Download - Balance de Masa y Energía 2015
ANÁLISIS TERMODINÁMICO
1. Balances en Termodinámica
Realizar un análisis termodinámico implica llevar a cabo cuatro ecuaciones de
balance. En la tabla 1.1 se muestra el nombre de cada uno de los balances con sus
respectivas ecuaciones.
Tabla 1.1 Tipos de balances y sus ecuaciones
Tipo de balance Tipo de ecuación
Balance de masa Ecuación de conservación de la masa o ecuación
de la continuidad.
Balance de energía Ecuación de conservación de la energía o primera
ley de la termodinámica.
Balance de entropía Ecuación de generación de entropía o segunda ley
de la termodinámica.
Balance de exergía Ecuación de destrucción de exergía
Sistema o masa de control o sistema cerrado
Es una cantidad arbitraria de masa de identidad fija. Un sistema se compone de la
misma cantidad de materia en todo momento. Todo lo externo al sistema constituye el
entorno. La separación entre el sistema y el entorno se denomina frontera del sistema.
Volumen de control o sistema abierto
Es aquella región en el espacio elegida para el análisis. Todo lo externo al volumen
de control constituye el entorno. La frontera de un volumen de control se denomina
superficie de control y puede estar constituida por partes reales y/o imaginarias.
En la tabla 1.2 se muestra los nombres utilizados en Termodinámica y Mecánica de
Fluidos para designar a los sistemas. En la tabla 1.3 se presenta los nombres de las
fronteras según el tipo de sistema.
Tabla 1.2 Nombre de los sistemas según la Termodinámica y Mecánica de Fluidos
Termodinámica Mecánica de fluidos
Sistema cerrado Masa de control o sistema
Sistema abierto Volumen de control
Tabla 1.3 Nombre de las fronteras según el tipo de sistema
Tipo de sistema Tipo de frontera
Sistema cerrado Frontera o contorno del sistema
Sistema abierto Superficie de control
En la figura 1.1 se muestra un sistema cerrado o masa de control mientras que en la
figura 1.2 se presenta un sistema abierto o volumen de control.
Análisis termodinámico
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2. Ecuación de conservación de la masa
2.1 Para un sistema cerrado o masa de control
El sistema es una cantidad fija de masa. Por ello, la masa del sistema se conserva y
no cambia1. La conservación de la masa establece que la masa del sistema es constante.
sistemam constante kg (2.1.1)
sistema fsistema m
m dm d
kg (2.1.2)
donde f representa el volumen fluido o volumen material, es decir, el volumen que
contiene siempre las mismas partículas fluidas del sistema y es la densidad.
0sistemadm
dt (2.1.3)
0f f
sistemadm d Dd d
dt dt Dt
(2.1.4)
1 Se supone que no hay reacciones nucleares, en las que la masa se puede convertir en energía.
Figura 1.1 Sistema cerrado o masa de
control o simplemente sistema
Figura 1.2 Sistema abierto o volumen de control
Análisis termodinámico
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2.2 Para un sistema abierto o volumen de control
En general, la ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control
(VC) deformable o no se define como:
/
, , . 0VC SC
f SC
Flujo másico netoVelocidad de cambio en el tiempode la masa dentro del volumende control
dt d t d
dt
x x V n /kg s (2.2.1)
donde , t x es la densidad, d es un diferencial de volumen, /f SCV es el vector
velocidad del fluido relativo a la superficie de control, , ,1 2 3= n n nn es el vector
normal unitario exterior a la superficie de control y d es el diferencial de área.
Si el volumen de control es no deformable, la ecuación de conservación de la masa
(2.2.1) también se puede expresar como:
/
,, . 0
VC SCf SC
td t d
t
x
x V n /kg s (2.2.2)
Si la densidad del fluido es uniforme dentro del volumen de control, no es necesario
que el fluido sea uniforme en las secciones de entrada y salida, la ecuación (2.2.1) se
convierte en:
/, . 0VC SC
f SC
dt d t d
dt
x V n
SC
VC
/, . 0f SC
d t tt d
dt
x V n /kg s (2.2.3)
Las ecuaciones (2.2.1) y (2.2.3) también pueden expresarse como:
/
, . 0SC
VCf SC
Flujo másico netoVelocidad de cambio en el tiempode la masa dentro del volumende control
dm tt d
dt
x V n /kg s (2.2.4)
Si el número de secciones de entradas y salidas es finito, la (2.2.4) se convierte en:
/ /, . , . 0
e s
VCf SC f SC
e s
dm tt d t d
dt
x V n x V n . /kg s (2.2.5)
El flujo másico o caudal másico o gasto másico im que cruza el área de una
sección “i” se define como:
Análisis termodinámico
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/, .i
i f SCm t d
x V n /kg s (2.2.6)
Si el fluido entra al volumen de control, la integral de superficie en cada sección de
entrada en la (2.2.5) es negativa mientras que si el fluido sale del volumen de control, la
integral de superficie en cada sección de salida en la (2.2.5) es positiva. Sustituyendo la
(2.2.6) en la (2.2.5) se obtiene
0
VCs e
s e
dm tm m
dt /kg s (2.2.7)
En la (2.2.5), si el flujo es uniforme en cada sección donde el fluido cruza la
superficie del control, se obtiene
/ /. . 0
e s
VCf SC f SC
e s
dm td d
dt
V n V n .
