28/06/2012Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso1
Capitulo 6Diseño a Flexión
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1.- Las Solicitaciones.
Sea una viga recta sometida a q y P.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
P q
A B
L
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Se presentan las siguientes solicitaciones:Capítulo IV: Diseño a Flexión
P q
A B
Mmáx
Momento Flector +
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Capítulo IV: Diseño a Flexión
P q
A B
Cortante
-
+QA
QB
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Capítulo IV: Diseño a Flexión
P q
A B
Deformación d
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2.- TablasPara las diferentes condiciones decarga y de apoyo encontramos enTablas del Anexo 547-562 los valoresde M-Q y d.En estos se tabulan valores máximos yotros a calcular para puntosespecíficos de interés.Para una condición dada decombinación de cargas es posibleutilizar los valores de tablas mediantela simple suma punto a punto.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
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3.- Distribución de Tensiones en una sección dada de una viga.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
a
h
Ff
Ff
Ff
Ff
fB
fB
1
Ff
Ff
2 3 4
1. Aplicación de un MB.
2. Aplicación de un MB = Mfluencia en la fibra extrema.
3. Aplicación de un MB > Mfluencia comprometiendo másfibras que se van plastificando.
4. Aplicación de un MB = Mplástico en que todas las fibrashan alcanzado Ff formándose una articulación plásticaen esa sección.
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Capítulo IV: Diseño a Flexión
f
p
MM
Forma deFactor =
1,5 para secciones rectangulares.
1,1 a 1,2
para secciones laminadas estándar.
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4.- Clasificación de Secciones.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
En atención a lo anterior las diferentessecciones posibles en el diseño de vigas se hanclasificado así:
Secciones PLASTICAS.
SEMIPLASTICAS.
COMPACTAS.
ESBELTAS.
Ver Tablas 13 pág. 170 y Tablas 14 pág. 171
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5.- Características de las secciones.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
PLÁSTICAS:
Aquella que puede alcanzar Ff en todas susfibras sin existir pandeo local en suscomponentes.Se permite aplicar en ellos:
a) Coeficiente de Forma
Para perfiles I significa Fmx = 0,66 Ff
Fmy = 0,75 Ffb) Redistribución de Momentos:
9/10 M en momentos negativos
+ 1/10 M_ a momentos positivos
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Características de las secciones (cont.).
Capítulo IV: Diseño a Flexión
SEMIPLÁSTICAS:
Sección de transición entre una plástica y unacompacta, por lo que Fm tendrá un valorintermedio.
COMPACTA:
Aquella que tiene alas y almas no afectas apandeo local para una tensión Ff en su fibraextrema y por lo tanto Fm = 0,6 Ff
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Características de las secciones (cont.).
Capítulo IV: Diseño a Flexión
ESBELTA:
Aquella cuyos elementos constituyentes al estarsolicitados por tensiones de compresión porflexión pueden estar afectos a:
• Pandeo Local del ala comprimida y/o
• Pandeo del alma por flexión.
Por lo tanto Fm dependerá de la esbeltez de suselementos.
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Pandeo lateral Torsional:
Toda viga sometida a flexión presenta latendencia al giro (vuelco) de su seccióntransversal.
Según se controla esta tendencia será suresistencia al pandeo lateral torsional.
Por lo tanto según NCh 427 se verifica si unaviga está o no afecta a P.L.T. con Tabla 16 (pág.196)
6.- Tensiones Admisibles Fm.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
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El Pandeo lateral torsional se controla odisminuye con la existencia de arriostramientoslaterales.
Lm = distancia entre arriostramientos laterales.
Lp ó Lc = distancia entre arriostramientospara secciones plásticas o compactas.
Tensiones Admisibles Fm.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
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Si Lm ≤ Lp ó Lc
Si Lm > Lp ó Lc
Capítulo IV: Diseño a Flexión
No hay PLT y Fm se obtiene de Tabla 15
Hay PLT y Fm se obtiene usando el mayor valor resultante de Tabla 17 y Tabla 18
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En estas Tablas se necesita calcular:
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Nota : ia e it de Tablas de secciones.
