Formulas de Integrales y como resolverlos
Integrales = antiderivadas
Para saber resolver int egrales hay que saber derivar muy muy bien
y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan
muchisimo en las int egrales cuando hacemos cambio de variable.
sen a ! b^ h = sena. cos b ! senb. cosa
I cos a ! b^ h = cosa. cos b " senasenb
tag a ! b^ h =1 " taga.tagbtaga ! tagb
sena. cos b =21sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @
II cosa. cos b =21
cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @sena.senb =
21 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @
sena ! senb = 2sen 2a ! b
cos 2a " b
III cosa + cos b = 2 cos 2a + b
cos 2a - b
cosa - cos b =- 2sen 2a + b
sen 2a - b
taga ! tagb =cosa. cos bsen a ! b^ h
sen2a + cos2a = 1 -1 # sena # 1 -1 # cosa # 1
sen2a = 2.sena. cosa cos 2a = cos2a - sen2a tag2a =1 - tag2a
2.taga
cos2a =2
1 + cos 2asen2a =
21 - cos 2a
tag2a =1 + cos 2a1 - cos 2a
1 + tag2a =cos2a1
1 + cot g2a =sen2a1
cosx1 - senx =
1 + senxcosx
cosa1 =
21
1 - senacosa +
1 + senacosa7 A
sena1 =
21
1 - cosasena +
1 + cosasena7 A
Demostracion
cosa1 =
cos2acosa =
1 - sen2acosa =
1 - sena^ h 1 + sena^ h
cosa =21
1 - senacosa +
1 + senacosa7 A
Pitagoras
c2 = a2 + b2
sena =cb
cosa =ca
taga =ab
e-iax = cos -ax^ h + isen -ax^ h = cos ax^ h - isen ax^ h
eiax = cos ax^ h + isen ax^ h( (
sen ax^ h = 2ieiax - e-iax
cos ax^ h = 2eiax + e-iaxZ
[
\
]]]]]]]]]]
Estas fracciones en algunos ejercicios son muy utiles
1 + a1 - a =- 1 +
1 + a2
;a + ba = 1 -
a + bb
;a2 - b2
1 =2a1
a - b1 +
a + b18 B
*** muy importantes tenerlas memorizadas
an - bn = a - b^ h an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + .........................^ h
an + bn = a + b^ h an-1 - an-2b + an-3b2 - an-4b3 + .... - ... + ........^ h
observacion de las potencias = n - 1/
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Tabla de Derivadas1 y = k cte^ h ( ly = 0
2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1. lf x^ h
3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h
4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h
5 y = f x^ h .g x^ h ( ly = lf x^ h .g x^ h + f x^ h . lg x^ h
6 y =g x^ hf x^ h
( ly =g x^ h6 @2
lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h
7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h
8 y = f-1
x^ h ( ly =lf of
-1x^ h
1
9 y = logaf x^ h6 @ ( ly =
f x^ hlf x^ h
Ln a^ h1
10 y = af x^ h
( ly = af x^ h
. lf x^ h .Ln a^ h
11 y = ef x^ h
( ly = ef x^ h
. lf x^ h
12 y = sen f x^ h6 @ ( ly = cos f x^ h6 @. lf x^ h
13 y = cos f x^ h6 @ ( ly =- sen f x^ h6 @. lf x^ h
14 y = tag f x^ h6 @ ( ly =cos
2f x^ h1
lf x^ h = 1 + tag2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h
15 y = cotag f x^ h6 @ ( ly =sen
2f x^ h
-1lf x^ h =- 1 + cotg
2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h
16 y = arcsen f x^ h6 @ ( ly =1 - f x^ h6 @2
1lf x^ h
17 y = arcos f x^ h6 @ ( ly =1 - f x^ h6 @2
-1lf x^ h
18 y = arctag f x^ h6 @ ( ly =1 + f x^ h6 @2
1lf x^ h
19 y = arctag f x^ h6 @ ( ly =1 + f x^ h6 @2
-1lf x^ h
20 y = f x^ h6 @g x^ hA para esta formula se utiliza eLna = a
asi que y = eln f x^ h7 Ag x^ h
= eg x^ hLnf x^ h
AA solo queda aplicar formulas anteriores
Hay que saber derivar muy bien y tener las formulas memorizadas para poder saber int egrar
es algo parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir
f x^ ha
b
# .dx "
f x^ h en funcion de x ejemplo y = f x^ h = 2x + 3la curva de f x^ h gira alrededor del eje X
a # x # b + x d a,b6 @a es el limite inferior , b es el limite superiorZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
f y^ ha
b
# .dy "
f y^ h en funcion de y ejemplo x = f y^ h = 2y + 3
la curva de f y^ h gira alrededor del eje Y
a # y # b + y d a,b6 @a es el limite inferior , b es el limite superiorZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
FORMULAS INTEGRALES
1) kdx = Kx siendo K una cons tan te#
2) K.f x^ hdx# = K f x^ h# dx
3h f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx
4h f x^ h6 @n# . lf x^ hdx =n + 11
f x^ h6 @n+1 + cte siendo n !- 1
5h f x^ h6 @#-1
. lf x^ hdx = ln f x^ h + cte
6h a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h lna1 + cte
7h a f x^ h# dx " se hace cambio de variable t = f x^ h
8h cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte
9h senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte
10hcos2 f x^ h
lf x^ h# dx = tgf x^ h + cte
11hsen2 f x^ h
lf x^ h# dx =- cotag f x^ h^ h + cte
12h1 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =-arccos f x^ h + cte
arcsen f x^ h^ h + cte(
13h1 + f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =-arcotag f x^ h^ h + cte
arctg f x^ h^ h + cte(
14h eax cos bx dx =a2 + b2eax
a cos bx + bsenbx^ h# + cte utilizando integración por partes^ h
15h eax# senbx dx =a2 + b2eax
asenbx - b cos bx^ h + cte utilizando integración por partes^ h
16h1 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =21ln
1 - f x^ h
1 + f x^ h+ cte A
17h1 + f x^ h6 @2! lf x^ h
# dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2_ i+ cte B
18hf x^ h6 @2 - 1
! lf x^ h# dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte C
las formulas A,B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante
aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas
Intergrales por parte
** udv# = uv - vdu dirais de donde sale esto pues sea u = f x^ h# y v = g x^ h
como sabemos en derivadas que f x^ h .g x^ h^ hl= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h
01 2 3444444444444444444444444 444444444444444444444444
f x^ h .g x^ h^ hl# = lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h6 @#
01 2 344444444444444444444444444444 44444444444444444444444444444
f x^ h .g x^ h = lf x^ h# g x^ h
vD
+ f x^ h
uA# lg x^ h
01 2 344444444444444444444444444 44444444444444444444444444
uv = vdu + udv##
udv = uv - vdu## a
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
La formula a se utiliza en los seguientes casos
1 cuando tenemos solamente funcion logaritmica
Ejercicio 1 ln x.dx = I aqui u = ln x & du =x1# dx
dv = 1dx & v = x
asi que I = x ln x - x x1dx# = x ln x - x
2 cuando tenemos solamente funcion inversa
Ejercicio 2 arcsenx dx# = I aqui u = arcsenx & du =1 - x21
dx
dv = 1dx & v = x
asi que I = x.arcsenx -1 - x2x dx#
J6 7 8444444 444444
1 - x2 nos hace pensar en 1 - sen2x = cos2x asi que hacemos cambio de varible
x = sent & 1x = sent & dx = cos t dt y por pytagoras del tringulo debajo
se deduce que cos t = 1 - x2 luego J =cos t
sent.cos t.dt# =- cos t =- 1 - x2
por ultimo I = x.arcsenx + 1 - x2 + cte
3 cuando tenemos producto de 2 funciones pertenecientes a las 5 funciones seguientes
Funcion Exponencial
Funcion Inversa(arco..............)Funcion LogaritmicaFuncion AlgebraicaFuncionTrigonometrica(seno,coseno,tg,.......)
_
`
a
bbbbbbbbbbbbEjemplosituvieramosxsenx"xesalgebraicasenxestrigonometricaluegou=xydv=senx
Ejemplo situvieramosx.lnx"xcorrespondeaalgebraicaylnxalogaritmicaluegou=lnxydv=x
paraestoutilizamos la palabra ILATE la primeraqueaparecer correspondeau
y la segundaqueaparececorrespondeadvsiempre seguiendoel ordende la palabra ILATE
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
Ejercicio 3
x ln x.dx# = I tenemos 2 funciones distintas lnx es logaritmicax es algebraica
% la primera en aparecer en ILATE es
la logaritmica asi quedv = xdx & v =
21x2
u = ln x & du =x1dx
* luego I = 21x2 ln x -
21# x2 x
1dx =
21x2 ln x -
2121x2 =
21x2 ln x -
41x2 + cte
Ejercicio 4
I = x. 1 + x# dxdv = 1 + x = 1 + x^ h2
1& v =
21 + 1
11 + x^ h2
1 +1 =32
1 + x^ h23
u = x & du = 1dx
*
I = 32x 1 + x^ h2
3
-32
1 + x^ h23
# dx =32x 1 + x^ h2
3
-32
32 + 1
11 + x^ h3
2 +1 =32x 1 + x^ h2
3
-3252
1 + x^ h25
=32x 1 + x^ h2
3
-154
1 + x^ h25
Integrar Fracciones
Division de dos polinomios^ h
P x^ h ' Q x^ h = C x^ h + R x^ h,Q x^ h
P x^ h= C x^ h +
Q x^ h
R x^ hasi que
Q x^ h
P x^ h# dx = C x^ hdx#
a6 7 844444 44444
+Q x^ h
R x^ h# dx
b6 7 8444444 444444
para hallar la int egracion de a es facilisimo
solamente hay que saber la formula f x^ h^ hn# . lf x^ hdx =
n + 11
f x^ h^ hn+1
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
ahora para resolver laQ x^ h
R x^ h# dx ojo el grado de R x^ hes1 grado de Q x^ h6 @
1 paso es calcular Q x^ h = 0 y a1 a2 a3 ...........an6 @ sean las soluciones Ahora** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son ! una de la otra & Q x^ h = x - a1^ h x - a2^ h ....... x - an^ h = 0
EntoncesQ x^ h
R x^ h=
x - a1^ h
A1 +x - a2^ h
A2 +x - a3^ h
A3 + . . . . . . . +x - an^ h
An
luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . An y por ultimo
Q x^ h
R x^ h# dx =
x - a1^ h
A1dx +
x - a2^ h
A2dx## + . . . + . . . . +
x - an^ h
Andx#
** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son = todas & Q x^ h = x - a^ hn
EntoncesQ x^ h
R x^ h=
x - a^ h
A1 +x - a^ h
2A2 +
x - a^ h3
A3 + . . . . . . . +x - a^ h
nAn
luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . . An y por ultimo
Q x^ h
R x^ h# dx =
x - a^ h
A1dx +
x - a^ h2
A2dx## + . . . . + . . . . . +
x - a^ hn
Andx#
** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son ! todas que no tiene soluciones reales^ h
EntoncesQ x^ h
R x^ h=
x ! a1^ h2 + b1
2
M1x + N1 +x ! a2^ h
2 + b22
M2x + N2 +x ! a3^ h
2 + b32
M3x + N3 + . . . . . . . +x ! an^ h
2 + bn2
Mnx + Nn
luego se calcula los valores de M1 M2 M3 .......Mn y N1 N2 N3 ......Nn y por ultimo
Q x^ h
R x^ h# dx =
x ! a1^ h2 + b1
2
M1x + N1dx +
x ! a2^ h2 + b2
2
M2x + N2dx + . . . + . . . +
x ! an^ h2 + bn
2
Mnx + Nn### dx
se hace cambio de variable x ! a1 = b1 tgt ; x ! a2 = b2 tgt . . . . . . . . . ; x ! an = bn tgt
ahora bien si fuera Q x^ h = ax2 + bx + c = 0 siendo 3= b2 - 4ac 1 0 hacemos lo seguiente
Q x^ h = ax2 + bx + c = ax2 + bx +4ab2 -
4ab2
siempre va + 4ab2 despues - 4a
b21 2 34444444 4444444
+ c = ax2 + bx +4ab2
a k+ -4ab2 + ca k
este dato es positivo1 2 344444 44444
llegaremos a una forma de Q x^ h = x ! a^ h2 + b2
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWWW
** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son = todas que no tiene soluciones reales^ h
se hace exactamente igual que en el caso de las reales con la unica diferencia que es el numerador Mx + N
** vamos a ver a lgunos ejemplos para entender mejor las int egrales racionales.
ejemplo de raices reales !
Ejercicio 5 I =x2 + x - 2x3 - 2x2 + 5# dx aqui P x^ h = x3 - 2x2 + 5 Q x^ h = x2 + x - 2
haciendo la division de los polinomios
5x - 1
3x2 + 3x - 6
-3x2 + 2x + 5
-x3 - x2 + 2xx3 - 2x2 + 5
x - 3
x2 + x - 2g
asi que P x^ h | Q x^ h = x - 3 +x2 + x - 25x - 1
ahora hallemos las soluciones de x3 - 2x2 + 5 = 0 + x - 1^ h x + 2^ h = 0
ahorax2 + x - 25x - 1
=x - 1^ h x + 2^ h
5x - 1
asi quex2 + x - 25x - 1 =
x - 1A +
x + 2B =
x2 + x - 2
A x + 2^ h + B x - 1^ h& 5x - 1 = A x + 2^ h + B x - 1^ h
si x = 1 & 4 = 3A & A =43
si x =- 2 & - 11 =- 3B & B =311
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
asi quex2 + x - 25x - 1 =
x - 143
+x + 2311
por ultimo I = x - 3^ h# +x - 143
+x + 2311
dx = x - 3^ hdx# +43
x - 11# dx +
311
x + 21
dx# =2
1x2 - 3x + Ln x - 1 +
3
11Ln x + 2 + cte
ejemplo de raices reales iguales
Ejercicio 6 I =x2 - 4x + 4x2 + x + 3# dx P x^ h = x2 + x + 3 Q x^ h = x2 - 4x + 4
haciendo la division de los polinomios
5x - 1
-x2 + 4x - 4x2 + x + 3
1
x2 - 4x + 4g
asi que I =x2 - 4x + 4x2 + x + 3# dx = 1dx +
x2 - 4x + 45x - 1## dx
factorizando x2 - 4x + 4 = x - 2^ h2luego
x2 - 4x + 45x - 1 =
x - 2A +
x - 2^ h2
B =x - 2^ h
2
A x - 2^ h + B
si x = 2 & 9 = B
si x = 0 &- 1 =- 2A + B & A = 5
luego I = 1dx +x - 25## dx +
x - 2^ h2
9# dx = x + 5Ln x - 2 + 9. -2 + 11
x - 2^ h-2+1 = x + 5Ln x - 2 -
x - 2^ h
9 + cte
ejemplo de raices complejas !
Ejercicio 7 I =x - 2^ h x2 + x + 1^ h
x - 4# dx aqui no tenemos P x^ h porque el grado de numerador 1 grado denominador asi que
x - 2^ h x2 + x + 1^ h
x - 4 =x - 2A +
x2 + x + 1Mx + N
U porque" denomin ador tiene una solucion real y otra compleja de x2 + x + 1^ h,
=x - 2^ h x2 + x + 1^ h
A x2 + x + 1^ h + Mx + N^ h x - 2^ h
si x = 2 &- 2 = 7A & A =7-2
si x = 0 &- 4 = A - 2N =7-2 - 2N & N =
713
si x =- 1 &- 5 = A + 3M - 3N &- 5 =7-2 + 3M -
739& M =
72
asi que I = 7-2
x - 21# dx +
71
x2 + x + 12x + 13# dx como se ve en la segunda int egral que d x2 + x + 1^ h/dx = 2x + 1 ; pero en
el numerador tenemos 2x + 13 que habra que descomponer para que aparez ca 2x + 1 que es 2x + 1 + 12 asi que
I = 7-2
x - 21# dx
7-2Ln x-2
directa1 2 344444444 44444444
+71
x2 + x + 12x + 1# dx
71 Ln x2+x+1_ i
directa1 2 34444444444 4444444444
+ 71
x2 + x + 112# dx
H1 2 34444444444 4444444444
U H tenemos que haga que apa rez ca a la formula nº 13
H = 712
x2 + x + 11# dx como x2 + x + 1 = x2 + x +
41
4ab2
?J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO- 41
- 4ab2
?
+ 1 = x +21
` j2
+43= 4
3
3
2x +3
1c m
2
+ 1; E
H = 712
43
3
2x +3
1c m
2
+ 1; E1# dx =
2148
23
3
2x +3
1c m
2
+ 1; E3
2
# dx =42
48 3arctag
3
2x +3
1c m
por ultimo I = 7-2
Ln x - 2 +71Ln x2 + x + 1^ h + 42
48 3arctag
3
2x +3
1c m+ cte
mas adelante veremos mas ejercicios resueltos.
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
INTEGRALES DE LA FORMA
tagmx dx#*
; cotgmx dx#*
Recordatorio d f x^ h^ h = f x^ h^ hl= derivada de f x^ h
y = tagf x^ h & ly = 1 + tag2 f x^ h6 @. lf x^ h =cos2 f x^ h
1lf x^ h
y = cot gf x^ h & ly =- 1 + cot g2 f x^ h6 @. lf x^ h =sen2 f x^ h
-1lf x^ h
cos2x1 = 1 + tag2x ;
sen2x1 = 1 + cot g2x ; tagx =
cot gx1
los pasos a seguir para resolver estas int egrales son dos:
Para tagmx dx#
1º paso A descomponer tagmx =
2cos2x1 - 1` j.tagm
-2x
o bien1 tag2x . tagm
-2xZ
[
\
]]]]]]]]]]
2º paso A si hemos utilizado2 ,A tagmx =
cos2x1 - 1` j.tagm
-2x = cos2x1
tagm-2x - tagm
-2x
1 ,hacer aparecer 1 + tag2x^ h A tagmx = 1 + tag2x^ htagm-2x - tagm
-2x*
Para cotgmx dx# exactamente igual en vez de tagx ponemos cotgx
1º paso A descomponer cotgmx =
2sen2x
1 - 1` j.cotgm-2x
o bien1 cotg2x . cotgm
-2xZ
[
\
]]]]]]]]]]
2º paso A si hemos utilizado2 ,A cotgmx =
sen2x1 - 1` j.cotgm
-2x = sen2x1
cotgm-2x - cotgm
-2x
1 ,hacer aparecer 1 + cotg2x^ h A cotgmx = 1 + cotg2x^ hcotgm-2x - cotgm
-2x*
Ejercicio 8 tag3xdx = tag2x . tagx## dx = 1 + tag2x^ htagx - tagx6 @# dx = 1 + tag2x^ h
dtagx= tagx^ hl= 1+ tag2x_ idx6 7 8444444 444444
.tagx.dx - tagx.dx#
directa6 7 844444 44444
#
= tagx d tagx^ h# -cos xsenx# dx =
21tag2x + Ln cos x + cte
o bien
tag3xdx =cos2x1 - 1` j## tagx.dx = tagx.
