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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE COAHUILA
FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA UNIDAD NORTE
CALCULO DIFERENCIAL
NOMBRE: _________________________________MATRICULA:____________
Realizado por MC. Mario Alberto Barrera Moreno
Monclova Coahuila Enero de 2012
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CALCULO DIFERENCIAL
Resumen El presente documento pretende apoyar el desarrollo de la clase de calculo
diferencial, teniendo en cuenta del contenido del temario del plan de estudios, se tiene
consideracin de los conocimientos bsicos del alumno en el rea de las matemticas y el
objetivo principal es explicar de forma clara los conceptos que rodean al Calculo y que
sean comprensibles para poder manejar el clculo de una forma ms sencilla.
Objetivo general:
Comprender el concepto de derivada en diferentes registros de representacin,
derivar cualquier funcin y aplicar la derivada a diversos problemas de Ingeniera.
Descripcin sinttica:
Este curso pretende que el alumno aprenda los diferentes elementos que
conforman el clculo diferencial de una variable para aplicarlos en el planteamiento y
solucin de problemas de Ingeniera, fomentando el desarrollo de habilidades como
trabajo en equipo y la comunicacin oral y escrita y el de actitudes como responsabilidad,
colaboracin y compromiso.
Aportacin de la asignatura al Perfil del Egresado:
Proporcionar al estudiante las habilidades, actitudes y conocimientos relacionados
con el clculo diferencial de una variable para que tenga un mejor desarrollo en su
trayectoria estudiantil y/o profesional.
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Descripcin detallada del contenido de las Unidades:
Objetivo de la Unidad Estrategias de aprendizaje
Unidad I: Introducir el concepto de funcin y la idea de cambio, incluyendo la idea entre
cambio total y rapidez de cambio. Se introducen las funciones elementales utilizando
mtodos grficos, numricos, verbales y modelado de las mismas operaciones y
transformaciones con ellas.
Consultas, reportes, ejercicios interactivos, exposiciones, anlisis, sntesis,
retroalimentacin, trabajos finales, equipos de trabajo, investigacin. Unidad II: Comprender el concepto de lmites y sus propiedades. Determinar la
continuidad de una funcin.
Unidad III: Adquirir un conocimiento prctico de la derivada y su interpretacin como
rapidez instantnea. Hallar derivadas en trminos numricos, visualizarlas en forma
grfica, y reconocerla como una funcin. Utilizar la definicin de derivada para obtener las
reglas de derivacin y resolver problemas para adquirir prctica.
Unidad IV: Interpretar el significado de primera y segunda derivadas en aplicaciones
diversas y adquirir la prctica en el uso de la derivada para anlisis de optimizacin y
trazado de grficas.
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CALCULO DIFERENCIAL
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno
Calculo Diferencial
CONTENIDO 1.Funciones ............................................................................................................. 1 1.1 Definicin intuitiva y formal de funcion ..................................................... 1 1.2 Funciones algebraicas.. ........................................................................... 3 1.3 Funciones Trascendentes ........................................................................ 4 1.4 Nuevas funciones a partir de las anteriores ............................................. 4
1.4.1 Operaciones con funciones ........................................................ 4 1.4.2 Funciones compuestas............................................................... 5
2. Lmites y Continuidad .......................................................................................... 7 2.1 Definicin intuitiva y formal de limite ........................................................ 7 2.2 Propiedades de los limites ....................................................................... 9 2.3 Calculo de limites ................................................................................... 10 2.4 Continuidad ............................................................................................ 15 3. Derivadas y diferenciacin ................................................................................ 22 3.1 Definicin ............................................................................................... 22 3.2 Formulas de derivacin ......................................................................... 28 3.2.1 Algebraicas ................................................................................ 28 3.2.1 Regla de la Cadena ................................................................... 35 3.2.1 Trascendentales ........................................................................ 38 3.3 Derivadas de orden superior ................................................................. 43 3.4 Derivadas implcitas .............................................................................. 45 3.5 Teorema del valor medio ...................................................................... 48 3.6 Regla LHpital ....................................................................................... 51 3.6 Aplicaciones y problemas de variacin con el tiempo ............................ 55
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno
4. Aplicaciones de la derivada ............................................................................... 68 4.1 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin .................. 70 4.2 Concavidad, puntos de inflexin y el criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos de una funcin ............... 84 4.3 Problemas de optimizacin .................................................................... 88 Referencias Bibliogrficas ..................................................................................... 93
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno
INTRODUCCION GENERAL
El clculo diferencial es un campo de la matemtica, es el estudio de cmo
cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de
estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente
relacionada es la de diferencial.
La derivada de una funcin en un cierto punto es una medida de la tasa en
la cual una funcin cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una
derivada involucra, en trminos matemticos, una tasa de cambio. Una derivada
es el clculo de las pendientes instantneas de f(x) en cada punto x.
Esto corresponde a las pendientes de las tangentes de la grfica de dicha
funcin en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una
secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea
obtener la tangente. Las derivadas tambin pueden ser utilizadas para calcular la
concavidad.
Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente
vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.
En la actualidad el Clculo se aplica al estudio de problemas de diversas
reas de la actividad humana y de la naturaleza: la economa, la industria, la
fsica, la qumica, la biologa, para determinar los valores mximos y mnimos de
funciones, optimizar la produccin y las ganancias o minimizar costos de
operacin y riesgos.
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
1. FUNCIONES
1.1 Definicin intuitiva y formal de funcin
Una funcin es un objeto matemtico que se utiliza para expresar la
dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a travs de varios
aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de funcin numrica es la relacin
entre la posicin y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.
La definicin general de funcin hace referencia a la dependencia entre los
elementos de dos conjuntos dados.
Dados dos conjuntos X y Y, una funcin (tambin aplicacin o mapeo) entre
ellos es una asociacin f que a cada elemento de X le asigna un nico elemento
de Y.
Se dice entonces que X es el dominio (tambin conjunto de
partida o conjunto inicial) de f y que B es su co-dominio (tambin conjunto de
llegada o conjunto final).
Un objeto o valor genrico x en el dominio X se denomina la variable
independiente; y un objeto genrico y del dominio Y es la variable dependiente.
Tambin se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente.
Las funciones se pueden representar de distintas maneras:
Usando una relacin matemtica descrita mediante una expresin matemtica
ecuaciones de la forma )(xfy = Cuando la relacin es funcional, es decir
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satisface la segunda condicin de la definicin de funcin, se puede definir una
funcin que se dice definida por la relacin, A menos que se indique lo
contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible
(respecto a inclusin) y que el co-dominio son todos los Reales. El dominio
seleccionado se llama el dominio natural, de la funcin.
Ejemplo: 2+= xy .Dominio natural es todos los reales, "Para todo x,
nmero entero, y vale x ms dos unidades".
Como tabulacin: tabla que permite representar algunos valores discretos de la
funcin.
Ejemplo:543210321012
YX
Ejercicio de clase
1.- Dada hallarxxf ,76)( = a) )0(f
b) )(af
c) )4(f
d) )3(f
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
1.2 Funciones algebraicas
En matemticas, una funcin algebraica es una funcin que satisface una ecuacin polinmica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por
ejemplo, una funcin algebraica de una variable x es una solucin y a la ecuacin:
0,...)( 012
21
1 +++++=
nn
nn
n aaxaxaxaxaxf
Donde el entero positivo n es el grado de la funcin polinmica, Los
nmeros ai se llaman coeficientes, siendo an el coeficiente dominante y a0 el
termino constante de la funcin polinmica, suele utilizarse notacin de subndices
en las funciones polinmica, pero para las de grados bajos a veces se usan
formas mas sencillas, como las que se indican a continuacin.