/ /. . 0
VCf SC e f SC s
e s
dm tA A
dt V n V n . /kg s (2.2.8)
Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido
implica que, si la superficie es plana, el vector normal unitario n será el mismo en toda
la sección y además si la superficie es perpendicular al vector velocidad del fluido, el
vector normal unitario n será paralelo al vector velocidad del fluido.
/ / 0
VCf SC s f SC e
s e
dm tV A V A
dt .
0
VCs e
s e
dm tm m
dt /kg s (2.2.9)
donde im es el flujo másico que cruza el área de una sección “i”, el cual se define
como:
im AV /kg s (2.2.10)
Las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.9) son idénticas pero la diferencia radica como se
determina el flujo másico im ; en la primera se utiliza la (2.2.6) mientras en la segunda
la (2.2.10).
Si el flujo estacionario o permanente, las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.9) resultan:
0s e
s e
m m
e s
e s
m m /kg s (2.2.11)
Análisis termodinámico
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Estas expresiones indican que en la condición de flujo estacionario, los flujos
másicos que entran y salen del volumen de control deben compensarse idénticamente.
Si el volumen de control tiene una sola entrada 1e y salida 2s , la ecuación
(2.2.11) se expresa como:
1 2m m /kg s (2.2.12)
Si el volumen de control es deformable y el flujo es incompresible, la densidad del
fluido permanece constante en el espacio y en el tiempo ante los cambios de presión,
por lo tanto la (2.2.1) resulta:
SC
VC/ . 0f SC
d td
dt
V n
SC
VC/ . 0f SC
d td
dt
V n 3 /m s
(2.2.13)
Si el volumen de control es no deformable, la ecuación (2.2.13) se transforma en:
SC/ . 0f SC d
V n 3 /m s
(2.2.14)
Si el número de secciones de entradas y salidas es finito, la (2.2.14) se convierte en:
/ /. . 0e s
f SC f SC
e s
d d
V n V n 3 /m s
(2.2.15)
El flujo volumétrico o caudal iQ que cruza el área de una sección “i” se define
como:
/ .i
i f SCQ d
V n 3 /m s
(2.2.16)
Si el fluido entra al volumen de control, la integral de superficie en cada sección de
entrada en la (2.2.15) es negativa mientras que si el fluido sale del volumen de control,
la integral de superficie en cada sección de salida en la (2.2.15) es positiva.
Sustituyendo la (2.2.16) en la (2.2.15) se obtiene:
0s e
s e
Q Q 3 /m s
(2.2.17)
En la (2.2.15), si el flujo es uniforme en cada sección donde el fluido cruza la
superficie del control, se obtiene:
/ /. . 0e s
f SC f SC
e s
d d
V n V n .
/ /. . 0f SC e f SC s
e s
A A V n V n . (2.2.18)
Análisis termodinámico
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Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido, la
(2.2.18) se convierte en:
/ / 0f SC s f SC e
s e
V A V A .
0s e
s e
Q Q 3 /m s
(2.2.19)
donde iQ es el flujo volumétrico o caudal que cruza el área de una sección “i” que se
define como:
iQ AV 3 /m s
(2.2.20)
Las ecuaciones (2.2.17) y (2.2.19) son idénticas pero la diferencia radica como se
determina el flujo volumétrico o caudal iQ ; en la primera se utiliza la (2.2.16)
mientras en la segunda la (2.2.20).
Es interesante observar que en la deducción de las ecuaciones (2.2.17) y (2.2.19) no
se ha utilizado la hipótesis de flujo estacionario o permanente, porque se ha considerado
que el volumen de control es no deformable.
Velocidad media o velocidad media volumétrica en un área de sección “i” ,m iV
,
1
im i
i i
QV d
A A V n /m s (2.2.21)
3. Ecuación de conservación de la energía o Primera Ley de la Termodinámica
Principio de conservación de la energía
La energía no se crea ni se destruye durante un proceso; sólo se puede transformar de
una forma a otra.