cos2x1# dx - tagx.dx# recordemos que
cos2x1
dx = d tagx^ h
= tagx.d tagx^ h# -cos xsenx# dx =
21tag2x + Ln cos x + cte
Ejercicio 9 tag5xdx = tag2x . tag3x## dx = 1 + tag2x^ h
dtagx6 7 8444444 444444
tag3x - tag3x< F# dx = tag3xd tagx^ h# - tag3xdx#
ejercicio anterior6 7 844444 44444
=41tag4x -
21tag2x + Ln cos x` j+ cte
Ejercicio 10 tag6xdx = tag2x . tag4x## dx = 1 + tag2x^ h
dtagx6 7 8444444 444444
tag4x - tag4x< F# dx = tag4xd tagx^ h# - tag4xdx#
=51tag5x - tag4xdx =#
51tag5x - 1 + tag2x^ h
dtagx6 7 8444444 444444
tag2x - tag2x; E# dx
=51tag5x -
31tag3x + tag2xdx# =
51tag5x -
31tag3x + 1 + tag2x^ h
dtagx6 7 8444444 444444
.1 - 1; E# dx
=51tag5x -
31tag3x + 1d tagx^ h - 1dx## =
51tag5x -
31tag3x + tagx - x
Ejercicio 11 cotg3xdx = cotg2x.cotgx## dx = 1 + cotg2x^ hcotgx - cotgx6 @# dx = 1 + cotg2x^ h
dcotgx= cotgx^ hl=- 1+cotg2x_ idx6 7 8444444 444444
.cotgxdx - cotgxdx#
directa6 7 844444 44444
#
=- cotgx d cotgx^ h# -senxcosx# dx =-
21cotg2x - Ln senx + cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
INTEGRALES DE LA FORMA
I = sen mx^ h# . cos nx^ h .dx*
Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos ! el primer paso pasarlas al mismo angulo
y la forma mas facil de resolver este problema es utilizando las formulas II
sena. cos b =21sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @
cosa. cos b =21
cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @sena.senb =
21 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @
sen mx^ h . cos nx^ h =21
sen m + n^ h .x6 @+ sen m - n^ h .x6 @" , asi que:
Ejercicio 12
I = sen mx^ h# . cos nx^ h .dx = 21
sen m + n^ hx6 @dx# + 21
sen m - n^ hx6 @dx# =2 m + n^ h
-1cos m + n^ hx -
2 m - n^ h
1cos m - n^ hx
Ejercicio 13
** si m = n
I = sen mx^ h . cos mx^ h# .dx =m1
sen mx^ h# .d sen mx^ h^ h = 2m1sen2 mx^ h
INTEGRALES DE LA FORMA
I = senmx# .dx*
; I = cosmx# .dx*
m d N*
1º paso es descomponer senmx = senm-1x.senx ; cosmx = cosm
-1x. cos x
2º paso es resolver por partesdv = senx.dx & v =- cos x
u = senm-1x & du = m - 1^ hsenm
-2x. cos x.dx A f x^ h6 @n^ hl= n f x^ h6 @n-1 . lf x^ h(
Ejercicio 14
I = sen3x.dx = sen2x
uE
.## senx.dx
dv6 7 8444 444
asi quedv = senx.dx & v =- cos x
u = sen2x & du = 2senx. cos x.dx%
I = u.v - vdu =- cos x.sen2x + 2 cos2x. senx.dx
d cosx^ h=-senx.dx6 7 8444 444
=## - cos x.sen2x - 2 cos2x.d# cos x^ h
= 31 cos3x
6 7 8444444444 444444444
= - cos x.sen2x -32cos3x + cte
Ejercicio 15
I = cos6x.dx = cos5x
uD
.cos x.dx
dv6 7 8444 444
## asi quedv = cos x.dx & v = senx
u = cos5x & du =- 5 cos4x.senx.dx%
I = senx. cos5x + 5 cos4x.sen2x.dx =# senx. cos5x + 5 cos4# x 1 - cos2x^ h .dx = senx. cos5x + 5 cos4x.dx - 5 cos6x.dx#
= I6 7 8444444 444444
# ,
, 6I = senx. cos5x + 5 cos4# x.dx
H6 7 8444444 444444
H = cos4# x.dx = cos3x
uD
.cos x.dx
dv6 7 8444 444
# asi quedv = cos x.dx & v = senx
u = cos3x & du =- 3 cos2x.senx.dx%
H = senx. cos3x + 3 cos2x.sen2x.dx =# senx. cos3x + 3 cos2x 1 - cos2x^ hdx =# senx. cos3x + 3 cos2x.dx - 3 cos4x.dx#
=H6 7 8444444 444444
# ,
, 4H = senx. cos3x + 3 cos2x.dx# = senx. cos3x + 3 21 + cos 2x# dx = senx. cos3x +
23
1dx + cos 2x.dx#
= 21 sen2x
6 7 8444444 444444
#f p> H
,
3 3 1 3 3
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
, 4H = senx. cos3x +23x +
43sen2x, H =
41senx. cos3x +
83x +
163sen2x
Por ultimo I = 61senx. cos5x +
45senx. cos3x +
815x +
1615sen2x` j+ cte
INTEGRALES DE LA FORMA
I = senmx.connx# .dx*
Esta clase de int egrales se resuelve por partes siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en ab = ab-1a
1si m 1 0 y n 2 0
I = senmx.connx# .dx = senm# x. cosn-1x. cos xdx = cosn
-1x
u6 7 8444 444
. senmx. cos x.dx
dv6 7 844444444 44444444
#
Z
[
\
]]]]]]]]]
2si m 2 0 y n 1 0
I = senmx.connx# .dx = senm-1# x. cosnx.senxdx = senm-1x
u6 7 84444 4444
.cosnx.senx.dx
dv6 7 84444444 4444444
#
Z
[
\
]]]]]]]]]
3si m 2 0 y n 2 0
I = senmx.connx# .dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del 1 o 2*
4si m 1 0 y n 1 0
I = senmx.connx# .dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante*
Ejercicio 16
I = sen-3x. cos2x.dx# = cos x
uC
. sen-3x. cos x.dx
dv6 7 844444444 44444444
#dv=sen-3x.cosx.dx&v= 2
-1 sen-2xu=cosx&du=-senx.dx'
I = 2-1
sen-2x. cos x -
21
sen-1x.dx# =
2-1
sen-2x. cos x -
21
senxdx# sabemos que sena
1 =21
1 - cosasena +
1 + cosasena7 A
I = 2-1
sen-2x. cos x -
41
1 - cosasena +
1 + cosasena
_ i# dx =2-1
sen-2x. cos x -
41Ln 1 - cos x +
41Ln 1 + cos x + cte
Ejercicio 17
I = sen2x cos2x.dx = senx
uC
. senx. cos2x.dx
dv6 7 84444444 4444444
=##dv = cos2x.senx.dx =- cos2x.d cos x & v =
3-1
cos3x
u = senx & du = cos x.dx)
I = 3-1
senx. cos3x +31
cos4# x.dx
ejercicio 15 es H6 7 8444444 444444
=3-1
senx. cos3x +31
41senx. cos3x +
83x +
163sen2x` j
I = 4-1
senx. cos3x +81x +
161sen2x =
4-1
senx. cos x
21 sen2x
6 7 844444 44444. cos2x
d n+
161sen2x +
81x = 8
-1sen2x. cos2x^ h +
161sen2x +
81x
I = 16-2
sen2x. cos2x + 161sen2x +
81x = 16
sen2x1 - 2 cos2x^ h
=1-cos2x
sen2x6 7 8444444444 444444444
-cos2x6 7 84444444 4444444
+81x = 16
sen2x - cos 2x^ h
cos2x=cos2x-sen2x6 7 844444 44444
+81x = 16
-1sen2x. cos 2x^ h
= 21 sen4x
6 7 844444444 44444444+
81x
I = 81x -
321sen4x
otro metodo
I = sen2x. cos2# x.dx = senx. cos x
= 21 sen2x
6 7 844444 44444d n
2
dx =#41
sen22x.dx =41#
21 - cos 4x
dx =81# dx -
81
cos 4xdx#
= 41 sen4x
6 7 8444444 44444
# = I =8
1x -
32
1sen4x + cte
INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE
*** para esto lo 1º es conocer a lgunas formulas trigonometricas.
sen -x^ h =- senx ; cos -x^ h = cos x ; tag -x^ h =- tagx
sen r - x^ h = senx ; cos r - x^ h =- cos x ; tag r - x^ h =- tagx
sen r + x^ h =- senx ; cos r + x^ h =- cos x ; tag r + x^ h = tagx
x
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h ^ h
tagx =1 - tag2 2
x_ i
2tag 2x
A tag a + b^ h =1 - taga.tagb
taga + tagb
tag2x =cos2x1 - 1 ; cot g2x =
sen2x1 - 1 ; teorema Pitagoras U
para int egrar funciones trigonometricas A utilizaremos la regla de BIOCHE
1 si f -x^ h = f x^ h UUU cambio de variable U t = cos x & cosx = 1t
aplicando Teorema de Pitagoras
1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U
senx = 1 - t2
cos x =1t&- senx.dx = dt &- 1 - t2 .dx = dt & dx =
1 - t2-dt
*
2 si f r - x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = senx & senx = 1t
aplicando Teorema de Pitagoras
1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U
cosx = 1 - t2
senx =1t& cos x.dx = dt & 1 - t2 .dx = dt & dx =
1 - t2dt
*
3 si f r + x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = tagx
aplicando Teorema de Pitagoras
w2 = t2 + 12& w = 1 + t2 U
senx =1 + t2t
; cos x =1 + t21
tagx =1t&
cos2x1
.dx = dt & dx = cos2x.dt & dx =1 + t21
dtZ
[
\
]]]]]]]]]]
4 si no se cumplen ninguna de las 3 anteriores el cambio de variable U t = tag 2x
y como se sabe que tagx =1 - tag2 2
x_ i
2tag 2x
& tagx =1 - t22t
aplicando Teorema de Pitagoras
w2 = 2t^ h2 + 1 - t2^ h
2& w = 1 + t2 U
senx =1 + t22t
; cos x =1 + t21 - t2
tagx =1 - t22t
&cos2x1
.dx =1 - t2^ h
2
2 1 + t2^ hdt & dx = cos2x
=1+t2^ h
21-t2^ h
2
D.
1 - t2^ h2
2 1 + t2^ hdt & dx =
1 + t22
dt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Ejercicio 18 1º caso^ h
I = senxdx# aqui f x^ h = senx
dxA f -x^ h =
sen -x^ h
d -x^ h=
-senx-dx =
senxdx = f x^ h & f -x^ h = f x^ h asi el cambio sera de t = cosx
Teorema de Pitagoras
t2 + w2 = 1 & w = 1 - t2 Usenx = 1 - t2
cos x =1t&- senx.dx = dt &- 1 - t2 .dx = dt & dx =
1 - t2-dt
*
luego I =1 - t21 - t2-dt
# =-1 - t2dt# =-
21#
1 + t1 +
1 - t18 Bdt =-
21
1 + t1# dt
=Ln 1+t6 7 844444 44444
-21
1 - t1
dt#
=-Ln 1-t6 7 844444 44444
=21Ln 1 - t -
21Ln 1 + t
asi que I = 21Ln
1 + t1 - t =
21Ln
1 + cos x1 - cos x
cosx= tC
+ cte
2º Metodo
I = senxdx# =
2sen 2xcos 2
xdx# =
2cos 2
x
sen 2x
cos2 2x
dx# =tag 2
xcos2 2
x21dx
# = tag-1
2x
_ i#21
cos2 2x
1e o
=dtag2x
6 7 8444444 444444
dx =
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
= tag-1
2x
_ i# dtag 2x= Ln tag 2
x_ i+ cte
3º Metodo
aplicando la formula senx1 =
211 - cosxsenx +
1 + cosxsenx7 A luego I = 2
11 - cos xsenx
1-cosx^ hl= senx6 7 84444 4444
+1 + cos xsenx
1+cosx^ hl=-senx6 7 84444 4444> H
dx# =
=21Ln 1 - cos x^ h -
21Ln 1 + cos x^ h & I = 2
1Ln
1 + cos x1 - cos x + cte = Ln
1 + cos x1 - cos x + cte
A pero sabemos que tag2a =1 + cos 2a1 - cos 2a
& taga =1 + cos 2a1 - cos 2a
por ultimo I = Ln tag 2x
_ i+ cte
Ejercicio 19 2º caso
1º Metodo
I =sen2x + 1
cos x# dx aqui f x^ h =sen2x + 1
cos xdx A f r - x^ h =
sen2r - x^ h + 1
cos r - x^ hd r - x^ h =
sen2x + 1
- cos x -dx^ h
f r - x^ h =sen2x + 1cos xdx = f x^ h A cambio de variable t = senx
U senx =1taplicando Teorema de Pitagoras
1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U
cosx= 1-t2
senx=1t & cosx.dx
aparece en el ejercicio6 7 8444444444444 444444444444
=dt& 1-t2.dx=dt&dx= 1-t2dt
*
I =t2 + 1dt# = arctgt = arctg senx^ h + cte
2º Metodo
I =sen2x + 1
cos x# dx tambien se puede ver que es de la formau2 + 1lu#
u= senx6 7 84444 4444
= arctg u^ h
asi que I = arctg senx^ h + cte
Ejercicio 20 3º caso
I =1 + 2sen2x
dx# aqui f x^ h =1 + 2sen2x
dxA f r + x^ h =
1 + 2sen2r + x^ h
d r + x^ h
sen2 r+x^ h= sen r+x^ h6 @2= -senx^ h2
6 7 84444444444 4444444444
=1 + 2sen2x
dx = f x^ h
luego el cambio de variable U tagx =1taplicando Teorema de Pitagoras
w2 = t2 + 1 & w = 1 + t2 Ucosx =
1 + t21
; senx =1 + t2t
tagx =1t&
cos2x1
.dx
= 1+t2^ h.dx6 7 844444 44444
= dt & 1 + t2^ h .dx = dt & dx =1 + t2dt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
I =
1 + 21 + t2t2
1 + t2dt
# =
1 + t21 + 3t21 + t2dt
# =1 + 3 t^ h
2dt# =
3
1
1 + 3 t^ h2
3 dt# =
3
1arctg 3 t^ h
I =3
1arctg 3 t^ h =
3
1arctg 3 tagx^ h
Ejercicio 21 4º caso
I =5 + 3 cos x
dx# aqui f x^ h =5 + 3 cos x
dxy no cumple ninguna de los 3casos primeros
luego el cambio de variable U t = tag 2xtambien sabemos que tagx =
1 - tag2x
2tag 2x
=1 - t22t
tagx =1 - t22t
y aplicando teorema de pitagoras
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
w2 = 1 - t2^ h2 + 2t^ h
2& w = 1 + t2
tagx =1 - t22t
&
derivando?
como cos x =1 + t21 - t2
asi que dx =1 - t2^ h
2
2 1 + t2^ h
1 + t2^ h2
1 - t2^ h2
dt =1 + t22
dt
cos2x1
dx =1 - t2^ h
2
2 1 - t2^ h - 2t -2t^ hdt =
1 - t2^ h2
2 - 2t2 + 4t2dt =
1 - t2^ h2
2 1 + t2^ hdt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
I =5 + 3 cos x
dx# =
5 + 31 + t21 - t2
1 + t22
dt# =
1 + t28 + 2t21 + t22
dt
# =2 4 + t2^ h
2dt# =
4 1 +2t` j
2
` j
dt#
=41
21 +
2t` j
221dt
directa6 7 84444 4444
# =21arctg 2
t =21arctg 2
1tag 2
x_ i8 B+ cte
Ejercicio 22
I = cos3x.dx# aqui f x^ h = cos3x.dx , f r - x^ h = cos3 r - x^ h
cos r-x^ h=-cosx6 7 8444444 444444
.d r - x^ h
-dx6 7 84444 4444
= cos3x.dx = f x^ h
luego el cambio de variable U t = senx & senx = 1t
y aplicando teorema de pitagoras
1 = t2 + w2& w = 1 - t2
t = senx & dt = cos x.dx
I = cos2x.cos x.dx
dt6 7 8444 444
=# 1 - sen2x^ h# .dt = 1 - t2^ h .dt = t - 31# t3 = senx -
31sen3x + cte
Ejercicio 23 es el ejercicio nº14
I = sen3x.dx# aqui f x^ h = sen3x.dx , f -x^ h = sen3 -x^ h
sen -x^ h=-senx6 7 844444 44444
.d -x^ h
-dxG
= sen3x.dx = f x^ h
luego el cambio de variable U t = cosx & cosx = 1t
y aplicando teorema de pitagoras
1 = t2 + w2& w = 1 - t2
t = cosx & dt =- senx.dx senx = 1 - t2
I = sen3x.dx =# 1 - t2^ h 1 - t2#- 1 - t2^ h
dt =- 1 - t2^ h .dt =- t + 31# t3 =- cosx +
31cos3x + cte
INTEGRALES DE LA FORMA
ax2 + bx + c# .dx ;ax2 + bx + c
dx#
para resolver estas int egrales sigue estoas dos pasos:
1º paso
** si a 2 0 UU ax2 + bx + c = ax2 + bx + 4ab2
6 7 844444444 44444444
-4ab2 + c = a x +
2 a
bc m
2
-4ab2 - ca k
4ab2-4ac =a
6 7 84444 4444
=a x +
2 a
b
cambio por t1 2 34444444 4444444f p
2
+ a A si b2 - 4ac 1 0
a x +2 a
b
cambio por t1 2 34444444 4444444f p
2
- a A si b2 - 4ac 2 0Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
ax2 + bx + c =t2 + b2 siendo b
2 = a 2
t2 - b2 siendo b2 = a 1
)
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
** si a 1 0 UU ax2 + bx + c =- -ax2 - bx - c^ h =- -ax2 - bx +4 -a^ h
b2 -4 -a^ h
b2 - cc m
=- -a x -2 -a
b
= t1 2 3444444444 444444444f p
2
+4a
b2 - 4ac
=a6 7 84444 4444
=- t2 + a
ax2 + bx + c =- t2 + b2 siendo b2 = a 3
2º paso
en el caso 1 t2 - b2 = bbt` j
2
- 1 UU nos hace recordar la formula tag2x =cos2x1 - 1
luego el cambio sera cosu1 =
bt& cosu =
tb
aplicando al triangulo y pitagoras
t2 = b2 + w2& w = t2 - b2
cosu =tb&- senu.du =-
t2bdt ; senu =
tt2 - b2
en el caso 2 t2 + b2 = bbt` j
2
+ 1 UU nos hace recordar la formula 1 + tag2x =cos2x1
luego el cambio sera tag u^ h =btaplicando al triangulo y pitagoras
t2 + b2 = w2& w = t2 + b2
tagu =bt&
cos2u1
.du =b1dt ; cosu =
t2 + b2
b
en el caso 3 b2 - t2 = b 1 -
bt` j
2
UU nos hace recordar la formula cos2x = 1 - sen2x
luego el cambio sera sen u^ h =btaplicando al triangulo y pitagoras
b2 = t2 + w2
& w = 1 - t2
senu =bt& cosu.du =
b1dt ; cosu =
b
1 - t2
veamos unos ejemplos para entenderlo mejor,pero antes recordemos las formulas que necesitaremos
1 + f x^ h6 @2! lf x^ h
# dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2_ i+ cte senarcsenx = x cosarccosx = x
f x^ h6 @2 - 1
! lf x^ h# dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte
1 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =-arccos f x^ h + cte
arcsenf x^ h + cte( cosarcsenx = 1 - x2 senar cos x = 1 - x2
Ejercicio 24
I =x2 - 2x + 5
dx#
x2 - 2x + 5 = x2 - 2x + 1
4ab2
?- 1
4ab2
?+ 5 = x - 1^ h
2 + 22 aqui t = x - 1 & dt = dx y b = 2
luego I =t2 + 22
dt# =2 2
t` j
2
+ 1
dt# =
2t` j
2
+ 1
21dt
# = Ln 2t +
2t` j
2
+ 1: C = Ln 2x - 1` j+
2x - 1` j
2
+ 1: C
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 25
I =3x2 - x - 4
dx#
3x2 - x - 4 = 3x2 - x + 121
4ab2
@
-121
4ab2
@
- 4 = 3 x -2 3
1
t6 7 84444444 4444444f p
2
-2 3
7c m
2
t = 3 x -2 3
1& dt = 3 dx &
3
dt = dx luego I =
t2 -2 3
7c m
2
3
dt
# =
2 3
77
2 3 tc m
2
- 1
3
dt
# =72
72 3 tc m
2
- 1
dt#
I = 7
2
2 3
7
72 3 tc m
2
- 1
72 3
dt# =
33Ln 7
2 3 t+
72 3 tc m
2
- 1< F + cte
Ejercicio 26
I = x2 - 4x - 5# .dx
x2 - 4x - 5 = x2 - 4x + 416
4ab2
@
-416 - 5 = x - 2
tDa k
2
- 32 haciendo cambio x - 2 = t & dx = dt
I = t2 - 32# dt = 3 3t` j
2
- 1# dt lo que esta redondeado en azul nos recuerda la formula trigon. tag2x =cos2x1 - 1
asi que hagamos por 2º vez cambio de variable cosu1 =
3t& cosu =
t3&- senu.du =- 3t
-2dt & dt = 3senu
cos2u9
du
I = 3 tag2u# . 3senu
cos2u9
du = 9 sen2u. cos-3u.du = 9 senu.cos
-3u.## senu.dudv = cos-3udcosu & v = 2
-1cos-2u
w = senu & dw = cosudu)
I = 2-1
senu. cos-2u +
21
cosu1# du y como sabemos que cos x
1 =21
1 + senxcos x +
1 - senxcos x7 A
I = 2-1
senu. cos-2u + 4
1Ln
1 - senu1 + senu
ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando
32 + w2 = t2 & w = t2 - 32
senu =t
t2 - 32
cosu =t3& cos
-1u =3t
I = 2-1
tt2 - 32
3t` j
2
+41Ln
1 -t
t2 - 32
1 +t
t2 - 32
luego la t = x - 2
I = 2-1
3x2 - 4x - 5
x - 2^ h +41Ln
1 - x2 - 4x - 5
1 + x2 - 4x - 5+ cte
INTEGRALES DE LA FORMA
ax2 + bx + c
P x^ h# .dx
1ºax2 + bx + c
P x^ h= Q x^ h ax2 + bx + c^ hl+
ax2 + bx + c
m***
siendo Q x^ hun polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 m nº real a determinar
INTEGRALES DE LA FORMA
ax + b^ hnax2 + bx + c
dx#
Para esta clase de integrales se hace cambio de variable ax + b =t1asi poder transformarla en
ax2 + bx + c
P x^ h# .dx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Asi que veamos algunos ejemplos paso a paso para poder entenderlos mejor
Ejercicio 27
I =x2 - 2x + 5
x2 - x# dx aqui P x^ h = x2 - x A es de grado 2 asi que Q x^ hes de grado 1 & Q x^ h = ax + b
luegox2 - 2x + 5
x2 - x= ax + b^ h x2 - 2x + 56 @l+
x2 - 2x + 5
m
= a x2 - 2x + 5 + ax + b^ h2 x2 - 2x + 5
2 x - 1^ h+
x2 - 2x + 5
m
=x2 - 2x + 5
a x2 - 2x + 5^ h+
x2 - 2x + 5
ax + b^ h x - 1^ h+
x2 - 2x + 5
m=
x2 - 2x + 5
2ax2 + x -3a + b^ h + 5a - b + m^ h
asi que 2a = 1 & a =21
3a - b = 1 & b =21
5a - b + m = 0 & m =- 2
ahora six2 - 2x + 5
x2 - x =21x +
21
` j x2 - 2x + 58 Bl+x2 - 2x + 5
-2
x2 - 2x + 5
x2 - xdx# =
21x +
21
` j x2 - 2x + 58 Bl# - 2x2 - 2x + 5
dx#
ejercicio nº 246 7 8444444444 444444444
=21x +
21
` j x2 - 2x + 5 - 2 Ln 2x - 1` j+
2x - 1` j
2
+ 1: Ca k
Ejercicio 28
I =2x + 1^ h
33x2 - x - 4
dx# haciendo cambio de variable 2x + 1 =t1& x =
2t1 - t
& dx =2t2-1
dt
una sustituido queda I =-11t2 - 8t + 3
-t2dt# P t^ hes de grado 2 & Q t^ h = at + b
-11t2 - 8t + 3
-t2 = at + b^ h -11t2 - 8t + 36 @l+-11t2 - 8t + 3
m
=-11t2 - 8t + 3
a -11t2 - 8t + 3^ h+
-11t2 - 8t + 3
at + b^ h -11t - 4^ h+
-11t2 - 8t + 3
m
-11t2 - 8t + 3
-t2 =-11t2 - 8t + 3
a -11t2 - 8t + 3^ h + at + b^ h -11t - 4^ h + m
una vez despejado los valores de a b y m y sustituirlos en la formula
ax2 + bx + c
P x^ h= Q x^ h ax2 + bx + c^ hl+
ax2 + bx + c
my int egrandolo quedara asi
ax2 + bx + c
P x^ h=# Q x^ h ax2 + bx + c +
ax2 + bx + c
m# dx
asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior
INTEGRALES DE LA FORMA
a f x^ h# .dx
a f x^ h# .dx para este tipo de int egrales se hace cambio de variable t = f x^ h
Ejercicio 29
I = e2x+1# dx cambio variable t = 2x + 1 & dt = 2dx
I = 21
et# dt = 21et = 2
1e2x+1 + cte
INTEGRALES DE LA FORMA
R x;cx + dax + b` j
qp
,cx + dax + b` j
sr
, .........,cx + dax + b` j
vn: D# .dx
+` j ^ h
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
para estos tipos de int egrales se hace el cambio de variablecx + dax + b` j = tn siendo n = m.c.m q, s, .....,v^ h
Recordatorio
m.c.m = minimo comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor exponente^ h
Ejercicio 30
I =1 - 2x^ h3
2
- 1 - 2x^ h21
dx# cambio variable 1 - 2x = t6 porque m.c.m 3,2^ h = 6
1 - 2x = t6 &- 2dx = 6t5dt & dx =- 3t5dt , t = 1 - 2x6
I =t4 - t3-3t5dt# =
t3 t - 1^ h
-3t5dt# =- 3t - 1t2# dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi
I =- 3 t + 1^ h# dt - 3t - 11
dt# =2-3
t2 - 3t - 3Ln t - 1
=2-3
1 - 2x3 - 3 1 - 2x6 - 3Ln 1 - 2x6 - 1 + cte
Integrales Definidas
** Integral de Riemann
f x^ hdx AA f x^ ha
b
#
es una funcion continua en a, b6 @representa el area comprendida entre el eje ox , la curva de f x^ h y las dos abscisas x = a y x = b
las areas situadas encima del eje ox son + y las situadas debajo del eje ox son -
Z
[
\
]]]]]]]]]]
Regla de Brrow
f x^ hdxa
limite inferiorAeje xS
b
limite superiorA ejex?