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Capítulo IV: Diseño a Flexión
M1 y M2 Momentos de Flexión en los extremosdel tramo entre arriostramientos.Si una sección resulta ser ESBELTA usar Tabla19 (pág. 199).
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7.- Tensión de Trabajo a la Flexión.
Capítulo IV: Diseño a Flexión
(Tablas)sección de módulomáximoflector momento
WMfm =
y fm ≤ Fm
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8.- Esfuerzo de Corte
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Cortante:
Se considera que el alma de la viga es la queresiste al cortante.
Su Capacidad resistente puede ser determinadapor:
a.- RESISTENCIA AL PANDEO DEL ALMA.
Depende de su esbeltez (h/t) y sus condicionesde borde (c/s atiesadores de rigidez).
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Esfuerzo de Corte
Capítulo IV: Diseño a Flexión
b.- CAMPO DE TRACCIÓN.
Aplicable a almas atiesadas de vigas armadascomo analogía con viga enrejada Pratt conmontantes comprimidos y diagonalestraccionadas.
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9.- Tensión Admisible al corte Fv
Esbeltezh/t
Tensión admisibleFv
A. h/t ≤ 3230/
B. h/t > 3230/ y
h/t ≤ 4630/C. h/t > 4630/
yh/t ≤ 260
fF
fF
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Determinada por:Tabla 21
(Alma no atiesada)
fF
fF
3F
FS1 f
fFh/t
2160FS1
2(h/t)10.000.000
FS1
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Criterio Tensión admisibleFv
A. Pandeo del alma
B. Campo de Tracción
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Tabla 22(Alma atiesada)
fv FC 4,03
FFS1 f ≤
ff
2v
v 0,35F3
F(a/h)11,15
C1CFS1
≤
+
−+
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10.- Tensión de Trabajo
Capítulo IV: Diseño a Flexión
vv A
Vf =
Av = h * th: Altura del alma.
t: espesor del alma.
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11.- Deformación Vertical (d o D)
Capítulo IV: Diseño a Flexión
No debería exceder los límites de Tabla 45,expresadas como función de la longitud L.
La tabla 45 expresa además unarecomendación de altura H para condicionesespecíficas de:
•Carga uniformemente repartida.
•Simplemente apoyada.
•Para Ff conocidas.
Detalles de variaciones al pie de T.45 (pág 220)
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Deformación Vertical (d o D)
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Dreal ≤ Dadmisible
300L
384EI5qL4
≤
Por ejemplo:
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12.- Interacción Flexión-Corte
Capítulo IV: Diseño a Flexión
Se verifica con tabla 26 caso A para almas noatiesadas y caso B para almas atiesadas conconcepto campo de tracción.
Caso A:
Se aplica
vvm A
Vf WMf ==
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Capítulo IV: Diseño a Flexión
Fv de tabla 21
(h/t)
45.400.000 FS1F 2mv =
FS= 1,23
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Ejercicio
P= 5 Ton.
