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DINÁMICA DE ESTRUCTURASCON CEINCI-LAB
DR. ROBERTO AGUIAR
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CAPITULO I
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
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EQUILIBRIO ESTÁTICO
FR = k*d
k
P.I.
d P.E.E.m
M*g
(1) (2)
SF = 0m*g = k*d
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ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
SF = 0
P.E.E.
(3)
m
c
𝑞0 , �̇�0
K*(q+ )d
m
m*g
F A=c∗q̇
m∗ q̈
(4)
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VIBRACIÓN LIBRE
𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝟎Definiciones:
W n=√ km T=
2 πW n
ξ=c
2√𝑚∗𝑘
Al dividir para “m”
�̈�+𝒄𝒎∗�̇�+
𝒌𝒎∗𝐪=𝟎 c
m= c∗2√m∗ k
2√m∗ k∗m=2 ξ W n
�̈�+𝟐𝛏𝐖𝐧∗�̇�+𝐖𝐧𝟐∗𝐪=𝟎
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
�̈�+𝟐𝛏𝐖𝐧∗�̇�+𝐖𝐧𝟐∗𝐪=𝟎
q (t )=a∗𝑒𝜆 . 𝑡
𝜆=−𝜉𝑊 𝑛±𝑊 𝑛√𝜉 2−1
• Vibración Libre sin Amortiguamiento = 0x• Vibración Libre Sub Amortiguada 0 x 1• Vibración Libre Sobre Amortiguada x 1• Vibración Libre Críticamente Amortiguada = 1x
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VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO𝐪 (𝐭 )=𝐀𝐂𝐨𝐬 (𝑾𝒏∗𝒕 )+𝑩𝑺𝒆𝒏 (𝑾𝒏∗𝒕 )
q (t )=𝐶∗𝑆𝑒𝑛 (𝑊 𝑛∗𝑡+𝛾 )
𝛾=𝑡𝑔−1 𝐵𝐴𝐶=√ 𝐴2+𝐵2
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VIBRACIÓN LIBRE SUB AMORTIGUADA
q (t )=𝑒−𝜉𝑊 𝑛 𝑡 [ 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑊 𝑎𝑡 )+𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑊𝑎 𝑡 ) ]Primera forma:
q (t )=𝑒𝑥𝑝 (−𝜉𝑊𝑛𝑡 ) [𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑊𝑎 𝑡 )+𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑊 𝑎𝑡 ) ]Segunda forma:
q (t )=𝐶𝑒𝑥𝑝 (−𝜉𝑊𝑛𝑡 ) [𝑠𝑒𝑛 (−𝜉𝑊 𝑎𝑡 ) ] 𝐶=√ 𝐴2+𝐵2
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VIBRACIÓN LIBRE SOBRE AMORTIGUADA
𝐪 (𝐭 )=𝑨𝒆𝒙𝒑 [(−𝝃𝑾𝒏+𝑾𝒏√𝝃 𝟐−𝟏) 𝒕 ]+𝑩𝒆𝒙𝒑 [(−𝝃𝑾𝒏+𝑾𝒏√𝝃𝟐−𝟏 )𝒕 ]
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VIBRACIÓN LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA
𝐪 (𝐭 )=(𝑨𝒕+𝑩 )𝒆𝒙𝒑 (−𝑾 𝒏𝒕 )
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FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO x
Δ𝜉=1
2𝜋𝑛𝑙𝑛( 𝑞 (𝑡 )
𝑞 (𝑡+𝑛𝑇𝑎 ) )Δ𝜉=
𝜉
√1−𝜉 2
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MATERIAL Y/O SISTEMA ESTRUTURAL
NIVEL DE ESFUERZOS O DEFORMACIONES x (%)
Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1
Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente
Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 1 a 2
Cercanos a sy, sin excederlo 2 a 3
Sistemas estructurales de acero soldado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a sy, sin excederlo 5 a 6
Concreto Pretensado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a estados últimos, sin perdida de pretensión. 5 a 7
Sin pretensión residual 7 a 10
Sistemas estructurales de Hormigón Armado
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5
Cercanos a estados últimos 7 a 10
Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 5 a 6
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12
Sistemas estructurales de madera, con elementos clavados o apernados
Esfuerzos admisibles 5 a 7
Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15
Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20
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VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝑭 𝟎𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕
𝑓 (𝑡)=𝐹 0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
m
c
q(t)
k
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VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
𝐪 (𝐭 )=𝒒𝒉 (𝒕 )+𝒒𝒑 (𝒕 )Homogénea:
m∗ q̈h+c∗ q̇h+k∗𝑞h=0Particular:
m∗ q̈𝑝+c∗ q̇𝑝+k∗𝑞𝑝=𝐹 0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑞𝑝=𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
A=𝐹0 (𝑘−𝑚𝜔2 )
(𝑘−𝑚𝜔2 )2+(𝑐𝜔 )2
Despreciando :
B=−𝑐𝜔𝐹 0
(𝑘−𝑚𝜔2)2+(𝑐𝜔 )2
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VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
XB
A
g
A = X cos g
B = X sen g