# = f x^ h#: Ca
b
= F b^ h - F a^ h siendo F la primitiva de f ; f# = F( d f#a k = d F^ h( f = lF
Propiedades
1 f x^ ha
a
# dx = 0 ; 2 f x^ ha
b
# dx =- f x^ hb
a
# dx ; 3 f x^ h ! g x^ h6 @a
b
# dx = f x^ hdx ! g x^ ha
b
#a
b
# dx
4 k.f x^ ha
b
# dx = k. f x^ ha
b
# dx ; 5 f x^ ha
b
# dx = f x^ ha
c
# dx + f x^ hc
b
# dx c d a,b6 @6 si f x^ h $ 0 en a,b6 @( f x^ h
a
b
# dx $ 0
7 si f x^ h # 0 en a,b6 @( f x^ ha
b
# dx # 0
8 si f x^ h # g x^ h en a,b6 @( f x^ ha
b
# dx # g x^ ha
b
# dx
Teorema del valor medio
f una funcion continua en a,b6 @( 7 c d a,b^ h/ f x^ ha
b
# dx = f c^ h b - a^ h
Integrales Impropias
I = f x^ ha
b
# dx , si f x^ h no es continua en c d a,b6 @( I = limx"c
f x^ ha
c
# dx + limx"c
f x^ hc
b
# dx
si el limite existe y es finito & I es convergente
si el limite es3 & I es divergente
Propiedades
f x^ hdx = limb"+3a
+3
# f x^ ha
b
# dx siendo f acotada en a, + 36 6f x^ hdx = lim
a"-3-3
b
# f x^ ha
b
# dx siendo f acotada en -3, b@ @f x^ hdx = lim
a"-3-3
+3
# f x^ ha
c
# dx + limb"+3
f x^ hc
b
# dx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 31
I =x
dx0
1
# , la funcion f x^ h =x
1en el intervalo 0,16 @ la funcion no esta en 0 asi que es una integral impropia luego
I = lima"0 x
dxa
1
# = lima"0
2 x6 @a1 = lima"0
2 - 2 a^ h = 2( I converge
Ejercicio 32
I =x - 1^ h
2dx
0
4
# ,aqui f x^ h =x - 1^ h
21
A D f = R - 1" , y como estamos en el intervalo 0,46 @ f no es continua en x = 1
asi que I = lima"1 x - 1^ h
2dx
0
a
#; E + lima"1 x - 1^ h
2dx
a
4
#; E = lima"1 x - 1
-18 B0
a+ lima"1 x - 1
-18 Ba
4= lim
a"1 a - 1-1 - 1` j
=31 2 344444444 44444444
+ lima"1 3
-1 +a - 11
` j
=31 2 34444444444 4444444444
( I es divergente auque llegara a ser uno nada mas 3 I seria divergente^ h
Ejercicio 33
I = 2x - 10
2
# dx 1º paso es descomponer el valor absoluto
2x - 1 =-2x + 1 si x 1 2
1
2x - 1 si x $ 21
*
al descomponer el valor absoluto f A funcion a trozos y 21d 0,26 @
I = -2x + 1^ h0
21
# dx + 2x - 1^ h21
2
# dx = -x2 + x6 @021 + x2 - x6 @212............................
Cambio de variable
** f g x^ h6 @a
b
# lg x^ hdx = f u^ hdug a^ h
g b^ h
#
para mejor entenderlo veamos un par de ejercicios
Ejercicio 34
I = x x2 + 1^ h3dx
0
1
# , aqui f x^ h = x x2 + 1^ h3f es continua en R, luego f continua en 0,16 @& I no es impropia
para resolver la integral hagamos cambio de variable u = x2 + 1 & du = 2x.dx & 2du = x.dx
si x = 1 & u = 2si x = 0 & u = 1$ .( I = 2
1u3du = 2
11
2
#4u4: C
1
2
=815
Ejercicio 35
I = r2 - x2 dx0
r
# A cambio de variable
x = r.sent & dx = rcost.dt
si x = r & sent = 1 & t = 2r
si x = 0 & sent = 0 & t = 0
Z
[
\
]]]]]]]]]]
asi que I = r2 - r2sen2 t0
2r
# .r.cost.dt = r2 1 - sen2 t0
2r
# .cost.dt = r2 cos2 t.dt0
2r
# = 2r2
1 + cos2t^ hdt0
2r
#
I = 2r2
t + 2sen2t8 B
0
2r
= 2r2
2r - 0_ i= 4
rr2
Area = A siempre es 5
A = f x^ ha
b
# dx = parte que esta encima del eje x - la parte que esta por debajo del eje x^ ha
b
#
Area de 2 funciones f y g es A = f x^ h - g x^ ha
b
# dx
Longitud = S = 1 + lf x^ h6 @2a
b
# dx
Volunen = V = Area x^ ha
b
# dx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
AREA
f(x).dxx=a
x=b# f(y) .dy
y=a
y=b
#Area de una función respecto al eje x
Para hallar el area de la función respecto al eje X
se hacen cortes verticales al eje X n - isema en forma
de rectangulos de altura ri y anchura dx
asin que el area es el sumatorio de todas las areas
de los rectangulos como se ve en la figura de al lado
A = rii=1
n
/ .dx = ria
b
# .dx siendo
ri = altura y esta definida por la función f(x)
dx = anchura del rectangulo
luego A = f(x)x=a
x=b
# .dx = f(x)a
b
# .dx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Area de una función respecto al eje y
Para hallar el area de la función respecto al eje Y
se hacen cortes verticales al eje Y n - isema en forma
de rectangulos de anchura ri y altura dy
asin que el area es el sumatorio de todas las areas
de los rectangulos como se ve en la figura de al lado
A = rii=1
n
/ .dy = ria
b
# .dy siendo
ri = anchura y esta definida por la función f(y)
dy = altura del rectangulo
luego A = Area = f(y)y=a
y=b
# .dy = f(y)a
b
# .dy
Area formada entre dos funciónes respecto al eje x
Area de f(x) " tachado en negro
Area de g(x) " tachado en rojo
Los pasos a seguir son los seguientes:
1º sacar los puntos de interseccion entre f (x) y g(x)
f (x) = g(x),x = bx = a$ siendo a 1 b asi que a es el limite inferior, b limite superior
2º esbozar las graficas y por ultimo calcular la integral
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
VOLUMEN
Metodo de los discos
consiste en girar una region del plano al rededor de un eje (X) asi obtenemos un sólido de revolución.
** dividiendo el solido en sectores circulares (discos) ** haciendo cortes = al eje de rotación
** el radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotación hacia la función original. (no hacia el reflejo)
** en los discos el radio varia de un disco a otro;pero siempre queda determinado por la funcion en cuestion y su grosor
es el mismo para todos los discos, ver la imagen
En la imagen el eje de rotacion es el eje X
ri = el radio del disco = f(x)
dx = altura del disco
V = V de los discos^ h/asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri
2 .dx
V = Vii=1
i=n
/ = r.r2 .dx = r f x^ h6 @a
b
#a
b
#2
dx
Determinar el Volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la funcion sobre eje Y
es exactamente igual que el anterior lo unico que cambia es el eje de ratacion Y
ri = radio del disco eje rotacion " funcion f(y)6 @, cortes = al eje de ratacion ver imagen de abajo^ h
dy = altura del disco ; V = V de los discos^ h/asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri
2 .dy
V = Vii=1
i=n
/ = r.r2 .dy = r f y^ h6 @a
b
#a
b
#2
dy
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Volumen generado entre dos funciones
ver imagenes para entenderlo mejor
Ri = radio de la funcion f(x)
ri = radio de la funcion g(x)
*** rotacion respecto al eje X^ hVi = volumen del disco = r Ri
2 - ri2^ h .dx
V = Vii=1
n
/ = r R2 - r2^ hdx = r f (x)^ h2 - g x^ h^ h26 @.dxa
b
#a
b
#*** rotacion respecto al eje Y^ hVi = volumen del disco = r Ri
2 - ri2^ h .dy
V = Vii=1
n
/ = r R2 - r2^ hdy = r f (y)^ h2 - g y^ h^ h26 @.dya
b
#a
b
#Rotación < al eje de ordenadas(eje y)
otro metodo que permite la obtención del volumen generado por el giro de una area
comprendida entre 2 funciones cualesquiera, f (x) y g(x) en un intervalo a,b6 @ tales que
f(x) 2 g(x) en a,b6 @ alrededor de un eje de revolucion < al eje de ordenadas x = k(cte) 2 0
La formula del volumen es:
V = 2r x - k^ h f (x) - g(x)6 @a
b
# dx
Observación:
x - k^ h 2 0 , la recta x = k se encuentra a la izquierda de la región comprendida entre f (x) y g(x)
Para los ejes de rotaciones verticales Y
V = 2r x.h(x) .dx ; siendo h(x) =funcion de derecha - la izquierda
funcion de arriba - funcion de abajo%a
b
#
Para los ejes de rotaciones horizontales Y
V = 2r y.h(y) .dy ; siendo h(y) =funcion de derecha - la izquierda
funcion de arriba - funcion de abajo%c
d
#
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Integrales Ejercicios resueltos
Ejercicio 36
I =a - x
2^ h23dx#
I =a - x
2^ h23dx# =
a - x2^ h3dx# =
a - x2^ h a - x
2^ hdx# =
a - x2^ h a 1 -
a
xa k2c mdx# = I
1 -
a
xa k2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen2x = cos
2x
asi que hacemos cambio de variable sent =a
x& x = a sent & dx = a cos t dt
I =
a - asen2t^ h a 1 - sen
2t^ h
a cos t dt# =
a cos2t cos t a
a cos t dt# =
a
1
cos2t
dt# =a
1tgt
y como tgt =a - x
2
xentonces I =
a
1
a - x2
x+ cte
---------------------------------
Ejercicio 37
I =a + x
2^ h23dx#
I =a + x
2^ h23dx# =
a + x2^ h3dx# =
a + x2^ h a + x
2^ hdx# =
a + x2^ h a 1 +
a
xa k2c mdx# = I
1 +
a
xa k2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 + tg2x =
cos2x
1
asi que hacemos cambio de variable tgt =a
x& x = a tgt & dx = a
cos2t
1dt
I =
a + a tg2t^ h a 1 + tg
2t^ h
acos2t
1dt
# =
acos2t
1
cos t
1a
acos2t
1dt
# =
acos t
1
dt# =a
1cos t dt =
a
1# sent
y como sent =a + x
2
xluego I =
a a + x2^ hx+ cte
---------------------------------
Ejercicio 38
I =a - x
a + x# dx
a - x
a + x# dx =
a - x a - x
a + x a - x# dx =
a - x
a2 - x
2
# dx =a - x
a21 -
a
x_ i2` j# dx = I
1 -a
x_ i2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen2x = cos
2x
asi que hacemos cambio de variable sent =a
x& x = asent & dx = a cos t dt
t = arcsena
x
I =a - asent
a21 - sen
2t^ h
# a cos t dt =a 1 - sent^ ha cos t a cos t dt# =
a 1 - sent^ ha2cos2t dt#
=
a 1 - sent^ ha21 - sen
2t^ h
dt = a 1 + sent^ h## dt = a 1 + sent^ h# dt = a 1dt + a sent dt##
= at - a cos t + cte = a arcsena
x- a
2 - x2 + cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 39
I =73x-54# dx
73x-54# dx = 4.7
-3x+5# dx = I como sabemos que todas las int egrales de la forma af x^ h# dx se le hace
cambio de variable t = f x^ h asi que t =- 3x + 5 & dt =- 3dx & dx =-3
dtluego queda
I = 4 7t#-3
dt=3
-47t# dt =
3
-47t.ln 7
1aplicando la formula a
f x^ h# . lf x^ hdx = af x^ h.ln a
1
por ultimo I =3 ln 7
-47-3x+5 + cte
---------------------------------
Ejercicio 40
Demostracion de la formula 161 - f x^ h^ h2lf x^ h
# dx =2
1ln1 - f x^ h1 + f x^ h
= ln1 - f x^ h1 + f x^ h
1 - f x^ h^ h2lf x^ h
# dx = I en el denomin ador tenemos 1 - f x^ h^ h2 nos hace pensar en 1 - sen2x
asi que hacemos cambio de variable sent = f x^ h & cos t dt = lf x^ hdxI =
1 - sen2t
cos t dt# =cos2t
cos t dt# =cos t
dt# utilizando la formula cost1 =
21
1 + sentcost +
1 - sentcost8 B
I =2
1
1 + sent
cos t# dt +2
1
1 - sent
cos t# dt =2
1ln 1 + sent -
2
1ln 1 - sent =
2
1ln1 - sent
1 + sent=2
1ln1 - f x^ h1 + f x^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 41
Demostracion de la formula 13 en forma generalizada I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx siendo a ! 0
a2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx =
a2 1 + af x^ ha k2
nos hace recordar 1+ tg21 2 3444444 444444> H
lf x^ h# dx
asi que tagt = af x^ h
(
t = arctag af x^ h
1 + tag2 t^ hdt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
haciendo los cambios queda
I =a21
1 + af x^ h: C2
a a
lf x^ hdx
# =a2a
1 + tagt
1 + tag2 t^ hdt# =
a1
1dt# =a1t = a
1arctag a
f x^ h+ cte
---------------------------------
Ejercicio 42
I =1 + x2dx#
1 + x2dx# =
1 + x^ h2dx# = arctagx + cte
---------------------------------
Ejercicio 43
I =1 + x42x.dx#
1 + x42xdx# =
1 + x2^ h22x dx# = arctagx2 + cte
---------------------------------
Ejercicio 44
I =5 + x42x dx#
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
5 + x
5 + x42x dx# =
5^ h2 + x2^ h22x dx# =5
1arctag
5
x2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 45
Demostracion de la formula 16 en forma generalizada I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h# dx siendo f x^ h !! a
a2 - f x^ h6 @2lf x^ h# dx =
a2 1 - af x^ ha k2
nos hace recordar 1- sen21 2 3444444 444444> H
lf x^ h# dx
asi que sent = af x^ h
(
t = arcsen af x^ h
cost dt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
haciendo los cambios queda
I =a21
1 - af x^ h: C2
a a
lf x^ hdx
# =a2a
1 - sen2 tcost dt# =
a1
cos2 tcost dt# =
a1
cost1 dt#
y como sabemos que cost1 =
cos2 tcost =
1 - sen2 tcost =
1 - sent^ h 1 + sent^ hcost =21
1 - sentcost +
1 + sentcost8 B
luego I = 2a1
1 + sentcost# dt + 2a
11 - sentcost# dt = 2a
1Ln 1 + sent -
2a1
Ln 1 - sent
I = 2a1
Ln1 - sent1 + sent =
2a1
Ln
1 - af x^ h
1 + af x^ h
=2a1 Ln
a - f x^ ha + f x^ h
---------------------------------
Ejercicio 46
I =1 - x2dx#
1 - x2dx# =
1 - x^ h21.dx# =21Ln
1 - x1 + x + cte siendo x !! 1
---------------------------------
Ejercicio 47
I =3 - x42x.dx#
3 - x42x.dx# =
3^ h2 - x2^ h22x.dx# =2 3
1Ln
3 - x2
3 + x2
+ cte siendo x2! 3
---------------------------------
Ejercicio 48
Demostracion de la formula 12 en forma generalizada I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx
I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =
a 1 - af x^ h: C2
nos hace recordar 1- sen21 2 3444444 444444
lf x^ h# dx
asi que sent = af x^ h
(
t = arcsen af x^ h
cost dt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
haciendo los cambios queda
I = a1
1 - af x^ h: C2
a a
lf x^ hdx
# =1 - sen2tcost dt# =
cos2tcost dt# = 1dt = t# + cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I = arcsen af x^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 49
I =1 - x2
dx#
1 - x2
dx# = arcsenx + cte AA aplicando la formulaa2 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx = arcsen af x^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 50
I =9 - x4
2x.dx#
9 - x4
2x.dx# =32 - x2^ h22x.dx# = arcsen 3
x2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 51
I =9 - 2x - 1^ h2dx#
9 - 2x - 1^ h2dx# =hagamos que aparezca el 2
S
d 2x-1^ h=26 7 844444444444 44444444444
21
32 - 2x - 1^ h22.dx# =21
arcsen 32x - 1 + cte
---------------------------------
En las integrales antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos
fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a algúna integral inmediata
y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas
Ejercicio 52
Demostracion de la formula 17 en forma generalizada I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h
# dx
I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =
a 1 + af x^ h: C2
nos hace recordar 1+ tag21 2 3444444 444444
lf x^ h# dx
asi que tagt = af x^ h
(
t = arctag af x^ h
, sent =a2 + f x^ h6 @2
f x^ hcos2 t1
dt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
haciendo los cambios queda
I = a1
1 + af x^ h: D2
a a
lf x^ hdx
# =
cos2 t1
cos2 t1
dt# =
cost1
cos2 t1
dt# =
cost1
dt =
ya visto en ejercicio 45?
