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PRIMERA PRACTIA CALIFICADA DE CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
CURSO :
DOCENTE
ESTUDIANTE :
-
Lima – Perú
2013
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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
1.
Considere la barra de la figura Determine los desplazamientos nodales los esfuerzos en los elementos y las reacciones en los soportes
E=200×109 N /m2
N= # DE ORDEN
2.
La viga rígida de la figura estaba a nivel antes de aplicarse la carga. Encuentre el esfuerzo en cada miembro vertical (sugerencia: la condición de frontera es del tipo restricción de multipunto)
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3.
Este problema refuerza el hecho de que una vez se han supuesto las funciones de forma, entonces se pueden obtener las otras matrices del elemento. Se dan a continuación ciertas funciones en forma arbitraria y se pide al lector obtener las matrices B y K.
Considere el elemento unidimensional mostrado en la figura
La transformación
ε= 2x2−x1
(x−x1 )−1
Se usa para relacionar las coordenadas x e ε sea el campo de desplazamiento interpolado por
u (ε )=N1q1+N2q2
Donde se supone que las funciones de forma N1,N2 son
N1=cosπ (1+ε)4
…N2=cosπ (1−ε )4
….
A) Desarrolle ∈ =Bq es decir desarrolle la matriz BB) Desarrolle la matriz de rigidez k e (no tiene q evaluar las integrales)
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SOLUCIONARIO
PROBLEMA 1
N= # DE ORDEN= 13
Cargas: P1=300+5×13KN=365KN
P2=600+2×13KN=626KN
Modulo de Young esE=200×109 N /m2
SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran 4 elementos finitos, luego obtenemos el siguiente modelado:
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Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL Le
(mm)
Ae
(mm2)(1) (2) (1) (2)
1 1 2 1 2 150 250
2 2 3 2 3 150 250
3 3 4 3 4 200 400
4 4 5 4 5 200 400
2. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por
la siguiente ecuación:
K= ( AEL )1[1 −1 0 0 0
−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
]
+ ( AEL )2[0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
]+( AEL )
3[0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0
]+ ( AEL )3[0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1
]Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad:
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K= E x [53
−53
0 0 0
−53
103
−53
0 0
0 −53
113
−2 0
0 0 −2 4 −20 0 0 −2 2
] NmmDonde:
E=200 x103 N
mm2
3. VECTOR DESPLAZAMIENTO
Q =¿ [Q 1 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3 ¿ ] [Q 4 ¿ ]¿¿
¿¿Luego, por condiciones de contorno:
Q1 = 0; (empotrado)
Q5=3.5
⇒
Q =¿ [0¿ ] [Q2 ¿ ] [Q 3 ¿ ] [Q 4 ¿ ]¿¿
¿¿
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4. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada nodo:
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ
La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación:
F i = K iJ QJ ……………..(1)
Sabemos que: N
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N
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Además de:
K= E x [53
−53
0 0 0
−53
103
−53
0 0
0 −53
113
−2 0
0 0 −2 4 −20 0 0 −2 2
] NmmReemplazando en (1):
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N=(200×103)[
5 /3 −5 /3 0−5 /3 10 /3 −5/30 −5 /3 11 /3
0 00 0
−2 00000
−20
4−2
−22
][0Q2Q3Q43.5
]Resolviendo este sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, obtenemos:
Q2=2.177727mm
Q3=3.260455mm
Q4=4.162727mm
R1=−725909.090909N
R2=−265090.909091N
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6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente
ecuación:
σ e=( El )e
[−1 1 ] [ QiQi+1 ]
Y obtenemos lo siguiente:
σ 1=( 200×103150 ) [−1 1 ][ 02.177727]→σ1=2903.636
Nmm2
σ 2=( 200×103150 )[−1 1 ][2.1777273.260455 ]→σ 2=1443.637333Nmm2
σ 3=( 200×103200 )[−1 1 ] [3.2604554.162727]→σ3=902.272Nmm2
