Download - Celosias planas
Celosas planas
Celosa plana. Definicin
Modelo idealizado de una estructura reticular, formada por barras rectas de canto despreciable frente a su longitud. Barras unidas en sus extremos mediante articulaciones ideales: slo se transmiten fuerzas, no se transmite momento. Eje centroidal de todas las barras contenido en un mismo plano (XY) Ejes de las barras pasan por el centro de las articulaciones extremas. Fuerzas aplicadas en los nudos, y contenidas en el plano de la estructura (FX, FY).
Fuerzas no en los nudos: se estudian de forma independiente, para cada barra y se superponen a las fuerzas en los nudos.Celosas planas
1
Celosa plana. Definicin
Y X
Comportamiento: Las barras slo tienen esfuerzo axial (si slo fuerzas en los nudos): se deduce del equilibrio de fuerzas de cada barra Deformacin de los nudos: desplazamientos X e Y.2 Celosas planas
Celosas planas. Estabilidad
Balance de fuerzas incgnitas y ecuaciones de la esttica Fuerzas incgnitas: Axial en cada barra (b) Reacciones en los apoyos (r) Ecuaciones de la esttica: 2 en cada nudo (2 n)A B C
b+r < 2n Isosttica b+r = 2n b+r > 2n Hiperesttica
Inestable
Adems de cumplirse B o C, la disposicin de las barras debe evitar toda inestabilidad.Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperesttica.3 Celosas planas
Celosas planas. Estabilidad
b=3 r=3 n=3 Isosttica
b=2 r=4 n=3 Isosttica
b=3 r=6 n=4 Hiperesttica h=1
b=9 r=3 n=6 Isosttica4
b=15 r=3 n=8 Hiperesttica h=2Celosas planas
Celosas planas. Estabilidadb=13 r=3 n=8 b+r=2 n
Isosttica. Estable
Hiperesttica int. + Inestable intern.
Hiperesttica ext. + Inestable ext.
Hiperesttica + Inestable (int. y ext)Celosas planas
5
Celosas . Clasificacin
Isostticas (b+r=2n) Simples: mosaico de tringulos Compuestas: unin de varias celosas simples Complejas: resto Hiperestticas (b+r > 2n)
6
Celosas planas
Celosas simples
Mosaico de tringulos adosados unos a otros Partiendo de un tringulo, ir aadiendo nuevos tringulos adosados a l: Se aaden cada vez dos nuevas barras y un nuevo nudo Sustentacin con 3 reacciones Cumplen siempre b+r=2n y son isostticas y establesA C
B
Nudo aadido no puede estar alineado con los dos nudos de apoyo: zona aadida es inestable7 Celosas planas
A C
B
Celosas simples Tringulo de partida pueden ser dos barras unidas al suelo: Un lado se sustituye por el suelo. Sustentacin con 4 reacciones
b=10 r=4 n=7
Las barras aadidas pueden cruzar (sin unirse) a las existentes
b=11 r=3 n=7
8
Celosas planas
Celosas simples. A dos aguasPratt a dos aguas (inglesa)
Howe a dos aguas (belga)
Warren a dos aguas
9
Celosas planas
Celosas simples. A dos aguas - VoladizoWarren a dos aguas con montantes
Tijera
Voladizo
10
Celosas planas
Celosas simples. RectangularesPratt
Pratt inferior
Howe
11
Celosas planas
Celosas simples. Rectangulares
Warren
Warren con montantes
Warren inferior con montantes
12
Celosas planas
Celosas simples. Rectangulares
Cercha K
Baltimore
13
Celosas planas
Celosas simples. Dientes de sierra
14
Celosas planas
Celosas simples. Torreb=30 r=4 n=17
Isosttica si todos los nudos son articulados En realidad muchos nudos estn empotrados (cordones exteriores)
15
Celosas planas
Celosas compuestas Unin de varias celosas simples mediante vnculos adecuados Vnculos: fuerzas de unin entre las celosas simples Una barra: un vnculo Un nudo comn: 2 vnculos Fuerzas de conexin en los vnculos entre las celosas simples: v Reacciones: r Incgnitas en la unin entre celosas simples: v+r
