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Magíster en Ingeniería Industrial
Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas
Pontificia Universidad Católica de Chile
IND3100
Clase 2
Prof. Jorge Vera A. - 1er Semestre 2013
Fundamentos de Probabilidades
• Al final de la clase anterior vimos que muchasveces es necesario calcular ro!a!ilidades m"so menos #comle$as%&
• 'o( desarrollaremos concetos m"s formalesde ro!a!ilidades&
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• )*u+ es #ro!a!ilidad%&,
• )*u+ es un evento incierto&.,
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Modelando Eventos Inciertos• Vamos a modelar eventos inciertos
ro!a!ilsticos/ en el conteto de uneerimento !ien definido con ocurrencias!ien definidas
• $emlo definamos eerimento 1 como
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#lanar 3 monedas #!uenas% insesgadas/ ordenadamente( luego registrar sus valores 4 caras ( S sellos/%
Posi!le ocurrencia del eerimento 41S2S3
4alcular
• Pr41S2S3/5 PrS1S2S3/
• Prdos caras ( un sello/
• Prm"s caras que sellos/
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Ocurrencias, Probabilidades y Eventos
• 6currencias 7utuamente eclu(entes no ha( traslae/
4on$untamente ehaustivos inclu(en todas las osi!lesocurrencias del eerimento/
• Pro!a!ilidad 8racci9n de las veces en la cual se o!tendr" una
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ocurrencia al reetir muchas veces un mismo eerimento
• ventos 4olecci9n !ien definida de ocurrencias
l evento A ocurre cuando se o!tiene cualquiera de lasocurrencias del evento A
$. Evento A o!tener un total de una o menos caras
Arbol de Probabilidades: Experimento 1
C1 : 0,5
C2 : 0,5
S2 : 0,5
C3 : 0,5
S3 : 0,5
C3 : 0,5
S3 : 0,5
Pr( C1 C2 C3 ) = 0,125
Pr( C1 C2 S3 ) = 0,125
Pr( C1 S2 C3 ) = 0,125
Pr( C1 S2 S3 ) = 0,125
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S1 : 0,5
C2 : 0,5
S2 : 0,5
C3
: 0,5
S3 : 0,5
C3 : 0,5
S3 : 0,5
Pr( S1 C2 C3 ) = 0,125
Pr( S1 C2 S3 ) = 0,125
Pr( S1 S2 C3 ) = 0,125
Pr( S1 S2 S3 ) = 0,125
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• 4omo todas las monedas son insesgadas: esdecir: Pr4/;1<2: todas las ocurrencias tienenla misma ro!a!ilidad
•
Arbol de Probabilidades: Experimento 1
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con$untamente ehaustivas: entonces
Procurra alguna cosa/;1
Las Leyes de Probabilidades• Primera >e( de Pro!a!ilidades
0 ≤ Prcualquier evento/ ≤ 1
• Segunda >e( de Pro!a!ilidades Si A ( ? son eventosdis$untos
PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/
•
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:
suman las ro!a!ilidades de todas las ocurrencias endicho evento
• si BA es el evento #ouesto%: PBA/;1-PA/
• Cecordemos el evento A S1S2S3: 41S2S3 : S142S3 : S1S243
PA/ ; PS1S2S3/@ P41S2S3/@ PS142S3/@ PS1S243/
; DE1<F/ ; G
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• 8orma general de la segunda le( dero!a!ilidades
PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/ - PA∩?/
cuando los eventos se traslaan: no contamos dos veces/
• $emlo
Las Leyes de Probabilidades
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vento A H 4 I; 1/ 41S2S3 : S142S3 :S1S243: S1S2S3K
vento ? H 4 L; 1/ 41S2S3 : S142S3: S1S243: 414243
4142S3: 41S243 : S14243 K
PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/ - PA∩?/
; D<F @ M<F N 3<F ; F<F ; 1
• Oercera >e( de Pro!a!ilidades Para loseventos A ( ?: la ro!a!ilidad que ocurra elevento A dado que ocurri9 el evento ? es
Las Leyes de Probabilidades
( )( | )
( )
P A BP A B
P B
∩=
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• Volviendo al e$emlo
PA?/ ;
vento A H 4 I; 1/ 41S2S3 : S142S3 :S1S243: S1S2S3K
vento ? H 4 L; 1/ 41S2S3 : S142S3: S1S243: 414243
4142S3: 41S243 : S14243 K
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• Oercera >e( de Pro!a!ilidades Para loseventos A ( ?: la ro!a!ilidad que ocurra elevento A dado que ocurri9 el evento ? es
Las Leyes de Probabilidades
( )( | )
( )
P A BP A B
P B
∩=
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• Volviendo al e$emlo
PA?/ ; 3<F/ < M<F/ ; 3<M
Qotar Si sa!emos que ? as9: sa!emos que nos estamosenfocando en M ocurrencias. =e +stas: 3 ertenecen a A/
Las Leyes de Probabilidades• Rn evento A se dice indeendiente del evento
? si el conocimiento de la ocurrencia de ? noaltera la ro!a!ilidad de que ocurra A.
• A ( ? se dicen deendientes si el conocimientode ? influ(e la ro!a!ilidad de ocurrencia de
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A.
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• 4uarta >e( de Pro!a!ilidades Si A ( ? soneventos indeendientes: entonces
PA?/ ; PA/
(el saber que B ocurrió, no cambia las probabilidades de que ocurra A )
• Notemos: Rsando la 3era ( Dta le( con A ( ? indeendientes/
Las Leyes de Probabilidades
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PA∩?/; PA?/ P?/ ; PA/ P?/ (2)
• =e la 3era le(: ero condicionando en A: o!tenemos
PA∩?/; P?A/ PA/. (3)
• =ado que 3/ 2/ son eresiones equivalentes ara PA∩?/
PA?/ P?/ ; P?A/ PA/ ; PA/ P?/ (4)
As: P?A/ ; P?/ (5)
(2)-(5) muestran que si A es independiente de B, entonces B esindependiente de A.
• Oenemos entonces que
PA∩?/ ; PA?/P?/;P?A/PA/
• si A ( ? son indeendientes: entonces
Las Leyes de Probabilidades
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PA∩?/ ; PA/P?/
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• 100 !olas de color: D0Verdes ( T0 R o$as5con letras A: ?: 4escritas so!re ellas.
• >a cantidad de !olasde cada calor ( concada letra se muestra
?ola esV/
?ola es
C/
Total
>etra es
A/
PA ∩∩∩∩ V/
D
PA ∩∩∩∩ C/
30
PA/
3D
>etra es P? ∩∩∩∩ V/ P? ∩∩∩∩ C/ P?/
Ejemplo: Tablas de Probabilidad
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.
• Para transformar aro!a!ilidades ha(que dividir or 100
?/ T 1U 21
>etra es
4/
P4 ∩∩∩∩ V/
30
P4 ∩∩∩∩ C/
1U
P4/
DU
Total PV/
D0
PC/
T0 100
• ventos>a ro!a!ilidad que una!ola elegida al aar seaverde ( tenga letra APA∩∩∩∩V/;0:0D
• >os eventos sondis$untos: con lo queodemos sumar la
?ola esV/
?ola es
C/
Total
>etra es
A/
PA ∩∩∩∩ V/
0:0D
PA ∩∩∩∩ C/
0:30
PA/
0:3D
>etra es P? ∩∩∩∩ V/ P? ∩∩∩∩ C/ P?/
Ejemplo: Tablas de Probabilidad
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ro a a es or as o
columnas
PA/;PA∩∩∩∩V/@PA∩∩∩∩C/; 0:3D
PC/;PA∩∩∩∩C/@P?∩∩∩∩C/@P4∩∩∩∩C/
; 0:T0
?/ 0:0T 0:1U 0:21
>etra es
4/
P4 ∩∩∩∩ V/
0:30
P4 ∩∩∩∩ C/
0:1U
P4/
0:DU
Total PV/
0:D0
PC/
0:T0 1:00
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• Para calcular ro!a!ilidadescondicionales miramos lacolumna o fila del eventocondicionante.
• >a ro!a!ilidad de que la!ola seleccionada sea verdedado que tiene una letra 4so!re ella es
?ola esV/
?ola es
C/
Total
>etra es
A/
PA ∩∩∩∩ V/
0:0D
PA ∩∩∩∩ C/
0:30
PA/
0:3D
>etra es
?/
P? ∩∩∩∩ V/
0:0T
P? ∩∩∩∩ C/
0:1U
P?/
0:21
>etra es P 4 ∩∩∩∩ V P 4 ∩∩∩∩ C P 4
Ejemplo: Probabilidad ondicional
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PV4/ ; P4 ∩∩∩∩ V/< P4/
;0:30<0:DU ; 2<3
Oam!i+n
PC4/ ; P4 ∩∩∩∩ C/< P4/
; 0:1U<0:DU ; 1<3
• Qotar que estas ro!a!ilidades condicionales sonara eventos dis$untos: or lo que las odemossumar
PV4/ @ PC4/ ; 2<3 @ 1<3 ; 1
una !ola con letra 4 tiene que ser o verde o ro$a/
4/
0:30
0:1U 0:DU
Total PV/
0:D0
PC/
0:T0 1:00
Ejemplo con ! dados:• 4onsideremos
• A ; #>a suma de los nmeros es 10%
• ? ; #el rimer dado tiene nmero W U%
• )cu"nto es PA?/, )PA/, )P?/,
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1 2 3 4 5 6
1 2 3 D U T M
2 3 D U T M F
3 D U T M F X
D U T M F X 10
U T M F X 10 11
T M F X 10 11 12
=ado 1
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Ejemplo con ! dados:
• 4onsideremos
• A ; #>a suma de los nmeros es 10%
• ? ; #el rimer dado tiene nmero W U%
• )cu"nto es PA?/, )PA/, )P?/,
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1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 M
2 3 4 5 6 7 F
3 4 5 6 7 8 X
D 5 6 7 8 9 10
U 6 7 8 9 10 11
T 7 8 9 10 11 12
PA?/ ; 2<30;1<1UPA/ ; 3<3T;1<12P?/ ;30<3T;U<T
Ejercicio: m"s con dados ncuentre la ro!a!ilidad de que
•A/ la suma de las ocurrencias sea eactamente 2
•?/ la suma de las ocurrencias eceda 2
•4/ am!os dados entreguen el mismo nmero
•=/ am!os dados sean nmero imar
•/ ocurra el evento A/ dado que ocurri9 el evento 4/
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1 2 3 4 5 61 2 3 D U T M
2 3 D U T M F
3 D U T M F X
D U T M F X 10
U T M F X 10 11
T M F X 10 11 12
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• )s el evento #o!tener un do!le% indeendiente dellanamiento del rimer dado,
• Sea D al evento de o!tener un do!le: A al evento delanar el rimer dado: ( B al evento de lanar el
segundo dado.
Ejercicio: m"s con dados
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>a ro!a!ilidad de cadaocurrencia es 1<3T
1 2 3 D U T M
2 3 D U T M F
3 D U T M F X
D U T M F X 10
U T M F X 10 11
T M F X 10 11 12
• n el e$ercicio anterior vemos que el evento de o!tenerun do!le es indeendiente de la ocurrencia o!tenida delrimer dado.
6 / 1)36 / 1(6),()(6
1
i Bi AP DP
i
===== ∑=
Independencia y condicionalidad
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)()|(
6 / 1)6()6|(
...
6 / 1)2()2|(
6 / 1)1()1|(
DP A DP
BP A DP
BP A DP
BP A DP
=⇒
====
====
====
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• Si hacemos el mismo eerimento ero esta ve en >asVegas: donde es mu( difcil encontrar un dado #!ueno%:las cosas cam!ian un oco.
• Suongamos que la distri!uci9n de ro!a!ilidades de
estos dados es
xi pi
Independencia y condicionalidad
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1 0.1
2 0.2
3 0.3
4 0.2
5 0.1
6 0.1
• :equiro!a!les: ero odemos calcularf"cilmente sus ro!a!ilidades orquelos lanamientos de los dos dados anson indeendientes. Por e$emlo
( 2, 5) ( 2) ( 5) 0, 2 0,1 0,02P A B P A P B= = = = = = × =
• 4alculemos las ro!a!ilidades condicionales6 6
1 1
62 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( , ) ( ) ( )
( ) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2
Así,
i i
i
P D P A i B i P A i P B i
P A i
= =
=
= = = = = = =
= = = + + + + + =
∑ ∑
∑
Independencia y condicionalidad
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• n este caso: el evento de o!tener un do!le deende delo que o!tengamos en el rimer dado.
,
( | 2) ( 2) 0,2
por lo tanto, en general tenemos que:
(
P D A P B
P D
= = = =
= = = =
⇒
| ) ( ) A P D≠
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Independencia y condicionalidad
• Volviendo al e$emlo de los dados: )cu"nto esP?A/,
• es decir: la ro!a!ilidad de que el rimer
nmero ha(a sido W U dado que la suma es10,
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1 2 3 4 5 6
1 2 3 D U T M
2 3 D U T M F
3 D U T M F X
D U T M F X 10
U T M F X 10 11
T M F X 10 11 12
Independencia y condicionalidad• Volviendo al e$emlo de los dados: )cu"nto es
P?A/,
• es decir: la ro!a!ilidad de que el rimernmero ha(a sido W U dado que la suma es10,
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1 2 3 4 5 6
1 2 3 D U T M
2 3 D U T M F
3 D U T M F X
D U T M F X 10
U T M F X 10 11
T M F X 10 11 12
P?A/ ; 2<3
PA?/EP?/<PA/;1<1U/EU<T/E12/;2<3
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Independencia y condicionalidad
• Teoema de Ba!es:
• Suongamos se conoce PA?/: PA/ ( P?/:entonces
( | ) ( )( | )
( )
P A B P BP B A
P A
×=
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• =emostraci9n
• P?A/;P?∩A/<PA/ ; PA∩?/<PA/ ; PA?/P?/<PA/
• >a f9rmula ermite calcular ro!a!ilidades coninformaci9n #a osteriori%.
Probabilidades Totales• Suongamos que tenemos varios eventos ehaustivos (
eclu(entes ?1: ?2:&:?n
• Sea A otro evento: entonces
• PA/;PA∩?1∪?2∪&∪?n//
• ;PA ∩?1/∪ A ∩?2/ &∪ A ∩?n//
• ;PA ∩?1/@PA ∩?2/ @&@PA ∩?n/
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1 1 & n n
• "e! de #o$a$%&%dades Tota&es:
• Si ?1: ?2:&:?n son eventos ehaustivos ( eclu(entes:entonces
PA/ ; PA?1/P?1/@&@PA?n/P?n/
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Ejercicio:• Cetomando el ro!lema de la clase asada: de la staci9n
sacial&
• Oenamos que necesit"!amos
POQ8 < Q8/ ; 0.MU POQ8/: PO8/ PO8 < 8/ ; 0.TU PQ8 < OQ8/
PQ8/ ; P8/ ; 0.U PQ8 < O8/
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• Oenemos
PQ8 < OQ8/ ; POQ8 < Q8/YPQ8/<POQ8/;0:MUY0:U<POQ8/
POQ8/ ; POQ8<Q8/YPQ8/ @ POQ8<8/YP8/
; POQ8<Q8/YPQ8/ @ 1-PO8<8//YP8/
; 0:MUY0:U @ 0:3UY0:U ; 0:UU
PQ8 < OQ8/ ;0:MUY0:U<POQ8/; 0:TF
Problema del umplea#os• Suongamos que ha( Q ersonas en esta sala.
• )4u"l es la ro!a!ilidad de que no ha(an dosersonas con el cumleaZos el mismo da,
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Qo ha( relaciones revias entre los cumleaZos de lasersonas en la sala no ha( mellios/
Pnacer en cualquier da/ ; 1<3TU es decir: noconsideramos !isiestos/.
• 'agamos la rue!a en esta sala
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• Suongamos que ha( Q ; U0 ersonas en lasala.
• =efinamos Ai como el evento que la i -+sima ersona dice una fecha
que no ha sido dicha or las i - 1 ersonas anteriores.
Problema del umplea#os
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? como el evento que todas las Q ersonas tienencumleaZos diferentes.
• As: P?/ ; PA1 ( A2 ( ... AQ/
• Qotar que
PA1 ( A2 ( ... AQ/ ;
PAQA1 ( A2 ( ... AQ-1/ PA1 ( A2 ( ... AQ-1/
• Similarmente:
Problema del umplea#os
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PA1 ( A2 ( ... AQ-1/ ;PAQ-1A1 ( A2 ( ... AQ-2/ PA1 ( A2 ( ... AQ-2/
• or ltimo:
PA1/ ; 1: de!ido a que la rimera ersona no uede reetir.
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• >a segunda ersona dir" una nueva fecha a menos queha(a nacido la misma fecha que la rimera ersona. Porlo tanto:
PA2 A1/ ; 1 - 1<3TU/ ; 3TD<3TU
• Para calcular PA3A1 ( A2/: notar que si A1 ( A2 hanocurrido: ha( dos fechas que la tercera ersona de!e
Problema del umplea#os
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evitar ara revenir reetici9n. Por lo tanto:
PA3 A1 ( A2/; 1 - 2<3TU/ ; 3T3<3TU
• Alicando la misma l9gica: odemos o!tener que
PAi A1 ( A2 ( ... Ai-1/ ; [3TU - i - 1/\ < 3TU; 3TT - i/ < 3TU
• 8inalmente: odemos calcular P?/ como
P?/ ; 3TU/ 3TD/ 3T3/ ... 3TT-Q/3TU/ 3TU/ 3TU/ 3TU/
• As: ara Q ; U0: tenemos
Problema del umplea#os
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P?/ ; 3TU/ 3TD/ ... 31T/ ; 0.0303TU/ 3TU/ 3TU/
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$ariables Aleatorias
• Rna varia!le aleatoria v.a./ es una regla ofunci9n/ que asigna un valor num+rico a cadaocurrencia osi!le de un fen9meno o
eerimento aleatorio.• >as denotaremos con letras ma(sculas or
e$emlo: E/
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• $emlos de v.a. la edad de alguno de ustedes resentes ho(
E l nmero total de caras del eerimento 1
• Rna v.a. uede ser =iscreta
4ontinua
$ariables Aleatorias• Si el fen9meno o eerimiento es aleatorio:
entonces los valores de E tam!i+n sonaleatorios&
• )49mo odemos descri!ir el comortamientode E,
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• =ando la ro!a!ilidad de que E tomedeterminados valores.
so se llama distri!uci9n dero!a!ilidad.
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Rna distribución de probabilidades ara una v.a.discreta E consiste en
• valores osi!les 1: 2: . . . : n
%istribuci&n de Probabilidades
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1: 2: . . . : n
Oales que
PE;1/;1 : PE;2/;2 :&: PE;n/;n
%istribuci&n de probabilidades para la v'a' ()n*mero de caras en
experimento 1
C1 : 0.5
C2 : 0.5
S2 : 0.5
C3 : 0.5
S3 : 0.5
C3 : 0.5
S3 : 0.5
Pr( C1 C2 C3 ) = 0.125
Pr( C1 C2 S3 ) = 0.125
Pr( C1 S2 C3 ) = 0.125
Pr( C1 S2 S3 ) = 0.125
P(X = 0) = 1/8
P(X = 1) = 3/8
P(X = 0) = 1/8
P(X = 1) = 3/8
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S1 : 0.5
C2 : 0.5
S2 : 0.5
C3
: 0.5
S3 : 0.5
C3 : 0.5
S3 : 0.5
Pr( S1 C2 C3 ) = 0.125
Pr( S1 C2 S3 ) = 0.125
Pr( S1 S2 C3 ) = 0.125
Pr( S1 S2 S3 ) = 0.125
P(X = 2) = 3/8
P(X = 3) = 1/8
P(X = 2) = 3/8
P(X = 3) = 1/8
7/23/2019 Clase 2 Probabilidades 2013.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/clase-2-probabilidades-2013pdf 20/21
+istorama
3/8
4/8
5/8
- E ; 0 /
IND3100 - Prof. Jorge Vera ©2013
x
0.00
1/8
0 1 2 3
P
Experimento !: Moneda sesada
C1 : 0.3
C2 : 0.3
S2 : 0.7
C3 : 0.3
S3 : 0.7
C3 : 0.3
S3 : 0.7
Pr( C1 C2 C3 ) = 0.027
Pr( C1 C2 S3 ) = 0.063
Pr( C1 S2 C3 ) = 0.063
Pr( C1 S2 S3 ) = 0.147
P(X = 0) = 0.343
P(X = 1) = 0.441
P(X = 0) = 0.343
P(X = 1) = 0.441
IND3100 - Prof. Jorge Vera ©2013
S1 : 0.7
C2 : 0.3
S2 : 0.7
C3
: 0.3
S3 : 0.7
C3 : 0.3
S3 : 0.7
Pr( S1 C2 C3 ) = 0.063
Pr( S1 C2 S3 ) = 0.147
Pr( S1 S2 C3 ) = 0.147
Pr( S1 S2 S3 ) = 0.343
P(X = 2) = 0.189
P(X = 3) = 0.027
P(X = 2) = 0.189
P(X = 3) = 0.027