LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Carlos Andrés Lopera González
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
MEDELLÍN, COLOMBIA
2015
LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
CARLOS ANDRÉS LOPERA GONZÁLEZ
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
M. SC. ELMER JOSÉ RAMÍREZ MACHADO
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia
2015
DEDICATORIA
A mi familia por su apoyo y comprensión en los momentos duros.
A Dios por darme la constancia y perseverancia
para alcanzar un escalón más en mi formación Profesional.
A mi prometida Alejandra Pérez por ser mi apoyo incondicional
en todo momento y brindarme su paciencia.
AGRADECIMIENTOS
El autor expresa sus agradecimientos a las siguientes personas:
Al decano de la facultad de ciencias básicas, sociales y humanas del Politécnico
Jaime Isaza Cadavid “José Javier Rodríguez Hoyos”, por creer en este proyecto de aula
y facilitarme todas las instancias para la realización de ello, de igual manera a mis
compañeros maestros Eduardo Clavijo, Sergio Guerra y Carlos Mario Restrepo quienes
brindaron espacios para la realización de este proyecto, por su paciencia, buena fe y
colaboración en todo instante.
Al magister Elmer José Ramírez Machado, quien como director del trabajo final
orientó, ayudó y apoyó al maestrante a poner en orden sus ideas y hacerlas realidad.
A todos los que en algún instante colaboraron en la elaboración de este trabajo.
A mi familia por su paciencia y buena voluntad brindándome su apoyo para así
cumplir la meta final de la maestría.
Resumen y Abstract IX
Resumen
El diagnóstico que arrojaron las encuestas que fueron aplicadas a los estudiantes
de algunos programas de ingeniería de la facultad de ciencias básicas, sociales y
humanas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid, sede Poblado, presentan dificultades en el
tema específico de la transformación lineal al momento de cursar la asignatura de
algebra lineal, lo cual se ha convertido en el objeto de estudio de este trabajo, cuyo
objetivo es el diseño de un proyecto de aula que aporte a la estructura cognitiva del
estudiante unos elementos en la interpretación de dicho tema y unos elementos de
estrategia didáctica al maestro titular del curso.
Su fundamentación teórica se basa en Ausubel, Chevallard, Gardner, Cardelli,
Moreira, Sierpinska, Lorenzano, Perkins, Deaño, Piaget, Zimmerman, las teorías de la
enseñanza para la comprensión, la de los aprendizajes significativos y el aprendizaje
basado en problemas. De igual modo la metodología que se estableció es desde el
estudio de casos realizado en el análisis de experiencias desde una maestría de
profundización, todo esto se encuentra centralizado en el aprendizaje significativo y en la
teoría de la enseñanza para la comprensión de tal manera que se favorezca la
pedagogía en el interior del aula y se contribuya al aprendizaje autorregulado en el que
se debe apoyar los estudiantes.
Palabras clave: aprendizaje significativo, enseñanza para la comprensión,
transformación lineal, proyecto de aula, aprendizaje basado en problemas, aprendizaje
autorregulado.
X LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Abstract
The diagnosis that was yielded by the surveys which were applied to students from some
programs of the faculty of basic, social and human sciences of the Jaime Isaza Cadavid
Polytechnic, located in El Poblado, show some difficulties related to the main topic of the
linear transformation when studying the subject of linear algebra, which has become the
study object of this work, which aims to design a classroom project so that in this way it
can contribute some elements in the interpretation of the topic to the student's cognitive
structure, besides other elements of teaching strategy to the head teacher of the course.
Its theoretical foundation was based on Ausubel, Chevallard, Gardner, Cardelli, Moreira,
Sierpinska, Lorenzano, Perkins, Deaño, Piaget, Zimmerman, the teaching theories for
understanding, meaningful learning and problem-based learning as well. Likewise, the
methodology that was established was taken from the study analysis of experiences
made during a Master degree program, all of which is focused on meaningful learning and
teaching theory for understanding, so that in this way it can support teaching experiences
inside the classroom and thus contributes to self-regulated learning from which students
should be supported.
Keywords: meaningful learning, understanding, linear transformation, classroom
project, problem-based learning, self-regulated learning.
Contenido XI
Contenido
Resumen ..................................................................................................................... IX
Contenido ................................................................................................................... XI
Lista de figuras .......................................................................................................... XIV
Lista de tablas ............................................................................................................ XV
Introducción ............................................................................................................... 17
1. Aspectos Preliminares ......................................................................................... 20
1.1 Tema ..................................................................................................................... 20
1.2 Problema de Investigación ..................................................................................... 20
1.2.1 Antecedentes ........................................................................................................................... 20
1.2.2 Formulación de la pregunta ..................................................................................................... 24
1.2.3 Descripción del problema ........................................................................................................ 26
1.3 Justificación ........................................................................................................... 28
1.4 Objetivos ............................................................................................................... 31
1.4.1 Objetivo General ...................................................................................................................... 31
1.4.2 Objetivos Específicos ............................................................................................................... 31
2. Marco Referencial ............................................................................................... 32
2.1 Marco Teórico........................................................................................................ 32
2.1.1 Lenguaje en la ciencia .............................................................................................................. 32
2.1.2 Enseñanza para la comprensión (EpC) ..................................................................................... 34
2.1.3 Aprendizaje significativo .......................................................................................................... 37
2.1.4 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) ................................................................................. 39
XII LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
2.2 Marco Disciplinar ................................................................................................... 41
2.2.1 Transformaciones lineales ....................................................................................................... 43
2.2.2 Isomorfismo en Espacios Lineales ........................................................................................... 48
2.2.3 Matrices asociadas a un operador lineal ................................................................................. 49
2.3 Marco Legal ........................................................................................................... 51
2.4 Marco Espacial ....................................................................................................... 55
3. Diseño metodológico .......................................................................................... 56
3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico ................................... 56
3.2 Método ................................................................................................................. 57
3.2.1 Estudio de casos....................................................................................................................... 58
3.2.2 Aprendizaje autorregulado ...................................................................................................... 59
3.2.3 Experiencia de aula .................................................................................................................. 60
3.3 Instrumento de recolección de información ............................................................ 65
3.3.1 Elementos diagnósticos ........................................................................................................... 65
4. Trabajo Final ....................................................................................................... 68
4.1 Desarrollo y sistematización del proyecto ............................................................... 68
4.2 Resultados ............................................................................................................. 69
5. Conclusiones y recomendaciones ......................................................................... 87
5.1 Conclusiones .......................................................................................................... 87
5.2 Recomendaciones .................................................................................................. 90
Referencias ................................................................................................................ 91
A. Anexo: Tabla. Cronología del algebra lineal ......................................................... 96
B. Carta confidencialidad ........................................................................................ 98
C. Diagnóstico: diseño encuesta estudiantes............................................................ 99
D. Prueba diagnóstica estudiantes: encuesta .......................................................... 101
Contenido XIII
E. Diagnóstico: diseño entrevista: docentes ........................................................... 124
F. Prueba diagnóstica docentes: entrevista ............................................................ 125
XIV LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Lista de figuras
Gráfico 1. Primera pregunta. ........................................................................................................................... 70
Gráfico 2. Segunda pregunta. .......................................................................................................................... 71
Gráfico 3. Tercera pregunta ............................................................................................................................. 72
Gráfico 4. Cuarta pregunta .............................................................................................................................. 73
Gráfico 5. Quinta pregunta .............................................................................................................................. 75
Gráfico 6. Sexta pregunta ................................................................................................................................ 76
Gráfico 7. Séptima pregunta ............................................................................................................................ 77
Gráfico 8. Octava pregunta ............................................................................................................................. 78
Gráfico 9. Novena pregunta ............................................................................................................................ 79
Gráfico 10. Décima pregunta ........................................................................................................................... 80
Gráfico 11. Décima primera pregunta ............................................................................................................. 81
Gráfico 12. Décima segunda pregunta ............................................................................................................ 82
Contenido XV
Lista de tablas
Tabla 1. Núcleos temáticos Algebra Lineal PCJIC ............................................................................................. 53
Tabla 2. Elementos de una unidad didáctica. .................................................................................................. 63
Tabla 3. Matriz DOFA ....................................................................................................................................... 66
Tabla 4. Datos primera pregunta..................................................................................................................... 69
Tabla 5. Datos segunda pregunta .................................................................................................................... 70
Tabla 6. Datos tercera pregunta ...................................................................................................................... 72
Tabla 7. Datos cuarta pregunta ...................................................................................................................... 73
Tabla 8. Datos quinta pregunta ....................................................................................................................... 74
Tabla 9. Datos sexta pregunta ......................................................................................................................... 75
Tabla 10. Datos séptima pregunta .................................................................................................................. 76
Tabla 11. Datos octava pregunta .................................................................................................................... 77
Tabla 12. Datos novena pregunta ................................................................................................................... 79
Tabla 13. Datos décima pregunta .................................................................................................................... 80
Tabla 14. Datos décima primera pregunta ...................................................................................................... 81
Tabla 15. Datos décima segunda pregunta ..................................................................................................... 82
Introducción 17
Introducción
La mayor dificultad que presentan los estudiantes cuando resuelven problemas de
orden matemático puede decirse que es debido a que no establecen relaciones entre los
procesos generales, los conocimientos básicos y el contexto, es así como se hacen
visibles las inapropiadas operaciones que realizan de tal manera que al aplicarlas lleva a
una incorrecta solución y métodos inadecuados.
Esta monografía se centra en una parte del Álgebra Lineal y específicamente en
el concepto central de las transformaciones lineales. El interés de esta es diseñar un
proyecto de aula que contribuya a los estudiantes de ingeniería al aprendizaje
significativo de las transformaciones lineales en el curso álgebra lineal del Politécnico
Colombiano Jaime Isaza Cadavid, mediante la implementación de la matriz asociada a
un operador lineal basada en la enseñanza para la comprensión.
El diseño de este proyecto se encuentra fundamentado en las teorías de la
enseñanza para la comprensión (Perkins y Gardner) y el aprendizaje significativo
(Ausubel), de tal manera que se pueda a través de un proyecto de aula y una
metodología propia y adecuada a través de procesos sistémicos (estudio de casos) y en
base en los aprendizajes significativos, una contribución que favorezca en un trabajo de
profundización como este a la formación pedagógica en la facultad de ciencias básicas,
sociales y humanas en el área de algebra lineal del “Politécnico Jaime Isaza Cadavid” .
Es así como este proyecto contribuye en la práctica pedagógica del docente a
renovar la manera de enfrentar la metodología tradicional que conlleve al maestro o
docente a tener estrategias de cómo mejorar el lenguaje abstracto de las ciencias
exactas, tales como las matemáticas y en este caso el álgebra lineal, ya que ésta área es
fundamental en toda la formación ingenieril en sus estructuras cognitivas del ser y del
pensar.
18 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Son entonces los maestros, no solo en el ámbito universitario sino de cualquier
tipo de escolaridad, quienes tienen la responsabilidad social de ser agentes formadores
del ser de una persona, pero aún más si son del área de las ciencias exactas, debido a
que en esta formación del ser también deben contribuir a un desarrollo del pensar,
convirtiéndose entonces en aquellos seres que fomentan las bases del pensamiento
científico.
Por esto se establece entonces como el proceso de comprensión desde una
manera cognitiva, tiene que ver con el alto nivel de abstracción en los conceptos de una
temática, o sea si se presentan o no dificultades para ser entendida, lo cual se puede
evidenciar en la interpretación, argumentación y proposición personal que en muchos
casos difieren de la verdadera interpretación que se predente comunicar y que ocasiona
la obstaculización de su entendimiento. (Sierpinska, 1996)
Es así como en los cursos tradicionales de álgebra lineal, se pasa la mayoría del
tiempo realizando tediosos y largos cálculos matemáticos (aritmética básica),
preocupándose más por el conocimiento e implementación de técnicas numéricas para
resolver cualquier tipo de estructura algebraica que en realidad no desarrollan dominios
de competencias específicas del curso.
De acuerdo a lo anterior este proyecto surge del interés de ver cuáles son las
dificultades de la enseñanza de las transformaciones lineales, esto debido a que no hay
una estructura algebraica que oriente al docente y al estudiante a cambiar sus métodos,
formas y medios de la didáctica del álgebra lineal; se parte entonces de como la
enseñanza de estos tipos de conceptos no pueden ser enseñados de manera aislada y
memorística sin ninguna fundamentación conceptual.
El problema en cuestión para indagar es ¿Cómo las transformaciones lineales
contribuyen en el desarrollo del pensamiento matemático? y como este media entre el
proceso de razonamiento, exploración y ejercitación para que pueda existir un lenguaje
comunicacional que establezca una relación entre lo sucedido en clase y los conceptos
previos presentes en los estudiantes buscando un mediador que permita mejorar el
aprendizaje significativo de este concepto en el dicente.
Introducción 19
Todas estas falencias son grandes retos que tiene la educación universitaria en
este tema y en especial los maestros de este saber disciplinar, enfocados desde
diferentes aspectos como: lo disciplinar, lo didáctico, lo metodológico y lo humano, es
necesario aclarar que no existe una manera adecuada o no de impartir una clase o un
método eficaz al momento de enseñar, por tal motivo este proyecto surge como un
aporte a la comunidad educativa desde la maestría en Enseñanza de las Ciencias
Naturales y Exactas de la Universidad Nacional para su discusión y mejoría mediante
una transposición didáctica del saber sabio de la pedagogía, la didáctica y el álgebra
lineal.
Este trabajo final, tiene la siguiente estructura:
El Capítulo I, Aspectos preliminares, en el cual se presenta el tema, el problema
de investigación (antecedentes, formulación de la pregunta y la descripción del
problema), la justificación y los objetivos (generales y específicos).
El Capítulo II, el marco referencial el cual da cuenta del marco teórico, donde se
expone el estado del arte de los teóricos que apoyan este trabajo, el marco conceptual
donde se hace alusión al saber disciplinar, el marco legal en el cual está apoyado lo
jurídico y el marco espacial donde se va a ejecutar el trabajo
El Capítulo III, contiene el diseño metodológico, el cual señala el tipo y diseño de
la investigación, las fases en que está dividido, la población, la muestra y el tipo de
instrumentos para la recolección de los datos. Además, se plantea la validez de la
investigación.
El Capítulo IV, presenta las conclusiones y trabajos futuros.
En Los Anexos, se dan a conocer las estrategias que han posibilitado hallar las
necesidades latentes que poseen los estudiantes y docentes, las cuales serán abordadas
en un proyecto de aula llamado “El mundo de las transformaciones lineales”. Para
finalizar se expone la bibliografía consultada.
Se trata de algún modo que más adelante este trabajo se convierta en un insumo
para las posibles reflexiones académicas que surjan de los docentes en sus procesos de
enseñanza de las matemáticas y en particular del curso del algebra lineal en la temática
transformaciones lineales.
20 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
1. Aspectos Preliminares
En este capítulo del trabajo se harán manifiestos el tema, el problema de
investigación, la justificación, el objetivo general y los objetivos específicos.
1.1 Tema
La enseñanza del concepto transformación lineal como una matriz asociada a
un operador lineal.
1.2 Problema de Investigación
1.2.1 Antecedentes
Teniendo en cuenta lo observado en clase, en el curso de algebra lineal, se ha
podido establecer que en los estudiantes el manejo que poseen de las estructuras
algebraicas es bajo, dado a la mala interpretación que tienen de los enunciados y sus
inadecuados argumentos; especialmente en este trabajo de profundización se tomaron
enunciados en relación a las funciones de variable real, en donde le es desconocido la
diferenciación de la terminología y procedimiento adecuado para hallar el dominio y
rango, al igual que la parte de los conjuntos numéricos por no decir que no posee la
definición de lo que es llamado número.
1. Aspectos preliminares 21
Aunque no es el fin de este trabajo, realizar un extenso recorrido por los orígenes
de este saber hasta nuestros días, se realizará un vasto recorrido por los antecedentes
más significativos, quedando esto supeditado a otra investigación con relación a ello.
“De acuerdo con (Luzardo & Peña, 2006) el álgebra lineal y todos los estudios
matemáticos se deben en parte a los babilonios, pues lograron desarrollar un sistema
para solucionar ciertos problemas relacionados con la agrimensura, los cuales tenían
características específicas similares unos de otros, y dado que al tratar de referirse a
cualquiera de ellas se cumplía esa solución para cualquier otra, estas fueron llamadas
de algún modo como incógnitas, y con este sistema se lograba encontrar solución a ellos,
valiéndose de herramientas tales como lo que hoy se conoce como factorización y
resolución de sistemas de ecuaciones. Con esto y la evolución del hombre hoy en día
este método prevalece y nos encontramos con las ecuaciones lineales y cuadráticas que
modelan de una manera la lógica de un problema”. Sin embargo en otros lugares del
mundo Egipto, Grecia, China entre otros, estos problemas eran pensados y solucionados
con sistemas geométricos.
El pensamiento lineal tuvo un impulso realizado por los chinos, quienes
continuaron con los estudios de los babilonios, quienes perfeccionaron varios métodos,
entre ellos la eliminación gaussiana, sin embargo los islámicos, griegos y algunos
europeos evolucionaron en el estudio de esta rama.
(Mosquera, 2008), en su artículo “Introducción a la Historia del Algebra Lineal”
como anexo de su artículo y para la fundamentación del mismo, proporciona una tabla de
la cronología de pensadores (anexo A: tabla Cronología del algebra lineal) que ayudaron
en el desarrollo de la matemática pero en un caso específico al Álgebra Lineal.
Junto con estos “No se puede desmeritar a grandes pensadores como Rene
Descartes (1596-1650) y su aporte sobre la consolidación de proponer las primeras
letras del abecedario como los coeficientes y las ultimas como las variables. De igual
manera grandes aportes como el proporcionado por el doctor en medicina, astrologo,
filósofo y matemático Girolamo Cardano (1501-1576) y los números complejos” ver
(Luzardo & Peña, 2006), entre muchísimos más que le dieron su aporte a un saber en
desarrollo.
22 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
De este modo:
(El álgebra de matrices se debe en gran parte al matemático Ingles
Arthur Cayley (1821-1895), quien en 1858 publicó sus resultados sobre
este tema, nacidos de las observaciones sobre el modo como combinan
las transformaciones lineales en la teoría de los invariantes algebráicos.
