Download - Armadura Espacial
-
7/26/2019 Armadura Espacial
1/12
PROBLEMA RESUELTO 1 SEM I /16ANALISIS ESTRUCTURAL AVANZADO CIV 3306 A OR/ / /
DOCENTE: Ing. Hugo MercadoAUXILIAR:Univ. Ruben Tapia VelasquezNOMBRE:Univ. Michael Alex Velasquez Sandoval CI4020016 Or.
PREGUNTA 1:Resolver la Estructura mostrada en la figura por el metodo matricial.
ESTRUCTURA HIPERESTATICA3,75 DATOS
1,25 4Ton/mZ 4 =35cm
5 =28cm7
r2 E=2100000Kg/cm
1x =5800Ton/m
6Ton=4000Ton/m
8 r14 h 0 T1 90
a 3 NUDO 8T2 4Ton
Y h=4,00
T23 r2 3,75 5,006 b r1 4
X h =3,002
3 a=4,00 b
=3,00
Fig 1 3,75 5,00 3,75 5,00
1. CARACTERISTICAS GEOMETRICAS.- a =3,00 b =2,25
COORDENADAS NUDOS.-NUDO 4Obtenemos las coordenadas del nudo
N X Y Z
14,00 0,00 4,00 Yij = Yj Yi 4 =-x0 0 V 34 = 4 - 324,00 3,00 0,00 Zij = Zj Zi30,00 3,00 0,00 V 34 =- x-304-2,25 0,00 0,00 l u = X/L V 31 =4-3450,00 0,00 4,00 m u = Y/L V 34 V 31 = -x*4 +9 +0 = 064,00 0,00 0,00 n u = X/L70,00 3,00 4,00 x=2,2583,00 0,75 3,00
l u, m u, n u cosenos directores.
A1
A2
r1
r2
ij= j i
-
7/26/2019 Armadura Espacial
2/12
BARRAS.- No es necesario calcular los cosenos directores de los ejes locales v, w.
BARRA O EA E Y Z L EA/L
m t/m m m m m t/m
1-21 2 0,0028210000000 3 -4 5,00011760,00470,40 0,000 0,600 -0,800
1-31 3 0,003521000000-4 3 -4 6,40311478,77279,97 -0,625 0,469 -0,625
8-28 20,0028210000001 2,25 -3 3,88115150,561005,850,258 0,580 -0,7731-61 60,0028210000000 0 -4 4,00014700,00918,750,000 0,000 -1,000
RESORTES.-
BARRA O Er Y Z L =1/(1/r1 + 1/r2)
t/m m m m m
2-32 3 2367,347-4 0 0 4,000 -1,000 0,000 0,000 =2367,347Ton/m3-43 4 5800,000-2,25 -3 0 3,750 -0,600 -0,800 0,000
1-51 5 -4 0 0 4,000 -1,000 0,000 0,000
2. DETERMINACION DE LAS MATRICES.-
MATRIZ DE ROTACION.-
0l u m u n u T 0 T
l u l v l w
R =l v m v n v
R =m u m v m w
( I )
0l w m w n w
0n u n v n w
MATRIZ DE RIGIDEZ.-
En Coordenadas Locales.
1 0 0 -10 0EA/L0 0 0 EA/L0 0 0
( II )0 0 0 0 0 0
Sub Matrices
T
En Coordenadas Globales. De ( I ) y ( II ) sea lo siguiente:
0 R 0 R 0
= * * = *0 0 R 0 R
l u l v l w 1 0 0 l u m u n u
=m u m v m w *EA/L0 0 0 * l v m v n vn u n v n w 0 0 0 l w m w n w
Analizamos una de las sub matrices.
