SIMULACRO ESPECIALUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Ciclo Semestral UNI
SEGUNDA PRUEBAMatemática
LEA CUIDADOSAMENTE LAS SIGUIENTES INDICACIONES
• Usando lapicero escriba en su tarjeta sus apellidos y nombres, luego firme en el recuadro correspondiente.
• Escriba y marque, usando lápiz 2B, el número del aula donde está rindiendo el examen.
• Lea detenidamente las preguntas y marque sus respuestas en la tarjeta óptica.
• Marque su código dígito por dígito localizándolos en cada columna y rellenando con lápiz 2B
(si hay error en el código, su examen no será calificado).
• Todas las marcas deben ser nítidas, por lo que debe presionar suficientemente el lápiz y llenar el espacio co-
rrespondiente.
10 15,0 pts. – 3,0 pts.
10 15,0 pts. – 3,0 pts.
10 15,0 pts. – 3,0 pts.
Aritmética
Geometría
Trigonometría
Álgebra 10 15,0 pts. – 3,0 pts.
ESTRUCTURA DEL EXAMEN
SISTEMA DE CALIFICACIÓNN.º DEPREGUNTAS Respuesta Correcta Respuesta Incorrecta
¡Espere la indicación del responsable del aula para iniciar la prueba!
El día de mañana se publicarán las claves a partir de las 8:00 a. m. y los resultados, al día siguiente de dicha publi-
cación, a partir de las 10:00 a. m. en nuestro sitio web: www.ich.edu.pe
Lima, agosto de 2018
TIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI
1 DE AGOSTO
Matemática
1
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
Aritmética1. Calcule la base del sistema de numeración en el cual el
número 15 015 se escribe como 35 247.
A) 8 B) 6 C) 9D) 7 E) 11
Resolución
Piden: x = ??
15015 35247− +
= ( )x (a mayor numeral aparente, le corres-ponde menor base)7 < x < 10
8 ó 9
Si x = = = +
+
8 15015 35247 8 7
8 7
8; ( ) �
�
��� ¡cumple!
Si x = = = +
+
9 15015 35247 9 7
9 3
9; ( )�
�
��� ¡no!
∴ x = 8
Clave: A
2. Calcule la suma de cifras del cociente al dividir la suma de todos los números de 4 cifras diferentes entre sí que se pueden formar con 4 dígitos diferentes entre sí y diferentes de cero, entre la suma de dichos dígitos.
A) 12 B) 24 C) 18D) 6 E) 36
Resolución
Sean los dígitos a; b; c; d
a b c d
4 3 2 1 = 24 # se pueden formar× × ×
al sumarlos se tendrá S=24000(a+b+c+d)+2400(a+b+c+d)+240(a+b+c+d)
+24 (a+b+c+d) Al dividir S entre a+b+c+d; se tendrá 2400 + 240 + 240+24 = 26664
∴ ∑cifras = 2 + 6 + 6 + 6 +4 = 24
Clave: B
3. Calcule los números enteros positivos D, tales que las fracciones 1
D den origen a los números decimales pe-
riódicos mixtos con una cifra en la parte no periódica y dos cifras en la parte periódica. Calcule la cantidad de valores obtenidos.
A) 6 B) 18 C) 9D) 12 E) 27
Resolución
1D
= 0, axy
(2 y/o 5)331199
Total de valores para: D
∴ ×
25103
1133993 = 9 valores
Clave: C
4. Si se funde 50 g de oro puro con 450 g de una aleación de oro, la ley de la aleación aumenta en 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación primitiva?
A) 0,900 B) 0,700 C) 0,600D) 0,800 E) 0,750
Resolución
Piden L = ??
450 gMasa
Aleación
gana pierde
Oropuro
Aleaciónfinal
Ley L50 g
=+ 1500 g
L+0,02
0,02(450) = 50(0,98 – L)Gananciaaparente =
Perdidaaparente
0,18 = 0,98 – L
∴ L = 0,800 Clave: D
5. El producto de los términos extremos de una proporción geométrica es 36 y la suma de sus términos medios es 12. ¿Cuál es la diferencia entre los términos medios?
