Capítulo 1
Desigualdades
1
2 Desigualdades
El orden en los números reales
Cuando discutimos sobre la belleza de dos artistas de cine, no siempre llegamos a un acuerdo,
“en gustos se rompen géneros”; en cambio, dados dos números reales, siempre podemos
decidir cuál de ellos es mayor, por ejemplo, 5 7. Esto ejemplifica la propiedad conocida
como tricotomía.
Cuando comparamos a tres equipos de fútbol, tampoco podemos decir siempre cuál es el
mejor. Por ejemplo, en un torneo de todos contra todos, los Pumas le ganaron a las Aguilas,
las Aguilas le ganaron a las Chivas y las Chivas le ganaron a los Pumas, así que no podemos
decidir cuál es mejor. En cambio, con los números no hay tal ambigüedad, por ejemplo, como
sabemos que 2 7 y 7 9, sin pensarlo más sabemos que 2 9. Es decir, el orden en los
números naturales es transitivo.
Si Cristina es mayor que su hermano Juan, entonces dentro de cinco años, Cristina seguirá
siendo mayor que Juan, es decir, si a la edad de ambos le sumamos 5, el orden no se altera.
Si un refresco es más barato que una bolsa de papas y, debido a la inflación, el año próximo
el precio de ambos se multiplica por 2, entonces el refresco seguirá siendo más barato que la
bolsa de papas.
Para poder comparar los números, debemos establecer sin ambigüedad un orden entre ellos.
Para ello, hacemos lo siguiente:
Definición
Dados dos números reales y , decimos que es menor que si al colocarlos en la recta,
queda a la izquierda de , y escribimos , que se lee “ es menor que ” o “ es mayor que ”
a b
.
.
Figura 1-1
Otra manera de escribir es , en cuyo caso leemos “ es mayor que ”.
Escribimos ≤ para indicar que , o bien = , y leemos “ es menor o igual que ”.
Ejemplos
7 canicas son más que 3 canicas.
−$10 es menor que −$5, (se tiene menos dinero cuando se debe 10 que cuando se debe 5).−4◦C es menor que 2◦C, ya que es más alta la temperatura a 2◦C que a −4◦C.
Podemos escribir las desigualdades anteriores así:
7 3
−10 −5−4 2.
Desigualdades 3
Propiedades de orden de los reales
El orden en los reales satisface las siguientes propiedades:
Tricotomía
Dados y números reales, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones
, , = .
Decir que es positivo equivale a decir que 0; y que es negativo equivale a decir que
0.
Transitividad
Si y , entonces .
Es decir, si está a la izquierda de y está a la izquierda de , entonces está a la izquierda
de .
Relación con la suma
Si y es cualquier entero, entonces + + .
Multiplicación por un número positivo
Si y es cualquier entero positivo, entonces . (No se altera el sentido de la
desigualdad).
Multiplicación por un número negativo. Si y 0 entonces . (Se invierte el
sentido de la desigualdad).
Ejemplos
1. Verificar la transitividad cuando = −85, = 7 y = 15.Solución:
Debemos verificar que: si y , entonces . En efecto
−85 7 y 7 15 entonces − 8 15.
2. Multiplicar −3 5 por 4.Solución:
Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se
altera, así que
−3 5
−3 (4) 5 (4)
−12 20.
4 Desigualdades
3. Multiplicar −2 3 por −6.Solución:
Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo
se debe intercambiar el signo por . Entonces
−2 3
(−2) (−6) 3 (−6)12 −18.
4. Mostrar que la desigualdad −17 −11 se puede obtener a partir de la desigualdad 11 17.Solución:
Puesto que 11 17, multiplicando por (−1) a ambos lados de la desigualdad tenemos:
11 17
11 (−1) 17 (−1)−11 −17,
o lo que es lo mismo, −17 −11.
5. Escribir19
5como la suma de un número entero y fracciones distintas que tengan el número
1 en el numerador.