Ecuaciones de equilibrio entre las celosas simples: 3 ns Si cumplen v+r=3ns son isostticas y estables
16
Celosas planas
Celosas compuestasv+r=3ns isostticas y estables
ns=2
r=4
v=2
Las 3 ns ecuaciones permiten hallar las v fuerzas en los vnculos y las r reacciones Los vnculos deben ser independientes (no cortarse) para poder resolver las ecuaciones17 Celosas planas
Celosas compuestasDos celosas simples unidas mediante 3 articulaciones ns=2 r=4 v=2
18
Celosas planas
Celosas compuestasDos celosas simples con 3 vnculos
Fink
ns=2 r=3 v=3
b=35 r=3 n=19
Polonceau ns=2 r=3 v=3
19
Celosas planas
Celosas compuestas
Dos celosas simples atirantadas ns=2 r=3 v=3
20
Celosas planas
Celosas compuestas. Mltiplesns=3 r=3 v=6 b=45 r=3 n=24
ns=3 r=4 v=5 b=44 r=4 n=24
21
Celosas planas
Celosas compuestas. Cubierta atirantadans=3 r=3 v=6
ns=4 r=3 v=9
22
Celosas planas
Celosas compuestasCercha Houx ns=3 r=7 v=2
A
1
B
2 C
3
Puente
ns=3 r=6 v=3
b=56 n=31
23
Celosas planas
Celosas compuestas. Torresns=6 r=4 v=14ns=4 r=4 v=8
Isostticas si todos los nudos son articulados En realidad muchos nudos estn empotrados (cordones principales)
24
Celosas planas
Celosas compuestasTorre de energa elctrica (parte superior) ns=3 r=3 v=6
25
Celosas planas
Celosas compuestas. Variasns=2 r=3 v=3
26
Celosas planas
Celosas complejas No se identifica ningn mosaico de tringulos adosados Muchas veces no se identifica ningn tringulo Si cumplen b+r = 2 n son isostticas y estables, pero Para una topologa dada, son sensibles a la orientacin de las barras (estables o inestables)
27
Celosas planas
Celosas complejas (1)
b=8 r=8 n=8
b=8 r=6 n=7
b=11 r=3 n=7
28
Celosas planas
Celosas complejas (2)
b=9 r=3 n=6
b=9 r=3 n=6
Hexgono con 3 diagonales
29
Celosas planas
Celosas hiperestticasb=14 r=4 n=8 h=2
b=31 r=3 n=16 h=2
b=7 r=4 n=5 h=1
30
Celosas planas
Celosas. Eleccin del mtodo de clculo
Clasificar. Hallar b, n, r, v, ns Isosttica (b+r=2n): Siempre se puede aplicar el equilibrio de los n nudos. Planteamiento conjunto de las (2 n) ecuaciones Celosa simple: Planteamiento individual del equilibrio de los n nudos uno tras otro, 2 ecuaciones en cada uno. Celosa compuesta: Aislar las ns celosas simples. 3 ns ecuaciones de equilibrio: hallar vnculos y reacciones Para cada celosa simple: equilibrio de los nudos Celosa compleja: Mtodo de la barra sustituida Hiperesttica: flexibilidad o rigidez.31 Celosas planas
Mtodos de clculo de celosasMtodo de clculo Basados slo en las ecuaciones de la esttica Tipo de celosa Equilibrio de los nudos Planteamiento individual n x (2 ecs) Siempre Equilibrio de los nudos Planteamiento conjunto (2n) ecs. Siempre Secciones: Aislar trozos Puede ayudar a veces Siempre. Aislar las celosas simples No Flexibilidad Rigidez
Barra sustituida
Isosttica simple
No
No aplicable
Siempre
Isosttica compuesta
No (excepto en algn caso particular)
Siempre
No
No aplicable
Siempre
Isosttica compleja Hiperesttica
No
Siempre
Siempre
No aplicable
Siempre
No
No
No
No
Siempre
Siempre
32
Celosas planas
Dependencia de las magnitudes en celosasTipo
Esfuerzo axial (N) depende de: Fuerzas exteriores ngulos entre las barras NO influyen: Longitud de las barras Material rea de las barras Temperatura Deformaciones de los apoyos
Tensin (s) depende de: Esfuerzo axial (N) rea de la barra (A)
Deformacin (D) depende de
ISOS
NO influyen: Longitud de las barras Material (E)-
Esfuerzos en las barras (N)
