Download - Capítulo 3 Sistemas Dinamicos
Capítulo 3
Sistemas Mecánicos II
3.1 Inercia y Rigidez concentradas
de elementos flexibles
3.2 Respuesta natural de sistemas flexibles
con un grado de libertad (DOF)
Inercia
Rigidez
3.3 Sistemas mecánicos con múltiples
grados de libertad
Grados de libertad (DOF)
Respuesta Natural
Respuesta forzada con Simulink
Mecanismo Flexible
Parámetros concentrados de elementos flexibles
Viga en flexión
Inercia y rigidez distribuidas
Barra en torsion
Inercia y rigidez concentradas
Eje
mp
lo:
mie
mb
ro f
ijo-l
ibre
Inercia concentrada de elementos flexibles
Inercia distribuida
l
me
l
me
l/2
l
Je
l
l/2
Je
l
Cantilever (fixed-free beam)
l
Fixed-guided beam
l
Bridge (fixed-fixed beam)
l
Fixed-free bar
l
Fixed-fixed bar
33
140em m
13
35em m
1
3eJ J
Vig
as
Ba
rras
Inercia equivalente
Inercia concentrada de elementos flexibles
Apéndice D
Momento de inercia mecánico de un cilindro de masa m, radio R,
longitud l, y densidad de masa ρ con respecto a su eje de simetría es:
Momento de inercia mecánico de un prisma es:
Ejemplo 3.1 Calcule momento de inercia equivalente en términos de:
• rotación en eje x
• rotación en eje y Placa rígida Miembro flexible
2 2 4 4, 2 2
, ,
12 2
3 12 3 32 12 4
b x
e x p x
abh a hJ l d ldJ J abh a h
Placa Barra en torsión Rotación en el eje x
2 2 2 22 2 2 2
, , ,
13 132 2
2 12 35 4 4 4 3 70e y p y e y
abh b h ah b hb d b b lbdJ J m l
Placa Viga en flexión Rotación en el eje y
Inercia concentrada de elementos flexibles
Rigidez distribuida Rigidez equivalente
l
Fixed-guided beam
l
Bridge (fixed-fixed beam)
l
Fixed-free bar
l
Fixed-fixed bar
l
Cantilever (fixed-free beam)
l
ke
l
l/2
ke
l
ke
l
ke ke
Vig
as
Bara
s
3
3e
EIk
l
3
12e
EIk
l
3
192e
EIk
l
te
GIk
l
2 te
GIk
l
Módulo de Young
Momento
de inercia
de área
Módulo de corte
Momento
de inercia
de torsión
Rigidez concentrada de elementos flexibles
Rigidez concentrada de elementos flexibles
Apéndice D
El momento de inercia de area de un cilindro de
diámetro d es:
Para sección transversal rectangular (w x h):
Ejemplo Calcule rigidez equivalente del resorte serpentina en términos de:
• traslación a lo largo del eje x
Resorte real Resorte serpentina Modelo equivalente
,
1 2 1
e s s lk k k
33 3
312 ; 12
22
y y y
s l
EI EI EIk k
l ll
, , 3
122
5
y
e e p e s
EIk k k
l
ks – rigidez de viga corta
kl – rigidez de viga larga
Vea Ejemplo 3.2
Rigidez concentrada de elementos flexibles
Una
serpentina:
Usando tabla
de
conversiones:
Combinación en paralelo total:
Respuesta Natural de Sistemas Mecánicos flexibles de
un DOF (Degree Of Freedom)
Ejemplo 3.4
Microacelerómetro
MEMS
Rigidez equivalente del dispositivo:
Las vigas son “fija-guiada”, por lo que:
E: Módulo de
Young
I: Momento de
inercia de área
Microacelerómetro
Ejemplo 3.4
masa equivalente:
masa equivalente de las vigas largas
frecuencia natural:
frecuencia natural sin
incluir las contribuciones
de inercia de los resortes:
error al no considerar la
inercia de los resortes:
Sistemas flexibles de un DOF: respuesta natural
Detección de masa en MEMS por cambio de frecuencia
Sistema sin partícula ω en
e
k
m
*ω en
e p
k
m m
Sistema con partícula
Viga real Modelo de parámetros concentrados
Uso de frecuencias naturales de flexión o torsión de vigas o puentes micro/nano para evaluar la cantidad o posición de masa depositada en un punto
2
ω Δω
ep e
n n
km m
*Δω ω ωn n n
Ejemplo
Parámetros concentrados
flexión
,
2ω b
n b
k
m
*
,
2ω b
n b
p
k
m m
,
2ω t
n t
k
J
22 2
,
2*
,
11
2 3
n t
p n t
whl w hb
m
Calcule
• Masa adherida mp
• posición b
*
,
2ω t
n t
p
k
J J
Se conoce:
• frecuencias
• Parámetros y
geometría de
materiales
Parámetros concentrados
torsión
2 2
12
mJ w h
Ver
Ejemplo 3.5
