Marta Riveros 0 Grecia Galvez o Silvia Navarro o Pierina Zanocco

Programa de Mejoramiento de la Calidad en Escuelas Básicas de Sectores PobresMinisterio de Educación

cO MINISTERIO DE EDUCACIÓN

N2 I NSCRIPCIÓN 95.357

ELABORADO POR:

MARTA RIVEROS

GRECIA GÁLVEZ

SILVIA NAVARRO

PIERINA ZANOCCO

COORDINACIÓN DE LA PUBLICACIÓN:CARLOS ALVAREZ VIERA

DISEÑO

MIGUEL MARFÁN

I MPRESIÓN:

EDITORA E IMPRENTA MAYAL LTDA.

SANTIAGO, MARZO 1998O/C 11243

INTR0DUCCION

Cálculo mental es cálculo real, decían los antiguos maestros para

significar que por este medio el alumno llega a tener la realeza del

espíritu. Más allá de la mecánica aparente que hay en el cálculo es

posible encontrar en éste una auténtica actividad matemática. Esta

especie de gimnasia intelectual obliga a movilizar los conocimientos

sobre la naturaleza de los números, sobre el sistema de numeracióndecimal y sobre las operaciones y sus propiedades. Dado que la

capacidad de la memoria es limitada, el cálculo mental obliga aacudir a conocimientos que permitan simplificar los cálculos, minimi-

zando la cantidad de datos que hay que relacionar.

Cuando los alumnos calculan en forma mental suelen utilizar procedi-

mientos distintos de los aprendidos para el cálculo escrito, y ponen

en juego sus concepciones sobre los números, la numeración deci-

mal y las propiedades de las operaciones.

La práctica del cálculo mental puede servir para diagnosticar qué

concepciones y representaciones tienen los alumnos de los números

y de las operaciones. Permite, además, actuar sobre esas concepcio-

nes y representaciones enriqueciéndolas, diversificándolas y am-

pliando su dominio de disponibilidad.

En el cálculo es necesario conjugar corrección y rapidez, y eso se

puede alcanzar de muchas maneras; por eso, en esta actividad, tanto

profesores como alumnos pueden buscar nuevas formas para resol-

ver ejercicios sin equivocarse y para hacerlos lo más rápido posible.

Podemos distinguir el cálculo exacto y el cálculo aproximado o redon-

deado. El cálculo exacto es la búsqueda del resultado de un ejercicio

operatorio empleando procedimientos matemáticamente válidos;

puede hacerse en forma escrita, oralmente o apoyado por una calcu-ladora. El cálculo aproximado consiste en buscar un intervalo en el

cual se encuentra el resultado del ejercicio que se nos plantea o un

solo valor, aproximado. Con gran frecuencia en la vida diaria se usa

el cálculo mental aproximado, cuando no es necesario hacer uso del

calculo escrito, cuando no estamos en condiciones de efectuarlo o

para controlar los cálculos hechos mediante procedimientos escritos

o con calculadora.

El aprendizaje del cálculo tiene como propósito lograr que los alum-

nos dispongan de diferentes maneras de hacer cálculos confiables y

rápidos, cuenten con un repertorio de procedimientos de cálculo y

usen los que resulten apropiados a los números con que tienen que

operar, a la relación entre éstos y a la precisión del resultado que

demande la situación en la que surgió la necesidad de este cálculo.

Para determinados números y situaciones conviene usar cálculo

mental aproximado, ya sea redondeando o determinando un interva-lo. Para otros números y situaciones, que requieren un resultado

exacto, es preferible usar cálculo escrito, o calculadora.

En el proceso de enseñanza del cálculo es conveniente que el profe-

sor o profesora:

• plantee un conjunto de ejercicios relacionados o una

situación con variaciones de los datos numéricos, variaciones gra-duadas de acuerdo a su complejidad,

• dé tiempo a los alumnos para que piensen los ejercicios y

l uego respondan, a fin de permitir que vayan elaborando procedi-

mientos de cálculo, que luego utilizarán con mayor rapidez,

• solicite a los alumnos que compartan con sus compañeros

los procedimientos que usan para llegar a los resultados,

• analice con los alumnos los procedimientos utilizados,

para encauzarlos a que adopten aquéllos que les resulten más

prácticos. Esto no significa necesariamente que todos los niños

llegarán a utilizar los mismos procedimientos; cada niño adoptará

finalmente los que resulten más fáciles de comprender y de aplicar.

Es tan importante que los alumnos obtengan resultados correctos,

como que reflexionen sobre la manera cómo los han encontrado. El

conocimiento, por parte del profesor, de los procedimientos que

emplean los alumnos, le permitirá actuar de manera que favorezca la

evolución de los procedimientos usados, hacia otros cada vez más

potentes, o más sofisticados.

Cómo organizar actividades de cálculo mental

Es importante motivar a los alumnos para que sientan el desafío de

este aprendizaje como propio y acordar con ellos un plan de trabajo

para lograrlo. Es necesario enfatizar la situación de aprendizaje,

evitar que los niños sientan la actividad como un interrogatorio que

busca someterlos a prueba; más bien deben vivirla como una activi-

dad de búsqueda de formas de calcular con exactitud y rapidez,

donde los errores no son sancionados porque se considera intere-

sante analizarlos, para lograr aprender.

Conviene trabajar las actividades de cálculo mental con una frecuen-

cia establecida, acordada con los alumnos, para lograr establecer un

espacio más institucionalizado para el desarrollo de este tipo de

habilidad. Por ejemplo, durante los 10 minutos iniciales de la clase de

matemática, tres días a la semana.

Las actividades deben ser planificadas previamente; en general, no

es fácil plantear conjuntos de ejercicios de cálculo mental que resul-

ten interesantes para los alumnos y útiles para generar estrategias de

cálculo. Le sugerimos escoger algunas de las actividades propuestas

en esta Guía, analizarlas y hacer las adaptaciones que considere

pertinentes antes de plantearlas a sus alumnos. Independientemente

del curso en que se esté trabajando, conviene comenzar con activi-

dades del Nivel I; si éstas son realizadas con facilidad por los alum-

nos, seleccionar actividades más exigentes, de Nivel II.

En un primer momento, es importante darles tiempo a los alumnos

para que piensen tranquilos, prestar atención a las reacciones de los

niños para animarlos, para darles apoyo, si lo requieren. Es importan-

te que ellos descubran relaciones entre los ejercicios que se les

proponen, que visualicen alguna estrategia de cálculo, etc. Es nece-

sario permitirles que se equivoquen y hacer preguntas para que ellos

mismos se corrijan; además, las interacciones entre los alumnos les

permiten sacar provecho de sus equivocaciones. Al inicio de cada

actividad de cálculo mental, es recomendable indicar el turno en que

los niños deberán participar; así, ellos se podrán ir preparando para

responder. No hay que olvidar lo efectivo que resulta gratificar las

buenas respuestas de los alumnos, especialmente las de aquéllos

que tienen dificultad y lo valioso que es hacerles tomar conciencia de

lo mucho que se puede aprender, a partir de los errores.

En un segundo momento, es necesario practicar lo descubierto,

afianzar la estrategia para llegar a dominarla, de manera que los

alumnos puedan anotar abreviadamente lo descubierto en los ejerci-

cios, para recordarlo cuando sea necesario.

