Clase No. 26:
Introducción a EDP:Ecuaciones hiperbólicas
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]
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Esquema de numeración "red-black" (I)
Para resolver el sistema lineal de ecuaciones que resulta al aplicar elmétodo de diferencias finitas a una ecuación elíptica medianteGauss-Seidel, se puede usar una numeración tipo "red-black":
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
●
1●
19●
2●
20●
3●
21
●
22●
4●
23●
5●
24●
6
●
7●
25●
8●
26●
9●
27
●
28●
10●
29●
11●
30●
12
●
13●
31●
14●
32●
15●
33
●
34●
16●
35●
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36●
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Ecuaciones diferenciales hiperbólicasUn caso más simple que la ecuación de onda utt = auxx, es la ecuación deonda de una sola dirección (de propagación), la cual tiene como PVI:
ut + aux = 0
u(x,0) = u0(x)
donde a es una constante, t representa el tiempo y x es la variable espacial.Se puede ver que la solución es de la forma
u(x, t) = u0(x− at)
Analizando la solución, observamos lo siguiente
• La solución en cualquier instante de tiempo es igual a la inicial eninstante t = 0, con una traslación.
• El valor de la solución es el mismo sobre las rectas x− at = c, llamadascaracterísticas.
• El parámetro a es la rapidez de propagación a lo largo de lascaracterísticas.
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Condiciones de frontera (I)
Consideremos la ecuación
ut + aux = 0 x ∈ [0,1], t ≥ 0.
Además de la condición inicial, queremos agregar una condición de frontera.
Si a es positivo, las características se propagan de izquierda a derecha.Entonces, si imponemos una condición una condición de frontera, debe seren x = 0.
Si se hace esto, no hay que agregar una condición de frontera adicional enx = 1, pues si hace esto, el problema queda sobredeterminado.
Si especificamos que u(x,0) = u0(x) y que u(0, t) = g(t), entonces la solucióndel problema es
u(x, t) =
¨
u0(x− at) x− at > 0,g(t − x/a) x− at < 0.
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Condiciones de frontera (II)
A lo largo de la característica x− at = 0 habrá una discontinuidad en u siu0(0) no es igual a g(0).
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
c(−0.3, 1.4)
c(−
0.3,
2.2
)
x
t
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Esquemas de solución (I)
Discretizamos el dominio, de modo que los nodos son de la forma(xj, ti) = (jh, ik) con i, j enteros. Denotamos por uij al valor de soluciónnumérica en el nodo (xj, ti).
−3 −2 −1 0 1 2 3
01
23
45
c(−3, 3)
c(−
0.5,
5)
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
h h
k
k
uji
j
i
x
t
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Esquemas de solución (II)
Tenemos que ut + aux = 0. Hacemos una discretización del intervalo [a,b] y[0,T]. Podemos usar varios esquemas de solución basados en diferenciasfinitas:
ui+1j − uijk
+ auij+1 − u
ij
h= 0 (FTFS)
ui+1j − uijk
+ auij − u
ij−1
h= 0 (FTBS)
ui+1j − uijk
+ auij+1 − u
ij−1
2h= 0 (FTCS)
ui+1j − ui−1
j
2k+ a
uij+1 − uij−1
2h= 0 (leapfrog)
ui+1j − 1
2
�
uij+1 + uij−1
�
k+ +a
uij+1 − uij−1
2h= 0 (Lax− Friedrichs)
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Esquemas de solución (III)
En cada esquema podemos expresar ui+1j como combinación lineal de los
valores de u en los instantes i o i− 1.Por ejemplo, para el esquema FTFS:
ui+1j − uijk
+ auij+1 − u
ij
h= 0
=⇒ ui+1j = ui
j− a
k
h
�
uij+1 − u
ij
�
=⇒ ui+1j = (1 + aλ)ui
j− aλui
j+1
donde λ = k/h.
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Ejemplo (I)
Queremos resolver el problema
ut + ux = 0 x ∈ [−2,3], t ≥ 0.
u(x,0) = u0(x) =
¨
1− |x| |x| ≤ 10 |x| > 1
u(−2, t) = 0,
−2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
vx
mat
u[1,
]
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Ejemplo (II)
Resolvemos la ecuación para 0 ≤ t ≤ 1.6. Hacemos n = 50 divisiones en elespacio y m = 20 divisiones en el tiempo y usamos el esquema deLax-Friedrichs
ui+1j =
1
2(ui
j+1 + uij−1)−
λ
2(ui
j+1 − uij−1)
Entonces k = 0.08, h = 0.1 y λ = 0.8.
• El esquema no se puede aplicar en el extremo derecho.
• Hacemos ui+1n
= uin.
• Lo anterior no debería afectar el resultado porque vamos a detenernosantes que la parte de u0 que es diferente de cero alcance el extremoderecho x = 3, y antes de eso ocurra se cumple que ux(3, t) = 0, por loque ut(3, t) = 0.
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Ejemplo (III)
−2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c(−2, 3)
c(0,
1)
La gráfica muestra el resultado en t = 1.6
Repetimos el cálculo con λ = 1.6 y calculamos la solución en t = 0.8.En este tenemos que m = 5.
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Ejemplo (IV)
−2 −1 0 1 2 3
−0.
50.
00.
51.
01.
5
c(−2, 3)
c(−
0.5,
1.5
)
Podemos ver que si k aumenta, el comportamiento de la solución empeora.