Sistemas flexibles de un DOF: respuesta natural
Detección de masa en MEMS por cambio de frecuencia
Sistemas Mecánicos: grados de libertad (DOF)
Grados de libertad (DOF) Mínimo número de parámetros que definen completamente la
configuración (estado) de un sistema
Ejemplos
Sistema de un-DOF Sistema de dos-DOF
x
y
z
x1, y1, z1
x2, y2, z2
l
Dos partículas en espacio 3-D
2 2 2
1 2 1 2 1 2l x x y y z z
# DOF aparentes = 6
# restricciones = 1
# DOF = 6 – 1 = 5 # DOF = # DOF aparentes – # restricciones
Regla para establecer # DOF
Ejemplo con restricciones
DOF aparentes = φ, θ, y, x1, x2 # DOF aparentes = 5
Restricciones
2
2 1 2
1 1
1
θ
θ
2 θ
x l
x R R
x R
y R
# restricciones = 4
# DOF = 5 – 4 = 1
Ver ejemplo 3.6
Sistemas Mecánicos: grados de libertad (DOF)
𝐴 = 𝜋𝑟2
Sistemas Mecánicos: Método de la Energía
Energía Potencial Gravitacional
𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ
Método de la Energía
Energía total constante gE T U U 0e g
dE dT U U
dt dt
Energía cinética
Energía potencial elástica
Energía potencial gravitacional
Modelo Matemático
Sistemas Mecánicos: Método de la Energía
𝐴 = 𝜋𝑟2
Sistemas Mecánicos: Método de la Energía
Ejemplo 3.7
Sistemas Mecánicos: Método de la Energía
Ejemplo 3.7 Energía cinética del sistema:
Teorema del coseno:
También conocemos que:
La energía cinética queda así:
La energía potencial total es:
La derivada de la
energía total:
Esta ecuación sólo puede ser
válida cuando se cumple: Modelo matemático
del sistema
Energía Total del sistema:
Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque Analítico
Ejemplo 3.8 Calcule las frecuencias naturales y determine los modos
Derivada:
Solución no trivial
(Modelo matemático):
Ecuación característica
Frecuencias naturales
1 1 1 1 1 2
2 2 1 1 1 2 2
0
0
J k k
J k k k
1 1
2 2
θ Θ sin ω
θ Θ sin ω
t
t
2
1 1 1 1 2
2
1 1 2 1 2 2
ω Θ Θ 0
Θ ω Θ 0
J k k
k J k k
2
1 1 1
2
1 2 1 2
ω0
ω
J k k
k J k k
21
2
22
2
2 3
2 3
n
n
k
J
k
J
1
2
2
1 2 21 11 11 2
2 21 1 1 1 2
2
2 2 21 12 12 2
2 22 2 1 1 2
3 1
2 3 1
3 1
2 3 1
n
n
n
n
n
n
J kkr
J k k
J kkr
J k k
1 2ω ω
1 1
;3 1 3 1
1 1n n
V V
Modos (eigenvectors)
11 1
21 1
1θ sin ω
3 1
θ sin ω
n
n
t
t
12 2
22 2
1θ sin ω
3 1
θ sin ω
n
n
t
t
Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque Analítico
Ejemplo 3.8 (Continuación)
Movimiento Modal 1 Movimiento Modal 2
Gráfico de los movimientos modales:
Ver MATLAB/Ejemplo 3.8
Ejemplo
Matriz de inercia
θ θ 0M K
1 1 1
2 1 1 2
0;
0
J k kM K
J k k k
Matriz de rigidez
1 2θ θ θt
Vector de coordenadas
(desplazamiento)
θ Θ sin ωt
Modelo matemático
2ω Θ Θ sin ω 0M K t 2ω Θ Θ 0M K 1 2Θ ω ΘM K
λ Θ 0D I
2
1
λ ω
D M K
det λ 0D I
Ecuación característica
1 2ω , ωn n
Matriz dinámica
Valor propio
Vea Ejemplo 3.9
Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque con MATLAB: Matriz dinámica y problema de valores propios
Ver MATLAB/Ejemplo 3.9
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
Ejemplo
Segunda ley de Newton
Modelo matemático
Modelo de parámetros concentrados Modelo físico
1 1
2 2
2
2
e e
e e
mx f f f
mx f f
1 1 1 1 2 2 2 2; ;e e ef k x f k x x f k x
11 1 2
1 1 1
22 1 2
2 2
1k k kx x x f
m m m
k kkx x x
m m
1 11 1 12 2
1
2 21 1 22 2
1x a x a x f
m
x a x a x
Diagramas de
cuerpo libre
Modelo matemático
para Simulink
0.0052 tf e N Grafique
desplazamientos Parámetros de materiales y geométricos Conocidos
Ver Ejemplo 3.10
Ejemplo (continuación) Gráficos en MATLAB
Modelo en Simulink
Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink
1 11 1 12 2
1
2 21 1 22 2
1x a x a x f
m
x a x a x
Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 3.10 Resultados: MATLAB/Ejemplo 3.10
Problemas Capítulo 3
Problema 3.2
Problema 3.5
Problema 3.8
Problema 3.12