Temperatura Deformaciones de apoyos
Flexibilidad de las barras
L/EA
Fuerzas exteriores ngulos entre las barras q Rigidez axial relativa:
Esfuerzo axial (N)rea de la barra (A)
HIPER
ri (EA)j Li = rj (EA)i LjTemperaturas
Temperaturas:
aT LDeformaciones de los apoyos
EAaT
Deformaciones de los apoyos
D
EAD/L33 Celosas planas
Observacin al modelo ideal de nudos articulados (1)
Nudos articulados: facilidad de clculo (slo N axial) En realidad muchos nudos (casi siempre) se ejecutan soldados (economa) Hay posibilidad de transmitir un pequeo momento entre las barras, y stas trabajan a traccin y algo de flexin. Se pueden calcular los momentos (secundarios) que aparecen, empleando un modelo de nudos rgidos (prtico). Muy complejo: mediante computador
h=0
h=12
34
Celosas planas
Observacin al modelo ideal de nudos articulados (2)
A pesar de ello, el modelo de nudos articulados es vlido si: Las cargas estn slo en los nudos: no hay flexin local Los ejes de las barras se cortan en el nudo La inercia de los perfiles es pequea Estas condiciones se cumplen en la prctica
35
Celosas planas
Estudio de la barra articulada plana
IntroduccinPieza prismtica esbelta recta articulada en ambos extremos Elemento estructural constituyente de las celosas planas Fuerzas en los nudos (lo ms habitual), o sobre la propia barra. Estudio en su sistema localXL
YL
1
Estudio de la barra articulada plana
Esttica de la barra articulada plana (1)
Barra sin fuerzas aplicadas sobre ella: SFYL=0 SMP=0 Cortantes nulos Q1 = Q2 =0
SFXL=0
N1=N2=NN A
Esfuerzo axial N uniforme en la barra.
Tensin uniforme La barra no proporciona el valor de N
YL 0 N 02 Estudio de la barra articulada plana
0 XL N 0
Esttica de la barra articulada plana (2)
Barra con fuerzas aplicadas sobre ella: SFYL=0 SMP=0 Cortantes Q1 0,
Q20
Cortantes conocidos, no nulos, funcin de las fuerzas exteriores. La barra proporciona los valores de M y Q en su interior
SFXL=0
N2 + FXL = N1
Esfuerzos axiales pueden ser diferentes si hay fuerzas s/X La barra no proporciona los axiales, slo su diferencia
YL N1 Q13
Q1
FXL
Q2 N2 FYL Q2
Estudio de la barra articulada plana
Deformacin de la barra articulada plana (1)
Deformaciones en los nudos extremos: U1 V1, U2 V2 Pequeas deformaciones: Traslacin axial: U1 Alargamiento: DL=U2 - U1 Traslacin lateral: V1 Rotacin: q=(V2 -V1)/L No produce cambio de longitudV2
YL
qU1 V1 L u
v U2 XL
L+DL4 Estudio de la barra articulada plana
Deformacin de la barra articulada plana
V2 XL
qu YL V1
v
U2
LU1
DL L+
5
Estudio de la barra articulada plana
Deformacin de la barra articulada plana (2)
Deformacin lineal entre los extremos deformadosu U1 U 2 U1 x L dv dx v V1 V2 V1 x L
Rotacin constante:
V2 V1 LV2
YL
qU1 V1 L u
v U2 XL
L+DL6 Estudio de la barra articulada plana
Deformacin de la barra articulada plana (3)q
En sus sistema de ejes localP
Centro de gravedad G:
y
q= dv dx
u(x )
v(x )v
Punto P cualquiera:
uP
u
y
u
dv y dx
P y G u
vP
v
7
Estudio de la barra articulada plana
Deformaciones unitarias de la barra articulada planaPunto P cualquiera:
x
uP xvP yuP y
du dx0vP x
d y dx
U2 L
U1
L
Ly
eX DL/L
y
xy
0
Deformacin unitaria e uniforme en toda la barra, debida slo a su alargamiento DLLa deformacin lateral v y la rotacin q no producen deformaciones unitariasEstudio de la barra articulada plana
L
L
8
Ecuacin constitutiva
Relacin entre la tensin s y la deformacin unitaria e Material lineal. Ecuacin constitutiva es una lnea recta.
