CAPÍTULO 9
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES
INTRODUCCIÓN
Nos apremia, en esta parte, el medir regiones poligonales y circulares, de modo que la
correspondiente medida de la región corresponda al concepto intuitivo de cubrir o agotar
todos sus puntos; esa medida será el área de la región. Recordemos, brevemente, que el
medir un segmento consiste en utilizar otro segmento , llamado segmento unidad, y en
hallar un número real positivo a tal que = a , siendo a la medida de . Esta
metodología puede extenderse, de manera natural, a las regiones poligonales. Después,
usando las propiedades de las regiones poligonales y del límite, abordaremos el área de
algunas regiones circulares.
Consideremos, por ejemplo, una región rectangular . Esta puede cubrirse usando otra
región poligonal. Quizás la más simple, desde el punto de vista de los cálculos, sea una
región cuadrada apropiada, aunque podríamos emplear regiones triangulares, pentagonales,
hexagonales o de otro tipo. Sea una región cuadrada, usada como unidad de medida de
la región , ver Fig. 9.1.
Fig. 9.1
A manera de ejemplo, consideremos que mide 1 cm de lado y que mide 5cm de largo
por 3cm de ancho. Así, se puede descomponer en 5 × 3 = 15 subregiones cuadradas
congruentes entre sí, ver Fig. 9.2 De manera intuitiva, escribimos, en este caso, que =
15 × y, por tanto, decimos que el área de es 15 cm2, si convenimos en asignarle a la
181
unidad área 1 cm2; es decir, 1cm
2 es la unidad de área equivalente al área de una región
cuadrada de lado 1cm. De manera análoga, se habla de 1 m2, 1dm
2, 1mm
2, etc.
= (53). = 15
Fig. 9.2
Por consiguiente, desde el ámbito intuitivo, el medir una región poligonal, o lo que es lo
mismo el hallar su área, se reduce en escoger una región cuadrada y con ella cubrir o
agotar la primera región. Si = r , se dice que el área de es r, donde r es un número
real positivo. Las ideas que preceden las axiomatizamos como sigue:
9.1 ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES
A.23. AXIOMA DEL ÁREA Si Ω es la colección, en un plano α, de las regiones poligonales y sus uniones finitas, existe
una función a: Ω +, llamada área, que satisface:
1. Para toda Ω , a( ) > 0 1
2. Si 1, 2 son regiones poligonales cuya intersección es una línea poligonal o un número
finito de puntos o vacía, entonces a ( 1 2) = a ( 1) + a ( 2).
3. El área de una región rectangular de largo b y ancho h, es a ( b.h.
El axioma A.23 le asigna a cada región poligonal o a cada unión finita de éstas un número
real positivo, el cual es el área de dicha región. En la Fig. 9.3 se dan algunas
interpretaciones del axioma anterior.
1 a ( ) se lee área de .
182
Fig.9.3
Para regiones poligonales 1 y 2, si 1 2, se tiene que = ( ); lo que
permite definir, bajo estas hipótesis, a ( ) = a ( ) – a ( ). En lo que sigue, por
brevedad, hablaremos de área de un polígono para referirnos al área de la región poligonal
correspondiente. Así, por ejemplo, al decir área del hexágono queremos significar área de
la región hexagonal correspondiente. Del axioma A.23 se deduce que dos polígonos
congruentes tienen la misma área, pues del mismo axioma, aplicando las partes 2 y 3, se
concluye que dos regiones triangulares congruentes tienen la misma área, y se sabe que sus
regiones poligonales se descomponen en respectivas regiones triangulares congruentes.
También, del numeral 3, se deriva que el área de un cuadrado de lado p es p2.
TEOREMA 9.1
1. El área de un triángulo es la mitad del producto de uno de sus lados por su
correspondiente altura.
2. El área de un paralelogramo es igual al producto de uno de sus lados por su
correspondiente altura2
3. El área de un trapecio de bases B, b y altura h es ½ (B + b) h.
4. El área de un polígono regular de perímetro p y apotema a es ½ pa.
Para la demostración de 1, nos apoyamos en el numeral 3 del axioma A.23, considerando
los tres casos: el triángulo es rectángulo, el triángulo es acutángulo, el triángulo es
2 Una altura de un paralelogramo es el segmento perpendicular que une dos lados opuestos o la
longitud de éste.
a ( ) = a ( ) + a ( )
a ( ) a ( ) + a ( )
b
h
a ( ) = bh
183
obtusángulo. Para la demostración de 2, 3 y 4, hacemos uso de 1. La demostración se deja
como ejercicio.