X EA/L3 lu
mu
nut/m3
ara a arra prevamente se otene a rgez equvaente re
X lu
mu
nu
re
re
RGL
RGL
T
GL=
GL=
RGL
RGL
T
KiiKij
KL= ii
= =i=
i=
Kji
Kjj
KG= GL L GL
Kii
G Kij
GRT Kii Kij R
T*KiiRT*K
ij
KG=Kji
G Kjj
GRT Kji Kjj R
T*KjiRT*K
jj
RT*Kii*R RT*K
ij*R
KG= R
T*K*R
RT*Kji*R RT*K
jj*R
-
7/26/2019 Armadura Espacial
3/12
finalmente:
l u 0 0 l u m u n u l u*m u l u*n u
=EA/L m u 0 0 * l v m v n v =EA/L l u*m u m u*n u
n u 0 0 l w m w n w l u*n u m u*n u
De igual manera las otras submatrices son:
l u*m u l u*n u - l u*m u - l u*n u
=EA/L l u*m u m u*n u ; EA/L - l u*m u - mu*n ul u*n u m u*n u - l u*n u - mu*n u
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA
l u*m u l u*n u - l u*m u - l u*n u
l u*m u m u*n u - l u*m u - mu*n u
EA/Ll u*n u m u*n u - l u*n u - mu*n u
= ( III )- l u*m u - l u*n u l u*m u l u*n u
- l u*m u - mu*n u l u*m u m u*n u
- l u*n u - mu*n u l u*n u m u*n u
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LAS BARRAS.- Usando ( III ) obtenemos
la matriz de rigidez enBARRA 1-2 coordenadas globales
G G 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
K = K =11760,000,000 0,360 -0,480 =0,00 4233,60 -5644,8011 22 0,000 -0,480 0,640 0,00 -5644,80 7526,40
G G 0,00 0,00 0,00
K = K =0,00 -4233,60 5644,8012 21 0,00 5644,80 -7526,40
BARRA 1-3
G G 0,390 -0,293 0,390 4479,52 -3359,64 4479,52
K = K =11478,77-0,293 0,220 -0,293 =-3359,64 2519,73 -3359,6411 33 0,390 -0,293 0,390 4479,52 -3359,64 4479,52
G G -4479,52 3359,64 -4479,52
K = K =3359,64 -2519,73 3359,6413 31 -4479,52 3359,64 -4479,52
BARRA 2-3
G G 1,000 0,000 0,000 2367,35 0,00 0,00
K = K =2367,350,000 0,000 0,000 =0,00 0,00 0,0022 33 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
G G -2367,35 0,00 0,00
K = K =0,00 0,00 0,0023 32 0,00 0,00 0,00
l u2
RT*Kii*R m u2
n u2
l u2 - l u2
R
T
*K*R m u2
R
T
*Ki*R =R
T
*Ki*R = - m u2
n u2 - n u2
l u2 - l u2
m u2 - m u2 Kii
G Kij
G
KG= n u
2 - n u2
- l u2 l u2 Kji
G Kjj
G
- m u2 m u2
- n u2 n u2
-
7/26/2019 Armadura Espacial
4/12
BARRA 3-4
G G 0,360 0,480 0,000 2088,00 2784,00 0,00
K = K =5800,000,480 0,640 0,000 =2784,00 3712,00 0,0033 44 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
G G -2088,00 -2784,00 0,00K = K =-2784,00 -3712,00 0,0034 43 0,00 0,00 0,00
BARRA 1-5
G G 1,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
K = K =0,00 0,000 0,000 0,000 =0,00 0,00 0,0011 55 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00
G G 0,00 0,00 0,00
K = K =0,00 0,00 0,0015 51 0,00 0,00 0,00
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL POR NUDO.-
NUDO 1
G 1 2 1 3 1 5
K = KG + KG + KG
11 11 11 11
G 0,00 0,00 0,00 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00K =0,00 4233,60 -5644,80 +-3359,64 2519,73 -3359,64 +0,00 0,00 0,0011 0,00 -5644,80 7526,40 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00