Repetimos el cálculo de la solución con 0 ≤ t ≤ 1.6, n = 50 divisiones en elespacio y m = 20 divisiones n el tiempo. Esto es, k = 0.08, h = 0.1 y λ = 0.8.
Usamos el esquema leapfrog y obtenemos el siguiente resultado.
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Ejemplo (V)
−2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c(−2, 3)
c(0,
1)
Vemos que este esquema es más preciso y menos suave que el deLax-Friedrichs:
−2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c(−2, 3)
c(0,
1)
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Convergencia y consistencia (I)
Convergencia
Un esquema de un paso de diferencias finitas es convergente si se tieneque las aproximaciones uij de las solución u(x, t) cumplen con uij → u(xj, ti) sih,k→ 0.
Consistencia
Dada una EDP Pu = f y un esquema de diferencias finitas Ph,kv = f , decimosque el esquema es consistente con la EDP si para cualquier función suaveϕ(x, t) se tiene que
Pϕ− Ph,kϕ→ 0 si h,k→ 0.
La convergencia es en cada punto (x, t).
Ejemplo. Consideremos el esquema FTFS. y la ecuación de onda. Entonces
P =∂
∂t+ a
∂
∂x
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Convergencia y consistencia (II)
Pϕ = ϕt + aϕx
Ph,kϕ =ϕi+1j − ϕijk
+ aϕij+1 − ϕ
ij
hϕij
= ϕ(jh, ik)
Aplicando el desarrollo de Taylor:
ϕi+1j = ϕi
j+ kϕt +
1
2k2ϕtt +O(k3)
ϕij+1 = ϕi
j+ kϕx +
1
2h2ϕxx +O(h3)
donde todas las derivadas están evaluadas en (jh, ik). Así
Ph,kϕ = ϕt + aϕx +1
2kϕtt +
1
2ahϕxx +O(k2) +O(h2)
Entonces
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Convergencia y consistencia (III)
Pϕ− Ph,kϕ = −1
2kϕtt −
1
2ahϕxx +O(k2) +O(h2)→ 0
si h,k→ 0. Por tanto, el esquema es consistente.
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Estabilidad (I)
Para este concepto se requiere definir una región de estabilidad querestringe los valores de h y k usados en la discretización.
Definición: Estabilidad
Un esquema de diferencia finitas Ph,kuij = 0 para una ecuación de primer or-
den es estable en una región Λ si existe un entero J > 0 tal que para cualquiertiempo T > 0, hay un constante CT tal que
h∞∑
j=−∞|uij|2 ≤ CTh
J∑
l=0
∞∑
j=−∞|ulj|2,
para 0 ≤ ik ≤ T, con (k,h) ∈ Λ.
Ejemplo. Consideremos un esquema de la forma
ui+1j = aui
j+ bui
j+1.
Entonces
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Estabilidad (II)
∞∑
j=−∞|ui+1j |2 =
∞∑
j=−∞|aui
j+ bui
j+1|2
≤∞∑
j=−∞|a|2|ui
j|2 + 2|a| |b| |ui
j| |ui
j+1|+ |b|2|ui
j+1|2
≤∞∑
j=−∞|a|2|ui
j|2 + |a| |b| (|ui
j|2 + |ui
j+1|2) + |b|2|ui
j+1|2
≤∞∑
j=−∞
h
|a|2|uij|2 + |a| |b| |ui
j|2i
+∞∑
j=−∞
h
|a| |b| |uij+1|
2 + |b|2|uij+1|
2i
≤∞∑
j=−∞
�
|a|2 + |a| |b|�
|uij|2 +
∞∑
j=−∞
�
|a| |b|+ |b|2�
|uij|2
≤∞∑
j=−∞
�
|a|2 + 2|a| |b| + |b|2�
|uij|2 = (|a|+ |b|)2
∞∑
j=−∞|uij|2
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Estabilidad (III)
Como la desigualdad anterior es válida para cualquier i, se tiene que
∞∑
j=−∞|ui+1j |2 ≤ (|a|+ |b|)2n
∞∑
j=−∞|u0j|2.
Para poder acotar (|a|+ |b|)2n por una constante, necesitamos que
|a|+ |b| ≤ 1.
En particular, para el esquema FSFT, se tiene que
a = 1 + aλ, b = aλ,
y la condición |a|+ |b| ≤ 1 se cumple para −1 ≤ aλ ≤ 0. Esta es la condiciónde estabilidad que require el método FSFT.
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La condición CFL (I)
Proposición
Para un esquema explícito de la ecuación ut + aux = 0, que es de la formaui+1j = αuij−1 + βuij + γuij+1 en el que λ = k/h se mantiene constante, una
condición necesaria para la estabilidad es la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),
|aλ| ≤ 1.
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La condición CFL (II)
Para verlo, si tenemos que t ∈ [0,1] y hacemos N divisiones en el tiempo,k = 1
N , basta mostrar que para calcular uN0 , por el esquema de solución, se
requieren los nodos u0j para |j| ≤ N. Entonces
|xj| = |j|h ≤ λ−1kN = λ−1.
Si |aλ| > 1, entonces los nodos |xj| ≤ λ−1 < |a|, mientras que el valor x = |a|es el que se requiere para obtene u(0,1).
La rapidez de propagación numérica para el esquema es h/k = λ−1. Sireescribimos la condición CFL como
λ−1 ≥ |a|,
interpretamos la condición como que la rapidez de propagación numéricadebe ser mayor o igual que la rapidez de propagación de la ecuacióndiferencial.
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