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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
GEOMETRIA ANALÍTICA
•
Coordenadas de pontos no plano cartesiano.
•Distâncias entre pontos.
Sejam e dois pontos no plano cartesiano. A distância
entre e é dada pela expressão .
•Equação da circunferência.
Por definição, um ponto está na circunferência de centro
e raio se, e somente se, , ou seja, .
Desenvolvendo essa equação, percebe-se que uma circunferência sempre tem
uma equação do tipo Isso sugere o seguinte exemplo:
determine o centro e o raio da circunferência de equação
.
•Exemplos: determine a expressão de uma função que representa a parte
superior da circunferência E para a parte inferior?
•Retas no plano cartesiano:! retas horizontais (paralelas ao eixo ) possuem equação do tipo
.
! Retas verticais (paralelas do eixo ) possuem equação do tipo.
! De modo geral, uma reta não vertical possui equação do tipo . O
número é o coeficiente angular e o número é o coeficiente linear.
! Dados os pontos e , com , a reta que passa por
e tem equação . Dessa equação observa-se
que o coeficiente angular é igual a tangente do ângulo que a
reta faz com o semi-eixo positivo .
! Retas paralelas: duas retas de equações e são
paralelas se elas possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, se .
! Retas perpendiculares: demonstrar que duas retas de equações
e são perpendiculares se .
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Exemplo: determine a equação da reta que passa pelos pontos
e . Agora determine a reta que passa pelo ponto e que éperpendicular a essa que você acabou de encontrar.
Exemplo: determine de modo que a distância entre os pontose seja igual a 5. Interprete geometricamente esse problema.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
•Num triângulo retângulo como o da figura abaixo, define-se o seno, ocosseno e a tangente do ângulo do seguinte modo:
.
•Comentar que essa definição depende apenas do ângulo e não do
triângulo e listar as identidades:
.
•Exemplos:
30o
45o
60o
seno
cosseno
tangente 1
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
•O círculo trigonométrico e arcos orientados.
Num plano cartesiano, considere a circunferência de centro na origem eraio igual a uma unidade de medida. Essa circunferência é chamada de círculo
trigonométrico. O ponto será a origem dos arcos orientados queserão construídos sobre essa circunferência.
! Seja um número real entre 0 e . Imagine um ponto móveldeslocando-se no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico,
iniciando seu percurso no ponto , e percorrendo uma distância igual aunidades de comprimento. Ao final desse percurso ele pára num pontodo círculo trigonométrico. A trajetória descrita por é o arco orientado
de medida . Nesse caso, dizemos o ângulo central , que subtende o
arco , tem medida radianos.
! Relembrar a relação entre graus e radianos: .! O seno, o cosseno e a tangente de :
Continuando com entre 0 e , sejam e as
extremidades do arco orientado de medida radianos. Definimos erepresentamos o seno, o cosseno e a tangente de da seguinte maneira:
, e , se e
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Desse modo, pontos sobre o círculo trigonométrico podem ser escritos na
forma .
Exemplos:
0
seno 0 1 0 -1 0
cosseno 1 0 -1 0 1
tangente 0 0 0
•As funções trigonométricas reais:
Seja um número real qualquer. Existem únicos e tais que
. Definimos o , e como sendo,
respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente de radianos. No caso da
tangente, devemos ter , .
Os gráficos das funções: , e estão
representados a seguir.
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Observação: cada uma dessas funções é periódica, de período . Issosignifica que para todo real:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
•Para todo número real valem as igualdades:
•Cosseno da soma: vamos mostrar que para quaisquer números reais e
é válida a identidade
Para isso, considere os pontos e sobre o
círculo trigonométrico. Observe que o raio faz ângulo com o eixo
positivo. Agora, faça uma rotação no triângulo de modo que ele fique na
posição do triângulo (observe as figuras a seguir).
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Pela definição das funções seno e cosseno, vemos que as coordenadas dospontos e são: e . Uma vez que os
segmentos e possuem o mesmo comprimento, pela fórmula da
distância entre dois pontos, vemos que implica:
Desenvolvendo essa igualdade e simplificando obtemos a identidade desejada.
•Outras identidades trigonométricas semelhantes:
! Arco duplo e arco metade: para todo número real
! Lei dos cossenos:em qualquer triângulo como o da
figura, temos:
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO
No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação , para
quaisquer real e .
Se , por definição coloca-se , e assim por diante. Ou
seja, para todo define-se como o produto de fatores iguais ao
número . Nesta definição não podemos incorporar o caso , pois para
calcularmos utilizamos um produto, e para isto é necessário a existência de
dois ou mais fatores. Entretanto, por analogia aos casos e ,
parece ser natural definirmos . Entretanto existe uma outra explicação paraessa definição. A potenciação que acabamos de definir possui a seguintepropriedade:
(*)
para quaisquer . Assim, para definirmos coerentemente,
devemos escolher o valor de de modo que a igualdade (*) também seja
verdadeira para o caso em que ou sejam iguais a 1. Se este é o nosso
desejo, em particular, devemos ter: . Logo .
