0.0, h2(t) = ux(1, t) = 0.0
Tomando M = 500 se tiene que L = 6013 para s = 0.75. La solución obtenidacon el esquema explícito se muestra a continuación.
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Ejemplo 2 (II)
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Ejemplo 2 (III)
Queremos comparar esta solución con otras soluciones obtenidas condiscretizaciones más burdas, para ver si no hay grandes cambios. Para esto,a partir de cada solución calculamos los valores de la solución en unaretícula que tiene 300 puntos en la dirección x y 2000 en la dirección t,usando interpolación bilineal. Con esos valores calculamos el error promedioen cada instante de tiempo
E(tj) =
√
√
√
√
1
300
300∑
i=1
(vji − u
ji)
2, j = 1, ...,2000,
donde vji son los valores obtenidos para la solución calculada con la
discretización de mayor resolución. La siguiente gráfica muestra lacomparación del error entre 3 discretizaciones.
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Ejemplo 2 (IV)
0 2 4 6 8
0.00
000.
0005
0.00
100.
0015
Comparacion con M=500, L=6013
t
Err
or
M=250 L=3012M=100 L=1212
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