4.1 - 1 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
REGLAS DE PROBABILIDAD
Capítulo 4
Probabilidad
4.1 - 2 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples.
Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es
la probabilidad de obtener un 2 o un 5?
Evento Compuesto
Notación
P(A ó B) = probabilidad de que , en una sóla repetición de un experimento, ocurre el evento A o el evento B o ambos eventos. (o inclusivo, también 𝑨 ∪ 𝑩)
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Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes
si no tienen resultados en común.
Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez.
5-3
Ejemplo:
Eventos mutuamente excluyentes
Se realiza un experimento en el cual el espacio
muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}
¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?
Solucion:
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1. Se tiran dos dados.
A = “La suma de las caras sea par.”
B = “La suma de las caras sea un número
divisible entre 3”
2. Se tiene una paquete de barajas americanas
( 52 cartas).
A = “sacar una Reina”
B = “sacar una A”
3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate
M&M que contiene dulces de color rojo, azul,
amarillo, verde, anaranjado y marrón.
A = “sacar un dulce rojo”
B = “sacar un dulce azul”
5-4
Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son
mutuamente excluyentes o no.
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Los Diagramas de Venn son utilizados para representar eventos como circulos encerrados en un rectángulo. El rectángulo representa el espacio muestral y cada círculo representa un evento.
5-5
Los Diagramas de Venn
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5-6
Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. E = “elegir una chapa que tiene un número menor o igual a 2” F = “elegir una chapa que tiene un un número mayor o igual a 8”. a) Construir un diagrama de Venn para la situación. b) Determinar la probabilidad de cada evento.
Ejemplo:
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Eventos mutuamente excluyentes
Eventos A y B son disyuntos (o
mutuamente excluyentes) si la
intersección de su diagrama de Venn está
vacía.
Diagrama de Venn Diagram para
eventos que NO son disyuntos
Diagrama de Venn Diagram para
eventos que SON disyuntos o
mutuamente excluyentes
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5-8 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes
Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹).
Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)
La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes, entonces
𝑃 𝐸 ó 𝐹 ó 𝐺 ó … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯ 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺 ∪ … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯
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Número de
habitaciones en
una unidad de
vivienda
Probabilidad
Una 0.010
Dos 0.032
Tres 0.093
Cuartro 0.176
Cinco 0.219
Seis 0.189
Siete 0.122
Ocho 0.079
9 or más 0.080
(a) ¿Cuál es la probabilidad de
que una unidad de vivienda
seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones?
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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos
El modelo de probabilidad de
la derecha muestra la
distribución del número de
habitaciones en unidades de
vivienda en los Estados Unidos.
4.1 - 10 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
(b) ¿Cuál es la
probabilidad de que una
unidad de vivienda
seleccionada al azar
tenga no más de tres habitaciones?
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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)
Número de
habitaciones en
una unidad de
vivienda
Probabilidad
Una 0.010
Dos 0.032
Tres 0.093
Cuartro 0.176
Cinco 0.219
Seis 0.189
Siete 0.122
Ocho 0.079
9 or más 0.080
4.1 - 11 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
(c) ¿Cuál es la
probabilidad de que una
unidad de vivienda
seleccionada al azar
tenga a lo más ocho habitaciones?
5-11
EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)
Número de
habitaciones en
una unidad de
vivienda
Probabilidad
Una 0.010
Dos 0.032
Tres 0.093
Cuartro 0.176
Cinco 0.219
Seis 0.189
Siete 0.122
Ocho 0.079
9 or más 0.080
4.1 - 12 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
(a) Si una persona es
seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de
elegir a alguien que es del grupo A o B.
5-12
EJEMPLO (continuación)
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos
y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.
A = Persona es del grupo A B = Persona es de tipo B.
4.1 - 13 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
(b) Si una persona es
seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de
elegir a alguien que es de tipo Rh-.
5-13
EJEMPLO (continuación)
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh
para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.
E = Persona es de tipo Rh-.
4.1 - 14 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Complemento de un evento Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. • El complemento de E, que se denota 𝐸𝑐o 𝐸 , es el
evento que contiene todos los elementos que no están en E.