A) 1 B) 4 C) 2D) 3 E) 0
Resolución
Piden b – c = ??
→ab
= cd
6 6
a × d = 36 b × c = 36; ademas b+c = 12
∴ b – c = 6 – 6 = 0
Clave: E
2
Academia César Vallejo
6. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias con igual ancho de clase, calcule el valor de n, si la moda es 60.
I fi[ ; ⟩ 7
[32 ; ⟩ n
[ ; ⟩ 28
[ ; 80⟩ 3n
[ ; ] 3
A) 15 B) 16 C) 18D) 7 E) 10
Resolución
M0 = 60De la tabla: 80 – 32 = 3 w → w = 16Luego:
[16, 32⟩[32,48⟩[48, 64⟩[64, 80⟩[80, 96⟩
7n283n3
clase modalIi fi
d1
d2
Mnn
nn
0 48 1628
56 460
2856 4
34
= +−−
=
−−
=
112 – 4n = 168 – 12n 8n=56
∴ n = 7
Clave: D
7. Al lanzar 3 monedas y dos dados, ¿de cuántas formas diferentes se puede obtener, por lo menos, dos caras y que al sumar los puntajes que se observan en los da-dos resulte diez o más?
A) 4 B) 8 C) 12D) 6 E) 24
Resolución
2 2 2 6 6
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I
S . X I V . X V I d . C .
Por lo menos 2 caras:ccs; csc; scc; ccc: 4 casos y 10 ó mas puntos en el dado:
( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )4 6 5 5 6 4 5 6 6 5 6 66
casos
� ���������� ���������
∴ Total de casos: 4× 6 = 24 casos
Clave: E
8. La MA y MG de dos números que se diferencian en 2x,
son dos impares consecutivos. Calcule el mayor de di-
chos números.
A) 44 B) 46 C) 93
D) 50 E) 49
Resolución
a – b = 2x
MA(a,b) – MG(a,b) = 2; piden: a
Sabemos:
(a – b)2 = 4 (MA2 – MG2)
8.(MA + MG) = 2x2
8.(MA + MG) = 242
Luego
MA + MG = 72
MA – MG = 2
a + b = 74a – b = 24
a = 49b = 25
Por condición de un cuadrado perfecto
(criterio de exclusión)
4, 8, 0
MA = 37 → a + b = 74
MG = 35
∴ a = 49
Clave: E
9. Calcule a+b, si:
aabb es un cuadrado perfecto.
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
Resolución
aabb = k2
11(100a + b) =k2
11(a0b)= k2
11· p2 Completandopara cuadrado
perfectoAsí:
a b p
a b p
+ − += =
+ =
0 11 11
11
2
2
∴ p= 1 a+b comomáximo suman 18
a + b =11
Clave: E
3
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
10. Calcule el menor número de 4 cifras tal que sea divi-
sible entre 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9 y 10. Dé como respuesta la
suma de sus cifras.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 12 E) 19
Resolución
N
N
N
=
=→ =
mcm ( ; ; ; ; ; ; )2 3 5 6 7 8 10
25202520
∴ 2 + 5 + 2 + 0= 9
Clave: C
Álgebra
11. Resuelva la inecuación; de incógnita x
m
m nx
m
m n
xm
m n
m
m n
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2−
++
<+
+−
si n < m <0.