Grado 0: axf =)( Funcin constante
Grado 1: baxxf +=)( Funcin lineal
Grado 2: cbxaxxf ++= 2)( Funcin cuadrtica
Grado 3: dcxbxaxxf +++= 23)( Funcin cubica
Una funcin que no es algebraica es denominada una funcin trascendente.
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1.3 Funciones trascendentes
Una funcin trascendente es una funcin que no satisface una
ecuacin polinmial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta
con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuacin. En otras
palabras, una funcin trascendente es una funcin que trasciende al lgebra en el
sentido que no puede ser expresada en trminos de una secuencia finita
de operaciones algebraicas de suma, resta y extraccin de races. Una funcin de
una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de
dicha variable.
El logaritmo y la funcin exponencial son ejemplos de funciones
trascendentes.
El trmino funcin trascendente a menudo es utilizado para describir a las
funciones trigonomtricas sean: seno, coseno, tangente, cotangente, secante,
y cosecante.
Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la
funcin raz cuadrada.
0)(,)()()( = xq
xqxpxf Funcin racional, donde p(x) y q(x) son polinomios
1.4 Nuevas funciones a partir de las anteriores
Dos funciones pueden combinarse de varios modos para crear nuevas
funciones.
1.4.1 Operaciones con funciones
Ejemplo: Sea 1)(32)( 2 +== xxgyxxf
Podemos formar las funciones
12)1()32()()( 22 ++=++=+ xxxxxgxf Suma
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42)1()32()()( 22 +=+= xxxxxgxf Resta
3232)1)(32()()( 232 +=+= xxxxxxgxf Multiplicacin
0)(,)()(
xgxgxf
Divisin
1.4.2 Funciones Compuestas
Es una funcin formada por la composicin o aplicacin sucesiva de otras
dos funciones. As la funcin dada por (f g)(x) = f(g(x))se llama funcin
compuesta de f con g. el dominio de f g es el conjunto de todos los x del dominio
de g tales que g(x) est en el dominio de x.
Ejemplo
Dadas 1)(32)( 2 +== xxgyxxf , hallar ))(())(( xfgyxgf
Solucin:
123)1(3))((2))(( 22 =+== xxxgxgf
101241)32(1))(())(( 222 +=++= xxxxfxfg
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Ejercicios 1.1
1. Dada hallarxxxf ,17)(2 +=
a) )4(f
b) )(f
2. Dada hallarxxf ,5)( +=
a) )6(f
b) )( xxf +
3. Dada hallarxxf ,)( 3=
a) )1( +xf
b) )( 2xf
4. Dadas hallarxxgyxxf ,32)(54)( 2 +==
a) ))2((gf
b) ))(( xfg c) ))4(( fg c) ))2(( gf
5. Dadas hallarxxgyxxf ,1)()( 2 ==
a) ))1((gf
b) ))0(( fg c) ))4(( fg c) ))(( xgf
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2. LIMITES Y CONTINUIDAD
2.1 Definicin intuitiva y formal de lmite
Cuando la variable independiente se aproxima a un valor dado, la funcin
puede aproximarse a cierto valor, o no aproximarse a ninguno. Si el caso es el
primero, en el que la funcin se aproxima a cierto valor, decimos que el valor al
cual se aproxima la funcin es el limite (L) de la misma, cuando la variable
independiente se aproxima al valor dado; este hecho se representa en la siguiente
forma:
Lxfax
=
)(lim
Lo anterior se lee como: el lmite de f(x) cuando x tiende a a ax , es L
El segundo caso, o sea, cuando la funcin no se aproxima a ningn valor,
decimos que el limite no existe.
Para comprender el concepto se tiene el siguiente ejemplo, si un fsico
desea medir cierta cantidad cuando la presin del aire es cero; como no es posible
lograr en un laboratorio un vaco absoluto, una manera natural de abordar el
problema es medir la cantidad deseada a presiones de aire cada vez ms
pequeas que nos remitan a la idea de aproximarnos al vaco perfecto deseado.
Ejemplo: Supongamos que debemos encontrar el lmite de la funcin
cuando 3x entonces39lim
2
3
xx
x .
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El primer paso para calcular el lmite de la funcin, consiste en sustituir el
valor al cual tiende la variable independiente en la expresin dentro del lmite; si se
obtiene un valor real L restara demostrar que dicho valor es el lmite buscado.
Entonces observamos que para x=3 no se tiene un valor definido 00
,
llamado indeterminacin; sin embargo, f(x) puede calcularse de la siguiente
manera.
x 2.9 2.99 2.999 3 3.1 3.01 3.001
f(x) 5.9 5.99 5.999 ? 6.1 6.01 6.001
Al realizar la evaluacin de la funcin con cada uno de los valores tanto por
la izquierda y por la derecha de 3, determinamos que el valor del lmite cuando x
tiende a 3 es 6, a esto se le llama encontrar el lmite de forma intuitiva.
Entonces determinamos que si f(x) se hace arbitrariamente prximo a un
nico numero L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados, decimos que el
lmite de f(x) cuando x tiende a c, es L por lo tanto;
Lxfax
=
)(lim
Ejercicio de clase
1.- estimar el lmite propuesto 2
2lim 22
xxx
x
x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
f(x)
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LIMITES BASICOS Si b y c son nmeros reales y n un entero (positivo si c =0), entonces se
cumple
1. bbcx
=
lim 2. cxcx =lim 3. nn
cxcx =
lim
Ejemplo:
1. 33lim2
=x 2. 42lim
22
2==
x
x
2.2 Propiedades de los lmites
Si b y c son nmeros reales, n un entero positivo y f, g funciones que tienen
limite cuando, entonces:
1. Mltiplo escalar [ ] [ ])(lim))((lim xfbxfbcxcx
=
2. Suma o diferencia [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx
=
3. Producto [ ] [ ][ ])()(lim)()(lim xgxfxgxfcxcx
=
4. Cociente 0)(lim,)(lim
)(limlim
)()(lim =
xgsi
xg
xf
xgxf
cxcx
cx
cxcx
5. Potencia [ ] [ ]n
cx
n
cxxfxf )(lim)(lim
=
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Ejemplo:
Hallar )34(lim 22
+
xx
Aplicando las propiedades tenemos que:
[ ] 193)4(43limlim43lim4lim)34(lim2
2
22
2
2
2
2=+=+=+=+
xxxxxxxx
Propiedad 2 propiedad 1
Ntese que el lmite (cuando x tiende a 2) de la funcin polinmica, no es
sino el valor cuando x=2
2.3 Calculo de lmites
a) Lmite de un polinomio Si p es un polinomio y c es un nmero real, entonces
)()(lim cpxpcx
=
Ejemplo:
Hallar 193)2(2)34(lim 22
2=+=+
x
x
b) Lmite de una funcin racional
Si r es una funcin racional dada por )()()(
xqxpxr = y c es un nmero real tal
que 0)( cq , entonces
)()()()(lim
xqxpcrxr
cx==
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Ejemplo:
Hallar 2
6lim2
2 +++
xxx
x
34
1222
62422
62)2(2
6lim22
2==
+++
=+
++=
+++
xxx
x
c) Lmite de una funcin que contiene radicales Si c>0 y n es cualquier entero positivo, o si c
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La notacin que se emplea para los tres casos es:
lm v = , lm v = + , lm v = .
Entonces
= xax
1lim x
1, se hace infinito cuando x tiende a cero
( ) ,lim =
xfax x
1, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a,
entonces f(x) es discontinua para x=a
Ciertos lmites particulares que se presentan frecuentemente se dan a
continuacin, La constante C no es cero.