Desta igualdade, também surge a definição natural de .
O caso é análogo (ainda estamos supondo ). Para definir esse número éinteressante que ele também obedeça a propriedade (*). Desta propriedade, em
particular devemos ter: . Esta última igualdade implica que
. Portanto as igualdade e são definidas de maneira a garantirque a igua ldade (*) seja verdadei ra para todos os va lores de
.
A respeito da potenciação, pode-se também perguntar sobre a definição do númeropara e . Esse número também é definido de modo a
garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para quaisquer inteiros epositivos ou negativos. Para isto ser verdade, em particular devemos ter
. Daqui segue que para todo inteiro positivo n.
Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições setentamos colocar . Ora, para inteiro positivo, não existe problema algum
. Por outro lado, se então não está definido pois deveríamos ter
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que não existe. Mas ainda, também não está definido pois, por
exemplo, neste caso existe o seguinte problema: , e a divisão
por zero não existe.
Até o momento temos uma definição para para todo expoente inteiro. Agora
queremos definir para expoentes racionais. Esta definição também será dadade modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes
e racionais. Vejamos: se então: .
Portanto é um número positivo que elevado a potência resulta o número
. Daqui segue que .
Neste caso, o número , para racional diferente de zero e não-inteiro, está
definido apenas para . Caso contrário teremos, no conjunto dos números
reais, impossibilidades como por exemplo: . Por esse motivo, a
função exponencial está definida apenas para bases .
Observação: a definição de para irracional é dada por limites: se é
uma seqüência de números racionais convergindo para , definimos como o
limite da seqüência .
Propriedades: para quaisquer números reais e , e todo , temos:
(1)
(2) ,
(3)
(4)
FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS
•Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo. Nesse
caso, essa função possui as seguintespropriedades:
! a função é crescente.
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! .
!
•Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo. Nesse
caso, essa função possui as seguintes propriedades:
! a função é decrescente.
! .
!
O NÚMERO DE NAPIER: e
Dentre as várias bases para a função exponencial, existe uma que é mais adequadapara o cálculo diferencial e integral. Essa base é o número neperiano , que podeser interpretado da seguinte maneira.
Vamos analisar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial
( ) no ponto . As figuras a seguir sugerem que essa inclinação
varia continuamente com o número e que ela aumenta conforme aumentamos ovalor de . Nessas figuras estão representados os gráficos das funções
exponenciais de bases , , e além das retas tangentes a
esses gráficos no ponto e o coeficiente angular de cada uma dessas
retas.
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Esse raciocínio sugere que deve existir um valor de tal que o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico da função exponencial no ponto seja
exatamente igual a 1. Esse número realmente existe: ele é o número de Napier,representado pela letra . Pode-se mostrar que esse número é irracional e vale
aproximadamente .
Na figura abaixo temos o gráfico da função exponencial de base além de sua reta
tangente no ponto .
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FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Seja e . Uma vez que a função exponencial é crescente ou
decrescente vemos que para qualquer número existe um, e somente um,
número real tal que . Tal número é o logaritmo de na base . Ele é
representado por . Isso define a função logarítmica de base :
Como vimos, tal função é caracterizada pela equivalência:
.
Propriedades operacionais do logaritmo:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) .
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O LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO
Dentre todas as funções logarítmicas, a de base (o número de Napier) é amais importante para o cálculo diferencial e integral. Nesse caso, essa função
logarítmica é chamada de “o logaritmo natural” e é denotada por .
Uma vez que a função é a inversa da função , vemos que os
gráficos dessas duas funções são simétricos em relação a reta . No planocartesiano da figura a seguir, estão representados os gráficos dessas duas funções,além da reta .
Exemplo: Um objeto à 80o C foi colocado em um ambiente cuja temperatura émantida constante em 24o C. Sabe-se que, ao passar do tempo, a temperatura doobjeto decresce e tende a temperatura do meio ambiente. Além disso, sabe-se quea temperatura do objeto no instante de tempo é dada pela expressão
, sendo e constantes que dependem do meio e do objeto.
Entretanto, passados 30 minutos, verificou-se que a temperatura do objeto é de50o C. Determine em que instante a temperatura do objeto será igual a 30o C.
Observação: chamar a atenção dos alunos para o fato da primeira lista deexercícios conter algumas aplicações importantes de exponencial e logaritmo, taiscomo: desintegração radioativa e lei de resfriamento de Newton.
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITES
Para motivar a idéia de limites de funções, vamos definir o conceito de reta tangente ao
gráfico de uma função no ponto .
