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7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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pítulo
5
Probabilidad
y la tabla de
mortalidad
C A D A
P E R S O N A T I E N E
A L G U N A I D E A de lo que se q u i e r e dec i r co n o p o r t u n i d a d o p r o b a -
bi l idad esto
e s lo que
s igni f ica decir
que M
t iene
una
opor tun idad
en
tres
de
g a n a r
un
juego
o
q ue
la p rob ab i l i dad d e g a n a r e l j u e g o e s 1 /3 . A l e s t i m a r la p r o b a b i l i d a d que c ie r tos eventos
o c u r r a n o no
o c u r r a n
p o d e m o s c o m o en e l caso d e s aca r una f igura de una b a r a j a c o n t a r e l
n ú m e r o
d e
d i fe ren tes
m a n e r a s en qu e e l e v e n t o p u ed e o no
o c u r r i r .
P o r o t r a pa r te en el caso d e
e s t i ma r l a p r o b a b i l i d a d que una p e r s o n a q ue a h o r a t i e n e 2 5 años v iva pa ra r ec ib i r u n a h e r e n c i a
a la
edad
de 30
años e s tamos ob l igados
a
depende r
de
a l g u n a i n f o r m a c i ó n d i s p o n i b le s o br e
lo que
ha
pasado
en
ocas iones
s i mi la res .
En e l
p r imer caso
e l
r e s u l t a d o
se
conoce como probabilidad
matemática o teórica; en e l s egun do caso e l r e su l tado se conoce como probabilidad estadística o
empírica.
P R O B A B I L I D A D M A T E M Á T I C A Si un e v e n t o t i e n e qu e r e s u l t a r e n a l g u n a d e n
d i f e r e n t e s
pe ro
igualmente posibles m a n e r a s
y s i
c ie r tas
de
e sas maneras
son
c o n s i d e r a d a s a c i e r t o s m i e n t r a s
que las o t r a s / = n — s m a n e r a s son cons ide radas fallas entonces la p r o b a b i l i d a d de ac i e r to
en un
e x p e r i m e n t o d a d o e s tá d e f in id a c o m o p =
s/n
y
la
p r o b a b i l i d a d
de
fal lar está d e f in id a
c o m o q
=f/n.
f
~ ~
f
¥ L
D a d o que p q = 1— = = = 1 t e n e m o s que p — \ a y a = \ p.
n n n n
Ejemplo
1
S e
saca
una
c a r t a
de una
b a r a j a o r d i n a r i a
de 52
cartas . ¿ C u á l
es la
p r o b a b i l i d a d a)
que sea
roja? b)
que sea
una espada? c) que sea un rey? d) que no sea un as de espadas? e) que no sea ni una
jota
ni una re ina?
U na ca r ta pue de s e r s acada de una b a ra ja en n = 5 2 ma n e r a s .
a
U n a
carta roja puede
se r
sacada
d e u n a
ba ra ja
e n
s =
2 6 d i f e r e n t e s
ma n e r a s .
L a p robab i l i dad d e
sacar
u n a
ca r ta
ro ja es s/n = 26/52 = 1 / 2 .
b) Un a espada puede s e r s acada de una ba ra ja en
= 1 3
d i f e r en t es
m aner as . La p ro babi l id ad de saca r una e spada
es
s/n =
1 3 / 5 2
=
1 /4.
c
U n r e y
puede
se r
sacado
de una
ba ra ja
en 4
d i f e r en t es m a n e r a s .
L a
p r o b a b i l i d a d
de
sacar
un rey e s
4 / 5 2
= 1/13.
d)
El as de
espadas puede
se r
s acado ún icamente
de I
m a n e r a :
La
p r o b a b i l i d a d
de
sacar
un as de
espadas
es
1 /52 .
La
probabil idad de no sacar un as de espadas es 1 —
1 /52
= 51 /52 . En
este
caso hemos contado pr im ero e l núm ero de
fal las; p o d r í a mo s t a mb i é n h a b er c o n t a d o e l n ú m e r o de ac iertos .
e Un a jo ta o una r e i na pueden s e r s acadas en 8 man eras ; l a p robabi l id ad de s aca r una jota o una re in a e s 8 /52 = 2 / 1 3 .
L a p r o b a b i l id a d de no sacar una jo ta o una re ina es 1 — 2 / 1 3 =
1 1 / 1 3 .
Véanse los problemas 1-3.
P R O B A B I L I D A D
ESTADÍSTICA
Si se ha observado que un c ier to resul tado sucede
s
veces en
n
pruebas l a r azón s/n e s
def in ida
como l a p robab i l i dad e s tad í s ti ca o emp í r i ca de que e l m i sm o
resultado ocurra
en
cualquier prueba
f u t u ra . L a
conf i anza
qu e
pueda
se r
puesta
en
dichas pruebas
depende
en
g ran pa r te
del
n ú m e r o
de
o b s e rv a c io n e s ; m i e n t r a s m a y o r
sea el
n ú m e r o m a y o r
e s
la
conf iab i l idad.
Por e jem plo los regis t ros sobre los pasados 25 años m ue stra n que en c ier ta
139
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14 0 P R O B A B I L I D A D Y L A T A B L A D E M O R T A L I D A D C A P . 15 ]
localidad
el
tiemp o despejado prevalece
en
promedio durante
292
días cada año.
C on
base
en
esta in formac ión
la
probab i l i dad
que
haya precip i tación
en un
d e t er m i n ad o
día es
365
292
1
365 5
E S P E R A N Z A
M A T E M Á T I C A Si p es la probabil idad que M reciba una cierta cantidad S , enton-
ces/75, se
conoce como
su esperanza
matemática.
Ejemplo
2.
M g anará 5 s i saca una bola roja al primer inte nto , de una ur na que contiene 3 bolas negras y 2 rojas . ¿Cuál es
su espe ranza matemá t ica?
L a probabil idad
de
sacar
una
bola roja
de la
u r n a ,
al
p r i m e r in t e n t o ,
es
p = 2/5 :
p or
tan to ,
la
esperanza mate-
mát ica de M es £ (5) = 2. Es to t ambién podría ser la cuo ta que M podría pagar por el privilegio de hacer un in ten to
ya que si hiciera un mayor número d e intentos debería esperar salir a la par.
S i p S es la esperanza que M reciba dentro de n años una cant idad S , el valor presente de su esperanza matem ática,
suponiendo una tasa d e interés
/,
e s
Ejemplo
3
C on base en los regis tros del colegio ABC de los pasados 20 años, la probabilidad que un estudiante
aceptado
se
gradúe 4 años más tarde es 0,65. A M le prom etieron 10.000 s i se grad úa den tro de 4 años. Suponiendo intereses al
2 ^ % , h a l l a r
el
valo r p re sen te
de su
espe ranza matemát ica .
La
espe ranza matemát ica de M es pS = 0,65(10.000) =
6500.
El valo r ac tua l , al 2-J%, de su esperanza mate -
mática es
6500(l,025)-
4
=
6500(0,905951)
= 5888,68
Véase el problema 4.
T A B L A S D E
M O R T A L I D A D
U na
tabla
de
mor t a l i dad
es
s implemente
un
r e s u m e n
de los
registros
de
vida
de un
grupo rep resen t a t i vo
de
indiv iduos su f i c i en t em ente g rande .
L a
tabla
m ás
conocida
es la
tab l a
de
m or t a l i dad , Exper i enc ia Am er i cana pub l icada
por
p r i m e r a
vez en
1868. G ener al-
mente ha sido remplazada por la tabla C S O o sea, la Tabla de M ortalidad Estándar O rdinar ia
de lo s Comisionados de 1941, basada en datos compilados por las com pañías de seguros durante
el
período 1930-40. Nosotros b asarem os nue stros cálcu los
en
esta tabla .
Sin
embargo, debe
ser
entendido,
q u e
m i e n t r a s
que las
compañ ías
de
seguros
ut i l izan
genera lmente
l a
tabla
C SO
para
el
seguro
de
vida, o t ra tabla
(no
inc lu ida
aqu í )
es
usada para anua l idades .
L a
tabla CSO,
q ue
consiste
d e la s
t re s p r imeras co lumnas
de la
tabla
XV, es en
esencia
la
historia
de la
vida
de un
grupo or ig inal
de
/0 = 1.023.102 individuos,
de los
cuales
¡
t = 1.000.000 estaban vivos
a la
edad de 1 año. Aquí , la edad de un indiv iduo la designaremos con
x ,
m i e n t r a s que el n ú m e r o
que del
grupo or iginal alcanza
la
edad
x lo
des ignaremos
con
l
x
(sobrevivientes
a la
edad
x). L a
tabla
supone que ni nguna persona
a lcanzará
100 años de edad. Esto s im plem ente indica que en
nues tra
época
el porcentaje de individuos que alcanzan o
viven
m ás a llá de los 100 años es tan
pequeño
que no
tiene
un
efecto apreciable
sobre la s
pr imas
de
seguros.
L a
tercera columna
encabezada
por x (muertes a la edad x), nos da el n ú m e r o de muer tes en el año comprendido
entre la s edades x y x + 1 Por tan to
x = lz — lx+i
Las demás columnas de la tabla X V se explicarán en los siguientes capítulos.
Ejemplo 4
D el grupo original
a)
/
M = 951.483
están
vivos a los 20 años d e
edad.
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C A P .
15 ]
P R O B A B I L I D A D
Y LA
T A B L A
D E
M O R T A L I D A D
. 141
(b ) d
ls =
2705 mu e r e n e n t r e
los 25 y 26
años, esto
es ,
m u e r e n d u r a n t e
el año en que
tienen
25
añas
de
edad .
c l
la
l
M
=
95 1 .4 83
—
924.609
=
26.874 mue r e n e n t r e
los 20 y 30
años, esto
es,
alcanzan
los 20
años
de edad,
pero no a lcanzan los 30.
D e aquí
en
adelante designaremos por:
p
x
,
la prob abi l idad que una p ersona de edad
x
viva por lo menos un
año,
esto es, qu e al-
cance la edad x 1
n
px,
la
pro ba b i l i da d
que una
persona
de
edad
x viva por lo
me no s n años, esto
es, que al-
cance
la
edad x n.
q
x
, la
probabi l idad
que una
persona
de
edad x ,
no viva un año
completo, esto
es, que no
alcance la edad
x
+ 1.
n
q
x
,
la
probabilidad
que una persona de edad
x
no
viva
p or
n
años,
esto es, que no
alcance
la edad
x n.
E j e m p l o 5.
Hallar la probabil idad que una persona de 20 años de edad viva por lo menos un año.
De la ta b l a C SO /,„ = 951.483 y 1 2Í = 949.171.
Re donde a ndo a 5 decimales, tenemos, pítt = — — • = o
99757
lio 951.483
Ejemplo
6.
Hal la r
la probabil idad que una persona de 20 años de edad
viva
por lo menos 30 años.
Se requiere hal lar la probabil idad que una persona de 20 años alcance los 50 años, como ln
=
951.483 y
l n >
= 810.900,
redondeando
a 5
decimales
tenemos qu e
íso
810.900
»
fc 95Ü83
° 86225
Ejemplo
7
Hal la r
la probabil idad que una persona de 25 años muera antes de a lcanzar los 65 años.
Se requ iere hal la r la probabil idad que una persona de 25 años no sob reviva los próximo s 65 — 25 = 40 años.
El n úm ero de personas que m ueren entre los 25 y 65 años es la — Its , por lo cual
la
I»
939.197
-
577.882
409 fe-=
939.197
= °38471
Véase
el
pro ble ma
5.
U N
DO T AL P URO
es una promesa de pagar a una persona una cierta cantidad en una fecha f u t u r a
especificada,
en el
entendido
que esté
vivo para recibirla. Suponiendo
una
tasa
de
interés /,
en-
contraremos
el
valor presente n
E
x
, de un dotal
puro
de 1
pagadero
a una
persona
que
teniendo
ahora un a edad x , alcance la edad x n. L a probabilidad que una persona de edad x c umpla la
edad x n
es .
_ fa n
nPx —
—
— :
lx
Por tanto
su
esperanza matem ática
es
+n m
y el
valor
presente de
dicha esperanza ma temá-
tica es
k
n x
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1 4 2 P R O B A B I L I D A D Y L A
T A B L A
D E
M O R T A L I D A D [C A P.