E
s
e
9
Estudio de la barra articulada plana
Material lineal con temperatura
Deformaciones iniciales trmicas0
ss=E(e-e0)
Te0s/E e
Relacin tensin deformacin unitaria
E
0
E
T
Deformacin unitaria total: suma de deformacin unitaria trmica aT y la debida a la tensin s/E010 Estudio de la barra articulada plana
/E
Comportamiento N-D de la barra articulada
Esfuerzo axial N. Sustituyendo la ecuacin constitutiva:
N
A
EA
0
EA L
L
TLN
N
kAEA L
L
kA
TLAlargamiento inicial debido a T, con N nuloEstudio de la barra articulada plana
l
kA DL-l
DL
Rigidez axial de la barra11
Elasticidad en 1 dimensin. Ecuaciones de equilibrio (1)
Tensin sx(x). Fuerzas de volumen qvx Equilibrio esttico del cubo diferencialx
XL
x
x
dx dy dz
x
dy dz
qvxdx dy dzsxdy
0
x
x
qvx
0
sx+ dsx dx dx qvxdx dz
Es necesario definir el comportamiento del material12 Estudio de la barra articulada plana
Elasticidad en 1 dimensin. Ecuaciones de equilibrio (2)
Equilibrio esttico Material elstico lineal Pequeas deformaciones
x
xEdu dx
qvx
0
Ecuacin de equilibrio Sin fuerzas aplicadas s/X
d 2u E 2 dx d 2u dx 2
qvx 0
0
u
Ax
B
Deformacin u lineal13 Estudio de la barra articulada plana
Clculo de deformaciones en celosas planas
Mtodo de flexibilidad
Punto de partida
Estructura ya resuelta: Fuerzas exteriores P Esfuerzos interiores N conocidos (valores numricos) Teorema de Crotti- Engesser:r
U* Pr
Energa complementaria. Propiedades uniformes:
U
* i
N i2 2
i i i
Ni
L EA
TL
1
No se conoce N en funcin de P, luego no se puede derivar. Puede que no haya una Pr en la direccin Dr.Deformaciones en celosas planas
1. Planteamiento
Aadir al sistema una fuerza virtual V, en la direccin de la deformacin buscada, para poder derivar U*(V) respecto a ella, y luego hacer V=0. Nuevo sistema RV = R + VCaso realD0 6419 10000
Caso virtualV-3 32 6
57
0
-1716
50
+Nii i
5932
2352
N iRVU *RV2
-3581
NV V
52
+ V=0
63
N iVV(N iRV )2 2
NV: esfuerzos para V=1
N iRV ii
Deformaciones en celosas planas
2. DesarrolloU *RVi i (N i
N iVV )2 2i i
(N i
N iVV )
Deformacin buscadaU *RV V
r
U *RV VN iVV ) N iV
V 0
r
i (N i V 0 i
N iV ii V 0
r i
N i N iV ii
N iV i
3
Deformaciones en celosas planas
3. Resultador i
N i N iV ii
N iV iCaso virtual
Caso real (N)D0 6419 10000V=1
-3 32 6
57
0
-1716
50
5932
2352
Nuevo caso a resolver: caso V (con V=1) Es isosttico si la estructura lo es (NV fcil) Es hiperesttico si la estructura lo es (NV difcil) La expresin anterior es de aplicacin directa a estructuras isostticas Se debe elaborar ms para estructuras hiperestticas4 Deformaciones en celosas planas
-3581
NV
52
63
Ejemplo. Celosa isosttica. DeformacinDeformacin vertical en E Caso real (Tn)3 -16.5 5
Caso Virtual-0.88
-1
-2
55 0.