La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía
Es un enunciado matemático del principio de conservación de la energía, es decir, la
primera ley de la termodinámica establece que la energía es una propiedad que se
conserva durante un proceso y no se sabe de ningún proceso que viole esta ley. Por
tanto es razonable concluir que para que ocurra un proceso se debe satisfacer la primera
ley.
Los mecanismos de transferencia de energía son: calor, trabajo y flujo másico. En el
caso de un sistema cerrado la transferencia de energía puede darse solo por calor y
trabajo mientras que en un sistema abierto pueden darse los tres mecanismos. La
transferencia de energía por calor se reconoce cuando la fuerza motriz es una diferencia
de temperatura, por flujo másico cuando éste cruza la superficie de control. Todas las
demás transferencias de energía serán por trabajo.
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Calor
Mecanismos de transferencia de energía Trabajo
Flujo másico
Los mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección y radiación.
Conducción
Mecanismos de transferencia de calor Convección
Radiación
Los mecanismos de transferencia de energía por trabajo se dividen en: formas
mecánicas y no mecánicas del trabajo
Formas mecánicas del trabajoMecanismos de transferencia de energía por trabajo
Formas no mecánicas del trabajo
Trabajo de flecha o de eje
Trabajo de frontera Solo para sistemas cerrados
Trabajo de resorteFormas mecánicas del trabajo
Trabajo realizado sobre barras sólidas elasticas
Trabajo relacionado con el estiramiento de una película liq
Trabajo realizado para elevar o acelerar un cuerpo
Trabajo eléctrico
Formas no mecánicas del trabajo Trabajo magnético
Trabajo de polarización eléctrica
3.1 Para un sistema cerrado o masa de control
La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía para
un sistema cerrado o masa de control se define como:
, ,
/
entrada salida sistema final sistema inicial sistema
Transferencia neta de energía Cambio en la energíapor calor y o trabajo total del sistema cerrado
durante un proceso
E E E E E J (3.1.1)
La ecuación (3.1.1) se emplea tanto en procesos irreversibles o reales así como
también en procesos reversibles e internamente o externamente reversibles.
La energía puede cruzar la frontera de un sistema cerrado en forma de calor y
trabajo. En la figura 3.1.1 se muestra el esquema de un sistema cerrado con los
mecanismos de transferencia de energía.
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Comentarios sobre el calor y el trabajo
Tanto el calor como el trabajo son formas que adopta la energía para cruzar la
frontera de un sistema, es decir son energías en tránsito o fenómenos de frontera
(Ver figura 3.1.2).
Los sistemas poseen energía, pero no calor ni trabajo.
Tanto el calor como el trabajo se relacionan con un proceso y no con un estado
termodinámico. A diferencia de las propiedades, ni el calor ni el trabajo tienen
significado en un estado termodinámico.
Tanto el calor como el trabajo son funciones de la trayectoria, es decir sus
magnitudes dependen de la particular trayectoria seguida durante el proceso, así
como del estado termodinámico inicial y final.
Figura 3.1.1 La energía puede cruzar la frontera de un
sistema cerrado en la forma de calor y trabajo
Figura 3.1.2 La energía se reconoce como
transferencia de calor sólo cuando cruza la
frontera del sistema
Análisis termodinámico
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Las funciones de la trayectoria tienen diferenciales inexactas que se denotan por
el símbolo . Por lo tanto, una cantidad diferencial de calor o trabajo se representa
mediante Q o W , respectivamente, en lugar de dQ o dW . Sin embargo, las
propiedades termodinámicas son funciones de estado, es decir, sólo dependen del
estado y no de cómo un sistema llega a ese estado, y tienen diferenciales exactas
designadas por el símbolo d . Por ejemplo, un cambio infinitesimal en la energía interna
por unidad de masa se representa por du .
Tanto el calor como el trabajo son cantidades direccionales y la descripción
completa de sus interacciones requiere la especificación de la magnitud y la dirección.
Una forma de hacer esto es adoptar un convenio de signo: generalmente se acepta para
las interacciones de calor y trabajo un convenio de signo formal (Convención de signos
de la termodinámica) que establece que: la transferencia de calor hacia un sistema y
el trabajo hecho por un sistema son positivos; la transferencia de calor desde un
sistema y el trabajo hecho sobre un sistema son negativos. Otra forma es utilizar los
subíndices entrada y salida para indicar la dirección (Ver figura 3.1.3). Cuando se
desconoce la dirección de una interacción de calor o trabajo, simplemente se supone
una dirección (con el subíndice entrada o salida) para determinar la interacción. Un
resultado positivo indica que la dirección supuesta es correcta, mientras que un
resultado negativo indica que la relación de la interacción es opuesta a la dirección
preestablecida: es como suponer una dirección para una fuerza desconocida al resolver
un problema de estática, e invertir la dirección cuando se obtiene un resultado negativo
para dicha fuerza. En este curso se utilizará, generalmente, la última notación porque se
eliminan las necesidades de adoptar un convenio de signos y de asignar cuidadosamente
valores negativos a algunas interacciones.