Conviene reiterar este ciclo de momentos, para cada tipo de activi-

dad. Sólo cuando el tipo de ejercicio que se ha estado trabajando se

considere comprendido y dominado por la mayoría de los alumnos

del curso, es adecuado plantear una nueva actividad.

ACTIVIDADES DE NIVEL 1

Nivel I

1. Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de unoen uno para atrás.Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno.

2. Tilín y Tilón cuentan de dos en dos.Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos

3. Tilín tiene lo mismo que TilónCalcular el doble de los números del 1 al 9

4. Tilín y Tilán juntan fichas sin pararCalcular el resultado de combinaciones aditivas básicas

5. Tilín se pone el sombrero sumador.Manejar las combinaciones aditivas básicas.

6. Tilín y Tilón saltan de a diez.Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez, apartir de un múltiplo de diez

7. Tilín junta primero diez.Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, las combina-ciones de sumandos que dan diez.

8. Tilín y Tilón van de cinco en cinco.Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco en cinco,a partir de un número múltiplo de cinco

9. Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar.Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cualesse mantiene constante uno de los sumandos

1 0. Tilín agrega uno y Tilón agrega uno.Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cualesse agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos.

11. Tilín va hacia adelante y Tilán hacia atrás.Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustraccióndonde se presentan como operaciones inversas.

12. Tilín y Tilán llegan a lo mismo.Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en el cálculode resultados de ejercicios.

13. Tilín, campeón de la suma.Calcular el resultado de ejercicios de adición, asociandoprimero los números que completan decenas.

Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de uno en uno para atrás

Pida a los niños que acompañen a Tilín a contar de uno enuno hacia adelante, a partir de un número acordado.Lo harán por turno, en el orden que hayan establecido.Posteriormente, pida a los niños que acompañen a Tilón acontar de uno en uno hacia atrás, desde el número al quellegaron con Tilín.

Variante:Parte un alumno diciendo un número cualquiera del ámbito queestén trabajando y pide a sus compañeros ir nombrando elnúmero que sigue, hasta llegar, en la serie, al punto en el queya muy pocos niños del curso puedan seguir. En ese momentose devuelven, contando de uno en uno para atrás.

Para aprender a:

Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno.

Esta actividad debe constituirse en un desafío para los niños;para ello, invítelos a contar en el ámbito numérico en el queaún no se sienten totalmente seguros o que, incluso, no hantrabajado anteriormente. Es conveniente fijar como punto departida de la sucesión un número cercano a los que no domi-nan y motivarlos a seguir contando.Si al hacer la actividad, observó que los niños cometían mu-chos errores, puede hacerlos trabajar la sucesión con un con-tador o con una calculadora. La observación del funcionamientode estos materiales les puede ayudar a tomar conciencia decómo está estructurado el sistema de numeración decimal y asuperar dificultades muy comunes, como las siguientes: pa-sar del 39 al 40, del 50 al 49, etc.

También les puede ayudar tener una cinta numerada pegadaen una pared de la sala.

Tilín y Tilón cuentan de dos en dos

En esta actividad, los niños van a contar de dos en dos, a partirde:

un número par, en forma crecienteun número par, en forma decrecienteun número impar, en forma crecienteun número impar, en forma decreciente.

Usted dice un número para empezar la serie y los niños latinúan, ya sea en coro o por turno.

con-

Después de haber hecho varias veces la actividad anterior, sepuede pedir a los niños que anticipen números que apareceránen la serie y luego comprobarlos. Partimos del 17, contando de2 en 2, ¿ nos tocará decir el 50?, ¿ el 65?, ¿el 77?...

Variante:

Para aprender a:Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos.

Al contar de 2 en 2 es conveniente respetar la secuencia su-gerida en la actividad : primero, a partir de un número par yposteriormente de un impar, para graduar la dificultad. Se puede

escribir los números ordenados, a medida que los dicen, paraayudarles a darse cuenta que, si se parte de un número par,todos los números que aparecen en la serie son pares y, si separte de un número impar, todos los números de la serie soni mpares.En una colección de láminas si, al formar parejas, no nos so-bra ninguna, tenemos un número par de láminas. Si nos sobrauna, el número de láminas que tenemos es impar. Este criteriopuede ayudar a los niños a distinguir entre números pares ei mpares.

Tilín tiene lo mismo que Tilón

Invite a los niños a resolver situaciones que demandan su-mar una misma cantidad, como la siguientes:

Tilín tiene 2 láminas y Tilán tiene 2 láminas, ¿cuántastienen entre los dos?,

Tilín tiene 3 láminas y Tilán tiene 3 láminas, ¿cuántastienen entre los dos?...

Variante:Los niños juegan en parejas, cada uno con un conjunto de tarje-tas par- impar del 1 al 9. Un niño coloca sobre la mesa una tarjeta,su compañero tiene que colocar otra del mismo tamaño y decircuántos puntos en total tienen ambas tarjetas. El primer jugador,si lo necesita, cuenta el total de puntos para comprobar si la res-puesta es correcta. Si el resultado es correcto, dejan esas tarje-tas fuera de juego, de lo contrario, cada uno recoge la suya y laagrega al montón por jugar. Se continúa jugando de igual forma.

Para aprender a:

Calcular el doble de los números del 1 al 9.

Es posible que las primeras veces que usted realice esta acti-

vidad con sus alumnos, ellos necesiten el apoyo de algún ma-

terial para calcular, por ejemplo: fichas, tapitas, etc. Proporció-

neselos, pero anímelos a ir probando si pueden hacerlo sin elmaterial.

Es conveniente escribir los ejercicios ordenados en el piza-

rrón, comentar y analizar los resultados con los alumnos, paraayudarles a darse cuenta que, en todos los casos, la suma es

un número par:

1 +1=22+2=4

3+3=6

9+9=18

Tilín y Tilón juntan fichas sin parar

Proponga a los niños formar parejas para imitar el juego deTilín y Tilón.Los niños reciben igual número de fichas (mínimo 5 y máximo10) cada uno de un color.Un niño coloca sobre la mesa un número de fichas y dice eltotal que pone; el otro agrega el número de fichas que él quie-ra, de las suyas, diciendo el total que pone.El primer niño debe decir, sin contar una a una, el total de fi-chas que hay en la mesa.Cuando ha dicho el resultado correcto, ambos quitan sus fi-chas.Le toca iniciar el juego al segundo niño, de modo que él deberácalcular luego el total de fichas.Una vez que hayan practicado bastante este juego, usted lespuede proponer hacerlo sin fichas: "Manuel coloca 4 fichas ro-jas, Pedro agrega 5 fichas azules, ¿cuántas fichas sobre lamesa?"

Se coloca en una caja papelitos en que se ha escrito números del1 al 10. Los niños, por turno, sacan dos números; dicen el ejerci-cio y el resultado en voz alta, por ejemplo: "tres más cuatro sonsiete".

Variante:

Para aprender a:Calcular el resultado de combinaciones aditivas básicas.