q= 1 (t/m)
L= 10 m
Acero A 270 ES
Dadmisible: L/300
P q
A B
L
ALI
ALI
ALI
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SOLICITACIONES:
1.- MOMENTO FLECTOR: evaluar en cada punto donde hay ALI, y determinar valor y ubicación de valor máximo
2.- CORTANTE: evaluar en cada punto donde hay ALI, y determinar valor y ubicación de valor máximo
3.- DEFORMACION VERTICAL: determinar valor y ubicación de valor máximo
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CORTANTE
CASO P
+
-
P/2
P/2
CASO q
qL/2
qL/2
+-
CASO P+q
P/2+qL/2
P/2+qL/2
+
-
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Momento Flector
CASO P
00
PL/4
+
CASO qqL^2/8
+0
0
PL/4 + qL^2/8
+
0 0
CASO P+q
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X (cm) Q (Kgf) M (Kgcm)
P q P+q P q P+q
0 +2.500 +5.000 +7.500 0 0 0
500-i500-d
+2.500-2.500
00
+2.500-2.500
1.250.000 1.250.000 2.500.000
1.000 -2.500 -5.000 -7.500 0 0 0
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Diseño:– Por deformación– Por tensión– Utilizando ambos se pueden obtener Wx
e IxEn este caso:Para la deformación:
3003845
48
43 LEI
qLEI
PL
xx
≤+
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Para las tensiones:
Seleccionar perfil con los datos obtenidos para Ix y para Wx
mm Ff ≤
mx
FW
M≤max
fF50,0
fF60,0
fF66,0
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Con sección seleccionada:1. Clasificar la seccion (plástica, s-p, etc..)2. Determinar Lp o Lc según se trate3. Determinar si existe PLT (Lm>Lp ó Lc), lo que
debe hacerse en cada tramo entre arriostramientos
4. Si no existe usar tabla 15 y determinar la tensión admisible Fm
5. Si existe determinar el MAYOR valor entre tabla 17 y 18, y ese será Fm
6. Debe cumplirse que las tensiones de trabajo sean menores que las admisibles
7. Verificar la deformación vertical8. Verificar el cortante
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ESFUERZOS COMBINADOSSe dice de los elementos sometidosfundamentalmente a:
•Esfuerzos de flexión y Tracción(Flexo-tracción)
•Esfuerzos de flexión y compresión(Flexo-compresión)
El primero de los casos es menos severo yaque tiende a reducir la deflexión lateral.
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ESFUERZOS COMBINADOS
Casos más comunes:
•En marcos rígidos
•Carga excéntrica.•Cargas no aplicadas en nudos(costaneras).
•Cargas adicionales en elementos dearmaduras (instalaciones, etc.) noaplicadas en nudos.
•En vigas reticuladas el peso propio.
Carga axial y viento
Carga axial y sismo
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ESFUERZOS COMBINADOS
El esfuerzo en cualquier punto en caso deflexión lateral y carga axial se puedeobtener con la expresión:
Valor aproximado, pues no incluye efectosde deflexiones laterales crecientes.
Ic*M
APf ±=
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Esto quiere decir :
M
ESFUERZOS COMBINADOS
d
DM = P * d
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ESFUERZOS COMBINADOS
Ya que la flexión puede producirse en unplano distinto de X e Y provoca por lo tantoflexión c/r a X e Y (caso pilar en esquina),entonces usualmente:
y
y
x
x
Ix*M
Iy*M
APf ±±=
Estos esfuerzos de trabajo pueden ser muyfáciles de determinar, sin embargo lospermisibles son más complicados dedefinir.
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ESFUERZOS COMBINADOS
Generalmente los códigos de diseñoaceptan una combinación de los esfuerzospermisibles individuales.
Estas ecuaciones se llaman de interacción.
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ESFUERZOS COMBINADOS
La interacción típica es:
1Ff
Ff
Ff
by
by
bx
bx
a
a ≤++
fa = Esfuerzo de Trabajo axial.
Fa = Esfuerzo Admisible axial.
fb = Esfuerzo de flexión c/r a (X,Y).
Fb = Esfuerzo Admisible de flexión c/r a (X,Y).
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ESFUERZOS COMBINADOS
Si consideramos ahora la deflexión lateralcreciente originada por P resulta este factorde amplificación del esfuerzo flector:
1)(
F'f1
1
e
a
>
−
Tensión admisible de Euler
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ESFUERZOS COMBINADOS
Como en algunos casos este factorsobredimensionaría en exceso a loselementos el código para ASD propone encoeficiente de reducción del esfuerzo.
e'Ffψ1C a
m +=
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ESFUERZOS COMBINADOS
1.- Partes de marcos , cuya rigidez lateraldepende de las rigideces a flexión desus miembros. Estos miembros estánsometidos a traslación de sus nudos oladeo.
∴ Cm = 0,85
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ESFUERZOS COMBINADOS
2.- Miembros restringidos contra rotación y traslación de sus nudos o ladeo impedido y sin cargas transversales en sus extremos.