Escrito en forma de lmites
= v
cv 0lim
=
cvvlim
= c
vvlim
0lim = v
cv
Forma abreviada, frecuentemente usada
=0c
=c
=c
0=c
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Ejemplo:
Hallar 3223
75432lim
xxxxx
x +
Procedimiento: Divdase el numerador y denominador por la x de mayor
potencia, aplique la referencia de limites particulares y ntese que se cancelan
todas las fracciones que son divididas por el infinito , ya que 0=c
Entonces 72
72
700002
715
432
715
432lim
2
3
2
3=
=
+
=
+
=
+
xx
xxx
Ejercicio de clase
Hallar 52
5325lim 2
2
=+
xxx
x
-
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Ejercicio 2.1
1. 23254lim =
++
xx
x
2. 31
62234lim 3
2
0=
+++
tttt
t
3. 2523lim 2
322
0
xhxh
hxhhxh
=+
++
4. 3742356lim 3
23
=++
xxxx
x
5. ( )
( )1
22432lim 2
23
0=
+
kzzzkkz
k
6. 0lim 3524
=++++
fxexdxcbxax
x
7. =+++++
gfxexdxcbxax
x 23
24
lim
8. 2
22
44
2lim aasas
s=
9. 45
46lim 2
2
2=
+
xxx
x
10. 03234lim 23
2
=+
yyy
y
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2.4 Continuidad
Se dice que una funcin )(xf es continua para ax = si el lmite de la
funcin, cuando x tiende a a , es igual al valor de la funcin para ax = , esto es:
)()(lim afxf
ax=
Ejemplo:
Hallar 3
6lim2
3 ++
xxx
x sustituyendo
00
3)3(6)3()3( 2=
++
=
f no est definida para x=-3
La funcin anterior para 2,1 == xx si est definida, luego para 3=x la
funcin se vuelve no definida a esto lo llamamos indeterminacin sin embargo hay
casos en los que esta indeterminacin puede ser eliminada y es posible asignar a
la funcin tal valor para x=a y que la condicin de continuidad se satisfaga,
entonces:
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Ejemplo:
Hallar 3
6lim2
3 ++
xxx
x factorizando
3)2)(3(lim
3 ++
xxx
x
Cancelando )2(lim3
xx
sustituyendo 523 ==
De lo anterior podemos decir que la funcin se vuelve continua
cuando x tiende a -3 como se muestra en la figura
f est definida para x=-3
Las discontinuidades caen en dos categoras evitables y no
evitable, se dice que una discontinuidad x=c es evitable si f puede hacerse continua refirindola en x=c.
Ejemplo:
Hallar 1
1lim 231 +
xxxx
x
adoindetermin00
1)1()1()1(1)1(
23 ==+
=
-
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Factorizando )1)(1(
1)1()1(
1lim 221 +
=+
xx
xxxx
xx
Cancelando 1
1lim 21 + xx
Sustituyendo 21
111
1)1(12 =+
=+
=
Ejemplo:
Hallar x
xx
11lim0
+
adoindetermin00
011
011
0110
==
=
=+
=
Conjugados ( )( ) ( )111)1(lim
1111
1111*11lim
0
22
0 +++
=+++
=+++++
xxx
xxx
xx
xx
xx
Cancelando ( ) ( ) 111lim
11lim
1111lim
000 ++=
++=
+++
= xxx
xxx
xxxx
Sustituyendo 21
111
111
1101
=+
=+
=++
=
De lo anterior se dice que una funcin es continua si se verifican las siguientes condiciones:
definido esta )(.1 cf existe )(lim.2 xfcx )( )(lim.3 cfxfcx =
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Ejercicio 2.2
1. 2
2lim 22
xxx
x
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) ?
2. 4
2lim 22
xx
x
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) ?
3. x
xx
33lim0
+
x -0.1 -0.01 -0.001 0
f(x) ?
x 0.001 0.01 0.1
f(x)
4. 3
21lim3 +
x
xx
x -3.1 -3.01 -3.001 -3
f(x) ?
x -2.999 -2.99 -2.9
f(x)
5. ( )[ ] ( )3
4/11/1lim3
+ x
xx
-
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x 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1
f(x) ?
6. ( )[ ] ( )4
5/41/lim4
+ x
xxx
x 3.9 3.99 3.999 4 4.001 4.01 4.1
f(x) ?
1. 22
lim xx
2. ( )23lim3
+
xx
3. ( )12lim0
xx
4. ( )1lim 21
+
xx
5. ( )2lim 22
+
xxx
6. ( )423lim 231
+
xxx
7. 1lim3
+
xx
8. 34
4lim +
xx
9. ( )24
3lim +
xx
10. ( )30
12lim
xx
11. xx1lim
2
12. 2
2lim3 + xx
13. x
xx
1lim2
1
+
14. 41lim
3 +
xx
x
15. Si ( ) 2lim =
xfcx
y ( ) 3lim =
xgcx
, hallar:
a) ( )[ ]xgcx
5lim
b) ( ) ( )[ ]xgxfcx
+
lim
c) ( ) ( )[ ]xgxfcx
lim
d) ( )xgxf
cx
)(lim
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16. Si ( )23lim =
xf
cxy ( )
21lim =
xg
cx, hallar:
a) ( )[ ]xfcx
4lim
b) ( ) ( )[ ]xgxfcx
+
lim
c) ( ) ( )[ ]xgxfcx
lim
d) ( )( )xgxf
cxlim
17. Si ( ) 4lim =
xfcx
, hallar:
a) ( )[ ]3lim xfcx
b) ( )xfcx
lim
c) ( )[ ]xfcx
3lim
d) ( )[ ]23
lim xfcx
18. Si ( ) 27lim =
xfcx
, hallar:
a) ( )3lim xfcx
b) ( )18
lim xfcx
c) ( )[ ]2lim xfcx
d) ( )[ ]32
lim xfcx
19. 11lim
2
1 +
xx
x
20. 1
32lim2
1 +
xxx
x
21. 93lim 23
x
xx
22. 11lim
3
1 ++
xx
x
23. 28lim
3
2 ++
xx
x
24. ( )x
xxxx
+
22
0lim
25. ( )x
xxxx
+
22lim0
26. ( )x
xxxx
+
33
0lim
27. ( )xx
x +
11lim3
0
28. 255lim 25
x
xx
29. 4
2lim 22
xx
x
30. 1
2lim 22
1 +
xxx
x
31. xx
x
22lim0
+
-
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
32. xx
x
33lim0
+
33. ( )[ ] ( )x
xx
4/14/1lim0
+
34. ( )[ ] ( )x
xx
2/12/1lim0
+
35. 3
21lim3
+ x
xx
36. 255lim 25
x
xx
37. 4
2lim 22
xx
x
38. 4
lim22 xx
x
39. 42lim
4
xx
x
-
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
3. DERIVADAS Y DIFERENCIACION
3.1 Definicin
La derivada de una funcin es el lmite de la razn del incremento de la
funcin al incremento de la variable independiente cuando ste tiende a cero.
Cuando el lmite de esta razn existe, se dice que la funcin es derivable o
que tiene derivada.
La definicin puede darse mediante smbolos, en la forma siguiente:
Dada la funcin
( )xfy = (1)
Consideremos un valor inicial fijo de x, demos a x un incremento x;
entonces obtenemos para la funcin y un incremento y, siendo el valor final de la
funcin
( )xxfyy +=+ (2)
Para hallar el incremento de la funcin, restamos (1) de (2); se obtiene
( ) ( )xfxxfy +=
Dividiendo los dos miembros por x, incremento de la variable
independiente, resulta:
-
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( ) ( )x
xfxxfyxy
+=
=
El lmite del segundo miembro cuando x0 es, por definicin, la derivada
de f (x), o seade y, y se presenta por el smbolodxdy . Luego se denota que:
( ) ( )x
xfxxfdxdy
x +
= 0
lim , Define la derivada de y con respecto a x.
