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UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.2.4J. Pomales septiembre 2013Naguabo PR Curso: Funciones y Modelos
ASÍNTOTAS DE FUNCIONES NO
CONTINUAS
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Objetivos
• Utilizar el GeoGebra para dibujar funciones continua y no continuas.
• Determinar las asíntotas de funciones no continuas.
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Diferencia entre función continua y no continua
• Función continua– su gráfica puede dibujarse con un solo
trazo– no presenta puntos de discontinuidad.
• Función no continua (discontinua)– tiene puntos en los cuales una pequeña
variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.
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Utiliza el GeoGebra para dibujar las siguientes funciones:
1) f(x) = x4 + 2x2 – 3
2) f(x) = x5 + 2x
3) f(x) = x
x 1
Determina si su gráfica es continua o no es continua.
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Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:
f(x) = x4 + 2x2 – 3
Es continua
¿Es par o impar?
En “Entrada” o “Input”
escribes así
f(x) = x^4 + 2x^2 – 3
presiona “Enter”
Es parsu eje de simetría es el eje y
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Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:
f(x) = x5 + 2x
Es continua
¿Es par o impar?
En “Entrada” o “Input”
escribes así
f(x) = x^5 + 2x
presiona “Enter”
Es imparsu eje de simetría es (0,0)
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Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y determina cuáles no son continuas:
f(x) =
Esno continua
¿Es par o impar?
x
x 1
En “Entrada” o “Input”
escribes así
f(x) = (x + 1) / x
presiona “Enter”
Ninguna
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ASÍNTOTAS
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¿Qué es una asíntota?
• Es una línea que se aproxima a una curva pero que nunca la alcanza o toca.
• Son rectas a las cuales una gráfica se acerca más y más sin tocarlas.
• Son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
• Como las asíntotas no son parte de la gráfica se dibujan como rectas punteadas.
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¿Por qué estudiar las asíntotas de una función?
• Las asíntotas nos sirven de referencia al momento de dibujar su gráfica.
• Nos darían una idea del comportamiento de una función.
• Hoy trabajaremos con funciones no continuas.
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Tipos de Asíntotas
• Las asíntotas se clasifican en:–Verticales:
• Eje de y o Paralelas al eje y
–Horizontales:• Eje de x o Paralelas al eje x
–Oblicuas:• Inclinadas
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ASÍNTOTASEJEMPLOS DE
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Gráfica de 2)2(1)(
x
xf
ASÍNTOTA VERTICAL
x = 2
ASÍNTOTA HORIZONTAL
y = 0
Recuerda:Si la gráfica tiene
asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua
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31)(
xxxf
ASÍNTOTA VERTICAL
x = -3
ASÍNTOTA HORIZONTAL
y = 1
Recuerda:Si la gráfica tiene
asíntota horizontal no tendrá asíntota oblicua
Gráfica de
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32 2
)( xxxf
ASÍNTOTA VERTICAL
x = -3
ASÍNTOTA OBLICUA
y = 2x – 6
Gráfica de
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ASÍNTOTAS?¿CÓMO CALCULAR
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¿Cómo calcular asíntotas?
• Sea una función racional
donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) 0, n es el grado del polinomio en el numerador p(x) ym es el grado del polinomio en el denominador q(x), entonces:
)()()(xqxpxf
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Asíntota Horizontal
• Si n < m ,
entonces y = 0 es la ecuación de la asíntota horizontal, es decir , el eje de x.
• Si n = m ,
entonces
es la ecuación de la asíntota horizontal.• Si n > m ,entonces no hay asíntota horizontal
y procedemos a verificar si existe una asíntota oblicua.
)(
)(
xqdeprincipalecoeficient
xpdeprincipalecoeficientaa
m
ny
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Ejemplo:Calcula la asíntota horizontal
12)( xxf
(1) Recomendación: Identifica n y m
n (grado del polinomio en el numerador) m (grado del polinomio en el denominador)
(2) En este caso: el grado del numerador es 0, la n = 0 el grado del denominador es 1, la m = 1
(3) Como n < m , y = 0 por lo que podemos concluir que la asíntota horizontal es el eje x.
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Asíntota Vertical
• Simplifica la función
• Igualar el denominador a cero y resolver.
• El resultado obtenido es la asíntota vertical.
• Una función no continua puede tener más de una asíntota vertical o ninguna.
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Cuidado
• Nunca debemos tener esta
situación:
• Por tal razón siempre deben
evaluar el numerador con los valores obtenidos al calcular la Asíntota Vertical.
• Si el numerador es cero deben descartar ese valor como Asíntota Vertical.
0
0
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Ejemplo:Calcula la asíntota vertical
12)( xxf
(1) Recomendación: Debes simplificar al máximo la función. Luego, igualar el polinomio del denominador a cero y despejar la variable. Eso será la asíntota vertical.
En este caso ya está en su forma más simple así que procederemos a resolver:
(2) Podemos concluir que la asíntota vertical es x = 1.
1
01
x
x
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Asíntota Oblicua
• Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m) procedemos a dividirlo
)()()()( xRxQxqxp
cociente dela división(resultado)
residuo dela división(sobrante)
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Asíntota Oblicua
• Si R(x) = 0, no tiene asíntota oblicua
• Si R(x) ≠ 0, la asíntota oblicua es dada por la ecuación Q(x) = ax + b que corresponde al cociente (resultado) de la división.
• Recuerda que si una función tiene asíntota horizontal, no podrá tener asíntota oblicua y viceversa.
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Ejemplo:Calcula la asíntota oblicua
(1) Como n > m , no tiene asíntota horizontal verificamos si existe asíntota oblicua. Esto es, dividir el numerador entre el denominador:
(2) Como R(x) ≠ 0 , la asíntota oblicua será Q(x). La asíntota oblicua es y = 2x – 6
32 2
)( xxxf
Q(x)
R(x)
62
18
186)(
6
62)(
0232
2
x
x
x
xx
xxx
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Si deseas practicar más puedes ir a la siguiente página:
http://www.ematematicas.net/asintotas.php?a
Es una página interactiva que te dice si has contestado correctamente
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PRÁCTICA
![Page 28: Asintotas Funciones No Continuas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062220/5571f22a49795947648c458e/html5/thumbnails/28.jpg)
¿Dudas o preguntas?