Então seja um ponto sobre o gráfico da função . Agora considere
um outro ponto sobre o gráfico dessa função. A reta que passa pelos
pontos e é chamada de reta secante ao gráfico de (veja ilustração na figuraabaixo).
Observe que, intuitivamente , quando mantemos o ponto fixo e aproximamos de
, parece que a reta secante tende a uma certa posição, que é a da reta tangente
ao gráfico de no ponto . Desse modo, ao fazermos tender ao número vemos
que o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de no ponto . Assim, se existir o limite da
expressão quando tende ao número , representamos esse limite
por e dizemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é aquela que
passa por e tem coeficiente angular . Portanto essa reta tem equação
.
Dessa motivação vem a necessidade de entender o significado da expressão: “o limite de uma função quando tende a um número previamente fixado”.
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LIMITES DE FUNÇÕES: DEFINIÇÃO EINTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
• Definição de limite: dizemos que uma função tem limite quando
tende a um número se, dado existir tal que para
todo tal que . Se esse é o caso escrevemos .
• Definir limites laterais: a direita e a esquerda .
• Exploração do conceito de limite através de gráficos. Exemplo: em cada um dos
gráficos abaixo identificar, caso estejam definidos, , ,
e .
Aproveitar os exemplos acima para interpretar geometricamente o conceito defunção contínua. A definição formal desse conceito será apresentada na próximaaula.
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PROPRIEDADES DOS LIMITES
(1)Se existe o estão o valor desse limite é único.
(2)Para quaisquer números e , .
(3)Para qualquer número , .
(4)Para as propriedades de (a) a (h) abaixo, suponhamos que existam e
.
a) . b)
c) . d)
e) . f) , f > 0 e p real.
g) h)
• Conseqüência da propriedade (h): se é uma função limitada, isto é,
para alguma constante e todo de seu domínio e se , então
.
• Exemplos. Caso exista, calcule cada um dos seguintes limites:
a) . b) .
c) . d) .
e) e) .
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LIMITES NO INFINITO:
assíntotas horizontais
• Dizemos que uma função tem limite quando tende a mais infinito se
dado existir tal que para todo . Se esse é o
caso escrevemos .
• Analogamente dizemos que uma função tem limite quando tende a
menos infinito se dado existir tal que para todo
. Se esse é o caso escrevemos .
Obs: em qualquer um dos casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota
horizontal ao gráfico de .
Exemplos: (a) . (b) .
(c) . (d) .
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LIMITES INFINITOS:assíntotas verticais
• Dizemos que uma função tem limite infinito quando tende a um
número se para qualquer existir tal que para todo
com . Se esse é o caso escrevemos .
• Analogamente dizemos que uma função tem limite menos infinito quando
tende a um número se para qualquer existir tal que
para todo com . Se esse é o caso escrevemos .
Obs: em qualquer um dos dois casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota
vertical ao gráfico de .
• Observar que podemos definir limites laterais infinitos. Exemplos:
e
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CONTINUIDADE
• Dizemos que uma função é contínua no ponto se:
(1) estiver definida em , ou seja, existe ;
(2) existir ;
(3) .
• Também dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto se ela forcontínua em todos os pontos desse intervalo. Comentar como isso deve serinterpretado no caso de intervalos fechados .
• Apresentar gráficos de funções contínuas e descontínuas para enriquecer o
entendimento desse conceito.
Exemplo 1: verifique se a função definida a seguir é contínua em .
Exemplo 2: determine constantes e para que a função definida a seguir seja
contínua em .
Propriedades das funções contínuas
(1) Suponhamos que as funções e são contínuas em um intervalo . Então cada
uma das funções listadas no quadro a seguir também é contínua em .
a) isto é,
b) , isto é,
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c) , isto é, d) , isto é,
e) , isto é,
f) , isto é,
,
e real.
(2) Cada uma das funções listadas a seguir é contínua em todos os pontos do seudomínio: as funções polinomiais, as funções racionais, o seno, o cosseno, aexponencial e o logaritmo.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Teorema: Seja uma função contínua no intervalo fechado . Se é
um número entre e então existe entre e tal que .
Observação: esse teorema implica o seguinte fato: se é uma função contínua
em um intervalo , e se e possuem sinais diferentes, então existe
entre e tal que .
Exemplo: aplicar o resultado da observação anterior para obter uma aproximação, com
três casas decimais, para uma raiz da equação .
Observação: o próximo tópico poderá ser tratado nas aulas sobre máximos e mínimos eproblemas de otimização (aulas teóricas 12 e 13).
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MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS
• O máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor possível
de quando variamos em . Analogamente, o mínimo absoluto de umafunção em um intervalo é o menor valor de quando variamos em
.
Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado possui máximo e mínimoabsolutos.