Entonces
xy
dxdy
x
= 0
lim
La operacin de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin.
Smbolos para representar las derivadas. Puesto que y y x son siempre cantidades finitas y tienen valores
definidos, la expresin
xy
Es una verdadera fraccin. Pero el smbolo
dxdy
Puesto que, en general, la derivada de una funcin de x es tambin funcin
de x, se emplea tambin el smbolo f (x) para representar la derivada de ( )xf .
)(xfdxdy
= ,La derivada de y con respecto a x es igual a f prima de x
-
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Ejemplos
dxdy o y
dxd indica la derivada de y con respecto a x;
( )xfdxd indica la derivada de ( )xf con respecto a x;
( )52 2 +xdxd
indica la derivada de 52 2 +x con respecto a x.
Notaciones de derivacin
( ) ( ) ( )xfxfDxfdxdy
dxd
dxdyy x ===== .
Debe hacerse hincapi en esto: en el paso esencial de hacer que 0x , la
variable es x y no x. el valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer
resaltar que 0xx = desde el principio hasta el fin, podemos escribir:
( ) ( ) ( )x
xfxxfxfx
+=
00
00lim
-
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Regla general para la derivacin(o tambin llamado mtodo de los cuatro pasos) Segn la definicin de derivada se puede ver que el procedimiento para
derivar una funcin ( )xfy = comprende los siguientes pasos:
1. Se sustituye x por x+x y y por y+ y 2. Se resta la funcin original a la funcin incrementada (En polinomios
invertimos todos los signos que se presentan
3. Se divide toda la nueva expresin con x
4. Se calcula el lmite de la funcin cuando x tiende a cero, el valor
obtenido es la derivada de la funcin.
Ejemplo 1
Hallar la derivada de y= 4x2+x-6
1. Se sustituye x por x+ x y y por y+ y
6)()(4 2 +++=+ xxxxyy
Desarrollamos primeramente
62846)()2(4
22
22
++++=+
++++=+
xxxxxxyyxxxxxxyy
2. Se resta la funcin original a la funcin incrementada
xxxxy
xxyxxxxxxyy
+++=
+=
++++=+
2
2
22
28
646284
3. Se divide toda la nueva expresin con x
xxxxx
xy
++
= 228
-
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Cancelando nos queda
128 ++= xx
xy
4. Se calcula el lmite de la funcin cuando x tiende a cero
1)0(28128lim0
++=++=
xxx
xy
x
18 += x
xy
O bien
18 += xdxdy
Ejemplo 2
Hallar la derivada de y= 3x2-5
Paso 1
5635)(3
22
2
++=+
+=+
xxxxyyxxyy
Paso 2
2
222
653563
xxxyxxxxxyyy
+=
+++=+
Paso 3
xx
xxx
xy
+
= 26
Paso 4
xxxxxy
x6066lim
0=+=+=
xy 6'=
-
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Ejercicio 3.1
1. xy 32 = 2. bmxy +=
3. 2axy =
4. 22 tts =
5. 3cxy =
6. 33 xxy =
7. 43xy =
8. 23
2 +=
xy
9. xy
211
=
10. 12 +=
xxy
11. 22
4 xxy
=
12. 3432 += xxy
-
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3.2 Formulas de derivacin
3.2.1 Frmulas de derivacin algebraicas
Dado que la regla general en la resolucin de problemas para el
clculo de la derivada es muy larga o complicada, por consiguiente se
pueden deducir de la regla general, frmulas para derivar ciertas formas
normales que se presentan con frecuencia. Ver formulario completo en
anexo A.
-
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Ejemplo 1, derivada de la constante
Hallar la derivada de y= 5
Aplicando
0)( =dx
cd
Entonces
0)5( =dx
d
Ejemplo 2, derivada de x a una potencia
Hallar la derivada de 3xy = Aplicando
1)( = nn
nxdxxd
Entonces
2133
33)( xxdxxd
==
Ejemplo 3, derivada del mltiplo constante
Hallar la derivada de y= 3x3
Aplicando
dxudc
dxcud )()(
=
Entonces
dxxd
dxxd )(3)3(
33
= Aplicando 1)( = nn
nxdxxd
( ) 21333
333)(3)3( xxdxxd
dxxd
===
La derivada de toda constante es cero
La derivada de x a la n es igual al exponente por x a
la n menos 1
-
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Ejemplo4, derivada de la suma y la diferencia
Hallar la derivada de 23 3xxy += Aplicando
dxwd
dxvd
dxud
dxwvud )()()()(
+=+
Entonces
dxxd
dxxd
dxxxd )3()()3( 2323
+=+
Aplicando 1)( = nn
nxdxxd
y dxudc
dxcud )()(
=
Tenemos que
( )[ ] xxxxxxy 63)2(3323)(3' 221213 +=+=+=
Ejemplo 5, derivada de la potencia de una funcin
Hallar la derivada de 22 )1( += xy Aplicando
dxudnu
dxud nn )()( 1=
Entonces
dxxdx
dxxd )1()1(2)1(
2122
22 ++=
+
Aplicando 1)( = nn
nxdxxd
y dxudc
dxcud )()(
=
Tenemos que
[ ]0)(2)1(2)1()()1(2' 1222
2 ++=
++= xx
dxd
dxxdxy
[ ] )1(42)1(2' 22 +=+= xxxxy
-
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Ejemplo 6, derivada del producto
Hallar la derivada de )14()1( 22 += xxy Aplicando
dxudv
dxvdu
dxuvd )()()(
+=
Entonces
[ ] [ ] [ ]dx
xdxdxxdx
dxxxd 222222 )1()14()14()1()14()1( +++=+
Aplicando 1)( = nn
nxdxxd
, dxudc
dxcud )()(
=, dx
vddx
uddx
vud )()()(+=
+
Tenemos que
+++
+=
dxxdxx
dxd
dxxdxy
122222 )1()1(2)14()1()4()1('
+++
+=
dxd
dxxdxx
dxxdxy )1()()1(2)14()(4)1('
2222
[ ])2)(1(2)14()4()1(' 222 xxxxy +++=
)2)(1)(2)(14()4()1(' 222 xxxxy +++=
)1)(14(4)1(4' 222 +++= xxxxy
Factorizando
[ ])14()1()1(4' 22 +++= xxxxy
Simplificando
)41)(1(4' 222 xxxxy +++=
)15)(1(4' 22 ++= xxxy
-
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Ejemplo 7, derivada del cociente
Hallar la derivada de )14()1( 22
+
=x
xy
Aplicando
2
)()(
vdx
vdudx
udv
vu
dxd +
=
Entonces
2
2222
)14(
)14()1()1()14('
+
+
=x
dxxdx
dxxdx
y
2
222
122
)14(
)1()(4)1()1()1(2)14('
+
+
=
xdx
ddx
xdxdx
xdxxy
2
222
122
)14(
)4()1()1()()1(2)14('
+
+
=
x
xdx
ddxxdxx
y
[ ]2
222
)14()4()1()2)(1(2)14('
++
=x
xxxxy
2
222
)14()1(4)1)(14(4'
++
=x
xxxxy
[ ]2
22
)14()1()14()1(4'
++
=x
xxxxy
2
222
)14()14)(1(4'
+
=x
xxxxy
2
22
)14()13)(1(4'
+
=x
xxxy
-
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Ejemplo 8, Reescribiendo la funcin
Hallar la derivada de 21x
y =
Aplicando
dxud
uc
uc
dxd )(
2=
Entonces
( ) dxxd
xy )(1'
2
22=
( ) 342222)2(1'xx
xxx
y ===
Reescribiendo la funcin 21x
y =
Entonces 2= xy
Aplicando
( ) 1= nn nxxdxd
Tenemos que
312 22' == xxy
Reescribiendo solucin
32' = x
y
Dada
21x
y =
Reescribir
2= xy
Derivar
32' = xy
Simplificar
32' = x
y
-
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Ejercicio 3.2
En los ejercicios 1-15, hallar f(x)
1. 5xy =
2. 43 23
xxxy =
3. x
xy 82 =
4. 22 86 = xxxy
5. x
xxy 1642 +
=
6. 223 842
xxxy +=
7. 223
4xxxxy +=
8. )2)(3( 2 ++= xxxy
9. )5( 2 += xxy
10. x
xy 52 +=
11. 5/4xy =
12. 13/1 = xy
13. 2 3xxy =
14. 3 44 3 xxy =
15. 3 4
1x
y =
En los ejercicios 16-21, completar la tabla usando el ejemplo 8
Funcin Reescribir Derivada Simplificar
16. 331x
y =
17. 232x
y =
18. 3)3(1x
y =
19. 2)3( x
y =
20. 3
4= x
y
21. xxy =
-
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3.2.2 Frmulas de derivacin regla de la cadena
Sea )(ufy = una funcin de u y )(xgu = una funcin de x, entonces
[ ])(xgfy = que se presenta a y como una funcin de x, denominada compuesta de f y g, se denota por ))(( xgf .
Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante
lo siguiente:
dxdu
dudy
dxdy
=
Ejemplo 9
Hallar la derivada de 52 )1( += xy
Entonces 5uy = donde )1( 2 += xu
45u
dudy
= y xdxdu 2=
Por la regla de la cadena tenemos que
dxdu
dudy
dxdy
=
xudxdy 25 4 =
xxdxdy 2)1(5 42 +=
42 )1(10 += xxdxdy
-
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Ejemplo10
Hallar la derivada de 1
1+
=x
y
Entonces
uy 1=
donde 1+= xu
21
ududy
= y 1=dxdu
Por la regla de la cadena tenemos que
dxdu
dudy
dxdy
=
112 = udxdy
2)1(1+
=xdx
dy
-
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Ejercicio 3.3
En los ejercicios 1-6 aplicar la regla de la cadena
1. 4)56( = xy
2. 1
1+
=x
y
3. 12 = xy
4. 23
)25( = xy
5. 2
23
=
xy
6. 62 )43( += xxy
-
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3.2.3 Derivadas trascendentales
Ejemplo11 derivada uey =
Hallar la derivada de 24xey =
Aplicando
( )dx
udeedxd uu )(=
Entonces
dxxdey x )4('
24 2=
22 44 8)8(' xx xexey ==
Ejemplo 12 derivada uy ln=
Hallar la derivada de 32 )1ln( += xy
Aplicando
( )dx
udu
udxd )(1ln =
Entonces
[ ]dx
xdx
y32
32)1(
)1(1' ++
=
dxxdx
xy )1()1)(3(
)1(1'
2132
32+
++
=
++
+=
dxd
dxxdx
xy )1()()1)(3(
)1(1'
2132
32
[ ]xxx
y 2)1)(3()1(
1' 2232 ++=
)1(6
)1()1(6' 232
22
+=
++
=x
xxxxy
-
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Ejemplo 13 derivadas de funciones trigonomtricas
a) Hallar la derivada de )4( xseny =
Aplicando
dxudu
dxsenud )(cos)( =
Entonces
dxxdx
dxxsend )4(4cos)4( =
xy 4cos4'=
b) Hallar la derivada de )6cos( 2xy =
Aplicando
dxudusen
dxud )()(cos
=
Entonces
dxxdxsen
dxud )6(6)(cos
22=
2612)(cos xxsendx
ud=
-
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c) Hallar la derivada de x
y 2tan=
Aplicando
dxudu
dxud )(sec)(tan 2=
Entonces
=
xdxd
xy 22sec' 2
= 2
2 22sec'xx
y
( )2
2 2sec2'
xxy =
d) Hallar la derivada de 22 )1( += xSecy
Aplicando
dxudTguSecu
dxSecud )()(
=
Entonces
[ ]dx
xdxTgxSecy22
2222 )1()1()1(' +++=
++++=
dxxdxxTgxSecy )1()1(2)1()1('
21222222
[ ])2)(1(2)1()1(' 22222 xxxTgxSecy +++=
22222 )1()1()1(4' +++= xTgxSecxxy
-
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Ejemplo 14 derivadas de funciones trigonomtricas inversas
a) Hallar la derivada de )4( xArcseny =
Aplicando
dxud
udxArcsenud )(
11)(
2=
Entonces
dxxd
xy )4(
)4(11'
2=
21614'
xy
=
b) Hallar la derivada de )6( 2xArcSecy =
Aplicando
dxud
uudxArcSecud )(
11)(2
=
Entonces
dxxd
xxy )6(
1)6(61'
2
222 =
136612'
42 =
xxxy
1362'
4 =
xxy
-
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Ejercicio 3.4
Hallar la derivada de la funcin dada
1. xxy cos212 =
2. xsenxy cos54 +=
3. senxy += 6
4. 2csc6 xxy =
5. xy
cos1
=
6. xsenxy 2cos=
7. xxseny
2cos4
=
8. 54sec xy =
9. xtgy
312=
10. 53 )2( += xctcy
11. xxseny 6cos443=
5
6xey =
12. xey 4
1=
13. )1(2 += xey x
14. )2ln(3 += xy
15. )2(2ln 3 +
=x
y
16. 5
6xey =
17. xey 4
1=
18. )1(2 += xey x
19. )2ln(3 += xy
20. )2(2ln 3 +
=x
y
21. xey 3=
22. 5senxey
x
=
23. 2secln xy =
24. tgxey =
25. xetgy 2=
26. 210xArcseny =
27. 3ArcCtgxy =
28. )2cos(3 += xArcy
29. 4
2xArcSecy =
30. xeArcTgy =
-
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3.3 Derivadas de orden superior
La operacin derivada parte de una funcin f y produce una nueva funcin f, si ahora se deriva f se producir otra funcin que se designa
como f y que se llama segunda derivada de f, esta a su vez puede ser
derivada para producir f, que se llama tercera derivada de f, y as
sucesivamente hasta n derivadas.
Derivada Notacin f Notacin y
Primera f(x) y
Segunda f(x) y
Tercera f(x) y
Cuarta f4(x) Y4
Quinta F5(x) y5
Ensima fn(x) yn
Ejemplo 1
Hallar la cuarta derivada de 95432 2345 ++= xxxxxy
Solucin
110121210' 234 += xxxxy
10243640'' 23 += xxxy
2472120''' 2 += xxy
722404 = xy
-
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Ejercicio 3.5
Hallar la segunda derivada de orden superior segn se indica
1. 82323 += xxxy
2. 452 xxy =
3. 153 += xy
4. )1(2 += xxy
5. 3)52( += xy
6. 2)23( = xy
7. 22 )4( = xy
-
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3.4 Derivadas implcitas
Una funcin implcita es aquella donde se da una relacin entre x e y
por medio de una ecuacin no resuelta para y.
Cuando y se define como funcin implcita de x, puede no ser
conveniente resolver la ecuacin para obtener y como funcin explicita de x,
o x como funcin explicita de y.