1 5
Ejemplo
8.
H a l l a r e l valor presente de un do ta l p u r o d e 1000 pa ra M , qu e t ien e ah o ra 25 a ñ o s , p a g a d e r o c u a n d o a l c a n c e l a
edad de 65 añ o s , suponiendo intereses de 3%.
En este caso x = 2 5, n = 6 5 — 2 5 = 4 0 , = 0,03; d e ( / ) ten emo s ,
1000 «£«
1000(1,03) -
1000(0,306557) | = 188,62
(25 « O 7. 1*7
I
Véase
e l
p r o b l e m a
6 .
Nota I
D a r e m o s
u n a
seg u n d a d emo s t rac i ón
de ( / )
siguiendo
u n
a r g u m e n t o
q u e será u t i l i -
zado re pe t i dame nt e e n los pró xi mos cap í t u l os . S upó ngas e q u e
l
x personas , todas d e e dad x ,
a c u e r d a n
el d ía de hoy
c o n t r i b u i r
p or
p a r t e s i g u a l e s
e n un
f o n d o
q u e
de s pués
d e n
años ,
a la
taza /,
t e n d r á
lo
s uf ic i e n t e pa ra pag a r
1 a
c a d a
una de l a s
pe rs onas
q u e
a l cance n
la
edad
x + n .
P ue s t o
q u e s o b r e v i v i r án ZI + n pe rs onas ,
la
can t idad necesar ia después
d e n
años será lx n.
E l va l o r ac t ua l d e d i cha can t i dad es
(1
+
*)- **+.
E n cons e cue nc i a ,
c a d a
m i e m b r o
d e l
g r u p o d e b e c o n t r i b u i r
c o n
Nota 2. En la ob tención d e (/
),
no se hizo mención d e ni ngún gasto conectado con la opera-
ción.
P or
esta r a z ó n ,
nEx se
conoce como costo neto
o prima neta d e u n
d o t a l p u r o .
La prima
bruta, esto
es, la
p r i m a
que la
compañí a cobra r í a
por e l
d o t a l ,
se
obt ie ne ag re gá ndo l e
a la
p r i m a
neta un
factor
de
recargo
pa ra cubr i r u t i l i dade s , comi s i one s d e agentes y ot ra s con t i nge nc ias . L os
mét odos pa ra ca l cu l a r
e l
factor
d e
r e c a r g o v a r í a n
d e
c o m p a ñ í a
en
compañí a ; nos o t ros
n os
o c u p a r e -
m o s ú n i c a m e n t e d e pr i mas ne t a s .
Problemas resueltos
1 . D e u n a u r n a q u e cont i e ne 8 bolas negras , 6 bolas b lancas y 4 bol as ro j a s , es s a c a d a u na bola a l
azar . ¿Cuá l
es la
probab i l i dad
que la
bola s a c a d a ,
a) sea
ne gra?
b) no sea
roja?
U na b o la pu ed e s e r s acad a d e la u r n a d e 18 ma n era s , d e las cu a les 8 s o n n egras y 8 + 6 = 14 no son roja s .
(a ) La p r o b a b i l i d a d de sacar u n a b o la n eg ra e s 8 / 1 8 = 4/9 .
b)
L a p ro b a b i l id a d de sacar una bola no roja es
1 4 /1 8
= 7/9 .
2 . D e u n a
b a r a j a o r d i n a r i a
M saca u n a
ca r t a , d i gamos
la j o t a d e
d i a m a n t e s .
S in
r e m p l a z a r est
c a r t a ,
saca o t r a . ¿C uá l
es la
p r o b a b i l id a d
q u e l a
s e gunda c a r t a sea:
a) la
j o t a
d e
corazones?
b)
ot ra jota? (c) una
c a r t a
d e m e n o r v a l o r q u e l a jota?
Q u e d a n
ahora 51 car tas en la baraja de las cuales 3 son jo tas .
a) La p ro b a b i l id a d d e sacar la jo ta d e co razo nes es 1 / 5 1 .
b)
L a probabilidad d e s acar o t r a jota es 3/51 = 1/17 .
(c) H ay 36
c a r t a s
d e
m e n o r va l o r
q u e l a
jo ta .
L a
p r o b a b i l i d a d
d e
sacar
u n a d e
esas
e s
36/51
=
1 2 / 1 7 .
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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C A P . 1 5 ] P R O B A B I L I D A D Y L A T A B L A D E M O R I A L I D A Ü 1 4 3
3 .
M
g a n a s i t i ra un to ta l de 7 a l la n z a r un pa r de da do s y p ierde s i t i ra u n t o t a l d e 1 1 .
H a l l a r
la
p r o b a b i l i d a d ,
a )
q u e g a n e e n l a p r i m e r a t i r a d a ,
b )
q u e p i e r d a e n l a p r i m e r a t i r a d a .
Un par de
dados pueden presentarse
de 36
d i f e r e n t e s m a n e r a s de
la s cuales 6
m u e s t r a n
7 en
t ot a l (6,1; 1,6; 5,2;
2,5;
4,3;
3,4) y 2 mue st r a n un t o t a l de
(6,5; 5,6).
( a ) La pr o b a b i l ida d de
t i r a r
7 e s 6 / 3 6 = 1 / 6 .
b )
L a p r oba bi l i d a d d e t i r a r
es 2 / 3 6
= 1 / 1 8 .
4. En una lotería el
p r e m i o
es de $20 y se han
vendido
100 boletas.
¿ C u á l
es la
esperanza
m a t e m á -
t i c a de B, s i posee 8 boletos?
L a p r oba bi l i d a d
q ue B gane e l p r e mi o e s 8 / 1 0 0 = 0,08; su e spe r a n / a
m a t e m á t i c a
e s 0,08(20) - 1,60.
5 .
U t i l i z a n d o
la
ta b la
CSO
h a l l a r
la
p r o b a b i l i d a d
q u e M , q u e
a h o r a t i e n e
3 0
a ñ o s ,
a )
a l c a n c e
lo s
4 5 a ñ o s ,
b)
no a lca n ce los 65 a ñ o s , (c ) alcance los 45 pero no l os 65 ,
d)
m u e r a a los 75 a ñ o s .
Tenemos que
/so
= 924.609.
a C o m o /4 5 8 5 2 . 5 5 4 , ,5p3o = jjj =
¿ w
=
°'92207'
b) E l nú m e r o q u e mu e r e e n t r e los 30 y 65 a ñ o s d e edad es /
3
o — les
— 9 2 4 . 6 0 9
5 77. 8 8 2 = 346.727. E n c o n se c ue n c ia
fe -
U
346.727
no7r f t f t
55930 -
fe— 921609
°'3750°
c
De la s
924.609 personas
vivas,
d e 30
años,
/«-/es
= 85 2 . 5 5 4
5 7 7 . 8 8 2
=
2 74 . 6 72
m u e r e n
e n t r e
4 5 y 6 0
a ñ o s .
Por tanto la probabil idad requerida es
faj-fa» 274.672
°'*9» 924.609
d)
De las 924.609 person as vivas a la edad de 30 años, d7s = 28.009 m u e r e n en el año eji que t ienen 75 años. Por
ta n to
la p r o b a b i l i d a d r e q u e r i d a es
d,s
28.009
fe 92T6Ó9 = °'03029
6 . E l d í a en que M
c u m p l e
3 0
a ñ o s des t in a
$5000 de sus
a h o r r o s
a la
c o m p r a
d e u n d o t a l
p u r o
paga-
d e r o s i e m p r e
y
c u a n d o a l c a n c e
l o s 6 5
años. S u p o n i e n d o
q u e
so b rev iv e , ¿ cuá n to rec ib i rá supo n ien d o
intereses a l
3% ?
L a p r im a n e ta po r un do t al de 1 e s ¡¡Eso =
( 1 , 0 3 ) ~
3 5 -r1. [Véase la ecuac ión ( / ) . )
¿30
C on
$5000
el
está
en
po sib i l ida d
de
c o m p r a r
un
dotal
de
~
= 5000(1,03) ^- = 5000(2,813862)
I** ™
= $22.510,84
31Ü30
í«
577 O82
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144
P R O B A B I L I D A D
Y L A T A B L A D E M O R T A L I D A D [C AP . 1 5
roblemas
propuestos
7. D e una u r n a que c o n t i e n e 8 bolas negras,
10
bolas blancas y 6 bolas rojas, una bola es sacada al azar . ¿C uá l
es
la pro-
babilidad que la bola, (a) sea blanca?
b)
sea roja? (c) no sea blanca?
d)
no sea negra?
Resp. a)
5 / 1 2 ,
b) 1/4, c ) 7 / 1 2 , d ) 2/ 3
8. Si de la u r n a del
p r o b l e m a
1 se
saca
una
bola negra
y no se
remplaza , ha l la r
la
p r o b a b i l i d a d
qu e
otra bo la
que se
saca
de la urna sea, (a ) negra, b) roja, (c) no blanca, d ) no roja.
Resp.
(a ) 7 /17 ,
( 6 ) 4 / 1 7 ,
(c )
1 1 / 1 7 ,
d )
13 /17
9. En e l
p r o b l e m a
2, h a l l a r la
p r o b a b i l i d a d
que la
s e gunda carta sacada sea,
a)
o t r o d i a m a n t e ,
( ¿ > ) la
re ina
de
corazones,
c)
la
jota
de diaman tes , d) un a
car ta
de mayor valor que la
jota.
Resp. a) 4 / 1 7 , b) 1 / 5 1 , c)
O ,
d ) 4 / 1 7
10. De una b a r a j a o r d i n a r i a M saca una car ta y la vuelve a p o n e r , y después de barajar saca otra car ta. ¿Cuál es la p r o b a -
bilidad que saque la m i s m a
ca r t a
dos veces? Resp. 1/52
11.
C ada
uno de
tres estuches idénticos t iene
dos
gavetas
y
cada gaveta con t iene
u n
relicar io.
E n un
estuche
los dos
relicar ios
so n
dorados;
en
otro
ambos relicarios son plateados; y en el
tercero
un relicario es
dorado
y el otro es plateado, a) A
M
se le
perm i te se leccionar
uno de los
estuches
y abri r una de las
gavetas . H al la r
la probab i l idad que sea un rel icar io
d o r a d o , h )
Supon iendo
que M ve un
relicar io dorado, hallar
la
probabil idad
qu e
hubiera v is to
un
relicar io dorado
si
hubie ra
a b i e r t o
el
otro
cajón del
estuche.
Resp. a )
1/2 ,
b) 2/3
12. En una cier ta c iudad, cada año es robado un a u t o m ó v i l de cada 200 . Su pon iend o 1 , 25 para gas tos y
ut i l i dad ,
¿cuál
es la p r i m a a n u a l qu e debería pagar u n aut om ovi l i s t a por un seguro con t ra robo de 1000? Resp. 6,25
13 .
U t i l i z a n d o
l a
tabla C SO,
ha l l a r ,
a)
el
n ú m e r o
de
personas
(de las
1.023.102 or iginales)
vivos a la
edad
de 22
años,
b) el
n ú m e r o
de
muertes
ent re los 45 y 46
años
de edad,
c)
el
n ú m e r o
de
muertes entre
los 45 y 50 años,
d )
la
edad
en
la que el
n ú m e r o
d e vivos es
a p r o x i m a d a m e n t e
el 50%. de los
vivos
a la
edad
de 22
años .
Resp.
a) 946.789, b) 7340, c) 41.654, d) 69
14. C a l c u l a r c on tres cifras dec imales la probabi l idad que una persona qu e ahora t iene
(a) 30 a ñ o s viva por lo m e n o s u n a ñ o .
b ) 6 5 a ñ o s m u e r a d e n t r o d e u n a ñ o .
(c) 40 años
muera den t ro
de los
próximos
35 años.
d ) 25
a ñ o s viva
40
años
y
m u e r a d e n t r o
del año
s igu ien te .
e 20 años viva a la edad de 65 .
(/) 30 años m uera a los 66 años.