• El evento 𝐸 ocurre si E no ocurre. • La unión de dos eventos complementarios da el
espacio muestral. • El evento 𝐸 y el evento E son mutuamente
excluyentes. 5-14
Complemento de un evento
4.1 - 15 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Regla de los Complementos
Si E representa un evento y EC representa el complemento de E, entonces
P(EC) = 1 – P(E) y
P(E) = 1 – P(EC) y
P(E) + P(EC) = 1
5-15
4.1 - 16 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
EJEMPLO Construya el complemento de E
(a) E: “Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo
de 6 caras "
(b) E: “Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que
contiene canicas azules, verdes y rojos."
(c) E: “Al girar la ruleta, se detiene en un número par.”
5-16
4.1 - 17 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
¿Cuál es la probabilidad
de que la ruleta elija un
color diferente al verde?
P(E ) = 1 - P(Ec)
EJEMPLO
5-17
E = Elegir un color diferente al
verde.
Ec = Elegir el color verde.
4.1 - 18 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el
31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.
¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al
azar no es propietaria de un perro?
Solución:
EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento
5-18
4.1 - 19 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Si una persona es
seleccionada al azar,
encontrar la probabilidad de
elegir a alguien que NO es del tipo O con Rh+.
5-19
EJEMPLO
La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos
y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden
variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.
E = Persona es de tipo O con Rh+.
4.1 - 20 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Dos eventos E y F son independientes si la
ocurrencia del evento E en un experimento de
probabilidad no afecta a la probabilidad de que
ocurra el evento F.
Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia
del evento E en un experimento de probabilidad
afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F.
5-20
Eventos dependientes e independientes
4.1 - 21 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
EJEMPLO ¿Independiente o No?
(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado.
E: “Elegir un corazón" F: “Tirar un número par"
(b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que viven en Puerto Rico.
E: “El individuo 1 sobrevive al año" F: "El individuo 2 sobrevive al año"
(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza. Se remueve una segunda canica.
E: “Elegir una canica roja la primer vez." F: “Elegir una canica verde la segunda vez."
5-21
4.1 - 22 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
5-22
Regla de multiplicación para eventos independientes
Si E y F son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹).
Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)
La regla de la multiplicación para eventos independientes se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G … son eventos independientes, entonces
𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 𝑦 𝐺 𝑦 … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ … 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝐺 ∩ … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ …
4.1 - 23 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10% de sus
productos son defectuosos. También sabe que, en realidad, sólo
el 30% de sus clientes utilizan el equipo en el primer año después
de su adquisición. Si hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿qué proporción de los clientes harán un reclamación válida?
EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes
Solución: E: Equipo sale defectuoso. F: El equipo se usa durante del año de comprado.
Asumiremos que E y F son independientes.
5-23
4.1 - 24 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año?
EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes
Solución: La sobrevivencia de la primera mujer es independiente de la segunda por lo tanto.
5-24
4.1 - 25 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad
seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%,
según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47,
N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro mujeres
de 60 años de edad, seleccionadas al azar, ninguna
sobrevivan al año?
EJEMPLO Regla de Multiplicación para eventos independientes
5-25
Solución
4.1 - 26 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada
al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe
Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año?
Solución:
EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”
5-26
4.1 - 27 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
5-27
Regla general de suma
La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F
𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)
Esto también se puede escribir:
𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∪ 𝑃(𝐹) ∩ P( E y F)
Note que cuando E y F son mutuamente excluyentes, P( E y F)=0 y tenemos la primera fórmula que estudiamos.
4.1 - 28 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
5-28
Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado es 2” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E o F) 1. Utilizando la el método clásico de calcular probabilidad
EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma
4.1 - 29 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
5-29
Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) (2) Utilizando la regla general de la suma de probabilidades
EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma (cont.)
4.1 - 30 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Una carta es elegida al azar de un juego de
baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y
luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es
la probabilidad de elegir una J y luego un diamante?
Solución:
EJEMPLO
5-30
4.1 - 31 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Si se selecciona al azar una
muerte de peatón, aproximar
la probabilidad de
que el conductor estaba ebrio
o el peatón no estaba ebrio, a dos lugares decimales .