21# Ln
1 - sent1 + sent
asi que I = 21Ln
1 -a2 + f x^ h6 @2
f x^ h1 +
a2 + f x^ h6 @2f x^ h
=21Ln
-f x^ h + a2 + f x^ h6 @2f x^ h + a2 + f x^ h6 @2
---------------------------------
Ejercicio 53
I =1 + x2
dx#
1 + x2
dx# =21Ln
-x + 1 + x2
x + 1 + x2
+ cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 54
I =5 + x4
2x.dx#
5 + x4
2x.dx# =5^ h2 + x2^ h22x.dx# =
21Ln
-x2 + 5 + x4
x2 + 5 + x4
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 55
I =x2 + 1x2 - 1# dx
x2 + 1x2 - 1# dx =
x2 + 1x2 + 1 - 2# dx =
x2 + 1x2 + 1# dx - 2
x2 + 1dx# = 1.dx - 2
1 + x2dx## = x - 2arctagx + cte
---------------------------------
Ejercicio 56
I =1 + x6x2
# dx
1 + x6x2
# dx =1 + x3^ h2x2
# dx =31
1 + x3^ h23x2
# dx =31arctagx3 + cte
---------------------------------
Ejercicio 57
I =x2Lnx# dx
I =x2Lnx# dx en la integral tenemos dos funciones distintas (una logaritmica y algebraica)
asi que la integral la resolveremos por partes fijandonos en en la palabra
I
funcion inversa?
Lfuncion logaritmica
SA
funcion algebraica?
Tfuncion trigonometrica
SE
funcion exponencial?
U es la primera funcion que aparezca en la palabra ILATE
dV es la segunda funcion que aparezca en la palabra ILATE
asi queu = Lnx( du =
x1dx
dv =x21
dx & v =-x1
Z
[
\
]]]]]]]]]]
& I =- x1
Lnx -x-1#
x1dx =
x-Lnx +
x21# dx =
x-Lnx -
x1 + cte
---------------------------------
Ejercicio 58
I = xLn Lnx^ h# dx
I = xLn Lnx^ h# dx haciendo cambio de variable t = Lnx & dt = x
1dx
luego I queda de la seguiente manera I = xLn Lnx^ h# dx = Ln Lnx^ h#
x1dx = Lnt dt#
asi que u = Lnt( du =t1dt
dv = dt & v = t
* & I = t Lnt - t# t1dt = t Lnt - t + cte = Lnx.Ln Lnx^ h - Lnx + cte
---------------------------------
Ejercicio 59
I = x.Lnxdx#
x.Lnxdx# =
Lnxx1
# dx haciendo cambio variable t = Lnx & dt = x1dx
luego I = tdt# = Lnt = Ln Lnx + cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 60
I =x - 1
x + 1# dx
I =x - 1
x + 1# dx haciendo cambio variable t2 = x - 1 &t =! x - 1
2tdt = dx'I = t
t2 + 1 + 1^ h2tdt# = 2 t2 + 2^ h# dt = 3
2t3 + 4t =! 3
2x - 1^ h23 ! 4 x - 1 + cte
---------------------------------
Ejercicio 61 - 62
I = eax .cosbx.dx#
sea J = eax .senbx.dx#
1 I + i.J = eax cosbx + isenbx^ heibx
6 7 8444444444 444444444
# dx = eax .# eibx .dx = eax+ibx# .dx = eax+ibxa + ib1= eax .eibx
a + ib1
2 I - iJ = eax cosbx - isenbx^ h6 7 8444444444 444444444# dx = eax cos -bx^ h + isen -bx^ h^ h
cos -b^ h=cos b^ h . sen -b^ h=-senb , e-ibx6 7 844444444444444 44444444444444
e-ibx=cos -bx^ h+isen -bx^ h1 2 344444444444444444444 44444444444444444444
# dx = eax .# e-ibx .dx = eax-ibx# .dx = eax-ibxa - ib1
I - iJ = eax .e-ibxa - ib1
1 + 2 = 2I = eax .eibxa + ib1 + eax .e-ibx
a - ib1 = eax eibx
a + ib1+ e-ibx
a - ib18 B = eax
a + ibcosbx + isenbx
+a - ib
cosbx - isenbx8 B2I = eax
a2 + b2a.cosbx - ib.cosbx + ai.senbx + b.senbx + a.cosbx + ib.cosbx - ai.senbx + b.senbx; E =
2I = eaxa2 + b2
2a.cosbx + 2b.senbx: DI =
a2 + b2eax
a.cosbx + b.senbx6 @ , para hallar eax .senbx.dx# basta con restar 1 - 2 y hacer mismos calculos
y el resultado de eax .senbx.dx# =a2 + b2eax -b.cosbx + a.senbx6 @
2º metodo
I = eax .cosbx.dx# tenemos 2 funciones ! lo resolvemos por partes
dv = eax & v = eax a1
u = cosbx & du =- b.senbx.dx) ( I = cosbx.eax a1 -
a1
eax# -b.senbx^ hdx = cosbx.eax a1 +
ab
eax# senbx^ hdx
volviendo a integrar por partes
dv = eax & v = eax a1
u = senbx & du = b.cosbx.dx) ( I = a1
eax .cosbx + ab
a1
eax .senbx - ab eax .cosbx.dx#: C
I = a1
eax .cosbx +a2b
eax .senbx -a2b2 eax .cosbx.dx#
I6 7 844444444 44444444
, I +a2b2
I = a1
eax .cosbx +a2b
eax .senbx
, I 1 +a2b2c m
=a2
a2+b2
6 7 84444 4444
=a2a
eax .cosbx +a2b
eax .senbx, I =a2 + b2eax
a.cosbx + b.senbx6 @---------------------------------
Ejercicio 63
I =x
x + 1# dx
x
x + 1# dx ; haciendo cambio de variable x = tag2 t( dx = 2tagt 1 + tag2 t^ hdtI = tagt
1 + tag2 t# 2tagt 1 + tag2 t^ hdt = 2 1 + tag2 t^ h# d tagt^ h = 2tagt + 3
2tag3 t + cte = 2 x +
32
x^ h3 + cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2º metodo
x
x + 1# dx =x
x# dx +x
1# dx = x 21# dx + x 2
-1# dx =
32 x 2
3+ 2x 2
1+ cte
3º metodo
x
x + 1# dx ; haciendo cambio de variable x = t(2 x
1dx = dt( dx = 2t.dt , luego
x
x + 1# dx =t
t2 + 1# 2.t.dt =
=32t3 + 2t = 3
2x^ h
3+ 2 x + cte
---------------------------------
Ejercicio 64
I =1 + x2^ h2x2
# dx
I =1 + x2^ h2x2
# dx
dv =1 + x2^ h2x
dx( v =2 1 + x2^ h-1
u = x( du = dx* ( I =2 1 + x2^ h-x +
21
1 + x2dx# =
2 1 + x2^ h-x +21
arctagx + cte
2º metodo
I =1 + x2^ h2x2
# dx ; haciendo cambio de variable x = tagt(t = arctagx & dt =
1 + x2dx
dx = 1 + tag2 t^ hdt*
I =1 + x2^ h2x2
# dx =1 + tag2 t^ h2tag2 t. 1 + tag2 t^ hdt
# =1 + tag2 t^ htag2 t.dt# =
cos2 t1
cos2 tsen2 t
# dt = sen2 t.dt#
I = 21 - cos2t# dt = 2
11 - cos2t6 @# dt = 2
1t - 4
1sen2t = 2
1t - 2
1sent.cost = 2
1arctagx - 2
1
1 + x2
x
1 + x2
1 + cte
I = 21
arctagx - 211 + x2
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 65
I = cos2x.cos2x.dx#
I = cos2x.cos2x.dx =2
1 + cos2x## cos2x dx =21
cos2x + cos22x^ h# dx =21
cos2x dx +21# cos22x.dx#
I = 41
sen2x +21
21 + cos4x# =
41
sen2x +41
dx +41# cos4x dx# =
41
sen2x + 41
x +161
sen4x + cte
2º metodo
I = cos2x.cos2x.dx# ; sea J = sen2x.cos2x.dx#
1 I + J = cos2x.cos2x +# sen2x.cos2x.dx = cos2x. cos2x + sen2x^ h# dx = cos2x.# dx =21
sen2x
2 I - J = cos2x cos2x - sen2x^ h# dx = cos2x.cos2x.dx = cos2## 2x.dx =2
1 + cos4xdx# =
21
x +81sen4x
1 + 2 = 2I = 21
sen2x + 21
x +81sen4x( I = 4
1sen2x + 4
1x +
161
sen4x + cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 66
I =a + b x
dx#
I =a + b x
dx# ; cambio de variable t = a + b x (
dt =2 x
bdx & dt =
b2 t - a^ hb
dx & dx =b2
2 t - a^ hdt
x =b
t - aZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
I =a + b x
dx# =tb2
2 t - a^ h# dt =
b22
tt - a# dt =
b22
1 - ta_ i# dt =
b22
dt -#b22a
tdt# =
b22t -
b22a
Lnt
I =b22
a + b x^ h -b22a
Ln a + b x + cte
---------------------------------
Ejercicio 67
I =1 + senx + cosx
dx#
I =1 + senx + cosx
dx# ; hacer cambio de variable t = tag 2x( 2
x = arctagt & x = 2.arctagt & dx =1 + t22.dt
I =1 + senx + cosx
dx# =
1 + t21 + t2 +
1 + t22t +
1 + t21 - t2
1 + t22.dt
# =
1 + t22 + 2t1 + t22
# dt =1 + tdt# = Ln 1 + t = Ln 1 + tag 2
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 68
I =senx + tagx
dx#
I =senx + tagx
dx# ; Aplicando Bioche vemos que f -x^ h =sen -x^ h + tag -x^ hd -x^ h
=senx + tagx
dx = f x^ hasi que el cambio de variable es t = cosx & dt =- senx.dx =- 1 - t2 dx & dx =-
1 - t2dt
ver imagen de abajo^ h
I =senx + tagx
dx# =
tt. 1 - t2
+t
1 - t21 - t2-dt
# =
tt + 1^ h 1 - t2
1 - t2-dt
# =t + 1^ h 1 - t2^ h-t.dt#
t + 1^ h 1 - t2^ ht =t + 1^ h t + 1^ h 1 - t^ ht =
t + 1^ h2 1 - t^ ht
t + 1^ h2 1 - t^ ht =t + 1A +
t + 1^ h2B +1 - tC =
t + 1^ h2 1 - t^ hA t + 1^ h 1 - t^ h+
t + 1^ h2 1 - t^ hB 1 - t^ h+
t + 1^ h2 1 - t^ hC t + 1^ h2
si t = 0( 0 = A + B + C & A =4-3
si t =- 1(- 1 = 2B & B =21
si t = 1( 1 = 4C & C =41Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
I = 43
t + 1dt# -
21
t + 1^ h2dt# -41
1 - tdt# =
43Ln 1 + t +
21
t + 1^ h-1 +41Ln 1 + t + cte
I = 43Ln 1 + cosx +
21
1 + cosx^ h-1 +41Ln 1 + cosx + cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 69
I =a2 - x2^ h25
dx#
I =a2 - x2^ h25
dx# =
a2 1 - ax_ i28 B
es parecido a 1-sen21 2 344444 44444
f p25
dx# ; cambio de variable sent = ax
sent = ax(
cost = aa2 - x2
& a.cost = a2 - x2
cost dt = adx& a.cost.dt = dx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I =a2 - x2^ h25
dx# =a.cost^ h5a.cost.dt# =
a4 .cos4 tdt# =
a41
cos2 t1#
cos2 t1
dt
I =a41
cos2 t1# d tagt^ h =
a41
1 + tag2 t^ h# d tagt^ h =a41
tagt + 31tag3 t` j ; tagt =
a2 - x2
x
I =a41
a2 - x2
x +31
a2 - x2
xc m+ cte
---------------------------------
Ejercicio 70
I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt ; w ! 0
I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt , sabemos que cos2wt = 21 + cos2wt
y sen2wt = 21 - cos2wt
I = 2a + acos2wt +
2b - bcos2wt` jdt = 2
a + b +2
a - bcos2wt` j## dt = 2
a + bt + 4w
a - bsen2wt + cte
2º metodo
I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt , sea J = bcos2wt + asen2wt^ h# dt
1 I + J = acos2wt + bsen2wt^ h# + bcos2wt + asen2wt^ hdt = a + b^ h cos2wt + sen2wt^ hdt# = a + b^ h# dt = a + b^ ht2 I - J = a - b^ h# cos2wt + b - a^ hsen2wt.dt = a - b^ h cos2wt - sen2wt6 @
=cos2wt6 7 84444444444 4444444444
# dt = 2wa - b^ h
sen2wt
1 + 2 = 2I = a + b^ ht + 2wa - b
sen2wt( I = 2a + b^ ht
+4wa - b
sen2wt
---------------------------------
Ejercicio 71
I = senx.cosxdx#
I = senx.cosxdx# , a senx.cosx
1 = tagx + cotgx , I = tagx + cotgx^ h# dx = tagx.dx + cotgx.dx##
I = cosxsenx# dx +
senxcosx# dx =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx
senx + cte = Ln tagx + cte
2º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a
I = senx.cosxdx# =
senx.cosxsen2x + cos2x# dx , b sen2x + cos2x = 1
I = senx.cosxsen2x
dx# +senx.cosxcos2x# dx =
cosxsenx# dx +
senxcosx# dx =- Ln cosx + Ln senx
I = Ln cosxsenx + cte = Ln tagx + cte
3º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b
I = senx.cosxdx# =
senx.cosxdx# =
21
sen2x
dx# = 2 sen2xdx# c sen2x = 2senx.cosx y senx
1 =21
1 - cosxsenx +
1 + cosxsenx7 A
1 - cos2x^ hl= 2sen2x , 1 + cos2x^ hl=- 2sen2x
I = 2 21
1 - cos2xsen2x +
1 + cos2xsen2x` j# dx =
1 - cos2xsen2x# dx +
1 + cos2xsen2x# dx =
21
1 - cos2x2sen2x# dx +
21
1 + cos2x2sen2x# dx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =21Ln 1 - cos2x -
21Ln 1 + cos2x =
21Ln
1 + cos2x
1 - cos2x= Ln
1 + cos2x
1 - cos2x= Ln tagx^ h + cte , tag
2x =
1 + cos2x
1 - cos2x
4º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b y c
I =senx.cosx
dx# =senx.cos
2x
cosx.dx# =senxcosx
tagx1
D
#cos
2x
1
tagx^ hlF
dx =tagx1
d tagx^ h# = Ln tagx + cte
5º metodo
I =senx.cosx
dx# , sea J =cosxsenx# dx =
senx.cosxsen
2x# dx
1 I - J =senx.cosx1 - sen
2x# dx =
senx.cosxcos
2x# dx =
senxcosx# dx = Ln senx
2 J =cosxsenx# dx =-
cosx
-senx# dx =- Ln cosx
1 + 2 = I = Ln senx - Ln cosx = Lncosxsenx
= Ln tagx + cte
6º metodo
I =senx.cosx
dx# , aplicando la regla de Bioche
f -x^ h =sen -x^ h .cos -x^ hd -x^ h
=-senx.cosx
-dx=
senx.cosxdx
= f x^ h , sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx
cambio de varible t = cosx(
senx = 1 - t2
, cosx = t
t = cosx & x = arcost
t = cosx & dt =- senx.dx & dt =- 1 - t2.dx
Z
[
\
]]]]]]]]]
I =senx.cosx
dx# =-t. 1 - t
2
1 - t2
dt
# =-t. 1 - t
2^ hdt# =-t. 1 + t^ h . 1 - t^ hdt#
t. 1 + t^ h . 1 - t^ h1=
tA+1 + t
B+1 - t
C=
t. 1 + t^ h . 1 - t^ hA 1 + t^ h . 1 - t^ h + B.t. 1 - t^ h + C.t. 1 + t^ h
si
t =- 1 & 1 =- 2C & C =21
t = 1 & 1 = 2B & B =-21
t = 0 & A = 1Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
asi que I =-tdt# +
21
1 + t
dt# +21
1 - t
-dt# =- Ln t +21Ln 1 + t +
21Ln 1 - t =- Ln t +
21Ln 1 + t 1 - t
= 1-t26 7 84444444 4444444d n
I =- Ln cosx + Ln 1 - cos2x =- Ln cosx + Ln senx = Ln
cosxsenx
= Ln tagx + cte
Ejercicio 72
I =f x^ h6 @2 - a2lf x^ h
# dx
I =f x^ h6 @2 - a
2
lf x^ h# dx =
a.a
f x^ h: C2
- 1
lf x^ h# dx , cambio de variable
cost1
=a
f x^ h( cost =
f x^ ha
cost =f x^ ha
(
f x^ h =costa
, sent =f x^ h
f x^ h6 @2 - a2
-sent.dt =- af x^ h6 @2lf x^ h .dx
( sent.dt = af x^ h6 @2lf x^ h .dxZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
I =a2. tag
2t
f x^ h6 @2 .sent.dt# =
a2.costsent
f x^ h6 @2 .sent.dt# =
a1
cost.# f x^ h6 @2 .dt =cost1# dt
aplicando la formulacosx1
=21
1 - senx
cosx+1 + senx
cosx7 AI =
21
1 - sent
cost+1 + sent
cost` j# dt =21
1 + sent
cost# dx -21
1 - sent
-cost# dx =21
Ln1 - sent
1 + sent
I =21
Ln
1 -f x^ h
f x^ h6 @2 - a2
1 +f x^ h
f x^ h6 @2 - a2
=21
Lnf x^ h - f x^ h6 @2 - a
2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
=21Ln
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2e o
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =21Ln
f x^ h6 @2 - f x^ h^ h2 - a26 @
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2_ i2= G =
21Ln
a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2_ i2< F = Ln
a
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
I = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a2 - Lna = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a
2 + cte
---------------------------------
Ejercicio 73
I =1 + x
dx# , haciendo cambio de variable x = t - 1^ h2(dx = 2 t - 1^ hdt
t - 1 = x & t = x + 1(I =
1 + x
dx# =t
2 t - 1^ hdt# = 2
tt - 1# dt = 2 dt - 2
tdt## = 2t - 2Lnt = 2 x + 1^ h - 2Ln x + 1^ h + cte a
2º metodo
I =1 + x
dx# , haciendo cambio de variable x = t2&
t = x
dx = 2t.dt'I =
1 + t
2t.dt# = 2 1 -1 + t
1` j# dt = 2 dt - 21 + t
1dt = 2t - 2Ln 1 + t^ h## = 2 x - 2Ln 1 + x^ h + ct le b
los resultados a y b son el mismo haciendo 2 + cte = ct le
---------------------------------
Ejercicio 74
I =cos
5x
sen3x# dx
I =cos
5x
sen3x# dx = tag
3xcos
2x
1# dx = tag3x# d tagx^ h =
41tag
4x + cte
---------------------------------
Ejercicio 75
I =x sen x
cos xdx =#
I =x sen x
cos xdx =#
sen x
cos x
x
1dx , se observa que d sen x^ h# = cos x
21
x
1dx
I = 2sen x
cos x
2 x
1dx# = 2
sen x
dsen x# = 2Ln sen x + cte
---------------------------------
Ejercicio 76
I =1 + 2senx.cosx
senx - cosx# dx
I =1 + 2senx.cosx
senx - cosx# dx =senx + cosx^ h2senx - cosxa k# dx , senx + cosx^ h2 = 1 + 2senx.cosx
sea u = senx + cosx( du = cosx - senx^ hdx , luego
I =-senx + cosx^ h2-senx + cosx# dx =-
u2
du# =- u-2# du = u
-1 =senx + cosx
1+ cte
---------------------------------
Ejercicio 77
I =1 + 2senx.cosx
cos2x# dx
I =1 + 2senx.cosx
cos2x# dx =senx + cosx^ h2cos
2x - sen
2xc m# dx , cos2x = cos
2x - sen
2x
I =senx + cosx^ h 2
cosx - senx^ h cosx + senx^ h# dx =
senx + cosx^ hcosx - senx^ h# dx = Ln senx + cosx + Cte.