Una vez que haya hecho una sesión con el juego, puede variarl a situación que presentan Tilín y Tilón y reemplazarla por otrasituación aditiva, de algún tema familiar a sus alumnos.Usted puede graduar la dificultad del ejercicio al determinar elnúmero de fichas por niño, dado que el total de fichas entrega-das a la pareja será la suma máxima que podrán ejercitar.Para reforzar el cálculo de las combinaciones aditivas los ni-ños pueden escribir en sus cuadernos los ejercicios que lesdieron un mismo resultado, por ejemplo:

Tilín se pone el sombrero sumador

Presente a los niños los cálculos de Tilín con su sombrerosumador: cuando se pone el sombrero con un número, por ejem-plo el 6, busca ejercicios que den como resultado ese número.Propóngales a los niños colocarse el sombrero del 6 y desafíe-l os a buscar ejercicios que den como resultado 6.Vaya anotándolos, a medida que los dicen, para evitar que losniños los repitan. Cuando hayan concluido, reorganícelos conellos, para dejar en orden los ejercicios. Por ejemplo:

6=5+16=4+26=3+36=2+46=1+5

Si algún niño lo señala, también se puede anotar 6 = 0 + 6.Un niño elige el número del sombrero sumador de Tilín y suscompañeros dicen los ejercicios.

Usted señala un número y l os niños, en grupos, anotan en unahoja ejercicios de adición que den ese resultado. Cuando creentenerlos todos, dicen: ¡alto! Los leen en voz alta; si ningún otrogrupo puede señalar otro ejercicio, tienen derecho a señalar unnúmero, en caso contrario podrá hacerlo el grupo que agregó unoo más ejercicios .

Variante:

Para aprender a:Manejar las combinaciones aditivas básicas.

Puede apoyar a los niños dándoles algún material, como fi-chas de colores. Ellos colocarán sobre la mesa tantas como elnúmero del sombrero de Tilín e irán explorando y representan-do con las fichas las combinaciones aditivas.

Tilín y Tilón saltan de a diez

En esta actividad los niños van a contar de diez en diez, a partirde un número múltiplo de diez, en forma creciente y decrecien-te.Invite a los niños a acompañar a Tilín a contar de diez en diez,empezando con diez.Conviene realizar el ejercicio en el ámbito numérico que cono-cen y tratar de ir más allá. Si ellos cometen errores se les pue-de apoyar colocando en un lugar visible una cinta numeradadel 1 al 100, donde aparezcan diferenciadas las decenas, poralternancia de colores.Posteriormente pueden, con Tilón, contar en orden decrecien-te de diez en diez, desde el número al que llegaron con Tilín.A medida que los niños van adquiriendo seguridad en la activi-dad desafíelos a seguir contando de diez en diez en sentidocreciente o decreciente, sin mirar la cinta numerada.

Variante:

Después de haber hecho varias veces esta actividad, se puedepedir a los niños que anticipen números que aparecerán en estaserie, nombrando algunos que con seguridad estarán, por ejem-plo: 350, 500, etc.

Para aprender a:Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez,a partir de un número múltiplo de diez.

Al contar de 10 en 10, se puede ayudar a los niños escribiendoen el pizarrón los números que ellos van diciendo, en formaordenada.

Una vez que los niños se hayan percatado que todos los nú-meros de la serie que están construyendo terminan en 0, pue-den destacar con color el 0 que aparece en la posición de lasunidades, en todos números del cuadro.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

210 I ...

Tilín junta primero diez

Pida a los niños calcular con rapidez sumas de tríos de núme-

ros, hasta que se den cuenta que conviene sumar primero losnúmeros que dan diez y luego agregar el tercero.

Gradúe la dificultad presentando secuencialmente ejerciciosde estos tres tipos:

8+2+5 7+8+2 8+7+2

Presente en el pizarrón tríos de ejercicios del primer tipo:

y vaya solicitando a los niños que digan los resultados y laforma cómo lo hicieron.Presente a continuación ejercicios del segundo tipo y refuerce

l as respuestas de los niños que primero seleccionaron para

sumar los números que dan diez, y que luego agregaron elprimer sumando. Realice lo mismo con ejercicios del tercer

tipo.Dicte ejercicios y pida a los niños que calculen mentalmente y

digan el resultado.

Variante:

Por turno, cada niño dicta un ejercicio de suma de tres númerosen los que dos de ellos sumen 10; el compañero que sigue da elresultado y dice su ejercicio. Si un niño dicta un ejercicio en el queno se cumple la condición, debe calcular él mismo el resultado.

8+2+5 9+1+4

6+4+7 5+5+3

3+7+6 7+3+5

Para aprender a:Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, lascombinaciones de sumandos que dan diez.

Para resolver con éxito este tipo de ejercicios, los niños pue-den jugar previamente a buscar piezas de dominó que suman10. Por ejemplo, la piezaM64, o pares de cartas de naipe quesuman 10, o bien trabajar con las tarjetas par-impar, juntandodos tarjetas que equivalen a la tarjeta de valor 10, etc.También es conveniente resolver ejercicios de adición cuyoresultado es mayor que 10 y menor que 19, por ejemplo: 6 + 7,para que los niños visualicen la conveniencia de juntar prime-ro 10, descomponiendo el 7 en 4 + 3, de manera de sumarprimero 6 + 4 = 10 y luego agregar 3.

La importancia de esta actividad justifica emplear todo el tiem-po que sea necesario para que la mayoría de los alumnosl ogre resolver con rapidez este tipo de cálculos.

Tilín y Tilón van de cinco en cinco

Pida a los niños que cuenten de cinco en cinco, primero enforma creciente y luego, en forma decreciente, a partir de:

• un número múltiplo de cinco, terminado en cinco

• un número múltiplo de cinco, terminado en cero.

Desafíe a los niños a avanzar lo más posible contando, y aescuchar con atención la serie que van formando.Escriba la serie en el pizarrón para ayudarles a darse cuentade la regularidad que presentan sus terminaciones.

Después de haber hecho varias veces esta actividad, reparta al os niños papelitos en los que está escrito un número múltiplo decinco. Diga usted el primer número de la serie que repartió y pída-l es continúen contando en voz alta, interviniendo cada vez el niñoque recibió el número correspondiente. Si los niños tienen dificul-tad con los números mayores, pídales que se junten los que aúnno han dicho su número y se pongan de acuerdo para ordenarsesegún la serie, y poder continuar.

Variante:

Para aprender a:Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco encinco, a partir de un número múltiplo de cinco.

Al contar de 5 en 5 a partir de un múltiplo de 5, los alumnosdeben llegar a darse cuenta que todos los números de la serieterminan alternadamente en 5 y 0, para luego poder anticiparsi un número cualquiera pertenece o no a la serie. No se des-anime si los alumnos tardan en descubrirlo; es preferible es-perar hasta que ellos lo descubran, antes que decirlo. Puedeayudarles a darse cuenta de esta regularidad , el anotar endos columnas los números de la serie, a medida que la vandiciendo. Por ejemplo:

35 40

45 50

55 60 ...

Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar

En esta actividad, pida a los niños resolver conjuntos de ejer-cicios de adición, que tienen en común el primer sumando,teniendo a la vista un cuadro de los 100 primeros números.Haga colocar a los niños una ficha en un número, por ejem-plo 23 y luego pida calcular 23 + 4, déles tiempo para calcu-lar, luego 23 + 6 , 23 + 10, etc.