𝑞𝑝=𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑞𝑝=𝑋∗𝑐𝑜𝑠𝛾∗𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝑋∗𝑠𝑒𝑛𝛾∗𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑞𝑝=𝑋∗𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝛾)
𝑋=√𝐴2+𝐵2 𝑋=𝐹 0
√ (𝑘−𝑚𝜔2 )2+(𝑐𝜔 )2
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
9,59m
21,49 m
CM
1 2 3 4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
5m5m
5m5m
5m5m
5m5m
7,4m5m7,4m
35
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
Portico 1
1 15m 5m 5m 5m 5m 5m 5m 5m
3,75
3,45
3,45
3,45
1
2
3
4
5
3,45
9,59m
21,49 m
CM
1 2 3 4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
5m5m
5m5m
5m5m
5m5m
7,4m5m7,4m
35
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
9,59m
21,49 m
CM
1 2 3 4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
5m5m
5m5m
5m5m
5m5m
7,4m5m7,4m
35
5m 5m 5m 5m 5m 5m 5m
3,75
3,45
3,45
3,45
3,45
Portico 4
1
2
3
4
5
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN VERTICAL
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DESPLAZAMIENTO VERTICAL ENCONTRADO
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MODELO DE CÁLCULO
L
EI m
𝑃0∗𝑠𝑒𝑛(Ω 𝑡)
m
m
mq(t)
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𝑚�̈�+𝑘𝑞=𝐹 0𝑠𝑒𝑛Ω𝑡
𝑞=𝑞h+𝑞𝑝𝑞h=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤¿¿𝑛𝑡)+𝐵 cos (𝑤𝑛𝑡)¿
𝑞 (𝑡 )=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤¿¿𝑛𝑡)+𝐵 cos(𝑤𝑛𝑡¿)+𝐹0
(𝑘−𝑚Ω2 )𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡)¿¿
𝑘=3𝐸 𝐼𝐿3
𝐴=−𝐹 0 Ω
(𝑘−𝑚Ω2 )𝑤𝑛
𝐵=𝑞0
𝑞 (𝑡 )=−𝐹 0 Ω
(𝑘−𝑚Ω2 )𝑤𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛𝑡)+𝑞0 cos (𝑤¿¿𝑛𝑡 )+¿𝐹 0
(𝑘−𝑚Ω2 )𝑠𝑒𝑛(Ω 𝑡)¿¿
APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA
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APLICACIÓN A NERVIO
Dato Valor
Ancho y peralte del nervio
Condiciones iniciales
Longitud de nervio y masa puntual
Fuerza y Frecuencia de excitación armónica
DATOS:
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APLICACIÓN A NERVIORESULTADOS: 𝑞𝑚𝑎𝑥=
𝐿480
𝑞𝑚𝑎𝑥=1,65480
=3,44𝑚𝑚
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FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICAF0=k∗ X0Sin Amplificación:
Con Amplificación: X=α∗ X0
𝛂=𝟏
√ (𝟏−𝒓𝟐 )𝟐+(𝟐𝝃 𝒓 )𝟐
𝐅=𝐤∗𝐗
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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA
5,0 m 4,0 m
0,4/0,4 m 0,4/0,4 m
0,4/0,5 m 0,5/0,5 m 0,4/0,5 m
Po = 4,0 T/m
2,8
m
q1m
c k
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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA
SUELO 1
SUELO 2
0,4/0,4 m 0,4/0,4 m
0,4/0,5 m 0,5/0,5 m 0,4/0,5 m
Po = 4,0 T/m
4,0
m2,
0 m
6,0
m
Vs1 = 280m/s
Vs2 = 300m/s
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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICAh1
𝑉 𝑠1
+h2
𝑉 𝑠2
= 𝐻𝑉 𝑠
4280
+2
300=
6𝑉 𝑠
⟹𝑉 𝑠=286.4𝑚𝑠
𝑇 𝑠=4𝐻𝑉 𝑠
=4∗6286.4
=0.084 𝑠𝑒𝑔 . =
𝑊𝑛=√ 𝑘𝑚=√ 4388.63.673
=34.5661𝑠
𝑟=𝜔𝑊 𝑛
=74.97
34.566=2.17
𝛼=1
√ (1 −𝑟2 )2+ (2𝜉 𝑟 )2=
1
√ (1 −2.172 )2+(2∗0.05∗2.17 )2=0.28
𝜶=𝟎 .𝟐𝟖
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EXITACIONES ARBITRARIAS
𝑓 (𝑡)
m
c
q(t)
k
𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝐟 (𝒕 )
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ESCALÓN UNITARIO
-t
1
f(t)
t0
2
3
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6
𝐟 (𝒕 )=𝟏𝒕 ≥𝟎
m q̈+c q̇+kq=1
m q̈+c q̇+k (𝑞−1𝑘 )=0
Artificio: 𝑞−1𝑘=z
𝐦�̈�+𝐜 �̇�+𝐤𝐳=𝟎
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EJEMPLO DE APLICACIÓN
Fo
f(t)
t
0
t-T
Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza f(t) que se indica en la figura en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud
Solución:
𝒒 (𝒕 )=𝑭𝟎∗𝒈 (𝒕−𝑻 )
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PULSO RECTANGULAR
Fo
f(t)
t
0T
𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝑭 𝟎𝟎<𝒕<𝑻
𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝟎𝒕 ≥𝑻
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ARTIFICIO PARA RESOLVER UN PULSO RECTANGULAR
Fo
f(t)
t0
T
Fo
f(t)
t0
+
=
-Fo
f(t)
t0
𝐪 (𝐭 )=𝑭𝟎∗𝒈(𝒕)𝟎<𝒕<𝑻
𝐪 (𝐭 )=𝑭𝟎∗𝒈 (𝒕 ) −𝑭 𝟎∗𝒈 (𝒕−𝑻 ) 𝒕 ≥𝑻