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ h2º metodo
I =1 + 2senx.cosx
cos2x# dx =1 + sen2xcos2x# dx =
21
1 + sen2x
d sen2x^ h# =
21Ln 1 + sen2x = Ln 1 + sen2x
1+sen2x= senx+cosx^ h26 7 84444444 4444444
= Ln senx + cosx + Cte.
---------------------------------
Ejercicio 78
I =1 + senx.cosxsenx.cosx# dx =
21
1 + 21sen2x
sen2x# dx =21
2 + sen2x
2sen2x# dx =
2 + sen2xsen2x# dx
haciendo cambio de variable t = 2x & dt = 2.dx luego
I = 21
1 -2 + sent
2` j# dt = 21t -
2 + sentdt# = x -
2 + sentdt#
A1 2 3444444 444444
A =2 + sent
dt# haciendo cambio de variable tag 2t = n & 2
t = arctagn & t = 2.arctagn & dt =1 + n2
2dn
A =
1 + n22n
+ 2
1 + n22
# dn =
1 + n2
2 n2 + n + 1^ h1 + n2
2
# dn =n
2 + n +41 -
41 + 1
dn# =
n +21` j2 +
23c m2
dn#
y como sabemos quea2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx =
a1
arctag af x^ h
+ cte
n +21` j2 +
23c m2
dn# =
3
2arctag
23
22n + 1J
L
KKKKKKKKKK
N
P
OOOOOOOOOO=
3
2arctag
3
2n + 1=
3
2arctag
3
2.tag 2t + 1
=3
2arctag
3
2.tag 22x + 1
=3
2arctag
3
2.tagx + 1luego I = x -
3
2arctag
3
2.tagx + 1+ cte
---------------------------------
Ejercicio 79
I =ax .bx
ax - bx^ h2# dx
I =ax .bx
ax - bx^ h2# dx =
ax .bxa2x - 2.ax .bx + b2x# dx =
ax.bxa 2x
# dx - 2ax .bxax .bx# dx +
ax .bxb 2x
# dx =bxax
# dx - 2 1# dx +axbx# dx
I = ba_ ix# dx - 2x +
ab` jx# dx =
Ln ba
ba_ ix
- 2x +Ln a
bab` jx
=Lna - Lnb
ba_ ix
- 2x +- Lna - Lnb^ ha
b` jx=
Lna - Lnbba_ ix - a
b` jx- 2x + cte
---------------------------------
Ejercicio 80
I = x2 - a2# dx
I = x2 - a2# dx resolviendo por partesdv = dx & v = x
u = x2 - a2& du =
x2 - a2
xdx*
I = x. x2 - a2 -x2 - a2
x2
# dx = x. x2 - a2 -x2 - a2
x2 - a2 + a2
# dx = x. x2 - a2 -x2 - a2
x2 - a2
# dx - a2
x2 - a2
dx#
I = x. x2 - a2 - x2 - a2# dx - a2
a. ax_ i
2- 1
dx# = x. x2 - a2 - x2 - a2# dx - a2
ax_ i
2- 1
a1dx
#
I = x. x2 - a2 - I - a2Ln ax +
ax_ i2 - 1 ( I =
2
x. x2 - a2
-2a2
Ln ax +
ax_ i2 - 1 + cte
---------------------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 81
I = tagx# .dx
I = tagx# .dx , sea t2 = tagx &t = tagx
2t.dt = 1 + tag2x^ h .dx(I = t.
1 + t42t# dt =
1 + t42t2# dt como se ve el denominador tiene soluciones complejas asi que resolvamoslo.
t4 + 1 = t2 + 1^ h2 - 2t2 = t2 + 1^ h2 - 2 .t^ h2 = t2 + 2 .t + 1^ h t2 - 2 .t + 1^ hI =
1 + t42t2# dt =
t2 + 2 .t + 1
At + B# dt +t2 - 2 .t + 1
lA t + lB# dt a
I =1 + t4
At + B^ h t2 - 2 .t + 1^ h + lA t + lB^ h t2 + 2 .t + 1^ h# dt
si t = 0( 0 = B + lB ( B =- lB
si t = i(- 2 = B + iA^ h -i 2^ h + i lA + lB^ h i 2^ h = A - lA^ h
=- 26 7 84444 4444
2 + i 2 lB - B^ h
=06 7 84444 4444
(
A - lA =- 2( lA = A + 2
lB = B y B =- lB ( lB = B = 0(si t = 1( 2 = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h lA = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h A + 2^ h
lA6 7 844444 44444
= 4A + 2 2 + 2
2 = 4A + 2 2 + 2( 4A + 2 2 = 0( A =2
- 2lA =
22
a , I =1 + t42t2# dt =
t2 + 2 .t + 1
2
- 2t
# dt +t2 - 2 .t + 1
22t
# dt = 4
- 2
t2 + 2 .t + 1
2t.dt# +42
t2 - 2 .t + 1
2t.dt#
I = 4
- 2
t2 + 2 .t + 1
2t + 2 - 2^ h .dt# +
42
t2 - 2 .t + 1
2t - 2 + 2^ h .dt#
I = 4
- 2
t2 + 2 .t + 1
2t + 2^ h .dt# +
42
t2 - 2 .t + 1
2t - 2^ h .dt# -
42
t2 + 2 .t + 1
- 2^ h .dt# +
42
t2 - 2 .t + 1
2^ h .dt#
I = 4
- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4
2Ln t2 - 2 .t + 1 +
21
t2 + 2 .t + 1
dt# +21
t2 - 2 .t + 1
dt#
Ahora descompongamost2 - 2 .t + 1 = t2 - 2 .t + 2
1 -21 + 1 = t -
2
1c m2 +2
1c m2t2 + 2 .t + 1 = t2 + 2 .t + 2
1 -21 + 1 = t +
2
1c m2 +2
1c m2Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
I = 4
- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4
2Ln t2 - 2 .t + 1 +
21
t +2
1c m2 +2
1c m2dt# +
21
t -2
1c m2 +2
1c m2dt#
Aplicando la formulaa2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx = a
1 arctag af x^ h
I = 4
- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4
2Ln t2 - 2 .t + 1 +
22arctag 2 .t + 1^ h +
22arctag 2 .t - 1^ h + cte
I = 4
- 2Ln tagx + 2.tagx + 1 + 4
2Ln tagx - 2.tagx + 1 +
22arctag 2.tagx + 1^ h +
22arctag 2.tagx - 1^ h + cte
I = 42Ln
tagx + 2.tagx + 1
tagx - 2.tagx + 1+
22arctag 2.tagx + 1^ h +
22arctag 2.tagx - 1^ h + cte
---------------------------------
Ejercicio 82
I =senx + cosx
senx# dx
I =senx + cosx
senx# dx , sea J =senx + cosx
cosx# dx
1 I + J =senx + cosx
senx# dx +senx + cosx
cosx# dx =senx + cosx
senx + cosx# dx = dx = x#
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2 I - J =senx + cosx
senx# dx -senx + cosx
cosx# dx =senx + cosxsenx - cosx# dx =-
senx + cosx-senx + cosx# dx
=- Ln senx + cosx
1 + 2 = 2I = x - Ln senx + cosx ( I = 21
x - Ln senx + cosx^ h
---------------------------------
Ejercicio 83
I =1 + cosx
dx#
I =1 + cosx
dx# , sabemos que cos2x =2
1 + cos2xluego 1 + cosx = 2.cos2 2
x
I =1 + cosx
dx# =2.cos2 2
xdx# =
cos2 2x
21dx
# = d tag 2x_ i# = tag 2
x+ cte
2º metodo
como no se cumple ninguna de las 3 reglas de bioche el cambio de variable sera de t = tag 2x
t = tag 2x(
cosx =1 + t21 - t2
arctagt = 2x& 2.arctagt = x &
1 + t22.dt = dx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I =1 + cosx
dx# =
1 +1 + t21 - t2
1 + t22.dt
# =
1 + t22.dt1 + t22.dt
# = dt = t =# tag 2x + cte
---------------------------------
Ejercicio 84
I =x2
x.cosx - senx# dx
I =x2
x.cosx - senx# dx ;g x^ h6 @2
lf x^ h.g x^ h- f x^ h. lg x^ h# =
g x^ hf x^ h
f x^ h = senx( lf x^ h = cos x
g x^ h = x( lg x^ h = 13( I =
x2x.cosx - senx# dx( I = x
senx + cte
---------------------------------
Ejercicio 85
I =x2
Lnx - 1# dx es de la formag x^ h6 @2
lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h# =
g x^ h
f x^ h
I =x2
Lnx - 1# dx , f x^ h = Lnx( lf x^ h = x1
g x^ h =- x( lg x^ h =- 1
* 4( I =-x^ h2x
1 -x^ h - Lnx. -1^ h# dx
I =x2
-1 + Lnx# dx =-xLnx + cte
---------------------------------
Ejercicio 86
I =sen2x + 1
cosx# dx
I =sen2x + 1
cosx# dx =sen2x + 1dsenx# , nos recuerda a
1 + x2dx# = arctagx luego
I = arctag senx^ h + cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 87
I = tagx3# .dx
I = tagx3# .dx , cambio variable t3 = tagx & x = arctag t3^ h & dx =
1 + t3^ h23t
2.dt
=1 + t
6
3t2.dt
I = t.#1 + t
6
3t2.dt
=1 + t
6
3t3.dt# =
1 + t6
3t3.dt# , 1 + t
6 = 13 + t
2^ h3 = 1 + t2^ h 1
2 - t2 + t
4^ hahora descompogamos la fraccion
1 + t6
3t3
=1 + t
2^ h 1 - t2 + t
4^ h3t3
1 + t2^ h 1 - t
2 + t4^ h3t3=1 + t
2
At + B+
1 - t2 + t
4
Ct3 + Dt
2 + Et + F
3t3 = At + B^ h 1 - t2 + t
4^ h+ 1 + t2^ h Ct3 + Dt2 + Et + F^ h3t3 = At - At
3 + At5 + B - Bt
2 + Bt4 + Ct
3 + Ct5 + Dt
2 + Dt4 + Et + Et
3 + F + Ft2
3t3 = t5
A + C^ h + t4B + D^ h + t
3 -A + C + E^ h + t2 -B + D + F^ h + t A + E^ h + B + F^ h
Aplicando igualdad de polinomios resulta:
B + F = 0 & B =- F 6
A + E = 0 & A =- E 5
-B +D + F = 0 & F =- 2D 4
-A +C + E = 3 & E = 3 + 2A 3
B +D = 0 & B =-D 2
A +C = 0 & A =-C 1_
`
a
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
&
2 , 4 y 6 &- B = F =- 2D = D b
1 , 5 y 3 & A =-C =- E =- 3 - 2A aZ
[
\
]]]]]]]]]
a &- 3 - 2A = A &- 3 = 3A & A =- 1 luego C = E = 1
b &- 2D = D & D = 0 luego B = F = 0
asi que1 + t
2^ h 1 - t2 + t
4^ h3t3=1 + t
2
At + B+
1 - t2 + t
4
Ct3 + Dt
2 + Et + F=1 + t
2
-t+
1 - t2 + t
4
t3 + t
I =1 + t
2
-t+
1 - t2 + t
4
t3 + tc mdt# =
1 + t2
-t` jdt# +1 - t
2 + t4
t3 + tc mdt#
I =2
-1
1 + t2
2ta kdt# +41
1 - t2 + t
4
4t3 + 4tc mdt# en la 2º integral d 1 - t
2 + t4^ h = 4t
3 - 2t
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41
1 - t2 + t
4
4t3 - 2tc mdt# +
41
1 - t2 + t
4
6ta kdt#
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41Ln 1 - t
2 + t4 +
41
1 - t2 + t
4
6ta kdt# , 1 - t2 + t
4 = t4 - t
2 +41-41+ 1 = t
2 -21` j2 +
2
3c m2
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41Ln 1 - t
2 + t4 +
23
t2 -
21` j2 +
2
3c m2tf pdt#
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41Ln 1 - t
2 + t4 +
2321
t2 -
21` j2 +
2
3c m22tf pdt#
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41Ln 1 - t
2 + t4 +
43
3
2arctag
2
3
t2 -
21
+ cte
I =2
-1Ln 1 + t
2^ h +41Ln 1 - t
2 + t4 +
2
3arctag
3
2t2 - 1
+ cte
I =2
-1Ln 1 + tagx3^ h2_ i +
41Ln 1 - tagx3^ h2 + tagx3^ h4 +
2
3arctag
3
2 tagx3^ h2 - 1+ cte
Ejercicio 88
I = secx.tagx.dx#
I = secx.tagx.dx# =cosx1#
cosxsenx
dx =cos
2x
senx.dx# =- cos-2x.d cosx^ h# =
cosx1
+ cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
-----------------------
Ejercicio 89
I =x
cotag x# dx
I =x
cotag x# dx =
sen x
cos x#
x
1dx =
sen x
cos x#
2 x
2dx , d sen x^ h = cos x .
2 x
1dx
I = 2sen x
d sen x^ h# = 2.Ln sen x + cte
-----------------------
Ejercicio 90
I =cos
3x.senx
dx#
I =cos
3x.senx
dx# =
cos4x.
cosxsenx
dx# =cos
2x
dx#tagx
1=
tagx
1# d tagx^ h = 2 tagx + cte
-----------------------
Ejercicio 91
I = 2x - 3^ h .tag x2 - 3x^ h# .dx
I = 2x - 3^ h .tag x2 - 3x^ h# .dx , cambio variable u = x
2 - 3x & du = 2x - 3^ hdxI = tagu.du =
cosusenu## du =-
cosu
-senu# du =- Ln cosu =- Ln cos x2 - 3x^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 92
I =1 + x
1 - x# dx
I =1 + x
1 - x# dx , cambio variable x = cos2t(
21arcsenx = t
sen2t =
21 - cos2t
cos2t =
21 + cos2t
dx =- 2.sen2t.dtZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
I =1 + cos2t
1 - cos2t# -2.sen2t.dt^ h =2cos
2t
2sen2t
# -2.sen2t.dt^ h = tagt# . -2.sen2t^ h .dtI =- 2
costsent# .2sent.cost.dt =- 4 sen
2t.dt =- 4
21 - cos2t## dt =- 2 dt + 2cos2t.dt =- 2t + sen2t + cte##
I =- 2.21arccosx + 1 - x
2 + cte =- arccosx + 1 - x2 + cte
-----------------------
Ejercicio 93
I =a + b x
dx# , b ! 0
I =a + b x
dx# se hace cambio de variable t = a + b x (
x =b
t - a
dt =2 x
bdx & dx =
b2
2 t - a^ hdt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
I =
a + b.b
t - a
b2
2 t - a^ hdt
# =b2
2t
t - adt# =
b2
2dt# -
b2
2atdt#
I =b2
2t -
b2
2aLnt =
b2
2a + b x^ h -
b2
2aLn a + b x^ h + cte
Ejercicio 94
I =x
dx#
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =x
dx# aqui a = 0 y b = 1
asi que I = 2 x + cte
-----------------------
Ejercicio 95
I =2 + 3 x
dx#
I =2 + 3 x
dx# aqui a = 2 y b = 3
asi que I =92
2 + 3 x^ h -94Ln 2 + 3 x^ h + cte
Ejercicio 96
I =senx + cosx
1 + cotgx# dx
I =senx + cosx
1 + cotgx# dx =
senx + cosx
1 +senxcosx
# dx =senx + cosx
senx
senx + cosx
# dx =senxdx#
I =senxdx# para resolverlo ver ejercicio 18, vamos a utilizar otro metodo
I =senxdx# , sea J =
senxcosx.dx#
cos2a =
21 + cos2a
cos2a =
21 + cos2a
sen2a = 2sena.cosa
1 I + J =senx
1 + cosx.dx# =senx
2cos2
2x.dx
# =
2sen2xcos
2x
2cos2
2x.dx
# = 2sen
2x
21cos
2x
# dx = 2sen
2x
d sen2x_ i
# = 2Ln sen2x
+ ct le
2 I - J =senx
1 - cosx.dx# =senx
2sen2
2x.dx
# =
2sen2xcos
2x
2sen2
2x.dx
# = 2cos
2x
21sen
2x
# dx =- 2sen
2x
d cos2x_ i
# =- 2Ln cos2x
+ ct me
1 + 2 = 2I = 2Ln sen2x
+ ct le - 2Ln cos2x
+ ct me ( I = Ln sen2x
- 2Ln cos2x
+ cte( I = Ln tag2x
+ cte
-----------------------
Ejercicio 97
I =cos
4x
senx# dx
I =cos
4x
senx# dx =- cos-4x.d cosx^ h# =
31cos
-3x + cte
-----------------------
Ejercicio 98
I =2x. x
cosx + 2x.senx# dx
I =2x. x
cosx + 2x.senx# dx =2x x
cosx# +x
senx=
x
2 x
cosx+ x .senx
# dx ,x
x=
x
1, d
g
fa k =g2
lf .g - f. lg
g x^ h = x ( lg x^ h =2 x
1
f x^ h =- cosx( lf x^ h = senx* 4 asi que I =x
-cosx+ cte
-----------------------
Ejercicio 99
I =x x - a^ hdx#
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =x x - a^ hdx# , x x - a^ h = x
2 - ax = x2 - ax +
4a2
-4a2
= x -2a_ i2 -
2a_ i2
I =
x -2a_ i2 -
2a_ i2
dx# = Ln x -2a+ x x - a^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 100
I =x 1 + x
2
dx#
I =x 1 + x
2
dx# , haciendo cambio de variable x =t1& dx =
t2
-dt
I =
t1
1 +t1` j2
t2
-dt
# =
t1
t2
t2
+t2
1
t2
-dt
# =
t2
1t2 + 1
t2
-dt
# =1 + t
2
-dt# = Ln t - 1 + t2 + cte
I = Ln t - 1 + t2 + cte = Ln
x1- 1 +
x1` j2 + cte
-----------------------
Ejercicio 101
I =cos2xdx#
I =cos2xdx# =
cos2x - sen
2x
dx# =
cos2x 1 -
cos2x
sen2xc m
dx# =cos
2x 1 - tag
2x^ hdx# =
1 - tag2x
1#cos
2x
dx=
1 - tag2x
d tagx^ h#
haciendo cambio variable t = tagx( I =1 - t
2
dt# ,1 - t
2
1=2
1
1 + t
1+1 - t
18 B
I =21
1 + t
dt# +21
1 - t
dt# =21Ln 1 + t -
21Ln 1 - t =
21Ln
1 - t
1 + t= Ln
1 - tagx
1 + tagx+ cte
-----------------------
Ejercicio 102
I =f x^ h6 @2 - a
2
! lf x^ hdx# = Ln a
f x^ h! f x^ h6 @2 - a2siendo a ! 0
vamos a demostrar esta igualdad:
I =f x^ h6 @2 - a
2
lf x^ hdx# =
aa
f x^ h: C2
- 1
lf x^ hdx# =
a
f x^ h: C2
- 1
a
lf x^ hdx
# ,a
f x^ h: C2
- 1c mtiene semejanza acos
2t
1- 1
asi que haciendo cambio de variablecos t1
=a
f x^ h( cos t =
f x^ ha
cost =f x^ ha
(
f x^ h =cos ta& f x^ h6 @2 =
cos2t
a2
-sent.dt =f x^ h6 @2
-a. lf x^ h .dx&
a
f x^ h6 @2 .sent.dt= lf x^ h .dx
(
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
lf x^ h .dx =cos
2t
a2
asent.dt
I =
a
f x^ h: C2
- 1
a
lf x^ hdx
# =tag
2t
cos2t
sent.dt
# =costdt# se ha aplicado la formula 1 + tag
2t =
cos2t
1
I =cos tdt# =
21
1 + sent
cos t+1 - sent
cos t8 B# dt =21
1 + sent
cos tdt# +
21
1 - sent
cos tdt#
^ h6 @
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =21Ln 1 + senx^ h -
21Ln 1 - sent^ h =
21Ln
1 - sent
1 + sent=
21Ln
1 -f x^ hf x^ h6 @2 - a
2
1 +f x^ hf x^ h6 @2 - a
2
I =21Ln
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
=21Ln
f x^ h- f x^ h6 @2 - a2
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2e o =
21Ln
f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2_ i2
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2
I =21Ln
f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2^ h
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2
=21Ln
a2
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2
= Lna
f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2
+ cte
si I =f x^ h6 @2 - a
2
- lf x^ hdx# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde
I =-21Ln
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
=21Ln
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
I =21Ln
f x^ h + f x^ h6 @2 - a2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2e o =
21Ln
f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2_ i2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2
=21Ln
f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2^ h
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2
I =21Ln
a2
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2
= Lna
f x^ h - f x^ h6 @2 - a2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 103
I =f x^ h6 @2 + a
2
! lf x^ hdx# = Ln a
!f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2siendo a ! 0
vamos a demostrar esta igualdad:
I =f x^ h6 @2 + a
2
lf x^ hdx# =
aa
f x^ h: C2
+ 1
lf x^ hdx# =
a
f x^ h: C2
+ 1
a
lf x^ hdx
# ,a
f x^ h: C2
+ 1c mtiene semejanza a tag2t + 1
asi que haciendo cambio de variable tagt =a
f x^ htagt =
a
f x^ h( 1 + tag
2t^ h .dt =
a
lf x^ h .dxI =
1 + tag2t
1 + tag2t^ h .dt
# = 1 + tag2t# =
costdt# se ha aplicado la formula 1 + tag
2t =
cos2t
1
I =costdt# =
21
1 + sent
cost+1 - sent
cost8 B# dt =21
1 + sent
costdt# +
21
1 - sent
costdt#
I =21Ln 1 + senx^ h -
21Ln 1 - sent^ h =
21Ln
1 - sent
1 + sent=
21Ln
1 -f x^ h6 @2 + a
2
f x^ h1 +
f x^ h6 @2 + a2
f x^ h
I =21Ln
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h
=21Ln
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ he o =
21Ln
f x^ h6 @2 + a2_ i2 - f x^ h6 @2
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2
I =21Ln
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h6 @2
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2
=21Ln
a2
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2
= Lna
f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2
+ cte
si I =f x^ h6 @2 + a
2
- lf x^ hdx# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde
I =-21Ln
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h
=21Ln
f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ he o =
21Ln
f x^ h6 @2 + a2_ i2 - f x^ h6 @2
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2
I =21Ln
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h6 @2
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2
=21Ln
a2
f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2
= Lna
-f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2
+ cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Según el ejercicio 103 se demostro quef x^ h6 @2 + a
2
! lf x^ h .dx# = Lna
!f x^ h + f x^ h6 @2 + a2
= Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 - Lna
f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h.dx# = Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 + cte a
Pero en todos los libros que tengo aparece de la seguiente forma:
f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h.dx# = Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 + cte b
Derivando a Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 y la b Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 el es resultadof x^ h6 @2 + a2! lf x^ h .dx
Pero Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 ! Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 asi que averiguemos cual es esa diferencia:
Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 + Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 = Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2_ i f x^ h - f x^ h6 @2 + a2_ i
= Ln - f x^ h6 @2 + f x^ h6 @2 + a2 = Ln a2 = cte lo que significa que:
Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 = Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 + cte
luego las dos formulas son verdaderas
-----------------------
Ejercicio 104
I =x
2 + 4
-dx#
I =x
2 + 4
-dx# =Ln x - x
2 + 4 + cte A segun la formula b
Ln -x + x2 + 4 + cte A segun la formula a)
Comprobacion
ax
2 + 4
-dx# = Ln -x + x2 + 4 + cte (
derivandoA
dx
2 + 4
-dx#c m = d Ln -x + x2 + 4 + cte^ h
x2 + 4
-1=
-x + x2 + 4
1-1 +
2 x2 + 4
2xc m =-x + x
2 + 4
x2 + 4
- x2 + 4 + x
=x
2 + 4
-1luego la a es verdadera.