Solución:
Como 19 5 entonces escribimos el número como un número entero más una fracción:
19
5= 3 +
4
5
Los números racionales que tienen un uno en el numerador son:
1
21
31
41
51
6 · · ·
Comparamos4
5con
1
2utilizando los productos cruzados
4 (2) = 8
5 (1) = 5
y como 8 5, entonces4
51
2
Desigualdades 5
Calculamos
4
5− 12=
4 (2)− 5 (1)10
=8− 510
=3
10
Así19
5= 3 +
1
2+3
10
Ahora comparamos3
10con
1
3
3 (3) = 9
10 (1) = 10
de manera que 9 10, entonces3
101
3
Como3
10es menor que
1
3, entonces comparamos
3
10con
1
4:
3 (4) = 12
10 (1) = 10
así 12 10 Calculamos
3
10− 14=
2 (3)− 5 (1)20
=6− 520
=1
20
Por tanto,19
5= 3 +
1
2+1
4+1
20
Intervalos
Para definir intervalos utilizamos la notación de conjuntos.
6 Desigualdades
Si , el conjunto
( ) = { ∈ R | }se llama intervalo abierto y lo representamos geométricamente como
a( )
b
.
.
Figura 1-2
Si y están incluidos en el conjunto, es decir,
[ ] = { ∈ R | ≤ ≤ }
se llama intervalo cerrado y lo representamos geométricamente como
a b
.
.][
Figura 1-3
Un intervalo es semiabierto si contiene sólo uno de los dos extremos, es decir,
[ ) = { ∈ R | ≤ }
y lo representamos como
.a[ )
b
.
Figura 1-4
o bien
( ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como
a( ]
b .
.
Figura 1-5
Utilizamos el símbolo ∞ para representar “infinito”; ∞ no es un número real y no satisface
las reglas de la suma y el producto de los números reales.
Desigualdades 7
Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos
por
(∞) = { ∈ R | } ,lo representamos geométricamente como
.a(
.
Figura 1-6
y lo llamamos el rayo que parte de .
Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos
por
(−∞ ) = { ∈ R | }y lo representamos geométricamente como
.
.
a)
Figura 1-7
Éste es también un rayo que llega a pero que se extiende en dirección contraria al del inciso
anterior.
De la misma manera que antes, si queremos que el punto esté incluido, escribimos
[∞) = { ∈ R | ≥ }y lo representamos como
.
a[
.
Figura 1-8
o
(−∞ ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como
.
.a]
Figura 1-9
8 Desigualdades
Utilizando las operaciones de conjuntos podemos hablar de uniones e intersecciones de inter-
valos.
Ejemplos
1. Encontrar (−2 5) ∩ [1 7].Solución:
420 1 3 5 6 7[
.
.
422 01 1 3 5)
.
.
422 01 1 3 5 6 7( ][ )
.
.
(
]
Figura 1-10
Un número está en la intersección si está en ambos intervalos.
(−2 5) ∩ [1 7] = [1 5) .
2. Escribir usando notación de intervalos, { ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 }Solución:
420 1 3 5 6 7
7
.
.
422 01 1 3 5)
.
.
422 01
1
1 3 5 6
(
.
.
(
(
Figura 1-11
Un número está en la unión si está en alguno de los intervalos, es decir, si está en uno de los
intervalos, en el otro o en ambos.
{ ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 } = { ∈ R| − 2 }= (−2 5) ∪ (−1∞)= (−2∞)
Desigualdades 9
EjerciciosDeterminar la unión y la intersección de los siguientes intervalos.
1. (−5 0) y (−2 4) 2. (21 63) y (32 57)
3. (−1075−64) y (13 75)
4.
∙−725
3
¸y
∙−2651
2
¸.
Desigualdades
Reinaldo obtuvo como calificaciones en los primeros cuatro exámenes: 71, 84, 8
y 93. Sólo falta efectuar un examen y para aprobar el curso sin presentar el examen
final, es necesario que el promedio de los cinco exámenes sea mayor o igual que 8.
¿Cuál es la menor calificación que debe obtener Reinaldo en el quinto examen para
poder quedar exento?
Solución:
Llamamos a la calificación que falta. El promedio de todas las calificaciones es:
71 + 84 + 8 + 93 +
5.
Dicho promedio debe ser mayor o igual que 8, así que escribimos la desigualdad
328 +
5≥ 8.
Para resolverla multiplicamos por 5 ambos miembros y obtenemos:
5
µ328 +
5
¶≥ 5 (8)
328 + ≥ 40.
Sumamos −338 a ambos lados de la desigualdad.−328 + 328 + ≥ −328 + 40
≥ 72.
En el quinto examen, Reinaldo debe obtener por lo menos 72 de calificación.