Resp.
a) 0,996; b) 0,040; c) 0,642; d) 0,024; e)
0,607; f)
0,026
15. N tiene jus tam en te 18 años a l ingresar a la un iver s idad . Ha l la r la p robab i l idad que ( a ) sobreviva para graduarse 4 años
después, b) fallezca en el segundo año . Resp. a)
0,990;
b) 0,002
16. La generación
1960
de un determ inad o colegio está f orm ad a por 200 personas de 21 años y
100
de 22. De acuerdo con
la tabla
CSO, ¿aproxim adam ente
cuántos
estarán vivos cuando celebren
su
50o. aniversario?
Resp.
132
17. Ha llar la pr im a neta de un dotal puro de 5 0 0 0 con ven cim iento al términ o de 20 años si se com pra a los, (a) 30 años,
b) 45 años, suponiendo intereses a 2 £ % . Resp. a) 2676,10; b) 2068,28
18 .
H a l l a r
e l
valor presente
a l
2 - J V
,
de
1 0 0 0
pagaderos
al final de 20
años
si ,
a)
e l
pago
es
cierto,
b)
el
pago
es
con t ingen te
sobre
la
vida
de una
persona
que
ahora tiene
40
años. Resp. a) 610,27; b) 468,25
19. M, que
ahora t iene
10
años, recibirá 10.000 pa ra
su
bachil lerato
si
sobrevive
a los
18 a ñ o s
y
10.000 p a r a
su
educac ión
univers i ta r ia si sobrevive a los 22 años . Hal la r el valor presente de su esperanza ma tem át ica , supon iendo in te reses al 2..', ' i .
Resp.
15.317,66
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pítulo
6
nualidades contingentes
U N A
A N U A L I D A D C O N TIN G E N TE
e s una
a n u a l i d a d c u y o s pagos c o n t i n ú a n
po r
t o d a
o
par te
d e
la v ida de una persona en p a r t i cu la r , l l amada
rentista. C o m o
en e l
caso
de las anua l idades
cier tas , lo s pagos pueden ser hechos anua lmen te , s emes t r a lmen te , t r imes t r a lmen te , e t c . , sin
e m b a r g o ,
no s
l i m i t a r e m o s
a
d i s cu t i r exc lu s ivamen te
la s
anua l idades con t ing en te s
c o n
pago
a n u a l . L a
t ab la
d e m o r t a l i d a d m ás g ene r a lmen te u s ada p a r a anua l idades con t ing en te s es la
S t a n d a r d
A n n u i t y
d e 1937.
C o m o
la des ig nac ión de una t a b l a en p a r t i cu la r en
n i n g u n a
f o r m a
afec ta
la
teor ía , nosot ros u t i l iza rem os
en su
lug a r
la
t ab la
C S O
( t ab la XV) .
A N U A L I D A D E S V I T A L I C I A S Una anua l idad cuyo p ag o con t inúa mien t r a s e l r en t i s t a esté v ivo
se
conoce
c o m o anualidad vitalicia. Si se han de hacer pagos al f ina l de
c a d a
año a una persona
que ahora t iene x años , esto es, e l p r im e r p ago a la edad x + 1, e l segundo a la edad x + 2, y
así s uces ivamen te , a la a n u a l i d a d se le l l a m a ordinaria o inmediata; si los pagos se han de hacer
al
pr inc ip io
d e cada
año,
esto es, e l
p r i m e r pago
a la
edad
x, e l
segundo
a la
edad
x + 1 y as í
suces ivamente ,
a la
a n u a l i d a d
se le
conoce
c o m o
anticipada;
si el
p r i m e r
pago
se ha de
hacer
a la
edad x + k + 1 , e l segundo a la edad x + k + 2 , y as í suces ivamente , se dice que l a anua l i -
dad es diferida por k
años .
U na anualidad ordinaria vitalicia es s implem ente un co nju nto de dóta les puro s , pagaderos a l
f ina l de
, 2, 3,
a ñ o s , t e r m i n a n d o
con l a
m u e r t e
d e l
ren t i s ta . Des ignando
po r
ax
la
pr ima neta
única (va lor presente ) de una an ua l i da d ordina r ia v i ta l ic ia , de 1 por año, p a r a una persona de
edad
x,
t enemos
a*
=
iEx 2
E
Z
+
3
E
X has t a
el final de la
t ab la
=
1
+
i -
1
^
+
(1+i)-
2
^
+
l
+
i -
3
-
+
••
has t a
el
final
de la
tab la
(l+i)-
1
^ + ( l + t ) -2 k + 2 +
( l + ¿ ) 3 k + 3
+ hasta
*1
f i n a l de l a
tabla
P a r a x = 20, e l n u m e r a d o r de la expres ión an te r ior cons ta de 79 té r minos , d e donde nues t ro
p r ob lema inmed ia to es reduci r la expres ión a una f o r m a m ás conven ien te p a r a lo s cálcu los . D e-
n mos
v = 1
+
t)-1
y m u l t i p l i c a n d o n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r v , ob tenemos
Por
med io
de los
s ímbo los conm uta t ivos
Dz
V
x
l
x
y
Nx
Dx
145
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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146 A N U A L I D A D E S C O N T I N G E N T E S [C A P. 16
t enemos que
Dx+i
+ D t+2 +
Dx+3
+ • • • + DM
D x
y f i n a l m e n t e ,
P a r a
un a
tasa
d é
inte rés
d e 2 £ % , l a
cua l se rá supues ta
en lo que
fal ta
d e
este
y e l
p r ó x i m o c ap í-
t u l o , los valores de Dx y Nx es tán dados en la c u a r t a y q u i n t a c o l u m n a s de la t a b l a X V . E n
t odos lo s c á lcu los redondea remos cada va lo r al en te ro más p róx im o .
Ejemplo 1
H a l l a r
la
p r i m a n e t a ú n i c a
de una
a n ua l i d a d vital ic ia o r d i n a r i a
d e
1000
a n ua l e s , p a r a
un a
persona
de 30
años .
Apl i cando ( / ) ,
1000
a
M
=
1000
Ü
=
1000
n
=
23.034,16
s 440 801
U na
anualidad vitalicia anticipada
de 1 por año consis te de un p a g o i n m e d i a t o de 1 y de una
anu a l i dad v i t a l i c i a o rd ina r i a
de 1. La
i m p o r t a n c i a
de la
a n u a l i d a d vi ta l ic ia a n t i c i p a d a r a d i c a
en
el hecho que las p r i m a s del seguro de vida s iempre se p a g a n al pr inc ip io de cada per íodo de pago .
Des ignando
con o»
l a
p r i m a n e t a ú n i c a de una a n u a l i d a d
vi ta l ic ia
an t i c ipada de 1 por a ñ o ,
para
u na persona d e
edad x ,
tenemos
D
x+í
+ D
x+2
+ D
I+
3 + • + D gg
ax = 1
a
z = 1 = 1
Dx Ux
Dx
Dx l
Dx
2 • • • Dgg
D x
Nx
O Sea
tti
=
yr-
2)
Ejemplo
2
Hal la r
la
p r i m a neta única
de una
anual idad vi ta l ic ia ant ic ipada
de 50
anuales , para
una
persona
de 20
años
de
edad .
A p l i c a n d o 2),
50
oso
=
50
-~^ =
60
rl** =
1355,71.
U na anualidad vitalicia ordinaria diferida por k años es una secuenc ia de dóta les puros, e l
pr imero pagadero
al
final
de
k
+ 1
años,
el
segundo pagadero
al f inal de
k + 2 años,
. .
. ,
cesando
los
pagos
con la
m u e r t e
de l
rent is ta . Designando
con
k
\d x la
p r i m a neta
ú n i c a de una
anua l idad v i t a l i c i a o rd in a r i a de 1, d i fe r id a por k años, para una persona de edad x, t e n e m o s
k \ d x
= k + iE x + k+zEx + k+sE
x
+ • • • has ta el final de la tab la
v k+ 1l x+k i
+
vk+ 2 l x+k +
2 +
vk+3lx+k
3 + •• •
has ta el final de la tabla
V lx
Dx k
l ~ t~
D x k
í
I Dx k 3 ) - ' ' • + D g
D x
y
f in a lmen te
L/ x
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C A P . 1 6] A N U A L I D A D E S CONTINGENTES 147
Ejemplo 3
Hal la r la p r i m a neta única de una anual idad vi tal icia de 1000,
para
una persona de 45 años de edad, teniendo
qu e hacerse el
primer
pago a la edad de 65
años.
Esta es una anual idad vi tal icia ordinaria diferida por 19 años. Ut i l i zando
3) ,
tenemos
1000 . «4
=
1000
=
1000
Vg
0
= 4176,65
L a
prima neta única
de una
anualidad vitalicia anticipada de 1 por año,
diferida
por k años,
para una
persona
de
edad
x,
está d a d a
p or
Nx+k
,..
k.o,
p
4)
La anual idad del e jemplo 3 puede considerarse como una anual idad vi ta l ic ia ant ic ipada dife r ida
por 20
años .
A un cuando l os s ímbolos (a's) ut i l i zados para los d i ferentes t ipos de anual idades vi ta l ic ias
son
u n i f o r m e s ,
su
i m p o r t a n c i a
es
relativa.
Lo que es
i m p o r t a n te
es que cada uno es
i g u a l a
Ny
donde x es la edad del rent i s ta cuando se compra la anual idad y y es su edad cuando se
hace
el
p r i m e r pago.
P or
ejemplo, para
una
anua l idad v i t a l i c i a o rd ina r i a
de 1,
c o m p r a d a
a los 25
años
de edad, que es t ipula e l
p r i m e r
pago un año después, esto es, a los 26 años, la prima neta única
es Nw/D-zs-
P a r a
el
m i s m o r e n t i s t a
una
anua l idad vital icia ant ic ipada
de 1
difer ida
por 15
años , es t ipu l a el pr im er pago a 40 años de edad; la p r im a neta ú nica es N W / D K . El lector deberá
ana l i za r
en f o r m a
s imi l a r
los otros t ipos d e anual idades vi ta l ic ias .
Véanse l os p rob lemas
1-3.
U N A A N U A L I D A D C O N T I N G E N T E T E M P O R A L difiere de la
anual idad vi ta l ic ia
en que
te r m i na después de un número especi f icado de pagos , aun cuando el rent i s ta cont inúe con vida .
P or e j emp lo , una anu a l id ad o r d in a r i a con t ingen te t empora l a 20 años de 1000 anuales , es t ipula
pagos a nua les de 1000 cada uno hasta que se hay an hecho un tota l de 20 o el rent i s ta muera ,
cesando el pago en cualquier
caso.
Claramente , puede pensarse una anual idad ordinar ia vi ta l ic ia
como una anua l idad o rd ina r i a con t ingen te t empora l a n años más una anua l idad o rd ina r i a v i t a -
l ic ia
d i fe r ida po r
n
años . En consecuencia , des ignando la pr im a neta ú nica de una anu al idad ordi -
na r i a
c o n t i n g e n t e t e m p o r a l a
n
a ñ o s de 1 por año , pa ra u na persona d e edad
x,
por
aíTÍI,
tenemos
Nx i — N x n / r -
f t J
Ejemplo 4
Hal l a r la p r i m a neta única de una anual idad ordinaria contingente temporal a 15 años , de 1000 anuales , para una
persona de 45 años .
Ut i l i zando 5 )
tenemos
1000
a
^
= l O O o - 1 = 1000
L a p r i m a n e t a
ún ica
aíT^l
de una anua l ida d con t ingen te t emp ora l an t ic ipada a
« - a ñ o s ,
de 1
p or
año, para
u na
persona
de
edad x, está dada
p o r
fe =
Nt ~
nNt n
O
Ux
Véase el p r o b l e m a 4.
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148
A N U A L I D A D E S
C O N T I N G E N T E S
[CAP.
16
U N A P Ó L I Z A D E A N U A L I D A D
p r o p o r c i o n a
u n
m e d i o
p o r e l
c ua l , p a g a n d o p r i m a s a n ua l e s
i g u a l e s d u r a n t e u n per íodo
d a d o ,
u n a p e r s o n a
crea
u n a p e n s i ó n c uy o s
p a g o s
s e in ic ian e n u n a
f ech a
especificada
y
c o n t i n ú a n
d e p o r
v i d a .