Entonces para calcular la derivada se sigue la siguiente regla
Derivar la ecuacin, termino a trmino, considerando y como funcin
de x, factorizar todos los trminos que contengandxdy y posteriormente
despejardxdy
Forma implcita Forma explicita Derivada
1=xy 11 == xx
y 22 1
xx
dxdy
==
-
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Ejemplo 1
Hallar dxdy , dado 45 223 =+ xyyy
Solucin
02523 2 =+ xdxdy
dxdyy
dxdyy
( ) 02523 2 =+ xyydxdy
5232
2 +=
yyx
dxdy
Ejemplo 2
Hallar dxdy , dado 53 351515 yyyx ++=
Solucin
dxdyy
dxdyy
dxdy 42 15151515 ++=
( )42 15151515 yydxdy
++=
( )42 15151515
yydxdy
++=
-
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Ejercicio 3.6
Hallar dxdy
segn se indica
1. 232 3xxyy +=+
2. 245 2220 yxx =
3. 15323 +=+ xyyy
-
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3.5 Teorema del valor medio
El teorema de valor medio, tambin llamado teorema de los incrementos
finitos o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones
derivables en un intervalo.
Sea f(x) una funcin que satisface lo siguiente:
1. f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b]
2. f(x) es una funcin diferenciable en [a, b]
Entonces hay un nmero "c" en el intervalo [a,b] tal que
abafbfcf
=)()()('
La interpretacin geomtrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
-
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Ejemplo 1
Compruebe que la funcin satisfaga las hiptesis del teorema del valor
medio en el intervalo dado. Determinar todos los nmeros c que satisfagan la
conclusin del teorema del valor medio.
523)( 2 ++= xxxf
[ ]1,1
26)( += xxf
Teorema valor medio despejado
))((')()( abcfafbf =
Sustituimos la x por la c
)11)(26(610 ++= c
Despejando
)2)(26(4 += c
0=c
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Ejercicio 3.7
Aplicar el teorema del valor medio (si se puede) a las siguientes
expresiones.
1. Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva
y = x3 x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos
A(1, 2) y B(3, 20). Qu teorema garantiza la existencia de dicho
punto?
2. En el segmento de la parbola comprendido entre los puntos A =
(1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la
cuerda.Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parbola
de ecuacin y = x2 + bx + c.
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3.6 Regla LHpital
La regla de L'Hpital o regla de l'Hpital Bernoulli es una regla que usa
derivadas para ayudar a evaluar lmites de funciones que estn en forma
indeterminada del tipo
o,,0,00
.
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y sean f(c)=g(c)=0,
con c perteneciente a (a, b) y g'(x)0 si x c .
Si f y g son derivables en (a, b), entonces si existe el lmite f'/g' en c, existe
el lmite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto.
)(')('lim
)()(lim
xgxf
xgxf
cxcx =
Demostracin
El siguiente argumento se puede tomar como una demostracin de la
regla de L'Hpital, aunque en realidad, una demostracin rigurosa de la misma
requiere de argumentos e hiptesis ms fuertes para su demostracin.2 4 Se
asume que tanto f como g son diferenciables en c.
Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a
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Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definicin de derivada:
)(')(
)()(lim
)()(lim
)()(lim
cgcf
cxcgxg
cxcfxf
xgxf
cx
cx
cx=
==
Ejemplos
La regla de L'Hpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan
de remplazar el valor numrico al llevar al lmite las funciones dadas. La regla dice
que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las
funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendr: f'(x)/g'(x).
Aplicacin sencilla
00)sin(lim
0=
xx
x
1
11)cos(limHpitalL')sin(lim
00===
xx
xx
xx
Aplicacin consecutiva
Mientras la funcin sea n veces continua y derivable, la regla puede
aplicarse n veces:
00
)sin(2lim
0=
xxxee xx
x
-
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)cos(12)(limHpitalL'
0 xee xx
x
)sin(limHpitalL'
0 xee xx
x
)sin(limHpitalL'
0 xee xx
x
21
11)0cos(
0)cos(
limHpitalL'0
0=
+=
=
eexee xx
x
Nota:
La regla de LHpital tambin se puede aplicar si +x
La regla de LHpital adems de resolver indeterminaciones del tipo 00
tambin se puede aplicar para resolver indeterminaciones del tipo ++
Si al calcular )(')('lim
xgxf
oxx nos volvemos a encontrar en las condiciones
establecidas por esta regla se puede volver aplicar de nuevo, y as sucesivamente
las veces que consideremos oportunas para la consecucin del lmite buscado.
Para resolver el resto de indeterminaciones no se puede aplicar directamente esta
regla. En estos casos se han de transformar en una indeterminacin del tipo 00 o
++ y despus aplicar la regla LHpital.
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Ejercicio 3.8
Aplicar la regla LHpital a las siguientes expresiones.
1. xxx
x ln12lim
2
1
+
2. xx
xlnlim
0
3.
senxxx11lim
0
4. ( ) x
xx ln2
01lim +
-
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3.7 Aplicaciones y problemas con variacin en el tiempo
En esta seccin se proponen ejercicios tratando de que valorices la
derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez
instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.
En distintas disciplinas como Electricidad, Electrnica, Termodinmica,
Mecnica, Economa, Biologa, etc., resulta de importancia fundamental no slo
saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra, sino conocer
cun rpido se produce esa variacin.
Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son
familiares. Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un ro cuyas aguas
se encuentran a muy baja temperatura.
Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona
permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al
haber prdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la
temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos Sin embargo en
este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la temperatura del
cuerpo que por cierto no es lineal.
La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luego
enlentecindose, ocurrir exactamente lo contrario, etc. De toda esa informacin
depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an disponible para salvar la vida
de la persona, y esa informacin nos la dar justamente la derivada de la funcin
en cuestin.
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De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen
justamente como derivada de otra. Por ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil
se define como la derivada de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como
derivada de la velocidad; la fuerza electromotriz inducida, en Electrnica, como la
derivada del flujo del campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo
(t). El ngulo de desplazamiento del eje de una viga, como derivada de la funcin elstica de la viga; la intensidad de corriente elctrica como la derivada de la
carga elctrica como derivada del volumen respecto del tiempo, etc.
Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el
significado de la derivada. Por lo tanto antes de continuar con las aplicaciones es
importante resumir que:
Figura 3.1
Considera una funcin f de variable x. como se muestra en la figura 3.1 tenemos parte del grfico representativo de la funcin y sea x0el punto del dominio que hemos elegimos para trabajar.
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Recuerda que llamamos punto al valor x0 y no al punto geomtrico P. Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo punto x0 + h.
El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha
de x0. Veamos que ha ocurrido con la funcin f.
En el punto x0el valor funcional es f(x0)y en el punto x0 + h es f (x0 + h).
La diferencia f (x0 + h) - f(x0)indica en valor y signo la variacin del valor funcional provocado por el incremento h de la variable x.
A esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0 correspondiente al incremento h En la figura 3.1 este incremento es la medida del segmento QR.
Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos, entonces:
( ) ( )h
xfhxf 00 +
A este cociente se le denomina cociente incremental en el punto x0.
Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la
rapidez promedio de variacin de la funcin en el intervalo [x0, x0 + h].
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Si disminuimos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variacin de la funcin, en general diferentes (excepto si la funcin
es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).
Si esa sucesin de valores del cociente incremental tiene lmite finito para
0h habremos obtenido la rapidez instantnea de variacin de la funcin en x0.
Es al valor de ese lmite que hemos llamado derivada de la funcin en el punto x0
Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la
tangente trigonomtrica del ngulo QPR de vrtice P, hecho que deduces de
aplicar simplemente la definicin trigonomtrica de tangente en el tringulo PRQ y
que te permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o
coeficiente angular de la recta PQ.