M1 y M2 momentos en extremos |M1|<|M2|
0MMy
0
2
1
2
1
>
<MM Si hay curvatura simple
Si hay curvatura doble
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ESFUERZOS COMBINADOS
3.- Miembros sometidos a carga transversalentre sus nudos y arriostrado contratraslación de los mismos en el planode carga.
Cm
0,85 extremos restringidos
1,0 extremos no restringidos
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ESFUERZOS COMBINADOS
TABLA 36FLEXION COMPUESTA EN PERFILES CON 2 EJES DE SIMETRIA
CONDICION FORMULAS DE INTERACCIONA.
15,0>Fc
c
Ff
15,0≤Fc
c
FfB.
1.
2.
1**11
≤++
−
− mcy
mcy
Ff
Cf
mcx
mcx
Ff
CfF
c
c
Ff
Ff
Ff
Ecy
c
y
Ecx
c
x
1≤++mcy
mcy
mcx
mcxF
co
t
Ff
Ff
Ff
1≤++mcy
mcy
mcx
mcxF
c
c
Ff
Ff
Ff
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EJERCICIO FLEXION
L=8,0 m a=2,0 m
P= 6 ton
q= 1 t/m
DISEÑAR VIGA CON IN en calidad A 240 ES, para una deformación máxima admisible de L/360
x=4,0 m
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SOLICITACIONES:
Momento flector:
Caso P :
-
aPM *=
Caso q :
LxaPM x
**−=
)*(*2* 22 LxaL
LxqM x −−=
2
2aqM =
A Bx
-
+
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MOMENTO FLECTOR EN EL TRAMO
Aplicando valores en fórmulas 26 y 24
800*200*6000 xM P
x −= = xM Px 1500−=
)800*200800(800*2*10 22 xxM q
x −−= =253750 xxM q
x −=
252250 xxMM qPxx −== +
+
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Valores Máximos de Momento flector
xd
dM
x
x 102250−=
Mmáx = en x=225 cms V=0
KgcmMM qP 125.253225225 == +
¡ Confeccionar tabla de Momentos en lugares claves !
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X (cm) Mx (kgcm)
0 0
100 175.000
200 250.000
225 253.125
300 225.000
400 100.000
450 0
500 -125.000
600 - 450.000
700 -875.000
800 -1.400.000
100 -650.000
200 0
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CORTANTE
Caso P
-
+
LaPV =1
PV =2
qaV =2Caso q
-++
)(2
221 aL
LqV −=
)(2
223 aL
LqV +=
)1(2 2
2
0 LaLx −=
¡ Determinar valores del cortante en los apoyos y en puntos claves !
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X (cm) Vx (kg)
0 2.250
100 1.250
200 250
300 -750
400 -1.750
500 -2.750
600 -3.750
700 -4.750
800i -5.750
800d 8.000
100 7.000
200 6.000-7000
-5000
-3000
-1000
1000
3000
5000
7000
9000
0100
200300
400500
600700
800800
100200
V
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VALORIZACIÓN DE LA DEFORMACIÓN VERTICAL
En el tramo:
Caso carga q: )222(24
22223224 xaLaLxxLLEILqxq
x +−+−=∆
Caso carga P: )(6
22 xLEIL
PaxPx −−=∆
Reemplazando y sumando valores:
cmLEI
xxxqPx 22,2
360125450010*2,3 438
=≤+−
=∆ +
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x Dx * Ix
0 0100 1.143,8200 1.470,6300 612,8
337,2 0,5400 -1.307,2500 -3.676,5600 -5.392,2635 -5558,2700 -4.861,1800 0
E=2,04*10^6
VALIDO PARA EL TRAMO
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DEFORMACION TOTAL EN EL TRAMO:
cmLI X
qPx 22,2
3602,558.5 =≤−=∆ +
47,503.222,2
2,558.5 cmI X =−≥
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En el voladizo:
Deformación provocada por q, en la punta ( x=a):
)43(24
323 LLaaEI
qaqx −+=∆
Deformación provocada por P, en la punta ( x=a):
)(3
2
LaEI
PaPx +=∆
Reemplazando valores y sumando
cmaI X
qPx 56,0
3607,215.399,705.14
=≤+−
=∆ +
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DEFORMACION TOTAL EN EL VOLADIZO:
cmI X
qPx 56,08,509.24
≤=∆ +
45,767.43 cmI x ≥
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DISEÑO POR TENSIONES:
mm Ff ≤
fx
FW
M 5,0max ≤
1200000.400.1≤
xW
37,166.1 cmWx ≥
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RESUMEN DE REQUERIMIENTOS:
DE MOMENTO DE INERCIA: (en el voladizo)45,767.43 cmI x ≥
DE MÓDULO DE SECCIÓN:37,166.1 cmWx ≥ (en el apoyo B)
Si la altura de la viga está limitada a 40 cm, entonces la SECCION QUE SE PROPONE es:
IN 40x111Propiedades de la sección:
H 40 cmB 30 cm
e 20 mm
t 6 mm
Ix 45.700 cm4
Wx 2.280 cm3
ia 8,88 cm
it 1,50 cm
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VERIFICACION SECCION PROPUESTA:
1.- CLASIFICACION DE LA SECCIÓN:ELEMENTO ANCHO O
ALTOESPESOR ESBELTEZ LIMITE
ALA 150 20 7,5 8,8
ALMA 400 6 66,7 70,4
Por lo tanto se trata de una sección plástica
2.- LONGITUD ENTRE ARRIOSTRAMIENTOS:
Considerar cada tramo, así:
a.- Tramo A-A’: Lm= 400 cms M1= 0 Kcm M2= 100.000 kcm
y M(225) =253125 Ka= Kt =1
Lp=393 cms (menor valor entre 13,1B= 393 cm y 571it= 856,5 cm)
Lm>Lp Existe P.L.T. ir a Fmc (Alabeo y Torsión)
28/06/2012 Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso. 66
b.- Tramo A’-B: Lm= 400 cms M1= 100.000 Kcm M2= -1.400.000 kcm
Cm=1,827 Ka=0,740 y Kt =0,547
Lp=393 cms (menor valor entre 13,1B= 393 cm y 571it= 856,5 cm)
Lm>Lp Existe P.L.T. ir a Fmc (Alabeo y Torsión)
c.- Tramo B-C: Lm= 200 cms M1= 0 Kcm M2= -1.400.000 kcm
Cm=1,75 Ka=0,756 y Kt =0,571
Lp=393 cms (menor valor entre 13,1B= 393 cm y 571it= 856,5 cm)
Lm<Lp No Existe P.L.T. ir a Fm
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3.- TENSIONES DE FLEXIÓN EN CADA TRAMO:
TRAMO
A-A’ 110,8 45,0 0,34 266,7 1.440 1.440 1.440
A’-B 612,7 33,3 0,25 145,9 1.440 1.440 1.440
B-C 612,7 1.584
AmcF T
mcF mFmf aλ e
aC
λtλ
48,130=eC 6,56065,0=
fFE
4.- DEFORMACIÓN VERTICAL:En el tramo:
En el voladizo :
cmx 22,212,0700.45
2,558.5<=
−=∆
cmx 56,054,0700.45
8,509.24<==∆
Ok deformación
28/06/2012 Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso. 68
4.- TENSIONES DE CORTE:
V MÁXIMO EN APOYO B = 8.000 kgs
Verificación del Pandeo vertical del alma
9,65606
20*2400<=
−=
th
Fv= 0,4*2400 = 960 kg/cm2
9604,3706,0*)2*240(
000.8<=
−=vf Kg/cm2 ok
28/06/2012 Esc.Ing.Construcción-Universidad de Valparaíso. 69
Recomendación hacer tabla que incluya:
TRAMO
M1 M2 Mm Lm Cm Ka Kt Lp PLT λaλa/ Ce λt
Fmc
(A)
Fmc
(T)Fm fm St
A-A’
A’-B
B-C