E l
pago
d e
p r i m a s c o n s t i t uy e
u n a
a n u a l i d a d c o n t i n g e n te
tem po ra l an t ic ipad a , ya que la p r im era vence a l com prar la pó l iza ; puede cons ide ra rse q ue los
p a g o s d e la p e n s i ó n f o r m a n un a a n ua l i d a d v i t a l i c i a a n t i c i p a d a d i f e r i d a .
Ejemplo
5
A
los 30
años
de
ed ad , M c o m p r a
una
a n u a l i d a d
vi t a l i c i a
la
c u a l
le
p a g a r á 2500
a los 66
a ñ o s de ed ad , c o n t i n u a n d o
el pago cada a ñ o . L a s p r i m a s a n u a l e s s o n p a g a d e ra s d u r a n t e 3 6
añ o s ,
fallar K.
A lo s 30 añ o s d e ed ad , M co mp ra un a an ua l id ad vi tal icia a n t i c i p a d a d e
2500
an ua l es ,
d i f e r i d a
por 36 años , con
v a l o r
presente de
2500
36
o
30
;
l a s p r i m a s a n u a l e s c o n s t i t u y e n u n a a n u a l i d a d c o n t i n g e n t e t e m p o r a l a n t i c i p a d a a 3 6 a ñ o s
co n
valor presente R a
30
.
36
| . P o r t a n t o
««Miau
= 2500 M
a
M o sea R Na° ~ N = 2500^
s i f^ñ
or NU 1.056.042 «07fi7Q
)0JVM-AT,8 °
10.594.280
-
1.056.042
V é a n s e
lo s
p r o b l e m a s
5-6.
Problemas resueltos
1 . H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i c a de u na a n ua l i d a d v i t a l i c i a a n t i c i p a d a d e 1 0 0 0 a n ua le s , d i f e r i d a p o r
15 a ñ o s , p a r a una persona de 50 a ñ o s .
Uti l izan d o (4), k
á
z =
—~
JL
t e n e m o s
1000
15|
o
50
=
1000—
=
1000 ssgzt =
4
968,23
2 . Una v i u d a de 55 años desea que se le l i q u i d e la s um a a s e g ur a d a d e u n a póliza d e 25.000 e n f o r m a
d e u n a
a n ua l i d a d v i t a l i c i a
a n t i c i p a d a .
H a l l a r
la
r e n t a a n ua l
de la
a n u a l i d a d .
S ea
A
e l
p ag o an ua l r equer id o
de u na
an ua l id ad v i ta l ic ia an t ic ip ad a . U t i l i za n d o
( • / ) ,
t e n e m o s
Ra
5S = ~=
25.000
P o r t a n t o
R
=
25.000 = 25.000
«r
= * 60,05
3 . M recibe 10.000 de u n f o n d o d e r e t i r o a l c u m p l i r 57 a ñ o s d e edad . ¿Qu é
p a g o
a n ua l r e c i b i r á si
u t i l i z a d i c ha c a n t i d a d e n l a c o m p r a d e ,
a )
un a a n ua l i d a d o r d i n a r i a v i t a l i c ia ?
b )
u n a a n u a l i d a d
vi t a l i c i a
c u y o p r i m e r
p a g o
vence a l o s 6 5 añ o s d e edad?
Des ig n emo s
co n R el
pago
a n u a l
requer id o .
(a ) U t i l i z a n d o
( / ) ,
ax = ~- t e n e m o s R a57 = R j~^- = 10.000. Por lo cua l
n ,_ 177 754
p — 1 n \f\f\t f \ \C\ ÍQ flQ Q Q
R
10
-
000
jvü
10°
00
2.197.265
$8°8'98
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
http://slidepdf.com/reader/full/ayres-frank-anualidades-contingentes 11/25
C A P . 16]
A N U A L I D A D E S
C O NTING E NTE S 14 9
b) Ut i l i z ando
(3),
kíax =
N
'¿
+1
, con fc = 7,
ó (4) kfix
=
~ f)
—
•
mn fc = 8,
tenemos R ~ = 10.000
de
donde
=
10.000 = 10.000
1
= 1516,50
4. H a l l a r la p r i m a neta ú n i c a de una an u a l i d ad t empo r a l a n t i c i p ada a 10 años , de
3000,
anuales ,
p a r a
una
persona
de 18
años .
Ut i l i z a ndo
(6),
ajrj)
=
— — —
— ,
tenemos
qnnn
» _
.
..AÍ..-AÍ». 16.953.726 - 11.613.853 s o f if i p f i 1 K
d O O O a
l g
.
1 0
|
—
3000
£ -
—
612917
—
~
?2o.626,15
5 . M ,
cu ya
edad es 25 años ,
planea re t i r ar se
a los 55 año s d e edad con u na
r en t a a nu a l
d e 3000,
venc i endo el pr imer pago a l cu mp l i r 55 años . C o m p r a un a anua l i dad a c o r d a n d o hacer pagos
anuales iguales , e l pr imero e l d í a de hoy y e l ú l t i m o a l cumpl i r 54 años . Ha l l a r el p a g o a n u a l
requer ido
R
pa r a adqu i r i r
la
a n u a l i d a d .
A
lo s
25 años,
M
c o m p r a
una
anua l i d ad v i t a l i c i a an t i c i p ad a
de
3000 a n u a l e s difer ida
por 30
años cuyo v a l o r pre-
sente es 3000 3 0 1 0 2 5 . Los pagos que t iene que hacer fo rman una anual i dad con t i ngen te t empora l an t i c i pada a 30 años
cuyo valor presente es
R
'¿25
3 0 )
• Po r t an t o
*'¿¿siso) = 8000 «,,0»
0
sea R ¿J* = 3000
6. B,
cuya edad ac t u a l
es 25
años ,
paga el día de hoy
150
en un
fondo
de
re t i r o
y
pag a r á 150
anua l es has t a los 60 año s inc lu s i ve . P r i nc i p i ando a los 65 años , B recibi rá una pens ión anua l
v i t a l i c i a
de
R. H a l l a r R.
A
los 25
años ,
lo s
pagos
que
ha r á
B
fo rman
una
anu a l i d ad t empo r a l an t ic i p ad a
de 36
años ,
con
valor presente
de
150 025 : se
mien t r a s
que la
pensión forma
un a
anual idad vi tal icia ant icipada
d e
R anuales d i fe r i da
por 40
años,
co n
valor
presente 4 0 1 1 * 2 5 -
H a c i e n d o
R á í = 150
O
2
5 ¡
sel
tenemos
1 K A
150
=—
n tt
1Rn 12.992.619 -1.711
567
~ 15°
1.172.130
7. A los 31 año s de edad , M t oma una pól iza de seguro d e v i d a a co r d ando p ag a r p r i mas de 56,25
al
pr inc ip io
de
c a d a
año,
po r
toda
la
v ida . Ha l l a r
el
va lo r presente
de las
pr imas .
El
pago
de las
pr imas cons t i t uye
un a
anua l i d ad v i t a l i c i a an t i c i p ad a
a los 3 1
años
de
edad ,
de
56,25 an uales.
Po r
t an to ,
el
valo r
pjesente es
K f i í K
N
K « 9 K 10153.480
56,25-^-
56
-
25
428518 1332,81
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
http://slidepdf.com/reader/full/ayres-frank-anualidades-contingentes 12/25
15 0 A N U A L I D A D E S
C O N T I N G E N T E S [C A P.
16
8. ¿C uál debe ser e l im po r te de l a pr im a a n u a l de l a pól i za de l problema 7 , s i M acuerda pagar 20
p r i m a s ?
De s i g n e m o s con
K
la
p r i m a a n u a l
re qu e r i d a . E n
este caso,
lo s
pagos
de las p r i m a s
f o r m a n
una anua l i dad cont i ngen t e
t e m p o r a l a n t i c i p a d a a los 3 a ñ o s d e e d a d , c u y o valor
presen te
es
RN«-N
=
56,25
L/si
U st
de
d o n d e
R
B f i
gr M» 10.153.480
R 56 25 Ntí
Nn 56 25 10.153.480 - 3.613.563 87'33
9. A los 65 a ñ o s de edad, M t i e n e la o p c i ó n , a) de r e c i b i r
$25.000
de una c o m p a ñ í a de seguros,
i n v e r t i r l o s al 2i% y r e c i b i r c a n t i d a d e s i g u a l e s a l p r i n c i p i o d e cada a ñ o , d u r a n t e 2 0 a ñ o s , al tér-
m i n o de los
cuales
el
f o n d o e s t a r á e x h a u s t o ,
o b )
dejar
el
d i n e r o
en la
c o m p a ñ í a
y
recibir
c a n t i d a d e s i g u a l e s a l p r i n c i p i o d e cada a ñ o , d u r a n t e 2 0 a ñ o s , m i e n t r a s esté v i v o . H a l l a r e l p a g o
a n u a l
en cada
caso.
S i M m u e r e j u s t a m e n t e a n t e s d e a lc a n z a r l o s 8 0 a ñ o s ,
¿ c uá n t o
rec ib i rán sus
b e n e f i c i a r i o s e n cada caso?
Des i gnemos con R la re n t a a n u a l .
a) I n
este
caso, lo s
pagos
a n u a l e s
f o r m a n
un a a n u a l i d a d
c ie r ta
ant icipada a 20
a ñ o s ,
de
d o n d e
R
- i- a¡g]i025
=
25.000
25.000
25.000
1+
«151.0». 15,9788913
En la fecha en que M
h u b i e ra a l canzado
los 80 años , su s
benef iciar ios
recibir ían el valor presen te
A
de los
5 p a g o s
no cubier tos.
P ues t o
q ue
f o r m a n
un a
a n u a l i d a d
ant i c i pada
c ie r ta ,
a 5
años , tenemos
q ue
A
=
1564,56
(1
4- oü.oüj)
= 1564,56(4,761974) =
$7450,93
b )
A l os 65
años,
lo s
pagos
a n u a l e s f o r m a n u n a
a n u a l i d a d
cont i ngen t e
t e m p o r a l
ant i c i pada a 20
años ,
de
d o n d e ,
= R Nu
~
Na
25.000
or
lo cua l
H n
este caso, a la
m u e r t e
de M los benef ic iarios no rec ibi r ían n i un c e n t a v o .
10. M , a los 55
a ñ o s
d e
e d a d c o m p r a
u n a
a n u a l i d a d v i t a l i ci a o r d i n a r i a
d e
$2500 a n u a l e s .
E l
c o n t r a t o
es t ip u la e l
p a g o c i e r t o d u r a n t e 15 a ñ o s
y
p o s t e r i o r m e n t e m i e n t r a s esté
co n
v i d a . H a l l a r
la
p r i m a
n e t a ú n i c a .
A los 55
a ñ o s
de
edad,
M
c o m p r a
u n a
a n u a l i d a d
cierta or di n ar i a de 15
pagos
de
2500 cada un o,
más una anua l i dad
vi ta l ic ia o r d i n a r i a de
2500
a n u a l e s d i fe r id a por 15
a ñ o s .
L a p r i m a
ne ta ú n i c a
es
2600 aisi.
025 +
2500
15,a55
=
2500(12.381378)
+
2500 ffffff
=
30.953,44
+ 7.515,62
= $38.469,06
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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C A P . 16] A N U A L I D A D E S C O N T I N G E N T E S 151
roblemas propuestos
11. H a l l a r
la
p r i m a n e t a ú n i c a
de una
an ua l i dad v i t a l i c i a o rd i n a r i a
d e
1000 a n u a l e s , p a r a
u n a
p er so n a
q u e
t i e n e , a )
2 5
añ o s ,
b) 40
años,
(c) 55 años. Resp. a) 24.647,01; b )
19.391,79;
c)
13.204,16
1 2 . H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i ca d e u n a an ua l i dad v i t a l i c i a an t i c i p ada d e 1000 a n u a l e s p a r a u n a p er so n a q u e t i en e , (a) 28 añ o s ,
b) 43 a ñ o s , c) 57 a ñ o s . Resp. (o ) 24.696,66; b)
19.204,52;
c) 13.361,27
13. H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i c a de una a n u a l i d a d v i t a l i c i a d e 1000 an ua l es p a r a u n a p er so n a q u e
a h o r a
t i en e , a ) 38 a ñ o s ,
b) 54 años; haciéndose el p r i m e r pago cuan do t en g a 65 a ñ o s . Resp.
a)
3353,09;
b )
5798,17
14. A los 65 a ñ o s d e
e d a d ,
M
paga
30.000 por una a n u a l i d a d v i t a l i c i a o rd i n a r i a .