El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces
concluir que el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin f en el punto x0no es ms que el coeficiente angular de la recta tangente al grfico en el punto P.
Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una
funcin f en un punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al grfico de la funcin en el punto (x0, f(x0)), pero la informacin que has conseguido no es meramente una informacin geomtrica.
Esta informacin te permite obtener la rapidez con que est variando la
funcin en el punto considerado.
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto, ms rpido
vara la funcin en l, y esta informacin es de vital importancia en una variedad
enorme de problemas de distintas disciplinas.
Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad, aplicando
modelos funcionales, nuestras funciones f representarn magnitudes o cantidades que varan en funcin de otras magnitudes o cantidades a las
cuales representar nuestra variable x
Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa E dada por un dispositivo de algn tipo, nuestra funcin f representar la funcin
energa E, nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores de E (t).
Si calculas la derivada en algn instante t0,
=)( 0tdtdE
, habrs obtenido con
qu rapidez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida, por
ejemplo, en
horaCalorias si esas son las unidades con que ests trabajando,
digamos, en un hora problema de Termodinmica.
Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en ese instante.
Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin
derivada.
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A esta nueva funcin, asociada a tu funcin original, debes concederle toda
la importancia que realmente tiene.
Supongamos que has representado grficamente cierta funcin f representativa de cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de
otra magnitud, por ejemplo el tiempo.
La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin
sobre lo que est ocurriendo en el fenmeno.
Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre qu instantes,
cundo disminuye, cuando se producen sus mximos y/o mnimos y cules son
sus valores. Pero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas
como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos
de la curva.
Podrs concluir, por ejemplo, si aumenta o disminuye la rapidez con que la funcin aumentaba o disminua sus valores, podrs decidir eventualmente que
tu funcin aumenta cada vez ms rpido hasta cierto instante a partir del cual si
bien sigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente (punto de inflexin de
la grfica) o a la inversa.
Tendrs entonces un panorama mucho ms completo del desarrollo del
fenmeno con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin
derivada.
Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada
podras obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso la representacin
grfica de la funcin derivada te permitira tener una idea rpida y ms acabada
de cmo transcurre el fenmeno en estudio.
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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA, FIME UNIDAD NORTE 61
Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
Esperamos que todo lo dicho te haga valorar, en su justa medida, el aprender
a interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente
contienen. En muchos fenmenos, incluso, no es posible obtener una expresin
analtica de la magnitud a estudiar, recurrindose entonces a instrumentos
adecuados para obtener su representacin grfica, procedindose luego a la
interpretacin de la misma.
Ejemplo 1, Aplicacin Qumica
La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante KPV = donde P es la presin, V el volumen y K una constante. Si la
presin est dada por la expresin: ttP 230)( += con P en cm de Hg, t en seg; y el
volumen iniciales de 60cm3, determina la razn de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.
Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del
volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 seg, o sea, el valor de la
derivadadtdV calculada en t = 10. La idea ser entonces expresar el volumen V
en funcin del tiempo t. Por un lado la ley de Boyle establece que KPV = y por
otro conocemos como vara la presin con el tiempo ttP 230)( += basta entonces
que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos la presin por
su expresin en t. Tendremos entonces:
)()(
tPKtV = (1)
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Sustituyendo P(t) obtenemos
tKtV
230)(
+=
Derivando y evaluando con t=10 seg.
[ ] 222 )50(2
)10(2302
)230(2 KK
tK
dtdV
=+
=+
= (2)
Calculamos K, para to=0, Vo=60, sustituyendo en (1)
3060 K=
1800=K
Sustituyendo en (2).
44.125003600
)50()1800(2
)50(2
22 ====K
dtdV
Por lo anterior podemos concluir que el gas est disminuyendo 1.44cm3 por
segundo a los 10 segundos de iniciado el proceso de compresin.
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Ejemplo 2, Contaminacin
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al
derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.
Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio
es de 50m si el espesor disminuye a razn de 10 cm/hr en el instante en que R =
50 m.
Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a
medida quela mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en
que R = 50m.
Podramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente.
Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el
espesor h vara con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).
Debes encarar el ejercicio partiendo de la relacin entre R y h que nos
proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.
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Entonces:
hRV 2= (1)
Derivando
+=
dtdhRh
dtdRR
dtdV 22 (2)
Como V es constante, es decir independientemente de t, sabemos que:
0=dtdV lo que nos permite decir que 02 2 =+
dtdhRh
dtdRR
Despejando dtdR
dtdh
hR
dtdR
2=
(3)
Como se tiene el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de
10 cm/hr
hrm
dtdh 210=
De (1),
2RVh
=
-
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Como V = 100m3, R= 50m, entonces
mh04.0
)50(100
2 ==
Sustituyendo en la ecuacin (3), se tiene que
hrm
dtdR 25.610
)04.0(250 2 ==
La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es
de 50m, resulta entonces cercana a los 20 m/hr.
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Ejercicio 3.9
1. Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H est siendo llenada con lquido con un gasto constante Q = 0.5
m3por minuto. A medida que se produce el llenado el nivel del lquido en la
tolva sube. Q
Si R=2 m y H=3m:
a) Crees que ese nivel sube con velocidad constante? Justifica tu respuesta sin efectuar clculos.
b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior e indica el valor de la velocidad cuando la altura del lquido en la tolva es de 1,5 m. Qu
condicin crees que debera cumplir el recipiente para que el nivel subiera a
velocidad constante? Justifica mediante clculo en el casoque el recipiente
sea un cilindro recto circular.
2. Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante Q = 100
litros/minuto. Suponiendo que la presin del gas es constante, halla la
velocidad con que est aumentando el radio R del globo en el instante en
que R=0.3 m.
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3. La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el
grano proveniente de un silo a razn de 0.5 m/min. El grano forma un cono
circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la
base. Calcula:
a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?
b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est variando?
4. Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando
una eslinga de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura,
como indica la figura.
Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es
arrastrado por un vehculo que se mueve hacia la derecha con velocidad
v=20 km / hora y a una altura del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una
longitud de 50 m
a) A qu distancia del cuerpo estar el vehculo en el instante de iniciar la maniobra?
b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el vehculo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relacin entre x y h. c) Cul es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?
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4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
En este captulo te proponemos ejercicios sobre una aplicacin muy
importante y comn del concepto de derivada en distintas disciplinas, la
optimizacin de funciones.
A una empresa de transporte seguramente le interesa que el costo por
kilmetro de sus viajes sea el menor posible , a un fabricante de determinado
artculo le interesar que el costo de fabricacin por unidad sea el ms bajo
posible , en Electrotecnia , por ejemplo , interesar cmo disear determinado
dispositivo para que su consumo de energa sea mnimo , a una empresa de
construccin cmo dimensionar un silo para grano para que el costo de la
construccin sea el ms bajo posible , un vendedor se interesa en cul debe ser
el precio de venta de su producto para obtener el mayor beneficio posible. En fin,
son innumerables los problemas de estos tipos que se dan en la realidad.
Estos problemas llamados de optimizacin, desde el punto de vista matemtico se reducen a problemas de determinacin de mximos y mnimos absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos, problemas cuya resolucin conoces del curso terico.
Para resolver estos ejercicios debers entonces extremar una funcin.
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Tu primer paso ser individualizar con claridad cul es la funcin a la que
debes hallarle el mximo y / o mnimo absoluto.
En ocasiones el enunciado del ejercicio te proporciona la expresin analtica
de esa funcin.
En otros, en cambio, t debers conseguir esa expresin analtica utilizando
los datos dados en el enunciado
.
Es comn que al principio elijas ms de una variable en el problema.
Si ello ocurre no debes perder de vista que se trata de problemas de
funciones de una variable, por lo que existirn relaciones entre esas variables que
has elegido que te permitirn finalmente reducir el problema a una nica variable.