A) ⟨– 1; 0⟩ B) f C) ⟨1; +∞⟩
D) ⟨– ∞; 1⟩ E) ⟨– 1; 1⟩
Resolución
m x
m n
m x
m n
m
m n
m
m n
xmm n m n
m
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
22 2 2 2
21 1
−−
+<
−−
+
−−
+
<
11 12 2 2 2m n m n−
−+
x <2m2 n2 2n2 m2
(m2 – n2)(m2 + n2)
(–) (–)
(m2 – n2)(m2 + n2)
Como
n < m < 0 → n2 > m2 → 0 > n2 – m2
Entonces, cancelamos y se obtiene
x > 1
∴ CS= ⟨1; +∞⟩
Clave: C
12. Resuelva el siguiente sistema:
x x x x
x x x
−( ) +( ) ≤ −( ) +( )
+ + <
3 2 3 2 7
0
5 5
2 3
A) [3; +∞⟩ B) [– 5; 3] C) ⟨– ∞; – 3]
D) ⟨– ∞; 0⟩ E) ⟨– ∞; – 5]
Resolución
0≤ – (x – 3)5(x+2) + (x – 3)5(2x + 7)0≤(x – 3)5(–x – 2 + 2x + 7)0≤ (x – 3)5(x+5)0≤ (x – 3)(x+5)
+ +––5 3
SI = ⟨–∞; –5] ∪ [3; +∞⟩
De la segunda inecuación
x x x x x x
x
2 3 20 1 0
0
+ + < ↔ + + <
→ <+
( )� �� ��
SII = ⟨–∞; 0⟩
∴ CS = SI = ∩ SII = ⟨–∞; –5]
Clave: E
13. Determine el módulo de z+1 si
|z|+zi=1+3i
A) 4 2 B) 2 2 C) 3 2
D) 5 2 E) 7 2
Resolución
Sea z = x+ yi
x2+ y2 + –y + xi = 1+ 3i
x y y
y y y y y
= ∧ + − =
+ = + ↔ + = + +
3 9 1
9 1 9 1 2
2
2 2 2
4 = y
∴ |z + 1|=|4 + 4i| = 4 2
Clave: A
4
Academia César Vallejo
14. Si la gráfica de f(x)=ax2+bx+c es la siguiente:
3
a – 2– 4 X
Y
resuelva la inecuación
(f(x) – 4)(x+a)4(x – 1) ≥ 0
A) ⟨– ∞; 1] B) ⟨1; 3] C) ⟨– ∞; 1] ∪ {3}
D) ⟨– ∞; 2⟩ ∪ {3} E) ⟨– ∞; 1⟩ ∪ {2}
Resolución
a f x=− + −
= − ∧ ∈ −∞ ]2 42
3 3 ( ) ;
Entonces
(f(x) – 4)(x – 3)4(x – 1) ≥ 0
(x – 3)4(x – 1) ≤ 0
(x – 1)≤ 0 ∨ x =3
negativo
1 3
∴ CS = ⟨–∞; 1] ∪ {3}
Clave: C
15. Resuelva las inecuaciones
x x x
x xn
nn
− + − > −
+ + ++
> ∧ ∈
π π4
2 22
102
2
2
sen
R
y determine la suma de las soluciones enteras.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 6
Resolución
CvA sen :π
π4
1 0≤ ∧ ≤ → ≥ ≥x x
Entonces
• + > −
→ =
sen (V)
x
SIπ
π4
;
(+) (–) ∨ 0
→ siempre
En la segunda inecuación tenemos
• ∆ = −++
< →4 4 2
2
10
2
2n
nmayor que 1
el polinomio será p
oositivo siempre
Entonces
SII =
∴ S SI II ∩ =
ππ
4;
Suma de soluciones enteras = 1 + 2 + 3 =6
Clave: E
16. Según la siguiente gráfica:
f(x)=x3
c
g(x)=ax+b
X
Y
determine el valor de 4a-3c2.