¿Qué pago
a n u a l se es t i p u l a?
Resp. 3297,82
15.
H a l l a r e l
pago
a n u a l e n e l p r o b l e m a
14,
s i M co m p ra un a an u a l i da d v i t a l i c i a an t i c i p ada .
Ri-sp.
2971,21
16. A los 54
a ñ o s
de
e d a d ,
M
paga
50.000 por una a n u a l i d a d
v i t a l i c i a
c u y o p r i m e r
pago
t i en e que
hace rse
a los 65 añ o s de
e d a d .
¿ Qué
pago a n u a l
se
e s t i p u l a ? Resp. 8623,40
1 7 . S u p o n i e n d o i n te r e s e s a l 2j% efec t i v o , ha l l a r e l valor p resen te d e u n a an ua l i dad an t i c i p ada c i e r t a , d e 3000 a n u a l e s
d u r a n t e 10 a ñ o s . C o m p a r a r
e l
r e s u l t a d o
con e l de l
p r o b l e m a
4.
1 8 .
H a l l a r
la
p r i m a n e t a ú n i c a
d e u n a
a n u a l i d a d o r d i n a r i a t e m p o r a l
d e 1000
a n u a l e s d u r a n t e
2 5
a ñ o s , p a r a
u n a
persona
d e
50 años . Resp. 14.150,82
19. H a l l a r
la
p r i m a n e t a ú n i c a
d e u n a
a n u a l i d a d c o n t i n g e n t e t e m p o r a l
a 15
a ñ o s ,
d e
1000 a n u a l e s p a r a
u n a
p er so n a
q u e
aho ra t i en e 45 añ o s , si e l p r i mer p ag o v en ce a los 65 añ o s . Resp. 3718,27
20. M desea c o m p r a r un a a n u a l i d a d c o n t i n g e n t e t e m p o r a l a n t i c i p a d a a 10 a ñ o s , d e 1000 a n u a l e s p a r a s u p adre qu e a h o r a
t iene 70 a ñ o s . H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i c a . Resp. 6630,21
2 1 . ¿ Q ué r en t a a n u a l p r o p o r c i o n a r á u n a a n u a l i d a d t e m p o r a l o r d i n a r i a a 5 a ñ o s , s i fue a d q u i r i d a e n 20.000,00 por una per-
sona q u e a h o r a t i en e 60 añ o s?
Resp. 2144,69
22 . M, que aho ra t i en e 30 a ñ o s , c o m p r a u n a a n u a l i d a d d e
2500
an ua l es , e s t i p u l án do se e l p r i m e r pago a l c u m p l i r 65 a ñ o s
d e
e d a d . Tiene
q u e
hacer
p a g o s
an ua l es i g ua l es
p o r esta
a n u a l i d a d ,
e l
p r i m e r o i n m e d i a t a m e n t e
y e l
ú l t i m o
a l
c u m p l i r
64 añ o s . ¿ Qué p ag o an ua l t i en e que hacer? Resp. 311,00
23. A los 45 a ñ o s M c o m p r a un a p ó l i za q u e e s t i p u l a e l
pago
de una a n u a l i d a d c i e r t a a 15 a ñ o s d e 3000 an ua l es , hac i én do se
el
p r i m e r pago a los 65 a ñ o s y p o s t e r i o r m e n t e u n a a n u a l i d a d v i t a l i c ia o r d i n a r i a d e 3000 an ua l es . Ha l l a r , a ) la p r i m a
n e t a ú n i ca , y
b )
la p r i m a n e t a a n u a l si t i e n e n que hacerse 20 pagos . Resp.
24.609,81, b )
1731,00
24 . M, c u y a e d a d es 3 5 años , c o m p r a un a a n u a l i d a d c o n t i n g e n t e t e m p o r a l a 15 añ o s de 2000 an ua l es , s i en do e l p r i m e r pago
a los 65
a ñ o s ,
a )
H a l l a r l a p r i m a n e t a ú n i c a .
/ > )
H a l l a r l a p r i m a n e t a a n u a l s i t i e n e n q u e
hacer se
30
pagos
iguales .
ts — m
Resp. a) 2000 —=-= =
5463,37,
b)
284,40
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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pítulo
7
eguro e vida
U N A
PÓL IZA D E S EGURO D E V I DA es un co n t r a to en t re u n a co mp añ ía d e seg uro s y una p e r so na
el
asegurado) . En es te contrato :
a)
e l asegurado acuerda hacer u n o o m á s pagos pagos d e p r i m a s ) a la compañía,
b ) la co mp añ ía p ro mete p ag ar , a l recibo d e p rueb as de la m u e r t e d e l aseg urado , u n a s u m a fi ja,
a una o más pe rsonas
beneficiarios)
designados por e l
asegurado.
L os pr incipales tipos de seguro de v ida son
i) Seguro
de vida entera
en e l
cual ,
la
compañía promete pagar
el
v a lor no m ina l
de la
póliza
al
beneficiario
a la mu er te del asegurado , cuando sea que és ta ocu rra .
ii) Seguro
temporal
a n-años
en e l
cual,
la
compañía promete pagar
e l
v a lo r n o m i n a l
de la pó-
liza al benef ic iar io , a la m u e r t e d e l aseg urado , ú n icamente si e l a s e g u r ad o m u e r e d e n t r o de los
n
años s iguientes
a la
emis ió n
de la
póliza.
¡i¡) Seguro dotal a n-años en e l cual la com pañía prom ete pagar e l valor no m ina l de la pó l iza a l
benef iciario, a la
m u e r t e
de l
aseg urado ,
si el
aseg urado muere den t ro
de los
n añ o s s ig u ien tes
a la
emis ió n
de la
póliza
y
pagar
e l
v a l o r n o m i n a l
de la
pó l iza
al
aseg urado
al
t é r m i n o
de
n
años,
si
sobrevive
el
período.
En la práctica lo s beneficios se pagan ta n pronto se demue stre la mu er te de l aseg urado , s in em-
bargo , para
s impl i f i car
los cálculos necesar ios supondremos que los beneficios d e c u a l q u ie r pó l iza
serán pagados
al f inal del año
póliza
en el que el
aseg urado m uere . Co m o
en e l
caso
de las
a n u a l i -
dades contingentes, ún icame nte consideraremos aquí pr imas netas .
SEGURO
D E V IDA
E NTERA
Des ig nemo s
con
Ax
la
p r i m a n e t a ú n i c a
de u na
pó l iza
d e
seguro
d e
vida
en tera de 1 , em it ida para una pe rsona de edad
x .
E l p ro b lema de h a l la r Ax pued e reducirse
al
p ro b lema de h a l la r l a can t idad co n la que cada una d e la s lz personas , todas de edad x, deben
con t r i bu i r
para const i tuir
u n
fo ndo su f ic ien te
qu e
p e r m i t a
a la
co mp añ ía p ag ar
al
b ene f ic ia r io
de
cada aseg urado ,
la
can t idad
de 1 al f inal del año en que el
a s e g u r a d o m u e r e .
L a
c o n t r ib u c i ó n
to ta l al f o n d o es 1XA X . D u r a n t e e l p r imer añ o , d
x
de los aseg urado s m o r i r á n d e acuerdo con la
tabla
de
m or ta lidad
y
debe
pagarse
d
x de
beneficio
al f inal del
año .
E l
valor
presente de estos b e-
neficios e s l + i ~ldz = vdx. D u r a n t e e l seg undo añ o ,
d
x
+i
p e r so nas m o r i r án y e l valor pre-
sente de los benef ic ios pagaderos al f inal del año es
V
2
d
x
+i,
y así s u c e s i va m e n t e .
Por tanto
lxA
x
= vdx + V
2
d
x
+ i + vsd x+2 + • • • has ta e l f inal de la tab la
vd
x + t>
2
di+i
+
V 3 d j+ z
+ • • •
h as ta
el f inal de la
t ab la
152
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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C A P . 17] S E G U R O D E V I D A 1 53
M u l t i p l i c a n d o
n u m e r a d o r
y
d e n o m i n a d o r
p o r v
x
,
tener nos
vx+1dx +
vx+zdx+í
+ vz+3dx+2
+ • • • +
vlw>dw
v*l
x
E n t é r m i n o s d e l o s v a lo r es c o n m u t a t i v o s
D,
=
v
z
l
x
C,
= v*
+l
d, Mx
= Cx + C x + i
+
C
x + 2 + • • • + a á
t e n e m o s
Cx Cx l Cx + 2 • • • +
Ü99
~~DT
y
f i n a l m e n t e
M
x
A
*
D~ O
Los va lores de M
x
a l 2i % se
e n c u e n t r a n
en la
ú l t im a c o l u m n a
d e la tabla X V .
j mplo
1
Hallar la
p r ima n e ta ú n ica
de una
póliza
d e
seguro
d e
vida entera
de
1000, ex p ed id a p ara
un a
p ers o n a
de 22
añ o s
d e ed ad .
U t i l i z a n d o
(/), 1000
A« =
1000—
= 1 0 0 0 - = 352,57.
Un 549. üoo
R a r a v e z s e v e n d e n p ó l i z a s d e s e g u r o a p r i m a ú n i c a . E n s u l u g a r , s e p a g a n p r i m a s i g u a l e s a l
p r i n c i p i o d e c a d a
a ñ o ,
ya sea, (a )
d u r a n t e t o d a
la
d u r a c i ó n
de la
p ó l i z a ,
o b )
d u r a n t e
lo s
p r i m e r o s
m
a ñ o s d e vida de la pól iza . P a r a el seguro d e vida e n t e r a
estos
t ipos d e
pagos
anuales d e p r i m a s
se i n d i c a n con la d e n o m i n a c i ó n de, (a) s egur o ordinario d e vida , o b) s egur o d e vida pagos limita-
dos a m a ños.
Des ignem os con
Px
l a p r i m a n e t a a n u a l d e u n a p ó l iz a d e se g u r o o r d i n a r i o d e vi d a d e
1
e m i -
t ida
p a r a u n a p e r s o n a d e
e d ad
x.
Puesto
q u e l o s
pagos
d e
p r i m a s f o r m a n
u n a
anua l idad v i ta lic ia
a n t i c i p a d a
d e Px p o r año,
tenem os (véas e
la
f ó r m u l a
(2),
c a p í t u l o
1 6 )
P,o,
A,
p o r l o c u a l
A, MJD,
2, NJD
•
= •
«
Ejemplo 2
H a l l a r la p r i m a n e t a a n u a l de una póliza de s eg u ro o rd i n a r i o d e vida de 1000 p a r a un a
persona
de 22 añ o s de ed ad .
U t i l i z a n d o
2) ,
1000
Pn
= 1000
=
1000 1 f* L =
13,28.
v
2 2
i^ . í jy o . ' toU
Designemos con mP* la
p r i m a
neta
a n u a l
d e u n a
póliza
de seguro de
vida
pagos
l i m i t a d o s
a m
a ñ o s
d e 1 ,
p a r a
u n a
p e r s o n a
d e
edad
x.
Pues to
q u e l o s
p a g o s
d e
p r i m a s f o r m a n
u n a
a n u a l i -
d a d c o n t i n g e n t e t e m p o r a l a n t i c i p a d a a m años, tenemos (véase la
f ó r m u l a
(5), c a p í t u l o 1 6 )
m - f z
Ui:
m i — Ax
P or lo
c u a l
Ax
MJD
X
m*x —
Tí
**x
~ \r
NI
—
(N
x
-N
x+m
)/D
x
Mx
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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154 S E G U R O D E V I D A
[CAP.
17
Ejemplo 3
H a l l a r
la p r ima ne ta a n u a l de una pó liza de seguro de vid a pagos l im itad os a
10
años de
1000
para una per sona de
22 años de
edad.
U t i . i z . n d o C » .
1000
„ •,,
=
1 0 0 0 -
=
1000
= 39,79.
Véan se lo s
p r o b l e m a s
1-4.
