Download - Calculo Integral.- Unidad 1, Actividad 2
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En esta actividad, se presentan ejercicios sobre la suma de Riemann, una vez que hayas resuelto puedes comprobar tus resultados empleando una aplicación de tu preferencia y mostrando la gráfica de la función. Solo te pido que indiques que aplicación empleaste para la comprobación e incluyas las capturas de pantalla.
Ejercicios:
1.- Encuentre el área de la región bordeada por las gráficas de:
f ( x )= (x−1 )2+2 x₁=−1 , x ₂=2
x f(x)-1 60 31 22 3
Además el eje x mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann.
f ( x )=¿
Se divide [−1 ,2]
∆ x=2−(−1)n
=3n
, x i=a+ i Δ+x=−1+ 3in
La enésima suma de Riemann es:
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∑ ni=1
f ( xi ) Δ x
¿∑ ni=1
f (−1+3 in ) 3n=∑ ni=1[(−1+3 in−1)
2
+2] 3n¿∑ n
i=1[( 3 in −2)2
+2] 3n=∑ ni=1( 9 i
2
n2−12 in
+4+2) 3n¿∑ n
i=1(27 i2
n3−36
n2i+18n )=27n3 ∑ n
i=1i2−36
n2∑ ni=1
i+18n ∑ n
i=11
∑ ni=1
f ( xi ) Δ x=27
n3 [ n(n+1)(2n+1)6 ]−36n2 [ n (n+1 )2 ]+ 18n (n )=9 (n+1 ) (n+1 )
2n2−18
(n+1 )n
+18
El área de la suma de Riemann es:
lim ¿n→∞∑ ni=1
f ( xi )∆ x=lim ¿n→∞[9 (n+1 ) (2n+1 )2
n2−18(n+1 )n
+18]=9−18+18=9¿¿
2.-Calcule la suma de Riemann para la función en el intervalo utilizando la partición D y los valores dados de wr. Dibuje la gráfica de la función en el intervalo dado y muestre los rectángulos cuyas medidas de áreas sean los términos en la suma de Riemann.
f ( x )=x2; 0≤ x≤3;
D : x0=0 , x1=0.5 , x2=1.25 , x3=2.25 , x4=3;
w1=0.25 ,w2=1 ,w3=1.25 ,w4=2.5
El desarrollo es el siguiente:
△1 x=x1−x0=0.5−0=0.5
△2 x=x2−x1=1.25−0.5=0.75
△3 x=x3−x2=2.25−1.25=1
△4 x=x4− x3=3−2.25=0.75
∑i=1
3
f (w i )⋅△i x=f (w1 ) ⋅△ 1 x+f (w2 ) ⋅△2 x+ f (w3 ) ⋅△3 x+f (w4 ) ⋅△4 x
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f (w1 ) ⋅△1 x=f (0.25 ) (0.5 )=(0.25 )2 (0.5 )=( 116 )( 12 )= 132
f (w2 ) ⋅△2 x=f (1 ) (0.75 )=(1 )2 (0.75 )=1( 34 )=34f (w3 ) ⋅△3 x=f (1.5 ) (1 )=(1.5 )2 (1 )=( 94 ) (1 )= 9
4
f (w4 )⋅△ 4 x=f (2.5 ) (0.75 )= (2.5 )2 (0.75 )=( 254 )( 34 )=7516
∑i=1
3
f (w i )⋅△i x=132
+ 34+ 94+ 7516
=1+24+72+15032
=24732
=7,71875
La gráfica es la siguiente:
f ( x )=1x;1≤x ≤3 ;
D : x0=1 , x0=0 , x1=1.67 , x2=2.25 , x3=2.67 , x4=3 ;
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w1=1.25 ,w2=2,w3=2.25 ,w4=2.75 ;
El desarrollo es el siguiente:
△1 x=x1−x0=1.67−1=0.67
△2 x=x2−x1=2.25−1.67=0.58
△3 x=x3−x2=2.67−2.25=0.42
△4 x=x4− x3=3−2.67=0.33
∑i=1
3
f (w i )⋅△i x=f (w1 ) ⋅△ 1 x+f (w2 ) ⋅△2 x+ f (w3 ) ⋅△3 x+f (w4 ) ⋅△4 x
f (w1 ) ⋅△1 x=f (1.25 ) (1.67 )=( 11.25 )(0.67 )=( 45 )( 23 )= 815
f (w2 ) ⋅△2 x=f (2 ) (0.58 )=(12 )(0.58 )=( 12 )(2950 )= 29100
f (w3 ) ⋅△3 x=f (2.5 ) (0.42 )=( 12.5 ) (0.42 )=( 152 )( 2150 )=( 25 )( 2150 )= 42250
f (w4 )⋅△ 4 x=f (2.75 ) (0.33 )=( 12.75 ) (0.33 )=( 1114 )( 13 )=( 411 )( 13 )= 4
33
∑i=1
3
f (w i )⋅△i x=815
+ 29100
+ 42250
+ 433
=8800+4785+2772+200016500
=1835716500
=1.11254545
La gráfica es la siguiente:
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