Una desigualdad en la que aparecen variables también se conoce como inecuación. Como en
el caso de las igualdades, la expresión que aparece a la izquierda del símbolo de desigualdad se
llama primer miembro y la que aparece a la derecha, segundo miembro.
10 Desigualdades
Resolver una desigualdad algebraica significa encontrar los valores numéricos que, cuando susti-
tuyen a las variables, la hacen cierta.
Para manipular desigualdades algebraicas utilizamos las propiedades de la suma y el producto
de los números reales, así como las de orden.
Ejemplos
1. Resolver la desigualdad 5 − 9 −12.Solución:
Sumamos 9, en ambos lados de la desigualdad:
5 − 9 −125 − 9 + 9 −12 + 9
5 −3.
Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por1
5que por ser positivo
no altera el sentido de la desigualdad:
5 −31
5(5)
1
5(−3)
−35.
Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −35, es decir,
∈µ−∞−3
5
¶.
2. Resolver la desigualdad −4 + 7 23.Solución:
Sumamos −7 en ambos lados de la desigualdad:−4 + 7 23
−4 + 7− 7 23− 7−4 16.
Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por −14, que por ser
negativo invierte el sentido de la desigualdad:
−4 16
−14(−4) −1
4(16)
−4.Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −4, es decir, ∈ (−∞−4).
Desigualdades 11
Consecuencias de las propiedades de orden
Para despejar la variable de la desigualdad − 8 13 seguimos los siguientes pasos:− 8 13 ←− Queremos despejar .
− 8 + 8 13 + 8 ←− Sumamos el opuesto de − 8, es decir, 8. 21 ←− Simplificamos.
En el primer renglón, el 8 está restando en el lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos
sumando en el lado derecho.
En general, si un término está restando de un lado de una desigualdad,
− ,
al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:
−
− + +
+ .
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” sumando. Así:
Si − , entonces +
Similarmente, si un término está sumando de un lado de la desigualdad,
+ ,
al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:
+
+ − −
− .
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” restando. Así:
Si + , entonces −
Para despejar la variable de la desigualdad 6 7 seguimos los siguientes pasos:
6 7 ←− Queremos despejar µ1
6
¶6
µ1
6
¶7 ←− Multiplicamos por 1
6, que es el recíproco de 6, y
como es positivo, la desigualdad no se altera
7
6←− Simplificamos.
En el primer renglón, el 6 está multiplicando del lado izquierdo y en el segundo renglón lo
vemos dividiendo del lado derecho.
12 Desigualdades
En general, si un término positivo está multiplicando de un lado de una desigualdad
,
entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la desigualdad y simplificar:
µ1
¶
µ1
¶
,
el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo. Por tanto,
Si y 0, entonces
.
De manera similar, si un término positivo está dividiendo en un lado de la desigualdad,
al multiplicar por él, ambos lados de la desigualdad se obtiene:
() ()
.
El término “pasa al otro lado de la desigualdad” multiplicando. Por tanto,
Si
y 0, entonces .
Si tenemos la desigualdad,
y 0, entonces al multiplicar por el recíproco, la desigualdad cambia de sentido, por lo que,
Si y 0, entonces
.
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo y cambia el sentido de la
desigualdad.
De la misma manera,
Si
y 0, entonces .
Ejemplos
Desigualdades 13
1. Resolver7
9− 5 −2.
Solución:
Despejamos
7
9− 5 −27
9 −2 + 5 ←− (El 5 “pasa” sumando)
7
9 3 ←− (Simplificamos)
9
7(3) ←− (El 9 “pasa” multiplicando, y el 7 “pasa” dividiendo
sin cambiar el sentido de la desigualdad)
27
7←− (Simplificamos).
De donde ∈µ27
7∞¶
2 4 60(
.
.
Figura 1-12
2. Resolver 3 6 10.
Solución:
Despejamos :
3 6 10
3
6
10
61
2
5
3
de donde ∈µ1
25
3
¶.
3. Resolver 8 + 5 ≤ 3 − 7 ≤ + 1.
Solución:
Tenemos que resolver dos desigualdades:
8 + 5 ≤ 3 − 7 y 3 − 7 ≤ + 1.