bx
2 + 4
-dx# = Ln x - x2 + 4 + cte (
derivandoA
dx
2 + 4
-dx#c m = d Ln x - x2 + 4 + cte^ h
x2 + 4
-1=
x - x2 + 4
11 -
2 x2 + 4
2xc m =x - x
2 + 4
x2 + 4
x2 + 4 - x
=x
2 + 4
-1luego la b es verdadera.
asi que ambos resultados son verdaderos.
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 104
I =x2 + x + 1
x.dx#
I =x2 + x + 1
x.dx# es de la formaax
2 + bx + c
P x^ h=
dxd
Q x^ h ax2 + bx + c_ i+
ax2 + bx + c
m
Q x^ h es un polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 = 0 y m nº real a determinar.
asi que Q x^ h = cte = A luegodxd
A x2 + x + 1^ h =
2 x2 + x + 1
A 2x + 1^ h
ax2 + bx + c
P x^ h=
x2 + x + 1
x=
2 x2 + x + 1
A 2x + 1^ h+
x2 + x + 1
m=
x2 + x + 1
Ax +2A+ m
(
2A+ m = 0
A = 1) (
m =2
-1
A = 1)
I =x2 + x + 1
x.dx# =dxd
1. x2 + x + 1^ hdx# +
x2 + x + 1
2
-1
# dx = x2 + x + 1 -
21
x2 + x + 1
dx#
I = x2 + x + 1 -
21
x2 + x +
41-41+ 1
dx# = x2 + x + 1 -
21
x +21` j2 +
2
3c m2dx#
Aplicando la formulaf x^ h6 @2 + a
2
! lf x^ hdx# = Ln a
!f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2siendo a ! 0
I = x2 + x + 1 -
21Ln
2
3
x +21+ x
2 + x + 1+ cte
-----------------------
Ejercicio 105
I =1 - x
2
1 - x - 1 + x# dx
I =1 - x
2
1 - x - 1 + x# dx , 1 - x y 1 + x nos hace pensar en la formulas
sen2t =
21 - cos 2t
cos2t =
21 + cos 2t*
asi que hagamos el cambio de variable x = cos 2t( dx =- 2sen2t.dt , luego I queda de la seguiente forma
I =1 - cos
22t
1 - cos2t - 1 + cos2t# -2sen2t.dt^ h =- 2
sen22t
2 .sent - 2 . cos t# sen2t.dt =- 2 2
sen2tsent - cost# dt
I =- 2 22sent.costsent - cost# dt =- 2
sent.costsent# dt + 2
sent.costcost# dt =- 2
costdt# + 2
sentdt# ver ejercicios 18 y 102
costdt# =
21Ln
1 - sent
1 + sent,
sentdt# =
21Ln
1 + cos t
1 - cos t
x = cos2t & x = cos2t - sen
2t = 1 - 2sen
2t &
21 - x
= sen2t & sent =
2
1 - xsupongamos que estamos en el 1 cuadrante
sent =2
1 - xUA
cost =2
1 + xse deduce del triangulo
I =2
- 2Ln
1 -2
1 - x
1 +2
1 - x
+2
2Ln
1 +2
1 + x
1 -2
1 + x
=2
- 2Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x+
2
2Ln
2 + 1 + x
2 - 1 + x+ cte
I =2
2Ln
2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h+ cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
2º metodo
I =1 - x
2
1 - x - 1 + x# dx =
1 - x2
1 - x# dx -
1 - x2
1 + x# dx =
1 - x^ h 1 + x^ h1 - x# dx -
1 - x^ h 1 + x^ h1 + x# dx
I =1 - x^ h 1 + x^ hdx# -
1 - x^ h 1 + x^ hdx#
A =1 - x^ h 1 + x^ hdx# , haciendo cambio de variable t
2 = 1 - x(x = 1 - t
2
2t.dt =- dx%A =
2 - t2^ h .t
-2t.dt# =- 2
2^ h2 - t2
dt# =- 22 2
1Ln
2 - t
2 + t=
2
- 2Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x+ ct le
B =1 + x^ h 1 - x^ hdx# , haciendo cambio de variable t
2 = 1 + x(x = t
2 - 1
2t.dt = dx%B =
2 - t2^ h .t
2t.dt# = 2
2^ h2 - t2
dt# = 22 2
1Ln
2 - t
2 + t=
2
2Ln
2 - 1 + x
2 + 1 + x+ ct me
I =2
- 2Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x+
2
2Ln
2 - 1 + x
2 + 1 + x+ cte
I =2
2Ln
2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h
+ cte
----------------------
Ejercicio 106
I =4 - 9e
2x
ex.dx#
I =4 - 9e
2x
ex.dx# =
31
2^ h2 - 3ex^ h23e
x.dx# es de la forma
a2 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =
-arccosa
f x^ h+ cte
arcsena
f x^ h+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I =-31arccos
23e
x
+ cte
31arcsen
23e
x
+ cteZ
[
\
]]]]]]]]]
-----------------------
Ejercicio 107
I =tag
2x - 1
tagx + 1# dx
I =tag
2x - 1
tagx + 1# dx =
tagx + 1^ h tagx - 1^ h^ htagx + 1^ h# dx =
cosxsenx
- 1
dx# =senx - cosx
cosx.dx#
1 I =senx - cosx
cosx.dx# , sea 2 J =senx - cosx
senx.dx#
A = 1 + 2 = I + J =senx - cosx
cosx + senx^ h .dx# = Ln senx - cosx
B = 1 - 2 = I - J =senx - cosx
cosx - senx^ h .dx# =- dx =- x#
A + B = 2I =- x + Ln senx - cosx ( I =2
-x + Ln senx - cosx+ cte
-----------------------
Ejercicio 108
I =x 1 - x^ h
arcsen x# dx
I =x 1 - x^ h
arcsen x# dx se nos fijamos se ve que
dxd
arcsen x^ h =1 - x
1
2 x
1dx
I =x 1 - x^ h
arcsen x# dx = 2 arcsen x
1 - x
1
2 x
1# dx = 2 arcsen x
t6 7 844444 44444
# d arcsen x
t6 7 844444 44444c m
I = 221
arcsen x^ h2 + cte = arcsen x^ h2 + cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 109
I =x
1 - Lnxdx#
I =x
1 - Lnxdx# se nos fijamos se ve que
dxd
1 - Lnx^ h =x1
dx
I =x
1 - Lnxdx# = 1 - Lnx^ h21# d 1 - Lnx^ h =
32
1 - Lnx^ h23 + cte
-----------------------
Ejercicio 110
I = Ln 4 + x^ hdxI = Ln 4 + x^ hdx , haciendo cambio de 4 + x = e
t&
x = et - 4 &
2 x
dx= e
t.dt & dx = 2e
2t - 8et^ hdt
Ln 4 + x^ h = t*I = 2 te
2t.dt - 8 te
t.dt## la forma mas facil de integrar es por partes
tet.dt#
dv = et& v = e
tu = t & du = dt% ( te
t.dt# = te
t - etdt# = te
t - et
te2t.dt#
dv = e2t& v =
21e2t
u = t & du = dt) ( te2t.dt# =
21te
2t -21
e2tdt# =
21te
2t -41e2t
I = te2t -
21e2t - 8te
t + 8et + cte e
t^ h2 = e2t
I = 4 + x^ h2Ln 4 + x^ h -21
4 + x^ h2 - 8 4 + x^ hLn 4 + x^ h + 8 4 + x^ h + cte
-----------------------
Integrales de la Forma
cx + d^ h ax2 + bx + c
la x + lb# dx
1º Paso dividir:
bla x + lb
a
cx + dg(
cx + d
la x + lb= a +
cx + d
b
2º Paso
cx + d^ h ax2 + bx + c
la x + lb# dx =ax
2 + bx + c
a.dx#
A6 7 84444444444 4444444444
+cx + d^ h ax
2 + bx + c
b.dx#
B6 7 8444444444444444 444444444444444
3º Paso
Para A = a.ax
2 + bx + c
dx# , utilizar4ab2
para transformarlo de la seguiente forma:
x - i^ h2 - c2
dx# ,x - i^ h2 + c2
dx# ,c2 - x - i^ h2dx#
y utilizar las formulas:
f x^ h6 @2 + a2
! lf x^ h .dx# =
Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 + cte
Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte*
f x^ h6 @2 - a2
! lf x^ h .dx# = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a
2 + cte
a2 - f x^ h6 @2! lf x^ h .dx
# =
"arcosa
f x^ h+ cte
!arcsena
f x^ h+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]
si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas
4º Paso
Para B = b.cx + d^ h ax
2 + bx + c
dx# , hacemos cambio de variable cx + d =t1
La B se transformara en una integral parecida a la A;es deecir de la forma seguiente:
B = mat
2 + bt + d
dt# , hacemos lo del paso 3º y quedara resuelto.
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 111
I =x - 1^ h x
2 + 1
x + 2^ hdx#
I =x - 1^ h x
2 + 1
x + 2^ hdx# , -
3
----x - 1
x + 21
x - 1g(
x - 1^ hx + 2^ h= 1 +
x - 1^ h3
I = 1 +x - 1^ h3: D#
x2 + 1
dx=
x2 + 1
dx# + 3x - 1^ h x
2 + 1
dx#
x2 + 1
dx# = Ln x + x2 + 1 + cte ver ejercicio 102
x - 1^ h x2 + 1
dx# haciendo cambio variable x - 1 =t1&
t =x - 1
1
x =t1+ 1
dx =t2
-1dt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
t1
t2
1+
t2+ 2
t2
-1dt
# =
t1
t2
1+
t2
2t+
t2
2t2
t2
-1dt
# =
t2
12t
2 + 2t + 1
t2
-1dt
# =-2t
2 + 2t + 1
dt#
=-
2t2 + 2t +
21-
21+ 1
dt# =-
2 t +2
1c m2 +2
1c m2dt# =-
2
1
2 t +2
1c m2 +2
1c m22 dt
#
=2
2
2 t +2
2c m2 +2
2c m2- 2 dt
# =2
2Ln 2 t +
2
2c m- 2 t +2
2c m2 +2
2c m2 + cte
I = Ln x + x2 + 1 +
2
3 2Ln
x - 1
2+
2
2c m-x - 1
2+
2
2c m2 +2
2c m2 + cte
-----------------------
Ejercicio 112
I =1 - x
arcsen x# dx
I =1 - x
arcsen x# dx ,
dv =1 - x
dx( v =- 2 1 - x
u = arcsen x ( du =1 - x
1
2 x
1dx
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I =- 2 1 - x .arcsen x - -2 1 - x#1 - x
1
2 x
1dx =- 2 1 - x .arcsen x +
x
dx#
I =- 2 1 - x .arcsen x + 2 x + cte
-----------------------
Ejercicio 113
I =ex + 1 + 1
ex
# dx
I =ex + 1 + 1
ex
# dx , cambio variable ex + 1 = t(
ex = t - 1 & e
x.dx = dt & dx =
t - 1
dt
ex + 1 = t
ex = t - 1
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I =t + 1
t - 1#t - 1
dt=
t + 1
dt# , cambio variable t = n &2 t
dt= dn & dt = 2n.dn
I =n + 1
2n.dn# = 2
n + 1
n.dn# ,
n + 1
n= 1 -
n + 1
1
I = 2 dn# - 2n + 1
dn# = 2n - 2Ln n + 1 = 2 t - 2Ln t + 1 + cte
I = 2 ex + 1 - 2Ln e
x + 1 + 1 + cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 114
I = x 23# Ln
x1
dx
I = x 23# Ln
x1
dx integrando por partesdv = x 2
3& v =
52x 25
u = Lnx1& du = x.dx*
I =52x 25Ln
x1-52
x 27# dx =
52x 25Ln
x1-52
92x 29+ cte
I =52x 25Ln
x1-
454
x 29+ cte
-----------------------
Ejercicio 115
I = cosx.Ln senx^ h .dx#
I = cosx.Ln senx^ h .dx# integrando por partes
u = Ln senx^ h & du =senxcosx
dx = cotgx.dx
dv = cosx.dx & v = senx
I = senx.Ln senx^ h - senx.# cotgx.dx = senx.Ln senx^ h - cosx# .dx
I = Ln senx^ hsenx - senx + cte
-----------------------
Ejercicio 116
I = senx. 1 - cosx# dx
I = senx. 1 - cosx# dx =- 1 - cosx d cosx^ h# = 1 - cosx d 1 - cosx^ h#
I = u .du siendo u = 1 - cosx#
I =32u 23=
32
1 - cosx^ h23 + cte
2º metodo
I = senx. 1 - cosx# dx = senx. 2sen2x# dx aplicando la formula sen
2x =
21 - cos2x
I = 2 senx.sen2x# dx = 2 2sen
2xcos
2x.sen
2x# dx aplicando la formula senx = 2sen
2xcos
2x
I = 2 2 sen2
2xcos
2x# dx = 4 2 sen
2
2x# d sen
2x_ i porque d sen
2x_ i =
21cos
2x
I =3
4 2sen
3
2x+ cte ,
3
4 2sen
3
2x=
3
4 2sen
2x_ i3 =
3
4 2
21 - cosx` j3 =
3
4 2
2 2
1 - cosx^ h23=
32
1 - cosx^ h23-----------------------
Ejercicio 117
I = x3# e
-4x2.dx
I = x3# e
-4x2.dx si nos fijamos bien, se observa que derivada e
-4x2^ h =- 8x.e-4x2
.dx
asi que mejor hacer aparecer en la integral x.e-4x2
.dx
I = x3# e
-4x2.dx = x
2# .x.e-4x2
.dx , ahora pasemos a integrar por partes
dv = x.e-4x2
dx( v =8
-1e-4x2
u = x2( du = 2x.dx*
I = x2
8
-1e-4x2` j -
8
-1e-4x2# 2x.dx =
8
-1x2e-4x2` j +
41
xe-4x2# .dx
I =8
-1x2e-4x2 +
41
-81` je-4x2 = e
-4x2
8
-1x2 -
321` j + cte
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 118
I = cos 3x# .dx
I = cos 3x# .dx cambio variable u = 3x &
du =2
3
x
dx& dx =
32.u.du
x =3
uZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
I = cosu# .3
2.u.du=
32
u.# cosu.du , ahora pasemos a integrar por partes
dw = cosudu( w = senu
v = u( dv = du$I = usenu - senudu# = usenu + cosu = 3x sen 3x + cos 3x + cte
-----------------------
Ejercicio 119
I =1 + x
2dx#
I =1 + x
2dx# , cambio variable u = 1 + x &
du =2 x
dx& 2 x du = dx & 2 u - 1^ hdu = dx
x = u - 1*I = 2
u
2 u - 1^ hdu# = 4
u
u - 1^ hdu= 4 du - 4
udu### = 4u - 4Lnu + cte
I = 4 1 + x^ h - Ln 1 + x^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 120
I =1 + e
xdx#
I =1 + e
xdx# cambio variable u = 1 + e
x& du = e
xdx &
u - 1
du= dx
I =u
u - 1
du
# =u - 1
u# du =u - 1
u - 1 + 1# du = 1# du +u - 1
du# = 1# du +u - 1
d u - 1^ h#
I = u + Ln u - 1^ h + cte = 1 + ex + Lne
x + cte = 1 + ex + x + cte = e
x + x + ct le
-----------------------
f x,y^ ha
b
# dx$ x d a,b6 @ , f x,y^ ha
b
# dy$ y d a,b6 @Ejercicio 121
y2 = 4x(
x =4
y2
y = 4x*1 calcula f y^ h
0
4
# dy =4
y2
dy =41
0
4
# y2
0
4
# dy =
=41
3
y3: C
0
4
=41
343a k-
303a k: C =
1264
u2 =
316
u2ver dibujo
316
u2$ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje y en el intervalo 0,46 @.