Variante:

Un niño elige un número de la tabla y coloca en esa casilla unacontraseña. Nombra un compañero, quien deberá decir un ejerci-cio de adición que tenga como primer sumando el número elegidoy como segundo el que él quiera, siempre que sea mayor que 19pasará a colocar una ficha en el lugar del resultado y nombrará aotro niño para que diga otro ejercicio. El niño que haya colocado laficha en el número mayor ganará el derecho de dirigir el próximoj uego.

Para aprender a:Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cualesse mantiene constante uno de los sumandos.

Ayude a los niños a darse cuenta que para sumar, deben avan-zar, en general, hacia la derecha; que si suman diez les bastabajar una fila, si suman 12, bajar una fila y luego avanzar dosl ugares. Para esta toma de conciencia pregúnteles cómo lle-garon al resultado, de qué otra manera podrían hacerlo. Há-galos compartir sus descubrimientos.

A continuación Tilín da un ejemplo en el tablero de números:

Tilín está en 34, camina 1 paso hacia la derecha, llega al 35

Tilín está en 34, camina 5 pasos hacia la derecha, llega al 39

Tilín está en 34, camina 1 paso hacia abajo, llega al 44

Tilín agrega uno y Tilón agrega uno

Pida a los niños calcular individualmente ejercicios como lossiguientes:

1 +32+43+54+65+7

Cuando hayan calculado, pídales los resultados y luego aní-melos a que se fijen en la relación de los primeros sumandoscon los segundos y de éstos con los terceros, ....Repita este ejercicio hasta que la mayoría de los niños se ha-yan dado cuenta que entre un ejercicio y el siguiente, se haagregado uno a cada sumando y que el resultado ha aumen-tado en dos.

Variante:

Resolver conjuntos de ejercicios en los que se va agregando dosa cada sumando y el resultado va aumentando en 4. Estudiar larelación entre los ejercicios.

Para aprender a:Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cua-les se agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos.

Si los niños tienen dificultad para visualizar las relaciones en-tre los términos de un ejercicio y los de otro, pídales hacerrepresentaciones de cada ejercicio, ya sea con un materialcomo las fichas de colores o mediante dibujos. O bien, hacervariar sólo un sumando, después el otro y finalmente ambos.

Tilín va hacia adelante y Tilón hacia atrás

Proponga a los niños estudiar juntos cómo hacen Tilín y Tilónen estos ejercicios:

Tilín dice: 3 + 4 = 7 Tilón contesta: 7 - 4 = 3

Tilón dice: 8 - 6 = 2 Tilín contesta: 2 + 6 = 8

Ayude a los niños a darse cuenta que siempre Tilín suma yTilón resta y que ambos usan los mismos números.Traten de imitar el juego:Un niño dice un ejercicio de adición y lo escribe en el pizarrón,otro niño resta, a partir del resultado.Un niño dice un ejercicio de sustracción y lo escribe en el piza-rrón, otro niño suma, tomando en primer lugar el resultado delejercicio de su compañero.

Variante:

En parejas, los niños juegan a hacer ejercicios de adición y sus-tracción "con los mismos números"; un niño se asigna el rol desumador y su compañero el de restador.

Para aprender a:Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustraccióndonde se presentan como operaciones inversas.

Para ayudar a los niños a ver la relaciones entre los ejercicios,se puede trabajar con una cinta numerada, avanzando y retro-cediendo, a partir del número al que se llega al avanzar. Esi mportante que los niños se den cuenta que no necesitan cal-cular el segundo ejercicio.

Tilín yTilón llegan a lo mismo

Proponga a los niños organizarse en parejas y luego pídalesque, por turno, cada pareja resuelva el par de ejercicios que seles entregará. Plantee a cada pareja de niños dos adiciones,conmutando los sumandos. Por ejemplo: 2 + 6 = 6 + 2 =Es importante que les pida hacerlo rápido, para incentivarlos aeconomizar el segundo cálculo.Una vez que hayan hecho varios ejercicios y que usted creaestán convencidos que en todos los casos obtendrán el mismoresultado, porque son los mismos sumandos en distinto orden,desafíe a las parejas de niños a ocupar el lugar suyo y seguirproponiendo ejercicios del mismo tipo.La pareja de niños que lo logre, podrá ser reemplazada por otrapareja de niños que quiera hacerlo.

Variante:Un niño dice un ejercicio de adición y su resultado, el que siguedebe decir el mismo ejercicio conmutando los sumandos y dandoel resultado inmediatamente; si lo hace bien, tiene derecho a de-cir otro ejercicio y su resultado. El compañero que indique diceeste último ejercicio conmutando los sumandos y propone otro.Usted puede ir escribiendo las parejas de ejercicios mientras losniños los van diciendo, para ayudar a afianzar la propiedad con-mutativa.

Para aprender a:Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en elcálculo de resultados de ejercicios.

Esta actividad debe realizarse cuando los alumnos tengan ciertodominio de las combinaciones aditivas básicas, para que es-tén menos centrados en el cálculo del ejercicio y puedan com-parar los pares de ejercicios que se les van presentando, has-ta darse cuenta de la propiedad conmutativa de la adición.I nteresa que los niños se percaten, y utilicen la propiedad, nosiendo necesario que conozcan su nombre.Para afianzar el conocimiento de la propiedad, pida a los niñosque la verifiquen con cantidades mayores, usando la calcula-dora.

Algunos niños necesitarán visualizar los ejercicios en situacio-nes como la que se presenta, donde Tilín y Tilón muestran que6+3esigual a3+6.

Tilín, campeón de la suma

Organice a los niños en grupos y pida a cada grupo que resuelva, sinerror y lo más rápido posible, uno de estos conjunto de ejercicios,que usted entregará escritos en tarjetas.

Cuando los grupos estén listos, por turno, un niño lee los ejercicios ylos demás miembros de su grupo dan los resultados, sin mirar sustarjetas.Cuando hayan dominado estos ejercicios, reparta tarjetas con gru-pos de ejercicios como los siguientes, para que los estudien:

Pida a los niños del grupo que, por turno, den respuesta a los ejerci-cios, sin mirar la tarjeta.

Variante:

En parejas, los niños preparan tarjetas con cinco ejercicios queellos hayan creado y las intercambian con sus compañeros de cur-so, para estudiarlas.

8+2 3+7 6+4 1 +9

18+2 13+7 16+4 11 +9

28+2 23+7 26+4 21 +9

38+2 33+7 36+4 31 +9

18+12 13+17 16+14 11+39

28+12 23+27 26+34 21 +39

38+22 33+37 36+24 31 +49

58+22 53+17 56+24 51 +29

Para aprender a:Calcular el resultado de ejercicios de adición, donde la sumade las unidades es igual a una decena.

Conviene realizar esta actividad hasta que los niños puedanresolver ejercicios con seguridad y rapidez. Para ello, entregarconjuntos de ejercicios para que los niños preparen con tran-quilidad el cálculo mental.

ACTIVIDADES DE NIVEL 11

NIVEL II

1. Tilín y Tilón cuentan de cinco y de a diezEstablecer equivalencias entre sumar 10 y sumar dosveces cinco a un mismo número

2. Tilín y Tilón j uegan con nueves.Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9, ocualquier número con 9 en las unidades.