Una vez que has logrado la expresin analtica de la funcin buscada
debers establecer el intervalo de variacin de la variable elegida.
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4.1 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin
Sea f una funcin continua con ecuacin = (), definida en un intervalo (,
).
La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo (, ).
Cuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil
sealar en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante. Sin
embargo, no resulta fcil decir en que intervalo la funcin es creciente, decreciente
o constante sin la grfica de la funcin.
El uso de la derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una
funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se
necesita el teorema y la definicin a continuacin para mostrar varios ejemplos.
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En la representacin grafica anterior puede observarse que la funcin f es:
1. Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2. Decreciente en los intervalos (x3,x5), (x6,b)
Tambin se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es
positiva, la funcin f crece y cuando la pendiente de la recta
tangente es negativa, la funcin decrece.
Note adems que en los puntos (x3, f(x3)) y (x6, f(x6) la recta tangente es
horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la
funcin se anula en cada uno de esos puntos.
Teorema: Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,
I. Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
II. Si f(x)
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Ejemplo
Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con
ecuacin ( )1421 2 + xx
Hallando la primera derivada
2)(' = xxf
Como
creciente es f entoncespara ,20)(' >> xxf
edecrecient es f entoncespara ,20)('
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Criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin
Un valor de una funcin es un mximo si es mayor que cualquiera de los
valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una funcin es
un mnimo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le
siguen inmediatamente.
Por ejemplo, en la figura 4.1, es evidente que la funcin tiene un valor
mximo MA (= y = 2) cuando x=1, y un valor mnimo NB (= y = 1) cuando x=2.
Observara que un mximo, as definido, no es, necesariamente, el mayor
valor posible de una funcin, ni un mnimo tiene que ser el menor de todos. En
efecto en la figura se ve que la funcin (=y) tiene valores a la derecha de B que
son mayores que el mximo MA, y valores a la izquierda de A que son menores
que el mnimo de NB.
Figura 4.1
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
Si f(x) es una funcin creciente de x cuando x es ligeramente menor que a,
pero es una funcin decreciente de x cuando x es ligeramente mayor que a, es
decir, si f(x) cambia de sino pasando de + a al aumentar x a travs de a,
entonces f(x) tiene un mximo cuando x=a. Luego, si f(x) es continua, debe
anularse cuando x=a.
As, en el ejemplo anterior en C, f(x) es positiva; en A, f(x)=0; en D, f(x) es
negativa.
Por otra parte, si f(x) es una funcin decreciente cuando x es ligeramente
menor que a, pero es una funcin creciente cuando x es ligeramente mayor que a;
es decir, si f(x) cambia de signo pasando de a+ al aumentar x a travs de a,
entonces f(x) tiene un mnimo cuando x=a. Luego, si f(x) es continua debe
anularse cuando x=a.
As, en la figura, en D, f(x) es negativa; en B, f(x)=0; en E, f(x) es positiva.
Podemos formular, pues, las condiciones generales siguientes para
mximos y mnimos de f(x):
f(x) es un mximo si f(x) = 0 y f(x) cambia de signo pasando de + a - f(x) es un mnimo si f(x) = 0 y f(x) cambia de signo pasando de - a +
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Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuacin f(x)=0
se llaman valores crticos; por ejemplo:
Si
f(x)=2x3-9x2+12x-3,
Entonces:
f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
Por lo tanto x=1 y x=2 son los valores crticos de la variable para la funcin
cuya grafica es la figura 1. Los valores crticos determinan puntos de cambio
donde la tangente es paralela a OX.
Para determinar el signo de la primera derivada en puntos vecinos a un
punto de cambio, basta sustituir en ella en primer lugar un valor de la variable
ligeramente menor que el valor critico correspondiente, y despus un valor
ligeramente mayor.
Si el primer signo es + y el segundo es -, entonces la funcin tiene un
mximo para el valor critico que se considera. Si el primer signo es y el segundo
+, entonces la funcin tiene un mnimo. Si el signo es el mismo en ambos casos,
entonces la funcin no tiene ni mximo ni mnimo para el valor crtico que se
considera.
Consideremos, el ejemplo anterior donde la funcin.
31292)( 23 +== xxxxfy (1)
Segn vimos,
( )( )216)( = xxxf (2)
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Resolviendo la ecuacin f(x)=0, hallamos los valores crticos x=1, x=2.
Consideremos primero el valor x=1. Sustituiremos en el segundo miembro
de (2) valores de x cercanos a este valor crtico y observamos los signos de los
factores.
X Y
1 2
2 1
Cuando x1, f(x)= (-) (-)= +.
Cuando x1, f(x)= (+) (-)= -.
Luego f(x) tiene un mximo cuando x=1. Por la tabla adjunta vemos que
este valor es y=f(1)=2.
Veamos ahora lo que ocurre para x =2. Procederemos como antes,
tomando en este caso valores de x prximos al valor critico 2.
Cuando x2, f(x)= (+) (-)= -.
Cuando x2, f(x)= (+) (+)= +.
Luego f(x) tiene un mnimo cuando x=2. Segn la tabla anterior, este valor
es y=f(2)=1.
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Estos resultados se resumen en la siguiente regla, que sirve de gua en las
aplicaciones.
1. Se halla la primera derivada de la funcin.
2. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las races reales de la
ecuacin resultante. Estas races son los valores crticos de la variable.
3. Se consideran los valores crticos uno por uno y se calculan los signos
de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor*
que el valor critico y despus para un valor un poco mayor que l. Si el
signo de la derivada es primeramente + y despus -, la funcin tiene un
mximo para este valor critico de la variable; en el caso contrario, tiene
un mnimo. Si el signo no cambia, la funcin no tiene ni mximo ni
mnimo para el valor crtico considerado. En el tercer paso, a menudo
conviene descomponer f(x) en factores.
Notas:
1) Los puntos crticos son los nicos en los que pueden aparecer los extremos
relativos (mximos y mnimos relativos). Esto significa, que no todo punto crtico
va a ser un mximo o mnimo relativo.
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Ejemplo 1.
Hallar los extremos relativos de la 20x - 3x = f(x) 35
Primer paso.
60x - 15x = (x)f' 24
Segundo paso. Resolviendo la ecuacin f(x)=0, tenemos:
0 60x - 15x 24 =
Factorizando y encontrando los valores crticos
04- x 15x0 4)-(x15x0 60x -15x
22
22
24
==
=
=
0
Despejando para x
4x x04- x 15x
22
22
==
==
00
Por lo tanto x1=0, x2=2, x3=-2
Tercer paso.
Para x=0
Cuando 0x , entonces f(x) es -
Puesto que el signo de la derivada cambia de + a-, la funcin tiene un valor
mximo para x=0
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Para x=2
Cuando 2x , entonces f(x) es -
Puesto que el signo de la derivada no cambia, la funcin no tiene un valor
mximo o mnimo para x=-2
Para x=-2
Cuando 2x , entonces f(x) es +
Puesto que el signo de la derivada no cambia, la funcin no tiene un valor
mximo o mnimo para x=-2
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Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.
Ejemplo 1.
Hallar los extremos relativos de la 1)(x1)-(x = f(x) 32 +
Primer paso.
1)-(5x1)1)(x-(x(x)f'
1)(x1)-3(x1)1)(x-2(x = (x)f'2
23
+=
+++
Segundo paso.
01)-(5x1)1)(x-(x 2 =++
Luego x=1, x=-1, x=1/5 estos son los valores crticos
Tercer paso. Para x=1
Cuando 1x , entonces f(x) es +
Puesto que el signo de la derivada cambia de