G 4479,52 -3359,64 4479,52
K =-3359,64 6753,33 -9004,4411 4479,52 -9004,44 12005,92
-
7/26/2019 Armadura Espacial
5/12
NUDO 2
G 1 2 2 3 1 3
K = KG + KG + KG
22 22 22 22
G 0,00 0,00 0,00 2367,35 0,00 0,00K =0,00 4233,60 -5644,80 +0,00 0,00 0,00 +22 0,00 -5644,80 7526,40 0,00 0,00 0,00
G 2367,35 0,00 0,00
K =0,00 4233,60 -5644,8022 0,00 -5644,80 7526,40
NUDO 3
G 1 3 2 3 3 4
K = KG + KG + KG33 33 33 33
G 4479,52 -3359,64 4479,52 2367,35 0,00 0,00 2088,00 2784,00 0,00
K =-3359,64 2519,73 -3359,64 +0,00 0,00 0,00 +2784,00 3712,00 0,0033 4479,52 -3359,64 4479,52 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
G 8934,87 -575,64 4479,52
K =-575,64 6231,73 -3359,6433 4479,52 -3359,64 4479,52
MATRIZ GENERAL DE RIGIDEZ.-
Definimos la matriz geneal de rigidez Algunas sub matrices son iguales a cero
K11K12K13K14K15 K11K12K13 0 K15Matriz de Resultantes
K21K22K23K24K25 K21K22K23 0 0 R1G F=R2
K =K31K32K33K34K35 = K31K32K33K34 0 R3
K41K42K43K44K45 0 0 K43K44 0
RixF=Riy
K51K52K53K54K55 K51 0 0 0 K55i Riz
El sistema general Matriz de cargas Materiz de desplazamientos
G 1 ix 1 ixF =K *+ =2 =iy = 2 = iy
3i iz 3 i iz
-
7/26/2019 Armadura Espacial
6/12
Ensamblamos todas las sub matrices reemplazando los datos obtenidos anteriormente.
1 2 3 4 54480 -3360 4480 0 0 0 -4480 3360 -4480 0 0 0
1 -3360 6753 -9004 0 -4234 5645 3360 -2520 3360 0 0 0 1
4480 -900412006 0 5645 -7526-4480 3360 -4480 0 0 01
0 0 0 2367 0 0 -2367 0 0
2 0 -4234 5645 0 4234 -5645 0 0 0 2 0 5645 -7526 0 -5645 7526 0 0 0 2
-4480 3360 -4480-2367 0 0 8935 -576 4480 -2088-2784 0
3 =3360 -2520 3360 0 0 0 -576 6232 -3360-2784-3712 0 3 -4480 3360 -4480 0 0 0 4480 -3360 4480 0 0 0 3
-2088-2784 0 2088 2784 0
40 -2784-3712 0 2784 3712 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
3. VECTOR DE CARGAS.-0 0 0 0
CARGAS DIRECTAS.- = P = = =0i k 1 2 3
NO existen cargas directas en ninguno de los nudos.
CARGAS INDIRECTAS.- n=L m
=1,25
3,75 5,00 n 3,75De Fig 1. CARGAS DE ESTADO FIJO.
L =6,403 n=6,403 m
=1,25
13 P1 q=4Ton/m 3,75 5,00 4,802 3,75P2= 6Ton
n =4,802 m =1,601
1En general para una vector carga puntual aplicado en una barra.
m P
4,00 h 3,00 O En
r s
L
6 3 = -sP ij ij L ji
1,25 3,75 = -rP
Fig 2 ji L
-
7/26/2019 Armadura Espacial
7/12
BARRA 1-3
CARGA DISTRIBUIDA p1 ;q= 4Ton/m p1 = *q *b b= 3,75 m
Vectorializamos la resultante p1 de la carga distribuida en coordenadas globales.
Vector unitario de P1: u =0,00 0,00 -1,001
Resultante de la carga distribuida: p=43,75=7,500Ton1
Vector P1: P = p *u=7,500 *0,00 0,00 -1,00=0,00 0,00 -7,501 1 1
REACCIONES DE APOYO s=1,25 r = L -s
L 5,00
=-0,25 *0,00 0,00 -7,50=0,0000,0001,875 r =4,80213 s
=1,250
=-0,75 *0,00 0,00 -7,50=0,0000,0005,625 6,403 5,00Deducimos el punto de
31 aplicacin del Vector.CARGA PUNTUAL p2 = 6Ton s =1,601a un tercio de la carga
distribuida.
