Con frecuencia se tiene la idea de que las mate-
máticas no son agradables y que se hicieron solo
para los más inteligentes. Por otro lado, creo que
como matemáticos no consideramos la importancia didác-
tica que puede tener la historia de la disciplina; sin embar-
go, el tiempo, la práctica y la experiencia nos dejan ver que
es por medio del desarrollo histórico de las matemáticas
que podemos explicarnos algunos de sus conceptos más
complicados. ¿Qué tienen que ver Dios, el cielo, el infinito,
Buzz Lightyear y cierto conjunto de números? Pues bien,
déjame contarte una gran historia.
-No sé qué es eso y no me interesa -fue una de las respuestas que encontré al intentar platicar sobre los números transfinitos. Antes de llegar a este punto pregunté sobre el infinito y estas fueron algunas respuestas:
-El cielo es infinito.
-Dios es infinito –dijo una segunda voz.
-Podemos contar 1, 2, 3 y así hasta infinito –terció alguien.
-“Al infinito y más allá” dice un conocido personaje de películas infantiles –mencionó otra persona.
Verónica González Meza
Cantor: el hombre que le habló de tú al infinito
¡Ay la culebra!Hace 3000 años se conocía en algunas culturas a una
serpiente de nombre Uróboros, palabra que significa
“alimento”. Pero si estas pensando que se llamaba así
porque formaba parte de la alimentación de esos pue-
blos te equivocas, pues su nombre se debe a que ella
era su propio alimento. ¡Así es! Uno de los muchos mi-
tos que se conocen acerca de esta serpiente relata que
los dioses usaron sus poderes adivinatorios y vieron las
terribles cosas que dicho monstruo haría, de tal suer-
te que decidieron deshacerse de ella arrojándola al mar
donde quedaría atrapada hasta el fin de los días; así,
creció tanto que su cuerpo alcanzo a rodear el mundo
y sus dientes mordieron su cola. Los alquimistas (véase
recuadro 1) pintaban a esta serpiente con colores verde
y rojo; el color verde se asocia con el principio mientras
que el rojo simbolizaba finalización.
La serpiente Uróboros representa la personifi-
cación de fenómenos naturales subiendo hasta cierta
altura y cayendo bruscamente, para volver a empezar,
simbolizando la eternidad, de ahí que en ocasiones se
afirma que el símbolo del infinito matemático que co-
nocemos adopta una de las tantas formas en que se
representaba a Uròboros. Lo cierto es que nadie está
seguro de por qué o quién fue el primero en darle al in-
finito la representación de una cuerda cerrada; algunos
se lo atribuyen a John Wallis -un famoso matemático- y
a su obra publicada en 1655, que llevaba por nombre De
sectionibus conicus.
Para citar este artículo en formato APA copia el siguiente texto y completa la información indicada en los paréntesis
“González, V. (2012). Cantor: el hombre que le habló de tú al infinito [Ver-sión electrónica], Ciencia Compartida, 5, 6-12. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).”
Y llegó CantorComo te podrás dar cuenta este asunto del
infinito empieza a ser interesante. Pero falta
mucho más. Resulta que la eternidad y el infi-
nito siempre se han relacionado con la teolo-
gía; Isaac Newton, al referirse a Dios, señaló:
“Él es eterno e infinito, omnipotente y omnis-
ciente; esto es, su duración se extiende desde
la eternidad a la eternidad y su presencia del
infinito al infinito.” Por aquellos años, hablar
del infinito parecía ser un problema para los
científicos pues las discusiones casi siempre
llevaban a conflictos teológicos y filosóficos.
En el siglo XIX -específicamente el 3
de marzo de1845- nace un personaje que lle-
varía por nombre Georg Cantor (se pronuncia
acentuando la “a”); aunque hoy se le reconoce
por ser el fundador de la teoría de conjuntos,
en su momento sus trabajos generaron gran
polémica entre los matemáticos de su tiempo.
Una inacabada discusión sobre este
matemático es acerca de su origen, pues hay
quienes afirman que él era judío; la realidad
es que su madre era católica, su padre había
sido bautizado como luterano y Georg Cantor
fue educado como protestante. Sin embargo,
sus abuelos paternos habían sido judíos y en
las leyes nazis ¡bastaba con tener abuelo ju-
dío de nacimiento para ser considerado como
Georg Cantor 1845 -1918
tal! El padre de Cantor se dedicaba al comercio y
a Georg le fue prohibido estudiar matemáticas por-
que dicha actividad no garantizaba una economía
satisfactoria; pero su vocación triunfó y logró ob-
tener el permiso de su padre, hecho que Cantor
agradeció escribiéndole lo siguiente: “¡Mi querido
papá! Ya puedes imaginarte cuánto me ha alegra-
do tu carta; ella determina mi futuro…Espero que
aún tendrás ocasión de vivir alegrías a mi costa,
querido padre, ya que mi alma y todo mi yo viven
en mi vocación; lo que el hombre quiere y puede,
aquello a lo que le conduce una voz desconocida y
misteriosa, ¡eso lo llevará adelante!”