A) b B) b – 1 C) 1
D) – 1 E) 0
Resolución
Del gráfico x3 = ax + b x3 + 0x2 – ax – b = 0 De raíces c, α, α
1
1
0 –a –bα α
αα
α2 α3– aαα2– a
1
por cardano
0 3α2– a = 0
c+ α +α = 0 α = – c 2
0
2α
2α2α
Reemplazando
3
40 3 4 0
22c
a c a− = ↔ − =
∴ 4a – 3c2 = 0
Clave: E
5
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
17. Si se tiene que
xn
n nn n n=
=
∈ ∧ ≠
− +
2 1
2 12
;
; Z
calcule el valor de x5 1
3+
si
log21
677x xn
n( ) =
=∑
A) 7 B) 11 C) 823
D) 1 E) 13
Resolución
log2 (x1x) + log2 (x2x) + ... + log2 (x6x) = 77
log2 (x1 x2 x3 ... x6 x6) = 77
2 2 2 2 2
2 2 2 0
1 2 2 3 5 6 6 77
71 6 77 6 6
⋅ =
= → = >
× × ×...� ���� ���� x
x x x como x = 2
∴2 1
311
5 +=
Clave: B 18. Determine la siguiente serie:
Snn
n= −
=
+∞
∑ 2 1
21
A) 3 B) 3/2 C) 5/2
D) 4 E) 2
Resolución
12
322
523
724
12S=
S= +
+
+ + +
+ + + ...
+ ...
+ + + ...
–32
522
723
1S= 1 12
11–1 2
122
∴ S = 3
Clave: A 19. Determine la secuencia correcta de verdad (V) o fal-
sedad (F) respecto a un problema de programación lineal.
I. La región factible siempre está en el primer cua-drante y es convexa.
II. Si la región factible es no acotada, entonces solo podemos encontrar el mínimo valor de la función objetivo.
III. El valor óptimo es único si existe.
A) FFV B) VFF C) VFV
D) FFF E) VVV
Resolución
I. Por condiciones de no negatividad (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) está
en el primer cuadrante y por ser insersección de regio-
nes convexas (ax + by ≤ 0) es convexo (V)
II. Un contra ejemplo:
f(x,y) = – 2x – y
sujeto a
2x – y ≥ –3 x – y ≥ 3 x ≥ 0 y ≥ 0
3
(F)
x
fmax = f(0; 3) = –3
3
III. La solución óptimas pueden ser infinitas pero solo
tiene un valor óptimo (si existe) (V)
∴ VFV
Clave: C
20. Si A y B ∈ Rn×n, tal que A2=A y A+B=I,
calcule A2 – B+AB+BA.
A) I B) A+I C) A
D) 2A – I E) I – A
Resolución
A + B = I Por A por la derecha y luego por la izquierda
• A BA A BAA
2 0
+ = → =
• A AB A BAA
2 0
+ = → = Entonces
A2 – B + AB + BA = A2 – B = A – B = A + A – A – B
= 2A – (A + B)
= 2A – I
Clave: D
6
Academia César Vallejo
Geometría
21. Respecto de las siguientes proposiciones, señale la se-
cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. Si R1 y R2 son conjuntos no convexos, tales que
R1 ∩ R2=∅, entonces (R1- R2) no siempre es un con-
junto no convexo.
II. La intersección de una recta secante con una coro-
na circular puede ser conjunto convexo.
III. Ningún conjunto convexo resulta de la reunión de
dos conjuntos no convexos.
A) VVF B) FFV C) VFV
D) FVF E) FFF
Resolución
I. R1 y R2 : no convexos / R1 ∩ R2 = ∅
R1
R2
R1 – R2, es el propio conjunto R1, entonces siempre es no convexo. (F)
II. Sí, cuando la intersección es un punto o un segmento. (V)
III.
A
B
En esta figura A: no convexo, B: no convexo A∪B: convexo (F) ∴ FVF
Clave: D
22. En el gráfico, L L1 2
�� ��// . Calcule x.
L 1
L 2b
x
a c
3e
2e
ca
b d d
A) 165º B) 135º C) 127ºD) 145º E) 125º
Resolución
Piden x; L L1 2
�� ��// .