14 Desigualdades
Es decir,
8 + 5 ≤ 3 − 75 − 3 ≤ −7− 8
2 ≤ −15 ≤ −15
2
∈µ−∞−15
2
¸ y
3 − 7 ≤ + 1
3 − ≤ 1 + 7
2 ≤ 8
≤ 4
∈ (−∞ 4]
de donde
∈µ−∞−15
2
¸∩ (−∞ 4] ,
543210
5432101
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
5432112345678910 0
]
]
]
15
15
2
2
Figura 1-13
es decir,
∈µ−∞−15
2
¸
4. Resolver 55 + 67− 2 ≤ 73.Solución:
Tenemos que resolver dos desigualdades:
55 + 67− 2 y 67− 2 ≤ 73
Es decir,
55 + 67− 255− 67 −2 −
−1 2 −31 2
3
04
∈ (−∞ 04)
y
67− 2 ≤ 73
−2 ≤ 73− 67−2 ≤ 06
≥ −062
≥ −03 ∈ [−03∞)
Desigualdades 15
de donde ∈ (−∞ 04) y ∈ [−03∞),
0 1 20.412 0.3
0 1 20.412 0.3
0 1 20.412 0.3
)
)
[
[
.
.
Figura 1-14
es decir,
∈ (−∞ 04) ∩ [−03∞) = [−03 04)
5. La suma de dos números enteros pares consecutivos y positivos es a lo más 24. Encuentra
dichos números.
Solución:
Llamamos 2 y 2+ 2 a los enteros pares consecutivos. Planteamos la desigualdad:
2+ (2+ 2) ≤ 24.
Ahora la resolvemos:
2+ (2+ 2) ≤ 24
4 ≤ 22
≤ 22
4
≤ 11
2.
Así, = 1, 2, 3, 4 o 5, y entonces los números que satisfacen la desigualdad son:
2 2+ 2
1 2 4
2 4 6
3 6 8
4 8 10
5 10 12.
16 Desigualdades
EjerciciosResolver las siguientes las desigualdades
1. −4 6.
2. + 7 ≥ −2
3.7
5− 3 −2.
4. 5 + 5 0.
5.4
3 + 3 ≥ −5
6.
6. Un cartero parte de la oficina postal llevando en su bolsa cierto número de sobres. Al
mediodía ha repartido 134 sobres y en su bolsa quedan menos de 38 sobres por repartir.
¿Cuál es el mayor número de sobres con los que pudo haber salido de la oficina?
Desigualdades y las expresiones racionales
El cociente, del menor entre el mayor, de dos enteros impares consecutivos es mayor
o igual a 2. Encontrar los números.
Solución:
Llamamos a los enteros impares consecutivos 2+1 y 2+3. Formamos el cociente
del mayor entre el menor:2+ 1
2+ 3
y éste debe ser mayor o igual a 2, es decir,
2+ 1
2+ 3≥ 2.
Para resolver esta desigualdad debemos considerar dos casos:
• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈
µ−32∞¶y
2+ 1 ≥ 2 (2+ 3)
2+ 1 ≥ 4+ 6
1− 6 ≥ 4− 2−5 ≥ 2
−52≥
Desigualdades 17
de donde ∈µ−∞−5
2
¸. Es decir,
∈µ−32∞¶∩µ−∞−5
2
¸= ∅
• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈
µ−∞−3
2
¶y
2+ 1 ≤ 2 (2+ 3)
2+ 1 ≤ 4+ 6
1− 6 ≤ 4− 2−5 ≤ 2
−52≤
de donde ∈∙−52∞¶. Es decir,
∈µ−∞−3
2
¶∩∙−52∞¶=
∙−52−32
¶De donde,
∈ ∅ ∪∙−52−32
¶=
∙−52−32
¶= [−25−15)
pero como es un entero entonces = −2.Por tanto, el cociente es:
2 (−2) + 12 (−2) + 3 = 3 2.
Ejemplos
1. Resolver1
+ 2 −4
Solución:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha.
Como no sabemos si + 2 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos
casos.
Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−2∞) Como +2 es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,
ésta no cambia de sentido.
1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9
4
18 Desigualdades
de donde ∈µ−∞−9
4
¶∩ (−2∞) = ∅
En este caso la desigualdad no tiene solución.
Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−∞−2) Como +2 es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,
ésta cambia de sentido.
1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9
4
de donde
∈ (−∞−2) ∩µ−94∞¶=
µ−94−2
¶
es decir
−94 −2
Por tanto, la desigualdad1
+ 2 −4
se satisface para −94 −2 es decir
∈µ−94−2
¶= (−225−2)
422468
4
2
2
4
6
Y
X
Figura 1-15
2. Resolver5 + 2
− 2 5
3.