(pág.3))
El álgebra lineal inicio con problemas complejos en su época, pero hoy en día a
evolucionado a un nivel que ya es uno de los mejores métodos para dar solución a
problemas de la vida cotidiana; esta es una valiosa herramienta, ya que sin ella muchas
de las cosas que en este momento son necesarias para llevar nuestro ritmo de vida no
estarían allí, cosas que hacen que disfrutamos de ciertas comodidades (satélites,
telefonía, computación, …) además ha abierto puertas a nuevas ramas del conocimiento
frente a las ciencias exactas.
Es por esta razón que se debe de anclar el lenguaje a esta y cualquier ciencia, ya
sea exacta o social, ya que esta es la manera a través de la cual nos comunicarnos a
diario con las personas, y como la relación entre las palabras que utilizamos y las cosas
a las que remiten hacen que haya una buena interacción entre el saber y quien quiere
aprender.
Se debe tener claro entonces que el lenguaje humano es la capacidad que tienen
las personas para comunicarse a través de signos, y es en nuestra cabeza que esos
símbolos se anclan como en un engranaje en la máquina de la capacidad cognitiva de
cada ser.
De este modo la problemática característica de este tipo de asignaturas, es el
paso del lenguaje natural al lenguaje abstracto que implica, o sea, a la falta de significado
y poco uso que se da a los conceptos. Es decir, la falta de comprensión, la escasa
modelación de problemas con referente a los conceptos y la constante memorización de
la parte aritmética, es lo que no permite visualizar ciertos procesos de resolución desde
la aplicabilidad de lo aprendido.
Como solución a estas problemáticas se muestran algunas de las investigaciones
realizadas con el tema que es objeto de este estudio:
1. Aspectos preliminares 23
(Molina & Oktac, 2006). Concepciones de la transformación lineal en contexto
geométrico. En donde los autores se enfocan a través de un trabajo minucioso en tratar
de identificar aquellos modelos intuitivos que pueden tener los estudiantes con respecto a
la transformación lineal en un contexto geométrico y las dificultades que se presentan en
la adquisición de esto.
(Uicab & Oktac, 2006). Transformaciones lineales en un ambiente de geometría
dinámica. Este artículo reporta la ausencia de un pensamiento sistémico en los
estudiantes al resolver problemas de tipo lineal por medio de imágenes geométricas.
Además se hace énfasis en la implementación de las nuevas tecnologías apoyándose en
el software Cabri-geometre II, como una herramienta de colaboración en el aula.
Los autores concluyen que no es tarea fácil ayudar a los estudiantes a que
construyan conexiones entre conceptos matemáticos. Sin embargo, empezar a realizar
actividades con la inclusión de la geometría puede ayudar al desarrollo de metodologías
que permitan precisar conexiones entre los conceptos: su abstracción y la práctica en
problemas.
(Jiménez Alba, 2013). Enseñanza del concepto de matriz a estudiantes de grado
noveno, a través del programa computacional Derive. Para dicha propuesta se planteó la
implementación y la utilización de las TIC en el proceso de enseñanza aprendizaje en su
caso el software DERIVE, de tal forma que se favorezca la construcción de un nuevo
aprendizaje.
(Rosales Ordoñes, 2012). Diseño e implementación de talleres para la enseñanza
y aprendizaje del álgebra matricial y soluciones de ecuaciones lineales con Scilab. Por
medio de actividades mediante la implementación del software matemático Scilab los
estudiantes pudieron tener una mejor adquisición de los conceptos y pudieron centrarse
en los objetivos del curso, sin embargo se deja referencia que la utilización de esto redujo
en un alto nivel las capacidades prácticas de la aritmética.
(Ciancio & Oliva, 2006). APLICACIÓN EDUCATIVA DE LAS NUEVAS
TECNOLOGÍAS PARA EL APRENDIZAJE DE TRANSFORMACIONES LINEALES. En
este documento se establece una propuesta donde la utilización de un software libre
como lo es el MAPLE V, proporciona la opción de visualizar y realizar ciertas
24 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
demostraciones a través de las transformaciones lineales mediante la manipulación de
los algoritmos, cuya intencionalidad es apartarse del tablero.
(Costa, Sc, Scarabino, Idiart, & Knoblauch, 2010). ENSEÑANZA DEL ALGEBRA
LINEAL PARA ALUMNOS DE INGENIERÍA AERONÁUTICA: EXPERIENCIA
MOTIVADORA. Por medio de diversas actividades se concluye que a través de que la
aproximación desde el ámbito informacional al algebra lineal la implementación de la
tecnología optimiza los procesos y es práctica al poder mostrar su aplicabilidad en el área
de la aeronáutica.
(Loaiza Chalarca, 1984). ALGEBRA LINEAL. Este es un trabajo que pretende
responder a las necesidades latentes en ese momento, tratando de colocar al alcance de
los estudiantes los contenidos abordados en el área, ya fuera para cursos presenciales o
a distancia partiendo más de las demostraciones y la aplicabilidad de esta área, sin
olvidar la ejercitación de los temas.
Se muestra entonces como se han realizado diversos trabajos en relación al
algebra lineal y en las temáticas que conciernen a ella, pero en especial a las
transformaciones lineales es poca la información que se desprende de ellas, sin embargo
la mayoría de los trabajos que se han desarrollado parten de la utilización de las TIC,
pudiendo resaltar que los computadores en la enseñanza de cualquier área puede
motivar al estudiante, pero también esto se puede convertir en un distractor llevando al
fracaso y la frustración de las actividades, en este caso en particular son tomados más
como un facilitador de procesos algorítmicos, en pocas palabras el estudiante piensa que
la transformación lineal es el vector transformado como objeto mas no como proceso.
1.2.2 Formulación de la pregunta
Al ser testigo a través de las observaciones realizadas en mi practica pedagógica
de la brecha entre lenguaje abstracto en los estudiantes de ingeniería de la facultad de
ciencias básicas del Politécnico Jaime Isaza Cadavid y el lenguaje disciplinar y didáctico
de los docentes y como esto ha hecho que se incremente la deserción semestre a
semestre poniendo en entredicho la responsabilidad que se tiene como docente, se
1. Aspectos preliminares 25
propone entonces una experiencia de aula enfocada a esas dificultades de tal manera
que se ajuste a un proceso de enseñanza aprendizaje mediado por situaciones problema
desde el manejo de los operadores lineales.
Todos estos procesos como el razonamiento, el lenguaje y comunicación de las
ciencias, la ejercitación y exploración en problemas matemáticos, la modelación y
simulación, y resolución de problemas son grandes retos que tiene la educación
universitaria particularmente en los centros de ciencias básicas y en especial los
maestros, y deben de ser tratados mediantes transposiciones didácticas en diferentes
aspectos tales como: lo disciplinar, lo didáctico, pedagógico y humano, llevando a
proponer un proyecto donde el manejo de los conceptos permita la comprensión en los
estudiantes de esa temática.
De este modo se hace manifiesto el siguiente problema:
¿Cómo las transformaciones lineales contribuyen en el desarrollo del pensamiento
matemático de los estudiantes del Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid (PCJIC)
sede Medellín en los programas de ingeniería en la asignatura álgebra lineal en cuánto a
la comprensión de dicho concepto?
Es por esto que el operador lineal en última instancia es el que tendrá que
establecer la relación entre los diferentes espacios vectoriales del algebra lineal.
Por lo anterior el énfasis del por qué el trabajo está orientado al eje temático
Transformaciones lineales, es por ser una temática central relacionada con conceptos
de los espacios vectoriales. Además las transformaciones lineales son importantes en
muchas áreas de las matemáticas por su aplicación en problemas asociados en las
ciencias físicas, económicas y sociales.
Es de mencionar que gran parte de las carreras, incluyen en su currículo o
programa de estudio un curso como este por su aplicabilidad en diferentes ramas de la
matemática.
26 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
1.2.3 Descripción del problema
Al definir problema como aquella situación que es susceptible de mejora y desde
ahí poder establecer que la problemática radica en que los estudiantes de algebra lineal
poseen un desconocimiento de las estructuras algebraicas, desconociendo cosas como
lo son los grupos, los grupos abelianos, los anillos, cuerpos y los campos, y al
desconocer estas se establece que no conocen los conjuntos ni se conocen las
invariantes (propiedades).
Desconocimiento de cosas tales como que un grupo abeliano debe cumplir las
condiciones de que es un conjunto diferente a vacío que cumpla con que sea Cerradura,
Asociativa, Neutro, Inverso y Conmutativa, lo llamado CANICO; estructuras que deben de
ser ya aprendidas por los estudiantes y es ahí donde hay una problemática grande pues
los hechos muestran fallas en lo relacionado al campo en los números reales que impide
de cierta manera la consolidación de temáticas como las transformaciones lineales en los
estudiantes.
Además al desconocer la importancia de estos hechos y al no haber una
estructura consolidada en los reales en el pensamiento matemático de los estudiantes y
docentes es muy complicado comprender la dimensión de este tipo de cursos.
Para ser matemáticamente competente en la enseñanza del algebra lineal se
debe desarrollar una relación entre los procesos generales mencionados anteriormente,
el pensamiento y sistema lógico con sus contextos desde situaciones problemas de
pensamiento matemático y un avance en el concepto de enseñanza de la transformación
lineal el docente debe concebir está como una estructura de aprendizaje que establezca
una aplicación entre los conjuntos, las operaciones y las relaciones de dicho concepto,
sin embargo esto no se ha realizado de la mejor manera, pues se ha ido enseñando a
través de técnicas que facilitan el modo de enseñanza, pasando por alto el
desconocimiento de este tipo de situaciones y donde nadie se toma la labor de enseñar
dicho concepto bajo una estructura de forma clara, profunda y seria de este concepto
bajo la teorización y ejemplificación del mismo.
1. Aspectos preliminares 27
De esta manera en la descripción del problema se plantea él porque es
importante conocer que las estructuras algebraicas en la formación del pensamiento
matemático del estudiante es indispensable para llegar a estos estados de formalización
concreta, para poder así establecer la relación entre los hechos y las explicaciones y
analizar los supuestos en los que se apoyan los elementos identificados en la
problemática que vamos a resolver en este trabajo final.
Se tratará entonces de dar respuesta a preguntas como ¿Qué está pasando
verdaderamente cuando el estudiante llega a enfrentar este concepto cuando hay un
desconocimiento en su estructura mental y cognitiva? ¿Cuáles son las razones por las
cuales sucede esto? Será entonces que las respuestas a estos interrogantes van acorde
con que los estudiantes siguen trabajando en su estructura cognitiva en función de una
sola variable y no comprende que ya no es así y que se debe de hablar entonces en
función de varias variables conocidas como funciones de variable vectorial las cuales le
dan la bienvenida a los espacios vectoriales.
Por ende el presente trabajo pretende establecer concretamente la relación que
existen entre los conocimientos básicos para el aprendizaje de la matemática con cada
uno de los pensamientos propuestos por el Ministerio de Educación Nacional, cuya
intencionalidad es el de establecer una relación de dichos pensamientos con los espacios
vectoriales propuestos por el álgebra lineal.
Desde el enfoque de sistemas los lineamientos dan la apertura de que es en lo que
verdaderamente se ha de centrar el pensamiento matemático como una propuesta de
enseñanza de la matemática; entonces lo que propone el ministerio es que para la
enseñanza de la matemática hay que conocer muy bien los conjuntos, las operaciones y
muy bien las relaciones.
Es por esta razón que se dará a conocer en algún momento como es visto esto
desde los pensamientos propuestos por el MEN; así como lo expresado en los
estándares sobre los pensamientos y logros que debe de obtener un estudiante que
curse un área como lo es el Algebra lineal a nivel universitario.
De esta manera en la educación y ubicándonos en el área de las matemáticas lo que
se pretende es que los estudiantes sean “matemáticamente competentes” lo cual se
refiere a ser capaz de establecer cognitivamente una relación entre el saber, el modo de
28 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
hacer y su entorno, en pocas palabras (adaptar su saber para resolver una situación de
la mejor manera), a través del análisis, la justificación, argumentación y el
establecimiento de los nuevos conceptos en la relación del aprender. Es así, como en la
enseñanza de las transformaciones lineales en un curso de algebra lineal se pretende
contribuir a los aprendizajes de los estudiantes de tal manera que tengan unos elementos
conceptuales y teóricos en el mismo curso y cursos posteriores donde ellos necesiten
esa temática.
Como se ha visto en los antecedentes se han realizado indagaciones para
trabajar temáticas tales como las matrices, los sistemas de ecuaciones e incluso las
transformaciones pero desde un desarrollador (software educativos libres o privados) con
el fin de simplificar los procesos algorítmicos por parte de los estudiantes o sobre el
álgebra lineal en sí. Sin embargo el elemento diferenciador de este proyecto es el trabajo
del álgebra lineal desde los operadores lineales, llevando así a la máxima comprensión
de los procesos y dejando de lado la memorización característica de algoritmos por parte
del estudiantado, estableciendo una relación de dichos operadores con los espacios
lineales (vectoriales) propuestos por el álgebra lineal mediante situaciones problemas
apoyados en las teorías de Aprendizaje Basados en Problemas (ABP).
1.3 Justificación
El proyecto sobre “La enseñanza del concepto transformación lineal como una matriz
asociada a un operador lineal, en la facultad de ciencias básicas, sociales y humanas del
Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid” surge ante la necesidad de los distintos
antecedentes sobre bajo rendimiento académico que se presentan, ya sea por
conocimientos deficientes o en algunas ocasiones hasta escasos de los estudiantes,
atendiendo entonces ha aspectos relevantes tales como la interpretación de los
enunciados, comprensión y aprehensión del lenguaje matemático, dado que la mayor
problemática es el desconocimiento de las estructuras algebraicas y simplemente la
memorización algorítmica de los procesos.
El Álgebra lineal es un saber que se puede cursar en el segundo, tercer o hasta
cuarto semestre de las carreras de Ciencias Exactas en ingeniería del Politécnico
1. Aspectos preliminares 29
Colombiano Jaime Isaza Cadavid (PCJIC). La cual cuenta con una población estudiantil
de diferente índole a nivel económico y social. Problemáticas como estas ha llevado a
que los docentes nos cuestionemos sobre la didáctica que se emplea actualmente y la
necesidad de un proyecto de aula diferente, que permita a los estudiantes superar las
dificultades que presentan en el aprendizaje de esta asignatura.
El beneficio del diseño de este proyecto se hace debido a que los estudiantes solo
acuden a la memorización esquemática de algoritmos que requiere esta asignatura, lo
cual no deja mucho tiempo a lo realmente importante como lo es la conceptualización, el
análisis de los problemas y sus resultados, sin hablar de su implementación en el
cotidiano vivir.
Como profesor universitario, me interesa saber las diferentes causas por las cuales
los estudiantes no comprenden las temáticas relacionadas con el álgebra lineal,
llevándolos a la reprobación de la asignatura y en algunas veces a desertar, no solo de
cursar la asignatura sino de sus estudios académicos. A la vez determinar que medios
podrían utilizarse para que este fenómeno que es algo común en los pasillos de todas las
universidades disminuya.
El punto de partida entonces, se basará en como la enseñanza a nivel universitario
trata de manera aislada los conceptos de matriz y transformaciones lineales en los
Espacios Lineales (EL), llevándolas casi al punto de tratarlas como temas separados sin
ninguna relación. Además algo común en la enseñanza y el aprendizaje del Algebra
lineal en este nivel o cualquier otro está caracterizado por el manejo excesivo del lápiz y
el papel por los estudiantes, como lo dicen ellos (para aprenderla es necesario rayar
mucho) ejecutando los problemas a partir de reglas que generalizan los procedimientos a
seguir. Debido a esto y la manera como se refuerzan estas reglas al realizar ejercicios
similares a los trabajados en el aula de clase, se lleva al estudiante a la constante
memorización de algoritmos sin la comprensión necesaria de lo que ha realizado y del
porque se debe este resultado o proceso.
Por esto el sistema educativo presenta debilidades por su alto grado de perdida y
deserción, lo que conlleva a los estudiantes a una baja motivación, es allí donde con el
fin de mejorar la calidad y mejorar en cierto modo las falencias que se presentan en la
educación, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) propone un sistema que logre el
30 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
mejoramiento continuo en todos los niveles educativos a través de planes de
mejoramiento que permitan desarrollar competencias en los jóvenes de tal manera que
les permita adquirir aprendizajes y con ellos unos elementos fuertes para enfrentarse a
las exigencias no solo académicas sino sociales.
El alcance de este trabajo está orientado al diseño de un proyecto de aula que
despierte una motivación por parte del estudiante y el docente hacia la comprensión del
algebra lineal y en particular las transformaciones lineales como matrices asociadas a un
operador lineal, de tal forma que conlleve a un cambio de actitud del estudiante frente al
estudio no solo de esta asignatura sino de las matemáticas en general y que de igual
forma con ello mejore su rendimiento académico en general. Materializando está en una
cartilla (Proyecto de aula) que tendrá el desarrollo de la temática en tres (3) unidades,
apoyadas en la programación institucional de la asignatura y llevando a un
enriquecimiento no solo para la facultad de ciencias básicas sino como un posible
modelo a seguir por parte de los docentes en los demás cursos en este tema y sirva
posteriormente como insumo para organizar las demás temáticas del curso de algebra
lineal.
De este modo a nivel institucional el perfil docente se enmarca en un ascenso
porque al tratar de implementar, actualizar e innovar en la didáctica de las clases, se
mejora no solo el plan curricular, sino el modo de evaluación y planeación al momento de
dirigir un curso.
En síntesis el proyecto de aula lo que busca es establecer una relación entre:
( ) ( ) ( )
Dónde:
es la matriz asociada al operador
es el operador lineal
es el valor propio
es el vector propio
1. Aspectos preliminares 31
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo General
Diseñar un proyecto de aula que contribuya en la enseñanza para la comprensión
del concepto de transformación lineal que favorezca el aprendizaje significativo de
los estudiantes de ingeniería en el curso álgebra lineal del Politécnico Colombiano
Jaime Isaza Cadavid, mediante la implementación de la matriz asociada.