En general, para hallar el área de un polígono irregular de más de tres lados se opta por
subdividir su región en regiones triangulares, para luego aplicar el teorema 9.1, parte 1, ver
Fig. 9.4.
Fig. 9.4
Una fórmula, útil en agrimensura y topografía, es la dada por el siguiente teorema:
TEOREMA 9.2 (Fórmula de Herón)
El área de un triángulo T de lados a, b, c y semiperímetro p es
a T p p a p b p c( ) ( )( )( )
Demostración. Ver Fig. 9.5.
a(ABC) =1
2chc
En ACD, h b nc
2 2 2
En BCD, h a c nc
2 2 2 ( )
Luego, a c n b n2 2 2 2 ( )
De lo cual, nb c a
c
2 2 2
2
Por tanto, h bb c a
cc
2 2
2 2 2 2
24
( )
hc
bc b c a bc b c ac
2
2
2 2 2 2 2 21
42 2 ( ) ( )
184
hc
a b c b c ac
2
2
2 2 2 21
4 ( ) ( )
Fig. 9.5
hc
a c b a b c b c a a b cc
2
2
1
4 ( )( )( )( )
Pero a + b + c = 2p y
a + b + c 2a = 2p 2a = 2(p a)
o sea, b + c a = 2(p a)
a + b + c 2b = 2p 2b = 2(p b)
o sea, a + c b = 2(p b)
a + b + c 2c = 2p 2c = 2(p c)
o sea, a + b c = 2(p c)
De ahí resulta: hc
p p a p b p c 2
( )( )( )
En consecuencia, a ABC p p a p b p c( ) ( )( )( ) .
Resolver ejercicios 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.6, 9.7.
9.2 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
DEFINICIÓN 9.1 El área de un círculo es el límite de la sucesión An de las áreas de
los polígonos regulares de n lados inscritos en él.
La definición anterior está basada en el siguiente hecho intuitivo: a medida que
incrementamos el número de lados, el polígono regular inscrito de n lados correspondiente
tiende a confundirse con la circunferencia circunscrita y, por tanto, las regiones poligonales
inscritas se aproximan a la región circular que las contiene.
185
TEOREMA 9.3
El área de un círculo de radio r es r2.
Demostración. Sean En la región poligonal del polígono regular inscrito de n lados en un
círculo P de radio r, perímetro pn y apotema an. Por la definición 9.1 y por el teorema
9.1, numeral 4, se tiene:
a P lim p an n n( )
1
2
Pero, del cap. 8, lim pn n
(longitud de la circunferencia) y lim a rn n
. Por tanto,
a P lim p a r r rn n n( )
1
2
1
22 2 .
DEFINICIÓN 9.2 (Sector circular)
1) Un sector circular es el conjunto de puntos de un círculo que están en la región angular
cerrada de uno de sus ángulos centrales. Ver Fig.9.6.
2) El área de un sector circular de ángulo de medida un grado es la 360 - ava parte del
área del círculo correspondiente.
Un sector circular está caracterizado por un centro, un radio, un ángulo y un arco. El
centro y el radio son los del círculo que lo incluye, el ángulo y el arco son el ángulo central
y el arco de círculo que lo definen. La medida del ángulo se llama amplitud del sector
circular. Ver Fig.9.6.
Fig. 9.6
186
TEOREMA 9.4
1. El área de un sector circular K de amplitud n y radio r es a (K) =
.
2. El área de un sector circular K de radio r y longitud de arco s es a (K) =
3. El área de un sector circular K de radio r y amplitud radianes es a (K) =
La demostración de 1, se deduce de la definición 9.2; la de 2, se deriva de 1 y de que la
longitud de un arco de amplitud un grado es la 360 - ava parte de la longitud de la
circunferencia; finalmente, la de 3, se concluye de la definición de radián, dada en cap. 8.
PROBLEMA 9.1 En Fig. 9.7, ¿dónde debe colocarse el punto E para que a (ABE) sea
igual a la mitad del área de los tres cuadrado? Calcular, además, GF.
Fig. 9.7
SOLUCIÓN Tomando como unidad el área de uno de los cuadrados, se tiene:
a(ABE) = 32
o 2
23
2BE
BE 32 , lo que da la ubicación de E.
De otro lado, AGF ABE. De esto podemos escribir:
GF
BE
1
2
GF3
2
1
2
GF 34.
PROBLEMA 9.2 Una columna tiene como sección una región octogonal regular hueca.
