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CEROS DE UNA FUNCIÓN
POLINOMIALDIVISIÓN SINTÉTICA
TEOREMA DEL RESIDUO
TEOREMA DEL FACTOR
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OBJETIVOS• Definir el teorema del residuo.
• Utilizar el teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.
• Definir el teorema del factor.
• Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio.
• Definir el Teorema fundamental del álgebra.
• Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste tiene (teorema de los “n” ceros).
• Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir del teorema de raíces racionales.
• Definir el teorema de los ceros complejos.
• Determinar una función polinomial a partir de sus ceros.
• Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.
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CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL• Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a
los que se llaman raíces del polinomio y se representan de la forma
• Estos puntos tienen coordenadas para cada una delas raíces reales del polinomio. Y se les llama ceros de la función.
• La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales.
• La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión. (También llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)
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• 1.- Factorización
Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).
Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1
¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.
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REPETICIÓN DE CEROS
• El factor indica una intersección del eje x,en x = a.
• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x en x = a
• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo atraviesa.
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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)
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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)
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¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
• 2.- División sintética (Teorema del factor)
Suponga que tiene la gráfica de la función:
Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x). Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:
f (x) = (x-2) q (x)
Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.
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ALGORÍTMO DE LA DIVISIÓN
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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINÓMIOS
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DIVISIÓN SINTÉTICA
• De la división podemos concluir que:
Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:
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DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)
• Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:
• Divide el polinomio , podemos usar el siguiente patrón:
Coeficientes de la función
residuo
Coeficientes de la función resultante
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• EJEMPLO: Divide
Dividendo: Divisor: x+3
Residuo
Coeficientes del nuevo polinomio
Al final tenemos que:
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EJERCICIOS
•
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TEOREMA DEL RESIDUO
EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio se divide entre
el residuo “r” es igual a
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• Determine el residuo de
Y demostrar que f(5) = residuo
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• Ejercicios propuestos:
1) Determine el residuo de
Y demostrar que f(1)= residuo
2) Determine el residuo de
Y demostrar que f(1) = residuo
3) Determine el residuo de
Y demostrar que f(2) = residuo
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TEOREMA DEL FACTOR
• El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor
si y solo si k es una raíz de , es decir
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TEOREMA DEL FACTOR
• Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:
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• EJERCICIOS PROPUESTOS:
Demuestre por medio del teorema del factor que el binomio es un factor del polinomio.