1.4.2 Objetivos Específicos
Diagnosticar el dominio conceptual en términos de conocimientos (teóricos y
prácticos) que poseen los estudiantes acerca de las estructuras algebraicas.
Analizar las estrategias seguidas por los estudiantes para encontrar y dar
respuesta a las diferentes situaciones presentadas, las cuales hacen referencia a
las transformaciones lineales (funciones lineales).
Diseñar una serie de actividades basadas en las transformaciones lineales,
isomorfismos en espacios lineales y las matrices asociadas a un operador lineal
que contribuyan a la práctica pedagógica.
32 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
2. Marco Referencial
Este espacio está determinado por aquellas teorías que fundamentarán y harán
explicito ese elemento diferenciador que aporta este trabajo al mundo académico, esto se
realizará a través de teorías del saber pedagógico y saber especifico, las cuales
desarrollarán la problemática expuesta y darán cumplimiento a los objetivos tanto general
como específicos.
2.1 Marco Teórico
La profundización en un determinado tema podría ser igual o más complejo que el
de realizar una investigación, y más si es en enseñanza y/o aprendizaje; ya que se
pretende realizar un proyecto de aula que permita mejorar las dificultades que pueden
poseer los estudiantes y las anomalías de la educación que se presentan a diario en un
ambiente escolar, y en esta ocasión a nivel universitario.
2.1.1 Lenguaje en la ciencia
Para comenzar debemos tener presente algo que es esencial en el proceso no solo
de enseñanza sino de socialización con los demás, la comunicación, y con ella el
lenguaje; aunque el lenguaje tiene diversas funciones, la más importante por así decirlo,
es la función de comunicar.
Como punto de partida se puede establecer que en ocasiones el lenguaje común
del día a día no es el adecuado para la precisión en la descripción de los fenómenos
científicos, es por esto que (Deaño, 1971) establece “el lenguaje científico es ante todo
2. Marco referencial 33
gráfico, y su forma oral no es en cierto modo más que una traducción codificada y
aproximada de la original”; teniendo en cuenta esto y haciendo referencia a que el
lenguaje de las ciencias se establece como un lenguaje informativo, pues su fin es el de
informar lo que se sabe, se puede entender este como un sistema que estructura las
operaciones de la información de manera objetiva y que no da a otras interpretaciones, o
sea que su fin sea unívoco, pues lo que se pretende con ello es demostrar la veracidad o
falsedad de los conocimientos científicos de acuerdo con los vocabularios específicos
que cumplan las necesidades de cada ciencia.
Dado que el lenguaje es un sistema eficaz donde a través de las estructuras ya
establecidas se comunican las ideas (lenguaje escrito), las ciencias se valen de ellas
para un uso concreto como lo es el realizar las descripciones de la parte observacional
para proceder a darles un orden teórico, pues al poseer el dominio sobre un lenguaje
establecido, como lo es el lenguaje científico, esto implicaría poseer la capacidad de
transformar los lenguajes visuales por otros que sean aceptados por la comunidad
científica.
(Lorenzano, 2011) expresa que ya establecido el lenguaje científico como un canal
de información, que se compone por enunciados, se puede establecer los términos como
básicos y complejos, esto facilitará establecer las relaciones entre ellos y como esta
relación tiene el rol de posibilitar el entendimiento o no de las afirmaciones científicas.
Es por esta razón que en el aula de clase el canal entre el lenguaje y la ciencia está
en constante conflicto, ya que el lenguaje escrito no es lo suficientemente claro y al
suprimir la parte observacional para los estudiantes en un área como lo es el álgebra
lineal, que por su manera abstracta y el bajo enfoque que proporcionan los docentes al
momento de enseñar los conceptos, genera un desasosiego frente a la asignatura y esto
se manifiesta semestre a semestre en él estudiantado, no solo al momento de cursarla,
sino también en el momento de elegir y matricularla, ya que se enfrentarán con algo que
para ellos es carente de metodología, práctica y extensa en la parte teórica.
Los profesores universitarios y en especial los de las ciencias básicas esperan que
sus estudiantes comprendan la temática y todos los procesos que se hacen desde una
forma abstracta de tal manera que sea para ellos algo tan natural como el respirar.
Olvidando que la ciencia se vale del lenguaje para explicar con precisión la vida cotidiana
34 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
y no para hacerla ver más conflictiva de lo que ya es. Suposiciones, ideas o malos
acercamientos al lenguaje matemático influye en el desempeño y visión que se tiene de
un área o en un caso extremo de la ciencia por parte de los estudiantes.
De esta manera, es así como el lenguaje es importante al momento de investigar,
indagar, observar, expresar y en nuestro caso el de enseñar un saber sabio, sin embargo
a veces los errores que se cometen en el aula de clase frente a cualquier saber en gran
parte es el no conocer su parte histórica (orígenes) de los conceptos, los fundamentos
pedagógicos y la estructura de la parte disciplinar en los que se apoya su práctica.
Pasando por el origen del algebra lineal, por quienes y porque surgió esta linda
herramienta matemática, se debe de pensar como buscar la manera de colocar a un nivel
asequible para el estudiante este saber que no se podría llamar puro (aunque en realidad
no lo es, debido a que ya ha sufrido transformaciones desde su invención hasta el
momento de llegar al aula) sino saber enseñable de un saber sabio, es de esta manera
como los docentes recurren a la transposición didáctica para valerse de ello. En palabras
de (Chevallard & Yves, 1997), la Transposición Didáctica es el “conjunto de las
trasformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado”.
De acuerdo con (Cardelli, 2004), “El educador no es protagonista del saber
enseñado… El educador se legitima como transmisor, enseña un saber que él no ha
producido y como el producto no es visible pareciera no ser de nadie…esta invisibilidad
política de la Noosfera es parte de un proceso discursivo que se legitima desde el Estado
y que plantea el carácter técnico de las actividades de la misma y, como tal, se subordina
a las necesidades de orden político de los que gobiernan la educación o se adecua a las
demandas de los educadores”
2.1.2 Enseñanza para la comprensión (EpC)
Los procesos de enseñanza-aprendizaje en la actualidad, exigen una revisión
constante no solo del método y las estrategias sino del referente teórico que transformen
las acciones que se desenvuelven en un aula de clase, en la triada que se da entre
estudiante-maestro-saber.
2. Marco referencial 35
No se puede descartar que una de las razones por las cuales se dan los bajos
rendimientos sea debido a los malos hábitos de estudio, pues estos van de la mano con
la inadecuada técnica de estudio que se utiliza, cabe resaltar entonces que aprender a
aprender tiene una alta influencia en la formación de los estudiantes.
Es aquí donde el estudiante se debe enfrentar a estas situaciones tratando de
determinar la manera de comprender a través de su interpretación, ese lenguaje
científico y entendiendo como esto se asemeja con su leguaje.
Desde este punto de vista se pretende renovar los pensamientos en los docentes
para con ello reformular las actividades que se realizan en las clases. Es decir se pase
de un docente que sea transmisor de un saber sabio a un docente que emprenda la
potencialidad de las habilidades de los estudiantes de tal manera que comprenda y
establezca que hay ritmos de estudio y aprendizajes diferentes.
La propuesta de la Enseñanza para la Comprensión (EpC) surge con el propósito
de desarrollar no solo sujetos capaces pensantes que utilicen sus conocimientos
respondiendo a las necesidades de su entorno de manera coherente, exigiendo leer,
(entendiendo esto no como la unión de letras para formar monosílabas y producir sonidos
de ellas, sino como la comprensión, reflexión y apropiación de lo que se está leyendo),
de tal manera que pueda desarrollar y apropiarse de un discurso autónomo y pueda
ordenar lo que piensa, el cómo establecer el mejor modo de enfrentar un problema y
como desechar las que no son soluciones; además de esto se tratará también de
brindarle a los docentes el espacio de poder pensar sobre su quehacer, vea (Patiño ,
2012); esto debido a que la forma de hacerlo no está dando buenos resultados.
Desaprender lo aprendido es entonces desde donde se inicia un buen proceso de
aprendizaje pues esas teorías que hacen parte de la estructura cognitiva de las personas
a veces no son sino simples interpretaciones y adaptaciones del mundo que les rodea
generándole una explicación de él. Lo que se debe de pretender entonces es lograr
cambiar esas teorías pero no desde la enseñanza textual y memorística que pretenden
los docentes en los estudiantes, sino de una manera que le pueda ayudar a resolver
situaciones y no la acumulación de saberes.
La enseñanza para la comprensión permite al docente establecer relaciones que
lo conlleven a las prácticas de enseñanza a tener aspectos como: Metas de
36 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Comprensión, Desempeños de Comprensión y Valoración continua permitiéndole al
estudiante llegar a una buena comprensión.
Donde las Metas de comprensión: son aquellos objetivos por los cuales se
delimitarán la forma como se abordará la temática, pues el hecho de que se avance más
en un curso no significa que se está comprendiendo en clase, entonces al establecer
estas metas claras se podrá hacer una visualización general de cual es el fin del proyecto
de aula.
Es así como los desempeños de comprensión serían el modo a través del cual se
tratará de alcanzar el tópico anterior, desarrollando esto con actividades donde al
estudiante se le posibilite aplicar lo comprendido, estas actividades deben ser desarrollas
de manera gradual y en un transcurso de tiempo que posibilite la aprehensión de las
temáticas; las cuales tienen un orden lógico de desarrollo (exploración, de manera guiada
y un resultado final).
Finalmente la valoración continua es aquella donde el estudiante debe de hacerse
consciente de sus avances ya sea a través de la autoevaluación o retroalimentación de
las temáticas, de tal manera que esto no sea un punto a parte de la formación, ni sea
visto como un castigo a su proceso de aprendizaje sino un tópico más de su formación
que posibilita un continuo desarrollo entre temáticas; teniendo como punto de referencia
aquellas metas que se establecieron al inicio.
Es de esta manera se plantea el proyecto de aula que posibilite las respuestas a
estos cuestionamientos:
¿Qué se pretende que los estudiantes comprendan?
Dado que lo que se predente es dejar de lado la parte memorística de la
aritmética y los tediosos procedimientos algorítmicos, para pasar a la aprehensión e
interiorización de los conocimientos, de tal manera que el estudiante pueda modificar su
estructura cognoscitiva e instalarlos en su estructura para poder hacer uso de ellos en el
momento que sea necesario.
¿Cómo tener claridad si los estudiantes comprenden?
2. Marco referencial 37
Esto se determina a través del avance progresivo que el estudiante realice
enfrentando lo desconocido y dando respuestas claras a las actividades propuestas en
las unidades temáticas.
¿Cómo saben los estudiantes si realmente comprenden?
La comprensión es entonces como lo diría (Perkins, 1999)): “La habilidad de
pensar y poder desarrollar un tipo de habilidades que demuestren que se entendió un
tópico y al mismo se tiempo se apodero de él, de tal manera que lo amplia y es capaz de
utilizarlo de una forma innovadora.
Todas estas cuestiones que surgen desde el modelo de la Enseñanza para la
Comprensión (EpC), son tópicos que se pueden abordar desde los fundamentados de las
inteligencias múltiples (Gardner & Boix-Mansilla, 1994) de tal manera que se puede
posibilitar un proceso de enseñanza-aprendizaje que facilite el ritmo de aprendizaje
diferente de cada estudiante.
2.1.3 Aprendizaje significativo
Para Ausubel, el aprendizaje depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, en otras palabras la nueva información interacciona con una estructura de conocimiento específica que Ausubel llama "concepto subsumidor (o subsunzor)" o, simplemente, "subsumidor", existente en la estructura cognitiva de quien aprende. De esta manera las nuevas ideas pueden ser aprendidas y retenidas –“modificación de la estructura cognitiva”. (Moreira, 2000)
En la enseñanza y aprendizaje de las ciencias naturales y las matemáticas, el
aprendizaje significativo en el estudiante es un medio con el cual se vinculan por así
decirlo un saber nuevo con su estructura cognitiva a través de una manera no arbitraria y
sustancial (no literalidad). Es de esta manera que se dice que la nueva información se
ancla en conceptos relevantes preexistentes-subsumidor-en la estructura cognitiva, sin
olvidar que el significado de subsumidor lo aceptamos como conocimiento o idea previa.
En el proceso de enseñanza aprendizaje no hay un derrotero de pasos a seguir
donde se constate el resultado o no de una manera de proceder, sin embargo hay
38 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
aspectos relevantes que implican una mirada integradora de todos esos momentos que
se dan en el aula que contribuyen en el aprendizaje significativo, aspectos tales como la
motivación, comprensión, sistematización, transferencia y retroalimentación, son algunas
etapas que proporcionan una metodología a seguir sin ser necesario su estricto orden.
La etapa inicial del aprendizaje es la motivación, una etapa donde el docente
plantea y muestra la importancia que tiene el objeto de estudio para los estudiantes de tal
manera que se cree en ellos una necesidad y un interés por la apropiación de esos
contenidos, donde el docente de recurrir a esos conocimientos previos que el estudiante
tiene para poder establecer una relación entre el fin último de la enseñanza y el objeto de
estudio.
Cuando hablamos de comprensión es la capacidad que posee el estudiante
para adquirir lo que le es importante para aprender, es en esta parte que se le enseña al
estudiante la manera de pensar, ver y encontrar la parte importante de la temática; en
este ámbito se establece entonces la relación entre temática-método
La sistematización es la parte sustancial del aprendizaje ya que es en esta
instancia donde el estudiante se apropia de la temática de tal manera que deja a un lado
la visión simplista y desarrolla un dominio de este saber a tal punto de hacer suyo el
nuevo saber integrándolo a su estructura cognitiva, esto a través del apoyo de aquellos
materiales que proporciona el docente.
La transferencia hace parte a la ejercitación y asimilación de los contenidos con
el fin de que los estudiantes apliquen lo aprendido de una manera que gradualmente su
dominio sea mejor para así poder entender mejor y aplicarlo en nuevas situaciones.
Finalizando la retroalimentación hace referencia al desempeño por parte del
estudiante, ya que lo que se pretende es que se pueda establecer una comparación entre
lo que se esperaba (objetivo) y lo que logro alcanzar en el dominio de la temática.
Es así como en el aprendizaje significativo es importante que el estudiante posea
ideas previas de las cuales se pueda basar para poder aprender, ya que sin ellas aunque
se cuente con todas las condiciones favorables no se puede realizar un aprendizaje.
2. Marco referencial 39
Es importante establecer que el docente cumple también un papel similar al del
estudiante, ya que él debe estar dispuesto, tener los conocimientos necesarios,
pertinentes y bien definidos además tener una motivación para poder enseñar
significativamente.
Este proyecto partirá de las ideas previas puestas en práctica con situaciones
que faciliten la motivación, comprensión, sistematización, transferencia y
retroalimentación pues como dice (Rodríguez Palermo M. L., 2011) su finalidad es
abordar los elementos que garanticen la asimilación, retención y apropiación de los
contenidos de tal manera que estos adquieran significado para los estudiantes. El
concepto que se trabajará son las transformaciones lineales como una matriz asociada a
un operador lineal donde se tendrán en cuenta los conceptos previos ya aprendidos,
como lo son las matrices sobre un campo (concepto de matriz, operaciones binarias
(internas y externas), operaciones unitarias, equivalencia y sistemas lineales) al igual que
los espacios lineales (la estructura de espacio lineal, subespacios lineales, base
dimensión) y todos los tipos de operaciones en los números reales.
Pretendiendo entonces que lo aprendido por el estudiante sea asociado con lo
que ya sabía para hacer el puente entre eso y lo que pretende aprender haciendo de este
modo un aprendizaje significativo y pueda aplicarlo en el contexto.
2.1.4 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)
Para dar solución problemas, basándonos en el ABP se debe de partir de como la
colaboración y la cooperación es una fuente fundamental en el momento de enfrentar el
aprendizaje de manera positiva, sin olvidar la autonomía del estudiante.
El Aprendizaje Basado en Problemas surge como una opción de que los
estudiantes no aprendan desde la memorización de los contenidos sino para que
adquieran las herramientas necesarias que puedan ser usadas en el momento de
afrontar ya sea un problema real o en nuestro caso uno propiciado desde la unidad
didáctica propuesta, se trata entonces de ir llevando a los estudiantes a una reflexión
continua de su aprendizaje, ya que el docente esta como un facilitador y no como un
transmisor de contenidos.
40 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Según (Piaget , 1999) el ABP provoca conflictos cognitivos en los estudiantes de tal
manera que pueden intensificar su aprender y establecer un aprendizaje significativo.
Para poder desarrollar de una manera adecuada este tipo de metodología en las
clases el docente debe entonces a través de una puesta en escena de los objetivos del
aprendizaje y de qué manera se pretenderá alcanzarlos, no hay un esquema fijo o la
manera de cómo utilizar el ABP, sin embargo muchos autores coinciden en una
secuencia lógica que debe establecer el docente:
- Establecer los objetivos.
- El tiempo de duración de la práctica.
- La evaluación de como el estudiante enfrentó el problema y que estrategias de
aprendizaje utilizó el estudiante para dar solución.
De esta misma manera surge una ruta intuitiva por parte de los estudiantes al
momento del desarrollo del ABP:
- Lectura y análisis del problema: donde se trata de que el estudiante
comprenda y discuta su manera de ver el problema.
- Lluvia de ideas: aquí se trata de lanzar hipótesis sobre la mejor manera de
resolverlo, las cuales se irán desechando o aceptando según sea la evolución
de la solución.
- Establecer una lista de las cosas conocidas.
- Escribir lo que se desconoce: aquí se hace referencia aquello que se debe
de saber para dar solución al problema.
- Cuáles son las estrategias para afrontar el reto.
- Esclarecimiento del problema: es en esta instancia donde se explica
claramente que es lo que se desea resolver y de qué manera.
- Obtención de la información: se establece las fuentes desde donde poder
resolver el problema.
2. Marco referencial 41
- Presentación de resultados: aquí se muestra bien sea la solución o la
manera como se afrontó el problema, sacando las conclusiones e inferencias
y recomendaciones para aquellos que pretendan resolver el mismo problema.