Desarrollando la ecuación (3.1.1) se obtiene:
entrada entrada salida salida sistemaQ W Q W E J (3.1.2)
Es interesante observar que todos los signos en las magnitudes del calor y trabajo son
positivos, el signo menos pertenece a la definición de la ecuación (3.1.1). Reordenando
los términos de la (3.1.2) se denota como:
Figura 3.1.3 Especificaciones de las direcciones
del calor y trabajo
Análisis termodinámico
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entrada salida entrada salida sistemaQ Q W W E
sistemaQ W E J (3.1.3)
donde Q es el calor neto que cruza la frontera del sistema y W es el trabajo neto
intercambiado en la frontera del sistema.
Convención de signos según la termodinámica
Si se adopta la convención de signos de la termodinámica, la ecuación (3.1.1) se
convierte en:
entrada entrada salida salida sistemaQ W Q W E
entrada salida entrada salida sistemaQ Q W W E
entrada salida salida entrada sistemaQ Q W W E
sistemaQ W E J (3.1.4)
Las ecuaciones (3.1.3) y (3.1.4) son equivalentes.
Magnitudes Criterio de utilización
de subíndices para
indicar la dirección
Termodinámica
entradaQ
salidaQ
entradaW
salidaW
Energía total de un sistema E
Energía total de un sistema por unidad de masa e se define como:
Ee
m
J
kg
(3.1.5)
La energía total de un sistema está constituida por las formas de energías
microscópicas y macroscópicas.
Formas de energías microscópicas FEMIEnergía total de un sistema E
Formas de energías macroscópicas FEMA
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Energía sensible
Energía latenteFEMI
Energía química
Energía nuclearEnergía total de un sistema E
Energía cinética
Energía potencialFEMA
Energía eléctrica
Energía magnética
Formas de energías macroscópicas (FEMA)
Son las formas de energía que posee un sistema como un todo en relación con cierto
marco de referencia exterior, como las energías cinética y potencial. Se relacionan con
el movimiento y la influencia de algunos factores externos como la gravedad, el
magnetismo y la electricidad.
Energía cinética
La energía que posee un sistema como resultado de su movimiento en relación a
cierto marco de referencia. Cuando todas las partes de un sistema se mueven con la
misma velocidad, la energía cinética se expresa como:
2,
1
2c sistemaE mV J
2
,
1
2 1000c sistemaE mV kJ (3.1.6)
donde V es la velocidad del sistema con respecto a algún marco de referencia fijo o
inercial. Mientras la energía cinética por unidad de masa se escribe como:
2,
1
2c sistemae V /J kg
2
,
1
2 1000c sistemae V /kJ kg (3.1.7)
Energía potencial
La energía que posee un sistema como resultado de su elevación en un campo
gravitacional y se expresa como:
,p sistemaE mgz J ,
1
1000p sistemaE mgz kJ (3.1.8)
donde g es la aceleración de la gravedad y z es la elevación del centro de gravedad de
un sistema con respecto a algún nivel de referencia elegido arbitrariamente, mientras la
energía potencial por unidad de masa se escribe como:
,p sistemae gz /J kg ,
1
1000p sistemae gz /kJ kg (3.1.9)
Análisis termodinámico
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Formas de energías microscópicas (FEMI)
Son las formas de energía que se relacionan con la estructura molecular de un
sistema y el grado de actividad molecular y son independientes de los marcos de
referencia externos. Se pueden considerar como la suma de las energías cinética y
potencial de las moléculas. Las formas de energía microscópicas son:
Tipo de energía Descripción
Energía sensible Relacionada con la energía cinética de las moléculas (Ver figuras
3.1.4 y 3.1.5). Asociada a los cambios de temperatura y presión.
Energía latente Asociada a los cambios de fase (Ver figura 3.1.5).
Energía química Asociada a la destrucción y formación de nuevos enlaces
químicos entre los átomos (Ver figura 3.1.5).
Energía nuclear Asociada a la enorme cantidad de energía relacionada con los
fuertes enlaces dentro del núcleo del átomo debido a las fuerzas
nucleares que son mucho mayores que las que unen a los
electrones con el núcleo (Ver figura 3.1.5).
La energía térmica es la suma de la energía sensible y la latente, por consiguiente
Energía térmica Energía sensible Energía latente
Figura 3.1.4 Diversas formas de energías microscópicas
constituyen la energía sensible
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Energía interna de un sistema U
Es la suma de todas las formas de energías microscópicas de un sistema (Ver figura
3.1.5).
