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Arcocosecante hiperbólica. Definición.
José de Jesús García Ruvalcaba.UABC
Recordatorio. Secante hiperbólica.
• La cosecante hiperbólica es:
csch 𝑥 =1
sinh 𝑥=
2
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
No está definida en 0
Su imagen es −∞, 0 ∪ 0,+∞
Es una función impar, y es inyectiva. No hace falta restringir su dominio.
Cosecante hiperbólica.
csch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞
Es biyectiva. Tiene dos ramas. Cada rama es estrictamente decreciente.
Su inversa es:arccsch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞
Gráfica de la arcocosecante hiperbólica.
arccsch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞
Tiene dos ramas. Cada rama es estrictamente decreciente.
Fórmula explícita para la arcocosecantehiperbólica.
𝑦 = arccsch 𝑥
𝑥 ≠ 0
𝑦 ≠ 0
𝑥 = csch 𝑦
𝑥 =2
𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
Hay que despejar 𝑦
Continuación.
𝑥 =2
𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦
𝑥 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦 = 2
𝑥𝑒𝑦 − 𝑥𝑒−𝑦 = 2
𝑥𝑒𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0
Continuación.
𝑥𝑒𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0
𝑥𝑒2𝑦 − 2𝑒𝑦 − 𝑥 = 0
𝑒𝑦 =− −2 ± −2 2 − 4 𝑥 −𝑥
2 𝑥
𝑒𝑦 =2 ± 4 + 4𝑥2
2𝑥
Continuación.
𝑒𝑦 =2 ± 4 + 4𝑥2
2𝑥
𝑒𝑦 =2 ± 4 1 + 𝑥2
2𝑥
𝑒𝑦 =2 ± 2 1 + 𝑥2
2𝑥
𝑒𝑦 =1 ± 1 + 𝑥2
𝑥
Desigualdades.
Se puede demostrar que:
1 − 1 + 𝑥2 < 0
1 + 1 + 𝑥2 > 0
Recordemos que:𝑒𝑦 > 0
Desigualdades, continuación.
Ahora, el signo de 1− 1+𝑥2
𝑥y de
1+ 1+𝑥2
𝑥dependen tanto del numerador como del
denominador. Usando las leyes de los signos:
𝑥 < 0 ⟹1 − 1 + 𝑥2
𝑥> 0
𝑥 > 0 ⟹1 + 1 + 𝑥2
𝑥> 0
Continuación.
𝑒𝑦 =
1 − 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 < 0
1 + 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 > 0
Continuación.
𝑦 =
log1 − 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 < 0
log1 + 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 > 0
Conclusión.
arccsch 𝑥 =
log1 − 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 < 0
log1 + 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 > 0
Después de la conclusión.
arccsch 𝑥 =
log −1 + 1 + 𝑥2 − log −𝑥 , 𝑥 < 0
log 1 + 1 + 𝑥2 − log 𝑥 , 𝑥 > 0
Otra forma de obtenerlo.
• Recordemos que:
csch =1
sinh
Por lo tanto,
arccsch 𝑥 = arcsinh1
𝑥
De una lección anterior, ya tenemos fórmula para el arcoseno hiperbólico.
Recordatorio y continuación.
arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1
arccsch 𝑥 = arcsinh1
𝑥
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1
𝑥
2
+ 1
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1
𝑥2+ 1
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1 + 𝑥2
𝑥2
Conclusión.
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1 + 𝑥2
𝑥2
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1 + 𝑥2
𝑥2
arccsch 𝑥 = log1
𝑥+
1 − 𝑥2
𝑥
Para resumir.
arccsch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞
arccsch 𝑥 =
log1 − 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 < 0
log1 + 1 + 𝑥2
𝑥, 𝑥 > 0