Es de esta manera como la implementación del ABP y el aprendizaje significativo
se complementan como estrategia en la resolución de problemáticas, ya que aportan a
un análisis crítico y una reflexión autónoma sobre su aprender, apropiándose entonces
de un discurso propio que le posibilita la mayor retención de la información.
2.2 Marco Disciplinar
El álgebra lineal estudia conceptos tales como: vectores, matrices, sistemas de
ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales, entre otros valiosos
aspectos (que no son nuestra línea de profundización); y no solo esto sino que su campo
de acción es amplio dado que este estudio es adaptable al análisis funcional, a las
ecuaciones diferenciales, gráfica de computadoras, campos de ingeniería, entre otras
áreas de conocimiento.
Enfocándonos en que las transformaciones lineales sean entendidas como un
conjunto de reglas y operaciones y que así se permita el uso idóneo de ellas de tal
manera que se puedan aplicar y sea visible que al hacerlo por ejemplo en un vector,
cambia su dirección o aumenta o disminuye su tamaño y que de igual manera sea
posible realizar lo mismo en matrices o cualquier campo del algebra.
En esta misma línea reconocer la importancia y abordar aquellos trabajos que han
sido tratados en cuanto al Álgebra Lineal, permite la profundización de saberes, ya que
está es la que transversaliza los parámetros establecidos anteriormente. Debemos de
entender que el álgebra lineal es una de las áreas básicas para ingenieros, por tal motivo
es de relevancia que los estudiantes desde el inicio del semestre sean conscientes de su
importancia y lo fundamental de su aplicabilidad, aunque aparentemente sus contenidos
sean muy abstractos.
42 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Un ejemplo concreto entre muchos permite ver el álgebra lineal como una
herramienta fundamental de la informática y las ciencias de la computación. Entre sus
aplicaciones esta la teoría de la información, la teoría de códigos, la criptografía e incluso
las más recientes tendencias en computación (computación cuántica), un ejemplo
puntual es en el campo de la administración de empresas, donde esto proporciona
instrumentos para la toma acertada de decisiones en lo referente a la optimización de
recursos escasos, además de permitir determinar ingresos, ventas, pérdidas, entre otras.
Debido a que los estudiantes no realizan la conexión entre los conceptos y los
toman como elementos apartados los unos de los otros y esto es una dificultad que está
presente y que se ha tratado de afrontar en diversos trabajos; algunos de ellos han tenido
como eje articulador la construcción de actividades a través de la implementación ya sea
de software libre o con licencia(Cabri-géometre II, Derive, MATLAB, Scilab,..), donde se
pretende ver la computadora como una herramienta que ofrece una reducción de
procesos tediosos para los estudiantes.
Lo anterior afirma cuáles son las implicaciones de trabajar con los medios
informáticos y como el conocimiento en el ámbito educativo y en particular las
tecnologías digitales están transformando el modelo de universidad tradicional, en las
instituciones de enseñanza superior, sin embargo no es objeto de estudio de este
proyecto las implicaciones del trabajo con medios informáticos
Es necesario entonces enfocarnos en la manera como los estudiantes asimilan de
manera no muy clara cuando se habla de transformación lineal, ya que no logran
entender que las transformaciones son sinónimos de cambios, aplicaciones, funciones,
operaciones, mapeos,… de tal manera que un momento dado se pueda dar respuesta
con este trabajo a: ¿qué es lo que se entiende como un cambio en la matemática?, que
en sí son las transformaciones y enfocándolas a un solo componente como lo son las
transformaciones lineales.
El presente proyecto pretende establecer concretamente la relación que existe entre
los conocimientos básicos para el aprendizaje de la matemática con cada uno de los
pensamientos propuestos por el Ministerio de Educación Nacional.
2. Marco referencial 43
Cuya intencionalidad es la de desarrollar el pensamiento numérico enfocándonos en
el campo de los números reales, donde se espera que los estudiantes apliquen lo
aprendido a través de la utilización de la comparación racionamiento, análisis, bosquejo,
solución y planteamiento de problemas.
Fundamentados en la Constitución Política que establece el derecho a la educación,
a la libertad a la enseñanza, aprendizaje, investigación y cátedra y sujetos a la Ley 115
de 1994, en los artículos 1 y 4, los cuales establecen que la educación es una formación
constante en el sujeto que busca a través de ella su integralidad, dando así un horizonte
a la formación de los estudiantes a través de una educación con calidad, de tal manera
que se prepare al estudiante para el desempeño óptimo de su profesión ya sea técnica,
científica, humana, cultural, filosófica o social.
2.2.1 Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que
consisten en transformar un espacio vectorial en otro.
2.2.1.1 Concepto de operador lineal
Sean y dos espacios lineales sobre un mismo campo ,
entonces un operador lineal ( ) estaría definido como:
1 una función ( )
esto significa que a cada elemento de le corresponde un único elemento de .
Siendo denominada función: transformación: aplicación: operador: … lineal
si conserva invariante la estructura de espacio lineal, y además cumple con las siguientes
condiciones:
1 Entiéndase a y como espacios vectoriales formados por distintos elementos: vectores, matrices, polinomios,
conjuntos de polinomios
44 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Sea
i. operador aditivo. (Operación Binaria Interna-OBI)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ii. operador homogéneo. (Operación Binaria Externa-OBE)
( ) ( )
Estas propiedades se resumen en:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Dónde:
El primer miembro es de elemento de .
El segundo miembro es . de elemento de .
también recibe el nombre de entre los espacios y W
2.2.1.2 Espacio de los operadores lineales
Partamos de que ( ) es el conjunto de todos los operadores (funciones)
lineales. Definidas de V en Entonces precisando un espacio lineal teniendo en cuenta
que
⟨ ( ) ⟩
Donde en este conjunto se definen:
i. Relación de equivalencia
Sean ( )
2. Marco referencial 45
( ) ( )
ii. Adición (OBI):
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
La adición de operadores lineales es un operador lineal, ya que cumple con la
aditividad y homogeneidad.
iii. Producto por un escalar (OBE):
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
El producto de real por un operador lineal es un operador lineal, ya que cumple con
la aditividad y homogeneidad.
2.2.1.2.1. Propiedades de los operadores lineales
i. Conserva el elemento neutro
Si ( ) entonces ( )
De tal manera que:
se tiene que ( )
Al aplicar se cumple:
( ) , ( ) - ( ) ,( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ii. Conserva el elemento inverso
Si ( ) entonces ( ) ( )
De tal manera como es un espacio lineal:
( ) , inverso aditivo de , de tal manera que ( ) .
Al aplicar se cumple:
46 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
, ( )- ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
iii. Todo elemento del espacio queda bien definido por su acción sobre una
base del espacio .
Si ( ) y * + es una base de . Entonces si se conocen las
imágenes de los elementos de mediante , se puede conocer la imagen de cualquier
elemento de .
2.2.1.3 Núcleo y rango de un operador lineal
Todo operador lineal determina dos importantes subespacios
Sea ( ) con , espacios lineales de dimensión finita sobre .
2.2.1.3.1. El Núcleo del operador es un subespacio de :
( ) * ( ) +
NOTAS
i. ( ) , como es lineal, conserva el elemento neutro, así:
( ) ( )
ii. ( ) conserva la OBI
( ) ( ) ( )
Si { ( )
( ) {
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
iii. ( ) conserva la OBE
( ) ( )
2. Marco referencial 47
Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
iv. ( )
v. ( ) recibe el nombre de nulidad de .
2.2.1.3.2. El Rango (recorrido) del operador es un subespacio de :
( ) * ( ) +
NOTAS
i. ( ) , pues existe tal que:
( )
ii. ( ) conserva la OBI
( ) ( ) ( )
Si { ( )
( ) {
tal que { ( ) ( )
( ) ( ) ( ) luego ( ) ( )
iii. ( ) conserva la OBE
( ) ( )
Si Y ( ) tal que ( ) ( ) ( )
Luego ( )
iv. ( ) es un subespacio de .
v. ( )
vi. Si y son Subespacios de dimensión finita, entonces
( ) ( ) .
48 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
2.2.2 Isomorfismo en Espacios Lineales
2.2.2.1. Tipos de operadores lineales
Se trata de determinar cuándo una función lineal posee inversa y que
características especiales tienen este tipo de funciones.
Sea ( ). se considera un operador lineal:
i. Inyectivo (1 a1) si:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) * + ( ( ) )
ii. Sobreyectivo o Exhaustivo si:
tal que ( ) ( )
iii. Biyectivo o regular si y solo si:
es inyectivo y sobreyectivo ( ) * + y ( )
Todo operador lineal regular transforma una base del espacio de partida en una base
del espacio de llagada.
2.2.2.2. Espacios lineales isomorfos
Sea y espacios lineales de dimensión finita en el campo .
se dice isomorfo de , denotado por: , si existe un
operador lineal biyectivo.
, si y solo si tal que es:
i. Lineal: , - ( ) ( )
; ( ) ( )
2. Marco referencial 49
ii. Inyectivo ( ) * +
Sobreyectivo ( )
iii.
iv. ( )
NOTA: Para establecer un isomorfismo entre dos espacios lineales, basta con
establecer una correspondencia entre sus bases canónicas
2.2.3 Matrices asociadas a un operador lineal
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ
A todo operador lineal definido entre espacios lineales de dimensión finita se
puede asociar una matriz que depende de las bases tomadas en cada espacio y de sus
respectivas dimensiones.
Dados:
, espacios lineales de dimensión finita sobre un campo
;
( )
* + una base ordenada de .
* + una base ordenada de .
Existe ( )
Matriz asociada a en las bases y , tal que:
( ) , ( )-
50 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Para obtener la matriz asociada a se procede de la siguiente manera:
Como es una función del espacio en el espacio de entonces
( ) ( )
Así obtenemos ( ) como Combinación Lineal (CL) de la base ordenada y su
vector ordenado:
( ) , ( )- ( )
El cual procede del producto de la matriz formada por los soportes de cada ( )
escritos como vectores columna (o como filas y se toma su matriz transpuesta) con su
respectivo vector coordenado de en su base ordenada .
2. Marco referencial 51
2.3 Marco Legal
Dentro de lo establecido en la educación colombiana podríamos determinar
algunos aspectos:
La educación colombiana ha atravesado por cambios en los últimos tiempos, estos
han estado regulados por la Ley General de Educación (Ley115/1994), la cual establece
las normas que dan cumplimiento a la función social de acuerdo a las necesidades de
cada población basándose en los principios constitucionales donde cada persona posee
el derecho a la educación.
Los lineamientos curriculares de matemáticas, afirman que el estudio del algebra
debe darse desde otra visión diferente a la establecida, ya que si se realiza de ese modo
se priva al estudiante de llegar al modelo o acercarse a los sistemas simbólicos, ahí es
donde este proyecto pretende que sean los estudiantes quienes encuentren las
relaciones y establezcan las conclusiones y estructuras para dar solución a un problema.
En los centros académicos de educación superior en sus pensum académicos,
algunos de sus pregrados han establecido el curso de Álgebra lineal por su importancia
y en ella inmersa las transformaciones lineales, se establece entonces la importancia del
estudio del algebra lineal ya que en ella se encuentra que tiene un gran número de
aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento como las matemáticas, la física, la
química, programación lineal, la administración e ingenierías, además que muchos de los
problemas asociados a fenómenos naturales, económicos y sociales se pueden expresar
a través de modelos lineales y en esta asignatura se proveen los elementos
fundamentales que le permitirán al alumno caracterizar y resolver estos problemas
mediante métodos lineales.
Sin embargo cabe resaltar como desde la parte legal, y al estar establecida en la
constitución de 1991, los docentes tienen libertad de cátedra: “El Estado garantiza las
libertades de enseñanza, aprendizaje, investigación y cátedra.” (Artículo 27,
CONSTITUCIÓN POLÍTICA DE COLOMBIA 1991), donde cada docente es idóneo y
capaz de enseñar a través del método que crea conveniente cada temática como las
transformaciones lineales o guiar un curso en particular como lo es el Álgebra Lineal; sin
52 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
embargo no es fácil ser agradable para el total de la población estudiantil, pues no a
todos este tipo de asignaturas es desagradable, ni la manera como sea dictada (método).
Entendemos entonces como “los establecimientos educativos que ofrezcan la
educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas obligatorias y
fundamentales definidas para cada nivel…” (MEN, Decreto 230, 11 de febrero de 2002).
La educación colombiana desde su estructura legal postula lo siguiente:
A nivel nacional y como ente superior, el MEN en su plan seccional “Educación con
Calidad: El camino para la prosperidad” (2010-2014) se postula como el conocimiento es
primordial para la transformación social cuyo propósito es formar mejores seres humanos
que contribuyan al progreso y la prosperidad del país.
Dentro de estas estrategias se promueve una educación competitiva que
transforme los sujetos para que sean capaces de tener las mismas oportunidades a nivel
laboral en la sociedad, logrando así que cada ser logre tener un desarrollo de su proyecto
de vida.
A nivel departamental (Gobernación de Antioquia) en Antioquia la más educada
(2012-2015) plantea como reto central “la transformación, en el marco de todas las
necesidades que debemos atender, se produce cuando abrimos la puerta de las
oportunidades”, logrando esto a través del enfoque en las capacidades de las personas.
A nivel regional (Alcaldía de Medellín, 2012) a través del Plan de Desarrollo (2012-
2015), plantea como a través de la educación se puede garantizar la equidad y la
inclusión social, entendiendo esto como la práctica generalizada en aspectos como vida
política, económica y social de toda la población, ya que sin inclusión no es posible la
equidad, de igual manera sin olvidar como esta pretende el fortalecimiento de la
convivencia y el respeto por la vida.
2. Marco referencial 53
Contexto Institucional
Las transformaciones lineales en el Politécnico Colombiano Jaime Isaza
Cadavid
El Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid dispone la asignatura Álgebra
Lineal que corresponde a la facultad de ciencias básicas desde el segundo semestre de
las diferentes tecnologías e ingenierías que en su pensum así lo tengan estipulado. Por
otra parte la temática Transformaciones Lineales aparece en el núcleo temático
específicamente en el segundo bimestre:
Tabla 1. Núcleos temáticos Algebra Lineal PCJIC
COMPETENCIA GENERAL DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
Propone, plantea y resuelve problemas prácticos y teóricos mediante métodos lineales
utilizando matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
QUINTA UNIDAD DE
APRENDIZAJE:
VALORES Y VECTORES
PROPIOS Y
TRANSFORMACIONES
LINEALES
ELEMENTO DE COMPETENCIA
Diagonaliza matrices y determina la matriz asociada a una
transformación lineal.
Contenido Cognitivos Procedimentales Valorativos Socializadores
Definición y
cálculo de
valores y
vectores
propios de una
matriz
cuadrada.
Reconoce los valores y vectores propios de una matriz cuadrada.
Halla los valores y
vectores propios de
una matriz
cuadrada.
Demuestra
orden al
calcular los
valores y
vectores
propios de
una matriz
cuadrada.
Expone sus
ideas en forma
clara y acepta
las ideas de los
demás.
54 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Diagonalización
de una matriz.
Identifica
cuando una
matriz
cuadrada es
diagonali-
zable.
Diagonaliza
correctamente una
matriz cuadrada.
Se apropia
del método
para la
diagonaliza-
ción de
matrices
cuadradas
Socializa
procedimientos
que facilitan la
comprensión de
la diagonaliza-
ción de una
matriz.
Definición de
transformación
lineal, ejemplos
y propiedades.
El núcleo y la
imagen de una
transformación
lineal.
Identifica los conceptos de transforma-ción lineal, núcleo e imagen de la misma.
Determina si una
transformación es
lineal.
Calcula el núcleo y
la imagen de una
transformación
lineal.
Demuestra
seguridad al
calcular el
núcleo y la
imagen de
una
transforma-
ción lineal
Participa
activamente en
el grupo
exponiendo los
hallazgos
individuales.
Matriz de una
transformación
lineal.
Reconoce la
matriz de una
transforma-
ción lineal
Calcula la matriz de
una transformación
lineal.
Muestra
interés en la
adquisición
de conceptos
claros sobre
matriz de
una
transforma-
ción lineal.
Trabaja en
grupos
respetando el
aporte de sus
compañeros.
Tomado de: Núcleos temáticos para el logro de las competencias de Álgebra Lineal:
Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid (2010)
2. Marco referencial 55
2.4 Marco Espacial
Contextualización
La Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas ocupa un lugar central en el
Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid. Tal centralidad tiene que ver con su
función y con la posibilidad de dar cuenta de la vocación tecnológica de la institución. Lo
primero concierne al modo como esta unidad académica impacta los currículos de los
diferentes programas; mientras que lo segundo refiere la manera como esta unidad
académica se vincula a los diversos ejercicios teórico-prácticos llevados a cabo en el
resto de la institución.
Misión
Somos una Unidad Académica que proporciona los principios básicos y las
herramientas para fortalecer el pensamiento y el desarrollo integral del ser, contribuyendo
al propósito misional de la institución.
Visión
La Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas se destacará en el 2020 por
proporcionar los lineamientos conceptuales para la gestión de conocimiento científico,
humanístico y tecnológico en beneficio de la formación integral del estudiante y de la
sociedad en general.2
2 Tomado de: (Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid - Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y
Humanas)
56 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
3. Diseño metodológico
Este proyecto se enmarca en la intención de dar respuesta a ciertos
cuestionamientos: ¿Qué es lo que se pretende resolver? ¿Qué se pretende obtener?
¿Qué estrategias se han de utilizar? ¿Para qué se realiza esto?
Sin embargo es importante resaltar bajo qué condiciones se desarrollará esta
monografía, partiendo de la descripción de ella y de igual manera que es un estudio de
caso y una experiencia de aula.
3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico
El programa de maestría en la enseñanza de las ciencias de la universidad
nacional de Medellín se apoya en una investigación de profundización
La indagación que se hace en este trabajo final, está apoyada en una investigación
de tipo aplicado que cabe como monografía.
La monografía ( uno; : escribir) es un texto argumentativo que
organiza datos sobre un tema a través del estudio minucioso de fuentes de información
seria (estado del arte) que pueden ser tomados de diferentes fuentes; las monografías
pueden ser realizadas ya sea sobre una descripción o una temática que hace parte de la
ciencia o de un asunto particular; este tema debe de resultar interesante y también de
interés para el público al que va destinado; su extensión varía desde unas pocas páginas
hasta la dimensión de un libro, es por ello que es conveniente delimitar el tema (algo muy
específico y puntual) para poder llegar a ser realizado.