Energía interna = Energía sensible Energía latente Energía química
Energía nuclear
La termodinámica no proporciona información acerca del valor absoluto de la
energía total de un sistema, sólo trata con el cambio de ésta. De esta forma, a la energía
total de un sistema se le puede asignar un valor de cero 0E en algún estado
termodinámico de referencia conveniente. Por consiguiente, el cambio de energía total
de un sistema es independiente del estado termodinámico de referencia seleccionado.
Desarrollando el término del cambio energía total de un sistema en la (3.1.3) se obtiene
, ,sistema c sistema p sistemaQ W U E E J (3.1.10)
Según la convención de signos de la Termodinámica
, ,sistema c sistema p sistemaQ W U E E J (3.1.11)
donde:
2 1sistemaU m u u J (3.1.12)
2 2, 2 1
1
2c sistemaE m V V J (3.1.13)
, 2 1p sistemaE mg z z J (3.1.14)
Figura 3.1.5 Formas de energías microscópicas
Análisis termodinámico
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donde los números 1 y 2 representan los estados termodinámicos inicial y final,
respectivamente y 1u y 2u son la energía interna por unidad de masa del sistema en los
estados termodinámicos inicial y final, respectivamente.
Si los cambios en la energía cinética y potencial del sistema cerrado son cero o se
consideran insignificantes con respecto a otros términos de la ecuación de conservación
de la energía, entonces se obtendrá
sistemaQ W U J o kJ (3.1.15)
Según la convención de signos de la Termodinámica
sistemaQ W U J o kJ (3.1.16)
Mientras que la ecuación de conservación de la energía para un sistema cerrado por
unidad de masa se expresa como:
, ,sistema c sistema p sistemaq w u e e /J kg (3.1.17)
Según la convención de signos de la Termodinámica
, ,sistema c sistema p sistemaq w u e e /J kg (3.1.18)
donde:
2 1sistemau u u /J kg (3.1.19)
2 2, 2 1
1
2c sistemae V V /J kg (3.1.20)
, 2 1p sistemae g z z /J kg (3.1.21)
Si los cambios en la energía cinética y potencial por unidad de masa del sistema
cerrado son cero o se consideran insignificantes con respecto a otros términos de la
ecuación de conservación de la energía, entonces se obtendrá:
sistemaq w u J o kJ (3.1.22)
Según la convención de signos de la Termodinámica
sistemaq w u J o kJ (3.1.23)
La ecuación de conservación de la energía para dispositivos cíclicos, según el criterio
de utilización de subíndices para indicar la dirección, se define como:
0Q W
Q W (3.1.24)
Análisis termodinámico
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Mientras que la ecuación de conservación de la energía para dispositivos cíclicos,
según la convención de signos de la Termodinámica, se expresa como:
0Q W
Q W (3.1.25)
3.2 Para un sistema abierto o volumen de control
La primera ley de la Termodinámica o ecuación de conservación de la energía para
un sistema abierto o volumen de control se define como:
,
entrada salida sistema
Transferencia neta de energía en la Cambio en la energíaunidad de tiempo por calor trabajo total del sistema en lay masa unidad de tiempo
durante un proceso
E E E E , ,final sistema inicial sistemaE W (3.2.1)
En general, la ecuación de la conservación de la energía para un volumen de control
(VC) deformable o no, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la
dirección, se expresa como:
, , , ,VC
Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempoen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control
dQ W t e t d t e t
dt
x x x x V /
. 0SC
f SC
Transferencia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía
d
n
W (3.2.2)
donde Q es el calor neto por unidad de tiempo o potencia térmica que cruza la
superficie de control, W es el trabajo neto por unidad de tiempo intercambiado en la
superficie de control, es decir potencia, , t x es la densidad, ,e tx es la energía
total del sistema por unidad de masa, d es el diferencial de volumen, /f SCV es el
vector velocidad del fluido relativo a la superficie de control, , ,1 2 3= n n nn es el
vector normal unitario exterior a la superficie de control y d es el diferencial de área.
Según la convención de signos de la Termodinámica la (3.2.2) se define como:
, , , ,VC
Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempoen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control
dQ W t e t d t e t
dt
x x x x V /
. 0SC
f SC
Transferencia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía
d
n
W (3.2.3)
La ecuación (3.2.2) también puede expresarse como:
/
, , .SC
VCf SC
Transferencia neta de energíaVelocidad de cambio en el tiempo Transferenen la unidad de tiempo porde la energía total dentro delcalor y trabajovolumen de control
dEQ W t e t d
dt
x x V n
0
cia neta de energía en launidad de tiempo por masa oflujo neto de energía
W (3.2.4)
Análisis termodinámico
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Si el volumen de control es no deformable, la ecuación de conservación de la energía
(3.2.2) también se puede expresar como:
/
, ,, , .