Vectorializamos la carga puntual p2 en coordenadas globales.
Vector unitario de P2: u =0,00 0,00 -1,002
Vector P2: P = p *u=6,00*0,00 0,00 -1,00=0,00 0,00 -6,002 2 2
REACCIONES DE APOYO De Fig 2. n =4,802 m =1,601
=-0,75 *0,00 0,00 -6,00=0,0000,0004,50013
=-0,25 *0,00 0,00 -6,00=0,0000,0001,50031
CARGA PUNTUAL p3 = 4Ton
Vectorializamos la carga puntual p3 en coordenadas globales.
Vector unitario de P3: u = 0,2580,580-0,773De la tabla u = u3 3 82
Vector P3: P = p *u=4,00*0,258 0,580-0,773= 1,0312,319-3,0923 3 3
REACCIONES DE APOYO De Fig 2. n =4,802 m =1,601
=-0,75 * 1,031 2,319-3,092=-0,773-1,7392,31913
=-0,25 * 1,031 2,319-3,092=-0,258-0,5800,77331
-
7/26/2019 Armadura Espacial
8/12
BARRA 1-2 No existe ninguna carga que actue sobre esta Barra.
CARGA PUNTUAL p4 = 0Ton
Vectorializamos la carga puntual p4 en coordenadas globales.
Vector unitario de P4: u =-1,0000,000 0,000De la tabla u = u4 4 15
Vector P4: P = p *u=0,00*-1,0000,0000,000 = 0,000 0,000 0,0004 4 4
REACCIONES DE APOYO De Fig 2. n =4,802 m =1,601
=-0,75 * 0,000 0,000 0,000 = 0,0000,0000,00012
=-0,25 * 0,000 0,000 0,000 = 0,0000,0000,00021
-
7/26/2019 Armadura Espacial
9/12
I P
CARGAS ACUMULADAS EN BARRAS.- = kij ij
BARRA 1-3 Escribimos los vectores reaccion en forma matricial.
I P P P 0,000 0,000 -0,773 -0,773 =1 +2 +3 =0,000 +0,000 +-1,739=-1,73913 13 13 13
1,875 4,500 2,319 8,694
I P P P 0,000 0,000 -0,258 -0,258 =1 +2 +3 =0,000 +0,000 +-0,580=-0,58031 31 31 31 5,625 1,500 0,773 7,898
BARRA 1-2
I P P P 0,000 0,000 =4 +0 +0 =0,000 + + =0,00012 12 12 12 0,000 0,000
I P P P 0,000 0,000 =4 +0 +0 =0,000 + + =0,00021 21 21 21 0,000 0,000
0 I
CARGAS ACUMULADAS EN NUDOS.- = + i i ij
NUDO 10 I I 0,000 0,000 -0,773 -0,773
= + + =0,000 +0,000 +-1,739=-1,7391 1 12 13 0,000 0,000 8,694 8,694
NUDO 40 I I 0,000 0,000 0,000
= + + =0,000 +0,000 + =0,0004 4 21 00 0,000 0,000 0,000
NUDO 30 I I 0,000 -0,258 -0,258
= + + =0,000 +-0,580+ =-0,5803 3 31 32 0,000 7,898 7,898
MATRIZ DE DESPLAZAMIENTOS.- Aplicamos condiciones de contorno
1x 0 3x= 0 = 0 = 3y1 1z 2 0 3 0
El nudo 2 no se desplaza y por definicion en el nudo 4 y 5 no existen desplazamiento
-
7/26/2019 Armadura Espacial
10/12
4. DESPLAZAMIENTOS.-
Se eliminan las sub matrices (filas y columnas 4 y 5) de la matriz de rigidez general puestoque las cargas y desplazamientos en esos nudos son iguales a cero y nos queda la matriz.