Es justo decir que ya como estudiante no era
uno de los más brillantes, pero sus profesores le
reconocían su ingenio. Fue esta época en la que
despertó su interés por la metafísica, la religión ca-
tólica, la filosofía y por supuesto el infinito, llegando
a escribirse con teólogos, cardenales e incluso con
el Papa para convencerlo de la bondad y necesi-
dad de su teoría del infinito.
Contar para distinguirLa velocidad de publicaciones de Cantor, hacia que
no todos los matemáticos entendieran por comple-
to de lo que estaba hablando, pues no solamente
hablaba del infinito como algo plenamente acepta-
ble en matemáticas, sino que fue más allá creando
conceptos como el de “número transfinito”. Veamos
esto con un poco más de cuidado.
Para comenzar quisiera plantear la idea de “cardinalidad”. La cardinalidad de
un conjunto se define de una forma muy sencilla: es el número de elementos
que tiene dicho conjunto. Por ejemplo, si tenemos el siguiente conjunto
la cantidad de elementos que tiene es 5, es decir, la cardinalidad del conjun-
to A es 5; esto, en lenguaje matemático, se escribe así .
Veamos otro ejemplo. Consideremos el siguiente conjunto:
¿Cuál sería la cardinalidad del conjunto V? ¡Exacto! El conjunto tiene 12
elementos, por lo tanto:
Ahora pensemos en conjuntos un poquito -¡ja!- más grandes. Por
ejemplo, pensemos en el conjunto de toooooodos los números naturales, es
decir, 1,2,… al cual llamaremos א (aleph). ¿Cuál es su cardinalidad? Rápi-
damente nos damos cuenta de que dicho conjunto tiene un número infinito
de elementos, y por tanto su cardinalidad es infinita. Cantor decidió llamar a
esa cardinalidad 0א (se lee “Aleph cero”) y estableció que este era el primer
numero transfinito.
“Ahora pensemos en conjuntos un poquito”
A= {a,c,c,d,e}
#A=5
#V=12
V={2,4,6,8,10,12,14,16,18,19,20}
Rectas y planos… ¿en verdad son tan diferentes?
Aquello fue sólo el comienzo. Cantor comenzó
a preguntarse sobre la cardinalidad de todos
los números reales, es decir, sobre la cardina-
lidad que tiene el conjunto formado por todos
los puntos de la recta numérica. ¿Te puedes
imaginar eso? En efecto, si la cardinalidad del
conjunto de los números naturales es infinita
(acabamos de decir que es ), la del conjun-
to de puntos que tiene la recta debe de ser
también infinita. Pero… ¿esos infinitos son
del mismo tamaño? Cantor demostraría ma-
temáticamente que eso no es cierto, o dicho
de otra forma, probaría que el infinito de los
números reales es más grande que el infinito
de los números naturales. Así fue como na-
cieron los transfinitos Alef 1, Alef 2, etc. ¿Qué
extraño, no?
Pero la cosa no paró ahí. Cantor logró
demostrar que es posible poner en correspon-
dencia cada punto de una recta con un pun-
to del plano, sin que sobren ni falten puntos
en cualquiera de los dos conjuntos. En otras
palabras, aquel matemático alemán demos-
tró que el conjunto de puntos en el plano y el
conjunto de puntos en la recta son equivalen-
tes. ¡Pero está clarísimo que una recta es más
“pequeña” que un plano! Eso es cierto…des-
de el punto de vista geométrico, pero desde el
enfoque de la teoría de conjuntos la cosa es
muy diferente.
Genialidad incomprendidaLa teoría de Cantor no era nada fácil de entender
y él fue muy criticado por semejantes planteamien-
tos. Acarreó muchas diferencias de opiniones e in-
cluso discusiones lógicas, pero ya hablaremos de
eso en otra ocasión. Lo que sí es un hecho es que,
pese a la mala cara que la mayoría de los matemá-
ticos le pusieron a sus propuestas, Cantor siempre
estuvo seguro de sus ideas y nos acercó al infinito,
al tiempo que desarrolló muchos trabajos lógicos.
Además, su teoría de conjuntos fue adoptada en
los 70’s como método de enseñanza en la educa-
ción básica, decisión que se criticó y lamentó por
diversos sectores, ya que semejante teoría es una
base para el aprendizaje de matemáticas universi-
tarias, mas no para el sistema de educación básica.
Al gran genio matemático lo sorprendió la
muerte el 6 de enero de1918 mientras estaba inter-
nado en una clínica de salud mental, pues siempre
tuvo problemas de depresión, una de ellas motiva-
da por la muerte de uno de sus hijos, pues a pesar
de su enorme pasión por las matemáticas se casó
y formó una familia. Existe una carta que escribió
días antes de morir, en la que el mensaje principal
era que pronto se recuperaría y regresaría a casa.
Así hemos llegado al final de nuestro recorri-
do por el jardín de esos números un tanto extraños
llamados transfinitos. Ahora, cuando alguien men-
cione aquella frasecita que dice “al infinito y más
allá”…tal vez te acuerdes de que, gracias a Cantor,
sí se puede ir más allá •