3. Tilón retrocede, a partir del mismo lugarUtilizar el resultado de una sustracción para encontrarotros, por comparación, cuando el minuendo esconstante.

4. Tilón retrocede lo mismo.Utilizar el resultado de una sustracción para encontrarotros, por comparación, cuando el sustraendo esconstante.

5. Tilón contesta siempre lo mismoReemplazar una sustracción por otra, más fácil decalcular y que tenga el mismo resultado.

6. Sumando, sumando, Tilón a la resta vall egando.Calcular resultados de sustracciones, medianteadiciones partiendo del sustraendo.

7. Tilín juega a tener el dobleCalcular el doble de un número.

8. Tilón busca la mitadCalcular la mitad de un número par.

9. Tilín pide el doble y Tilón la mitadReconocer que cualquier número es igual a la mitad desu doble.

1 0. Tilín decaplica y quintuplicaCalcular el producto de un número por 5 como lamitad del producto de ese número por 10.

11. Tilín busca el doble del doble.Calcular el cuadruple de un número como el doble deldoble.

12. Tilín duplica tres veces.Calcular productos de un número por 8, duplicándolotres veces.

13. Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula ladécima parte.Reconocer que dividir por 10 es lo inverso demultiplicar por 10.

Tilín y Tilón cuentan de a cinco y de a diez

Pida a los niños contar, por turno, de cinco en cinco, a partir deun número cualquiera, que no termine en 0 ni en 5. Hágaloprimero en sentido creciente y luego en sentido decreciente.Anote en el pizarrón, ordenadamente, los números de la serie,por ejemplo:

31 - 3641 - 46

Cuando los sienta seguros en el cálculo, pídales contar decinco en cinco, a coro, marcando el ritmo de las terminacionesque se repiten. Por ejemplo72-77... 82-87... 92 - 97.... 102 -107... 112-117...¿Por qué aparecen alternadamente las cifras 2 y 7 en las uni-dades? Pida a los niños que expliquen esta regularidad.Luego, pídales contar de 5 en 5, por ejemplo, a partir de 123 yanotar en un papel el número que les tocó decir.I nvítelos a contar de 10 en 10, a partir de 123. Deben partici-par, leyendo su papel, sólo los niños que tengan escrito unnúmero de esta serie.Ayude a los niños a verbalizar las relaciones entre ambas se-ries. Repita esta actividad a partir de 128.

Variante:

Divida al curso en dos grupos, pídale a cada grupo hacer cuatro letreros: ° detreinta en treinta hacia adelante", " de treinta en treinta hacia atrás", " de quin-ce en quince hacia adelante" y " de quince en quince hacia atrás".Usted elige un número de tres cifras, lo escribe en el pizarrón y uno de losgrupos muestra uno de sus letreros, el otro grupo deberá decir, por turno, laserie pedida.Luego los grupos alternan los roles, debiendo elegir un letrero distinto.

Para aprender a:Establecer equivalencia entre sumar diez y sumar dosveces cinco a un mismo número.

Para apoyar el proceso de cálculo, los niños pueden tener a lavista una cinta numerada hasta el 100 o una tabla de núme-

ros hasta el 100.Cuando hayan relacionado los números de las series de 5 en5, con las de 10 en 10, a partir de un número determinado,

pueden hacer ejercicios similares con series de:

50 en 50 y de 100 en 100,500 en 500 y de 1000 en 1000

También pueden trabajar con series de:

15en15yde30en30,25 en 25 y de 50 en 50, etc.

Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora.

Tilín y Tilón juegan con nueves

Proponga a los alumnos buscar formas de resolver, con facili-dad y rapidez, grupos de ejercicios donde uno de los sumandoses 9 o termina en 9, y el otro en cualquier número, que no sea0 ni 1. Por ejemplo, escriba en el pizarrón tríos de ejercicioscomo los siguientes:

Pídales explicar sus procedimientos.

Variante:

Proponga a los alumnos grupos de ejercicios de sustracción enl os cuales se resta 9 o un número con 9 en las unidades. Porejemplo:

Muestre cómo Tilón usa una estrategia similar a la que algunosniños pueden haber descubierto para sumar 9 .Tilón, en vez de restar nueve, resta diez, porque es más fácil, ycomo restó uno demás, agrega uno al resultado. De la mismamanera, en vez de restar 19, resta 20 y agrega 1 al resultado.Pídales ir resolviendo los ejercicios como Tilón e ir relatando loque hacen.

25+9 33+9 46+9 57+925+19 33+19 46+19 57+1925+29 33+29 46+29 57+29

57-9 65-957-19 65-1957-29 65-29

Para aprender a:Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9 ocualquier número con 9 en las unidades.

Es posible que los niños busquen estrategiasdistintas para resolver los ejercicios de sumaro restar 9, o cualquier número con 9 en lasunidades.

Frente a un ejercicio como 33 + 9, algunosniños lo resolverán descomponiendo 9 paracompletar la decena. Pensarán: a 33 le falta 7para completar la decena, y como 9 es igual a7 más 2, sumo 7 a 33, que es 40, y luego sumo2.Otros pueden pensar que, para sumar 9 a 33,es más fácil sumarle 10 y restar 1 al resulta-do.

Para que los niños distingan bien los ejerci-cios de adición y sustracción en los que seaplica esta estrategia, es conveniente que seapoyen en la representación de la recta nu-mérica.En el caso de la adición, en lugar de 45 + 19,decimos 45 más 20 y restamos 1, que había-mos sumado demás.En el caso de la sustracción, en lugar de45 - 19, decimos 45 menos 20 y sumamos 1,que habíamos restado demás.

Tilón retrocede, a partir del mismo lugar

Proponga a los alumnos resolver grupos de ejercicios como lossiguientes:

Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos ya pensar como Tilón: "si tengo lo mismo, mientras menos quito,más me queda y mientras más quito, menos me queda".Entregue a los alumnos tarjetas para que practiquen este tipode ejercicios, y pídales empezar por el que les resulte más fácilde resolver.

Variante:Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tresejercicios en los que se ha ido variando el sustraendo en senti-do creciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado elminuendo del ejercicio. Los niños estudian las relaciones entrel os ejercicios y agregan otros tres, siguiendo la secuencia del os sustraendos. Luego intercambian las tarjetas con sus com-pañeros y resuelven los ejercicios.

86-6 74-4 58-8 63-386-5 74-5 58-6 63-586-4 74-6 58-4 63-786-3 74-7 58-2 63-9

73-7 46-473-5 46-673-3 46-8

Para aprender a:Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros,por comparación, cuando el minuendo es constante.

En este tipo de actividad es necesario plan-tear secuencias de ejercicios en los que elsustraendo varíe en forma sistemática, lo quese traducirá en las mismas variaciones en elresultado. Así, ante un conjunto de ejercicios,l os niños podrán comenzar solucionando elmás fácil para luego dar el resultado de losotros, por comparación.Por ejemplo, en estos ejercicios:

el más fácil de resolver es 127 menos 27, loque nos permite saber que el resultado del si-guiente es 102 y del anterior es 98, ya que lossustraendos tienen una diferencia constantede 2.Es posible esperar que, ante un ejercicio ais-l ado, como 117 - 19, los niños, apoyándoseen la práctica anterior, realicen la sustracción:117 - 17, y al resultado le resten 2.