0
1 .1
0.66E 1
0
-2
12
-0
9
0
0
16 9
16 DEY
E 12
16
0.44
0.44
0.44
E=2.1 106 kg/cm2 Tubo 40.40.3 A=4.13 cm2
N i N iV ii i
N iV i
r
( 20 103 )( 0.55) 500/ EA
16 103 0.44 400/ EA
...
r
36132.6 EA
4.166 cmDeformaciones en celosas planas
5
4. Deformaciones en celosas hiperestticas (1)r i
N i N iV ii
N iV i
Resolucin del nuevo caso V (hiperesttico) Se aplica el mtodo general para grado h Descomposicin en casos: 0, 1, 2, h Elegimos cualquier incgnita Xj
N iV
N i0Vj 1,h
X j N ij
Caso 0V: Isosttico con la carga exterior V=1. Nuevo Casos 1, 2, h: ya resueltos cuando se calcul la celosaDeformaciones en celosas planas
6
4. Deformaciones en celosas hiperestticas (2)1 D E F
N iVCaso VV=1
N i0Vj 1,h
X j N ij
0VA B C
D
0
+1 B
E
0
F
2 / -1
-1
NV
=A
0
/ 2
1
0
1/2
01/2 1
C
D
0
+-1/2
E
-1/2
F 1
0
A7 Deformaciones en celosas planas
0
B
-1/2
-1/2C
1
Casos 1 y 2: ya calculados cuando se calcularon los esfuerzos en la estructura
20
1
4. Deformaciones en celosas hiperestticas (3)r i
N i N iV ii
N iV i
Sustituyendo NV
N iV
N i0Vj 1,h
X j N ijN i0Vj 1,h
r i
N i N i0V ij 1,h
X j N iji
i
X j N ij
Reordenando Sr i
N iN i0V ii
N i0V ij 1,h
Xji
N iN ij ii
N ij i
Siempre =0 Condicin de compatibilidad de Xj.8 Deformaciones en celosas planas
4. Deformaciones en celosas hiperestticasr i
N i N i0V ii
N i0V i
No hace falta hallar NV. Basta con hallar los N0V Caso 0V fcil (isosttico)Caso real (N) Caso 0V (isosttico)6419 100001 D E F
D
0
-3 32 6
57
0
-1716
50
5932
2352
-3581
?A B
52
?
63
C
9
Deformaciones en celosas planas
Ejemplo. Celosa hiperesttica (h=2)Caso real (N) D 0-3 32 6 520
Deformacin DDX6419 100001
Caso 0V (isosttico)D -1 E 0 F
-1 2 /
-3581
-1716
0
57
1/ 2
63
0 B
0
50
5932
2352
A
1/2
01/2
C
EDX i
2 106 kg/cm2 10 cm2
N i N i0V ii
N i0V i400 2 3326 EA 1 2
A
DX
400 2 1 5752 EA 2DX
400 1 5932 EA 2
400 1 2352 EA 2
0.2644 cmDeformaciones en celosas planas
10
Ejemplo. Celosa hiperesttica (h=1)Caso real (N)5 8B
Caso 0V (isosttico)1AB
-2.96
0
A
-75.039
.1 2
2 -
8-7.961
0 0
4. 18
6
C
D
C
D
Otra incgnita hiperesttica (NAC)BX i
N iN i0V ii
N i0V i
BX
500 (5.039)(1) EA
500 2 ( 7.128)( EA
2)
9647 EA
11
Deformaciones en celosas planas