L 1
L 2b
x
a c
3e
2e180º–2e
ca
b d d
• c + d = 3e Luego c+d+3e+180° – 2e = 360°, de allí e = 45° • a + b = x Luego a+b+x+180° – 2e = 360°; de allí
∴ x = 135°
Clave: B
23. En la figura mostrada, α+θ=K. Calcule mPQ - mMN .
M
P
N
Q
α
θ
A) K B) K/2 C) 2KD) K/3 E) 3K
Resolución
Piden 2x – 2y
M
P
N
S
L
2y 2x
Hx
Q
α
θy
∆ NLS: mPSL = α + y ∆ SQH: α + y + θ = x x – y = α + θ x – y = k ∴ 2x – 2y = 2K
Clave: C
7
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
24. Calcule el radio de una esfera que contiene a un vértice
de un cubo de diagonal 3+ 3 si además es tangente a
las caras concurrentes en el vértice opuesto al primer
vértice.
A) 1 B) 3 C) 3
D) 2 E) 3 +1
Resolución
A' D'
C'B'
R
0BA
B
D
C
3R
R
Dato ′ = +A C 3 3
Luego
R R3 3 3+ = + de donde
∴ R = 3Clave: B
25. Una semiesfera de radio R se encuentra inscrita en un triedro O - ABC, trirrectángulo en O, donde OA=3, OB=4 y OC=5 y el círculo de la semiesfera está en la cara ABC. Calcule R.
A) 6047
B) 4753
C) 5347
D) 4730
E) 4647
Resolución
B
A
3 5
4
C
R
O
O'
Sea v: Volumen Se observa que vOABC = vO' – OAC + vO' – OBC + vO' – OAB
3 42
53
3 52 3
4 52 3
3 42 3
⋅⋅ =
⋅⋅ +
⋅⋅ +
⋅⋅
R R R
47R = 60 ∴ R =
6047 Clave: A
26. En un rectángulo ABCD, P es un punto de BC, tal que BP=2 y PC=8. Calcule el inradio del triángulo APD si mAPD=90º.
A) 1 B) 2 C) 3 5 5-
D) 4 5 5- E) 5 1-
Resolución
A H
P2 8
2 8
B
D
C
x
Aplicando métricas:AP2 = AD·AH
AP
DP AD HD
DP
= =
= ⋅
= =
20 2 5
80 4 5
2
Teorema Poncelet 6 5 10 2= + x
∴ x = −3 5 5
Clave: C
27. En un triángulo ABC, P es un punto de AC ubicado de
modo que mm m
ABPCBP BCP= =6 5
y AB=PC.
Calcule el valor aproximado de la mABP.
A) 10,6º B) 12º C) 14,3ºD) 17º E) 18,9º
Resolución
A P
a
a5
B
C
L
θ5θ
6θθ
θ
Piden θTrazamos PL + al quemLPC = θ → BP = LP∆ABP ≅ ∆CPLde allí mBAP = 5θ
Sumando: 17θ = 180°
∴ θ = 10,6°
Clave: A
8
Academia César Vallejo
28. Calcule la longitud del diámetro de la esfera tangente a
todas las caras de un octaedro regular de arista 3.
A) 3 B) 6 C) 1
D) 2 E) 6
Resolución
RR
a
Dado a = 3
Teorema: La distancia entre dos caras opuestas parale-
las del octaedro es a 63
.
∴ 2 6R =Clave: E
29. Calcule la razón de las áreas de un semicírculo y de un cuadrado inscrito en aquel, donde uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo.
A) 3π B) π C) 5
4π
D) 58π E) 3
4π
Resolución
RQ
OA P m m
2m
S B
Sea PO = OS = mLuego RS = 2m y OR m= 5
π(m 5)2
2S = = 5πm2
2
S = (2m)2 = 4 m2
∴ S =S5π8
Clave: D
30. En un polígono regular de 7 lados, 2 de sus diagonales tienen longitudes a y b (a<b). Calcule el perímetro de dicho polígono.