127-31127-29127-27127-25

Tilón retrocede lo mismo

Proponga a los alumnos resolver ejercicios como los siguien-tes:

Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos ya pensar como Tilón: "si quito lo mismo, mientras más tengo,más me queda y mientras menos tengo, menos me queda."Entregue a los alumnos tarjetas con ejercicios para que practi-quen, y pídales empezar con el ejercicio que les resulte másfácil de resolver.

Variante:

Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tresejercicios en los que se ha ido variando el minuendo en sentidocreciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado elsustraendo. Los niños estudian las relaciones entre los ejerci-cios y agregan tres, siguiendo la secuencia de los minuendos.Luego intercambian las tarjetas con sus compañeros y resuel-ven los ejercicios.

86-6 74-4 58-8 67-7

87-6 73-4 60-8 65-788-6 72-4 62-8 63-789-6 71 -4 64-8 61 -7

78-6 82-1477-6 84-1476-6 86-1475-6 88-14

Para aprender a:Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros,por comparación, cuando el sustraendo es constante.

En este tipo de actividad es importante plantear secuenciasde ejercicios en los que, manteniendo constante el sustraendo,se haga variar el minuendo en forma sistemática, lo que setraducirá en las mismas variaciones en el resultado. Así, anteun conjunto de ejercicios, los niños podrán comenzar solucio-nando el más fácil, para luego encontrar el resultado de losotros, por comparación.Por ejemplo, en estos ejercicios:

112-15113-15

114-15115-15116-15

el más fácil de resolver es 115 menos 15, lo que nos permitesaber que el resultado del siguiente es 101 y el del anterior es99, ya que los minuendos tienen una diferencia constante de 1.

Tilón contesta siempre lo mismo

Pida a los alumnos resolver grupos de ejercicios como los si-

guientes:

Invite a los niños a averiguar por qué todos los ejercicios quese encuentran en cada grupo tienen el mismo resultado y aexpresar con sus palabras las regularidades encontradas.

Variante:Los alumnos se organizan en grupos y proponen seis ejerciciosde sustracción que den el mismo resultado. Los intercambianpara estudiar las regularidades que existen entre los ejerciciospropuestos.

86-4 74-12 58-16 67-15

87-5 76-14 57-15 65-1388-6 78-16 56-14 63-11

89-7 80-18 55-13 61 - 9

Para aprender a:Reemplazar una sustracción por otra, más fácil de calculary que tenga el mismo resultado.

Es muy importante lograr que los niños seancapaces de reconocer ejercicios de sustrac-

ción que dan el mismo resultado y que sepanconstruirlos, ya que esto les permitirá resolvercualquier ejercicio de sustracción reemplazán-dolo por otro equivalente, más fácil de calcu-l ar.Por ejemplo, si un niño tiene que calcular53 - 17, él puede pensar que, ya que es másfácil restar 20, si agrega 3 unidades a ambostérminos, le queda 56 menos 20 que es 36;53 menos 17 también será igual a 36.Otros niños pueden pensar que la sustracciónserá más fácil de resolver si tienen decenascompletas en el minuendo. En este caso re-emplazarán 53 - 17 por 50 - 14, restando 3unidades a cada término.

Es necesario que los niños concluyan que a

ambos términos de la sustracción debemossumar o restar la misma cantidad para que ladiferencia sea constante.

Es posible que algún niño plantee ejerciciosen los que esto no se cumpla, en su deseo de

encontrar una respuesta fácil, rápidamente.Por ejemplo, puede reemplazar 51 - 19 por

50-20.Estos ejercicios no dan el mismo resultadoporque al minuendo se le ha restado 1 y alsustraendo se le ha sumado 1. Al resolver cadaejercicio en forma independiente, los niñosdescubrirán el error.

Otra forma de favorecer la asimilación de estaestrategia consiste en proponer un número al os niños y pedirles que busquen sustraccio-nes que den ese número como resultado. Con-viene anotar las sustracciones encontradas,ordenarlas y analizarlas.Algunos niños llegarán a darse cuenta que, sieligen cualquier número como sustraendo yl e suman el número propuesto por el profe-sor, obtendrán el minuendo.

Sumando, sumando,Tilón a la resta va llegando

Converse con los niños acerca del procedimiento que suelenusar los cajeros para dar el vuelto y que seguramente ellos hanobservado. Representen una situación con ayuda de los bille-tes. Por ejemplo:"Pago una mermelada que cuesta $ 288 con un billete de$ 500 ¿cuánto recibo de vuelto? ".

Cuando el cajero entrega: $ 2, dice: 290cuando entrega $ 10, dice: 300

cuando entrega $ 100, dice: 400y cuando entrega $ 100, dice: y, 500

Recibo $ 212 de vueltoPida a los niños resolver ejercicios de sustracción utilizando elprocedimiento de los cajeros; parten del sustraendo, luego su-man suman... hasta llegar al minuendo.Por ejemplo: 119 - 64Es posible resolver diciendo:

Por lo tanto : 119 - 64 = 55No es necesario que los niños escriban los pasos, basta queanoten los resultados parciales. Pueden ayudarse, como Tilón,con dibujos de cintas numeradas.

Variante:Pedir a los niños que, en grupos, inventen situaciones de com-praventa y las dramaticen luego ante sus compañeros. Por tur-no, los niños asumirán el papel de cajero y darán el vuelto su-mando.

64 + 30 = 9494 + 6 = 100100 + 19 = 11930+6+19 = 55

Para aprender a:

Calcular resultados de sustracciones, mediante laresolución de adiciones, partiendo del sustraendo.

En esta actividad, los niños transforman sustracciones en adi-ciones en las que sólo conocen un sumando y la suma. Esdecir, reconocen que la sustracción es inversa a la adición,aunque no es necesario que lo verbalicen. Posteriormente po-drán recurrir a esta estrategia para solucionar ejercicios desustracción, que sean engorrosos de resolver, por ejemplo,aquéllos en que el minuendo es un número con varias cifrascero ( 1000 - 768).Podrán ir sumando unidades, decenas, centenas, en cualquierorden. Permítales hacerlo como a ellos les resulte más fácil.

Tilín juega a tener el doble

Pida a los niños calcular el doble de un número.Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad cre-ciente, por ejemplo:

Para que todos los niños tengan tiempo suficiente para comple-tar sus cálculos, cada alumno escribe sus resultados sin decir-los. Cuando la mayoría de los niños hayan terminado, pídalesque los lean en voz alta.

Si los niños dan resultados diferentes, permítales explicar cómolos obtuvieron hasta que logren ponerse de acuerdo en cuál esel resultado correcto.

111-Variante:

Se juega en círculo. Un niño pasa al centro, dice un número ei ndica a un compañero, quien deberá decir el doble del númeropropuesto. Si da la respuesta correcta, pasa al centro a continuarel juego. En caso contrario, el que propuso el ejercicio deberádar respuesta y si ésta es correcta, podrá continuar en el centro.Un alumno controla los resultados, usando calculadora.

El doble de4

El doble de20

El doble de22

El doble de18

5 100 34 297 25 33 469 45 51 37

Para aprender a:Calcular el doble de un número.