2 calcula f x^ h0
4
# dx = 4x dy = 2
0
4
# x
0
4
# dy =
= 23
2x 23; E
0
4
=34
x 236 @04 = 3
44 23^ h - 0 2
3^ h7 A =332
u2ver dibujo
332
u2$ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje x en el intervalo 0,46 @.
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 122
I =x - 1
dx
2
3
#
I =x - 1
dx
2
3
# aqui la funcion f x^ h =x - 1
1es continua en el intervalo 2,36 @
I = 2 x - 16 @2
3= 2 3 - 1^ h - 2 2 - 1^ h6 @ = 2 2 - 26 @ = 2 2 - 16 @ u2
las integrales definidas AA Area AA unidad al cuadrado
-----------------------
Ejercicio 123
I =x - 1
dx
1
3
#
I =x - 1
dx
1
3
# aqui la funcion f x^ h =x - 1
1no es continua en 1,36 @ ya que no esta definida en x = 1
lo que nos indica que I es una integral impropia, luego
I =x - 1
dx
1
3
# = lima"1+ x - 1
dx
a
3
# = lima"1+
2 x - 16 @a
3= lim
a"1+2 3 - 1^ h - 2 a - 1^ h6 @ = lim
a"1+2 2 - lim
a"1+2 a - 1^ h
=06 7 844444 44444
I = 2 2 u2
-----------------------
Ejercicio 124
I = Ln 1 - x^ hdx#
I = Ln 1 - x^ hdx# , cambio variable et = 1 - x (
dx = -2et + 2e
2t^ hdtx = 1 - e
t& x = 1 - e
t^ h2 = 1 - 2et + e
2t
t = Ln 1 - x^ hZ
[
\
]]]]]]]]]
I = t# . -2et + 2e2t^ hdt =- 2 t.et# dt
A6 7 84444 4444
+ 2 t.e2t# dt
B6 7 844444 44444
resolviendo por partes las integrales A y B
A = t.et
dv = et& v = et
u = t & du = dt$ ( A = t.et- et# dt = t.et
- et
B = t.e2t
dv = e2t & v =21e2t
u = t & du = dt) ( B =21t.e2t -
21
e2t# dt =21t.e2t -
41e2t
luego I =- 2t.et + 2et + t.e2t -21e2t = 2et -t + 1^ h + e2t t -
21` j+ cte
I = 2 1 - x^ h 1 - Ln 1 - x^ h6 @ + 1 - x^ h2 Ln 1 - x^ h -218 B + cte
-----------------------
Ejercicio 125
I =x2
5 - x2
dx#
I =x2
5 - x2
dx# =
5 .x2. 1 -
5
xa k2dx# , cambio variable sent =
5
x&
cost =5
5 - x2
cost.dt =5
dxZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
I =5.sen
2t. 5 .cost
5 .cost.dt# =
51
sen2t
dt# =-51cotgt =-
51
x
5 - x2
=-5x
5 - x2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 126
I =x56+ x
x + 5 x23
# dx
I =x56+ x
x + 5 x23
# dx , m.c.m 2,3,6^ h = 6 luego cambio variable x = t6&
t = x6
dx = 6t5.dt(
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =t5 + t6t3 + 5t4# 6t5 .dt =
t5 1 + t^ ht3 + 5t4# 6t5.dt = 61 + t^ ht3 + 5t4# dt
4
-----
-4t - 4-4t-----
4t2 + 4t4t2
-----
-4t3 - 4t2-4t3-----
5t3 + 5t4t3 + 5t4
5t3 - 4t2 + 4t - 41 + tg
I = 6 5t3 - 4t
2 + 4t - 4^ hdt + 61 + t
4dt## =430
t4 -
324
t3 +
224
t2 - 24t + 24Ln 1 + t + cte
I =215
x46 - 8 x
36 + 12 x26 - 24 x
6 + 24Ln 1 + x6 + cte
I =215
x23 - 8 x + 12 x
3 - 24 x6 + 24Ln 1 + x
6 + cte
-----------------------
Ejercicio 127
I = 4x - x2# dx
I = 4x - x2# dx = -x
2 + 4x# dx = -x2 + 4x - 4 + 4# dx = - x
2 - 4x + 4^ h + 4# dx =
I = - x - 2^ h2 + 22# dx = 2
2 - x - 2^ h2 dx = 2 1 -2
x - 2` j2## dx
cambio variable sent =2
x - 2(
cost =2
4x - x2
cost.dt =21dx & dx = 2.cost.dt
Z
[
\
]]]]]]]]]]
I = 2cost.2cost.dt# = 4 cos2t.dt = 4
21 + cos2t## dt = 2 1 + cos2t^ hdt =# 2t + sen2t + cte
I = 2t + 2sent.cost + cte = 2arcsen2
x - 2+ 2
2x - 2
2
4x - x2
+ cte
I = 2arcsen2
x - 2+
2
x - 2^ h 4x - x2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 128
I =cx + d^ h ax + b
dx# siendo a.c ! 0
I =cx + d^ h ax + b
dx# , cambio variable t = ax + b &
x =a
t2 - b
t2 = ax + b & 2t.dt = adx*
I =
a ca
t2 - b
+ da kt2t.dt
# = 2c.t
2 - c.b + a.d^ hdt# =c2
t2 - b +
ca.d
dt# =c2
t2 + -b +
ca.d` jdt# =
c2
t2 +
ca.d - bc` jdt#
si c 2 0 y ad - bc 2 0 o bien c 1 0 y ad - bc 1 0
I =c2
t2 +
ca.d - bc` ja k2dt# =
c2
a.d - bc
c_ i arctagta.d - bc
c_ i + cte =c2
a.d - bc
c_ i arctag ax + ba.d - bc
c_ i + cte
si c 1 0 y ad - bc 2 0 o bien c 2 0 y ad - bc 1 0
I =c2
t2 - -
ca.d - bc` ja k2dt# =-
c2
-c
a.d - bc` ja k2 - t2
dt# =-c
2
2 -c
a.d - bc` j1
Ln
-c
a.d - bc` j - t
-c
a.d - bc` j + t
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
I =-
c -c
a.d - bc` j1
Ln
-c
a.d - bc` j - ax + b
-c
a.d - bc` j + ax + b+ cte
-----------------------
Ejercicio 129
I =1 - x + 1 + x
dx#
I =1 - x + 1 + x
dx# =1 - x + 1 + x
1#1 - x - 1 + x
1 - x - 1 + xdx =
-2x
1 - x - 1 + x# dx
I =-2x
1 - x# dx +
2x
1 + x# dx =
2
-1
x 1 - x
1 - x# dx +21
x 1 + x
1 + x# dx
I =2
-1
x 1 - x
1# dx +21
x 1 - x
x# dx +21
x 1 + x
1# dx +21
x 1 + x
x# dx
I =2
-1
x 1 - x
dx#
A6 7 8444444 444444
+21
1 - x
dx#
B6 7 844444 44444
+21
x 1 + x
dx#
C6 7 8444444 444444
+21
1 + x
dx#
D6 7 844444 44444
ver ejercicio anterior
A =x 1 - x
dx# c = 1 , d = 0 , a =- 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1
A =- Ln1 - 1 - x
1 + 1 - x+ cte1
B =1 - x
dx# =-1 - x
d 1 - x^ h# =- 2 1 - x + cte2
C =x 1 + x
dx# c = 1 , d = 0 , a = 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1
C =- Ln1 - 1 + x
1 + 1 + x+ cte3
D =1 + x
dx# =1 + x
d x + 1^ h# = 2 1 + x + cte4
por ultimo I =21Ln
1 - 1 - x
1 + 1 - x- 1 - x -
21Ln
1 - 1 + x
1 + 1 + x+ 1 + x + cte
I =21Ln
1 - 1 - x^ h 1 + 1 + x^ h1 + 1 - x^ h 1 - 1 + x^ h
+ 1 + x - 1 - x + cte
-----------------------
Ejercicio 130
I =2 - cos
2t
dt
0
3r
# , f x^ h =2 - cos
2t
1existe Ssi 2 - cos
2t ! 0 & cost !! 2 verdadero porque - 1 # cos t # 1
I =2 - cos
2t
dt
0
3r
# , segun la regla de Bioche vemos que el cambio de variable es tagt = n
tagt = n &t "
3r& tag
3r
= 3 = n
t " 0 & tag0 = 0 = n
1 + tag2t^ hdt = dn & dt =
1 + n2
dnZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
luego
I =2 - cos
2t
dt=
0
3r
#2 -
1 + n2
1
1 + n2
dn
0
3
# =
1 +n2
1 + 2n2
1 +n2
dn
0
3
# =1 + 2n^ h2
dn
0
3
#
I =2
1
1 + 2n^ h22 dn
0
3
# =2
1arctag 2n^ h6 @03 =
2
1arctag 6
En las integrales definidas una vez hecho cambio de variable y tambien lo de los lim ites inf erior y sup erior
no hace falta volver a remplazar por la variable original para hallar el resultado.
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 131
I =f x^ h f x^ h6 @2 + a2
lf x^ h# dx
I =f x^ h f x^ h6 @2 + a2
lf x^ h# dx =
a.f x^ h af x^ h: C
2
+ 1
lf x^ h# dx
af x^ h: C
2
+ 1c mtiene un parecido a 1 + tag2 t asi que
haciendo cambio de variable tagt = af x^ h
&
cost =f x^ h6 @2 + a2
acos2 t1
dt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
I =a tagt cost
a
acos2 tdt
# =acos2 tsent
cos2 tdt
# =a1
sentdt# =
2a1Ln
1 + cost1 - cost + cte ver ejercicio 18
I = 2a1Ln
1 +f x^ h6 @2 + a2
a
1 -f x^ h6 @2 + a2
a
=2a1Ln
f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a
s X y z por el conjugado del numenador
I = 2a1Ln
f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a
f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 + a
=2a1Ln
f x^ h6 @2 + a2 + a_ i2f x^ h6 @2
I = a1Ln
f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h
=-a1Ln
f x^ hf x^ h6 @2 + a2 + a+ cte
ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador
I = 2a1Ln
f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a
f x^ h6 @2 + a2 - af x^ h6 @2 + a2 - a
=2a1Ln
f x^ h6 @2f x^ h6 @2 + a2 - a_ i2
I = a1Ln
f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a=a1Ln
f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a+ cte
Asi podemos concluir que:
f x^ h f x^ h6 @2 + a2lf x^ h
# dx =
-a1Ln
f x^ hf x^ h6 @2 + a2 + a+ cte
a1Ln
f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
-----------------------
Ejercicio 132
I =f x^ h f x^ h6 @2 - a2
lf x^ h# dx
I =f x^ h f x^ h6 @2 - a2
lf x^ h# dx =
a.f x^ h af x^ h: C
2
- 1
lf x^ h# dx
af x^ h: C
2
- 1c mtiene un parecido acos2 t1 - 1 = tag2 t asi que
haciendo cambio de variable cost1 =
af x^ h
& cost =f x^ ha
tagt = af x^ h6 @2 - a2
f x^ h = costa
-sent.dt =f x^ h6 @2-a
lf x^ hdx & lf x^ hdx =cos2 t
a.sent.dtZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
I =
costa
a.tagt
cos2 ta.sent.dt
# =a1# dt = a
1t =
a1arctag a
f x^ h6 @2 - a2+ cte
o bien
a1arccos
f x^ ha + cteZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 133
I =f x^ h a2 - f x^ h6 @2
lf x^ h# dx
I =f x^ h a2 - f x^ h6 @2
lf x^ h# dx =
a.f x^ h 1 - af x^ h: C
2
lf x^ h# dx
1 - af x^ h: C
2c mtiene un parecido a 1 - sen2 t asi que
haciendo cambio de variable sent = af x^ h
&
cost = aa2 - f x^ h6 @2
f x^ h = a.sent
cost.dt = a
lf x^ hdx
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
I = a.sent.a.costa.cost.dt
# =a1
sentdt# =
a121Ln
1 + cost1 - cost =
2.a1
Ln
1 + aa2 - f x^ h6 @2
1 - aa2 - f x^ h6 @2
I = 2.a1
Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2
s X y z por el conjugado del numenador
I = 2.a1
Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2
a + a2 - f x^ h6 @2a + a2 - f x^ h6 @2
=2.a1
Lna + a2 - f x^ h6 @2_ i2f x^ h6 @2
=a1Ln
a + a2 - f x^ h6 @2f x^ h
+ cte
I =- a1Ln
f x^ ha + a2 - f x^ h6 @2+ cte
ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador
I = 2.a1
Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2
a - a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2
=2.a1
Lnf x^ h6 @2
a - a2 - f x^ h6 @2_ i2=
I = a1Ln
f x^ ha - a2 - f x^ h6 @2+ cte
Asi podemos concluir que:
f x^ h a2 - f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =
-a1Ln
f x^ ha + a2 - f x^ h6 @2+ cte
a1Ln
f x^ ha - a2 - f x^ h6 @2+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
-----------------------
Ejercicio 134
I =x2 x4 + 4
x.dx#
I =x2 x4 + 4
x.dx# =21
x2 x2^ h2 + 42x.dx# =
41Ln
x2x4 + 4 - 2
+ cte
4-1
Lnx2
x4 + 4 + 2+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
ver ejercicio nº 131
2º metodo
I =x2 x4 + 4
x.dx# =x x4 + 4
dx# , cambio variable x = t1& dx =
t2-1
dt
I =
t1
t41 + 4
t2-1
dt# =
t1
t44t4 + 1
t2-1
dt# =
t31
4t4 + 1
t2-1
dt# =-
2t2^ h2 + 1t dt# =-
41
2t2^ h2 + 14t dt#
aplicando la formula:f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h
# dx = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte
I =- 41Ln 2t2 + 4t4 + 1 + cte =- 4
1Ln 2 x
1` j2 + 4 x1` j4 + 1 + cte =- 4
1Ln
x22 +
x44 + 1 + cte
I =- 41Ln
x22 +
x2x4 + 4
+ cte =- 41Ln
x22 + x4 + 4
+ cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 135
I =x 1 + x^ h1
1
+3
# dx
I =x 1 + x^ hdx
1
+3
# la funcion f x^ h =x 1 + x^ h1
existe Ssix !- 1x 2 0% y como nuestro intervalo de trabajo es 1, + 36 6
luego f x^ h existe y es continua en 1, + 36 6
haciendo cambio de variable x = t2 &x "+3 & t "+3x " 1 & t " 1
t = x x d 1, + 36 6dx = 2t.dtZ
[
\
]]]]]]]]]]
I = lima"+3 t. 1 + t2^ h2t.dt
1
a
# = 2 lima"+3 1 + t2^ hdt
1
a
# = 2 lima"+3
arctag t^ h6 @1a = 2 lima"+3
arctag a^ h - arctag 1^ h6 @
I = 2 lima"+3
arctag a^ h - 4r8 B = 2 2
r -4r8 B =
2r
u2 sabiendo quelima"-3
arctag a^ h6 @ =-2r
lima"+3
arctag a^ h6 @ =2r*
-----------------------
Ejercicio 136
I = x.e-x2dx
-1
+3
#
I = x.e-x2dx
-1
+3
# , f x^ h = x.e-x2es continua en -1, + 36 @
I = x.e-x2dx
-1
+3
# = lima"+3
x.e-x2dx
-1
a
# =2-1
lima"+3
-2.x.e-x2dx
-1
a
# =2-1
lima"+3
e-x26 @-1a
I = 2-1
lima"+3
e-a2- e- -1^ h26 @ =
2-1
lima"+3
e-a26 @
=06 7 844444 44444+21lima"+3
e-16 @ = 2e1u2
-----------------------
Ejercicio 137
I = x.Lnx0
1
# dx
I = x.Lnx0
1
# dx , f x^ h = x.Lnx la funcion existe Ssi x 2 0 y como el intervalo que estamos es 0,16 @f x^ h no esta definida en 0 A es una integral impropia luego:
resolvamoslo por partes
I = lima"0+
x.Lnxa
1
# dx recuerda la palabra ILATEdv = x.dx & v = 2
1x2
u = Lnx & du = x1dx*
I = lima"0+ 2
1x2Lnx8 B
a
1-21lima"0+
x.a
1
# dx = lima"0+ 2
1x2Lnx8 B
a
1-41lima"0+
x26 @a1
I = lima"0+ 2
112Ln1
=06 7 84444 4444
-21a2Lna
> H-41lima"0+
12 - a2=0?: D
=-21lima"0+
a2Lna6 @ -41
lima"0+
a2Lna6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada
lima"0+
a2Lna6 @ = lima"0+
a21Lna=+3
-3aplicando hopital(mas bien Bernoulli)
lima"0+
a2Lna6 @ = lima"0+
a3-2a1J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO= lim
a"0+ 2-1
a2` j = 0 luego I = 4-1
el signo - nos indica que el area esta debajo de OX
Por ultimo I = 41u2 recordad que que el area siempre es positiva
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
Ejercicio 138
I =xLnx
dx1
e
#
La funcion f x^ h = xLnx
existe si y sólo si Lnx $ 0 & x $ 1x ! 0$ luego D f = 1, + 36 6
Y como nuestro intervalo de trabajo es 1, e6 @ 1 1, + 36 6& f x^ hesta definido en 1, e6 @
I =xLnx
dx1
e
# , cambio de variable Lnx = t &
x " e & Lne = 1 & t " 1x " 1 & ln1 = 0 & t " 0
x = etxdx = dt & dx = et .dt
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]
I =ett
0
1
# et .dt = t0
1
# .dt = 32t 238 B
0
1=
32
u2
-----------------------
Ejercicio 139
I =1 + x2
arctag x^ hdx
0
1
#
la funcion f x^ h =1 + x2
arctag x^ h=
g x^ h
h x^ h, h x^ h y g x^ h estan definidas y continuas en R
por lo tanto f x^ h esta definida y continua en R & f x^ h es definida y continua en 0,16 @I =
1 + x2
arctag x^ hdx
0
1
# = arctag x^ h0
1
# .d arctag x^ h6 @ =21
arctag2 x^ h8 B0
1=
21
4r_ i2 -
21
08 B =32r
2
u2
-----------------------
Ejercicio 140
I =x
Ln x^ h0
1
# dx
la funcion f x^ h esta definida en R*+ = 0, + 3@ 6
y como nuestro intervalo es 0,16 @& I es una integral impropia luego
I =x
Ln x^ h0
1
# dx = lima"0+
x 2-1
a
1
# .Lnx dx
Integrando por partes:
dv = x 2-1
dx & v = 2 x 21
u = Ln x^ h & du =x1
dx*( I = lim
a"0+2 x .Ln x^ h6 @a1 - lim
a"0+2 x
x
x1
B
a
1
# dx
I = lima"0+
2 x .Ln x^ h6 @a1 - lima"0+
4 x6 @a1 = lima"0+
-2 a .Ln a^ h6 @ - 4 =- 2 lima"0+
a .Ln a^ h6 @ - 4** lim
a"0+a .Ln a^ h6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada = F.I
lima"0+
a .Ln a^ h6 @ = lima"0+
a
1Ln a^ h
=+3-3
F.I
aplicando la regla de L´hopital queda de la seguiente manera:
lima"0+
2.a 23
-1a1
= lima"0+ a
-2.a 23
= lima"0+
-2a 21^ h = 0
Por último I =- 4 , el signo - indica que esta debajo del eje OX, el area es I = 4 u2 (color Azul)
-----------------------
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
-----------------------
Ejercicio 141
I =x
Ln x^ h1
+3
# dx
I =x
Ln x^ h1
+3
# dx = lima"+3
x 2-1
1
a
# .Lnx dx viendo el ejercicio anterior queda
I = lima"+3
2 x .Ln x^ h - 4 x6 @1a = lima"+3
2 x Ln x^ h - 2^ h6 @1a = lima"+3
2 a Ln a^ h - 2^ h - 2 -1^ h6 @I = +3^ h . +3^ h =+3 & I es divergente (color Rojo)
-----------------------
Ejercicio 142
I =1 - x2^ h 1 - x2
x2
21
1
# dx
f x^ h =1 - x2^ h 1 - x2
x2
existe Ssi 1 - x22 0 + x2
1 1 +- 1 1 x 1 1 ,D f = -1,1@ 6como la funcion f no esta definida en x = 1 & I es una Integral impropia.