A) 7 ab B) 7aba b+
C) 7abb a-
D) 7 a bab+( )
E) 7 2a bb a-
Resolución
B
A
C
D
b
ba
a
Piden
2P(polígono) = 7
ABCD es un cuadrilátero inscrito.
Teorema Ptolomeo
b + b = ab de allí =+aba b
∴ 77
=+ab
a b Clave: B
Trigonometría
31. Se tienen dos nuevos sistemas de medida angular, cuyas unidades son (1A) y (1B), respectivamente, diez unidades del primer sistema equivalen a 7º, además, cuatro unidades del segundo sistema equivalen a 21g. Halle el equivalente de 27A en unidades del segundo sistema.
A) 4B B) 6B C) 5B
D) 10B E) 12B
Resolución
Nos piden 27A en grados B
Del enunciado
10A = 7°
4B = 21g
Se tiene
10A = 40B
10A = 7° × 10g × 4B
9° 21g
3
27
∴ 27A = 4B
Clave: A
9
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
32. Si AOB; EOF y COD son sectores circulares tal que AE=EC=a, determine el área del trapecio cir-cular ABDC.
O
BF D
CE
A
A) a2
2 B)
23
2a C) 4a2
D) 32
2a E) 2a2
Resolución
Nos piden § Del enunciado
O
BF D
CE
Aa
a
aSS
21
Del gráfico
• (1 + 2)2a = (1 + 2)a ...(1)
2 S=
• a – 2 = 1 – a → 1 + 2 = 2a ...(2)
a a
(2) en (1)
∴ § = 2a2
Clave: E
33. En el gráfico se muestra una pizarra rectangular ABCD de dimensiones AB=12 u y AD=8 u. Luego de girarlo alrededor del punto A un ángulo θ su nueva posición viene dada por AB’C’D’. Determine la longitud del seg-mento D’E.
D C
EC
'
B '
D '
BA θ
A) (12 – 4senθ) u
B) (12 – 8secθ) u
C) (12 – 4cscθ) u
D) 12senθcosθ u
E) (12 – 8senθ) secθ u
Resolución
Nos piden D'E
D C
NM
12
88
12
EC
'
B '
D '
BA θ
θ
θ
Del gráfico MD' = 8 senθ D'N = 12 – 8senθ D'NE DE' = (D'N)secθ
∴ DE' = (12 – 8senθ) secθ uClave: E
34. Una recta pasa por los puntos (– 2; 1) y (9; 7), otra recta pasa por los puntos (3; 9) y (– 2; – 1). Calcule el ángulo formado por dichas rectas.
A) arctan1623
B) 30º
C) 60º
D) 53º
E) 37º
Resolución
Nos piden θ
Del enunciado
θ
X
(–2, 1)
(–2, –1)
(3, 9)(9, 7)
Y 21
Del gráfico
m
m
1
2
9 13 2
2
7 19 2
611
=− −− −
=
=−
− −=
( )( )
( )
Se tiene
tanθ =−
+=
−
+ ⋅=
m mm m
1 2
1 21
2611
1 2611
1623
∴ θ =
arctan1623 Clave: A
10
Academia César Vallejo
35. Del gráfico, calcule tanθ en términos de f.
2
3 φθ
X
Y
A) 2 33 3+
+tan
tanφ
φ B)
3 13
tantan
φφ
+−
C) 2 32 3+
−tan
tanφ
φ
D) 2
2 3+
−tan
tanφ
φ E)
2 32 3
tantanφ
φ−
+
Resolución
Nos piden tanθ en términos de f
2
3
P(2senφ – 3cosφ; 2cosφ+ 3senφ)
3cosφ
3senφ
2cosφ
2senφ3cosφ – 2senφ
φ
φ
θ
X
Y
Del gráfico (respecto de P)
tancos
cosθ
φ φφ φ
= =+−
ordenada de abscisa de
sensen
PP
2 32 3
∴ tantan
tanθ
φφ
=+
−2 32 3
Clave: C
36. Para un triángulo ABC se verifica la igualdad
cos(A+B)= – 2cosC+sen30º
Calcule 2 1sen senA B
A B-
cos cos.