Para contextualizar esta actividad puede inventar, junto consus alumnos, situaciones como:

" Tilín saca dos veces una misma cantidad"" Tilón toma lo mismo que Tilín y lo juntan"" Un jugador gana el doble de lo que apuesta".

Para apoyar el proceso de cálculo, es posible utilizar materia-l es, como las tarjetas par-impar o los billetes y comparar elnúmero inicial y el doble obtenido.Para calcular el doble de un número, por ejemplo de 37, al-guien puede observar que, ° 30 + 30 es 60 y 7 + 7 es 14"; otroniño puede advertir que, " 35 + 35 es 70 y 2 + 2 es 4".Para apoyar el proceso de establecer relaciones entre suma yproducto, pida a los niños que busquen diversas maneras decalcular el doble de un número con la calculadora. Por ejem-plo, para calcular el doble de 327:

327 + 327 = (adición)327 x 2 = (multiplicación)327 + = = (constante aditiva)

Luego, que compartan los procedimientos encontrados.

Tilón busca la mitad

Pida a los niños calcular la mitad de un número.Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad creciente,cuidando que sean números pares. Por ejemplo:

Cada alumno escribe los resultados de sus cálculos.Si los resultados son diferentes, pídales que revisen sus cálcu-los y cuenten cómo lo hicieron, de manera de llegar a justificarla respuesta correcta.

Variante:Forme dos o más equipos en el curso. Los miembros de unequipo proponen números y los de otro equipo calculan la mi-tad. Un alumno arbitra el juego, controlando los resultados concalculadora. Se asigna un punto por respuesta correcta.

La mitad de La mitad de La mitad de La mitad de

4 60 22 346 80 64 568 50 86 7810 70 48 92

Para aprender a:Calcular la mitad de un número par.

Para contextualizar esta actividad puede in-ventar, junto con sus alumnos, situacionescomo:

` Tlán regala la mitad de lo que tiene"." El mago Tilón reduce a la mitad lo quetoca"." Un jugador pierde la mitad de lo queapuesta".

Es conveniente que los niños expliquen a losdemás sus procedimientos. Por ejemplo, " paraencontrar la mitad de 34, yo pensé: la mitadde 30 es 15 y la mitad de 4 es 2; despuésj unté las dos mitades y me dio 17," o bien, " yopensé que 34 es 20 más 14, la mitad de 20 es10 y la mitad de 14 es 7, entonces, la mitad de34es10+7,osea17".

Para apoyar el proceso de cálculo, es posibleutilizar material concreto, como tarjetas par-i mpar o billetes. Es posible también trabajarcon calculadora, ¿habrá distintas maneras decalcular la mitad de un número usando calcu-l adora?.Si los alumnos plantean ejercicios con núme-ros impares, conviene dejarlos que expresenl os resultados en forma natural, por ejemplo:l a mitad de 27 es 13 y medio". Si exploran esteejercicio con la calculadora, se encontraráncon la expresión 13.5, lo que les puede permi-tir aprender la equivalencia entre un medio ycinco décimos y también extender el sistemade numeración decimal hacia los décimos.

Tilín pide el doble y Tilón la mitad

Invite a dos niños, para que uno asuma el rol de Tilín y el otro elde Tilón. Tilín duplica cualquier número que se le diga, mientrasque Tilón, reduce a la mitad los números que se le dicen.

Usted dice, en voz alta, un número al niño que hace de Tilín. El,en silencio, lo duplica y anota este resultado en un papel, quese lo pasa al niño que hace de Tilón. El, de acuerdo a su rol,calcula la mitad de ese número y lo anota.Ahora, pida a los otros niños, que digan cuál es este últimonúmero.

Una vez que logren establecer que el número que usted hadicho en voz alta y el que se obtiene después de duplicarlo yreducir ese resultado a la mitad, es siempre el mismo, cambieel orden de la secuencia; usted le dice el número a Tilón; él loreduce a la mitad y, a continuación, Tilín duplica el resultadoque obtiene Tilón.

Variante:Cada alumno escribe en un papel un número, sin mostrarlo a sus compañeros, y lopone en una bolsa. En seguida, por turno, un niño saca un papel de la bolsa, lee ensilencio el número que sacó y escribe el doble de ese número en el pizarrón, conser-vando el papel con el número escrito.El niño del curso que primero dice el número que su compañero tiene escrito en elpapel, pasa adelante a sacar otro número de la bolsa, y así continúa el juego.Cuando se hayan agotado los papeles, por turno, los alumnos pasan al pizarrón, eli-gen uno de los números escritos, lo tarjan y escriben en el pizarrón la mitad del núme-ro tarjado. Al término de este proceso, comparan los números que están ahora escri-tos en el pizarrón con los que están escritos en el papel que cada niño guardó en supoder. Si hay alguno diferente, buscarán cuál fue el error en que se incurrió.

Para aprender a:Reconocer que cualquier número es igual a la mitad de sudoble.

Es importante que los alumnos se den cuenta que, en el juegopropuesto en la actividad, el resultado del segundo cálculo esel primer número propuesto. La calculadora puede ayudarlesa visualizar esta relación:

827 x 2 = 16541654: 2 = ¿Hace falta calcularlo?

Una vez que los niños han descubierto la relación, anímelos aj ugar con números grandes y a anticipar el resultado de la se-gunda operación, a partir de la primera que dicen.

Tilín decaplica y quintuplica

Pida a los niños que multipliquen un mismo número por diez ypor cinco. Para encontrar los resultados de multiplicar por cinco,podrán usar calculadora.

Una vez que tienen los resultados, llévelos a observar las rela-ciones entre éstos. ¿Qué relación hay entre 80 y 40?, ¿entre500 y 250?

Ayúdelos a expresar con sus palabras conclusiones como lassiguientes: al multiplicar un número por 10 resulta el doble de loque se obtiene si se multiplica ese número por 5; o bien, el re-sultado de multiplicar un número por 5 es igual a la mitad delque se obtiene si se multiplica ese número por 10.

Variante:En parejas, pídales resolver multiplicaciones de un mismo nú-mero por 10, por 5 y por 15. Analizar los resultados y establecerrelaciones entre éstos. Anímelos a usar calculadora en un pri-mer momento y luego tratar de calcular los resultados y sólocomprobarlos con la calculadora.

8 x 10 8 x 5

50x10 50x5

75x10 75x5

64x10 64x5

Para aprender a:Calcular el producto de un número por 5 como la mitaddel producto de ese número por 10.

Si hay niños que aún no han comprendido quepara encontrar el producto de cualquier nú-mero por diez, basta agregar un cero a esenúmero, présteles especial atención; que ha-gan ejercicios diversos con calculadora y losanoten. También, para facilitar la comprensiónde esta regla, se puede trabajar con un table-ro en el que estén marcadas las unidades,decenas y centenas, y algún material estruc-turado de acuerdo al sistema decimal, comol os billetes. Se puede contextualizar los ejer-cicios proponiendo: un dulce vale $ 25, ¿cuán-to valen 10?, y luego variar el precio del dulcepidiendo, cada vez, que comparen la distribu-ción de billetes en el tablero, antes y despuésde multiplicar.

