Universidad Tecnica Federico Santa Marıa MAT-270

Ayudantıa Lunes 20, Miercoles 22 y Jueves 23 de Abril

Sistemas algebraicos no lineales. Metodos de punto fijo de orden superior.Sistemas de Ecuaciones

Lineales de gran tamano.

Problema 1

Por el teorema de Stokes el flujo del campo ∇×−→G a traves de una superficie de contorno C en direccion de

su normal F =¸C

−→G · dr, en que la orientacion de C es inducida por la normal a la superficie.

Para−→G =

(−2y2 + x2

)i + x

√x2 + y2 j + zk y C la elipse r (θ) = (a cos(θ), b sin(θ)) , 0 6 θ 6 2π por

necesidades de diseno se quiere calcular aproximadamente a, b de modo que F = 2 y el area de la elipse sea

igual a 2.

Sugerencias y datos:

f(a, b) =−→G · dr = −a sin(θ)

(a2 cos2(θ)− 2b2 sin2(θ)

)+ ab cos2(θ)

√a2 cos2(θ) + b2 sin2(θ).

F =´ 2π0

f(a, b)dθ.

Area Elipse = πab.

Para a = 1,4; b = 0,5 se sabe que: F = 2,69 ;´ 2π0

∂f∂adθ = 3,74 ;

´ 2π0

∂f∂b dθ = 5,66.

Problema 2

Dado el siguiente sistema lineal A ·X = b donde:

A =

2 4 4

6 −3 2

−6 12 −6

; b =

−2

4

0

(1)

Para reducir errores de redondeo en la resolucion del sistema lineal es conveniente intercambiar las filas y/o

las columnas de la matriz A, para ello es posible aplicar una modificacion del metodo de Gauss, en el que la

factorizacion es aplicada a la matriz P · A · Q, donde las matrices P y Q son las matrices que permiten la

permutacion de filas y columnas respectivas. De este metodo se obtienen las siguientes matrices:

P =

0 0 1

1 0 0

0 1 0

; Q =

0 0 1

1 0 0

0 1 0

(2)

Obtener la factorizacion LU de la matriz P · A · Q y aplique esta factorizacion a la resolucion del sistema

lineal dado.

Problema 3

Considere el sistema lineal de ecuaciones dependiente de un parametro α > 0:

x+ 3y + αz = 23

4x+ 8y − z = 64

−2x+ 3y + 5z = 17

(3)

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i) Utilizando factorizacion LU por pivote parcial obtenga los sistemas triangulares que permitan obtener la

solucion.

ii) Utilizando i) obtenga la solucion.

Problema 4

Dado el siguiente sistema lineal; A ·X = b donde: A = B2, en que:

B =

1 3 5

2 −3 4

−4 6 2

; b =

10

20

−10

(4)

i) Utilice el metodo LU por pivote total para factorizar la matriz B.

ii) Construya un algoritmo que permita utilizar la solucion del sistema lineal utilizando la factorizacion

obtenida en i). No resuelva.

Sugerencia: Se recuerda que solo puede usar las inversas de una matriz de permutacion P porque P−1 = PT ,

esto es, la inversa de una matriz de permutacion es igual a su transpuesta.

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