3. Diseño metodológico 57
La elaboración de esta monografía consta de las siguientes partes:
Aspectos preliminares.
Marco referencial.
Diseño metodológico.
Trabajo final.
Conclusiones y recomendaciones.
Anexos.
3.2 Método
El proyecto será realizado en el Politécnico Jaime Isaza Cadavid en la Facultad de
Ciencias Básicas, Sociales y Humanas, sede Poblado en el municipio de Medellín, la
institución es de carácter privada y la población estudiantil es mixta.
En el tercer semestre de la carrera ingeniería informática se observó que los
estudiantes manifiestan y demuestran dificultades para comprender las temáticas y
enunciados que componen el álgebra lineal, y por tal motivo no realizan de manera
correcta las operaciones adecuadas al solucionar las situaciones.
Al ser un trabajo de índole educativo y sobre todo cuando se trabaja con personas
adultas que cursan estudios universitarios, se debe tener presente que en este proceso
la formación es algo inherente y que ella gira en torno al estudiantado. Es por este motivo
que se toma el estudio de casos como una herramienta de ayuda para tal fin, ya que
como ellos no poseen un buen dominio de la parte aritmética, se tratará entonces de que
al momento de abordar el álgebra lineal sea a través de un lenguaje, en el cual pueda
descifrar no solo la connotación del enunciado sino que el vocabulario que se emplea sea
algo normal y con sentido para él, no solo en el momento leer sino también de escribir, y
esto será a través de las transformaciones lineales como ese elemento diferenciador.
El proyecto se desarrollará a través del estudio de casos, donde se pretende que
los estudiantes y docentes adquieran las diferentes estrategias para el desarrollo óptimo
58 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
de la solución de situaciones a través de tres unidades prácticas, que le permitirá
interactuar con el conocimiento de manera significativa.
3.2.1 Estudio de casos
Definición
Es una herramienta metodológica que se utiliza en el ámbito educativo y por su
carácter investigativo está identificado a la metodología cualitativa; además es una
herramienta de fácil acceso para el momento de comunicar un conocimiento científico por
su descripción detallada. Este método es práctico debido a que permite a través de la
observación desarrollar una infinidad de factores que permiten dar respuesta a las
preguntas iniciales de toda investigación, ya que dentro de su esquema se trata de
aprender acerca de la complejidad de una sola unidad de un todo a través de una
descripción y un análisis extensivo.
De acuerdo con (Villareal & Landeta, 2010) “El estudio de casos permite analizar
el fenómeno objeto de estudio en su contexto real, utilizando múltiples fuentes de
evidencia, cuantitativas y/o cualitativas simultáneamente”.
Pero ¿Qué puede ser un estudio de caso?, un caso en tanto a lo educativo puede
ser cualquier entidad observable del mundo real, esto puede ser un niño (estudio de caso
único), un profesor, una clase, o un colegio o en poca palabras cualquier cosa que se
pueda definir y observar.
Sus características esenciales se pueden definir como:
Particularista: es particular porque se centra en un caso, una situación o evento
en particular, del cual se conoce muy bien, esta singularidad implica que se conocen
otros casos, pero es importante que se enfatice solo en la necesidad de dicho caso.
Descriptivo: porque pretende realizar una densa y puntual descripción del
fenómeno objeto de estudio.
3. Diseño metodológico 59
Heurístico: ya que se pretende dar a entender sobre la comprensión del caso,
puede dar al descubrimiento de nuevos significados, ampliar la experiencia del
observador o confirmar lo que se sabe.
Inductivo: se llega a generalizaciones, es decir se caracteriza más por el
descubrimiento de nuevas relaciones y conceptos que por la verificación de hipótesis
determinadas.
3.2.2 Aprendizaje autorregulado
Una de las responsabilidades de ser universitario es que cada persona es
consiente y responsable sobre su propio saber, ya que se estudia lo que se gusta y la
autoeficiencia es una creencia vinculada a la autorregulación del aprender, es por este
motivo que se debe hacer caer en cuenta que debe de convertirse en una necesidad no
en una opción.
El establecer las estrategias de las cuales se vale un estudiante para emplear su
tiempo y la manera como se dedicara a estudiar; realizando un esfuerzo propio por el
aprendizaje autorregulado determinará que al obrar de una u otra manera esto influirá en
su proceso de formación y que dependerá en gran medida de su actividad e interacción
con el conocimiento (autonomía), según (Zimmerman, 2000), ”la autorregulación se
define como las acciones, sentimientos y pensamientos autogenerados para alcanzar las
metas de aprendizaje”.
Sin olvidar que todo esto funciona por la parte motivacional del individuo en
cuestión, ya que debe de haber una iniciativa personal y una constancia.
Este tipo de aprendizaje se caracteriza por:
- Establecimiento de metas.
- Selección de estrategias de autorregulación del tiempo.
- Uso adecuado de las estrategias.
- Autoevaluación de su aprendizaje.
- Acciones correctivas.
60 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
El aprender a aprender es fundamental en el proceso de formación en el ámbito
educativo, ya que aquel que autorregula su formación es autónomo en muchos aspectos
de su vida.
3.2.3 Experiencia de aula
En el momento de ingresar a la educación universitaria no solo se produce un
cambio en cuanto a los estudiantes por parte de la metodología sino frente a la
mentalidad que debe de establecer para afrontar este tipo de situaciones; pues ya no
está el maestro (guía) quien supervisa su rendimiento frente al trabajo que se realiza. En
la enseñanza universitaria el docente es el encargado de mostrar la puerta del camino al
conocimiento y las pautas para llegar a él; se espera entonces que el estudiante realice
un aprendizaje autorregulado de manera responsable de tal manera que mejore su
rendimiento académico es entonces en este contexto donde surge la experiencia de aula
como una alternativa para fortalecer esa actividad de conocimiento.
Una experiencia de aula es una propuesta que atiende la necesidad que se
identifica en el proceso de enseñanza, la cual se basa en una fundamentación teórica y
metodológica coherente tratando de generar un buen impacto en el ambiente escolar; en
ella participan activamente las partes (docente-estudiante) tratando de llevar un
seguimiento no solo en la ejecución, sino en los avances, dificultades y aprendizajes que
se establezcan.
Una propuesta de aula tiene algunas características:
Tiene un tiempo de desarrollo mínimo, el cual es idóneo con la
metodología del estudio de caso.
Es un punto de referencia para la autoevaluación docente, en cuanto a su
creatividad y su quehacer pedagógico.
Fomenta el desarrollo cognitivo de los estudiantes a partir de las
competencias básicas.
Lo que se pretende es que el estudiante comprenda que en un ambiente universitario
se le abren mundos nuevos, ideas nuevas y que su capacidad de análisis y de
3. Diseño metodológico 61
perspectiva se debe de desarrollar, y una buena manera de hacerlo es a través de un
proyecto de aula donde habrá una interacción constante entre el estudiante y el
conocimiento tratando así de generar un aprendizaje significativo; y de esta manera
lograr desarrollar una capacidad de análisis crítico de su formación intelectual.
Aprender es apropiarse de otras maneras de pensar y de actuar, otros criterios otros
valores, contrastar lo que se tiene con lo nuevo que se ofrece y así poder tener otra
visión para ver las cosas y enriquecer su saber, es por esto que la formación universitaria
es una preparación para la eficacia y eficiencia en el ámbito profesional.
Todos los estudiantes son entes activos del proceso de enseñanza-aprendizaje, con
lo que aprender y no solo eso sino enseñar es un acto complejo, ya que el tratar
comunicar un lenguaje científico con palabras que sean entendidas por parte de los
estudiantes, teniendo en cuenta que cada uno de ellos tiene creencias y conocimientos
establecidos por su experiencia educativa, se pretende entonces ofrecer una oportunidad
diferente a la hora de enseñar como un reto donde los docentes logren que los
estudiantes aprendan y logren contextualizar lo aprendido en su mundo laboral,
remitiéndonos a (Hirsch, 2006)“…en particular, el estudiante debe ser un testigo traductor
y transmisor de los fenómenos y cambios que suceden en el tiempo…”
Es de esta manera que el método basado en problemas a través de un proyecto de
aula soportado bajo una unidad didáctica será el fin de este trabajo de profundización,
partiendo entonces de que una unidad didáctica es una propuesta metodológica en la
cual se encuentran un conjunto de actividades, cuya principal función es la de facilitar la
enseñanza y el aprendizaje a través de un uso estratégico consciente de procedimientos
que permiten una solución adecuada a la situación planteada.
“La intensión en sí de las unidades didácticas es la de lograr que los estudiantes a
través de algunos métodos favorezcan su aprendizaje, o sea el cómo, el cuándo y el por
qué es indicado o no aplicar un procedimiento enseñado” (Monereo, et al., 2001)
El proyecto de aula, es entonces, una propuesta didáctica en el aula. Entendiendo
la didáctica como un proceso de mediación entre sujetos que se comunican haciendo y
como transposición de las ciencias hacia su enseñanza a través de preguntas para poder
así que los estudiantes adquieran no solo la información necesaria, sino también
actitudes y habilidades. Es entonces el docente quien realiza la intervención pedagógica
62 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
a través de elaboración de actividades intencionadas por medio de situaciones que
faciliten el aprendizaje en los estudiantes. (González Agudelo, 2001)
“El proyecto de aula se encuentra en tres momentos: la
contextualización, lo metodológico y lo evaluativo. En la
contextualización, se centra en el problema, el objeto, el objetivo y el
conocimiento. En lo metodológico se relaciona el método, la población y
los medios. Finalmente lo evaluativo hace referencia a la obtención del
objetivo planteado inicialmente por parte de los estudiantes, comparando
resultados para determinar aciertos y desaciertos” (González Agudelo,
2001)
En lo contextual se parte entonces de la profundización en la temática desde una
perspectiva menos formal y más asequible para el estudiantado sin dejar de lado el
objetivo de aprendizaje, en lo metodológico es el camino y herramientas que se le darán
al estudiante a través de la ejemplificación que le permitan lograr los objetivos de
aprendizaje y lo evaluativo será la puesta en práctica de lo aprendido y así comprobar el
cumplimiento del objetivo inicial.
Para realizar una intervención en el curso algebra lineal del Politécnico Colombiano
Jaime Isaza Cadavid, el proyecto de aula tendrá un diseño de unidades didácticas, las
cuales permitirán llevar una secuencia lógica que permita el dominio conceptual de las
transformaciones lineales pretendiendo así mejorar su desempeño académico. Según el
Ministerios de Educación y Cultura de España (1992) (MEC) considera una unidad
didáctica como:
“La unidad de programar y actuar del docente configurada por el
conjunto de actividades que se pretenden desarrollar en un tiempo
determinado, para la consecución de los objetivos, dando respuesta así a
todas las cuestiones curriculares al que enseñar (objetivos y contenidos),
como enseñar (actividades, organización de los tiempos, recursos
didácticos) y la evaluación, enmarcando todo esto en un tiempo
claramente delimitado” (Corrales Salguero, 2010)
Las unidades didácticas apuntarán al desarrollo de ciertas actividades que
posibiliten la apropiación de los conceptos relacionados con las transformaciones
lineales; esta será elaborada según los parámetros estructurales establecidos por
3. Diseño metodológico 63
Yesenia Quiceno Serna y Diana Estella Gallego Madrid en la guía para la elaboración de
unidades didácticas, cuya estructura es la siguiente:
Tabla 2. Elementos de una unidad didáctica.
ELEMENTOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
Descripción de la
unidad didáctica
Acá se indica el tema o nombre de la unidad, los conocimientos
previos por parte de los estudiantes, hacia quien va dirigido.
Hacer referencia al número de sesiones de que consta la unidad
y el momento en que ha de ser puesta en práctica.
Objetivos didácticos
Los objetivos establecen qué es lo que se pretende que
adquiera el estudiante durante el desarrollo de la unidad
didáctica. A la hora de concretar los objetivos didácticos, es
importante tener presente todos aquellos aspectos relacionados
con los temas transversales y las estrategias para hacer
partícipe al estudiante en el desarrollo de los objetivos.
Marco teórico
Está determinado por un escrito que relaciona aquellas teorías
de las cuales se sustentan el desarrollo de los contenidos y de
las actividades de aprendizaje.
Contenidos de
aprendizaje
Son seleccionados según los objetivos planteados. Se debe
realizar una secuencia de aprendizaje sobre lo que se ha de
trabajar a lo largo de la unidad, prestando atención a los
conceptos que los estudiantes aprenderán, entre ellos los
contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.
Secuencia de
actividades
Permite facilitar la consecución de los objetivos y contenidos
obtenidos. En este apartado, es muy importante establecer unas
secuencias de aprendizaje en la cual las actividades estén
íntimamente relacionadas.
Se debe tratar de ajustar las actividades según las necesidades
educativas de la población que es variantes en los diferentes
estudiantes.
64 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Recursos o
materiales
Establecer los recursos específicos para el desarrollo de la
unidad (bibliográficos, audiovisuales, informáticos,…)
Organización del
espacio y el tiempo
Se señalan los aspectos específicos en torno a la organización
del espacio y del tiempo de las actividades a desarrollar.
Evaluación
Las actividades que van a permitir la valoración de los
aprendizajes de los estudiantes, de la práctica docente y los
instrumentos que se van a utilizar para ello, deben ser situadas
en el contexto general de la unidad, aclarando cuales será los
tópicos de valoración de dichos aspectos.
Recordando que la evaluación es un aprendizaje continuo y
esta debe de estar reflejada de principio a fin.
(Quiceno Serna & Gallego Madrid, 2010)
La finalidad en sí de esta unidad es poder planificar y organizar el proceso
enseñanza aprendizaje que lleva dentro del aula. Donde se mantendrá un ambiente
controlado sin tener espacio para las improvisaciones que pueden representar un fracaso
de la actividad, de tal manera que se puede anticipar a los posibles fracasos y que estos
sean atendidos y prevenirlos antes de que ocurran.
3. Diseño metodológico 65
3.3 Instrumento de recolección de información
3.3.1 Elementos diagnósticos
El taller diagnóstico consta de dos partes: la primera parte es una encuesta
realizada a los estudiantes y una entrevista a los maestros, su diseño fue apoyado en los
lineamientos curriculares de las carreras de Ingeniería y Matemáticas. La estructura de la
encuesta está compuesta por 10 enunciados de selección múltiple con única respuesta,
las cuales poseen tres (3) opciones, y dos (2) preguntas abiertas, dichos enunciados
fueron diseñados teniendo en cuenta la definición de conjunto numérico de los reales
( ) y de función de variable real y los componentes de ellas. Estos fueron desarrollados
en 30 minutos.
Se buscó con ella establecer si el estudiante posee una buena estructura de
pensamiento científico, de tal manera que pudiera dar cuenta de las estructuras,
conceptos y categorías fundamentales sobre las cuales se basa el álgebra lineal.
La entrevista tiene una estructura con 7 cuestionamientos, donde se busca
establecer a través de los maestros un diagnostico con sus aportes en las intervenciones
del aula y poder contar con su opinión al enseñar determinadas temáticas, para de esa
manera poder establecer algunas ideas de su trabajo y metodología establecida en el
aula. Estas tuvieron un promedio de respuesta de 5 minutos.
Para explicar los resultados obtenidos en las dos tomas de información se ha
utilizado una herramienta que permita realizar un análisis de dichos resultados
enfocándose solamente en los factores claves que posibiliten el éxito de este proyecto,
esta será la matriz DOFA, entendiéndose esta como: Debilidades internas,
Oportunidades externas, Fortalezas internas y Amenazas externas.
66 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Tabla 3. Matriz DOFA
Fuente: Elaboración propia.
Según (Aguirre Marín, 2014) propone una adecuada manera de establecer estos
tópicos:
FORTALEZAS:
Capacidad de: análisis, interpretación, argumentación, verificación, realización,
ejecución, evaluación y conclusión.
Motivación por parte de los estudiantes al realizar las actividades.
Relación de los conceptos nuevos con los ya aprendidos.
Posibilidad de indagar otras fuentes.
Socialización de cada una de las actividades
OPORTUNIDADES:
Generalización de actividades extra para facilitar la comprensión de los enunciados.
Las diferentes estrategias que posibiliten la comprensión del problema.
La posibilidad de utilizar las nuevas tecnologías.
Disposición a mayor participación en las actividades.
Positivo Negativo
Fortalezas Debilidades
Oportunidades Amenazas
O
rig
en
In
tern
o
O
rig
en
Exte
rno
3. Diseño metodológico 67
DEBILIDADES:
La dificultad de interpretación matemática de los enunciados.
Poco compromiso frente a las actividades realizadas.
Tardanza y deficiencia en la entrega de los resultados.
Desconocimientos de los conceptos que establecen las transformaciones lineales.
Falta de concepción hacia las características de los grupos abelianos.
Dificultad frente a las pautas a seguir, ya sean escritas u orales.
AMENAZAS
Vacíos conceptuales que impiden la comprensión de las temáticas.
Falta de interiorización de los estudiantes.
El paralelismo entre lo que se explica y se realiza.
Apatía hacia las temáticas y el curso Algebra Lineal.
Desmotivación a no obtener los resultados esperados,
Todo esto nos permitirá conocer y establecer las dificultades existentes en el grupo y
con ellas poder formular estrategias más convenientes para el afianzamiento de las
temáticas en los estudiantes y de esta manera poder facilitar la labor docente de tal
manera que se pueda mejorar la planeación y programa del Algebra Lineal en su quinta
unidad de aprendizaje.
68 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
4. Trabajo Final
4.1 Desarrollo y sistematización del proyecto
Al ver las dificultades inherentes de los estudiantes al momento de cursar una
asignatura como lo es el álgebra lineal, se pretende entonces realizar una intervención de
aula a través de un proyecto, de tal manera que se haga frente a esas falencias y
dificultades y se haga más amena la incursión en las temáticas propuestas.
Es de esta manera como se diseña un cuestionario de entrada para ver si se
poseen o no los conceptos básicos del algebra, de la aritmética y de las funciones de
variable real.