SEGURO
T EMPORAL Designemos con .Af-na la p r i m a n e t a ú n i c a de un a pó l i z a de segu ro t empo-
ra l a
n años
de 1,
p a r a
u na
persona
de
edad x. Proced iendo
en la
m i s m a f o r m a
q u e
p a r a
el
caso
de
Ax , encon t r amos que
= vdx + v2dx + i v3dx 2 ••• Vdx n-i
ya que e l
ú l t i m o
benef ic io se paga a l t é r m i n o de
n
años .
P o r t a n t o
.¡_
v
x 1
d
x
v
I 2
d
x
i
v
I s
d
I 2
+ • • • +
v
x n
d
x n
-i
VI,
C + Ci-t 1 -\~ Cx
2 • • • + Ci+n-t
~DT
Cx
Cx l
Cx 2 • • • Cs9 Cx n Cx rH-l +
Cx
n
2 + +
D
x
~D
M
x
— Afx + n
.
4 )
Ejemplo 4
H a l l a r la p r i m a neta ún ica de una pó l iza de seguro t empora l a 10 años , de
1000,
para una per sona de 30 años .
Utilizando 4 \0 A
~
= 1000 M
»
~ Mta = 1000 182
'
4
^
~
=
38,66.
i/so
440.801
Designemos con PÍ-rm la p r im a ne ta a nu a l pa ra u na pó l i za de segu ro t empo ra l a n años de
1, para una persona de edad
x. Puesto
que las
pr imas anua le s fo rman
una
anual idad cont ingente
t e m p o r a l
an t i c ipada
a n
años , tenemos
_
M-
M
x
n
a \
y
f in a l me n te
pi
_ M
z
-
M
I n
N Nx + n
Ejemplo 5
Hallar la pr ima neta anua l de una póliza de seguro temporal a 10 años de 1000, para una persona de 30 años.
Designemos con mPfrsi la p r i m a n e t a a n u a l de una pól iza de s e g u r o t e m p o r a l a
n
a ñ o s de
1
pa ra
u na
persona
de
edad
je,
p a r a
ser
p a g a d a d u r a n t e
u n
período
de m < n
años, esto
es , una pó-
liza t e m p o r a l a n años con pagos l imi t ad os a m años de 1, p a r a u na persona de edad x . Es deci r
_
Mx-Mx+ n
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1 7 ]
S E G U R O
D E
V I D A
155
Ejemplo 6
H a l l a r
la p r i m a n et a
a n u a l
de una p ó l i z a de s e g u r o t e m p o r a l a 2 0 a ñ o s , con p a g o s l i m i t a d o s a 1 5
a ñ o s ,
d e
1000,
p a r a
una p e r s o n a
de 30
a ñ o s
d e
edad .
U t i l i z a n d o 6) c on m = 1 5 y n = 20 ,
1(lnn pi _
mnn
>0,
5
P
3
Ó T2ol
O
mnn
> 0
182.403-142.035
10.594.280 - 5-161.996
7
'
43
V é a n s e
lo s
p r o b l e m a s 5 - 7 .
DOTAL
U n a pól iza de s e g u r o dotal a n años
c o m b i n a
lo s beneficios de u n seguro
t e m p o r a l
a
n a ñ o s
y u n
d o t a l p u r o
a l
t é r m i n o
d e
n a ñ o s . D e s i g n e m o s
c o n
A^a\a p r i m a n e t a ú n i c a de una
pó l i za d e s e g u r o d o t a l a
n
a ñ o s d e 1 p a r a u n a p e r s o n a d e e da d
x.
T e n e m o s qu e
_ , _|_
Tñ ] T
nt
Mx
n
Dx n
—
/x
=r
x
/ .
7
Ejemplo
7
H a l l a r la p r i m a ne ta ú n i c a de una pól iza d e s e g u r o d o t a l a 2 5 a ñ o s ,
por
1000, p a r a u na persona de 40 a ñ o s d e e d a d .
U t i l i z a n d o (7),
165.360 -87500 +116.088
000
*«~
= 1000
D e s i g n e m o s
co n PÍTSI la
p r i m a n e t a a n u a l
de u n a
pó l i za
d e
s e g u r o d o t a l
a
n
a ñ o s de 1 , p a -
r a u n a
pe rsona
d e
edad
x .
T e n e m o s q u e
_
Mx — Mx n Dx n „
Ejemplo 8
H a l l a r la p r i m a n e ta
a n u a l
d e u n a p ó l i z a d e s e g u r o d o t a l a 2 5 a ñ o s p or 1000, par a u n a persona de 40 a ñ o s d e e d a d .
U t i l i z a n d o («),1000P4 = 1000
=
1000
= ?35 03.
D e s i g n e m o s c o n mPirsi
a
p r i m a n e t a a n u a l d e u n a p ó l i z a d e s e g u r o d o t a l a n a ñ o s c o n p a -
gos l i m i t a d o s a m años para una p e r s o n a de edad x. T e n e m o s que
Mx-
MI+n +
Dx+n
Ejemplo 9
H a l l a r
la
p r i m a ne ta a n u a l
de una pól iza d e
s e g u r o d o t a l
a 2 5
a ñ o s
co n
pagos l i m i t a d o s
a 2 0
años ,
por
1000, p a r a
una
persona
de 40
a ñ o s
d e
edad .
U t i l i z a n d o (9), con m ^ 2 0 y n = 25,
1nnn p _ . i n n n Mt
}
°™
,AAA
100°
193.948
6.708.573 -
1.865.614
Vé a n s e
los
p r o b l e m a s
8-9.
N A TURAL
L a
p r i m a n e t a ú n i c a
d e u n
s e g u r o t e m p o r a l
a 1
a ñ o ,
a l a
e d a d x
se
c o n o c e
c o -
m o prima
natural
a d i c h a e d a d . D e ( 5 ) t e n e m o s q u e l a p r i m a n a t u r a l p a r a u n a pó l i za de I , a l a
edad
x
es
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1 56 S E G U R O D E
V I D A
[CAP. 17
"'
10
NX-NX+Í Dx
Kjemplo
10
H a l l a r la
p r i m a
n a t u r a l de u n a pó l i z a de 1000 a
los , a)
22
años
de
edad , b)
23 .
c )
75 .
U t i l i z a n do
10) ,
a 1000/fe] = 1 0 0 0 M
-
M
= 100019 3-897 - 192'507 -
~»
549.956
(6)
1000 Pkm = 1000 fc =
1000
192-505735:11593U°8 =
2,61
(c)
1000
P^TT)
=
1000
= 1000 —' - Zi SSS. - 86.47
V é a s e
el p r o b l e m a 10
R E S E R V A S
C o n s i d é r e s e u n a p ó l i z a d e s e g u r o o r d i n a r i o d e v i d a d e
1000
p a r a u n a p e r s o n a d e 2
a ñ o s d e e d a d . E n l a t a b l a qu e s i g u e s e c o m p a r a l a p r i m a n e t a a n u a l d e esta p ól iza (véase e l e jem pl
2)
c o n l a p r i m a n a t u r a l a d i f e r e n t e s edades del seguro (véase el ejemplo 10).
Pr i m a neta anual P r i m a
i l n l a los 22 ños de edad natural
22 13,28 2,53
23
13,28 2,61
40 13,28 6,03
51 13,28 12,95
52
13,28 13,95
75
13,28
86,47
85
13,28
189,38
V e m o s q u e e n l o s p r i m e r o s a ñ o s de la p ó l i z a
el
a s e g u r a d o p a g a a la c o m p a ñ í a m á s q u e e
costo a n u a l
d e l
segu ro , 13 ,28
-
2,53
=
10,75
e l
p r i m e r
a ñ o y
13,28
—
2,61
=
10,67
e l
s e g u n d
a ñ o . C a d a s o b r a n t e d e l a p r i m a a n u a l sobre e l cos to del seguro en e l año es colocada por l a com
p a ñ í a
en un fondo de
reserva,
el
cua l ga na i n t e r eses
a la
m i s m a
tasa que se
u t i l i z ó
a l
ca lcu l a r
l
p r i m a .
A los 52
a ñ o s
de
edad ,
el costo de un año de
seguro
p or
p r i m e r a
vez
excede
el pago
a n u a
de
p r i m a . P r i n c i p i a n d o
a los 52
años
d e edad y
c o n t in u a n d o cada
año en
a de la n t e m i e n t r a s
la
pó l i
za se
e n c u e n t r e
en
v i go r ,
la
c o m p a ñ í a t o m a
d e l
f o n d o
d e
rese rva
la
c a n t i d a d n e c e s a r ia p a r a c u b r i
la
di fere nc ia , 13 ,95
—
13,28
=
0,67
a los 52
a ñ o s
y
86,47
—
13,28
=
73,19
a lo s 75
a ñ o s .
E
f o n d o
d e rese rva p a r a ca d a pó l i z a c rece
d u r a n t e
t o d a la v i da de la p ó l i z a . D e a c u e r d o con l a t a
bla
C SO u t i l i z a d a , la r e s e r v a a los 99 a ñ o s de ed a d d eber í a ser 1000v = 975,61, esto es, la p r i
m a
n e t a ú n i c a
de u n a
pó l i za
d e
v i d a e n t e r a
p or 1000 a los 99
a ñ o s .
El
f o n d o
de r e s e r v a a l f i n a l de c u a l q u i e r año
p ó l i z a
se conoce como reserva
terminal
del añ
p ó l i z a . La r ese rva
t e r m i n a l
m e n o s u n c a r g o
n o m i n a l
pa r a ga s tos se conoce como valor
de
rescat
de la
póliza.
La r ese rva
t e r m i n a l
per t en ece a l a segu r a d o m ien t r a s l a pó l i z a est é en v igor . E l a segu
r a d o en c u a l q u i e r m o m e n t o p u e d e so l ic it a r co m o p r é s t a m o el va lo r de rescate de su pól iza si
m ás
g a r a n t í a . T a m b i é n p u e d e c a n c e l a r
su
p ó l i z a
y
t o m a r
el
va lo r
d e rescate en
ef ec t ivo
o
a p l ica r l
a l a c o m p r a d e o t r a p ó l i z a d e s e g u r o .
L a
r e s e r v a t e r m i n a l
a l f i n a l d e
c u a l q u i e r
a ño
pó l i za , p ued e
se r
ca lcu l a d a
c o n u n a
ecua c ión
d
v a l o r t o m a n d o e l
f ina l
del año pól iza
co m o
fecha focal:
Rese rva
t e r m i n a l
a l I I
V a l o r
p r e s e n t e d e I I
V a l o r
p r e s e n t e d e
final de l
r - é s i m o
año p ó l i z a f t o d a s las p r i m a s
f u t u r a s
f
1
todos los
ben ef ic ios f u t u r o s
f
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.
1 7 ]
S E G U R O
D E V I D A 1 5 7
P o r e j e m p l o , d e s i g n e m o s co n rV la r e s e r v a t e r m i n a l a l f i n a l d el r - és i mo año de una pól i za de se-
g u r o
o r d i n a r i o de v i d a d e 1 p a r a u n a p e r s o n a d e edad x. Después d e r a ñ o s p ó l i z a , el v a l o r presen-
te de
t o d a s
la s
p r i m a s f u t u r a s será
e l
va l o r p resen te Px-a.,, r
d e u n a
a n u a l i d a d
vi t a l i c i a
a n t i c i p a -
da de
P
x po r
año,
a la edad x + r y e l v a l o r presen t e de l os benef ic ios
fu tu r os ,
se rá l a p r i m a ne t a
ún i ca An-r de u na póliza de seguro de vida entera de
1,
a la edad x r . Por lo c u a l
rV Px- áx r = Ax r
jemplo
I I
H a l l a r
la
r e s e r v a t e r m i n a l
al final del
10o.
año pól iza , de una pól iza de
s e g u r o o r d i n a r i o
de
vida
de 1000,
p a r a
u na
p er son a
de 22 a ñ o s .
D el e je mplo 2 , te ne mos que la p r i m a n e ta a n u a l a los 22 años de edad es 13,28. A l
fina l
de l IOo. año pól iz a , el v a l o r
presen te
de las
p r i ma s f a l l a n t es
es
13,28
a
3S
y el
v a l o r
pre se n te de los
benef ic ios
f u t u r o s
es
1000
A
32
.