Solución:
Desigualdades 19
Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores. Sabemos que 3 es positivo,
por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si − 2 es positivo o negativo, entoncesdebemos de considerar los dos casos.
Supongamos − 2 0, o sea 2, entonces al pasar la expresión − 2 multiplicandoal otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido.
5 + 2
− 2 5
3
3 (5 + 2) 5 ( − 2)15 + 6 5 − 1015 − 5 −10− 6
10 −16 −16
10
−85
Por tanto, debemos tener:
2 y −85,
2) (
0185
Figura 1-16
Pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones. Esto significa
que ningún número 2 es solución de la desigualdad original.
Supongamos − 2 0, es decir, 2, entonces al pasar multiplicando esa expresión
al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido.
5 + 2
− 2 5
3
3 (5 + 2) 5 ( − 2)15 + 6 5 − 1015 − 5 −10− 6
10 −16 −16
10
−85.
20 Desigualdades
De donde,
2 y −85,
Podemos escribir esto como:
−85 2.
2085
.
.
( )
Figura 1-17
Por tanto,5 + 2
− 2 5
3si − 8
5 2.
3. Resolver2− 3+ 2
1
3.
Solución:
Primer método:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar denominadores. Sabemos que 3 es posi-
tivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si + 2 es positivo o negativo,
por esto es necesario considerar dos casos.
• Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,ésta no cambia de sentido:
2− 3+ 2
1
33 (2− 3) + 2
6− 9 + 2
6− 2 + 9
5 11
11
5
y como estamos suponiendo que:
+ 2 0
−2,
entonces:
−2 y 11
5.
Desigualdades 21
Podemos escribir esto como:
−2 11
5.
115
02( )
.
.
Figura 1-18
• Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,ésta cambia de sentido.
2− 3+ 2
1
33 (2− 3) + 2
6− 9 + 2
5 11
11
5.
Entonces como:
+ 2 0
−2,
debemos tener:
−2 y 11
5,
115
02) (
.
.
Figura 1-19
pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones.
Por tanto,2− 3+ 2
1
3si − 2
11
5.
Segundo método:
Resolvemos primero la ecuación:
2− 3+ 2
=1
3.
22 Desigualdades
En primer lugar, nos damos cuenta que la expresión de la izquierda no está definida
para = −2. La solución de la ecuación es:2− 3+ 2
=1
33 (2− 3) = + 2
=11
5.
Los puntos donde no está definida la ecuación y donde se satisface la igualdad dividen
a la recta en tres intervalos, como lo muestra la figura 1-20.
115
2
.
.
Figura 1-20
En cada uno de estos intervalos todos los puntos satisfacen la desigualdad original
o ninguno la satisface. La razón de esto es que si en alguno de estos intervalos un
punto 1 satisface la desigualdad y otro 2 la desigualdad contraria, habría un punto
3 intermedio y, por tanto, dentro del mismo intervalo en donde se satisface la igualdad,
lo cual no es cierto, ya que el único punto donde se satisface la igualdad es 115.
La justificación formal de este argumento, conocida como el teorema del valor interme-
dio, está fuera del alcance de este libro, pues requiere del concepto de continuidad, que
es un tema que se ve en el curso de cálculo diferencial e integral. Sin embargo, creemos
que intuitivamente es bastante claro para poder utilizarlo aquí.
Elegimos un punto en cada intervalo, por ejemplo,
−3 ∈ (−∞−2) , 0 ∈µ−2 11
5
¶, 3 ∈
µ11
5∞¶
y evaluamos la expresión en ellos:
• En = −3 tenemos:2 (−3)− 3(−3) + 2 = 9,
que no satisface la desigualdad, así que en ningún punto de (−∞−2) se satisface.• En = 0 tenemos:
2 (0)− 3(0) + 2
= −32,
que sí es menor que1
3, así que en todo el intervalo
µ−2 11
5
¶se satisface la de-
sigualdad.
Desigualdades 23
• En = 3 tenemos:2 (3)− 3(3) + 2
=3
5,
que no es menor que1
3, así que en ningún punto del intervalo
µ11
5∞¶se satisface
la desigualdad.
Por tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo
µ−2 11
5
¶, es decir, −2
11
5.
Ejercicios
1.+ 7
6.
2.2
2− −8.
3.5 + 2
+ 35
2.