Si la distancia entre los lados paralelos del octógono correspondiente es 30cm y el diámetro
del hueco es 25cm, ¿qué carga total puede soportar la columna hueca sometida a una
presión de 3Kgr/mm2 de sección?
187
SOLUCIÓN Ver Fig. 9.8. Sean K la región octogonal, K’ la región circular y L la región
rayada, entonces:
a(L) = a(K) a(K’).
a(K) =
a8.
a(K’) = ( cm2 = 15.625 mm
2.
.
Fig. 9.8
Sea r el radio del octógono. El lado y la apotema de éste vienen dados por
ℓ8 = r √ √ , ver cap.8.
a8 =
r √ √ ,
Pero a8 = 15. Así, r =
√ √ = 15 √ √
Es decir, ℓ8 = √ √ √ √ = 30(√ - 1), y p8 = 8 ℓ8 = 240 (√ - 1).
O sea, a (K) = 180.000 (√ - 1) mm 2.
Luego, a L mm( ) [ . ( ) . ] , 180 000 2 1 15625 2
En consecuencia, la carga total que puede soportar la columna es de
Q Kgr 3 180 000 2 1 15625[ . ( ) . ] ,
188
que aproximadamente son 76,41 Toneladas.
PROBLEMA 9.3 En un sector circular se inscribe un círculo. Calcular el área de éste, en
función del radio y de la cuerda de aquél.
SOLUCIÓN Ver Fig. 9.9. En ésta AB es la cuerda del sector circular, R es su radio y r es
el radio del círculo inscrito.
Fig. 9.9
Sean K el círculo de radio r y AB = a. Pero A(K) = y OEP AOD . La semejanza
implica:
O sea,
Por tanto, r =
y, así, A(K) =
(
Resolver ejercicios 9.5, 9.8, 9.9, 9.10.
189
EJERCICIOS
9.1Demostrar teoremas 9.1 y 9.3.
9.2 a) Interpretar geométricamente, en términos de área, los productos de números reales
ab, ½ (a + b) c, ½ ab y el teorema de Pitágoras.
b) Demostrar geométricamente, aplicando la teoría de áreas, que (a + b)2 = a
2 + 2ab +
b2 y a. (b + c) = ab + ac.
9.3 Demostrar:
a) El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.
b) En dos triángulos semejantes la razón de sus áreas es igual a la razón entre los cuadrados
de dos lados homólogos.
c) Si An es el área del polígono regular inscrito de n lados en una circunferencia de radio r,
entonces, A r3
23
43 , A r4
22 , Ar
6
23
23 , A r8
22 2 , A r12
23 .
9.4 Con base en la Fig. 9.10, aplicando la teoría de áreas, demuestre el teorema de
Pitágoras: c2 =a
2 + b
2.
Fig. 9.10
Fig. 9.11
190
9.5 En Fig. 9.11, calcular el área de las regiones sombreadas (los arcos que aparecen son
arcos de circunferencia).
9.6 Si sobre cada lado de un hexágono regular de radio r se construye un cuadrado exterior,
los vértices libres de dichos cuadrados definen un dodecágono regular de radio R.
Calcular el área del dodecágono en función de r.
9.7 Un terreno tiene la forma de un cuadrilátero de vértices consecutivos A, B, C y D. Si
AB = 6.30m, BC = 6.80m, CD = 9m, DA = 9.10m y BD = 12.10m, calcular su área.
9.8 En Fig. 9.12, demostrar que a (T) = a (L1) + a (L2).
Fig. 9.12
9.9 En Fig. 9.13, el cuadrado exterior es una hoja de papel de área A, cuyas puntas se han
doblado hasta formar el cuadrado interior. Calcular a y b si el área del cuadrado
interior es la enésima parte de A. (La respuesta debe darse en función de A y n.)
Fig. 9.13
9.10 En Fig. 9.14, demostrar que a (PQR) = 1
12a (ABC), si P y Q son puntos medios
de AC y AB , respectivamente.
191
Fig.9.14
192
LA CANCIÓN DE LA VIDA PROFUNDA
"El hombre es cosa vana, variable y ondeante.....". Montaigne
Hay días en que somos tan móviles, tan móviles, como las leves briznas al viento y al azar...
Tal vez bajo otro cielo la gloria nos sonría... La vida es clara, undívaga y abierta como un mar.
Y hay días en que somos tan fértiles, tan fértiles, como en Abril el campo, que tiembla de pasión:
bajo el influjo próvido de espirituales lluvias, el alma está brotando florestas de ilusión.