Por t a n t o
1000
oV
= 1000
A
32 -- 13 28
»
1000 - 13 28
1000
Af« - 13 28
N31 50.165.505
12
044
D31 416.507
Véanse lo s prob l emas 11-14.
r obl em a s r su ltos
.
H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i c a de una pól i za d e seguro de v i d a e n te r a d e 1000 pa ra u na p e r s o n a de 30
a ñ o s d e edad .
M
x
Uti l i zan d o (/), A*
-g-
1000 A» = 1000 =
1000
=
413,80
. H a l l a r la p r i m a n e t a
a n u a l
d e u n a pól i za d e s e g u r o o r d i n a r i o d e v i d a d e
1000
p a r a u n a p e r s o n a
de 30
a ñ o s .
U t i l i / a n d o 2),
1000
P
1 B =1000 _ =
17,22
H a l l a r la p r i m a neta a n u a l de una póliza d e
seguro
de vida pagos l i m i t a d o s a 2 0
años ,
de 1000,
para una pe r sona de 30 años .
A f.
U t i l i z a n d o
i),
V
AT, .
1000
2
oP,o
= 1000
_r
=
1000 tO.594.28r-7.849.488
= *27-°4
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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158
S E G U R O
DE
V I D A [C AP . II
4. A los 25
años
de
edad , M he red a
$2000.
¿Cuán to seguro
de
v i d a e n t e r a p u e de c o m p r a r u t i l i z a n d o
la
cant idad completa
como
p r ima ne t a ún i ca?
Designemos con / e) valor
n o m i n a l
de la p ó l i / a adqu i r ida ; t enemos que
5.
H a l l a r
l a pr ima neta única de una pó l i za de seguro temporal a 30 años , de $1000, para una
pers(
na de 30 años .
M,
- M
x+
,
Ut i l i zando 4) ,
D,
=
1000 MM
-
MM
=
1000-£= $167,56
6 .
H a l l a r
la
p r i m a n e t a a n u a l
de, a ) una
pó l i z a
de
seguro t empo ra l
a 30
a ñ o s
por $1000,
pa r a
U P J
per so na
de 30
años ,
b)
una
p ó l i z a
de
seguro t empo ra l
a 30
años ,
con
pago s l imi t ad o s
a 20
años
por $1000, para una persona de 35 años .
( « O
U t i l i z a n d o
5) ,
P = ~ .+.
¿Vx —
¿Vx
+ m
lftAft pí
_
.
mnn M 3o
—
A i 6 0 innn 73.860
-_
.„
)0 **•» '° N»
-
NM '° 8.728.666
b)
U t i l i zando
6) , m
P = jjf"
~ ¡f'*"
¿T I ¿V x +
m
1 0 0 0
ira = l o o o = i c o o = 1 5 , 1 0
7.
H a l l a r
la
p r i m a n e ta ú n i c a
de una
p ó l i z a
d e
seguro pa ra
un a
persona
d e 25
años ,
la
cua l e s t i pu l a
pago de $10.000 a los
beneficiar ios
si el
asegurado muere dent ro
de 10 años y $5000 si
sobrevive
dicho per íodo pero muere dent ro de los s iguientes 10 años .
La
póliza puede considerarse como un seguro temporal a 20 años por $5000 más un seguro temporal a 10 años pe
$5000,
expedidos
a m b o s
a los 25
años .
La p r i m a
neta única
es
5000
A'jr^o, + 5000
A n o l
= 5000
-, - = 5000 =$495,87
Z?í5 506.594
8. H a l l a r la p r i m a n e t a ú n i c a de u na pó l i z a de seguro do ta l a 35 años, po r $1000, p a r a una pe r so na d
30
año s .
Ut i l i zando 7) , A
z : n |
1000A30T35 = 1000
M
'°-g; + P
= 1000-fjff
= $478,65
9 . P a ra la p ó l i z a de l p r o b l e m a 8 , h a l l a r ,
a)
la p r i m a n e t a
a n u a l ,
b)
la p r i m a n e t a
a n u a l
si se
estip
la n 20 pagos.
(a) U t i l i z a n d o 8) ,
D
— - * ~ *+
innn Mm ~ M s
Dts lnn, 210.991
100°
9.422.150
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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1 7]
S E G U R O
Dt
V I D A
59
b
U t i l i z a n d o
(9), m
P =
Ml
~N 1+ N
1 P = 1000 =
1000
= S31.28
.
H a l l a r
la
p r i m a n a t u r a l
d e u n a
p ó l i z a
d e s e g u r o d e 1000 e x p e d i d a a
los ,
a ) 5 1
a ñ o s
d e
e d a d ,
b )
5 2 a ñ o s d e e d a d .
U t i l i z a n d o
10). -p
1
- =
M~M*n
a 1000
P im
1000 M
~
M
= 1000 ?
12
'
95
b
1000 P¿rn
=
1000
1000 =$13'95
la
r e s e r v a t e r m i n a l
a l f i n a l d e l
15o.
a ñ o
p ó l i z a ,
d e u n a p ó l i z a d e
s e g u r o o r d i n a r i o
d e
v i d a
de 1000, e x p e d i d a p a r a u n a p e r s o n a d e 30 a ñ o s d e
e d a d .
D el
p r o b l e m a
2
t e n e m o s
que l a
p r i m a n e ta a n u a l
a los 30
a ñ o s
d e
edad
es
17,22.
A l f i n a l d el 15o. a ñ o
p ó l i z a ,
e l v a l o r
p r e s en t e d e l a s p r i ma s r e s t a n t e s e s t á
d a d o
p o r 17,22
a45
( v a l o r p r e s e n t e d e u n a a n u a l i d a d
v i t a l i c i a
a n t i c i p a d a d e 1 7 ,2 2
po r
a ñ o ,
a l o s 45
a ñ o s )
y el
v a l o r p r e s en t e
de l o s
benef i c i o s r es t a n t es se r á
la
p r i m a n e t a
ú n i c a
1000 /4
4 5 d e un a
p ó l i z a
d e
s e gu r o o r d i n a r i o d e v i d a d e
1000,
a l o s 4 5 a ño s . P o r t a n t o
1000
15V = 1000 A« -
17,220*45
lnn 1
M«
1799
tf«
1000
M
4 5
-
17.22
A fa
65.847.429
1000-p- - 17,22
-5— -280639 $234
'
63
.
H a l l a r
la
r e s e r v a t e r m i n a l
a l f i n a l d e l 20o. a ñ o
p ó l i z a ,
d e u n s e g u r o
t e m p o r a l
a 30
a ñ o s
d e
1000,
e x p e d i d o
p a r a
u n a p e r s o n a d e 3 0 a ñ o s d e
e d a d .
D el
p r o b l e m a
6
t e n e m o s
que l a
p r i m a n et a a n u a l
a
edad
30 es 8,46.
Después
de 20
a ño s pó l i z a ,
el
va l o r p r e sen t e
d e
la s
p r i ma s r e s t a n t e s
es el
va l o r p resen t e 8 ,46
a
50
.
10
|
d e u n a
a n u a l i d a d t em p o r a l a n t i c ip a d a
a 10
a ño s ,
d e 8,46 p o r a ñ o
a l o s 50
a ñ o s
d e
edad
y e l
v a l o r p r e se n t e
d e l o s
benef i c i o s r es t a n t es se r á
la
p r i m a n e t a ú n i c a
1000
A50.
10
|
d e u n
seguro
t e m p o r a l a 10
a ñ o s
d e 1000 a
ed a d
50. Por
t a n t o
1000 20V
=
la
r e s e r v a t e r m i n a l
a l fi n a l d e l
15o .
a ñ o d e u n a
p ó l i z a
d e s e g u ro d o t a l a 25
a ñ o s
c o n p a g o s l i -
m i t a d o s a 20 a ñ o s , d e 1000, e x p e d i d a a l o s 4 0 a ñ o s d e
e d a d .
D el e j emp l o 9 t e n emo s q ue l a p r i m a n e t a a n u a l a l o s 40 a ño s d e ed a d e s 40,05 . Despué s d e 1 5 a ño s , e l v a l o r p r e s en t e
d e t o d a s l a s p r i m a s re s t a n t e s s er á e l v a l o r p r e s en t e
40,05
a^T^j
d e u n a a n u a l i d a d t e m p o r a l a n t i c i p a d a a 5 a ñ o s d e
40,05
a n u a l e s a l o s 5 5 a ño s d e e d a d y e l v a l o r p r e s en t e d e l o s ben e f i c i o s
f u t u r o s
s e rá l a p r i m a n e t a ú n i c a
1000
A
55
.
10
\e un s e g u -
ro
d o t a l
a 10
a ño s ,
a los 55
a ñ o s .
Po r
t a n t o
1000,
5
V = 1000A
5
77 | - 40,
1000(A/55 - M65 +
Jes)
-40.05(AÍ55 ~
A U ) 119.728.342
Z > 5 5 >- 193.941 ?617-34
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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16 0 S E G U R O DE V I D A [ C A P l1
14. H a l la r l a r ese rva t e rm in a l a l f in de l 22o . año pó l iza , p a r a la pó l iza de l p rob lema
13 .
Después
de 22
años ,
no hay más
p r i m a s
p or
pagar se .
L a
reserva
t e r m i n a l es por
t a n t o
la
p r i m a n e t a ú n i c a
de un so
g u r o d o t a l
a 3
años,
de
1000,
a los 62
años ,
o sea
2 2V = 1000 A= 1000 * »» D
lOOOJffff = 930,82
Problemas propuestos
15 P a ra
una póliza de seguro de v i da en tera de
1000 expedida
a los 40
años ,
hal l a r ,
a)
la pr i ma ne t a ún i ca ,
b)
la p r i m a
ne
ta
a n u a l , c)
la
p r i m a n e t a
a n u a l
si se
e s t i p u l a n 10 pagos
de
p r i m a s , d )
la
p r i m a n e t a a n u a l
si se
e s t i p u l a n
15
pagos
de
pn
m a s , e )
la p r i m a
n e t a
a n u a l si se e s t i p u l a n 20
pagos
de
p r i m a s .
Resp. a) 502,64; b) 24,65; c ) 57,84; d ) 41,82; e) 34,14
16. P a r a u n s e g u r o t e m p o r a l a 10 a ñ o s de 1000 exp edi da a los 24 años , h a l l a r , (a) la p r i m a net a ún ic a , y b) la p r i m a na
a n u a l . Resp. a) 28,84; b) 3,26
17. P a r a una p ó l i / a de s e g u r o t e m p o r a l a 20 años d e 1000 e x p e d i d a a los 30 a ñ o s , h a l l a r , (a) la p r i m a n e t a ú n i c a , y b) la pn
n ía n e t a a n u a l . Resp. a) 91,58; ¿ > )
5,99
18.' H a l l a r l a p r i m a n e t a a n u a l de una pó l i / a de seguro t empora l a 3 0 años , con pagos l i m i t a d o s a 20 años, por 1000, pai
una per sona de 25 años . Rexp. 8,04
19 .
H a l l a r
la p r i m a neta
a n u a l
de una pó l i za de seguro t em po ra l a 25 años con pagos l i m i t ado s a 15 años , po r
1000,
p a r a u i
per sona de 30 años. Resp. 10,24
20.
Para
una póliza de seguro expedida a los 25
años ,
qu e est ipula el
pago
de
5000
si la m u e r t e o c u rr e a n t e s de la edad
4 1 .
1000
en
caso
que la
m u e r t e o c u r r a d e s pu é s ,
e n c ua lq u ie r fe c ha , ha l l a r ,
a)
l a p r i m a
n e t a
ú n i c a ,
b)
l a p r i m a
n e t a
a n u a l
se es t i p u l an 10 pagos de p r i m as . Resp.
a)
566,66;
b)
64,05
21 . Para una pó l i z a de seguro do t a l a 3 0 años de
1000
para una per sona de 3 5 años ,
h a l l a r , a)
l a p r i m a ne t a ú n i c a ,
b)
la pr
m a n e t a
a n u a l ,
< • ) la p r i m a n e ta a n u a l si se e s t i p u l a n 20 pagos de p r i m a s . Resp. a)
531 ,4 5 ,
b) 27,66 c )
35.'
22 . P a r a u n a . p ó l i z a de s e g u r o d o t a l a 40 a ñ o s de 1000, p a r a u na p e r s o n a de 25 a ñ o s , h a l l a r , a) la p r i m a net a
ún ic a ,
b) I
p r i m a
n e t a a n u a l , c ) la
p r i m a
neta
a n u a l
si se
e s t i p u l a n
20 pagos de p r i m a s . Resp. a) 430,90, h) 18,47, c ) 27.9
23. A los 40 años de eda d,
M
compra una pól iza por la cual s i muere antes de los 65 años, se le paga al
b en ef i c i a r i o
10.000
si
p e r m a n e c e
con v ida
r e c i b i r á
u n a
ren t a
v i t a l i c i a de 2000
a n u a l e s , h a c i é n do s e
e l
p r i m e r p a g o
a los 65
años. H a l l a r
la pr
m a
neta
a n u a l si se e s t i p u l a n 20
pagos. Resp. 644,83
2 4 .
¿ Q u é s u m a a s e g u r a d a
en p la n d e v i d a
e n t e r a p u e d e c o m p r a r
u n a
p e r s o n a
d e 30
a ñ o s
c o n u n a
p r i m a n e t a ú n i c a
d e $ I O O (
Rexp.
2416,63
25 . ¿Qué s um a asegu rada se puede co m pra r en una pó l i za de seguro o rd i n ar i o de v i da , a l o s 20 años de edad , con una prim
de
25
a n u a l e s ? Resp. 2001,48
26 . ¿Qué sum a asegurada se puede com prar en una pó l i za de seguro do t a l a 25 años , a lo s 40 años , me d i an t e 20 p r i m as anuí
le s
de
100
c a d a u n a ? Resp.
2497,04
27 . H a l l a r la p r i m a n a t u r a l de un
s e g u r o
de
1000 exp edi da
a
los,
a) 25
años ,
b) 3 0
años ,
(c) 40
a ñ o s ,
d ) 85
a ñ o s .
Rexp. a)
2,81 ,
b)
3,47,
c )
6,03,
d )
189,38
28. H a l l a r la reserva t e rmi na l al t érmi no de l , (a ) 20o. año póliza, b) 35o. año póliza, c ) 50o. año póliza, de una póliza de <
g u r o o r d i n a r i o
de
v ida
d e
1000 e x p e d i d a
a los 40
años . (Véase
el
p r o b l e m a 15.)
Resp. a)
406,08,
b)
678,96, (c) 855,32
29 . H al l a r l a r eserva t e r m i n a l al final del , (a) 12o. año póliza,
b) 18o.
año pó l i za ,
c )
30o. año póliza, de una póliza de seguí
de v ida pagos l i m i t ado s a 20 años , de 1000, exp ed i da a l o s 40 años . (Véase e l p rob l em a 15 . )
Rexp. a) 385,39, b)
617,65,
c)
799,41
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
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1 7 ]
S E G U R O
D E
V I D A
161
H a l l a r la
reserva
t e r m i n a l a l
f i na l del ,
(a) 5o . año
p ó l i z a ,
b )
15o.
a ño
pó l iza ,
de un
s e g u r o t e m p o r a l
a 30
año s
co n
pagos
l i m i t a d o s a 20 años, de 1000 exp edid a a los 25 años. (Véase el pro blem a
18.) Resp.
a)
27,17,
b ) 79,56
H a l l a r la
reserva
t e r m i n a l al f ina l del a)
10o.
año
p ó l i z a ,
b ) d el
25o.
año
p ó l i z a
de u n
d o t a l
a 30
año s
de 1000
e x p e d i d a
a
los 35
años. (Véase
el
p r o b l e m a 2 1 . )
Resp. a)
260,
b)
765,68
H a l l a r
la
reserva t e r m i n a l
al f inal
del,
(a) 5o. año
p ó l i z a , b ) 15o.
año
p ó l i z a , c ) 25o.
año
p ó l i z a ,
de un
d o t a l
a 30
años ,
con
p ago s l im i t a d o s a 2 0 a ño s , de 1000 exped ida a l os 35 años . (Véase e l p rob l ema 21 . )
Resp. a) 165,65; b) 559,55; c) 890,20
A los 25 años de edad , M tom ó una pó l iza de seguro de v i d a pagos l im i tad os a 20 años , po r 5000. A l t é r m i n o de 25 años ,
él d es ea c on v e r t i r su seguro a un d o t a l a 15 a ñ o s . S u p o n i e n d o que e l t o t a l de la reserva t e r m i n a l se r á u t i l i z ad o , h a l l a r la su-
m a aseg urada de la pó l iza de seguro , sa l dado , do ta l , que r ec i b i r á .
Resp.
4162,25
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226
TABLA
XV
Tabla
de
mortal idad
CSO
1941
con co lumnas de
conmutativos
a l
2 -
d a d
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Número de
v v s
1.023.102
1.000.000
994.230
990.114
986.767
983.817
981.102
978.541
976.124
973.869
971.804
969.890
968.038
966 179
964.266
962.270
960.201
958.098
955.942
953.743
951.483
949.171
946.789
944.337
941.806
939.197
936.492
933.692
930.788
927.763
924.609
921.317
917.880
914.282
910.515
9 6 554
902.393
898.007
893.382
888.504
883.342
877.883
872.098
865.967
859.464
852.554
845.214
837.413
829.114
820.292
Número e
m u e r t o s
d
23.102
5.770
4.116
3.347
2.950
2.715
2.561
2.417
2.255
2.065
1.914
1.852
1.859
1.913
1.996
2.069
2.103
2.156
2.199
2.260
2.312
2.382
2.452
2.531
2.609
2.705
2.800
2.904
3.025
3.154
3.292
3.437
3.598
3.767
3.961
4.161
4.386
4.625
4.878
5.162
5.459
5.785
6.131
6.503
6.910
7.340
7.801
8.299
8.822
9.392
z
975.609 76
946.322 43
919.419 28
893.962 20
869.550 88
846.001 18
823.212 53
801.150 42
779.804 53
759.171 73
739.196 60
719.790 36
700.885 94
682.437 28
664.414 29
646.815 33
629.657 27
612.917 42
596.592 68
580.662 42
565.123 40
549.956 28
535.153 17
520.701 32
506.594 02
492.814 61
479.357 22
466.211 03
453.361 83
440.800 58
428.518 18
416.506 91
404.755 37
393.256 29
381.995 63
370.968 10
360.161 02
349.566 90
339.178 75
328.983 61
318.976 11
309.145 51
299.485 04
289.986 39
280.638 95
271.436 89
262.372 33
253.436 24
244.624 00
N
30.351.127 80
29.375.518 04
28.429.195 61
27.509.776 33
26.615.814 13
25.746.263 25
24.900.262 07
24.077.049 54
23.275.899 12
22.496.094 59
21.736.922 86
20.997.726 26
20.277.935 90
19.577.049 96
18.894.612 68
18.230.198 39
17.583.383 06
16.953.725 79
16.340.808 37
15.744.215 69
15.163.553 27
14.598.429 87
14.048.473 59
13.513.320 42
12.992.619 10
12.486.025 08
11.993.210 47
11.513.853 25
11.047.642 22
10.594.280 39
10.153.479 81
9.724.961 63
9.308.454 72
8.903.699 35
8.510.443 06
8.128.447 43
7.757.479 33
7397.318 31
7.047.751 41
6.708.572 66
6.379.589 05
6.060.612 94
5.751.467 43
5.451.982 39
5.161.996 00
4.881.357 05
4.609.920 16
4.347.547 83
4.094.111 59
M
235.338 3473
229.846 3782
226.024 2630
222.992 0462
220.384 6760
218.043 5400
215.889 0597
213.905 3152
212.099 6727
210.486 4980
209.027 7529
207.650 6874
206.302 1309
204.948 2488
203.570 0795
202.176 3495
200.794 2683
199.411 9146
198.036 3791
196.657 1668
195.280 6337
193.897 0141
192.507 4725
191.108 1450
189.700 8750
188.277 4101
186.839 8909
185.385 3418
183.907 1415
182.403 4951
180.872 3371
179.312 7277
177.719 8824
176.092 8950
174.423 8442
172.713 2832
170.954 2031
169.144 5103
167.282 3758
165.359 8889
163.376 3779
161.325 6832
159.205 3451
157.011 2084
154.736 6133
152.379 4034
149.935 2492
147.398 4842
144.767 6248
d a d
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
7/23/2019 Ayres Frank Anualidades Contingentes
http://slidepdf.com/reader/full/ayres-frank-anualidades-contingentes 25/25
TABLA XV Tabla de mortalidad CSO 1941 co n co lumnas de conmutat ivos al 2¿ 227
K d a d
X
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Número
e
v i v o s
810.900
800.910
790.282
778.981
766.961
754 191
740.631
726.241
710.990
694.843
677.771
659.749
640.761
620 782
599.824
577.882
554.975
531.133
506.403
480.850
454.548
427.593
400.112
372.240
344.136
315.982
287.973
260.322
233.251
206 989
181.765
157.799
135.297
114.440
95.378
78.221
63.036
49.838
38.593
29.215
21.577
15.514
10.833
7.327
4.787
3.011
1.818
1.005
454
125
Número
de
m u e r t o s
x
9.990
10.628
11.301
12.020
12.770
13.560
14.390
15.251
16.147
17.072
18.022
18.988
19.979
20 958
21.942
22.907
23.842
24 730
25.553
26.302
26.955
27.481
27 872
28.104
28.154
28 009
27.651
27.071
26.262
25 224
23.966
22.502
20 857
19.062
17.157
15.185
13.198
11.245
9.378
7.638
6 063
4.681
3.506
2.540
1.776
1.193
813
551
329
125
£
235.925 04
227.335 15
218.847 25
210.456 33
202.155 03
193.940 61
185.808 43
177.754 43
169.777 17
161.874 57
154.046 23
146.292 80
138.616 97
131.019 40
123.508 39
116.088 15
108.767 29
101.555 70
94 465 545
87.511 050
80 706 625
74 068 942
67.618 148
61.373 498
55.355 921
49.587 526
44.089 787
38 884 206
33.990 850
29 428 077
25.211 636
21.353 602
17 862 047
14.739 984
11.985 151
9.589 4746
7.539 3905
5.815 4632
4.393 4773
3.244 7546
2 337 9929
1.640 0309
1.117 2571
737 2363
469 9158
288 3657
169 8646
91 6117
403755
10 8454
.V
3.849.487 59
3.613.562 55
3.386.227 40
3.167.380 15
2.956.923 82
2 754 768 79
2.560.828.18
2.375.019 75
2.197.265 32
2.027.488 15
1.865.613 58
1.711.567 35
1.565.274 55
1 426 657 58
1.295.638 18
1.172.129 79
1.056.041 64
947 274 35
845.718 651
751.253 106
663.742 056
583.035 431
508 966 489
441.348 341
379.974 843
324.618 922
275.031 396
230.941 609
192.057 403
158 066 553
128.638 476
103.426 840
82 073 238
64.211 191
49.471 207
37.486 0561
27.896 5815
20.357 1910
14.541 7278
10.148 2505
6 903 4959
4.565.5030
2.925 4721
1.808 2150
1 070 9787
601 0629
312 6972
142 8326
51 2209
10 8454
142.035 0956
139.199 4735
136.256 3361
133.203 1589
130.034 9360
126 751 1239
123.349 2108
119.827 1207
116.185 3372
112.423 6404
108.543 4550
104.547 2551
100.439 5471
96 222 8711
91.907 4573
87.499 6261
83.010 1764
78 451 4482
73.838 2589
69.187 8068
64.517 7925
59.848 5665
55.204 3311
50.608 9030
46 088 2403
41.669 9911
37.381 7042
33.251 4840
29.306 5222
25 572 7964
22.074 1123
18.830 9965
15 860 2597
13.173 8577
10.778 5365
8.675 1804
6 858 9858
5318 9464
4.038 8010
2.997 2364
2 169 6149
1.528 6772
1.045 9042
693 1335
443 7944
273 7056
162 2378
88 1280
39 1261
10 5810
Kdad
X
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
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99