5-31
EJEMPLO
La siguiente tabla resume los resultados de 985 muertes de
peatones que fueron causadas por accidentes (basado en datos de la National Highway Traffic Safety Administration)
E = El conductor estaba ebrio.
F = El peatón NO estaba ebrio
P(E o F) = P(E)+ P(F)-P(EyF)
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La probabilidad condicional : • se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad
de un evento F dado el evento E”. • Es la probabilidad de que un event F ocurra
dado que el evento E haya ocurrido.
5-32
Probabilidad condicional
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EJEMPLO Probabilidad Condicional
Supongamos que se tira un dado de seis caras pero
se nos dice que el resultado será un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?
Queremos calcular: P(obtener un 4|saldrá un número par) Noten que el espacio muestral se reduce al tener la información de que el número que va a salir es par.
S = {2, 4, 6} P(obtener un 4|saldrá un número par) =
5-33
1
3
4.1 - 34 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
• Si E y F son dos eventos
5-34
Regla para calcular probabilidad condicional
𝑃 𝐹 𝐸 =𝑁(𝐸𝑦𝐹)
𝑁(𝐸)=
𝑃(𝐸𝑦𝐹)
𝑃(𝐸)
𝑃 𝐸𝑦𝐹 = 𝑃 𝐸 ∗ 𝑃 𝐹 𝐸
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Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son
zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y
sin reemplazo.
(a) Encuentre la probabilidad de que ambas personas
son zurdas.
Solución: Sea E= La primer persona seleccionada es zurda. Sea F = La segunda persona seleccionada es zurda. Los eventos NO son independientes. P(E y F) = P(E) P(F|E)
5-35
EJEMPLO Probabilidad Condicional
= 120
1000
119
999
= 0.0143
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Una carta es elegida al azar de un juego de
baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y
luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es
la probabilidad de elegir una J ó un diamante?
Solución: ¿P(“J” ó “♦” ) ? Los eventos son mutuamente excluyentes.
EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”
5-36
𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)
P “J” =
P(“♦”) =
P(“J” y “♦” )
4
52
13
52
=1
52
= 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)
=4
52 +
13
52 −
1
52
=16
52 =
4
13
4.1 - 37 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son
zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y
sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al menos
una de las dos personas sea zurda.
Solución: Sea E= Al menos una persona seleccionada es zurda.
5-37
EJEMPLO Probabilidad Condicional
4.1 - 38 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la
que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres
afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los
resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.
Cree en
Dios
Cree en un espíritu
universal
No cree en Dios ni en un espíritu
universal
Este 204 36 15
Norte Central
212 29 13
Sur 219 26 9
Oeste 152 76 26
5-38
(a) ¿Cuál es la probabilidad
de que un adulto
estadounidense que vive
en el Este y que es
seleccionado
aleatoriamente, cree en
Dios?
Sea E= Adulto que vive en el este. Sea F = Adulto que cree en Dios
4.1 - 39 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
EJEMPLO Probabilidad Condicional (continuación)
Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la
que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres
afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los
resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.
Cree en
Dios
Cree en un espíritu
universal
No cree en Dios ni en un espíritu
universal
Este 204 36 15
Norte Central
212 29 13
Sur 219 26 9
Oeste 152 76 26
5-39
b) ¿Cuál es la probabilidad
de que un adulto
estadounidense que cree en
Dios y que es seleccionado
aleatoriamente viva en el
Este?
Sea E= Adulto que cree en Dios. Sea F = Adulto que vive en el este.
4.1 - 40 Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Supongamos que cinco fusibles buenos y dos defectuosos
se mezclan. Para encontrar los fusibles defectuosos, se
prueban uno por uno, al azar y sin reemplazarlos. ¿Cuál es
el probabilidad de que encontremos los defectuosos en las dos primeras pruebas?
5-40
Sea D1= Se selecciona un fusible defectuoso en el primer intento. Sea D2 = Se selecciona un fusible defectuoso en el segundo intento.
𝑃(𝐷1 𝑦 𝐷2) = 𝑃 𝐷1 𝑃 𝐷2 𝐷1)