VC SCf SC
t e tQ W d t e t d
t
x xx x V n W (3.2.5)
La energía total dentro del volumen de control por unidad de masa e
La energía total dentro del volumen de control por unidad de masa se define como:
interna cinética potencial otrase e e e e , (3.2.6)
donde otrase representa los efectos magnético, eléctrico y de tensión superficial, los
cuales son significativos sólo en casos especiales y en general se ignoran. En ausencia
de esta clase de efectos, la energía total dentro del volumen de control por unidad de
masa consta sólo de las energías cinética, potencial e interna, y se expresa como 2
2
Ve u gz (3.2.7)
Calor y trabajo neto por unidad de tiempo Q y W
El calor y trabajo son cantidades direccionales y la descripción completa de sus
interacciones requiere la especificación de la magnitud y dirección. El trabajo neto por
unidad de tiempo W se puede subdividir de manera conveniente en cuatro partes:
eje presión esfuerzos de otro tipoviscosos
W W W W W (3.2.8)
El trabajo de las fuerzas gravitatorias ya ha sido incluido como energía potencial en
la ecuación (3.2.7).
Trabajo de eje por unidad de tiempo ejeW
Es el trabajo intercambiado en la superficie de control por unidad de tiempo a través
de un eje giratorio.
Trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo presiónW
De todas las fuerzas de presión, sólo se toman en consideración aquellas que actúan
sobre la superficie de control; puesto que en el interior del volumen de control aparecen
fuerzas de presión iguales y opuestas cuyos trabajos se anulan. La resultante de todas las
fuerzas de presión que actúan sobre la superficie de control está dada por:
SCpresión p d
F n (3.2.9)
Análisis termodinámico
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En una sección de entrada, el fluido externo realizará trabajo sobre el fluido interno
del volumen de control (entrada de trabajo) mientras en una sección de salida, el fluido
interno realizará trabajo sobre el fluido externo (salida de trabajo).
Según la convención de signos de la Mecánica Clásica para el trabajo, en una sección
de entrada, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo será positivo,
mientras en una sección de salida, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de
tiempo será negativo.
SC SCpresión pW p d p d
F V n V V n (3.2.10)
Según la convención de signos de la Termodinámica para el trabajo, en una sección
de entrada, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de tiempo será negativo,
mientras en una sección de salida, el trabajo de las fuerzas de presión por unidad de
tiempo será positivo.
SCpresiónW p d
V n (3.2.11)
Trabajo de deformación debido a los esfuerzos viscosos por unidad de tiempo
esfuerzosviscosos
W
De todos los esfuerzos viscosos, sólo se toman en consideración aquellos que actúan
sobre la superficie de control, puesto que los esfuerzos se cancelan en el interior del
volumen de control. La resultante de todas las fuerzas viscosas que actúan sobre la
superficie de control está dada por:
SCfuerzasviscosas
d
F . (3.2.12)
donde es el vector de los esfuerzos viscosos sobre el elemento de área d de la
superficie de control. El trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo consiste en
el producto de cada esfuerzo viscoso (uno normal y dos tangenciales – Ver figura 3.2.1)
por la componente respectiva de la velocidad. Según la convención de signos de la
Mecánica Clásica para el trabajo se tiene que el trabajo de las fuerzas viscosas por
unidad de tiempo está dada por:
SC SCesfuerzos esfuerzosviscosos viscosos
W d d
F V V V (3.2.13)
Según la convención de signos de la Termodinámica para el trabajo se tiene que el
trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo se expresa como:
SCesfuerzosviscosos
W d
V (3.2.14)
Este término puede ser nulo o despreciable en ciertos tipos particulares de superficies
de control. En paredes, el trabajo de las fuerzas viscosas por unidad de tiempo es cero
porque la velocidad relativa del fluido respecto a la pared es cero. En secciones de
Análisis termodinámico
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entrada y/o salida donde la superficie de control es plana y perpendicular a la velocidad
del fluido, el aporte de los dos esfuerzos tangenciales es nulo.
Trabajo de otro tipo por unidad de tiempo de otro tipoW
Es el trabajo por unidad de tiempo debido a fuerzas de origen eléctrico, magnético,
etc. Reemplazando la (3.2.8) y la (3.2.10) en la (3.2.4) se obtiene:
. .SC SC
VCeje esfuerzos de otro tipo
viscosos
dEQ W p d W W e d
dt
V n V n (3.2.15)
Agrupando y reordenando términos, la (3.2.15) se convierte en:
. .SC SC
VCdEQ W e d p d
dt
V n V n (3.2.16)
Es interesante observar que el símbolo W representa la suma de todos los trabajos
por unidad de tiempo excepto el de las fuerzas de presión.