A) – 1 B) 1 C) 2
D) – 2 E) 12
Resolución
Nos piden 2 1sen senA B
A-
cos cosB
Datos
A + B + C = 180° → C = 180 – (A + B) ... (1)
cos(A + B) = –2cosC + sen30° ... (2)
(1) en (2)
cos( ) cos( ( ))
cos( )
cos( )
A B A B
A B
A B
+ = − ° − + +
+ = −
− +
2 18012
1
� ���� ����
2212
12
cos cos
cos cos
A B A B
A B A B
− = −
− =
sen sen
sen sen
∴ 2 12
sen senA BA B
−=
cos cos
Clave: C
37. Dadas las funciones f(x)=cotx y g(x)=secx, calcule la
ordenada del punto de intersección entre las gráficas
de ambas funciones si x ∈ π π2
; .
A) - -5 12
B) - 5 C) − +5 12
D) - -1 5
4 E)
1 52
-
Resolución
Nos piden secx (ordenada del punto de corte)
Dato
• x ∈π
π2
;
• f(x) = cotx; g(x) = secx
Igualando
cotx = secx
cos
cosxx xsen
=1
cos2x = senx
→ 1 – sen2x = senx
→ sen2x + senx – 1 = 0
→ 5 12−
= senx
Como, sen2x + cos2x = 1
sec xx
= −−
1
1 2sen, pues x ∈
ππ
2;
∴ sec x = −+5 1
2
Clave: C
11
Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática
38. Resuelva la ecuación
2arcsec(– x)=arccsc(– x)+arcsecx
A) sec38π B) sec
58π C) csc
58π
D) sec8π E) csc
38π
Resolución
Nos piden x
Dato
2arcsec(–x) = arcsc(–x) + arcsecx
2(π – arcsecx) = –arccsx + arcsecx
2 22
2 22
2
ππ
ππ
− = − −
+
− = − +
arc arc arc
arc arc
sec sec sec
sec s
x x x
x eec
sec
x
x→ =arc58π
∴ x = sec58π
Clave: B
39. Del sistema de ecuaciones dadas, calcule la solución
general de y.
I. cos2x=2cos2y
II. senx=2cosy
A) 212
n nπ π±{ } ∈; Z
B) n nπ π±{ } ∈3
; Z
C) n nπ π2 3+{ } ∈; Z
D) 26
n nπ π±{ } ∈; Z
E) n nπ π±{ } ∈4
; Z
Resolución
Nos piden solución general de y
Datos
• cos2x = 2cos2y ... (1)
• senx = 2cosy ... (2)
De (1) y (2)
1 – 2sen2x = 2cos2y
1 – 2(2cosy)2 = 2cos2y
1 – 4(2cos2y) = 2cos2y
1 – 4(1 + cos2y) = 2cos2y
1 – 4 – 4cos2y = 2cos2y
cos2
12
y =−
→ = ±−
∈
= ± ∈
=
2 21
2
2 223
y n n
y n n
y n
π
ππ
arccos ,
,
πππ
± ∈3
, n
∴ C .Sy ,= ±
∈n nππ3
Clave: B
40. Del gráfico mostrado, calcule el área de la región som-
breada si T es punto de tangencia.
T
X
Y
xy=3
A) 3 u2 B) 6 u2 C) 52
2u
D) 4 u2 E) 8 u2
Resolución
Nos piden §
Dato
T
X
b
Y
y = mx + b
xy=3
bm
–
SS
Del gráfico
• –b2 ... (1)2m
S=S=
• Por condición de tangencia
x(mx+b) = 3
mx2 + bx – 3 = 0
∆ = 0 → b2 – 4m(–3) = 0
→ b2 = –12m ... (2)
(2) en (1)
12m2m
S=S=
∴ § = 6u2
Clave: B