Y hay días en que somos tan sórdidos, tan sórdidos, como la entraña oscura de oscuro pedernal:
la noche nos sorprende, con sus profusas lámparas, en rútilas monedas tasando el Bien y el Mal.
Y hay días en que somos tan plácidos, tan plácidos... -¡Niñez en el crepúsculo! ¡Laguna de zafir!-
que un verso, un trino, un monte, un pájaro que cruza, ¡y hasta las propias penas!, nos hacen sonreír...
Y hay días en que somos tan lúbricos, tan lúbricos, que nos depara en vano su carne la mujer: tras de ceñir un talle y acariciar un seno,
la redondez de un fruto nos vuelve a estremecer.
Y hay días que somos tan lúgubres, tan lúgubres, como en las noches lúgubres el llanto del pinar. El alma gime entonces bajo el dolor del mundo,
y acaso ni Dios mismo nos puede consolar.
Mas hay también ¡oh Tierra! un día... un día... un día... en que levamos anclas para jamás volver;
un día en que discurren vientos ineluctables... ¡Un día en que ya nadie nos puede retener!
Porfirio Barba Jacob Poeta colombiano
193
ROMANCE DE LA NIÑA AUSENTE
Fue en esta tierra valluna, cantar de sol y payhuaro,
que desgrané mis romances al pie del Ande nevado,
cuando surgió en mi camino, sobre los surcos preñados, aquella Niña de ensueños, ¡aurora y flor de mi pago!, que deslumbró mis pupilas y puso miel en mis labios,
embelleciendo mi vida como un paisaje serrano.
Por ella me hice poeta,
y amé en sus ojos sombreados, la lumbre de las auroras
y el vuelo azul de los astros, que cantan al Ser Supremo,
bajo el fanal del espacio.
Fue nuestro amor un idilio de tierra ardiente y riacho, que floreció en el arrullo
de los huiliches montanos, cuando mis manos sedientas de eternidad, destrenzaron
el oro de los trigales, sobre sus hombros de nardo.
Sentí en su cuerpo de mies calor de predio sembrado,
piar de nido en su boca, amor de madre, en sus brazos,
y acariciando en las lunas el fruto recién logrado, canté a mi valle nativo
con voz de gleba y charango.
Canté la agreste belleza de los paisajes serranos,
la espuma de los torrentes, la sierra parda y el llano; la nieve de las montañas
194
y el latigazo del rayo que incendia los horizontes
en fulgurar de topacios.
Canté las fiestas aldeanas y las faenas del agro,
donde los rudos labriegos encallecieron sus manos,
agavillando en las eras la mies cuajada de granos,
que salpicó en las quebradas el trino de los chihuacos.
Canté a las mozas de Colpa
y a los varones de Ciaco, que medran en los breñales como las plantas de cacto,
sorbiendo el cielo en sus ojos y la poesía en sus labios.
Canté la vida del ayllu,
¡himnos de sol y trabajo! que arracimó las estrellas en el clarín de los gallos.
Y hundí mis pies en los surcos
como las raíces de un taco, para absorber en su médula el alma del pueblo indiano,
que floreció en el ramaje de las cantutas del Lago.
En fin, canté los crepúsculos,
el cielo azul, el regato, la lumbre de la encañada
y el canto en flor de los pájaros; porque en mis venas bullía la sangre de mi terrazgo, y el madrigal de ternura
que me brindaron los labios de aquella Niña de ensueños,
¡aurora y flor de mi pago!
Pero no quiso el destino que continuase cantando,
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y vi quebrarse su imagen en el cristal del remanso.
La vida se me hizo triste,
sentí el vacío en mis brazos, dolor de ausencia en mis ojos,
sabor de hiel en mis labios.
Y anonadado y doliente quedó mi ser meditando
en las miserias del hombre, ¡polvo de luz y de átomo!
que hizo inmortal el espíritu, en el dolor del arcano.
La larva del pensamiento
rasgó el capullo en mi cráneo y abrió sus alas de angustia
sobre el idílico tálamo, donde ya nunca la amada
me estrecharía en sus brazos, acariciando mi frente
donde los sueños anidaron.
¡Ay!, qué recuerdos evoca la vieja casa del rancho,
donde mi vida fue un sueño desvanecido en sus manos, y el canto de las alondras
segó su nombre en mis labios.
Y desde entonces, sin rumbo, sin fe, ni amor, por los campos,
huyendo voy de mí mismo como una sombra sin llanto.
Javier del Granado
Poeta boliviano