σ 4=( 200×103200 ) [−1 1 ] [4.1627273.5 ]→σ 4=−662.727 Nmm2
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SOLUCIÓN MANUAL
∑ F=0⇒
R1+R5=365×103+626×103 N…(α )
Aplicando criterio de “Resistencia de materiales”:
(e) Fuerza actuante (N) Estado asumido
1 F1 = R1 Tracción
2 F2 = 365KN - R1 Compresión
3 F3 = 365KN - R1 Tracción
4 F4 = (365KN + 626KN) - R1 Compresión
DEFORMACIÓN TOTAL:
Del gráfico se observa que la expansión total es 3.5 mm
⇒
δ1+δ 2+δ3−δ4=3 .5mm
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F1 L1E1 A1
+F2 L2E2 A2
+F3L3E3 A3
−F4 L4E4 A4
=3 .5
R1(150)E(250)
−(365×103−R1 )(150)
E(250)+
(365×103−R1 )(200)E (400)
−(365×103+626×103−R1 ) (200)
E(400)=3.5
Resolviendo:
R1=725909.09N
Reemplazando en la ecuación (α ) :
R2=265090.91 N
Luego:
δ 1=F1 L1E1 A1
=2.177727mm
δ 2=F2 L2E2 A2
=−1.082727mm
δ 3=F3 L3E3 A3
=−0.902273mm
δ 4=F4 L4E4 A4
=.662727mm
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CALCULO DE ESFUERZOS:
σ 1=F1A1
=2903.636 Nmm2
(TRACCIÓN )
σ 2=−F2A2
=1443.636 Nmm2
(COMPRESIÓN )
σ 3=−F3A3
=902.273N /mm2(TRACCIÓN )
σ 1=−F4A4
=−662.727N /mm2(COMPRESIÓN )
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SOLUCIÓN MATLAB
Código fuente en MATLAB:
% PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA]%Numero de elementos finitos: 4% DATOS:% L1 = 150 mm A1 = 250 mm2% L2 = 150 mm A2 = 250 mm2% L3 = 200 mm A3 = 400 mm2% L4 = 200 mm A4 = 400 mm2% E = 200*10^3 N/mm2clc;E=input(' Ingrese modulo de Young en N/mm2 =');L1=input('Ingrese L1 (mm) =');A1=input('A1 (mm2) =');L2=input('Ingrese L2 (mm) =');A2=input('A2 (mm2) =');L3=input('Ingrese L3 (mm) =');A3=input('A3 (mm2) =');L4=input('Ingrese L4 (mm) =');A4=input('A4 (mm2) =');P2=input('Fuerza en nodo 2 (N) =');P4=input('Fuerza en nodo 4 (N) =');C=[1 -1;-1 1];K1=E*A1/L1*C;K2=E*A2/L2*C;K3=E*A3/L3*C;K4=E*A4/L4*C;K11=zeros(5);K22=zeros(5);K33=zeros(5);K44=zeros(5);%Calculo de K1:for i=1:2 for j=1:2 K11(i,j)= K1(i,j); endend%Calculo de K2:for m=2:3 for n=2:3 K22(m,n)= K2(m-1,n-1); endend%Calculo de K3:for m=3:4 for n=3:4 K33(m,n)= K3(m-2,n-2); endend%Calculo de K4:for m=4:5 for n=4:5 K44(m,n)= K4(m-3,n-3);
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endend %MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL (K):disp('MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL (N/mm): ');K=K11+K22+K33+K44%VECTOR DEFORMACIONES:Q4=((P4+1400000)*(K(3,3)*K(2,2)-K(2,3)*K(3,2))+P2*(K(3,2)*K(4,3)))/(K(4,4)*(K(3,3)*K(2,2)-K(2,3)*K(3,2))-K(4,3)*K(3,4)*K(2,2));Q3=(-P2*K(3,2)-Q4*K(3,4)*K(2,2))/(K(3,3)*K(2,2)-K(3,2)*K(2,3));Q2=(P2-K(2,3)*Q3)/K(2,2);Q=[0 ;Q2; Q3; Q4; 3.5]%VECTOR FUERZAS:F=K*Q %ESFUERZOS:disp('ESFUERZOS (N/mm2) : ');Esf1=E/L1*[-1 1]*[Q(1);Q(2)]Esf2=E/L2*[-1 1]*[Q(2);Q(3)]Esf3=E/L3*[-1 1]*[Q(3);Q(4)]Esf4=E/L4*[-1 1]*[Q(4);Q(5)]
USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
>>problema_3.6
Ingrese modulo de Young [N/mm2]= 200*10^3
Ingrese L1 [mm] = 150
Ingrese A1 [mm2] = 250
Ingrese L2 [mm] = 150
Ingrese A2 [mm2] = 250
Ingrese L3 [mm] = 200
Ingrese A3 [mm2] = 400
Ingrese L4 [mm] = 200
Ingrese A4 [mm2] = 400
Ingrese Fuerza en nodo 2[KN] = 300*10^3
Ingrese Fuerza en nodo 4[KN] = 608.75*10^3
>>DATOS DE SALIDA:
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K =
1.0e+005 *
3.3333 -3.3333 0 0 0
-3.3333 6.6667 -3.3333 0 0
0 -3.3333 7.3333 -4.0000 0
0 0 -4.0000 8.0000 -4.0000
0 0 0 -4.0000 4.0000
Q =
0
2.1777
3.2605
4.1627
3.5000
F =
1.0e+005 *
-7.2591
3.6500
0.0000
6.2600
-2.6509
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ESFUERZOS (N/mm2) :
Esf1 =
2.9036e+003
Esf2 =
1.4436e+003
Esf3 =
902.2727
Esf4 =
-662.7273
Observamos un pequeño error debido a los efectos de redondeo
AGREGAR TABLA COMPARATIVA
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PROBLEMA 2:
SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
(A) El problema se modela usando dos elementos como se muestra en la siguiente tabla de conectividad.