Reagrupando las integrales de superficie en el segundo miembro de la (3.2.14) se
obtiene:
/ .SC
VCdEQ W e p d
dt
V n (3.2.17)
.SC
VCdEQ W e pv d
dt
V n (3.2.18)
Si el número de secciones de entradas y salidas es finito, la (3.2.18) se convierte en:
. .e s
VC
e s
dEQ W e pv d e pv d
dt
V n V n (3.2.19)
Figura 3.2.1 Esfuerzos viscosos
Análisis termodinámico
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En la (3.2.17), si el flujo es uniforme en cada sección donde el fluido cruza la
superficie del control, se obtiene:
. .e s
VC
e s
dEQ W e pv d e pv d
dt
V n V n
. .VC
e se s
dEQ W e pv A e pv A
dt V n V n (3.2.20)
Si el área de cada sección es plana y perpendicular al vector velocidad del fluido
implica que, si la superficie es plana, el vector normal unitario n será el mismo en toda
la sección y además si la superficie es perpendicular al vector velocidad del fluido, el
vector normal unitario n será paralelo al vector velocidad del fluido.
VC
s es e
dEQ W e pv VA e pv VA
dt (3.2.21)
Sustituyendo la ecuación (3.2.7) en la ecuación (3.2.21) se obtiene:
2 2
2 2
VC
s es e
dE V VQ W u gz pv VA u gz pv VA
dt
(3.2.22)
Introduciendo la definición de entalpía y la (2.2.10) en la (3.2.22) se obtiene: 2 2
2 2
VCs e
s es e
dE V VQ W m h gz m h gz
dt
W (3.2.25)
Si el flujo es estacionario o permanente la (3.2.25) se expresa como: 2 2
2 2s e
s es e
V VQ W m h gz m h gz
W (3.2.26)
2 2
2 2entrada salida entrada salida s e
s es e
V VQ Q W W m h gz m h gz
W (3.2.27)
Es interesante notar que la (3.2.26) es la ecuación de conservación de la energía de
flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control, según el criterio de
utilización de subíndices para indicar la dirección mientras que según la convención de
signos de la Termodinámica se obtiene: 2 2
2 2s e
s es e
V VQ W m h gz m h gz
Si se tiene una sola entrada y una sola salida, la ecuación (3.2.26) se convierte en:
2 2
2 2s e
s e
V VQ W m h gz m h gz
W (3.2.28)
Análisis termodinámico
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Si el volumen de control tiene una sola entrada 1e y salida 2s y la ecuación
(3.2.28) se divide entre el flujo másico, reordenando los términos se obtiene:
2 2
2 1
2 12 2
m mQ W V Vh gz h gz
m m m m
2 2
2 12 1 2 1
2
V Vq w h h g z z
/J kg (3.2.29)
2 2
2 12 1 2 1
2entrada salida entrada salida
V Vq q w w h h g z z
/J kg (3.2.30)
Es interesante observar que la (3.2.29) es la ecuación de conservación de la energía
de flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control con una sola entrada
y salida, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la dirección mientras
que según la convención de signos de la Termodinámica se obtiene:
2 2
2 12 1 2 1
2
V Vq w h h g z z
/J kg (3.2.31)
Segunda forma de la ecuación de la conservación de la energía para un sistema abierto o
volumen de control de flujo estacionario con una sola entrada y salida
El diferencial de entropía por unidad de masa se define como:
int rev
qds
T
J
kg K
(3.2.32)
Es importante notar que la (3.2.32) se cumple para un proceso reversible o
internamente reversible. Para un proceso internamente irreversible se tiene:
rTds q w /J kg (3.2.33)
donde rw es el valor absoluto del diferencial de trabajo de rozamiento que se produce
dentro de la superficie de control del sistema abierto por cada unidad de masa que entra
o sale. Físicamente, representa a las pérdidas o irreversibilidades internas que se
producen dentro de la superficie de control del sistema abierto por cada unidad de masa
que entra o sale durante un proceso. Integrando la ecuación (3.2.33) se obtiene:
2
1
s
rs
q Tds w /J kg (3.2.34)
La ecuación de Gibbs o Tds establece que:
Tds dh vdp (3.2.35)
Integrando la ecuación (3.2.35) se obtiene:
2 2
1 12 1
s p
s ph h Tds vdp /J kg (3.2.36)
Análisis termodinámico
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Reemplazando las ecuaciones (3.2.34) y (3.2.36) en la (3.2.29) se tiene:
2 2 2
1 1 1
2 22 1
2 12
s s p
rs s p
V VTds w w Tds vdp g z z
2 2
22 1
2 11 2r
V Vw vdp g z z w
/J kg (3.2.37)
2 2
22 1
2 11 2entrada salida r
V Vw w vdp g z z w
/J kg (3.2.38)