Una vez que la mayoría de los niñossepa multiplicar por 10 rápidamen-te, es posible centrar la actividaden su propósito principal, que esl ograr que los niños dispongan

de un camino alternativo para multiplicar unnúmero por 5. Este camino consiste en multi-plicar el número por 10 y luego, calcular lamitad del resultado obtenido.

Como aplicación de las habilidades para mul-tiplicar mentalmente por 10 y por 5, convieneejercitar las °tablas de multiplicar" del 10 y del5, de manera que los niños, a partir del cálcu-lo rápido de estos resultados, lleguen amemorizarlos.

Cuando los niños sepan calcular rápidamenteel producto de un número por 10 y por 5, po-drán darse cuenta que para multiplicarlo por15 pueden, o triplicar el resultado de multipli-carlo por 5, o bien, sumar los resultados de

multiplicarlo por 10 y por 5.

Tilín busca el doble del doble

Presente a los alumnos el sombrero duplicador de Tilín.Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa polvos mágicosy aparecen en el sombrero 6 monedas. Vuelve a echar polvosmágicos y aparecen 12 monedas. Si en lugar de 3 monedas,Tilín hubiera colocado 5 en el sombrero, ¿cuántas habrían apa-recido al final?

Para ayudar a los alumnos a relacionar las acciones de doblar ydoblar con la acción de cuadruplicar, propóngales probar la ma-gia de Tilín en la calculadora.

Escribir un número. Multiplicarlo por 2. Sin borrar, volver amultiplicar por 2. Anotar el resultado.Multiplicar el mismo número por 4¿Coincide el resultado con el anterior ?¿Pasará lo mismo con cualquier número?

Continuar haciendo ejercicios con números de varias cifras.

Variante:Agrupe de a tres los niños del curso. Cada grupo debe contes-tar, sin usar calculadora, ejercicios como los siguientes:

7x1 ; 7x2 ; 7x4.

Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con númerosmayores, por ejemplo: 25 x 1 ; 25 x 2 ; 25 x 4.

J

Para aprender a:

Calcular el cuádruple de un número como el doble deldoble.

El propósito de esta ejercitación es que los niños se den cuen-ta que:

3x2=6 3x2x2=12

3x4=12

Multiplicar un número por 4, equivale a multiplicarlo por 2 yotra vez por 2.

Una manera de visualizar esta relación es elegir una tarjeta

par-impar, por ejemplo, la que tiene tres puntos. Duplicarla,

corresponde a tener dos tarjetas de tres puntos; duplicar otra

vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de tres puntos.

El doble del doble de tres, equivale a cuatro veces tres.

Una vez que los niños manejan esta equivalencia, pueden

usarla para calcular rápidamente cualquier producto, en el que

uno de los factores es cuatro:

16x4= ... El doble de 16 es 32 y el doble de 32 es 64.16x4=64 , n__ 1

Tilín duplica tres veces

Proponga a los niños trabajar con el sombrero mágico de Tilín:Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa tres veces pol-vos mágicos y aparecen en el sombrero 24 monedas. Si en lu-gar de 3 monedas, Tilín hubiera colocado 4 en el sombrero,¿cuántas habría al final?

Para ayudar a los alumnos a que relacionen las acciones deduplicar tres veces con la acción de multiplicar por 8, utilice cal-culadora.

Variante:Agrupe de a cuatro los niños del curso. Cada grupo debe resol-ver ejercicios como los siguientes, sin usar calculadora:

8x1 ; 8x2 ; 8x4 ; 8x8.

Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con númerosmayores, por ejemplo: 35 x 1 ; 35 x 2 ; 35 x 4 ; 35 x 8.Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora.

Para aprender a:

Calcular productos de un número por 8, duplicándolo tres

veces.

El propósito de esta ejercitación es que los

niños se den cuenta que:

3x2=6

3x2x2= 12 ....... 3x4= 12

3x2x2x2= 24 ....... 3x8= 24

Multiplicar un número por 8, equivale a multi-

plicarlo por 2, otra vez por 2 y otra vez por 2.

Una manera de visualizar esta relación es ele-

gir una tarjeta par-impar, por ejemplo, la que

tiene siete puntos. Duplicarla, corresponde a

tener dos tarjetas de siete puntos; duplicar otra

vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de

siete puntos; duplicar una tercera vez corres-

ponde a tener ocho tarjetas de siete puntos.

El doble, del doble del doble de siete, equivale

a ocho veces siete. Una vez que los niños ma-

nejan esta equivalencia, pueden llegar a la "ta-bla del ocho" a partir de la del cuatro:

7x4=28

7 x 8 = ..... El doble de 28 es 56.7x8=56

También, pueden usarla para calcular cual-

quier producto correspondiente a la "tabla del

ocho":

6 x 8 = .....El doble de 6 es 12, el doble de 12 es 24 y el

doble de 24 es 48.

6x8=48

Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula la décima parte

En esta actividad Tilín multiplica por 10 cualquier número y Ti-lón, divide los números por 10.I nvite a un niño para que asuma el rol de Tilín y otro que hagade Tilón.En voz alta, usted le dice un número al niño que hace de Tilín.El hace el cálculo en silencio y anota el resultado en un papel.Le pasa este papel a quien hace el rol de Tilán para que dividaese número por 10 y anote el resultado que obtiene.En seguida, pida a los demás que digan cuál es el número queTilán anotó en el papel.Una vez que logran darse cuenta que el número que usted dicei nicialmente en voz alta, es igual al que resulta después demultiplicarlo por 10 y dividir ese producto por 10, invierta el or-den de la operatoria: usted le dice el número a Tilón, cuidandoque la cifra de las unidades sea igual a 0, para que anote elresultado que se obtiene al dividirlo por 10 y pase el papel aTilín, para que multiplique por 10 ese cuociente.

Variante:Proponga secuencias similares, multiplicando y dividiendo su-cesivamente por 5, cuidando, al invertir el orden de la operatoria,que los números que usted proponga tengan 5 ó 0 en las unida-des.

El propósito de esta ejercitación es que los niños reconozcan

l a relación inversa entre multiplicar y dividir por 10 y cómo esarelación se expresa también en lo inverso de las reglas paramultiplicar y para dividir por 10: en la primera se agrega un 0 y

en la segunda se quita un 0.

Para facilitar la comprensión de esta regla, conviene trabajarcon un tablero en el que estén marcadas las unidades, dece-nas y centenas, y algún material decimalmente estructurado,como los billetes. Se puede contextualizar los ejercicios pro-poniendo: entre 10 personas tienen que pagar $ 1.520 ¿cuán-to tiene que pagar cada una, si todas ponen lo mismo?, y lue-go variar el precio, pidiendo, cada vez, que comparen la distri-bución de billetes en el tablero, antes y después de dividir.

Además de proponer situaciones de reparto equitativo, tam-bién pueden plantearse situaciones de medida, como: ¿cuán-tos platos se puede servir, con 10 cerezas cada uno, si hay 90

cerezas en total?

Para aprender a:Reconocer que dividir por 10 es lo inverso de multiplicar

por 10.

Para afianzar el uso de esta regla es recomendable recurrir a

l a calculadora, comparando el número que dividen por 10, conel cuociente obtenido. ¿Pueden anticipar el resultado, antes

de tipear la tecla "igual"?