I =1 - x2^ h 1 - x2
x2
21
1
# dx cambio variable x = sent &x " 2
1& sent = 2
1& t = 6
r
x " 1 & sent = 1 & t = 2r
cost = 1 - x2
dx = cost.dtZ
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
I = lima" 2r- cost 1 - sen2 t^ hsen2
t.cost.dt
6r
a
# = lima" 2r- cos2 t
sen2tdt
6r
a
# = lima" 2r-
tag2t
6r
a
# dt = lima" 2r-
1 + tag2 t^ h - 16 @6r
a
# dt
I = lima" 2r-
1 + tag2 t^ h6 @6r
a
# dt - lima" 2r-
1
6r
a
# dt = lima" 2r-
tagt6 @6r
a - lima" 2r-
t6 @6r
a
I = lima" 2r-
tag a^ h - tag 6r7 A- lim
a" 2r-
a -6r7 A =+3 -
33
-2r +
6r =+3
I =+3 es divergente
-----------------------
Ejercicio 143
I =1 + x2 + 1 - x2
dx
0
1
#
I =1 + x2 + 1 - x2
dx
0
1
# =1 + x2 + 1 - x2
1
0
1
#1 + x2 - 1 - x2
1 + x2 - 1 - x2
dx =2.x2
1 + x2 - 1 - x2
dx0
1
#
f x^ h =2.x2
1 + x2 - 1 - x2
la funcion existe Ssi x ! 0
y luego D f = R - 0" , y nuestro intervalo de trabajo es 0,16 @& I es impropia
I =21
lima"0+ x2
1 + x2
dxa
1
#
A6 7 844444444 44444444
-21
lima"0+ x2
1 - x2
dxa
1
#
B6 7 844444444 44444444
A =x2
1 + x2
dx Integrando por partes#dv =
x21
dx & v =x-1
u = 1 + x2& du =
2 1 + x2
2x.dx =1 + x2
x.dxZ
[
\
]]]]]]]]]]
A =x
- 1 + x2
+1 + x2
dx# =x
- 1 + x2
+ Ln x + 1 + x2^ h
B =x2
1 + x2
dx Integrando por partes#dv =
x21
dx & v =x-1
u = 1 - x2& du =
2 1 - x2
-2x.dx =1 - x2
-x.dxZ
[
\
]]]]]]]]]]
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
B =x
- 1 - x2
-1 - x2
dx# =x
- 1 - x2
- arcsenx
Por ultimo I =21
lima"0+ x
- 1 + x2
+ Ln x + 1 + x2^ h +x
1 - x2
+ arcsenx; Ea
1
I =21
lima"0+
- 2 + Ln 1 + 2^ h +2r +
a1 + a2
- Ln a + 1 + a2^ h -a
1 - a2
- arcsen a^ h; E
I =2
- 2+
4r +
2Ln 1 + 2^ h
-21
lima"0+ a
1 - a2 - 1 + a2
+ Ln a + 1 + a2^ h=0
6 7 84444444444 4444444444
+ arcsen a^ h=0
6 7 844444 44444= Gcalculemos el lim
a"0+ a1 - a2 - 1 + a2; E =
00
F.I multiplicando por el conjugado
lima"0+ a
1 - a2 - 1 + a2
1 - a2 + 1 + a2
1 - a2 + 1 + a2= G = lima"0+a 1 - a2 + 1 + a2^ h
1 - a2 - 1 - a2
= lima"0+ a 1 - a2 + 1 + a2^ h
-2a2 = 0
asi que queda I =2
- 2+
4r +
2Ln 1 + 2^ h
u2
-----------------------
Ejercicio 144
I = arctag
21
1
# 1 - x2^ h .dx
I = arctag
21
1
# 1 - x2^ h .dx , f x^ h = arctag 1 - x2^ h existe Ssi 1 - x2$ 0,- 1 # x # 1
y como nuestro intervalo 21,18 B 1 -1,16 @ asi que I no es impropia
Integrando por partesdv = dx & v = x
u = arctag 1 - x2^ h & du =2 - x2^ h 1 - x2
-x.dx
*
I = x.arctag 1 - x2^ h6 @211-
2 - x2^ h 1 - x2
-x2 .dx
21
1
#
I =2-1
arctag 23c m+
2 - x2^ h 1 - x2
x2 .dx
21
1
# $ a esta ultima integral llamemosle A
A =2 - x2^ h 1 - x2
x2 .dx
21
1
# cambio de variable x = cost & x " 1 & t " 0 radianes
x " 21& t " 3
rradianes
dx =- sent.dt*
A =2 - x2^ h 1 - x2
x2 .dx
21
1
# =2 - cos2 t^ hsentcos2 t. -sent.dt^ h
3r
0
# =-2 - cos2 t^ hcos2 t.dt
3r
0
# =2 - cos2 t^ hcos2 t.dt
0
3r
# , f x^ h =- f x^ hb
a
#a
b
#
A = -1 +2 - cos2 t^ h2: D.dt
0
3r
# =- dt0
3r
# + 22 - cos2 t^ hdt: D
0
3r
# = -t6 @03r
+ 22 - cos2 t^ hdt
0
3r
#
A =- 3r + 2
2 - cos2 tdt
0
3r
#
asi que queda I =2-1
arctag 23c m- 3
r + 22 - cos2 t
dt
0
3r
# $ a esta ultima integral llamemosle B
B =2 - cos2 t
dt
0
3r
# cambio de variable u = tagt &t " 3r& u " 3
t " 0 & u " 0
du = 1 + tag2 t^ h .dt & dt =1 + u2duZ
[
\
]]]]]]]]]]
B =2 -
1 + u21
1 + u2du
0
3
# =
1 + u21 + 2u21 + u2du
0
3
# =1 + 2u2
du
0
3
# =1 + 2 u^ h
2du
0
3
# =2
1
1 + 2 u^ h2
2 du
0
3
# =
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
B =2
1arctag 2 u^ h6 @03 =
22arctag 6
Por ultimo I =2-1
arctag 23c m- 3
r + 2 arctag 6
-----------------------
Ejercicio 145
I =x2 - 4x^ h2x - 2
dx1
3
#
I =x2 - 4x^ h2x - 2
dx1
3
# f x^ h =x2 - 4x^ h2x - 2
existe Ssi x ! 4 y x ! 0 pero nuestro intervalo es 1,36 @
asi que no nos afectan en nada luego x - 2 =-x + 2 si x # 2x - 2 si x $ 2$
I =x2 - 4x^ h2-x + 2
dx1
2
# +x2 - 4x^ h2x - 2
dx2
3
# =2-1
x2 - 4x^ h22x - 4dx
1
2
# +21
x2 - 4x^ h22x - 4dx
2
3
#
no se pueden juntar al estar en diferentes intervalos
I =2-1
x2 - 4x
-1: C1
2
+21
x2 - 4x
-1: D2
3
=8-1 +
618 B+
61 -
818 B =
121
u2
-----------------------
Ejercicio 146
I = f x^ h0
3
# dx siendo f x^ h = a si x $ 1ax si x 1 1$ y a 2 0
al ser una funcion a trozos y nuestro intervalo es 0,36 @ = 0,16 @, 1,36 @Entonces la I quedara de la seguiente manera:
I = f x^ hdx0
1
# + f x^ hdx =1
3
# ax.dx0
1
# + a.dx =1
3
#Lnaax8 B
0
1+ a.x6 @13
I =Lnaa1
-Lnaa0: C+ 3a - a6 @ =
Lnaa - 18 B+ 2a` ju2
-----------------------
Ejercicio 147
*** Calcula I =2
x2 - 4
-2
2
# x.dx
I =2
x2 - 4
-2
2
# x.dx =21
x3 - 4x^ h-2
2
# dx =21
4x4
- 2x2: D-2
2
= 0
Se habia podido deducir que I = 0 , si hubieramos dado cuenta que la funcion f x^ h = 2x2 - 4
x es impar
f x^ h =2 f x^ h si f x^ h es par-a
a
#
0 si f x^ h es imparZ
[
\
]]]]]]]]]]
-a
a
#
*** Ahora bien si nos dicen de calcular el area que determine f x^ h = 2x2 - 4
x y el eje OX
1º paso es hallar los puntos de corte de las dos funciones. Igualandolos^ hf x^ h = 2
x2 - 4x y g x^ h = 0 es el eje OX recordad
eje OY$ x = 0
eje OX$ y = 0%
2x2 - 4
x = 0,x = 2x = 0x =- 2)
2º paso esbozar las graficas de las dos funciones ver grafica
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
3º paso area comprendida entre las dos funciones
f x^ h - g x^ h6 @.dxa
b
#
o bien
funcion de derecha - funcion de Izquierdaa
b
#
o bien
funcion de arriba - funcion de abajoa
b
#Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
asi que el area seria Area =2
x2 - 4x - 0a k
-2
0
# dx + 0 -2
x2 - 4xa k
0
2
# dx =21
x3 - 4x^ h-2
0
# dx -21
x3 - 4x^ h0
2
# dx
Area =21
41x4 -
24x28 B
-2
0-
21
41x4 -
24x28 B
0
2= 4 u2
En Conclución
al calcular la I nos da el resultado de restarle el area sobre el eje ox(entre - 2 y 2)el area bajo eje ox(entre - 2 y 0)
-----------------------
Ejercicio 148
Halla el area limitada entre entre la grafica de las funciones
y = 2 - x2 e y = x
1º es hallar puntos de corte entre las funciones:
y = x
y = 2 - x2
( + 2 - x2 = x +2 - x2 =- x si x 1 02 - x2 = x si x $ 0
'
x2 - x - 2 = 0 si x 1 0x2 + x - 2 = 0 si x $ 0' +
x - 2^ h x + 1^ h = 0 si x 1 0
x + 2^ h x - 1^ h = 0 si x $ 0(x = 2 o x =- 1 si x 1 0
x =- 2 o x = 1 si x $ 0' +
x =- 1 si x 1 0x = 1 si x $ 0$ & puntos de corte
-1,1^ h si x 1 0
1,1^ h si x $ 0(2º es hacer grafica de las funciones: ver grafica^ h
-110x
110
y = x
- 2
02
x
020
y = 2 - x2
como se ve en la grafica tenemos dos areas distintas
A1 esta limitada por y = 2 - x2e y =- x
A2 esta limitada por y = 2 - x2e y = x
3º es hallar Area entre las funciones:
A = A1 + A2 = 2 - x2^ h - -x^ h6 @-1
0
# dx + 2 - x2^ h - x^ h6 @0
1
# dx = 2 - x2 + x6 @-1
0
# dx + 2 - x2 - x6 @0
1
# dx
A = 2x -3x3
+2x2: C
-1
0
+ 2x -3x3
+2x2: C
0
1
= 0 - -2 +31 +
21
` j8 B 2 -31 -
218 B =
37
u2
-----------------------
Ejercicio 149
Calcula el area comprendida entre f x^ h =- x2 + 2 y g x^ h = x + 2
Puntos de corte entre f x^ h y g x^ hf x^ h = g x^ h +- x2 + 2 = x + 2 & -x2 + 2^ h2 = x + 2^ h2 + x4 - 4x2 + 4 = x + 2 + x2 x2 - 4^ h - x + 2 = 0
x2 x - 2^ h x + 2^ h - x - 2^ h = 0 + x - 2^ h x2 x + 2^ h - 16 @ = 0 +x2 x + 2^ h - 1 = 0
x - 2 = 0% +
x3 + 2x2 - 1 = 0x = 2
%
+
x + 1^ h x2 + x - 1^ h = 0
x = 2% +
x =2
-1 - 5
x =2
-1 + 5
x = 2x =- 1Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]
como tuvimos que elevar al cuadrado para resolver la ecuacion
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
toca verificar cuales son las verdaderas soluciones que resultan ser
x =2
-1 + 5
x =- 1*
Area = -x2 + 2^ h - x + 26 @-1
2-1+ 5
# .dx = -x2 + 2^ h6 @-1
2-1+ 5
# .dx - x + 26 @-1
2-1+ 5
# .dx =3
-x3
+ 2x: D-1
2-1+ 5
-x + 2
-2; E-1
2-1+ 5
Area =3
- 2-1+ 5` j
3
+ 2 2-1+ 5` j - 3
- -1^ h3
- 2 -1^ h= G -
2-1+ 5 + 2
-2 --1 + 2
-2= GArea =
3-0,6183
+3
2 + 3 5; E- -1,236 + 26 @ = 2,824 + 0,764 = 3,588 u2
-----------------------
Ejercicio 150
halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y = Ln x - 1^ hentre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x = e2
1º lugar es hallar los puntos de corte entre y = Ln(x - 1) e el eje X
Ln(x - 1) = 0 & x - 1 = e0 = 1, x = 2 y como e2 c 7,389 2 2
2º lugar hacer tabla de valores entre 2 y 8 para esbozar la grafica (ver grafica abajo)
3º lugar hallar el area que es:
Area = Ln x - 1^ h6 @dx Integrando por partes2
e2
#dv = dx & v = x
u = Ln x - 1^ h & du =x - 11
dx)Area = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - x - 1
xdx
2
e2
# = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - dx2
e2
# -x - 11
dx2
e2
#
Area = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - x6 @2e2 - Ln x - 1^ h6 @2e2 = e2 .Ln e2 - 1^ h - 2.Ln 2 - 1^ h6 @ - e2 - 26 @ - Ln e2 - 1^ h - Ln 2 - 1^ h6 @Area = e2 .Ln e2 - 1^ h6 @ - e2 - 26 @ - Ln e2 - 1^ h6 @ = e2 - 1^ hLn e2 - 1^ h - e2 - 26 @ u2
-----------------------
Ejercicio 151
calcula el area del recinto limitado por la curva y =- 3x2 + 6x y el eje X
1º lugar es hallar los puntos de corte entre y =- 3x2 + 6x e el eje X para representar la grafica
y conocer los limites de integracion
- 3x2 + 6x = 0, x -3x + 6^ h = 0,x = 2 " limite sup
x = 0 " limite inf%hagamos tabla de valores entre 0 y el 2 que es lo que mas nos importa
2 01 30 0x y =- 3x2 + 6x
ver grafica
Area = -3x2 + 6x^ h0
2
# dx = -x3 + 3x26 @02 = -8 + 126 @ = 4 u2
-----------------------
Ejercicio 150
I =x
1 + Lnx3
# dx
I =x
1 + Lnx3
# dx , haciendo cambio variable t3 = 1 + Lnx &3t2 .dt = x
1dx
t = 1 + Lnx3*I = t.3.t2# .dt = 3 t3 .dt = 4
3# t4 + cte =43
1 + Lnx^ h43 + cte
-----------------------
Ejercicio 151
I = ax# .ex .dx siendo a 2 0
I = ax# .ex .dx = a.e^ hx# .dx = mx .dx , siendo m = a.e# y aplicando a f x^ h# . lf x^ h = Lnaa f x^ h
^ hx
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
^ h ^ hI =
Ln m^ hmx
+ cte =Ln e.a^ ha.e^ hx
+ cte =1 + Lnaax .ex + cte
-----------------------
Ejercicio 152
I = ax .senax .dx# siendo a 2 0
I = ax .senax .dx# =Lna-1 -senax# .ax .Lna.dx =
Lna-1
cosax + cte
-----------------------
Ejercicio 153
I =et + e-tet - e-t# dt
I =et + e-tet - e-t# dt , haciendo cambio de variable et = x &
et .dt = dx
e-t = x1) luego
I =x +
x1
x -x1
#xdx =
xx x2 + 1^ hxx2 - 1
# dx =x x2 + 1^ hx2 - 1# dx
descompongamos la fraccionx x2 + 1^ hx2 - 1
en fracciones simples
x x2 + 1^ hx2 - 1=
xA +
x2 + 1Bx + C =
x x2 + 1^ hA x2 + 1^ h + x Bx + C^ h=
x x2 + 1^ hA.x2 + A + B.x2 + C.x=
x x2 + 1^ hA + B^ hx2 + C.x + A
Igualando los polinomios del numenador queda de la seguiente manera:
x2 - 1 = A + B^ hx2 + C.x + A(A =- 1C = 0
A + B = 1)
(
A =- 1C = 0B = 2)
asi que
I =x-1
dx +x2 + 12x## dx =- Ln x^ h + Ln x2 + 1^ h + cte = Ln x
x2 + 1 + cte = Lnet
e2t + 1 + cte
-----------------------
Ejercicio 154
I =1 + a2xax .dx# siendo a 2 0
I =1 + a2xax .dx# cambio de variable ax = t & ax .dx = dt
I =1 + t2dt# = arctag t^ h + cte = arctag ax^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 155
I =1 + x2
earctagx + x.Ln 1 + x2^ h + 1# dx
I =1 + x2
earctagx + x.Ln 1 + x2^ h + 1# dx =
1 + x2earctagx# dx
A6 7 844444444 44444444
+1 + x2
x.Ln 1 + x2^ h# dx
B6 7 844444444444 44444444444
+1 + x2
1# dx
C6 7 84444444 4444444
A =1 + x2earctagx# dx si nos fijamos bien vemos que earctagx^ hl= earctagx .
1 + x21
dx asi que
A = earctagx + cte1
B =1 + x2
x.Ln 1 + x2^ h# dx si nos fijamos bien vemos que Ln 1 + x2^ h^ hl=
1 + x22x
dx
haciendo u = Ln 1 + x2^ h & du =1 + x22x
dx asi que
B =21
1 + x2
2x.Ln 1 + x2^ h# dx = 2
1u.du =
41# u2 + cte2 =
41Ln2 1 + x2^ h + cte2
C =1 + x2
1# dx = arctag x^ h + cte3 y por ultimo
I = earctagx + 41Ln2 1 + x2^ h + arctag x^ h + cte
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA
TABLA DE INTEGRALES
1 k.dx = kx siendo k una constante = cte^ h#
2 k.f x^ hdx# = k f x^ h# dx
3 f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx
4 f x^ h6 @n# . lf x^ hdx =ln f x^ h + cte si n =- 1
n + 1
1f x^ h6 @n+1 + cte si n !- 1*
5 af x^ h.# lf x^ hdx = a f x^ h
lna1+ cte siendo a d R*
+
6 lf x^ h . cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte
7 lf x^ h .senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte
8cos2f x^ h
lf x^ h# dx = tag f x^ h6 @+ cte
9sen
2f x^ h
lf x^ h# dx =- cotg f x^ h6 @ + cte
10 eaxcos bx dx =
a2+ b2
eax
a cos bx + bsenbx^ h# + cte
11 eax# senbx dx =
a2+ b2
eax
asenbx - b cos bx^ h + cte
12f x^ h6 @2 + a2! lf x^ hdx
# =Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0
Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0)
13f x^ h6 @2 - a2! lf x^ hdx
# = Ln f x^ h! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0
14a2- f x^ h6 @2! lf x^ h
# dx =
" arccosa
f x^ h: D + cte!arcsen
a
f x^ h: D + cteZ
[
\
]]]]]]]]]]
15a2 + f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =
-a1arcotg
a
f x^ h: D + cte siendo a ! 0
a1arctag
a
f x^ h: D + cte siendo a ! 0
Z
[
\
]]]]]]]]]]
16a2- f x^ h6 @2lf x^ h
# dx =2a1Ln
a - f x^ ha + f x^ h
+ cte siendo f x^ h !! a y a ! 0
17f x^ h . f x^ h6 @2 - a2
! lf x^ hdx# =
a1arctag
a
f x^ h6 @2 - a2+ cte
a1arccos
f x^ ha
+ cteZ
[
\
]]]]]]]]]]
siendo a ! 0
18f x^ h . a
2- f x^ h6 @2
! lf x^ h# dx =
-a1Ln
f x^ ha + a
2 - f x^ h6 @2+ cte
a1Ln
f x^ ha - a
2 - f x^ h6 @2+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
siendo a ! 0
19f x^ h . a
2+ f x^ h6 @2
! lf x^ h# dx =
-a1Ln
f x^ ha + a
2 + f x^ h6 @2+ cte
a1Ln
f x^ ha2 + f x^ h6 @2 - a
+ cte
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
siendo a ! 0
CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA