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Capítulo
1Cinemática del
Sólido Rígido
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15 - 2
ContenidoIntroducciónTraslaciónRotación alrededor de un Eje Fijo. velocidadRotación alrededor de un Eje Fijo: aceleraciónRotación alrededor de un Eje Fijo: Sección
representativaEcuación que define la rotación alrededor de
un eje fijo.Sample Problem 5.1Movimiento Plano GeneralVecidad absoluta y relativa en movimiento
planoSample Problem 15.2Sample Problem 15.3Centro Instantáneo de rotación en movimiento
planoSample Problem 15.4Sample Problem 15.5
Aceleración absoluta y relativa en movimiento plano
Analisis del movimiento plano en función de un parámetro
Sample Problem 15.6Sample Problem 15.7Sample Problem 15.8Rate of Change With Respect to a Rotating
FrameCoriolis AccelerationSample Problem 15.9Sample Problem 15.10Movimiento alrededor de un punto FijoMovimiento GeneralSample Problem 15.11Three Dimensional Motion. Coriolis
AccelerationFrame of Reference in General MotionSample Problem 15.15
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15 - 3
Introducción• Cinemática de cuerpos rígidos: relaciones
entre tiempo, posición, velocidades, y aceleraciones de partículas que forman un sólido rígido.
• Clasificación del movimiento de los sólidos rígidos:
- Movimiento general
- Moviento alrededor de un punto fijo
- Movimiento plano general
- Rotación alrededor de un eje fijo
• Traslación curvilínea
• Traslación rectilínea:
- traslación:
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Traslación• Considere un sólido rígido en traslación:
- La dirección de cualquier línea recta en el interior del sólido permanece constante.
- Todas las partículas que forman parte del sólido se mueven en líneas paralelas.
• Para dos partículas cualesquiera del sólido,
ABAB rrrrrr +=
• Derivando respecto al tiempo,
AB
AABAB
vv
rrrrrr
&r
&r
&r
&r
=
=+=
Todas las partículas tienen igual velocidad.
AB
AABAB
aa
rrrrrr
&&r
&&r
&&r
&&r
=
=+=• Derivando respecto al tiempo,
Todas las partículas tienen igual aceleración.
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Rotación alrededor de un eje fijo. Velocidad
• Considere la rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo AA’
• La Velocidad de la partícula P es tangente a la trayectoria con:
dtrdvrr =
dtdsv =
( ) ( )
( ) φθθφ
θφθ
sinsinlim
sin
0&r
tr
dt
dsv
rBPs
t=
∆∆==
∆=∆=∆
→∆
locityangular vekk
rdt
rdv
===
×==r&
rr
rrr
r
θωω
ω
• El mismo resultado se obtiene con:
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15 - 6
Rotación alrededor de un eje fijo. Aceleración• Derivando con respecto al tiempo,
( )
vrdt
ddt
rdr
dt
d
rdt
d
dt
vda
rrrr
rrr
r
rvr
r
×+×=
×+×=
×==
ωω
ωω
ω
componenton accelerati radial
componenton accelerati l tangentia
=××=×
××+×=
r
r
rra
rrr
rr
rrrrrr
ωωα
ωωα
• La aceleración de P es combinación de dos vectores.
•
kkk
celerationangular acdt
d
r&&
r&
r
rr
θωα
αω
===
==
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Rotación alrededor de un Eje Fijo. Sección representativa• Considere el movimiento de una sección
representativa en un plano perpendicurlar al eje de rotación.
• La velocidad de cualquier punto P de la sección
ωωω
rv
rkrv
=×=×= rrrrr
• La aceleración de cualquier punto P
rrk
rrarrr
rrrrrr
2ωα
ωωα
−×=
××+×=
• Descomponiendo la aceleración en su componete tangencial y normal,
22 ωωααrara
rarka
nn
tt
=−==×=
rr
rrr
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15 - 8
Ecuaciones que definen el giro de un Sólido Rígido alrededor de Ejes Fijos
• El movimiento de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo depende a menudo del tipo de aceleración.
θωωθωα
ωθθω
d
d
dt
d
dt
d
ddt
dt
d
===
==
2
2
or• Si
• Rotación Uniforme,α = 0:
tωθθ += 0
• Rotación uniformemente acelerada,α = constant:
( )020
2
221
00
0
2 θθαωω
αωθθ
αωω
−+=
++=
+=
tt
t
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Movimiento Plano General
• Movimiento plano general no es traslación o rotación.
• Movimiento plano general se considera la suma de traslación y rotación.
• El desplazamiento de las partículas A y B a A2
and B2 se puede efectuar en dos pasos:- traslación aA2 y- rotación de alrededor deA2 a B2
1B′1B′
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15 - 10
Velocidad Absoluta y Relativa en el Movimiento Plano
• Cualquier movimiento plano se puede descomponer en una traslación de un punto cualquiera A y de forma simultánea una rotación alrededor de A.
ABAB vvvrrr +=
ωω rvrkv ABABAB =×= rrr
ABAB rkvvrrrr ×+= ω
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15 - 11
Velocidad Absoluta y Relativa en el Movimiento Plano
• Considerando que la velocidadvA del extremo A es conocida, se desea determinar la velocidadvB del extremo B y la velocidad angularω en términos devA, l, y θ.
• La dirección devB y vB/A son conocidas y se completa el diagrama de velocidades
θ
θ
tan
tan
AB
A
B
vv
v
v
=
=
θω
θω
cos
cos
l
v
l
v
v
v
A
A
AB
A
=
==
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Velocidad Absoluta y Relativa en el Movimiento Plano
• Seleccionado el puntoB como el punto de referencia y resolviendo para la velocidadvA el extremo A y la velocidad angular se calculan a partir del triángulo de velocidades.