F K 1 2 3
0 4480 -3360 4480 0 0 0 -4480 3360 -44801 1x -0,773R1y -3360 6753 -9004 0 -4234 5645 3360 -2520 3360 0 -1,7390 4480 -900412006 0 5645 -7526-4480 3360 -4480 1z 8,694R2x 0 0 0 2367 0 0 -2367 0 0
20 0,000
R2y=0 -4234 5645 0 4234 -5645 0 0 0 *0 +0,000R2z 0 5645 -7526 0 -5645 7526 0 0 0 0 0,0000 -4480 3360 -4480-2367 0 0 8935 -576 4480
33x -0,258
0 3360 -2520 3360 0 0 0 -576 6232 -3360 3y -0,580R3z -4480 3360 -4480 0 0 0 4480 -3360 4480 0 7,898
Procedemos a reordenar las filas y columnas de la matriz.a la parte final.
F K 0 4480 4480 -4480 3360 -3360 0 0 0 -4480 1x -0,7730 4480 12006-4480 3360 -9004 0 5645 -7526-4480 1z -1,7390 -4480-4480 8935 -576 3360 -2367 0 0 4480 3x 8,6940 3360 3360 -576 6232 -2520 0 0 0 -3360 3y 0,000R1y=-3360-9004 3360 -2520 6753 0 -4234 5645 3360 *0 +0,000R2x 0 0 -2367 0 0 2367 0 0 0 0 0,000R2y 0 5645 0 0 -4234 0 4234 -5645 0 0 -0,258R2z 0 -7526 0 0 5645 0 -5645 7526 0 0 -0,580R3z -4480-4480 4480 -3360 3360 0 0 0 4480 0 7,898
K 0,773 4480 4480 -4480 3360 1x 1x 0,001539 -0,000133 0,000660 -0,000697 0,773-8,694
=4480 12006-4480 3360 1z
1z=-0,000133 0,000133 0,000000 0,000000 *
-8,694
0,258 -4480-4480 8935 -576 3x 3x 0,000660 0,000000 0,000422 -0,000317 0,2580,580 3360 3360 -576 6232 3y 3y -0,000697 0,000000 -0,000317 0,000507 0,580
1x= 0,00211061z=-0,00125783x= 0,00043543y=-0,0003265
K-1
-
7/26/2019 Armadura Espacial
11/12
5. REACCIONES FINALES.- 0
0 R2x 0F=R1y F=R2y F= 01 0 2 R2z 3 R3z
Con la matriz de desplazamientos reemplazamos los valores en la otra sub matriz
F K R1y -3360-9004 3360 -2520 0,0021106 -1,739 4,781250R2x 0 0 -2367 0 -0,0012578 0,000 -1,030651R2y=0 5645 0 0 *0,0004354+0,000 =-7,100214R2z 0 -7526 0 0 -0,0003265 0,000 9,466952R3z -4480-4480 4480 -3360 7,898 7,125000
0 -1,031 0R1 =4,781 R2 =-7,100 R3 =0
0 9,467 7,125
-
7/26/2019 Armadura Espacial
12/12
4480 4480 -4480 3360
4480 12006 -4480 3360
-4480 -4480 8935 -576
3360 3360 -576 6232
0,001539 -0,000133 0,000660 -0,000697 0,773 0,002111
-0,000133 0,000133 0,000000 0,000000 -8,694 -0,001258
0,000660 0,000000 0,000422 -0,000317 0,258 0,000435
-0,000697 0,000000 -0,000317 0,000507 0,580 -0,000327
-3360 -9004 3360 -2520 0,00211 6,52047
0 0 -2367 0 -0,00126 -1,03065
0 5645 0 0 0,00044 -7,10021
0 -7526 0 0 -0,00033 9,46695
-4480 -4480 4480 -3360 -0,77299
R1y 4,781250 1,031 -1,030651 0,00000
R2x -1,030651 2,318964 -2,318964 0,00000
R2y -7,100214 -16,591952 16,591952 0,00000
R2z 9,466952
R3z 7,125000