De igual modo se diseñó una entrevista a los docentes con el fin de establecer sus
metodologías y puestas en práctica de las temáticas en clase; más no en ningún
momento se ha tratado de medir o determinar el nivel académico de los docentes.
A partir de ellos se pudo realizar un análisis cuantitativo que permite el desarrollo
de gráficas (diagrama de barras) y así poder ver claramente el comportamiento de las
falencias que se presentaban inicialmente y como son comprobadas desde el análisis
realizado.
Finalmente se realizará entonces un proyecto de aula, llamada El mundo de las
transformaciones lineales la cual se consta de tres capítulos: en el capítulo 1
(contextual), conducta de entrada: Operador Lineal, donde se trata de hacer claridad
en cuál es la diferencia entre un operador lineal, una forma lineal y una matriz asociada a
un operador lineal, aquí se dispone de una explicación contextualizada de las temáticas.
El capítulo 2 (metodológico), Aprendamos más sobre los operadores lineales: a partir
de ejemplos se pretende establecer la puesta en práctica de los conceptos ya vistos y
4. Trabajo Final 69
como a través del estudio de contraejemplos desarrollen las competencias matemáticas
necesarias. Y finalmente el capítulo 3 (evaluativo): Pongamos a prueba nuestros
conocimientos, contiene una evaluación a través de unas situaciones matemáticas
planteadas en fichas de trabajo, de igual manera presenta una autoevaluación del
proyecto y de sus conocimientos durante la incursión del proyecto de aula.
4.2 Resultados
En la encuesta realizada a los estudiantes se propusieron algunos enunciados, donde
se esperaban las siguientes respuestas y se realizaron los análisis de los resultados
obtenidos.
Pregunta 1. ¿Qué entiendes por conjunto de números reales?
Al ser una pregunta abierta debe ser analizada por categorías de respuesta próxima
a la esperada.
La respuesta que se esperaba especialmente para un estudiante de ingeniería
seria: es un conjunto formado por los números racionales y los irracionales, el cual es un
conjunto ordenado que se puede representar en una recta donde a cada punto le
corresponde un único valor concreto.
Se encuentran respuestas donde se confunde las propiedades y características de
cada conjunto numérico.
Tabla 4. Datos primera pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
5 6
Fuente: Elaboración propia.
70 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Gráfico 1. Primera pregunta.
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 2. ¿A qué se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea
denso?
a. ya que posee muchos números. b. ya que entre dos números hay infinitos números. c. ya que comienza en infinito y termina en infinito.
En la opción a se plantea una respuesta de cantidad.
En la opción b se establece que en la recta numérica dado dos números racionales
es posible siempre encontrar otro comprendido entre los números dados. Con los
. Esta es la respuesta correcta.
En la opción c pretende establecer la noción intuitiva de cantidad.
Tabla 5. Datos segunda pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
4 7
Fuente: Elaboración propia.
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
6,2
1
¿Qué entiendes por conjunto de números reales?
Responden correctamente Responden incorrectamente
4. Trabajo Final 71
Gráfico 2. Segunda pregunta.
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 3. En el conjunto N de los números naturales la suma es una ley interna,
que afirma que para todo par de números naturales N su suma es un único
número natural N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
a. los enteros
b. los racionales
c. los reales
En la opción a se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición
interna ya que si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero.
En la opción b se establece que en los números racionales no existe un único
número de la suma de dos racionales, esto debido a que todo número racional puede ser
expresado de diferentes modos, de esta manera puede dar como resultado un entero o
un número natural. Esta es la respuesta correcta.
En la opción c se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición
interna ya que si sumamos dos números reales su resultado es otro número real.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
¿A que se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea denso?
Responden correctamente Responden incorrectamente
72 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Tabla 6. Datos tercera pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
1 10
Fuente: Elaboración propia.
Gráfico 3. Tercera pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 4. En el conjunto N de los números naturales la multiplicación es una ley
interna, que afirma que para todo par de números naturales N su producto es un
único número natural N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo
mismo?
a. los enteros
b. los reales
c. los irracionales
0
2
4
6
8
10
12
1
En el conjunto N de los números naturales la suma + es una ley interna, que afirma que para todo par de números
naturales 𝑚, 𝑛 N su suma es un único número natural
𝑝=𝑚+𝑛 N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
Responden correctamente Responden incorrectamente
4. Trabajo Final 73
En la opción a se plantea una respuesta donde se confirma la ley de composición
interna ya que si se realiza el producto entre dos números enteros su resultado es otro
número entero.
En la opción b se plantea un argumento donde se confirma la ley de composición
interna ya que si se realiza el producto entre dos números reales su resultado es otro
número real.
En la opción c se establece que en los números irracionales al realizar el producto
entre dos irracionales su resultado no será un número irracional sino un número natural.
Esta es la respuesta correcta.
Tabla 7. Datos cuarta pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
6 5
Gráfico 4. Cuarta pregunta
Fuente: Elaboración propia.
4,5
5
5,5
6
6,5
1
En el conjunto N de los números naturales la multiplicacion es una ley interna, que afirma que para todo par de números
naturales 𝑚, 𝑛 N su producto es un único número natural
𝑝 = 𝑚 𝑛 N, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo
mismo
Responden correctamente Responden incorrectamente
74 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Pregunta 5. En el conjunto de los números enteros la resta es una ley interna, que
afirma que para todo par de números enteros su diferencia es un único número
entero , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
a. los enteros
b. los reales
c. los racionales
En la opción a se plantea una respuesta donde se establece la ley de composición
interna
En la opción b se plantea un argumento donde se confirma la ley de composición
interna.
En la opción c se establece que en los números racionales no existe un único
número de la diferencia entre dos racionales, esto debido a que todo número racional
puede ser expresado de diferentes formas. Esta es la respuesta correcta.
Tabla 8. Datos quinta pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
4 7
Fuente: Elaboración propia.
4. Trabajo Final 75
Gráfico 5. Quinta pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 6. ¿Una adecuada definición de variable podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar diferentes valores. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
En la opción a se emplea la definición común de variable. Esta es la respuesta
correcta.
En la opción b se expone de lo que podía ser llamado constante.
En la opción c se establece la relación convencional a la que se hace referencia
cuando se habla de símbolo matemático.
Tabla 9. Datos sexta pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
7 4
Fuente: Elaboración propia.
0
2
4
6
8
1
En el conjunto ę de los números enteros la resta − es una ley
interna, que afirma que para todo par de números enteros
𝑝,𝑞 Z su diferencia es un único número entero 𝑟 = 𝑝−𝑞 Z, ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
Responden correctamente Responden incorrectamente
76 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Gráfico 6. Sexta pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 7. ¿Una adecuada definición de constante podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
En la opción a se emplea la definición común de variable.
En la opción b se expone la mejor descripción de lo que es llamado constante. Esta
es la respuesta correcta.
En la opción c se establece la relación convencional a la que se hace referencia
cuando se habla de símbolo matemático.
Tabla 10. Datos séptima pregunta
Fuente: Elaboración propia.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
¿Una adecuada definición de variable podría ser?
Responden correctamente Responden incorrectamente
Responden correctamente
Responden incorrectamente
10 1
4. Trabajo Final 77
Gráfico 7. Séptima pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 8. ¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
En la opción a se emplea la definición común de variable.
En la opción b se expone la descripción de lo que es llamado constante
En la opción c se establece la relación convencional a la que se hace referencia
cuando se habla de símbolo matemático. Esta es la respuesta correcta.
Tabla 11. Datos octava pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
9 2
Fuente: Elaboración propia.
0
2
4
6
8
10
12
1
¿Una adecuada definición de constante podría ser?
Responden correctamente Responden incorrectamente
78 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Gráfico 8. Octava pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 9. Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?
Al ser una pregunta abierta debe ser analizada por categorías de respuesta próxima
a la esperada.
La respuesta que se esperaba especialmente para un estudiante de ingeniería
seria: que una función de variable real es un esquema que está definido de R en R, de
tal manera que corresponda a una regla de correspondencia en los elementos de plano
que se trabaje, por ejemplo en el espacio a un par ( ) se le asigna un solo número real
.
Se encuentra entonces que en esta pregunta entre las respuestas que predomina el
no recordar el concepto, además en los pocos que tuvieron la osadía de responder se
nota la confusión entre dominio y rango y de las partes de la función como lo son quien
es la variable dependiente e independiente.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?
Responden correctamente Responden incorrectamente
4. Trabajo Final 79
Tabla 12. Datos novena pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
0 11
Fuente: Elaboración propia.
Gráfico 9. Novena pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 10. ¿Qué entiendes por el dominio de una función?
a. los valores que puede tomar la variable dependiente para saber si es relación.
b. los valores que puede tomar donde la función está definida.
c. los valores que toma la ordenada para hallar los valores de .
En la opción a, se trata de llevar al estudiante al análisis de los elementos de la
función en relación al plano cartesiano.
En la opción b, se realiza correctamente la correspondencia entre los valores de
entrada que puede tomar la función para ser definida. Esta es la respuesta correcta.
En la opción c, se caracteriza por mezclar los componentes del plano en la definición
simplista de función.
0
2
4
6
8
10
12
1
Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?
Responden correctamente Responden incorrectamente
80 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Tabla 13. Datos décima pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
7 4
Fuente: Elaboración propia.
Gráfico 10. Décima pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 11. ¿Qué entiendes por el rango de una función?
a. son todos los valores reales dependientes posibles que puede producir la función. b. los valores que toma la abscisa para darle valores a la función.
c. los valores que toma para arrojar .
En la opción a, se establece en pocas palabras el conjunto de todas las salidas
posibles de una función. Esta es la respuesta correcta.
En la opción b, se describe la interacción entre la función y las variables que están
ligadas a ella.
En la opción c, se describe el concepto de dominio.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
¿Qué entiendes por el dominio de una función?
Responden correctamente Responden incorrectamente
4. Trabajo Final 81
Tabla 14. Datos décima primera pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
6 5
Fuente: Elaboración propia.
Gráfico 11. Décima primera pregunta
Fuente: Elaboración propia.
Pregunta 12. ¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las
funciones debe ser?
a. inyectiva b. biyectiva c. sobreyectiva
En la opción a, se establece entonces que una función tiene inversa si cumple con
la siguiente igualdad ( ) ( ), donde se establece que a cada imagen le
corresponde un solo valor de entrada. Esta es la respuesta correcta.
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
6
6,2
1
¿Qué entiendes por el rango de una función?
Responden correctamente Responden incorrectamente
82 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
En la opción b, en este apartado se establece una correspondencia “uno a uno “entre
los elementos de entrada y salida de una función.
En la opción c, acá se menciona que todos los elementos del rango se relacionan
con algún elemento del dominio, por lo tanto no cumpliría con la unicidad.
Tabla 15. Datos décima segunda pregunta
Responden correctamente
Responden incorrectamente
3 8
Fuente: Elaboración propia.
Gráfico 12. Décima segunda pregunta
En relación a la entrevista realizada a los docentes se aclara que no se presentará un
análisis de respuesta correcta o incorrecta en relación a sus respuestas sino una
reflexión , ya que lo que se pretende es encontrar las metodologías en las cuales apoyan
sus prácticas al momento de enseñar ciertas temáticas, categorizando sus respuestas
por similitudes, esto debido a que son preguntas abiertas y las respuestas son extensas.
0
2
4
6
8
10
1
¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las funciones debe ser?
Responden correctamente Responden incorrectamente
4. Trabajo Final 83
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de
variable real.
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas
muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Es importante trabajar desde el constructivismo donde es mejor establecer
situaciones contextualizadas del mundo real, partiendo desde allí para poder
llegar al concepto de relación, entendiendo esta como la proyección de un
conjunto sobre otro, donde son parejas ordenas de unos conjuntos.
Al hablar de funciones en el caso del algebra lineal hay que establecer que ya
no se trabaja en el conjunto de los reales, sino que se pasa a trabajar en
espacios vectoriales.
Se acostumbra normalmente a enseñar la parte operativa de lo que es una
función de variable real.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas
muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Se asume que el valor algebraico que resulta después del proceso de reemplazar
la variable es solo un número y no alcanzan a dimensionar el valor que se ha
encontrado.
Los estudiantes no poseen bases algebraicas con las cuales procedan a
identificar las restricciones de las funciones, es más ni las funciones como tal.
Hubo docentes que prefieren no responder esta pregunta guardando silencio, sin
justificar el porque de su silencio.
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
84 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
Sin duda alguna los docentes manifiestan que las clases magistrales son la mejor
manera para abordar este tipo de temáticas. Partiendo de dos maneras de ser
enseñado: parte gráfica o a través de la parte analítica donde de nuevo se enfoca
en la parte algebraica para ser encontrado.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura
algebraica y no de espacio vectorial?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas
muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Al momento de abordar estas temáticas por parte de los docentes se enfoca
solamente en la parte operativa, reemplazo de una variable para hallar la otra,
imposibilitando la identificación de lo que es una estructura.
Algunos de los docentes identifican el concepto de estructura como el conjunto
que está compuesto por unas propiedades y unas operaciones características de
ella.
De igual manera docentes que no relacionan este concepto y por lo tanto es
inadecuado enseñarlo.
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
No se posee la comprensión de los conceptos previos en lo relacionado a la
definición de número y la teoría de conjuntos numéricos.
Hay dificultades en la interpretación de los conceptos por ser abstractos, se
realiza paralelismo entre lo explicado entre el maestro y la ejercitación y hay
carencia por parte del estudiantado en la parte aritmética y algebraica.
4. Trabajo Final 85
Hubo docentes que prefieren no responder esta pregunta guardando silencio, sin
justificar el porque de su silencio.
4. ¿Cuál es el método más apropiado para la enseñanza de las funciones
inversas?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas
muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Los docentes plantean que primero se debe tener claridad de lo que es llamado
función y desde la clasificación de las funciones para establecer sus
características.
Hubo docentes que prefieren no responder esta pregunta guardando silencio, sin
justificar el porque de su silencio, al igual que otros donde su respuesta es
redundante.
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes se encontraron respuestas
muy similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Este tipo de funciones son enseñadas como características importantes de las
funciones pero sin profundizar en ellas, en ocasiones se obvia su enseñanza pues
es mejor pasar a la parte algebraica para dar cumplimiento a los tiempos
establecidos en las planeaciones.
De igual modo se plantean como una característica a la cual se debe de dar
cumplimiento si se pretende establecer la inversa de una función.
Hubo docentes cuya respuesta no cumplía con el fin de la pregunta y se volvía
redundante.
86 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra
lineal el concepto de transformaciones lineales?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes y enfocados en el álgebra
lineal y en particular de las transformaciones lineales se encontraron respuestas muy
similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Se hace la similitud entre las funciones y su categorización con las
transformaciones lineales
Los docentes establecieron que las transformaciones lineales en si no son
enseñadas en su sentido estricto solo como una aproximación a las funciones, su
categorización y algunas operaciones con ellas.
De igual modo establecen la no necesidad de ser enseñadas y redundan en las
respuestas.
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
Al analizar cada una de las respuestas de los docentes y enfocados en el álgebra
lineal y en particular de las transformaciones lineales se encontraron respuestas muy
similares pudiendo categorizarlas de la siguiente manera:
Se establece que los docentes no le ven relevancia a la temática pues posee un
grado de dificultad muy alto no solo para los estudiantes sino también para los
maestros.
Hay desconocimiento en los docentes de los conceptos relacionados a ellas y
muchos de ellos no están dispuestos a asumir el reto de abordar algo que no
conocen.
Se establece que es algo importante al momento de cursar algunas asignaturas
tales como cálculo diferencial pero se espera que se enseñe allá.
Algunas de las respuestas son redundantes y no dan cuenta del enunciado.
5. Conclusiones y recomendaciones 87
5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
A través de los resultados de la encuesta aplicada a los estudiantes la cual hace
parte del diagnóstico se logra percibir que algunos estudiantes muestran dificultades en
relación a la comprensión de los conceptos y a la interpretación de las preguntas, de
igual modo hubo estudiantes que no recordaban y no tenían claridad frente a algunos
conceptos. Esto evidencia que a los estudiantes les cuesta la abstracción y el lenguaje
técnico propio de las matemáticas, además no relacionan conceptos disciplinares con su
lenguaje cotidiano presentando vacíos conceptuales en relación a las funciones de
variable real, conjuntos numéricos y en los conceptos previos en relación a ellos, de tal
manera que estas cuestiones impidan que haya un aprendizaje significativo en los
estudiantes.
De las dificultades que se hacen presentes y que influyen en el proceso de
enseñanza aprendizaje y en el desempeño académico, es que los estudiantes no son
competentes matemáticamente ya que no han adquirido claramente los conocimientos
conceptuales y procedimentales, es decir el saber qué, el saber por qué y el saber cómo,
de igual manera se presenta dificultades en las habilidades en los procesos generales y
actitudes tales como seguridad y confianza.
Las causas por las cuales no se comprende esta temática es debido a que los ejes
del aprendizaje tales como los procesos (ejercitación, razonamiento, modelación,
comunicación y resolución de problemas), los conocimientos básicos haciendo
referencia a los sistemas (numéricos, geométricos, métricos, de datos y algebraicos) y el
contexto, no se encuentran en la estructura cognitiva que deben tener los estudiantes en
88 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
esta etapa de formación académica, imposibilitando la comprensión de los enunciados e
impidiendo la interpretación del lenguaje simbólico y natural (del lenguaje concreto al
lenguaje abstracto).
Se espera que al terminar un curso de álgebra lineal el estudiante pueda establecer
y tener claridad de la relación que existe en la ecuación secular ( ) ( ) ( ),
para poder permitir que los conceptos que a ellos no le queden claros mediante las
transformaciones lineales lo puedan hacer mediante la matriz asociada al operador lineal
que es el objetivo central de este trabajo y que se muestra en este trabajo en la cartilla
numero dos llamada aprendamos más sobre operadores lineales.
Se presenta entonces un proyecto de aula llamado “El mundo de las
transformaciones lineales” en el cual se plantean una serie de situaciones en relación a
los operadores lineales en el álgebra lineal de los estudiantes de ingeniería de la facultad
de ciencias básicas del Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid de tal manera que
haya una aproximación al lenguaje simbólico matemático desde una mirada contextual y
metodológica, de un aprendizaje significativo.