• vA/B tiene la misma magnitud y sentido contrario devB/A. El sentido de la velocidad relativa depende del punto de referencia elegido.
• La velocidad angularω de la barra es para una rotación alrededor deB igual a la rotación alrededor deA. La velocidad angularno depende del punto de referencia elegido.
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Centro Instantáneo de Rotación en el Movimiento Plano
• El movimiento plano de todas las partículas en una sección siemprese puede sustituir por una traslación de un punto arbitrario y una rotación alrededor de A con una velocidad angular independiente de A.
• El mismo resultado de la velocidad como suma de traslación y rotación alrededor de A se puede obtener permitiendo que la sección gire con la misma velocidad angular entorno al punto C que se encuentra sobre una perpendicular a la velocidad A.
• La velocidad de todas las partículas en la sección se pueden calcular de forma similar a la de A.
• De esta forma todas la sección parece girar en torno al punto C que se conoce como Centro Instantáneo de Rotación.
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Centro Instantáneo de Rotación en el Movimiento Plano
• Si se conoce la velocidad de dos punto A y B, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las perpendiculares a los vectores velocidad de dichos.
• Si los vectores velocidad de A y B son perpendiculares, el centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las líneas que unen los extremos de las velocidadesA y B.
• Si los vectores velocidad son paralelos, el centro instantáneo se encontraría en el infinito y la velocidad angular sería cero.
• Si los vectores velocidad tienen igual, el centro instantáneo está en el infinito y la velocidad angular es cero.
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Centro Instantáneo de Rotación en el Movimiento Plano• El centro instantáneo de rotación se sitúa en la intersección
de la perpendicular al vector velocidad que pasa por A y B
θω
cosl
v
AC
v AA == ( ) ( )
θθ
θω
tancos
sin
A
AB
vl
vlBCv
=
==
• La velocidad de todas las partículas de la barra es como sigirasen en torno a C.
• La partícula que pasa por el centro instantáneo tienen v=0.
• La partícula que coincide con el centro instantáneo de rotación cambia con el tiempo y la aceleración no es igual a cero.
• La aceleración de las partículas en la sección no se puededeterminar como si giraran en torno a
• La trayectoria de la localización del centro instantáneo de rotación sobre el cuerpo es la curva Polar Móvil (ruleta) y en el espacio esl polarfija (base).
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Aceleración Absoluta y Relativa en Movimiento Plano
• Aceleración absoluta de una partícula,
ABAB aaarrr +=
• Aceleración relativa asociada con la rotación alrededor de A incluyendo las componentes tangenciales y normal.
ABar
( )( ) ABnAB
ABtAB
ra
rka
rr
rrr
2ω
α
−=
×= ( )( ) 2ω
α
ra
ra
nAB
tAB
=
=
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15 - 17
Aceleración Absoluta y Relativa en Movimiento Plano
• Dadodeterminar
, and AA varr
. and αrrBa
( ) ( )tABnABA
ABAB
aaa
aaarrr
rrr
++=
+=
• El vector resultante depende del sentido de y de la magnitud de ( )
nABA aa and Aar
• Debe conocer la velocidad angularω.
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15 - 18
Aceleración Absoluta y Relativa en Movimiento Plano
+→ x componente: θαθω cossin0 2 llaA −+=
↑+ y componente: θαθω sincos2 llaB −−=−
• Resolver paraaB and α.
• descomponiedo en sus componetes,ABAB aaarrr +=
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15 - 19
Análisis de Movimiento Plano en función de un Parámetro.
• En algunos casos, resulta ventajoso determinar la velocidad y aceleración absoluta de un mecanismo directamente.
θsinlxA = θcoslyB =
θωθθ
cos
cos
l
l
xv AA
===
&
&
θωθθ
sin
sin
l
l
yv BB
−=−=
=&
&
θαθω
θθθθ
cossin
cossin2
2
ll
ll
xa AA
+−=
+−=
=&&&
&&
θαθω
θθθθ
sincos
sincos2
2
ll
ll
ya BB
−−=
−−=
=&&&
&&
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15 - 20
Movimiento alrededor de un Punto Fijo• El movimiento más general de un sólido rígido
respecto a un punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo alrededor de un eje por O.
• Con el eje instantáneo de rotación y la velocidad angular la velocidad de la partícula P del cuerpo es,ωr
rdt
rdv
rrr
r ×== ω
y la aceleración de la partícula P es
( ) .dt
drra
ωαωωαr
rrrrrrr =××+×=
• Las velocidades angular tienen magnitud y dirección sumándose siguiendo la ley del paralelogramo.
• El vector se mueve con el cuerpo y en el espacio y genera un cono del cuerpo y otro del espacio tangentes a lo largo del eje isntantáneo de rotación.
ωr
• La aceleración angular representa el cambio del vector .ωr
αr
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15 - 21
Movimiento General• Para la partícul A y B de un sólido rígido,
ABAB vvvrrr +=
• La partículaA es fija con el cuerpo y el movimiento del cuerpo relativo aAX’Y’Z’ es el movimiento de un cuerpo con un punto fijo.
ABAB rvvrrrr ×+= ω
• De forma similar, la acelerción de la partículaP
( )ABABA
ABAB
rra
aaarrrrrr
rrr
××+×+=
+=
ωωα
• El movimiento más general de un cuerpo rígido es eaquivalente a:- Una traslación en la cual todas las partículas tiene la misma
velocidad y aceleración de referencia la partícaula A, y - El movimiento en el cual la partícula A se considera fija.