TABLA DE CONECTIVIDAD
ELEMENTO N° NODO1 NODO 21 3 12 4 2
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Las condiciones de frontera en los nodos 3 y 4 son obvias: Q3=0 y Q4=0 Ahora, como la barra rígida tiene que permanecer recta Q1, Q2 y Q5 están relacionadas como se muestra en la siguiente figura:
Las restricciones de multipunto que se deben a la configuración rígida de la barra están dadas por:
Q1−0.4167Q5=0
Q2−0.7500Q5=0
(B) Las matrices de rigidez del elemento están dadas por:
E1=206842.718795N
mm2y E2=120000
N
mm2
A1=645.16mm2 y A2=806.45mm
2
l1=l2=914.4mm
k 1=E1 A1l1 [ 1 −1
−1 1 ]=1033 1 ¿[ 145.939 −145.939−145.939 145.939 ] 3
1
k 2=E2 A2l2 [ 1 −1
−1 1 ]=1034 2 ¿[ 105.833 −105.833−105.833 105.833 ] 4
2
La matriz de rigidez global es:
k=10312345 ¿[145.939 0 −145.939 0 00 105.833 0 −105.833 0
−145.93900
0−105.833
0
145.93900
0105.8330
000]12345
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La matriz se modifica como sigue. S escoge un número C= [53.33x103] x 104; grande en comparación con los valores de las rigideces. Como Q3 =Q4=0, se agrega C en las posiciones (3,3) y (3,4) de K. Luego se consideran las restricciones de multipunto dadas en la parte (A) Para la primera matriz la restricción,Q1−0.4167Q5=0, notamos que β0=0, β1=1 yβ2=0.4167. La adición la matriz de rigidez es la siguiente:
[ C β12 C β1 β2C β1β2 C β2
2 ]=10715 ¿[ 53.33 −22.2226−22.2226 9.2602 ] 1
5
Como β0=0, entonces no hay adición de fuerza. Similarmente la consideración de la segunda restricción de multipunto Q2−0.7500Q5=0, da la adición de rigidez:
[ C β12 C β1 β2C β1β2 C β2
2 ]=10725 ¿[ 53.33 −39.9975−39.9975 29.9981 ] 2
5
Como aquí también β0=0, no hay incremento de fuerza.
Después de agregar todas las rigideces precedentes, obtenemos las ecuaciones modificadas finales:
103[533445.939 0 −145.939 0 −222226
0 533405.833 0 −105.833 −399975−145.939
0−222226
0−105.833−399975
533445.93900
0533405.833
0
00
392582.87][Q1Q2Q3Q4Q5
]=[0000
667233.242289]
[Q1Q2Q3Q4Q5
]=[3.27305.8913
8.9541×10−4
1.1689×10−3
7.8567]
Los esfuerzos se calculan de la siguiente manera:
σ 1=( E1l1 ) [−1 1 ] [Q3Q1]=740.1629N /mm2
σ 2=( E2l2 ) [−1 1 ][Q4Q2]=772.9859N /mm2
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SOLUCIÓN EN MATLAB
% PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA]%Numero de elementos finitos: 2% DATOS:% L = 914.4 mm % A1 = 645.16 mm A2 = 806.45 mm2% E1=206842.718795Mpa E2=120000MPa% para 1:%B0=0 B1=1 B2=0.4167% para 2:%B0=0 B1=1 B2=0.7500%C=53.33*10^7%F=667233.242289Nclc;E1=input('Ingrese modulo de Young del primer cuerpo en N/mm2 =');E2=input('Ingrese modulo de Young del segundo cuerpo en N/mm2 =');A1=input('A1 (mm2) =');A2=input('A2 (mm2) =');L=input('Ingrese L (mm) =');B10=input('Para multipunto 1\n Ingrese B0 =');B11=input('B1 =');B12=input('B2(el signo de ser necesario) =');B20=input('Para multipunto 2\n Ingrese B0 =');B21=input('B1 =');B22=input('B2(el signo de ser necesario) =');F=input('ingrese la carga=');C=input('Ingrese C=');D=[1 -1;-1 1];K1=E1*A1/L*D;K2=E2*A2/L*D;K1A=C*[B11*B11 B11*B12;B11*B12 B12*B12];K2A=C*[B21*B21 B21*B22;B21*B22 B22*B22];K3A=C*[1 0;0 1];FM=[0;0;0;0;F];K11=zeros(5);K22=zeros(5);K33=zeros(5);K44=zeros(5);K55=zeros(5);E=[E1,E2];%para la matriz de rigidezfor i=1:2 for j=1:2 K11(2*i-1,2*j-1)= K1(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K22(2*i,2*j)= K2(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K33(4*i-3,4*j-3)= K1A(i,j); end
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endfor i=1:2 for j=1:2 K44(3*i-1,3*j-1)= K2A(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K55(i+2,j+2)= K3A(i,j); endendK=K11+K22+K33+K44+K55%para la matriz de desplazamientosQ=GaussJordan(K,FM)%para los esfuerzosfor i=1:2 S=E(i)/L*[-1 1]*[Q(i+2);Q(i)]end
DONDE:
%Metodo de gauss jordanfunction x= GaussJordan(AA,b)%DAtos%AA es la matriz recibida% A es la matriz aumentada% b es el vector de la mano derecha% n es el orden de la matriz% Resultados% x es el vector solucion[n n]=size(AA);x=zeros(n,1);A=[AA b];n1=n+1;for i=1:n if A(i,i)==0 A=Intercambio(A,i); end Piv=A(i,i); for j=i:n1 A(i,j)=A(i,j)/Piv; end for k=1:n if k~=i Pivote=A(k,i); for j=i:n1 A(k,j)=A(k,j)-Pivote*A(i,j); end end endendfor i=1:n x(i)=A(i,n1);end
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DONDE:
function A=Intercambio(A,i)% % DAtos% % A es la matriz% % n es el orden de la matriz% % Resultados% A es la nueva matriz despue del intercambio[n n1]=size(A);k=i+1;while (k<=n)&&(A(k,i)==0) k=k+1;endif k<=n for j=1:n1 temp=A(i,j); A(i,j)=A(k,j); A(k,j)=temp; endend
USO DEL PROGRAMA DEL MATLAB
Ingrese modulo de Young del primer cuerpo en N/mm2 =206842.718795
Ingrese modulo de Young del segundo cuerpo en N/mm2 =120000
A1 (mm2) =645.16
A2 (mm2) =806.45
Ingrese L (mm) =914.4
Para multipunto 1
Ingrese B0 =0
B1 =1
B2(el signo de ser necesario) =-0.4167
Para multipunto 2
Ingrese B0 =0
B1 =1
B2(el signo de ser necesario) =-0.75
ingrese la carga=667233.242289
Ingrese C=533300000
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DATOS DE SALIDA
K =
1.0e+008 *
5.3345 0 -0.0015 0 -2.2223
0 5.3341 0 -0.0011 -3.9998
-0.0015 0 5.3345 0 0
0 -0.0011 0 5.3341 0
-2.2223 -3.9998 0 0 3.9258
Q =
3.2765
5.8977
0.0009
0.0012
7.8651
S =
740.9609
S =
773.8189
Volvemos a observar que existen unas ligeras diferencias entre los valores, esto debido a los efectos de redondeo.
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PROBLEMA 3:
A)
ϵ=dudx
=dudεd εdx
= 2x2−x1
dudε
ϵ= 2x2−x1 [ d N 1
dε,d N2dε ] . q
Que es de la forma ϵ=B×q
B= 2x2−x1 [ d N1dε
,d N 2
dε ]= 2x2−x1 [−π4 sin π (1+ε )
4,π4sinπ (1−ε )4 ]
B= π2(x2−x1) [−sin π (1+ε )
4, sin
π (1−ε )4 ]
B)
k e=EeAe le2
∫1
−1
[BT B ] dε
k e=EeAe le2
∫1
−1π2(le)
2[ sin2 π (1+ε )4
−sin2π (1+ε )4
−sin2π (1+ε )4
sin2π (1+ε )4
]dε