Al realizar una guía que se piense y articule en la preparación de los recursos
necesarios para establecer una estrategia de enseñanza de abordaje una temática en
particular, no solo requiere de tiempo sino que puede ser visto como una carga extra
laboral para los docentes, sin embargo esta estrategia puede ser un mediador y
optimizador del tiempo, ya que después de ser montado, realizar cambios o actualizarla
no requieren de mayor tiempo, y una ventaja de ello es que tanto el docente como el
estudiante tienen un recurso con el cual avanzar, además de permitir la claridad en los
conceptos cuando un estudiante no asista y pueda realizar un trabajo autónomo.
El proyecto de aula es una estrategia o un mediador para la enseñanza del algebra
lineal y específicamente en el tema de transformaciones lineales, ya que este está
relacionado con las teorías propuestas dentro del marco teórico para que haya una mejor
comprensión y aprehensión de estos conceptos tanto en la metodología del docente
como en las formas de aprendizaje de los estudiantes.
5. Conclusiones y recomendaciones 89
Por último la estructura que presenta la cartilla “El mundo de las
transformaciones lineales” tiene los elementos característicos de un proyecto de aula,
quiere decir esto que en el primer capítulo operadores lineales se muestra los tres
elementos fundamentales los cuales son:
- La contextualización (problema, objeto, objetivo y contenidos)
- Lo metodológico (método, población y medios)
-Lo evaluativo
En el segundo capítulo aprendamos más sobre los operadores lineales se muestra
específicamente el método y los medios, apoyados en las categorías personales de la
didáctica general de Elvia María González y Carlos Zayas
En el tercer capítulo se hace referencia a lo que podría ser la categoría evaluación.
90 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
5.2 Recomendaciones
Emplear en el Politécnico Jaime Isaza Cadavid en la facultad de ciencias básicas,
humanas y sociales el proyecto de aula “El mundo de las transformaciones lineales” en el
curso de algebra lineal con el fin de establecer las ventajas y desventajas de este
proyecto en relación a la enseñanza de la contextualización y el aprendizaje para la
comprensión de los estudiantes de ingeniería.
En el curso de algebra lineal de la facultad de ciencias sociales y humanas del
Politécnico Jaime Isaza Cadavid .se propone consolidar el trabajo a través de proyectos
de aula, donde este proyecto sirva como un insumo para la realización de otros proyectos
de aula de tal manera que se propicie el aprendizaje significativo.
A partir de la indagación realizada y de las problemáticas expuestas en este trabajo
sobre la enseñanza del algebra lineal, y al ser el politécnico una institución con una gran
población estudiantil, donde en el centro de ciencia básica en la actualidad oferta 15
cursos de algebra lineal donde los dirigen un (1) profesor de tiempo completo y siete (7)
de cátedra; se ve una preocupación muy importante de hacerle tanto a la coordinación de
la asignatura como a la coordinación académica del programa, que con estos indicadores
sería bueno proponer unas vacantes para la vinculación de profesores o en caso tal un
profesor, ya sea de tiempo completo o de medio tiempo, que supla(n) con la necesidad
de contribuir a la deserción y mortandad que hay en este tipo de cursos, de tal manera
que se pueda ir superando estas dificultades que son preocupantes al interior del centro
de ciencias básicas.
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LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
A. Anexo: Tabla. Cronología del algebra lineal
1900
AC
Los comienzos de las matrices y los determinantes se encuentran en el estudio de sistemas de
ecuaciones lineales, el cual fue introducido primero por los babilonios. Los babilonios estudiaron
problemas que le llevaron a plantearse ecuaciones lineales simultáneas
200
AC
Los chinos realmente llegaron más cerca de las matrices que usamos hoy en día mediante un
método muy similar al que conocemos con el nombre de eliminación gaussiana. Esta técnica fue
usada por los chinos aún antes de que tuvieran ecuaciones o variables.
1545
Cardano, en su obra Ars Magna, presenta una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales llamado regula de modo, la cual es esencialmente la regla de Cramer, pero Cardano no
llegó al último paso, de manera que él no llegó a la definición de un determinante.
1683
El matemático japonés Takakasu Seki Kowa (1642-1708) escribió el Método de Resolver
Problemas Disimulados, el cual contiene métodos de matrices escritos en tabletas, de la misma
manera en que los chinos los registraban. Seki también introdujo los determinantes y dio métodos
generales para calcularlos basándose en ejemplos. Seki hallo matrices de 5x5 y las aplico a la
resolución de ecuaciones pero no a sistemas de ecuaciones.
Leibniz explico que un sistema de ecuaciones
Tenía una solución porque
, lo cual es exactamente la
condición que la matriz de coeficientes tenga determinante igual a 0. Los puntos indican la
multiplicación y los dos caracteres describen primero la ecuación y el segundo sustituye la letra.
1750 Cramer presentó una fórmula basada en determinantes para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, mejor conocido como la Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones nxn
1753 El primer uso implícito de las matrices ocurrió en el trabajo de Lagrange sobre las formas
bilineales para la optimización de función de valores reales de 2 o más variables. Lagrange
buscaba caracterizar el máximo y el mínimo de funciones de varias variables.
1800 Carl Friederich Gauss (1777-1855) fue el primero en usar el término “determinante”. Usó este
término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática, el cual no es el
mismo concepto de determinante en uso hoy en día. Gauss describió la multiplicación de matrices
y la inversa de una matriz, en el contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas
Referencias 97
cuadráticas. También desarrolló la Eliminación Gaussiana mientras estudiaba la órbita del
asteroide Pallas por medio de la obtención de un sistema de seis ecuaciones lineales y seis
incógnitas. Este método fue más tarde usado para resolver problemas de mínimos cuadrados en
cálculos celestiales y en cálculos para medir la Tierra y su superficie
1812 Cauchy usó el término “determinante” en su sentido moderno y demostró el teorema de la
multiplicación de determinantes por primera vez.
1826 Cauchy encontró los valores propios y dio resultados sobre la diagonalización de una matriz en el
contexto de convertir una forma a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de
matrices similares y mostró que si dos matrices son similares, ellas tienen la misma ecuación
característica y demostró que toda matriz simétrica real es diagonalizable.
1834 Jacques Sturm dio una generalización del problema de los valores propios en el contexto de la
resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
1844 Grassmann propuso la primera álgebra vectorial que involucró un producto vectorial no
conmutativo (VxW no tiene que ser igual a WxV). Grassmann también introdujo el producto de
una matriz columna y una matriz fila lo cual resultó en lo que es hoyen día denominado una
matriz simple o de rango uno.
1850 James Joseph Silvestre fue el primero en introducir el término “matriz”, el cual describió como
“un arreglo oblongo de términos”. Silvestre también definió la nulidad de una matriz cuadrada.
1855 Arthur Cayley cultivó el álgebra de matrices. Cayley estudió composiciones detransformaciones
lineales y fue llevado a la matriz definiendo la adición, la multiplicación, la multiplicación
escalara y las inversas.
1870 La forma canónica de Jordan apareció en su publicación Treatise on Substitutions and Algebraic
Equations. Ésta apareció en el contexto de una forma canónica de substituciones lineales sobre un
campo finito de orden primo
1878 Frobenius obtuvo resultados importantes sobre las natrices canónicas como representativas de
clases de equivalencias de matrices. Frobenius también definió el rango de una matriz, el cual usó
en su trabajo sobre formas canónicas y la definición de matrices ortogonales
1888 Peano, en su libro Calcolo Geometrico Secondo l’Ausdehnungslere de H. Grassmann Preceduto
dalle Oparazioni della Logica Deductiva, presentó una introducción moderna de espacios lineales
y del álgebra lineal
1890 Weierstrass usó una definición axiomática de un determinante
1925 Heisenburg reinventó el álgebra matricial para la mecánica cuántica.
1942 Gibas representó matrices generales como suma de dos matrices simples.
1948 Turing introdujo la descomposición LU de una matriz.
1958 Wilkinson desarrolló la factorización QR.
98 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
B. Carta confidencialidad
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
14 de marzo de2015
Estimado estudiante:
El Departamento de la Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas y Naturales apoya la práctica de obtener el consentimiento informado, y proteger a los sujetos humanos que participen en investigaciones.
En esta investigación se pedirá que usted participe en una sesión de trabajo durante el I semestre del año en el horario que se ha establecido para dicha actividad.
En esta sesión se pedirá que usted de respuesta a un test, que busca conocer las ideas alternativas que usted tiene sobre las funciones reales y los conjuntos numéricos. Es importante también que conozca que existe una posibilidad de filmar en video y audio estas reuniones si así se han de requerirse.
En caso tal que se llegue a necesitar posteriores reuniones se le pedirá que responda las preguntas y desarrolle las actividades propuestas mediante una hoja de trabajo y de cuenta de su avance respondiendo un post test.
Nos interesa conocer las respuestas instantáneas de los estudiantes ante las situaciones planteadas, para dar cuenta cómo cambian las concepciones de los estudiantes durante la instrucción.
Su participación es estrictamente voluntaria, y los investigadores se comprometen a mantener la confidencialidad de sus nombres y se hará referencia a ellos sólo mediante un código numérico de ser necesario.
Si desea obtener información adicional de la investigación antes y después, puede contactar al investigador mediante entrevista directa.
Atentamente:
Elmer José Ramírez Machado
Referencias 99
C. Diagnóstico: diseño encuesta estudiantes
CUESTIONARIO ESTUDIANTES INGENIERÍA
PRESENTACIÓN:
El objetivo de este cuestionario es detectar el grado de desarrollo que los
conocimientos matemáticos han alcanzado en la mente del estudiante cuando llega a la
situación previa al aprendizaje del álgebra formal y su predisposición para el estudio de la
misma. Para ello se pretende analizar la capacidad de comprensión, generalización,
formalización y abstracción de los estudiantes ya que han recibido una enseñanza
algebraica en la escuela.
Las preguntas del cuestionario son las siguientes:
1. ¿Qué entiendes por conjunto de números reales?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿A qué se debe que se afirme que el conjunto de números reales sea denso? a. ya que posee muchos números. b. ya que entre dos números hay infinitos números. c. ya que comienza en infinito y termina en infinito.
3. En el conjunto de los números naturales la suma es una ley interna, que
afirma que para todo par de números naturales su suma es un único
numero natural , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
a. los enteros b. los racionales
c. los reales
4. En el conjunto de los números naturales la multiplicación es una ley interna,
que afirma que para todo par de números naturales su producto es un
único número natural , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
a. los enteros
b. los reales
c. los irracionales
100 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
5. En el conjunto de los números enteros la resta es una ley interna, que afirma
que para todo par de números enteros su diferencia es un único número
entero , ¿En qué conjunto numérico no ocurriría lo mismo?
a. los enteros b. los reales
c. los racionales
6. ¿Una adecuada definición de variable podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar diferente valores b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
7. ¿Una adecuada definición de constante podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
8. ¿Una adecuada definición de símbolo podría ser?
a. una expresión simbólica que puede tomar valores variantes. b. es un valor de tipo permanente. c. una expresión que se utiliza para representar una situación matemática.
9. Según usted ¿Cuál es la definición de función de variable real?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
______________________________________________________________
10. ¿Qué entiendes por el dominio de una función? a. los valores que puede tomar la variable dependiente para saber si es relación.
b. los valores que puede tomar donde la función está definida. c. los valores que toma la ordenada para hallar los valores de .
11. ¿Qué entiendes por el rango de una función? a. son los valores reales dependientes posibles que puede producir la función b. los valores que toma la abscisa para darle valores a la función.
c. los valores que toma para arrojar .
12. ¿Para determinar si una función tiene inversa según la clasificación de las funciones debe ser? a. Inyectiva b. biyectiva c. sobreyectiva Muchas gracias.
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LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
E. Diagnóstico: diseño entrevista: docentes
Entrevista a profesores
PRESENTACIÓN:
Objetivo: contar con la información necesaria para poder sistematizar y hacer un
diagnóstico de no solo sus intervenciones en el aula sino también contar con su opinión al
enseñar determinadas temáticas, para así poder hacerse a algunas ideas de su trabajo y
metodología.
Estimado profesor:
De antemano le doy las gracias por su colaboración y le solicito de manera encarecida el
favor de ser lo más sincero posible en la siguiente entrevista.
Las preguntas serían las siguientes:
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
Muchas gracias por su colaboración
Referencias 125
F. Prueba diagnóstica docentes: entrevista
Se presenta la transcripción de los audios ya que las entrevistas fueron grabadas.
AUDIO 01 Docente 1
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// Yo pienso que el concepto hay que retomarlo desde el origen, yo siempre
asumo lo que vieron desde el concepto de relación y retomo ordenadamente porque
los muchachos no están familiarizados con una temática de estas, a ellos eso les
suena como algo desconocido, así lo hubieran visto, yo les digo que lo primero que
ustedes hacen para conceptualizar muchas cosas elementales en primaria fue
necesario el concepto de relación, para poder llegar hasta el de función, pero ellos
están acostumbrados a la parte operativa, a ellos les gusta sumar, restar, multiplicar,
¿pero eso para qué?, entonces les retomo, miro lo que es relación, de qué manera
llegamos de la relación a la función, que tipos de funciones hay, porque cuando
llegamos a las transformaciones inmediatamente uno las clasifica, todo eso es
necesario entonces retomo para poder llegar hasta allá; lo más amplio que podemos
llegar a ver es lo que estamos desarrollando en algebra lineal, que es cuando dejamos
de tomar un conjunto de reales y tomamos ya espacio vectorial en espacio vectorial.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Porque nunca les enseñaron bien el concepto, ellos simplemente creen que el
dominio es todo lo de donde yo arranco, ni siquiera diferencian eso, -si es función
tienen que ser todos y como son todos entonces, ah eso siempre es así- ¿Qué es el
rango? –ah entonces el de llegada- y se quedan bien tranquilos, entonces cuando
usted está con los muñequitos y la plastilina, el concepto es fabuloso, pero tome
funciones polinómicas donde tengan que efectuar alguna transformación, operación
algebraica, no saben de qué manera tienen que despejar, mirar y analizar, lo mismo
que hicimos en el dominio.
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// Aunque suene feo lo mejor es arrancar como si no supieran nada y empezar
por cosas elementales e ir creciendo en el concepto, cuando se llega a la parte donde
se necesita un análisis serio, ya entienden porque, pero si se empieza desde lo más
elemental, yo creo que es muy importante retomar de cero.
126 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Para hacer estructura yo tengo que analizar todas las propiedades de una
estructura, si las cumplen perfecto, pero es que eso no es así, gratis como uno cree,
hay que empezar por repasar el concepto que nadie lo sabe. Los muchachos nunca
han trabajado con estructuras, por eso la dificultad en algebra lineal. Este es el
trasfondo de porque les da tan duro el álgebra lineal.
Porque estas pequeñas cosas como estructura, campo, eso nunca se los han
mencionado, es mas siempre ha sido la parte operativa.
Antes era un poquito más riguroso, ya ahora hemos perdido mucho rigor, que
cuando uno analiza porque esto es un espacio vectorial- ¿Cómo así para que
eso?, eso sí lo vemos alguna vez.
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
R// Porque no tienen fundamentación, no tienen bases, porque nunca recalcamos
que estamos trabajando con los reales por estas condiciones, vamos a trabajar en
este otro conjunto por estas otras condiciones, y nos crecemos, pasamos al concepto
y empiezan los estudiantes -¿y porque no hacemos cosas como más practicas? ¿esto
cuando lo aplicamos?- es lo primero que sacan a relucir, porque no saben.
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Las funciones inversas son muy sencillas, se arregla un concepto de función,
pero el concepto de función se quedó muy atrás, uno dice si estoy en una función que
es BI inmediatamente, si no te toca analizar – ¿y eso porque?- porque mira, si es
inyectiva no hay ningún problema, si es sobreyectiva ya no me funciona -¿Por qué?-
porque no tiene las bases, si tuvieran bien claro el concepto de función, hallar la
función inversa es sencillísimo.
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
R// Porque es necesario, si yo voy a trabajar con la función inversa, yo necesito
saber eso, porque bajo esas condiciones yo puedo decirle, en este caso
inmediatamente se da al revés, pero en este otro no se da al revés, porque es como
reestructurar, volverme a mirar que todo lo que se cumplió en este lado, se tiene que
cumplir al revés.
Referencias 127
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Yo creo que es la cúspide de lo que uno empezó con relación, función, cuando
yo llegue a transformación lineal, es lo más amplio, lo más general que yo puedo hacer
sobre una aplicación.
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
R// En la mayoría, el profesor como tal porque uno dice es una pérdida de tiempo y
lo descarta y en otras porque los estudiantes no traen formación para uno poder entrar
fácilmente a ver el tema y la facilidad del profesor,- dejemos eso así, ¿eso para qué? Si
ellos no lo van a usar, no lo van a necesitar, eso que lo miren los de la Nacional cuando
estén en matemáticas puras o en la de Antioquia – así dicen los profesores, eso necesita
mucho tiempo y entrar a reestructurar, enseñar es fácil, re enseñar es muy complejo, es
quitar lo que ya ellos traen aprendido y meterle cosas nuevas.
7.1. ¿Cuál es la aplicación de las transformaciones lineales?
R// Uno se queda con el concepto más general, nunca mira las aplicaciones,
porque si esto no lo dominan bien cómo vamos a hacer con las aplicaciones, entonces
nunca vemos aplicaciones, ya es suficiente, ya saben que es una transformación, ya
saben clasificarla, entonces nos quedamos en lo elemental, superficial todo, nunca
profundizamos y menos aplicaciones, si no saben lo que es el concepto, un buen manejo
del concepto te permitiría hacer muchas aplicaciones, no lo sabe ni el profesor.