Es interesante observar que la (3.2.37) es la ecuación de conservación de la energía
de flujo estacionario para un sistema abierto o volumen de control con una sola entrada
y salida, según el criterio de utilización de subíndices para indicar la dirección mientras
que según la convención de signos de la Termodinámica se obtiene:
Reemplazando las ecuaciones (3.2.34) y (3.2.36) en la (3.2.31) se tiene:
2 2 2
1 1 1
2 22 1
2 12
s s p
rs s p
V VTds w w Tds vdp g z z
2
1
2 22 1
2 12
p
rp
V Vw vdp g z z w
2
1
2 21 2
1 22
p
rp
V Vw vdp g z z w
/J kg (3.2.39)
La nomenclatura utilizada en las ecuaciones (3.2.29), (3.2.30), (3.2.31), (3.2.37),
(3.2.38) y (3.2.39) representa:
Símbolo Descripción
1h Entalpía por unidad de masa o específica correspondientes a la sección de
entrada
2h Entalpía por unidad de masa o específica correspondientes a la sección de
salida
1 V Módulo de la velocidad media en la sección de entrada
2V Módulo de la velocidad media en la sección de salida
1z Altura del baricentro de la sección de entrada respecto a un plano de
referencia horizontal
2z Altura del baricentro de la sección de salida respecto a un plano de referencia
horizontal
v Volumen específico en cada sección transversal en el recorrido que va desde
la sección de entrada a la de salida p Presión en cada sección transversal en el recorrido que va desde la sección de
entrada a la de salida. q Calor que cruza la superficie de control del sistema abierto por cada unidad
de masa que entra o sale
w Trabajo intercambiado en la superficie de control del sistema abierto por
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cada unidad de masa que entra o sale. El trabajo w se define como trabajo
técnico tw cuando es intercambiado a través de un eje giratorio
rw Valor absoluto del trabajo de rozamiento y representa las pérdidas o
irreversibilidades internas que se producen dentro de la superficie de control
del sistema abierto por cada unidad de masa que entra o sale durante un
proceso. g Aceleración de la gravedad
En la figura 3.2.2 se muestra el esquema de un volumen de control o sistema abierto,
con una sección de entrada y una de salida. En la figura 3.2.3 se muestra el diagrama
p v de un proceso donde la línea que une los estados termodinámicos 1 y 2 representa
la sucesión de estados termodinámicos por los que pasa el fluido siguiendo un proceso
cuasiestático durante su recorrido entre la sección de entrada y de salida del volumen de
control, mientras el área sombreada representa el valor absoluto de la integral 2
1vdp .
Figura 3.2.2 Representación esquemática de un
volumen de control o sistema abierto, con una sección
de entrada y una de salida.
Figura 3.2.3 Línea que representa la sucesión de estados
termodinámicos por los que pasa el fluido siguiendo un
proceso cuasiestático durante su recorrido entre la
sección de entrada y de salida del volumen de control
de la figura 3.2.2.
Análisis termodinámico
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Por lo tanto, en el diagrama p v , el área bajo la curva de la trayectoria del proceso
con respecto el eje de la presión, representa el valor absoluto de la integral 2
1vdp
siempre y cuando el proceso sea reversible o internamente reversible.
Las ecuaciones (3.2.29) y (3.2.37) o (3.2.31) y (3.2.39), son válidas tanto para el caso
ideal como para el caso real. Ambas ecuaciones son algo equivalentes. Las ecuaciones
(3.2.37) o (3.2.39) tienen una limitación respecto a las ecuación (3.2.29) o (3.2.31), es
decir, para aplicar las ecuaciones (3.2.37) o (3.2.39) es necesario que en cada sección
transversal entre la entrada y la salida del sistema abierto el fluido sea uniforme,
mientras que para aplicar las ecuaciones (3.2.29) o (3.2.31) es necesario que el fluido
sea solamente uniforme en la sección de entrada y de salida. En las ecuaciones (3.2.29)
o (3.2.31) no aparece el trabajo de rozamiento en forma explícita, cuyo efecto se
manifestará en la entalpía de salida 2h . En las ecuaciones (3.2.37) o (3.2.39) no
aparece el calor que cruza la superficie de control del sistema abierto en forma explícita,
cuyo efecto se manifestará en los valores del volumen específico.