128 LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO TRANSFORMACIÓN LINEAL COMO UNA MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL, EN
LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS DEL POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
AUDIO 02 Docente 02
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// Cuando usted me pregunta por explicar la metodología, yo me quedaría corto al
darle respuesta a esa pregunta, yo lo que voy a decirle es como emprendo yo esa tarea,
lo primero es que para comenzar a hablar de función yo generalmente comienzo a
contarle a los estudiantes o a presentarles mejor situaciones de la vida real, básicamente
donde se manejan dos variables, situaciones en las que una variable depende de la otra y
a partir de ahí se comienza a ver todo un análisis, un análisis que termina en la definición
de variable real y comenzamos ahí el trabajo propiamente dicho que tiene que ver para el
desarrollo, obvio que en cada grupo por sus propias características la situación es distinta,
pero básicamente en el fondo esa es la metodología que utilizo para abordar ese tema.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Esa pregunta hay que hacérsela a los estudiantes, pero lo que yo he podido
observar en mi experiencia es que hallar el dominio es muy sencillo, nosotros una función
la damos de la forma ( ) y solo miramos los valores de y listo, y a partir de ahí
hallamos el dominio, pero con el rango tenemos que hacer un proceso inverso para poder
mirar el comportamiento de la ordenada, y es ahí donde radica el problema, de todas
formas tampoco profundizamos nosotros al interior del aula en el tema que tiene que ver
con determinar el rango.
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// Esa no es una pregunta que se pueda contestar fácilmente, porque para uno
decir cuál es la mejor manera tiene que mirar varias cosas, primero hay que mirar la
característica del docente y la característica del grupo, entonces la mejor manera
depende del grupo donde estemos, uno utiliza un método para un grupo y le funciona
perfectamente luego se va para otro grupo a aplicar ese mismo método y ya no le da buen
resultado, entonces no puedo decir que este método o aquel es el mejor, eso depende del
grupo y depende del momento y del ánimo que uno este porque también depende mucho
del docente.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Primero hay que definir que es una estructura.
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
Referencias 129
R// Sin respuesta
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Sin respuesta
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
R// Según los estándares no hay como una fundamentación del porqué, además
mirando un poquito lo que pretenden nuestros estudiantes o por lo menos en el medio
donde yo me muevo esto sería muy importante para aquellos que van a estudiar ciencias
naturales o ciencias exactas mejor, pero muchos quieren ir a estudiar programas donde
las matemáticas únicamente es una herramienta que la aplican para la solución de
problemas, entonces ahí en ese sentido no serían muy importantes, por ejemplo para
estudiantes de ingeniería.
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Yo no creo que sea necesario enseñarlo
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esa temática?
R// Uno tiene que mirar en el contexto donde está, para que estamos formando
muchachos, entonces esto a nivel universitario sería muy importante en programas de
estudiantes que están estudiando matemáticas, donde tienen que desarrollar una
cantidad de elementos teóricos.
7.1. ¿Considera que en algún momento lo he ofendido con respecto a una pregunta?
R// No me has ofendido, yo me he sentido impotente para dar respuesta a algunas
preguntas porque hay unos conceptos que debo tener inicialmente muy claros para poder
contestarlas.
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AUDIO 03 Docente 03
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// La metodología para enseñar el concepto de función siempre ha sido de forma
intuitiva a la forma formal, es decir, lo que hago es seguir el camino de la construcción
muy en la metodología pedagógica del constructivismo, parto del mundo real para llegar al
concepto de función, parto de la situación, hago el modelado para llegar al concepto de
función a través de la analogía de máquina, que todo lo que pasa por la maquina sufre
una transformación.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Porque ellos piensan que una función, es una expresión algebraica sobre la cual
solo se reemplazan valores y no entienden que esos valores es la transformación que da
la maquina cuando ingresan números reales, ellos asumen que el resultado algebraico
que da el haber reemplazado el valor de la variable es simplemente un número, pero ellos
no saben qué implicaciones tiene ese número para el comportamiento de una función,
función que en el mejor de los casos uno lo va a representar en el tablero como el
recorrido grafico o el trazo grafico que une los puntos, que une el conjunto de puntos que
se obtienen cuando se reemplazan los valores de en una expresión algebraica para
obtener el valor de .
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// El concepto de rango puede ser enseñado a partir de dos vías, una a través de
la representación gráfica y cómo se comporta la , la otra a través del trazo vertical de
determinadas rectas para obtener intersecciones con los ejes, donde no hayan
intersecciones uno dirá entonces que no hay rango, o la otra es el análisis de las
expresiones algebraicas para el caso de la , invertido para el caso de la Y, y cuáles son
las restricciones que tienen esas expresiones algebraicas para el caso de la X, pero
previo a eso tendría que haberse explicado cómo se comportan todas las funciones
dentro de la clasificación de las funciones, cuando son funciones polinómicas, cuando son
funciones especiales, cuando son funciones trascendentes, cuando son funciones
trigonométricas, cuando son funciones por tramos, etc.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Son una estructura en el sentido amplio, sí, porque cumplen con las propiedades
de la estructura, una estructura algebraica entonces cumple, es cerrada, expresiones
Referencias 131
algebraicas al hacer una proyección del campo de las funciones reales en el campo de las
funciones reales siempre se va obtener una función real, en ese sentido la estructura es
cerrada, la estructura algebraica. Es conmutativa para el caso de la división y la
multiplicación, si, es asociativa para el caso de la multiplicación y la división, si, cumple la
composición para que sea estructura, sí, pero hay que hacer restricciones cuando se da la
composición de funciones para que se obtenga otra función o para que se obtenga la
identidad, si se busca que se dé la identidad entonces habría que pensar previamente en
el concepto de función inversa y mostrarle al muchacho que cuando uno compone una
función de otra función, uno está buscando, otra función que sea el resultado de una
función más grande o una función más pequeña y que la composición de funciones que
no es reemplazar huecos en huecos, es cómo se comporta una función cuando es
reemplazada en su variable por otras funciones, ósea que es más amplio el concepto de
función, porque inicialmente uno piensa que el concepto de función es llenar X con
números y el concepto de composición es llenar la X pero con otras funciones.
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos conceptos
en el estudiante?
R// El de variable real porque difícilmente se ha entendido el concepto de número y
continuidad dentro de los números, si uno preguntara haciendo el ejercicio en un salón de
clases cualquiera, ¿Cuál es el número que le sigue a 2 en el conjunto de los números
naturales? Ellos me van a decir que el 3, ¿Cuál es el número que le sigue en los números
racionales al 2? Ellos van a pensar un poco más, ¿Cuál es el conjunto que dentro de los
decimales le sigue al 2.1?, que sería el conjunto de los irracionales o los racionales para
mejor decir el conjunto de los reales, ¿dentro de los reales cual es el número que le sigue
al 2.1? ellos le van a decir que el 2.2 y entonces se devuelve la pregunta ¿Cuál es el
número que le sigue al 2.10? ellos van a decir el 2.11 ¿entonces cuál es el que le sigue al
2.101? entonces ellos le van a decir el 2.102, pero ellos lo que están haciendo es
construyendo el concepto de continuidad, como no han entendido el concepto de número,
por eso no entienden el concepto de función, esto para explicar lo que tenía que ver con
el concepto de función.
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Eso depende si yo lo que quiero es mirar si toda función tiene su inversa, el
trazado de la recta horizontal, o si lo que quiero es que al hacer la composición me de la
identidad, entonces tendría que empezar a explicarles cómo se despejan las variables en
todo tipo de funciones.
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
R// La intención del maestro es que el estudiante entienda que si la función es
inyectiva, es decir que va del dominio al rango, que si es sobreyectiva que va del rango al
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dominio y que si es biyectiva es que es uno a uno, intencionalmente el maestro lo que
quiere es que el estudiante entienda que toda función es uno a uno, o sea que toda
función puede tomar elementos del dominio que lo van a llevar a elementos del rango y
que eso se produce haciendo una acotación en el asunto de las imágenes es uno a uno,
es la intención del maestro pero el estudiante no lo ve así, el estudiante piensa siempre
que en un diagrama sagital es flechas, flechas de A a B, flechas de B a A, que se
relacionan todos de izquierda a derecha, derecha a izquierda, y que eso produzca unas
parejas ordenadas en un conjunto de parejas ordenadas y él va a mirar en esas parejas
ordenadas, si se repite la primera componente, si se repite la última componente, pero no
ha entendido el concepto de relación como proyección de un conjunto sobre el otro,
entonces todo el trabajo que hace el maestro para intentar que el estudiante entienda que
implica ser función inyectiva, biyectiva o sobreyectiva se pierde y más bien en economía
del tiempo en la estructura curricular, uno lo que prefiere es presentar la función como una
proyección de R(r), diciendo que va a coger números reales, que los va a meter en el
dominio, que eso le va a dar un número real en el rango y que eso se puede traducir en
un trazo en el plano cartesiano que va a ser una gráfica y que es grafica es función si al
trazar la recta vertical, no corta dos veces ese mismo trazo, entonces se economiza el
lenguaje de parte del maestro y se economiza tiempo curricular, por eso no es que sea
más fácil o más difícil, si no que el maestro ve que es menos productivo todo ese trabajo,
que hacer de una vez en la presentación de la expresión algebraica y la aplicación en
determinadas situaciones problema de esa expresión algebraica.
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Uno no enseña transformaciones lineales en el sentido estricto, uno lo que
enseña son operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división entre
números, entre expresiones algebraicas y composición de expresiones algebraicas o de
números dentro de las expresiones algebraicas, uno no enseña la dependencia o
independencia de funciones.
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esto?
R// Por dos razones, una es por la complejidad del tema en la que muchos maestros
no estamos dispuestos a asumir el reto, lo cual implicaría de parte del maestro un
esfuerzo interesante en entender cómo se comporta el concepto de estructura y que
isomorfismo se puede establecer con el concepto de función en el sentido básico, y otro
es que eso representa un grado de dificultad muy alto para el estudiante entonces
haciendo toda esa economía de tiempo y del lenguaje, uno prefiere presentar aquello que
por el modelado de los textos o que por los ejercicios que uno se encuentra en internet o
que por la manera como a uno le enseñaron a pensar el currículo, uno puede conducir a
Referencias 133
ejercicios más sencillos en aplicaciones que para uno son aplicaciones del mundo real,
entonces uno va a pensar siempre en funciones de costo, funciones de producción,
funciones de máximo o funciones de mínimo, raras veces funciones de movimientos para
el caso de la física, pero a nadie se le ocurriría una función por fuera de esas
aplicaciones, porque para el estudiante no es familiar y para el maestro tampoco.
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AUDIO 04 Docente 04
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// Inicialmente al estudiante se lo propone una situación problema que encierra la
idea central de función y que al procurar hallar posibles soluciones de alguna manera
entienda que relaciones hay entre cantidades que pueden ser variables y que esa relación
se puede expresar como una función.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Sin respuesta
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// Inicialmente desde la interpretación geométrica que es la visualización desde la
gráfica porque si es desde la estructura algebraica usualmente los estudiantes tienen
muchos problemas en esa parte de la estructura algebraica.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Por supuesto que si
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
R// Las razones pueden ser muchas, una de tantas es que de alguna manera al
estudiante se le enseña una forma mecánica donde el simplemente recibe cierta
información y la aplica casi que literal como el docente le indica, si permitiéramos que el
estudiante por sí mismo analizara los conceptos, los hilara y de alguna manera lograra la
relación entre ellos, de alguna forma se lograría que esta comprensión fuera mucho más
elaborada y no tan mecánica.
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Sin respuesta
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
R// Como una necesidad de reconocer características importantes de las funciones,
en especial las inyectivas, para hallar funciones inversas.
Referencias 135
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Sin respuesta
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
R// Quizás por falta de tiempo o de alguna manera podría ser por poco manejo del
concepto en los mismos docentes.
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AUDIO 05 Docente 05
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// Yo soy chapado a la antigua y continuo con mi clase magistral, me parece
importante que haya una explicación del marco conceptual muy claro y una explicación de
la temática, luego procedo a realizar unos ejemplos pertinentes y luego procedo a
colocarles un taller para que ellos trabajen por fuera de clase, luego se socializa el taller y
se pasa al siguiente tema.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Yo diría que de pende de cómo se explique, yo no le veo mucha diferencia a
explicar lo que es el dominio de una función, al rango de una función, pienso que tienen
que tener muy claras sus bases algebraicas y ante todo tener el concepto muy claro, en
matemáticas si no se tiene claro el concepto, el procedimiento le va a dar muchísima
dificultad.
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// Yo digo que con una buena explicación basta, clases magistrales.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Yo no tengo muy claro el concepto como tal de estructura
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
R// Yo pienso que porque son conceptos abstractos, inicialmente mientras uno no le
muestre al estudiante la aplicación del concepto le va a dar muchísima dificultad.
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Yo no tengo si no una sola manera, la clásica, un buen concepto de lo que es
función inversa como tal, aplicando el concepto de la función compuesta y las
operaciones con funciones.
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
Referencias 137
R// Tiene que ver con lo de las funciones uno a uno, un estudiante tiene que tener
claro cuando una función es uno a uno y cuando no es.
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Sin respuesta
7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
R// Por el desconocimiento de uno como docente, o de pronto porque dentro del
programa que uno dicta tampoco está estipulado, entonces uno no lo dicta.
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AUDIO 06 Docente 06
1. Describa por favor la metodología que sigue al enseñar la función de variable real.
R// Para enseñar el concepto de función de variable real se comienza con, dentro
de los conjuntos, lo que es el producto cartesiano, que es el ordenamiento de pares de
conjuntos de números en parejas ordenadas y a partir de ahí se desarrolla luego la
concesión de lo que es una relación, o sea como ordenar esas parejas ordenadas por
medio de una ley de formación y luego ya se particulariza esa ley de formación al
concepto de función de variable real que es básicamente asignarle una ley que viene en
la relación pero que asigna valores del rango a cada elemento del conjunto de partida y
le asigna un solo elemento del rango o del conjunto de llegada, esto es básicamente
como tal, y luego a partir de ahí se hacen unas relaciones de los conceptos en forma
gráfica utilizando plano cartesiano, utilizando diagramas sagitales, etc.
2. ¿Por qué al enseñar el concepto de rango esto es tan complejo para los
estudiantes?
R// Porque el concepto de rango tiene que ver con la evaluación del dominio de la
función en la ley de formación, en la regla que forma la función de variable real y en
muchos casos tiene que ver con la forma como se puede „‟calcular‟‟, porque lo puede
hacer uno intuitivamente o lo puede hacer gráficamente, y si lo hace analíticamente tiene
que hacer un despeje de la variable independiente, luego mirar para cuales valores está
definida esa función nueva que encuentran, creo que es por eso como tal, además que
hay muchas funciones que tienen varias restricciones y que eso genera en los
estudiantes cierta dificultad, divisiones por 0, raíces de índice par, etc.
2.1.¿Cuál considera usted que es la metodología adecuada para la enseñanza de
dicho concepto?
R// Creo que uno debe partir inicialmente de la parte gráfica, la parte grafica ayuda
mucho a entender ese tipo de cosas, obviamente previo a eso hay que dar una
concepción de lo que es la evaluación de una función y luego continuar de forma
analítica, porque más adelante en la parte de aplicación de la derivada en la construcción
de gráficos se utiliza mucho hallar el rango en forma gráfica.
3. ¿Por qué las funciones de variable real se consideran una estructura algebraica?
R// Sí, porque es una función que primero, si es una función de variable real al
tomar como dominio los reales, arroja valores reales y además puedo hacer operaciones
entre ellas, al tener una suma de funciones puedo encontrar una nueva función o al hacer
Anexos 139
multiplicación de la función por un escalar, encuentro una nueva función que es una
transformación de esto.
3.1.¿Cuál considera usted que es la complejidad en el aprendizaje de estos
conceptos en el estudiante?
R// Pueden haber dos cosas, la primera que tenga ciertas dificultades como la
comprensión de los conceptos previos, sobretodo en la parte de conjuntos y operaciones
entre conjuntos que tienen que ver con la función de variable real que son realmente
conjuntos también, de parejas ordenadas, y segundo creo que básicamente tienen
dificultades en las operaciones, sobre todo en los procesos de, como tienen que hallar
dominios y tienen que entender la gráfica de la función dentro de ese dominio, muchas
veces debe aplicar conceptos del algebra básica para poder hacer entendimiento de todo
ese proceso.
4. ¿Cuál es el método más apropiado pala la enseñanza de las funciones inversas?
R// Básicamente la función inversa es otra función nueva y la idea es hacerle ver al
estudiante que son funciones que tienen ciertas características y están relacionadas con
la función de partida, tratando de mostrarles que la función inversa es un reflejo sobre un
espejo de la función que estoy tratando y ese espejo es básicamente una recta que pasa
por el origen, esa es como la parte grafica que se puede mostrar, ya analíticamente hay
que hacer un trabajo ya dependiendo del tipo de función, darle los tópicos y las
características de cómo invertir la función.
5. ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de las funciones inyectivas, sobreyectivas y
biyectivas?
R// Porque para las funciones inversas hay unas condiciones mínimas de cómo
construirlas, y la base para construir una función inversa es que tiene que tener
propiedades de biyectividad, o sea que si yo invierto una función, puedo devolverme,
encontrar tanto la función como su inversa, si tengo la inversa también poder encontrar la
función, por eso es importante, tiene que cumplir que sean uno a uno inyectivas y que
además sean sobreyectivas, porque hay funciones que aunque cumplen una de tantas
propiedades, su inversión no es posible, porque no cumplen con la definición de la
función como tal.
6. ¿Por qué cree usted que es importante la enseñanza en el curso de algebra lineal
el concepto de transformaciones lineales?
R// Porque básicamente las operaciones con funciones están supeditadas en
cumplir dos cosas, en sumas de funciones y multiplicaciones de escalar por función y eso
va de la mano en que por hacer traslaciones, al hacer amplificaciones, al hacer reflejos,
tienen que conocer esos conceptos básicos de sumas, de funciones, etc.
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7. ¿Por qué cree usted que no se trabaja esta temática?
R// Las transformaciones lineales son un tema que se trabaja dentro del algebra
lineal y en muchos currículos el álgebra lineal es una materia previa al cálculo diferencial,
actualmente en muchos currículos de los programas académicos, el álgebra lineal es
como si fuera una asignatura a parte de todas las otras, y la cadena normalmente
siempre está dada en matemáticas, los cálculos y no se le da la relevancia dentro de esa
parte, entonces dejan esa parte de la transformación lineal para el curso de algebra
lineal, y hay programas que no trabajan el álgebra lineal, siendo una asignatura muy
importante.